2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数学试卷

2018-2019学年北京市东城区第二学期期末数学统一练习-2 OP初二数学试卷2019.7、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是2.用配方法解一元二次方程x2-6x+1=0,此方程可化为的正确形式是 5.如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,且ADwCD,过点。

作OM^AC,交AD 于点M.如果△ CDM 的周长为8,那么平行四边形 ABCD 的周长是A. 8B. 12C. 16D. 20C. ,,D.A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三个内角是否都为直角6.如图，已知正比例函数 y 1=kx 与一次函数y 2=-x+b 的图象交于点 P.下面有四个结论:其中正确的是A.B.，3.有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前 学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这A.平均数B.中位数C.众数D.方差4.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形是否为矩形,位同学拟定的方案，其中正确的是卜面是某合作学习小组的 4①k>0； ②b>0；③当 x>0时，y1>0 ；④当 x<-2时，kx>-x+b.yxA. (x+3)2=10B. (x+3)2=8C. (x-3)2=10D. (x-3)2=810位同学进入决赛.某同 19位同学成绩的1A.①③ C.③④7.如图，数轴上点分别对应，，过点 作 y 2=- x+b为圆心，长为半径画弧，交B.②③ D.①④y 1 =kx于点 ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点 ，则点 对应的数是A.、. 2B. 一C. .2 1D. .5 18.如果规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[2.1]=2 , [-2.1]=-3 ,那么函数y=x-[x] (-3 WxW 3)的图象为二.填空题(本题共16分，每小题2分)9 .函数y= kx(kw 咂图象上有两个点 A 1(x 1, y 1)，A 2(x 2, y 2),当x 1〈x 2时，y 1>y 2,写出一个 满足条件的函数解析式 .10 .如果a 是一元二次方程 x 2-3x-5=0的一个根，那么代数式 8-a 2+3a=. 11 .若一元二次方程x 2-2x+m=0有两个相同的实数根，则实数 m=.12 .如图，已知菱形 的一个内角 线 ， 相交十点，点 在 上，且则 _________________ ° . 13 .如图，在平面直角坐标系中，点 A, B 的坐标分别为 与线段AB 有公共点，则n 的值可以为 ________ .(写出一 ,对角C(1,3), ( n, 3),若直线 y=2x一个即可)314.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且A (4,0), B (6,2),则直线AC的解析式为15.如图，每个小正方形的边长为，在^ ABC中点A, B, C均在格点上，点D为AB的中点,线段CD的长为16.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD = 2, AE=3,则正方形ODCE的边长等于.解答题(本题共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题每题7分) 17.下面是小明设计的作矩形ABCD”的尺规作图过程:已知：在RtzXABC 中，/ABC =90口.求作：矩形ABCD.作法：如图，1以点B为圆心，AC长为半彳5作弧；2以点C为圆心，AB长为半彳5作弧；3.两弧交于点D, A,D在BC同侧；4连接AD,CD.所以四边形ABCD是矩形.根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明：连接BD.,: AB =,AC =,BC = BC,:.AABC^ ADCB.ABC =/DCB =90..AB//CD.四边形ABCD是平行四边形.ABC = 90 ,二四边形ABCD是矩形.()(填推理的依据).18.解一元二次方程：2x2-5x+1=0.19.如图，在？ABCD中，点E, F分别在边CB, AD的延长线上，且BE=DF , EF分别与AB, CD交于点G,H.求证：AG=CH.20.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+3)x+3=0总有两个不相等的实数根，(1)求m的取值范围；(2)若此方程的两根均为正整数，求正整数m的值.21.列方程解应用题：某地2016年为做好精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元.从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？22.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE, BA交于点F,连接AC, DF .(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分/ BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.B C23.甲、乙两位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图(1)请填写下表命中9环以上的次数(包平均数力差中位数^9环)甲7 1.2 1乙 5.4 7.5(2)请你从平均数和方差相结合对甲、乙两名运动员6次射靶成绩进行分析：(3)教练根据两人的成绩最后选择乙去参加比赛，你能不能说出教练让乙去比赛的理由？(至少说出两条理由)24.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x千克.(1)当工＞1时，请分别直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y (元)与x (千克)之间的函数关系式；(2)在(1)的条件下，小明选择哪家快递公司更省钱？25.如图，直线11 ： y = 2x+1与直线I： y = mx + 4相交于点P (1, b).(1)求b, m的值；(2)垂直于y轴的直线y = a与直线11，12分别相交于C,D,若线段CD长为2,求a的值.一、，、，人、升，一一，2 一…26 .有这样一个问题：探究函数 y=——-3的图象与性质.x -12 -小凫根据学习函数的经验，对函数 y= ------ 3的图象与性质进行了探究.x -1下面是小亮的探究过程，请补充完整：点，画出该函数的图象;-2-34-5,-6-7 -_8(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线 x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交.27 .