2.4正态分布习题课

§2.4 正态分布一、选择题1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.93．随机变量ξ～N (2,10)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)的概率相等，则k 等于( )A ．1B ．10C ．2 D.104．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ25．设随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)＝( )A ．12＋p B ．1－p C ．1－2p D ．12－p 二、填空题6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________．7．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________.8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．三、解答题9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．10．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．参考答案1．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P (X ＞μ＋3σ或X ＜μ－3σ)＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】 D2．【解析】 ∵μ＝2，∴P (0<ξ<2)＝P (2<ξ<4)＝0.4，∴P (0<ξ<4)＝0.8.∴P (ξ<0)＝12(1－0.8)＝0.1，∴P (ξ<4)＝0.9. 【答案】 D3．【解析】 ∵区间(－∞，k )和(k ，＋∞)关于x ＝k 对称．∴x ＝k 为正态曲线的对称轴，∴k ＝2.【答案】 C4．【解析】 σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.【答案】 A5．【解析】 如图，P (ξ＞1)表示x 轴、x ＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x 轴、x ＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p ，所以P (－1＜ξ＜0)＝1－2p 2＝12－p .【答案】 D6．【解析】 c ＋1与c －1关于ξ＝2对称，(c ＋1)＋(c －1)2＝2，∴c ＝2. 【答案】 27．【解析】 P (X ＞2)＝12[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.5－0.4＝0.1. 【答案】 0.18．【解析】 依题意，P (60－20＜x ≤60＋20)＝0.9544，P (X ＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228， 故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】 2299．解 由已知得P (4＜X ≤6)＝0.682 6，P (3＜X ≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x ＝u ＝5对称∴P (3＜X ≤4)＋P (6＜X ≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.由对称性知P (3＜X ≤4)＝P (6＜X ≤7)．所以P (6＜X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9. 10．解 由题意得：μ＝70，σ＝10，P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.(1)P (ξ＜60)＝12－12P (60＜ξ≤80) ＝12－12×0.682 6 ＝0.158 7.(2)P (ξ≥90)＝12－12P (50＜ξ≤90) ＝12－12×0.954 4 ＝0.022 8.答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.11．解 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．设分数线为a ，那么分数超过a 的概率应为录取率，即P (ξ≥a )＝10 00025 000＝0.4， 因为ξ～N (500,1002)，所以P (ξ≥a )＝P (ξ－500100≥a －500100) ＝1－P (ξ－500100＜a －500100)＝1－Φ(a －500100)． 于是有Φ(a －500100)＝1－P (ξ≥a )＝1－0.4＝0.6. 从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故a －500100≈0.25，即a ≈525. 由此可以估计录取分数线约为525分.。

§2.4正态分布一、选择题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝18π2(10)8ex--，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案 B解析由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于() A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案 A解析∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(ξ≤4)＝0.84，∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案 B解析 由正态分布的概率公式，知P (－3<ξ≤3)＝0.682 6，P (－6<ξ≤6)＝0.954 4，故P (3<ξ≤6)＝P (－6<ξ≤6)－P (－3<ξ≤3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B. 4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4)A ．2 386B ．2 718C ．4 772D ．3 413考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 D解析 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6，∴P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3. ∴落在阴影部分的点的个数x 的估计值为x 10 000＝S 1，∴x ＝10 000×0.341 3＝3 413，故选D. 5．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )>P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )>P (Y ≥t )考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正确，D错．6．如果正态总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值是()A．0 B．1 C．2 D．3考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案 B解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 C解析 ∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41,60×0.954 4≈57,60×0.997 4≈60.8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )A ．1 500名B ．1 700名C ．4 500名D ．8 000名 考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 A解析 因为理科生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X ≤108)]＝12[1－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以0.158 7×9 450≈1 500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名．二、填空题9．已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为 ． 考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差答案 1解析 ∵X 服从正态分布N (a,4)，∴正态曲线关于直线x ＝a 对称，又P (X ≤1)＝0.5，故a ＝1.10．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4<X <8)＝0.3，则P (X <0)＝ .考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 0.2解析 概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，则总体落入区间(0,2]内的概率为 ．考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 0.477 2解析 正态分布密度函数是f (x )＝12πσ22()2e x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0， ∵f (x )的最大值为f (μ)＝12πσ＝12π，∴σ＝1， ∴P (0<X ≤2)＝12P (－2<X ≤2)＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2. 三、解答题12．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72<X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值；(2)求P (64＜X ≤72)．考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72<X ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (64<X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X >96)，所以P (X ≤64)＝12×(1－0.954 4) ＝12×0.045 6＝0.022 8. 所以P (X >64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72<X ≤88)] ＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7， 所以P (X >72)＝0.841 3，P (64<X ≤72)＝P (X >64)－P (X >72)＝0.135 9.13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X (分钟)服从正态分布N (5,1)；第二条路线较长不拥挤，X 服从正态分布N (6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用解 还有7分钟时：若选第一条路线，即X ～N (5,1)，能及时到达的概率P 1＝P (X ≤7)＝P (X ≤5)＋P (5<X ≤7)＝12＋12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)． 若选第二条路线，即X ～N (6,0.16)，能及时到达的概率P 2＝P (X ≤7)＝P (X ≤6)＋P (6<X ≤7)＝12＋12P (μ－2.5σ<X ≤μ＋2.5σ)． 因为P 1<P 2，所以应选第二条路线．同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．四、探究与拓展14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为 ．考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案683解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z≤212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．(附：150≈12.2)考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z≤212.2)＝P(200－12.2<Z≤200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2]的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。

