最新《圆的基本性质》的知识点及典型例题

圆知识点总结及习题一、基本概念1. 圆的定义圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径，以O表示圆心，r表示半径的圆记作圆O。

2. 圆的元素圆的元素包括圆心、半径、直径、弦、弧和扇形。

直径是连接圆上任意两点的线段，且通过圆心。

弦是圆上任意两点的线段，弧是圆上的一段弧线，扇形是由圆心、圆上两点和这两点对应的弧线所组成的区域。

3. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr2。

二、性质1. 圆的基本性质圆上任意两点之间的距离相等。

2. 弧长和圆心角的关系弧长和圆心角之间的关系为：L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。

3. 弦长和圆心角的关系弦长和圆心角之间的关系为：l=2rsin(θ/2)，其中l表示弦长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。

三、定理1. 圆的切线定理定理1：当直线与圆相交于两点时，这条直线称为圆的切线。

切线与半径的夹角为直角，且切点处的切线等于半径。

2. 圆心角定理定理2：圆心角的度数是它所对的圆周角度数的两倍。

3. 弦切线定理定理3：当直线与圆相交于一个点时，这条直线称为圆的切线。

切线与切点处的弦相交延长线的夹角等于这条弦所对的圆心角的度数。

四、习题1. 已知半径为8，求圆的周长和面积。

2. 在半径为6的圆中，求一条长2的弦的长度。

3. 已知AB为圆上的弦，AB=6，O为圆心，求角AOB的度数。

通过本文的总结，我们对圆的基本概念、性质、定理和相关的习题有了一定的了解。

希望读者能够通过学习更深入地了解圆的相关知识，提高数学学科的成绩。

圆的基本性质【基础知识】知识点1：圆的对称性 （1）圆的旋转不变性圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转__________后，仍与原来的圆重合；由于圆绕圆心旋转180°后与自身重合，圆是中心对称图形，对称中心是________； （2）圆的轴对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是________________________________________________； 知识点2：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 逆定理及其运用知识点3：圆心角、弧、弦之间的关系（1）在______________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；（2）在______________中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；【经典例题】【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦； 【例2】若O 的半径为5，弦AB 长为8，求拱高；【例3】如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知6AE cm =，2EB cm =，30CEA ∠=︒，求CD 的长；【例4】如图，在O 中，弦8AB cm =，OC AB ⊥于C ，3OC cm =，求O 的半径长。

【例5】如图1，AB是O的直径，CD是弦，AE CD⊥，垂足为E，BF CD⊥，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由；如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC CD⊥，FD CD⊥，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？【巩固练习】1、判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧（）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧（）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）2、已知：如图，O中,弦AB∥CD,AB CD<，直径MN AB⊥，垂足为E，交弦CD于点F；图中相等的线段有；图中相等的劣弧有；3、已知：如图，O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D，6AB cm=，1CD cm=，求O的半径OA。

解读圆的基本性质与计算问题（知识点总结）圆的基本性质与计算问题圆是数学中一种重要的几何形状，它具有独特的性质与计算问题。

本文将对圆的基本性质及与之相关的计算问题进行解读与总结。

一、圆的基本性质1. 圆的定义圆是由平面上与一个固定点距离相等于定长的所有点组成的集合。

这个固定点称为圆心，定长称为半径。

2. 圆的要素一个圆有三个要素，即圆心、半径和圆周。

圆心是圆上任意一点到圆周的距离都相等的点；半径是圆心到圆周上任意一点的距离；圆周是圆心到圆上各点的连线。

3. 圆的直径直径是通过圆心的一条线段，其两个端点同时位于圆周上。

直径的长度恰好是圆的半径长度的两倍。

4. 圆的周长圆的周长又称为圆周长，用符号C表示。

根据圆的定义可知，圆周上的任意一点到圆心的距离都等于半径长度，因此圆的周长可以计算为C = 2πr，其中r为圆的半径。

5. 圆的面积圆的面积用符号S表示，计算公式为S = πr²，其中r为圆的半径。

二、圆的计算问题1. 已知圆的周长求半径根据圆的周长计算公式C = 2πr，给定圆的周长C，可通过求解方程来计算半径r的值。

2. 已知圆的面积求半径根据圆的面积计算公式S = πr²，给定圆的面积S，可通过求解方程来计算半径r的值。

3. 已知圆的半径求周长已知圆的半径r，可以直接使用圆的周长计算公式C = 2πr，计算得到圆的周长。

4. 已知圆的半径求面积已知圆的半径r，可以直接使用圆的面积计算公式S = πr²，计算得到圆的面积。

5. 圆的扇形与弧长扇形是由圆心和两个半径所夹的区域组成，而弧是扇形上的一段弯曲部分。

扇形的面积可以通过扇形夹角的大小来计算，而弧长可以通过弧所对的圆心角的大小来计算。

6. 圆与其他几何图形的关系圆与其他几何图形有着丰富的关系，如圆与直线的交点、圆与三角形的内切与外切等。

这些关系可以通过几何定理与推导来解决相应的计算问题。

综上所述，圆作为数学中的一种重要几何形状，具有独特的性质与计算问题。

圆【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

③弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。

(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

)④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.（3）对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