在正方形 ABCD 中，点E 是射线AC 上一点，点F 是正方形 ABCD 外角平分线 CM 上一点，且 CF=AE,连接 BE, EF.(1)如图1,当E 是线段AC 的中点时，直接写出 BE 与EF 的数量关系； (2)当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断(1)x … -3 -2 -11 23 223 4 5…711m-175y…—3-4-5-7-2——…23 2一 一、”. 2 一 ・.、一 ,一一(1)函数y=———3中自变量x 的取值范围是x 一 1(2)下表是y 与x 的几组对应值.求的值；(3)在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点, 根据描出的・5 -4 -3 -2二 O10 15中的结论是否成立，并证明你的结(3)当点B, E, F 在一条直线上时，求 上CBE 的度数.(直接写出结果即可)28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O, 四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形.当原点正方形上存在点Q,满足PQ <1时，称点P为原点正方形的友好点.(1)当原点正方形边长为4时，①在点P i (0,0), P2 (-1,1), P3 (3,2)中，原点正方形的友好点是 ;②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；(2)一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A, B,若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围.(3)。

东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测 初二数学 2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）A ．73.210⨯ B ．83.210⨯ C ．73.210-⨯ D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是 A ．1a ≠B ．0a ≠C ．1a ≠且0a ≠D ．一切实数3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235325x x x +=B ．C ．D ． 33()ab a b =4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A B C D 5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误．．的是（ ） A ．4446+-= B ．004446++=C ．34446++=D ．14446-÷+=6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ） A.23B. 32C.34 D.33x7．已知2,3m n a a ==，则32m n a +的值是（ ） A ．6B ．24C ．36D ．728.如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一 个条件，那么在①AB =AE ， ②BC =ED ， ③∠C =∠D ， ④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．810. 定义运算“※”：,,aa b a bb b a b b aa ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※ ．若2x =5※，则x 的值为（ ）A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11. 分解因式：228ax a -= ． 12. 多项式（mx +8）（2-3x )展开后不含x 项，则m = ．13．当x 的值为 时，分式242x x --的值为0.14. 课本上有这样一道例题：请你思考只要CD 垂直平分AB ，那么△ABC 就是等腰三角形的依据是____________. 15． 如图，在△ABC 中，点D 是AB 边的中点，过点D 作边AB 的垂线l ，E 是l 上任意一点，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长最小值为__________. 16． 已知在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠A =36º，在△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不．包括．．△ABC ），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是 ___________； （2）若∠A ≠36º， 当∠A =___________时，在等腰△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC ）.（写出两个答案即可） 三、解答题（本题共12小题，共56分）17．(本小题4分)计算：()-219+2-π-2⎛⎫ ⎪⎝⎭．18. （本小题6分）计算：(1) -； (2) )3)(3()2(2-+--x x x ．19. (本小题3分)在三个整式xy x 22+，xy y 22+，2x 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20. （本小题4分） 解分式方程：271326x x x +=++21． （本小题4分）先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．yx22. （本小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3）， B （1，0）， C （1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ；（2）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标.23. （本小题5分）如图，点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量)，点A ,D 在l 异侧，测得 AB ＝DE ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ． (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE =10m ，BF =3m ，求FC 的长度．24.（本小题5分）列方程解应用题：B ACDEFlACB港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.25. （本小题5分）如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明.26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+. 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+.（一）错误!未找到引用源。