正态分布课后练习题正态分布是概率论与统计学中非常重要的一个概念，它在现实生活中的应用非常广泛。

为了更好地掌握正态分布的相关知识，下面我将给大家提供一些正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。

练习题1：某公司的员工薪资服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元。

请计算以下几个问题：1. 员工薪资在4000元以上的概率是多少？2. 员工薪资在6000元以下的概率是多少？3. 员工薪资在4000元到6000元之间的概率是多少？练习题2：某学校的学生身高服从正态分布，均值为165厘米，标准差为5厘米。

请计算以下几个问题：1. 学生身高在170厘米以上的概率是多少？2. 学生身高在160厘米以下的概率是多少？3. 学生身高在160厘米到170厘米之间的概率是多少？练习题3：某超市的顾客购买的商品金额服从正态分布，均值为50元，标准差为10元。

请计算以下几个问题：1. 顾客购买的商品金额在60元以上的概率是多少？2. 顾客购买的商品金额在40元以下的概率是多少？3. 顾客购买的商品金额在40元到60元之间的概率是多少？练习题4：某地区的降雨量服从正态分布，均值为50毫米，标准差为10毫米。

请计算以下几个问题：1. 降雨量在60毫米以上的概率是多少？2. 降雨量在40毫米以下的概率是多少？3. 降雨量在40毫米到60毫米之间的概率是多少？以上是一些关于正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用正态分布的知识。

在解答这些问题时，可以利用标准正态分布表或者统计软件进行计算。

同时，在计算过程中要注意将问题转化为标准正态分布的问题，再进行计算，以便得到准确的结果。

正态分布在实际生活中有着广泛的应用，比如在质量控制中，我们可以利用正态分布来判断产品是否合格；在心理学研究中，我们可以利用正态分布来分析人群的智力水平分布；在金融领域，我们可以利用正态分布来分析股票价格的变动情况等等。