高中圆公式知识点总结在高中数学中，圆是一个非常重要的几何形状，而圆的公式则是掌握圆的性质和计算圆的周长、面积等问题的关键。

本文将从圆的基本性质开始，逐步介绍圆的相关公式和知识点，方便同学们系统地掌握圆的知识。

1. 圆的基本性质(1) 圆的定义：圆是平面上所有距离等于定长的点的集合。

(2) 圆的要素：圆由圆心O和半径r决定，记为⊙O(r)。

其中，圆心是圆上所有点到圆心的距离都相等，记为r。

(3) 圆的直径：通过圆心，并且与圆相交，并且在圆上的直线叫做圆的直径，通常记为d。

(4) 圆的半径：从圆心到圆上的任一点的线段称为圆的半径，通常记为r。

(5) 圆的周长：圆的周长指的是圆的边长，通常记为L。

根据圆的性质得知，圆的周长等于直径的长度乘以π。

(6) 圆的面积：圆的面积指的是圆内的面积，通常记为S。

根据圆的性质得知，圆的面积等于半径的平方乘以π。

2. 圆的相关公式(1) 圆的周长公式：L = πd，其中d为直径的长度。

(2) 圆的面积公式：S = πr²，其中r为半径的长度。

(3) 圆的直径和半径的关系：d = 2r，即直径等于半径的两倍。

3. 圆的相关知识点(1) 弧长和弧度的关系：弧长指的是圆的一部分弧的长度，通常记为l。

弧的弧度指的是弧所对的圆心角的角度大小。

根据圆的性质得知，弧长等于弧度乘以半径的长度。

(2) 弧长公式：l = rθ，其中θ为弧所对的圆心角的角度大小。

4. 例题解析(1) 例题一：已知圆的周长为20π，求圆的直径和面积。

解：根据周长的公式L = πd，可得圆的直径d = 20。

将直径带入圆的面积公式S = πr²中，可得圆的面积S = π*10² = 100π。

(2) 例题二：已知圆的半径为3，求圆的周长和面积。

解：根据半径的长度r = 3，可得圆的周长L = 2πr = 6π，圆的面积S = πr² = π*3² = 9π。

5. 综合应用圆作为一个重要的几何形状，在日常生活中有很多实际应用，比如建筑设计中的圆形窗户、钟表表盘等。

圆的基本性质及应用题型1. 圆的定义和基本术语圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

在圆上任意取两个点，将它们和圆心连线，得到的线段称为弦。

若弦通过圆心，则称其为直径，直径等于2倍的半径。

若弦和圆心不重合，则称其为弧。

2. 圆的基本性质2.1 圆的周长和面积圆的周长称为圆周，用C表示，圆的面积用S表示。

圆周的计算公式为：C = 2πr，其中r为圆的半径。

圆的面积计算公式为：S = πr^2，其中r为圆的半径。

2.2 弧长和扇形面积从圆上截取的弧，可以计算其长度，称为弧长。

弧长的计算公式为：L = 2πr * (θ/360°)，其中θ为弧所对的圆心角的度数。

另外，可以从圆上截取一个扇形，扇形的面积为扇形的弧长与圆周的比例乘以圆的面积。

扇形的面积计算公式为：A = (θ/360°) * πr^2，其中θ为扇形的圆心角的度数。

3. 圆的应用题型3.1 弧长和扇形面积的应用例题1：一个半径为5cm的圆，截取一个占据1/4的扇形，请计算该扇形的面积和弧长。

解答：已知半径r = 5cm，圆心角θ = 360° / 4 = 90°。

根据扇形的面积计算公式可知，A = (90°/360°) * π * 5^2 = 6.25π cm^2。

根据弧长的计算公式可知，L = 2π * 5 * (90°/360°) = 5π cm。

所以该扇形的面积为6.25π cm^2，弧长为5π cm。

3.2 圆的周长和面积的应用例题2：一个圆的周长为20cm，请计算该圆的面积。

解答：已知圆周长为20cm，根据圆周的计算公式可知，C = 2πr = 20 cm。

由此可算得圆的半径r = 10/π cm ≈ 3.18 cm。

根据圆的面积计算公式可知，S = πr^2 = π * (10/π)^2 = 100/π cm^2。

圆的基本性质一、知识点梳理★知识点一：圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

★知识点二：平面内点与圆的位置关系：r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内。

例1、如图，在中，直角边，，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆A的_________，点在圆A的_________．例2、在直角坐标平面内，圆的半径为5，圆心的坐标为．试判断点与圆的位置关系．例3、下列说法中，正确的是。

