椭圆的参数方程中参数的几何意义

椭圆的参数方程中参数的几何意义椭圆的参数方程中参数的几何意义是指，椭圆的参数方程为x=a cos t，y=b sin t，其中a和b均为正数， t为参数。

其中，参数t 代表椭圆上的点与椭圆圆心所连直线的倾角，即t是一条从圆心出发的射线与x轴的夹角。

a表示椭圆主轴的长度，b表示椭圆次轴的长度，其中a和b的比值称为离心率，离心率越小，椭圆越趋向于圆形；离心率越大，椭圆形状越扁平。

椭圆的边界由椭圆轮廓上的所有点组成，这些点在参数方程中用参数t表示。

通过改变参数t的值，可以得到椭圆轮廓上的所有点，从而确定整个椭圆的形状和大小。

因此，椭圆的参数方程中的参数t、a、b以及离心率，都代表了椭圆的重要几何特征，可以用于描述、计算和绘制椭圆的形状。

椭圆的参数方程中参数的几何意义：红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ)所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。

周长椭圆周长计算公式：L=T（r+R）T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。

几何关系点与椭圆点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1；点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。

直线与椭圆y=kx+m①x2/a2+y2/b2=1②由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1相切△=0相离△<0无交点相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2）求中点坐标根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。

|AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2]手绘法1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

2、：连接AC。

3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。

4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。

用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。

圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。

（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。

（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。

一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。

椭圆的参数方程中参数的几何意义教学重难点：椭圆参数方程中参数的几何意义教学用具：多媒体辅助教学教学方法：由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此采用教师讲解的方法，只要学生理解就可以了教学过程：1、焦点在x 轴上的椭圆参数方程的推导 因为22()()1x y a b+=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==， 即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩)(为参数ϕ， 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

2.参数ϕ的几何意义思考：类比圆的参数方程中参数θ的意义，椭圆的参数方程中参数ϕ的意义是什么？圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x )(为参数θ 椭圆的标准方程：12222=+b y a x 椭圆的参数方程：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x )(为参数ϕ圆的参数方程中θ是Ox 轴逆时针旋转到OP 的旋转角即θ=∠AOP ，那么椭圆的参数方程中ϕ是不是上图中Ox 轴逆时针旋转到OM 的旋转角呢？请大家看右边图片如图，以原点为圆心，分别以a 、b (0)a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆半径的交点，过点A 作AN O x ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时M 的轨迹的参数方程. 分析：动点A 、B 是如何动的？M 点与A 、B 有什么联系？如何选取参数较恰当？解：设M 点坐标为(,)x y ，ϕ=∠AOx ，以ϕ为参数， 则ϕϕcos cos a OA ON x ===ϕϕsin sin b OB NM y ===，当半径OA 绕O 点逆时针旋转一周时，就得到点M 的轨迹，它的参数方程是)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ① 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆。

完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结概述椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。

在数学中，椭圆可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。

本文将详细介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。

参数方程定义椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数t和垂直方向的参数u。

以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。

参数方程推导为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即：x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。

我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u)y = b * sin(u)通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到：a * cos(u) - h)^2 / a^2) + ((b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1进一步整理可得：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 /b^2) * (a^2 / b^2) = 1比较原式与化简式，可得：a^2 = 1b^2 = a^2 / b^2由此，我们得到了椭圆的参数方程。

极坐标方程定义椭圆的极坐标方程由一个参数θ表示，以坐标点(r,θ)表示的椭圆上的任意一点，其极坐标方程可以用如下形式表示：r(θ) = a * b / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。