因此，掌握正态分布的相关知识对我们的学习和工作都具有重要意义。

§2.4 正态分布1．已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.82．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数3．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]4．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9775．以φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)B ．φ(1)－φ(－1)C ．φ⎝⎛⎭⎫1－μσD ．2φ(μ＋σ)6．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ27．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．8．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．9．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．11．设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，求c的值．12．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？参考答案1．【解析】 由正态分布曲线的性质知P (0≤ξ≤2)＝0.4，∴P (－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P (ξ>2)＝12(1－0.8)＝0.1，故选A.【答案】 A2．【解析】 由于ξ的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2.∴k ＝2.【答案】 A3．【解析】 由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，60×0.9974≈60人．【答案】 C4．【解析】 ∵P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023，故P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝0.954.【答案】 C5．【解析】 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝φ(1)－φ(－1)． 【答案】 B6．【解析】 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A.【答案】 A7．【解析】 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.【答案】 18．【解析】 ∵μ＝1，∴正态曲线关于直线x ＝1对称．∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．【答案】 0.89．【解析】 正态总体N (25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．【答案】 (24.94,25.06)10．解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝12π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142π232x e ，x ∈(－∞，＋∞)．11．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①ξ～N (2,9)，②P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)． 解答本题可利用正态曲线的对称性来求解．解 由ξ～N (2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)，又P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，∴c ＝2.[点评] 解答此类问题要注意以下知识的应用：(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1；(2)正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等．(3)P (x <a )＝1－P (x ≥a )P (x <μ－a )＝P (x ≥μ＋a )若b <μ，则P (x <b )＝1－P (μ－b <x ≤μ＋b )2. 12．解 设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)． 因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．。

第二章 随机变量及其分布2.4 正态分布A 级　基础巩固一、选择题1．设随机变量X ～N (1，22)，则D ＝( ) (12X )A ．4B ．2 C. D ．1 12解析：因为X ～N (1，22)，所以D (X )＝4.所以D ＝D (X )＝1. (12X )14答案：D2．设两个正态分布N (μ1，σ)(σ1＞0)和N (μ2，σ)(σ2＞0)的密度212函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”， σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.答案：A3．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.135 9＝13.59%.0.954 4－0.682 62答案：B4．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝·e －，X 在区间(－12πx 222，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p 1，p 2则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1＞p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2.答案：C5．已知某批材料的个体强度X 服从正态分布N (200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )A ．0.997 3B ．0.682 6C ．0.841 3D ．0.815 9解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218， 由P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，答案应选B.答案：B二、填空题6．设X ～N ，则P (－1＜X ＜1)的值为________． (0，14)解析：由题意可知，μ＝0，σ＝，故P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝12P (－1＜X ＜1)＝0.954 4.答案：0.954 47．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x ＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x ＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.答案：18．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有________个．解析：因为P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数可能为1 000×(1－0.997 4)＝2.6≈3(个)．答案：3三、解答题9．设X ～N (1，22)，试求：(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)．解：因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2)＝0.682 6.(2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)，所以P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)]＝P (1－4＜1212X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)]＝P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤112＋2)]＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)]＝(0.954 4－12120.682 6)＝0.135 9.10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，试求：(1)ξ在(0，2]内取值的概率；(2)ξ在(2，＋∞)内取值的概率；(3)ξ在(0，＋∞)内取值的概率．解：(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，正态分布图象的对称轴为x ＝1，因为ξ在(0，1]内取值的概率为0.4，所以随机变量ξ在(1，2]内取值的概率等于ξ在(0，1]内取值的概率，也为0.4，即随机变量ξ在(0，2]内取值的概率为0.8.(2)又因正态分布图象的对称轴为x ＝1，得ξ在(1，＋∞)内取值的概率为0.5，结合随机变量ξ在(1，2]内取值的概率为0.4，可求得ξ在(2，＋∞)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.(3) ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.4＋0.5＝0.9.B 级　能力提升1．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．ΦD ．2Φ(μ＋σ) (1－μσ)解析：设η＝，则P (|ξ－μ|＜σ)＝P (|η|＜1)＝P (－1＜η＜1)|ξ－μ|σ＝Φ(1)－Φ(－1)．答案：B2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．解析：依题意，P (60－20＜X ≤60＋20)＝0.954 4，P (X ＞80)＝(112－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．答案：2293．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X ，且X ～N (110，202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．解：因为X ～N (110，202)，所以μ＝110，σ＝20.P (110－20＜X ≤110＋20)＝0.682 6.所以X ＞130的概率为×(1－0.682 6)＝0.158 7. 12所以X ≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.所以及格的人数为54×0.841 3≈45 (人)，130分以上的人数为54×0.158 7＝9 (人)．。