（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是直径；（3）半径相等的两个半圆是等弧；（4）一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。

例4、有下列四个命题：（1）直径相等的两个圆是等圆；（2）长度相等的两条弧是等弧；（3）圆中最大的弦是通过圆心的弦；（4）一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是。

★知识点三：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。

平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

垂径定理最重要的应用是通过勾股定理来解决有关弦、半径、弦心距等问题例1：下列语句中正确的是。

（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）相等的弧所对的弦相等；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）弦的垂直平分线必过圆心。

例2、过⊙内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为（）（A）3cm （B）6cm （C）cm （D）9cm例3、如图所示,以O为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB的延长线交大圆于C,若AB=6,BC=1,则与圆环的面积是例4、在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.7厘米或1厘米例5、如图，矩形ABCD与与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=cm.例6、如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。

圆的基本性质总复习（一）【知识理解】知识点一：圆的定义及相关概念1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心,线段OP叫做圆的半径．记作“⊙O”.第二种定义：到定点O的距离等于定长r的点的集合．弦；直径；注：在同一个圆中，直径是最长的弦，一个圆中有无数条弦和直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示.半圆；优弧；劣弧；等弧2. 等圆：半径相等的圆.同圆：同一个圆.同心圆：圆心相同，半径不相等的圆.知识点二：点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，平面内任一点P到圆心的距离为d，则：⇔点在圆外⇔点在圆上⇔点在圆内知识点三：确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆知识点四：三角形的外接圆1、经过三角形的各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．2、三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点注：一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形知识点五：圆的对称性1、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，每个圆都有无数条对称轴2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心知识点六：图形的旋转由一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点 都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转．这个固定的点叫做旋转中心．（1）旋转的三要素旋转中心、旋转方向、旋转角度（2）图形旋转的性质①图形经过旋转所得的图形和原图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等；③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．知识点七：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．垂径定理的逆定理：定理1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.总结： 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.CD 是直径,CD ⊥AB, AM=BM,⌒AC =⌒BC ,⌒AD =⌒BD .知识点七：圆心角及圆心角定理圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.知识点八：圆周角及圆心角定理圆周角：顶点在圆上，两边都和角相交的角.注：同一条弦所对的圆周角有2个圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半.推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角●O A B C D M └推论2：90°的圆周角所对的弦是直径推论3：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.知识点九：圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．定理一：圆内接四边形的对角互补．定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）．判定定理：（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．知识点十：正多边形各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形．任何正多边形都有一个外接圆．性质：（1）正n边形的内角度数的和为：，正n边形每个内角的度数为：；（2）任意正n边形的外角度数的和都为360°，正n边形每个外角的度数为；（3）正多边形是对称图形．当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．知识点十一：弧长及扇形的面积1. 弧长公式半径为R的圆，周长公式为C=2πR半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长为：l=2. 扇形面积公式半径为R的圆，面积公式为S=πR2扇形半径为R，圆心角为n°，扇形弧长为l，扇形面积为S，则：S= =【知识应用】（例题）例1.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。

第三章 《圆的基本性质》的知识点及典型例题1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。

3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角都 ；且等于它所对的 一半。

圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为6、弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l =7、扇形面积公式1：半径为R ，圆心角为n °的扇形面积为 。

扇形面积公式2：半径为R ，弧长为l 的扇形面积为8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的9、圆锥的母线长l ，高h ，底面圆半径r 满足关系式10、已知圆锥的底面圆半径r 和母线长l ，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为练习一、选择题1、下列命题中：① 任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④ 平分弦的直径垂直于弦；⑤ 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。

正确的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=30°，AC=2a ，BC=b ，以AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（ ）A. 2πaB. πabC. 3πa2+πabD. πa （2a+b ）4、如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）A. 42cmB. 35C. 26D. 23PA OB stOs Ot Os tOstA ．B ．C ．D ．AC第4题第3题GED A CF O B5、如图所示，长方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于E 点。

《圆》知识点及练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

初中数学圆的基本性质与应用知识点说起初中数学里的圆，那可真是让我又爱又恨。

圆这玩意儿，看起来简单，其实里面的门道可多着呢！先来说说圆的定义吧。

圆就是在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。

这定义听起来是不是有点抽象？别急，让我给您细细道来。

比如说，您拿根绳子，一头拴在一个固定的点上，另一头绑上一支笔，然后让笔绕着那个点转一圈，这画出来的图形就是个圆啦！想象一下，您就是那个拿着笔的小画家，随心所欲地画出一个个完美的圆。