北京市东城区2018-2019学年上学期初中八年级期末考试数学试卷本试卷共100分，考试时长100分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是2. 下列计算正确的是A. x+x 2=x 3B. x 2·x 3=x 6C. （x 3）2=x 6D. x 9÷x 3=x 33. 下列式子为最简二次根式的是A.3B.4C.8D.214. 如果2-x 有意义，那么x 的取值范围是A. x>2B. x≥2C. x≤2D. x<25. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6. 如图，所示的图形面积由以下哪个公式表示 A. a 2-b 2=a （a-b ）+b （a-b ）B. （a-b ）2=a 2-2ab+b 2C. （a+b ）2=a 2+2ab+b 2D. a 2-b 2=（a-b ）（a+b ）7. 若分式112--x x 的值为0，则x 的值为A. x=1B. x=-1C. x=±1D. x≠18. 若x-x 1=1，则x 2+21x的值是 A. 3B. 2C. 1D. 49. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，连接OC ，OB ，则图中全等的三角形有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对10. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则这个最小值为A. 3B. 23C. 26D.6二、填空题（本题共14分，11-15题每小题2分，16题4分）11. 中国女药学家屠呦呦获2019年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为____米.12. 如图，AB=AC ，点E ，点D 分别在AC ，AB 上，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是______.（添加一个条件即可）13. 若x 2+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m 应为_______.14. 如图，Rt △ABC 的斜边AB 的中垂线MN 与AC 交于点M ，∠A=15°，BM=2，则△AMB 的面积为______.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有_______个. 16. 观察下列关于自然数的等式： 32-4×12=5 ①52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示）______________________.三、解答题（本题共56分）解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程。

2018/2019学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷八年级数学（满分：100分考试时间：100分钟）注意事项：1．选择题请用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．2．非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．下列“表情”中属于轴对称图案的是A. B. C. D.2．下列说法正确的是A ．两个等边三角形一定全等B ．形状相同的两个三角形全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．全等三角形的面积一定相等3．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是 A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，64．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为△ABC 的高，若∠BAC ＝40°，则∠CBD 的度数是 A ．70°B ．40°C ．20°D ．30°5．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A 的面积是 A ．16 B ．32 C ．34 D ．64925A（第5题）（第4题）ABCD6．到三角形三条边距离相等的点是A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条边上高的交点C ．三条边上中线的交点D ．三个内角平分线的交点7．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A ′C ′B ′＝∠ACB 的依据是A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS8．如图，长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A ′，点B 落在点B ′处．若∠2＝40°，则∠1的度数为 A ．115°B ．120°C ．130°D ．140°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卷．相应位置．．．．上） 9．等边三角形有▲条对称轴．10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则AC ＝▲．11．已知△ABC ≌△DEF ，且△DEF 的周长为12．若AB ＝5，BC ＝4，则AC ＝▲． 12．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为▲． 13．在等腰△ABC 中，AC ＝AB ，∠A ＝70°，则∠B ＝▲°．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝▲.15．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为△ABC 的中线，∠B ＝72°，则∠DAC ＝▲°． 16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，D 是斜边AB 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，DE ＝2，则AB ＝▲.