椭球面的参数方程椭球面的参数方程是描述椭球面上所有点的数学公式。

椭球面是一个有趣的几何体，具有许多应用和特性。

在本文中，我们将探讨椭球面的参数方程以及它们的几何意义和应用。

椭球面的参数方程可以用以下公式表示：x = a * cos(u) * sin(v)y = b * sin(u) * sin(v)z = c * cos(v)其中，a、b、c分别代表椭球面在x、y和z轴上的半径长度。

u和v是参数，可以在给定范围内变化。

通过改变u和v的取值，我们可以获得椭球面上的所有点的坐标。

椭球面的参数方程可以帮助我们更好地了解椭球面的几何特性。

通过改变参数的取值，我们可以观察到椭球面的形状如何变化。

当u 和v的取值范围为[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭球面。

当u和v的取值范围为[0, π]时，我们可以得到椭球面的上半部分。

椭球面作为一个重要的几何体，在许多领域中都有广泛的应用。

在物理学中，椭球面可以用来描述行星、恒星和其他天体的形状。

在工程学中，椭球面可以用来设计和建造弧形天花板、船体和其他曲面结构。

在地理学中，椭球面可以用来描述地球的形状。

除了几何应用外，椭球面的参数方程还可以用来进行计算和模拟。

通过对参数方程进行数值计算，我们可以获得椭球面上的任意点的坐标。

这对于进行数值模拟和计算机图形学有很大的帮助。

椭球面的参数方程也与其他几何体的参数方程有一定的联系。

例如，当a=b=c时，椭球面的参数方程就变成了球面的参数方程。

当a=b但c不等于a时，椭球面的参数方程就变成了椭圆柱面的参数方程。

这些联系使得我们能够更好地理解各种几何体之间的关系。

椭球面的参数方程是描述椭球面上所有点的数学公式。

通过改变参数的取值，我们可以获得椭球面上的任意点的坐标。

椭球面的参数方程在几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。

通过研究椭球面的参数方程，我们可以更好地理解椭球面的几何特性，并将其应用于实际问题的解决中。

高考数学知识点：椭圆的参数方程_知识点总结
高考数学知识点：椭圆的参数方程椭圆的参数方程：
椭圆的参数方程是，θ∈[0，2π）。

椭圆的参数方程的理解：
如图，以原点为圆心，分别以a，b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN∈Ox，垂足为N，过点B作BM∈AN，垂足为M，求当半径OA绕点O 旋转时，点M的横坐标与点A的横坐标相同，点M的纵坐标与点B的纵坐标相同．而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系．设，由已知得，即为点M的轨迹参数方程，消去参数得，即为点M的轨迹普通方程。

(1)参数方程，是椭圆的参数方程,高考物理；
(2)在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．a>b,称为离心角，规定参数的取值范围是[0，2π）;。

参数方程中t的几何意义
参数方程是一种常用的数学表达方式，它能够用一组相关的参数来描述函数图像的形状和特征。

参数方程的关键变量就是t，它代表参数方程中函数图像构建的参数，扮演着重要的角色。

那么参数方程中t的几何意义是什么呢？
首先，t可以用来定义函数的图像。

例如，当t取值在[0,1]区间内时，参数方程描述的函数图像就是曲线，可以是线段、圆弧或椭圆等，但是当t取值超过[0,1]区间时，函数图像可以是不规则的，如抛物线。