是不是有点意思？圆有好多好多的性质，其中最重要的就是半径、直径和圆心。

半径就是从圆心到圆上任意一点的距离，直径呢，就是通过圆心并且两端都在圆上的线段，而且直径是半径的两倍哟！这就好像一个圆是个大家庭，圆心是家长，半径和直径就是家里的成员，关系紧密得很呢！还记得有一次上数学课，老师在黑板上画了一个大大的圆，然后问我们：“同学们，这个圆的半径是 5 厘米，那直径是多少呀？”大家都争着回答，我心里也默默算着，“直径是半径的两倍，那就是 10 厘米呗！”我自信地举起了手，老师点了我回答，我大声说：“老师，直径是 10 厘米！”老师笑着点了点头，那一刻，我心里别提多得意了。

再来说说圆的周长和面积。

圆的周长就是绕圆一周的长度，可以用公式 C ＝2πr 或者 C ＝πd 来计算，这里的π可是个神奇的数字，约等于 314。

面积呢，就是圆所占平面的大小，公式是 S ＝πr²。

有一回，我和小伙伴一起做数学作业，遇到了一道求圆面积的题。

题目里说一个圆的半径是 3 厘米，让我们算出它的面积。

我拿起笔，按照公式 S ＝πr²开始算，314×3×3 ＝ 2826 平方厘米。

小伙伴在旁边看着我算，眼睛一眨不眨的，等我算出答案，他一拍大腿：“哎呀，原来是这样算的，我刚才都算错啦！”圆还有很多有趣的定理和性质，比如垂径定理。

垂径定理说的是垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。

圆的基本性质与计算公式（知识点总结）圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。

本文将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、圆的基本概念和性质1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。

2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。

3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。

4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，直径等于半径的两倍。

5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊的弦。

6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于所对圆弧的一半。

7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角为90度。

二、圆的计算公式1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。

周长计算公式为C = 2πr，其中π取近似值3.14。

2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为A = πr²。

3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。

弧长的计算公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。

扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。

弓形面积的计算公式为A = 0.5r²(θ/360 - sinθ)，其中θ表示圆心角的度数。

三、应用举例1. 例题一：已知一个圆的半径为6cm，求其周长和面积。

解：周长C = 2πr = 2π × 6 ≈ 37.68 cm，面积A = πr² = π × 6² ≈ 113.04 cm²。

圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。

小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ 。

6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。

过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。

8、过 的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。

三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。

《圆》知识点归类及典例分析圆是初中数学中的一个重要图形，具有丰富的性质和广泛的应用。

以下将对圆的知识点进行归类，并结合典型例题进行分析，帮助大家更好地掌握这部分内容。

一、圆的基本概念1、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

3、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

4、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

5、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

二、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

推论 2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，点在圆外；当 d ＝ r 时，点在圆上；当 d ＜ r 时，点在圆内。

2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，直线与圆相离；当 d ＝ r 时，直线与圆相切；当 d ＜ r 时，直线与圆相交。

3、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为 R 和 r（R ＞ r），圆心距为 d，则有：当 d ＞ R ＋ r 时，两圆外离；当 d ＝ R ＋ r 时，两圆外切；当 R r ＜ d ＜ R ＋ r 时，两圆相交；当 d ＝ R r 时，两圆内切；当 d ＜ R r 时，两圆内含。

圆的基本性质第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。

小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外 ；点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。

6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。

过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。

8、过 的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。

三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。

BC教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： GE —ZBM 副校长/组长签字： 签字日期：【考纲说明】1、理解圆及其有关概念， 知道圆的对称性，了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。

2、了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角，会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。

3、本部分在中考中占5分左右。

【知识梳理】1.圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

4.直径：经过圆心的弦叫直径。

注：圆中有无数条直径5.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB ”.(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。

如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ⋂(用三个字母). 6.垂径定理及其推论:（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

这五条中可以“知二推三”7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

第三章《圆的基本性质》的知识点及典型例题知识框图1、过一点可作________ 个圆。

过两点可作 _________ 个圆，以这两点之间的线段的 __________________________ 任意点为圆心即可。

过三点可作_____________________ 个圆。

过四点可作_____________________ 个圆。

2、垂径定理：垂直于弦的直径____________________ ，并且平分__________________________________垂径定理的逆定理1:平分弦（______________ ）的直径垂直于弦，并且平分____________________垂径定理的逆定理2:平分弧的直径_____________________________3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

在题目中，若让你求AB,那么所求的是弧长4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的______________________圆周角定理推论1 :半圆（或直径）所对的圆周角是__________ ; 90°的圆周角所对的弦是________圆周角定理推论2 :在同圆或等圆中，________________ 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对________ 的也相等5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为 ________6、弧长公式：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长I的计算公式为1=_________________7、扇形面积公式1:半径为R,圆心角为n的扇形面积为 _________________ 。