（第7题） AC DBB ′A ′C ′D ′（第8题）1 2BB ′ CA ′ DEAF（第15题）DACBDACB（第14题）（第16题）ACBDE17．如图，△DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形.若在图中再画1个格点△ABC （不包括△DEF ），使△ABC ≌△DEF ，这样的格点三角形能画▲个.18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝4，M 在BC 上，且BM ＝1，N 是AC上一动点，则BN ＋MN 的最小值为▲．三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题．．卷．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（6分）已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝AE ．求证：AB ＝AC ．20．（5分）如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个梯形（两底分别为a 、b ，高为a ＋b ），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请将计算过程补充完整． 解：S 梯形＝12（上底＋下底）×高＝12（a ＋b ）•（a ＋b ），即S 梯形＝12（▲）．①S 梯形＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ（罗马数字表式相应图形的面积） ＝▲＋▲＋▲．即S 梯形＝12（▲）．②由①、②，得a 2＋b 2＝c 2．DE C（第19题）A（第20题）cⅢcⅡⅠb ba a（第17题）EDFMNABC（第18题）21.（6分）如图，育苗棚的顶部是长方形，求育苗棚顶部薄膜ABDE 的面积．22．（6分）已知：如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：BC ∥EF ．23．（6分）如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上任意一点（与点B 、C 不重合），以AD 为一边向右侧作等边△ADE ，连接CE ．求证：△CAE ≌△BAD ．FECBA（第22题）DCEA（第23题）B（第21题）E24．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13．求四边形ABCD 的面积．25．（8分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．E 是AB 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ．若CD ＝ED ，求∠BAC ，∠B 的度数．26．（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 为AC 的中点．（1）求证：MB ＝MD ．（2）若∠BAD ＝100°，求∠BMD 的度数．M（第26题）CABD （第24题）CBDA（第25题）BE DC27．（12分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿着某条直线折叠．（1）若该直线经过点A ，且折叠后点C 落在AB 边上，请用直尺和圆规在图①中作出该直线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若折叠后点A 与点B 重合．①请用直尺和圆规在图②中作出该直线（不写作法，保留作图痕迹）； ②若图②中所画直线与AC 交于点P ，且AB ＝8，AP ＝5，求CP 的长．（第27题）AC图①AC图②2018/2019学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷八年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计16分）二、填空题（每小题2分，共计20分）9．3 10．5 11．3 12．20 13．55 14．4.8 15．18 16．8 17．3 18．5三、解答题（本大题共9小题，共计64分） 19．（本题6分） 证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ,∠AED ＝∠C ．……………………………………………2分 ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ． …………………………………………………………4分 ∴∠B ＝∠C ． ………………………………………………………………5分 ∴AB ＝AC ．……………………………………………………………………6分20．（本题5分）解：S 梯形＝12（上底＋下底）•高＝12（a ＋b ）•（a ＋b ），即S 梯形＝12（a 2＋2ab ＋b 2）．①…………………………1分S 梯形＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ（罗马数字表式相应图形的面积） ＝12ab ＋12c 2＋12ab ．…………………………4分即S 梯形＝12（c 2＋2 ab ）．②……………………………5分由①、②，得a 2＋b 2＝c 2．21．（本题6分）解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，由勾股定理得：AB 2＝AC 2＋BC 2＝22＋1.52＝6.25，∴AB ＝2.5（m ）．…………3分∴S 四边形ABDE ＝2.5×20＝50（m 2）．……………………………………………5分 答：四边形ABDE 的面积是50m 2．……………………………………………6分 22．（本题6分）证明：∵AF ＝DC ，∴AF ＋FC ＝DC ＋FC ．即AC ＝DF ．………………………1分在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ．∴△ABC ≌△DEF (SAS )．…………………4分∴∠BCA ＝∠EFD ．……………………………………………5分 ∴BC ∥EF ．……………………………………………6分 23．（本题6分）证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AC ＝AB ，AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°．………………………………3分 ∴∠DAE －∠CAD ＝∠BAC －∠CAD ，即∠CAE ＝∠BAD ．………………4分 在△CAE 和△BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ．∴△CAE ≌△BAD (SAS )．………6分24．