2.4 正态分布练习一、选择题1．设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ22．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝()．A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 53．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为()．A．13,4 B．13,8 C．7,8 D．7,164．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞C＋1)＝P(X＜C－1)，则C＝()．A．1 B．3 C．2 D．55．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为()．A．0.682 6 B．0.997 4 C．0.317 4 D．0.954 4二、填空题6．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝__________时达到最高点．7．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为__________．8．某班有50名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．三、解答题9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2.(1)求X在(0,4)内取值的概率；(2)求P(X＞4)．10．商场经营的某种包装的大米质量X服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)，任取一袋大米，质量在10 kg～10.2 kg的概率是多少？参考答案1答案：A 解析：根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.2答案：B 解析：P (X ＞4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7. 3答案：D 解析：由已知E (ξ)＝3，D (ξ)＝4，得E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝7，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝16.4答案：C 解析：∵X ～N (2,9)，∴P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜3－C )．又P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜C －1)，∴3－C ＝C －1.∴C ＝2.5答案：D 解析：∵X ～N (50,102)，μ＝50，σ＝10，∴P (30＜X ≤70)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.6答案：0.2 解析：∵P (X ＞0.2)＝0.5，∴P (X ≤0.2)＝0.5，即直线x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时，φμ，σ(x )达到最高点．7答案：Y ～N (2,62) 解析：由已知E (X )＝1，D (X )＝4，∴E (Y )＝3E (X )－1＝2，D (Y )＝9×4＝36＝62.∴Y ～N (2,62)．8答案：10 解析：考试的成绩ξ服从正态分布N (100,102)，∴考试的成绩ξ关于ξ＝100对称．∵P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (100≤ξ≤110)＝0.3.∴P (ξ＞110)＝0.2.∴该班数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10.9解：(1)由X ～N (2，σ2)，知对称轴x ＝2，画出示意图：∵P (0＜X ＜2)＝P (2＜X ＜4)，∴P (0＜X ＜4)＝2P (0＜X ＜2)＝2×0.2＝0.4.(2)P (X ＞4)＝12[1－P (0＜X ＜4)]＝12×(1－0.4)＝0.3. 10解：∵X ～N (10,0.12)，∴μ＝10，σ＝0.1.∴P (9.8＜X ≤10.2)＝P (10－2×0.1＜X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4.又正态曲线关于直线x ＝μ＝10对称，∴P(10＜X≤10.2)＝12P(9.8＜X≤10.2)＝0.477 2.∴质量在10 kg～10.2 kg的概率为0.477 2.。

1.已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，且P (0＜X ≤1)＝0.4，则且P (X ＞2)＝()．A.0.4 B.0.1 C.0.6 D.0.22.某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N （100，52），且P （ξ＜110）=0.96，则P （90＜ξ＜100）的值为（）A.0.49B.0.48C.0.47D.0.463.经统计，某市高三学生期末数学成绩X -N （85，σ2），且P （80＜X ＜90）=0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）A.0.35B.0.65C.0.7D.0.854.某校有1200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N （105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果量示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A.180B.240C.360D.4805.某住宅小区有1500名户，各户每月的用电量近似服从正态分布N （200，100），则月用电量在220度以上的户数估计约为（）（参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ＜X ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜X ≤μ+3σ）=0.9974）A.17B.23C.34D.466.已知随机变量X 服从正态分布N (a ,4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为________.7.某班有50名同学，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N (110，102)，已知P (100≤ξ≤110)＝0．34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．8.已知随机变量ξ，且ξ～N {μ，σ2），若P （﹣3＜ξ＜﹣1）＝P （3＜ξ＜5），则μ＝________9.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg )服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg 小于62.5kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________.(参考数据：P （μ-σ＜X ＜μ+σ）=0.683，P（μ-2σ＜X ＜μ+2σ）=0.954，P （μ-3σ＜X ＜μ+3σ）=0.997）10.某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N （μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2））给出正态分布的数据：P （μ-σ＜X ＜μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜X ＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．2.4 正态分布11.下列说法中正确的是设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；；．A. B. C. D.12.已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A.μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B.μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C.μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D.μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ313.设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），则函数f（x）=2x2-4x+ξ不存在零点的概率（）A. B. C. D.14.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），若P（1＜X＜5）=3P（X≥5），则P（X≤1）等于()A.0.2B.0.25C.0.3D.0.415.(1)若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=______．(2)7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有______种．(3)随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）=0.3，则P（ξ＜2）=______．(4)已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=______．16.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；若Z~，则，．。