因此，t可以用来控制函数图像的形状，它实际上可以被视为参数方程中一个调节变量。

其次，t可以用来表示距离。

它可以用来描述函数图像上某一点到某一曲线的距离，这可以用来求解不同问题。

例如，假设有一条直线L，以及一条给定的曲线C，则可以用参数方程求解曲线C到直线L的距离，它的距离就是t。

因此，t可以代表函数图像上某一点到外部物体的距离，同时也可以代表外部物体到函数图像上某一点的距离。

最后，t可以用来表示曲率。

通常情况下，曲率是指曲线上某一点的曲率值，它可以描述函数图像的圆滑程度，而t就代表了曲率的大小，它可以用来推导函数图像的曲率。

例如，如果给定一个直线，则它的曲率值为0，如果是一个圆，则它的曲率值为1，而椭圆的曲率则与t的取值有关。

因此，t可以用来控制函数图像的圆滑程度。

综上所述，参数方程中t具有多重几何意义，它可以用来控制函
数图像的形状、表示距离、控制曲率等。

理解t在参数方程中的意义可以使我们更好地分析和理解参数方程，也可以帮助我们更加有效地解决问题。

椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为(x －h )2a 2＋(y －k )2b 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝h ＋a cos φy ＝k ＋b sin φ(φ是参数)．1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ2y ＝cos θ(θ为参数)的一个焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫32，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选C.椭圆的普通方程为x 2＋(2y )2＝1，即x 21＋y 214＝1.c 2＝a 2－b 2＝1－14＝34，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，0.故选C. 2．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数，0≤φ<2π)的离心率为( )A.23 B ．35C.32D ．53解析：选A.由⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos φy 5＝sin φ，所以x 29＋y 25＝1，所以a ＝3，b ＝5，c ＝2，e ＝23.3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的最大距离为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选C.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的距离为4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ≤2，当且仅当cos θ＝±1时，取得最大值．故选C.4．椭圆x 24＋y 22＝1的参数方程是____________；椭圆(x －1)225＋(y ＋1)216＝1的参数方程是____________．解析：因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))，所以x 24＋y 22＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝2sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))，同样可知(x －1)225＋(y ＋1)216＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))．答案：⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝2sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))利用椭圆的参数方程求最值(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝||3cos α＋sin α－42＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.(1)对于椭圆和圆上的动点M (x ，y )，求目标函数z ＝f (x ，y )的最值问题，均可利用参数方程表示动点坐标把目标函数转化成关于参数的三角函数，然后利用三角函数有界性求其最值．(2)利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1.已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．解：椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85)．所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89. 2．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3，0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则 |PA |＝(5cos θ－3)2＋(4sin θ)2＝9cos 2θ－30cos θ＋25＝(3cos θ－5)2＝|3cos θ－5|≤8， 当cos θ＝－1时，|PA |最大．此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5，0)．利用椭圆的参数方程求轨迹方程已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程，并说明它是什么图形．[解] 由题意知A (6，0)、B (0，3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ. 消去参数θ得到(x －2)24＋(y －1)2＝1.此即为动点G 的轨迹方程，它表示中心在点(2，1)，对称轴平行于坐标轴，长半轴长为2，短半轴长为1的椭圆．(1)本题也可用代点转移法求解，即设G (x ，y )，C (x 1，y 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋x 13y ＝0＋3＋y 13即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x －6y 1＝3y －3，因为C (x 1，y 1)在椭圆x 236＋y 29＝1上，所以x 2136＋y 219＝1，所以(3x －6)236＋(3y －3)29＝1即(x －2)24＋(y －1)2＝1.(2)对比两种解法，可知利用参数方程求解更简单易行．1.已知椭圆方程是x 216＋y 29＝1，点A (6，6)，P 是椭圆上一动点，求线段PA中点Q 的轨迹方程．解：设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋62，y ＝3sin θ＋62，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋3，y ＝32sin θ＋3(θ为参数)．所以9(x －3)2＋16(y －3)2＝36，即为所求．2．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1.即为线段F 1P 的中点的轨迹方程．利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题在平面直角坐标系中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝sin β(β为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0，α∈[0，2π))．(1)把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程．(2)设射线l 与椭圆C 相交于点A ，把射线l 绕极点逆时针旋转90°得到射线OB ，与椭圆C 相交于点B ，试确定1|OA |2＋1|OB |2是否为定值．若为定值，求出此定值，若不为定值，请说明理由．[解] (1)因为椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝sin β(β为参数)，所以椭圆C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 22＋y 2＝1，可得ρ2cos 2 θ2＋ρ2sin 2 θ＝1，化简得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2.(2)由(1)得椭圆的极坐标方程可化为ρ＝21＋sin 2θ，在极坐标系中，可设A (ρ1，α)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α＋π2，将A ，B 坐标分别代入ρ＝21＋sin 2θ中，有ρ1＝21＋sin 2α，ρ2＝21＋cos 2α，所以1ρ21＝1＋sin 2 α2，1ρ22＝1＋cos 2α2，则1ρ21＋1ρ22＝32，即1|OA |2＋1|OB |2＝32. 故1|OA |2＋1|OB |2为定值32. 利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．证明：设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1)． 则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.所以|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.所以|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．1．椭圆参数方程中参数的几何意义椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ有明确的几何意义，对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，φ称为该椭圆的离心角，φ的最大范围是R ，最小范围是[0，2π)．如果φ的范围比[0，2π)还小，那么该参数方程表示的图形不是一个椭圆而是椭圆的一部分．2．椭圆参数方程的推导过程如图以坐标原点为圆心，分别以a ，b (a >b >0)为半径画两个同心圆，角φ(0≤φ<2π)的终边分别交两圆于A 、B ，作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，BM ⊥AA 1于M .设M (x ，y )，由三角函数定义可知x ＝OA 1＝|OA |cos φ＝a cos φ，y ＝A 1M ＝B 1B ＝|OB |sin φ＝b sin φ，于是得动点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)．3．椭圆参数方程和普通方程的互化互化的依据是sin 2φ＋cos 2φ＝1，由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ可得⎩⎪⎨⎪⎧xa ＝cos φyb ＝sin φ，于是两式平方相加得到普通方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，由普通方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x a ＝cos φ，yb＝sin φ就能化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ.4．