（本题7分）解：∵在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC ＝5．………………………2分在△ADC 中，AD ＝13，CD ＝12，AC ＝5． ∵122＋52＝132，即CD 2＋AC 2＝AD 2，∴△ADC 是直角三角形，且∠DCA ＝90°．……………………………………4分∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12AB •BC ＋12AC •CD ＝12×3×4＋12×5×12＝36．……7分25.（本题8分） 解：连接AD ．∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，CD ＝ED ， ∴点D 在∠BAC 的角平分线上．∴∠CAD ＝∠EAD ．……………………………………………………………………2分 ∵E 是AB 中点，DE ⊥AB ，∴DB ＝DA ．……………………………………………………………………4分 ∴∠DBA ＝∠DAB ．……………………………………………………………………6分 ∵∠DBA ＋∠CAB ＝90°， ∴3∠DBA ＝90°． ∴∠DBA ＝30°．∴∠B ＝30°，∠BAC ＝60°．…………………………………………………………8分 26.（本题8分）（1）证明：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，又∵M 为AC 的中点，∴MB ＝12AC ，MD ＝12AC ．………………………………4分∴MB ＝MD ．…………………………………………………………………………5分 （2）解：∵∠BAD ＝100°，∴∠BCD ＝360°－（∠ABC ＋∠ACB ）－∠BAD ＝80°，……………………………6分 ∵MB ＝MC ＝MD ，∴∠MBC ＝∠MCB ，∠MCD ＝∠MDC ．……………………………………………7分 ∴∠BMD ＝∠BMA ＋∠DMA ＝2∠BCA ＋2∠DCA ＝2∠ACB ＝2×80°＝160°．……8分27.（本题12分）解：（1）如图，直线AD 即为所求．…………………………………………………3分（2）①如图，直线MN 即为所求．……………………………………………………6分②由①中的作图得：AP ＝PB ．…………………………………………………7分 ∵∠C ＝90º，∴ △BCP 和△ACB 是直角三角形． 在Rt △ABC 中，∵AC 2＋CB 2＝AB 2，∴BC 2＝AB 2－AC 2．………………………………………8分 在Rt △PCB 中，∵PC 2＋CB 2＝PB 2，∴ BC 2＝PB 2－CP 2．………………………………………9分 ∴ AB 2－AC 2＝PB 2－CP 2． 设CP ＝x ，则AC ＝5＋x ，52－x 2＝82－(5＋x )2．……………………………………………………………11分 ∴ x ＝1.4．即CP 的长为1.4．…………………………12分.ACDBBCAPMN。

东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测 初二数学 2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）A ．73.210⨯ B ．83.210⨯ C ．73.210-⨯ D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是 A ．1a ≠B ．0a ≠C ．1a ≠且0a ≠D ．一切实数3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235325x x x +=B ．C ．D ． 33()ab a b =4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A B C D5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误．．的是（ ）A ．446+=B ．04446++=C ．46=D ．1446-=6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ） A.B. C.D. 23323433x7．已知，则的值是（ ）A ．6B ．24C ．36D ．728.如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一 个条件，那么在①AB =AE ， ②BC =ED ， ③∠C =∠D ， ④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 的长为()A ．2B ．4C ．6D ．810. 定义运算“※”：,,aa b a bb b a b b aa ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※ ．若2x =5※，则x 的值为（ ）A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11. 分解因式：228ax a -= ． 12. 多项式（mx +8）（2-3x )展开后不含x 项，则m = ．13．当x 的值为 时，分式242x x --的值为0.2,3m na a ==32m n a+14. 课本上有这样一道例题：请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是____________.15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为__________.16．已知在△ABC中，AB=AC．（1）若∠A=36º，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是___________；（2）若∠A≠36º，当∠A=___________时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC）.（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12小题，共56分）17．(本小题4分)()-2012-π-2⎛⎫⎪⎝⎭．18. （本小题6分）计算：(1)-；(2) )3)(3()2(2-+--xxx．19. (本小题3分)在三个整式xyx22+，xyy22+，2x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20.