【优化设计】2015-2016学年高中数学 2.4正态分布课后训练新人教A版选修2-3A组1.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1),则c等于()A.1B.2C.3D.4解析:区间(-∞,c-1)和(c+1,+∞)关于x=c对称,故x=c为正态曲线的对称轴,即c=2.答案:B2.设随机变量X服从正态分布N(3,σ2),若P(X>m)=a,则P(X>6-m)等于()A.aB.1-2aC.2aD.1-a解析:因为直线x=m与直线x=6-m关于直线x=3对称,所以P(X>6-m)=1-a.答案:D3.设随机变量X服从正态分布,且相应的概率密度函数为φμ,σ(x)=,则()A.μ=2,σ=3B.μ=3,σ=2C.μ=2,σ=D.μ=3,σ=解析:φμ,σ(x)=,∴σ=,μ=2.答案:C4.一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1 000,52),现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻,测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω,可以认为()A.甲、乙两箱电阻均可出厂B.甲、乙两箱电阻均不可出厂C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂解析:∵X~N(1 000,52),∴μ=1 000,σ=5,∴μ-3σ=1 000-3×5=985,μ+3σ=1 000+3×5=1 015.∵1 011∈(985,1 015),982∉(985,1 015),∴甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.答案:C5.设随机变量X~N(1,22),则D等于()A.4B.2C.D.1解析:因为X~N(1,22),所以D(X)=4,所以DD(X)=1.答案:D6.为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()A.997B.954C.819D.683解析:由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.答案:D7.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等,则这个正态总体的均值为.解析:正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x=1对称,所以正态总体的均值为1.答案:18.设随机变量X~N(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为.解析:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.又Y=3X-1,所以E(Y)=3E(X)-1=3μ-1=2,D(Y)=9D(X)=62.∴Y~N(2,62).答案:Y~N(2,62)9.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:(1)成绩不及格的学生占多少?(2)成绩在80~90分内的学生占多少?解:(1)设学生的得分情况为随机变量X,X~N(70,102),则μ=70,σ=10.在60~80分之间的学生所占的比例为P(70-10<X≤70+10)=0.682 6,所以不及格的学生所占的比例为×(1-0.682 6)=0.158 7=15.87%,即成绩不及格的学生占15.87%.(2)成绩在80~90分内的学生所占的比例为[P(70-2×10<X≤70+2×10)-P(70-10<X≤70+10)]=×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9=13.59%,即成绩在80~90分内的学生占13.59%.10.已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其密度函数图象如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式;(2)求此地农民工年均收入在8 000~8 500元之间的人数所占的百分比.解:设农民工年均收入X~N(μ,σ2),结合题图可知,μ=8 000,σ=500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为φμ,σ(x)==,x∈(-∞,+∞).(2)∵P(7 500<X≤8 500)=P(8 000-500<X≤8 000+500)=0.682 6.∴P(8 000<X≤8 500)=P(7 500<X≤8 500)=0.341 3=34.13%.即农民工年均收入在8 000~8 500元之间的人数所占的百分比为34.13%.B组1.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数所在的区间应是()A.(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.∴考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]内的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于共有60人参加考试,故成绩位于上述三个区间内的人数分别是60×0.682 6≈41,60×0.954 4≈57,60×0.9974≈60.答案:C2.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X≤-1.96)=0.025,则P(|X|<1.96)等于()A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975解析:由随机变量X服从正态分布N(0,1),得P(X<1.96)=1-P(X≤-1.96).所以P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96)=P(X<1.96)-P(X≤-1.96)=1-2P(X≤-1.96)=1-2×0.025=0.950.答案:C3.已知X~N(4,σ2),且P(2<X<6)=0.682 6,则σ=,P(|X-2|<4)=.解析:∵X~N(4,σ2),且P(2<X<6)=0.682 6,∴μ=4.结合3σ原则可知∴σ=2.∴P(|X-2|<4)=P(-2<X<6)=P(-2<X<2)+P(2<X<6)=[P(-2<X<10)-P(2<X<6)]+P(2<X<6)=P(-2<X<10)+P(2<X<6)=0.84.答案:20.844.据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合评分X服从正态分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的综合评分为80分,则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第名.解析:依题意,P(60-20<X≤60+20)=0.954 4,P(X>80)=(1-0.954 4)=0.022 8,故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8=228.所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名.答案:2295.某建筑工地所需要的钢筋的长度X~N(8,22),质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于2米,这时,他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢,还是停下来检修切割机?解:∵X~N(8,22),∴μ=8,σ=2.而2∉(μ-3σ,μ+3σ),所以应让钢筋工停下来检修切割机.6.一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下(单位:mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布,求Y的正态分布密度函数.解:依题意得μ=(10.2+10.1+10+9.8+9.9+10.3+9.7+10+9.9+10.1)=10.σ2=[(10.2-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.3-10)2+(9.7-10)2+(10-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2]=0.03.即μ=10,σ2=0.03.所以Y的正态分布密度函数为φμ,σ(x)=.7.某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?解:对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ=8,σ=3,P(X>5)=+P(5<X≤11)=.对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ=7,σ=1,P(X>5)=.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.。