椭圆的参数方程不是唯一的对于同一个椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，选取离心角作为参数可求得参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)，若选取其他量作为参数，也可求得相应的参数方程，只是参数的几何意义就不明确了，例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sinφ2y ＝b cos φ2(φ为参数)也是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的一个参数方程．1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，此椭圆上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫532，2，则P 点的离心角为( )A.π3 B ．π6 C ．2π3 D ．5π6解析：选B.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫532，2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32sin θ＝12， 又0≤θ<2π，所以θ＝π6.2．已知P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点M 的轨迹方程是____________．解析：设P (4cos θ，22sin θ)，M (x ，y )，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋4cos θ2y ＝0＋22sin θ2即⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)， 消去θ得动点M 的轨迹方程是x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝13．椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t y ＝－2＋2sin t，(t 为参数)，点P 为椭圆上对应t ＝π6的点，求直线OP 的斜率．解：当t ＝π6时，x ＝1＋3cos π6＝1＋332，y ＝－2＋2sin π6＝－1.所以直线OP 的斜率k ＝yx＝－11＋332＝4－6323. [A 基础达标]1．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝2sin φ，(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ，(φ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9cos φy ＝4sin φ，(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝9sin φ，(φ为参数)解析：选B.把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为x 24＋y 29＝1，则b ＝2，a ＝3，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝(A ．πB ．π2C ．2πD ．32π解析：选A.因为点(－a ，0)中x ＝－a ，所以－a ＝a cos θ， 所以cos θ＝－1，所以θ＝π. 3．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A. 3 B ．－33C ．2 3D ．－2 3 解析：选C.点M 的坐标为(1，23)，所以k OM ＝2 3.4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ， 得x ＋y －2＝0(－1≤x ≤0，1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.可知两曲线交点有1个．5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3，4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22C ．(－3，4)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 解析：选D.因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34.所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.6．设点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，则点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离分别为______，______．解：设P (4cos θ，3sin θ)， 则d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－245，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2)． 答案：125(2＋2) 125(2－2) 7．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝4sin t ，(t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为________． 解析：当t ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，即M (1，23)，同理N (3，2)．k MN ＝23－21－3＝－2.答案：－28．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ<2π)恒有公共点，则b 的取值范围是____________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .因为恒有公共点，所以方程有解．令f (θ)＝b ＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ－φ)(tan φ＝12)．所以－25≤f (θ)≤2 5. 所以－25≤b ≤2 5. 答案：[－25，2 5 ]9．如图，由椭圆x 24＋y 29＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．解：椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)， 所以设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2cos θ2＝2cos θ，y ＝3sin θ2，消去θ，得x 24＋4y 29＝1，即为所求的轨迹方程． 10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α，(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)． 因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. [B 能力提升]11．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0，θ为参数)上一点M 与两焦点F 1、F 2所成角为∠F 1MF 2＝α.求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan α2. 证明：因为M 在椭圆上，所以由椭圆的定义，得：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，两边平方，得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝4a 2.在△F 1MF 2中，由余弦定理，得|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2. 由两式，得|MF 1||MF 2|＝b 2cos 2α2.故S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|sin α＝b 2tan α2. 12．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴正半轴交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为坐标原点)，求离心率e 的取值范围．解：由题意知A (a ，0)，若存在点P ，使OP ⊥AP ，则点P 必落在第一或第四象限，故根据椭圆的参数方程可设P (a cos φ，b sin φ)，0<φ<π2或3π2<φ<2π. 因为OP ⊥AP ，所以k OP ·k AP ＝－1，即b sin φa cos φ·b sin φa cos φ－a＝－1. 所以b 2sin 2φ＋a 2cos 2φ－a 2cos φ＝0，即(a 2－b 2)cos 2φ－a 2cos φ＋b 2＝0.解得cos φ＝b 2a 2－b 2，或cos φ＝1(舍去)．由0<φ<π2或3π2<φ<2π，得0<cos φ<1， 所以0<b 2a 2－b 2<1，把b 2＝a 2－c 2代入， 得0<a 2－c 2c 2<1，即0<1e 2－1<1，解得22<e <1. 13．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．14．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3. (1)求曲线C 1，C 2的方程．(2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 故曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1， 由题意设圆C 2的半径为R ，则方程为(x －R )2＋y 2＝R 2，由D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3， 直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32代入(x －R )2＋y 2＝R 2得R ＝1，故圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上， 所以ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1， ρ22cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π24＋ρ22sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝1， 即ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1， 所以1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ4＋sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋cos 2θ＝54.。