（本小题4分）yx 解分式方程：21． （本小题4分）先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22. （本小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3）， B （1，0）， C （1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ；（2）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标.23. （本小题5分）如图，点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量)，点A ,D 在l 异侧，测得 AB ＝DE ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ． (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE =10m ，BF =3m ，求FC 的长度．24.（本小题5分）列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通271326x x x +=++lACB后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.25. （本小题5分）如图，AE 是△ACD 的角平分线，B 在DA 延长线上，AE ∥BC ，F 为BC 中点，判断AE 与AF 的位置关系并证明.26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+. 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+.（一）还可以用以下方法化简：(二)（1)请用不同的方法化简.①参照（一）式得＝______________________________________________；②参照（二）式得＝_________________________________________；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择．．下面两个问题中的一个．．加以解决： 1.求.......1)+的值； 2.化简：. 352+352+352+12121...571351131-+++++++++n n27．（本小题6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC 边长为2，过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE 的长. （2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1.等边△ABC 边长为2，当P 为BA 的延长线上一点时,作PE ⊥CA 的延长线于点E ，Q 为边BC 上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D .请你在图（2）中补全图形并求DE 的长.2. 已知等边△ABC ，当P 为AB 的延长线上一点时,作PE ⊥射线AC 于点E ， Q 为（○1BC 边上；○2BC 的延长线上；○3CB 的延长线上）一点，且AP =CQ ，连接PQ 交直线AC 于点D ，能使得DE 的长度保持不变.(将答案的编号填在横线上)图（1） 图（2） （备用图）28. （本小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABO 为等边三角形，O 为坐标原点，点A 关于y 轴的对称点为D ，连接AD ，BD ，OD ，其中AD ，BD 分别交y 轴于点E ，P . （1）如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出BDO ∠的度数；（2）如图2，将△ABO 绕点O 旋转，且点A 始终在第二象限，此时AO 与y 轴正半轴夹角为α，60︒<α<90︒，依题意补全图形，并求出BDO ∠的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP ，PE ，PO 之间的数量关系.（直接写出结果）C B A C B A图1 图2东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测初二数学参考答案及评分标准 2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）二、 填空题（本题共6小题，11-15题每小题2分，16小题4分，共14分）11．2(2)(2)a x x+-；12．12；13．-2；14．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义； 15．13；16.（1）36°，108°；（2）°1807，90°，108°.三、 解答题（本题共12小题，共56分）17．解：原式=3+14-…………………………3分 =0 . …………………………4分18．解：（1）原式…………………………2分 =-2…………………………3分（2）原式=22449x x x -+-+ …………………………2分=413x -+. …………………………3分19. 解：22)2(x xy x ++---------------------------------------------1分 xy x 222+=-------------------------------------------------2分)(2y x x +=．----------------------------------------------3分或或 或 其他情况参照给分． 20. 解：去分母，得：4x +2(x +3)=7 . ……………………………………………………1分 化简，得：6x +6=7 . …………………………………………………2分解得：16x =. …………………………………………3分 检验：把16x =代入最简公分母，2（x +3）≠0.所以16x =是原分式方程的解.…………………………………………4分21. 解：原式=23(3)2(2)(+2)a a a a a --÷-- ……………………2分 =23(2)(+2)2(3)a a a a a --⨯-- =+23a a -. ……………………3分 当0a =时，+23a a -=2-3. ………………………4分注意：如a 取﹣2， 2，3没分.22．解：（1）图略；………………………1分（2）(0,3) ， ( 0,-1) ， (2,-1) . ………………………4分23. 解：(1)证明：∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DEF ，---------------------------------------------------1分222(2)();y xy x x y ++=+2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+-2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+-又∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，------------------------------------------2分 ∴△ABC ≌△DEF ．