2.4正态分布作业一、选择题：1.设随机变量),(~2σμξN ，且()()P c P c ξξ=>≤，则c 的值为（ ）(A)0 (B)μ (C)μ- (D)σ2.某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示曲线可得下列说法中正确的一个是（ ） (A)甲科总体的标准差最小 (B)乙科总体的标准差及平均数都居中 (C)丙科总体的平均数最小 (D)甲、乙、丙的总体的平均数不相同 3.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ） A ．0.16 B．0.32 C ．0.68 D.4、正态总体的概率密度函数为()()28x f x x R -=∈，则总体的平均数和标准差分别是（ ）A、0和8 B 、0和4 C 、0和2 D 、05、设随机变量X ～N （2，2），则D （12X ）的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．0.5 D.46、已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D.不确定7正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p 的大小关系为（ ）A ．12p p <B ．12p p >C ．12p p = D.不确定8.若X ～N （μ，2σ），则P （X ＝a ）的值为 （a R ∈） （ ） A ．0 B ．－0.5 C ．0.5 D.0.68269.已知ξ~N （2,δμ），P{ξ≤δμk +}=0.5，则k 为 。

10. 已知机变量X 服从正态分布2(0)N σ，且(20)P X -≤≤0.4=,则(2)P X >= ．11.一项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ． 12. 已知机变量X 服从正态分布(01)N ，，则P （X<0）= 2<X<2)= X 服从正态分布(01)N ，，若P （X<1）=0.8413,则 1<X<0）=ξ服从正态分布(60)N ，64，分别求ξ在以下区间内的概率： （1）P （60<ξ<68）(2)P(68<ξ<76)(3)P(44<ξ<60)(4)P(60<ξ<84)15、某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差.16、某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率是152，既刮风又下雨的概率是101，设A=“刮风”，B=“下雨”，求：)(),(B A P A B P17、粒子A 位于数轴0=x 处，粒子B 位于2=x 处，这两棵粒子每隔一秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率是32，向左移动的概率是31 . （1）求3秒后，粒子A 在点1=x 处的概率；（2）求2秒后，粒子A 、B 同时在2=x 处的概率.18、一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。