椭圆参数方程中参数的几何意义及性质
郑庆安;潘玉晓
【期刊名称】《南阳师范学院学报》
【年(卷),期】2014(013)003
【摘要】指出了椭圆的参数方程中参数的几何意义,得出一些较好的结论,并研究了参数的应用.
【总页数】2页(P12-13)
【作者】郑庆安;潘玉晓
【作者单位】南阳师范学院五年制管理中心,河南南阳473061;南阳师范学院五年制管理中心,河南南阳473061
【正文语种】中文
【中图分类】O182.1
【相关文献】
1.椭圆及椭球参数方程中θ的几何意义探研 [J], 张洪瑞;杨乔
2.直线标准式参数方程中参数t的几何意义的应用 [J], 侯军;卜大海;
3.直线标准式参数方程中参数t的几何意义的应用 [J], 侯军;卜大海;
4.椭圆参数方程中参数的几何意义辨析与反思 [J], 邱星明
5.注意椭圆参数方程中参数t的几何意义 [J], 严小宝
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椭圆的虚数参数方程
椭圆是一种常见的几何图形，它在数学和物理学中都有着重要的应用。

椭圆的虚数参数方程是描述椭圆形状的一种数学表达方式。

通过虚数参数方程，我们可以更清晰地理解椭圆的性质和特点。

椭圆的虚数参数方程通常包含两个参数：实部和虚部。

实部控制椭圆在x 轴上的位置和大小，虚部则控制椭圆在y 轴上的位置和大小。

通过调整这两个参数的数值，我们可以改变椭圆的形状和大小，使其更符合我们的需求。

虚数参数方程还可以帮助我们理解椭圆与其他几何图形之间的关系。

例如，椭圆和圆是密切相关的几何图形，它们在数学上有着很多相似之处。

通过虚数参数方程，我们可以更好地理解这种相似性，从而更深入地研究椭圆和圆的性质。

除了数学上的应用，椭圆的虚数参数方程还在物理学中有着重要的意义。

在光学领域，椭圆偏振光是一种常见的光学现象，它可以通过椭圆的虚数参数方程来描述。

通过研究椭圆偏振光，我们可以更好地理解光的传播规律，从而应用于光学器件的设计和制造中。

总的来说，椭圆的虚数参数方程是一种重要的数学表达方式，它可以帮助我们更好地理解椭圆的性质和特点，同时也具有广泛的应用价值。

通过深入研究椭圆的虚数参数方程，我们可以更好地应用它们于实际问题中，推动数学和物理学领域的发展。

希望本文可以为
读者提供一些关于椭圆和虚数参数方程的新思路和启发。