---------------------------------------------------3分（2）解：∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF . -------------------------------------------------------------4分 ∴BF ＋FC ＝EC ＋FC. ∴BF= EC.∵BE =10m ，BF =3m ，∴43310=--=FC m ．-------------------------------------------------------5分24．解：设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x -40）千米/时. ………………………1分依题意，得501180640x x =-. ………………………3分 解方程，得100x =. ………………………4分 经检验：100x =是原方程的解，且符合题意.答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米. ………………………5分25. 解：AE 与AF 的位置关系是垂直. ………………………1分证明：∵ AE 是△ACD 的角平分线，∴ 12DAE CAE DAC ∠=∠=∠. ………………………2分 ∵ AE ∥BC ，∴ ,DAE B EAC ACB ∠=∠∠=∠. ∴=B ACB ∠∠.∴ AB =AC . ………………………3分 又∵ F 为BC 中点， ∴ 1==2BAF CAF CAB ∠∠∠. ………………………4分 ∵ 180CAB CAD ∠+∠=︒ ∴ 90CAF CAE ∠+∠=︒.∴ AE ⊥AF . ………………………5分26. 解：（1）………………………1分22…………2分（2）1. 2018；QPF EDCBA2.. ………………………4分27. 解：（1）DE=1. ………………………1分(2) 1. 正确补全图形. ……………2分 过点P 作PF ∥BC 交CA 的延长线与点F .∴ ∠PF A =∠C .∵ △ABC 是等边三角形， ∴ 可证 △APF 为等边三角形. ∴ AP =PF .又∵ PE ⊥CA 的延长线于点E ， ∴ AE =FE =12AF . ……………3分 ∵ AP=CQ ， ∴ PF =QC .∵ ∠FDP =∠CDQ ，∴ △FDP ≌△CDQ .∴ FD =CD =12CF . ……………4分 ∵ DE =DF -EF =1111222CF AF AC -==. ……………5分2. ○2. ……………6分 28． 解：（1）120°； ……………1分 （2）正确画出图形. ……………2分 ∵ ,60AOE DOE AOB α∠=∠=∠=︒,∴ 3602603002BOD αα∠=︒--︒=︒-. …………3分 ∵ BO =BD , ∴ ∠OBD =∠ODB . ∴ 180602BODBDO α︒-∠∠==-︒. ……………4分（3）2PE BP PO =+. ……………6分 说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.FPDEBAO11。

2018-2019 学年北京市东城区八年级上学期期末数学试卷、选择题（本题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）1．（ 3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据 0.00000032 用科学记数法表示正确的是（ ）7 8 ﹣ 7﹣ 8A ．3.2×10B ．3.2×10C ． 3.2×10D ． 3.2×102．（3 分）若分式 有意义，则 a 的取值范围是（ ）A ．a ≠ 1B ．a ≠0C ． a ≠ 1 且 a ≠ 0D ．一切实数3．（ 3 分）下列运算中，正确的是（）2 3 5 A ． 3x +2 x ＝ 5x23 B ． a?a ＝a6 3 2 C ．3a÷a ＝ 3a33D ．（ ab ） ＝ a b4．（ 3分） 2017年 12月 15日，北京 2022 年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）5．（3 分）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）B ．D ．6．7．A ．4+4﹣＝6 B．4+40+40＝63 分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（A．3 分）已知B．B．a m＝2，a n＝3，则A．6 B．248．（3 分）如图，已知∠9．C．4+ ＝6C．a3m+2n的值是（C．36D．4 1÷+4＝6D．721＝∠ 2，AC＝AD，要使△ ABC≌△ AED ，还需添加一个条件，那么在① AB＝AE，② BC＝ED，③ ∠ C＝∠ D ，④ ∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3 分）如图，在△ ABC 中，∠ A＝90°，∠ C＝30°，AD ⊥ BC 于D，BE是∠ ABC 的平分线，且交AD 于P，如果AP ＝2，则AC 的长为（）C．6 D．810．（3 分）定义运算“※” ：a※b＝．若5※ x＝2，则x 的值为（）A ．B．或10 C．10 D．或二、填空题（本题共6小题，11-15 小题每小题2 分，16小题4 分，共14分）211．（2 分）分解因式：2ax ﹣8a＝．12．（2 分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x 项，则m＝．13．（2 分）当x＝时，分式的值为0．14．（2 分）课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB＝a2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D．3）在MN 上取一点C，使DC＝h．4）连接AC，BC，则△ ABC 就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD 垂直平分AB，那么△ ABC 就是等腰三角形的依据是15．（2分）如图，在△ ABC 中，点D 是AB边的中点，过点D 作边AB的垂线l，E是l 上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△ AEC 的周长最小值为16．（4 分）已知在△ ABC 中，AB＝AC．（1）若∠A＝36°，在△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ ABC），这2 个等腰三角形的顶角的度数分别是；（2）若∠ A≠36°，当∠ A＝时，在等腰△ ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ ABC）．（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12 小题，共56 分）17．