2.4　正态分布课时过关·能力提升1.若f(x)=,x∈R,则f(x)( )A.有最大值,也有最小值B.有最大值,但无最小值C.无最大值,也无最小值D.有最小值,但无最大值解析:当x=1时,f(x)有最大值f(1)=无最小值.答案:B2.设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数曲线如图所示,则有( )A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2解析:μ是平均数,σ2是方差,μ是密度函数图象的对称轴与x轴交点的位置,所以μ1<μ2.此图象越“瘦高”,数据越集中,σ2越小,所以σ1<σ2,选A.答案:A3.若随机变量X~N(μ,σ2),则Y=aX+b服从( )A.N(aμ,σ2)B.N(0,1)C.ND.N(aμ+b,a2σ2)解析:∵X~N(μ,σ2),∴E(X)=μ,D(X)=σ2.∴E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2.故Y~N(aμ+b,a2σ2).答案:D4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.683,则P(X>4)等于( )A.0.158 8B.0.158 7C.0.158 6D.0.158 5解析:由正态曲线的性质知,其图象关于x=3对称,所以P(X>4)=0.5-P(2≤X≤4)=0.5-0.683=0.158 5.答案:D5.把一正态曲线C1沿着x轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线C2,下列说法不正确的是( )A.曲线C2仍是正态曲线B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2D.以曲线C2为正态曲线的总体的数学期望比以曲线C1为正态曲线的总体的数学期望大2解析:曲线C1向右平移2个单位后,曲线形状没有改变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标不变,从而σ不变,所以方差不变.但图象平移后对称轴变了,即μ变了,数学期望比原来的数学期望大2.答案:C6.已知正态总体落在区间(0.2,+∞)内的概率是0.5,则相应的正态曲线f(x)在x= 时,达到最高点.解析:由正态曲线关于直线x=μ对称和在区间(0.2,+∞)上的概率为0.5,得μ=0.2.答案:0.27.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为 .解析:因为ξ的概率密度函数曲线关于直线x=1对称,所以ξ在(0,1)内取值的概率与ξ在(1,2)内取值的概率相等,故ξ在(0,2)内取值的概率为0.4×2=0.8.答案:0.8★8.在一次数学考试中,某班学生的分数ξ~N(110,202),这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数.分析要求及格的人数,就要求出P(ξ≥90),而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解.解:因为ξ~N(110,202),所以μ=110,σ=20,P(110-20≤ξ≤110+20)=0.683.所以ξ>130的概率为(1-0.683)=0.158 5,ξ≥90的概率为0.683+0.158 5=0.841 5.所以及格的人数为54×0.841 5≈45,130分以上的人数为54×0.158 5≈9.。

实用文档 2.4 正态分布一、选择题1、已知随机变量ξ服从正态分布N (4，σ2)，则P (ξ>4)等于( )A ．15B ．14C ．13D ．122、已知X ～N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43、正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为()A ．1B ．－1C ．0D ．不确定4、下列函数是正态分布密度函数的是( )A ．f (x )＝12πσe (x －μ)22σ2，μ、σ(σ>0)都是实数B ．f (x )＝2π2π·e－x 22C ．f (x )＝122πe (x －1)2σD．f(x)＝12πex225、设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18π·e－(x－10)28，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10二、填空题6、工人生产的零件的半径ξ在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)．在正常情况下，取出1 000个这样的零件，半径不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个范围的零件约有________个．7、在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，已知ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．8、如图所示是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的______、______、______.实用文档三、解答题9、某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90分之间的学生占多少？10、若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.11、在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？实用文档实用文档12、如图是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．以下是答案一、选择题1、D [由正态分布图象可知，μ＝4是该图象的对称轴，∴P (ξ<4)＝P (ξ>4)＝12.]2、A [∵X ～N (0，σ2)，∴μ＝0，实用文档又P (－2≤X ≤0)＝0.4，∴P (X >2)＝12(1－0.4×2)＝0.1.]3、C [均值即为其对称轴，∴μ＝0.]4、B5、B [f (x )可以改写成f (x )＝12π×4e －(x －10)22×4，对照可知μ＝10，σ＝2.]二、填空题6、3解析 半径属于(μ－3σ，μ＋3σ)的零件个数约有0.997 4×1 000＝997.4，∴不属于这个范围的零件个数约有3个．7、0.8解析 正态曲线关于x ＝1对称，∴ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4.8、① ② ③实用文档解析 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．三、解答题9、解 (1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10.分析成绩在60～80之间的学生所的比为P (70－10<X ≤70＋10)＝0.682 6，所以成绩不及格的学生的比为：12(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占15.87%. (2)成绩在80～90之间的学生的比为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)－P (60<x ≤80)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 即成绩在80～90之间的学生占13.59%.10、12解析 由于随机变量X ～N (μ，σ2)，其概率密度函数关于x ＝μ对称，故P (x ≤μ)＝12.11、解 ∵ξ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．12、解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，1 2π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝12πe－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.实用文档。

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2。

4 正态分布1.了解正态分布的意义。

2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质.（重点)3。

了解正态曲线的意义和性质。

4.会利用φ（x)，F(x）的意义求正态总体小于X的概率.（难点)[基础·初探]教材整理1 正态曲线及正态分布阅读教材P65~P66，完成下列问题.1。

正态变量的概率密度函数正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝错误!e－错误!,(x∈R）。

其中μ，σ是参数,且σ＞0,－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.2.正态分布的记法期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记做N(μ,σ2）。

3.正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.4.标准正态分布数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布,记做N(0,1).判断（正确的打“√”，错误的打“×”)(1）正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差。

( )（2）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量。

( )(3）正态曲线是一条钟形曲线.( )(4）离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述.（)【解析】（1）×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计,而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,用样本的标准差去估计.（2)√因为离散型随机变量最多取可列个不同值.而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值.（3）√由正态分布曲线的形状可知该说法正确.(4）×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线（函数）描述。

一、基础过关1．设某长度变量X ～N (4,16)，则下列结论正确的是( )A ．E (X )＝D (X )＝D (X )B ．D (X )＝D (X )C ．E (X )＝D (X )D ．E (X )＝D (X )答案 C2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ<0)等于( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84答案 A解析 P (ξ≤4)＝0.84，故P (ξ>4)＝0.16.P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.16.3．设随机变量X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为f (x )＝16πe －x 2－4x ＋46，则( ) A ．μ＝2，σ＝3B ．μ＝3，σ＝2C ．μ＝2，σ＝ 3D ．μ＝3，σ＝3答案 C解析 由f (x )＝12π×3e －(x －2)22(3)2，得μ＝2，σ＝ 3. 4．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD. 2π答案 C 解析 由正态曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴D (X )＝σ2＝2π. 5．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ>3)＝P (ξ<1)成立，则μ＝______.答案 2解析 ∵ξ～N (μ，σ2)，故概率密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ<1)＝P (ξ>3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2.6.对于正态分布N (0,1)的概率密度函数f (x )＝12π·e －x 22，下列说法正确的有________． ①f (x )为偶函数；②f (x )的最大值是12π； ③f (x )在x >0时是单调递减函数，在x ≤0时是单调递增函数；④f (x )关于直线x ＝1对称．答案 ①②③7．已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π. (1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm 和88 mm)间的零件大约占总数的百分比． 解 (1)∵正态分布曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．∴正态分布关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处达到峰值，∴μ＝80.又12πσ＝182π，∴σ＝8，故正态分布的概率密度曲线的函数解析式为f (x )＝182πe －(x －80)2128. (2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.∴零件的尺寸X 位于区间(72,88)内的概率为0.683.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm 和88 mm)间的零件大约占总数的68.3%.二、能力提升8．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90,110) B．(95,125)C．(100,120) D．(105,115)答案C解析因为X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115)，(100,120)，(95,125)上的概率分别应是0.683,0.954,0.997.由于一共有60人参加考试，故成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.683≈41(人)，60×0.954≈57(人)，60×0.997≈60(人)，故选C.9．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于() A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975答案C解析由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.10．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．答案683解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683，从而属于正常情况的人数为1 000×0.683≈683.11.一台机床生产一种尺寸为10 mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求η的正态分布密度函数．解 依题意得μ＝110(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10. σ2＝110[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03.即μ＝10，σ2＝0.03.所以η的正态分布概率密度曲线函数为f (x )＝106π·e －50(x －10)23. 12.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占总人数的比例；(2)成绩在80～90内的学生占总人数的比例．解 (1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比例为P (70－10<X <70＋10)＝0.683，所以不及格的学生的比例为12×(1－0.683)＝0.158 5， 即成绩不及格的学生占总人数的15.85%.(2)成绩在80～90内的学生的比例为12[P (70－2×10<X <70＋2×10)]－12[P (70－10<X <70＋10)] ＝12(0.954－0.683)＝0.135 5. 即成绩在80～90内的学生占总人数的比例为13.55%.三、探究与拓展13.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数小于900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X <900)＝0.954. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X <900)＝P (X ≤800)＋P (800<X <900)＝12＋12P (700<X <900)＝0.977. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y ，则相应的运营成本为1 600x ＋2 400y .依题意，x ，y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0，由(1)知，p 0＝P (X <900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.。