（4 分）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．18．（6 分）计算：（1）；2（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．19．（3 分）在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20．（4 分）解分式方程：+1＝．21．（4 分）先化简，然后a 在﹣2，0，1，2，3 中选择一个合适的数代入并求值．22．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ ABC 的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ ABC 关于y 轴对称的△ A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D 为顶点的三角形与△ ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标．23．（5分）如图，点B、F、C、E在直线l 上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l 异侧，测得AB＝DE ，AB∥ DE ，∠ A＝∠ D．1）求证：△ ABC≌△ DEF ；2）若BE ＝10m，BF＝3m，求FC 的长度．24．（5 分）列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50 千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40 千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．25．（5分）如图，AE是△ ACD 的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F 为BC中点，判断AE 与AF 的位置关系并证明．26．（4 分）阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：＝＝＝﹣1．＝＝＝﹣＝＝＝﹣一）以用以下方法化简（ 1）请用不同的方法化简 ． 参照（一）式得 ＝ ； 参照（二）式得＝；（ 2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求 2．化简：+ ++⋯ +．27．（6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ ABC 边长为 2，过 AB 边上一点 P 作 PE ⊥ AC 于 E ，Q 为 BC 延长线上一点，且 AP ＝CQ ，连接 PQ 交 AC 于 D ， 求 DE 的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点 P 作平行线构造等边三角形的方法来解决 这个问题． 请根据小明同学的思路直接写出 DE 的长． （2）【类比探究】 老师引导同学继续研究：1．等边△ ABC 边长为 2，当 P 为 BA 的延长线上一点时，作 PE ⊥CA 的延长线于点 E ， Q 为边 BC上一点，且 AP ＝CQ ，连接 PQ 交 AC 于 D ．请你在图 2 中补全图形并求 DE 的长．2．已知等边△ ABC ，当 P 为 AB 的延长线上一点时，作 PE ⊥射线 AC 于点 E ，Q 为 （ ① BC 边上； ② BC 的延长线上； ③ CB 的延长线上）一点，且 AP ＝ CQ ，连接 PQ 交 直线 AC 于点 D ，能使得 DE 的长度保持不变． （将答案的编号填在横线上）28．（6分）在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABO 为等边三角形， O 为坐标原点，点 A 关于 y 轴的对称点为 D ，连接 AD ，BD ，OD ，其中 AD ，BD 分别交 y 轴于点 E ，P ．的值；如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出∠ BDO 的度数；如图2，将△ ABO 绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°< α< 90°，依题意补全图形，并求出∠ BDO 的度数；（用含α的式子表示）3）在第（2 ）问的条件下，用等式表示线段出结果）直接写1）2018-2019 学年北京市东城区八年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10 小题，每小题3分，共30 分）1．【解答】解：0.00000032＝3.2× 10﹣7；故选：C ．2．【解答】解：若分式有意义，则a﹣1≠ 0，即a≠ 1，故选：A ．23 3．【解答】解：A 、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；23B、a?a ＝a ，正确；6÷a3＝3a3，故此选项错误；C、3aD、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；故选：B ．4．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B ．5．【解答】解：∵ 4+4﹣＝6，∴选项A 不符合题意；00∵ 4+4 +4 ＝6，∴选项B 不符合题意；∵ 4+ ＝6，∴选项C 不符合题意；∵ 4﹣1÷ +4＝4 ，∴选项 D 符合题意． 故选： D ．6．【解答】 解：A 、是最简二次根式，正确；D 、不是最简二次根式，错误；故选： A ．7．【解答】 解：∵ a m ＝2， a n ＝3， ∴a 3m+2n ＝（ a m ） 3×（ a n ）2 ＝23×32＝72． 故选： D ．8．【解答】 解：∵∠ 1＝∠ 2，∴∠1+∠EAB ＝∠ 2+∠ EAB ， 即∠ CAB ＝∠ DAE ，① 加上条件 AB ＝ AE 可利用 SAS 定理证明△ ABC ≌△ AED ； ② 加上 BC ＝ED 不能证明△ ABC ≌△ AED ；③ 加上∠ C ＝∠ D 可利用 ASA 证明△ ABC ≌△ AED ；④ 加上∠ B ＝∠ E 可利用 AAS 证明△ ABC ≌△ AED ； 故选： C ．9．【解答】 解：∵△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，∠ C ＝30°， ∴∠ ABC ＝ 60°．又∵ BE 是∠ ABC 的平分线， ∴∠ EBC ＝ 30°，∴∠ AEB ＝∠C+∠EBC ＝60°，∠ C ＝∠ EBC ， ∴∠ AEP ＝60°， BE ＝EC ． 又 AD ⊥BC ，∴∠ CAD ＝∠ EAP ＝60°， 则∠ AEP ＝∠ EAP ＝60°，B 、C 、 不是最简二次根式 错误；错误；∴△ AEP 的等边三角形，则 AE ＝AP ＝ 2，在直角△ AEB 中，∠ ABE ＝30°，则 EB ＝ 2AE ＝4， ∴BE ＝EC ＝4， ∴AC ＝ CE+AE ＝6． 故选： C ．10．【解答】 解：若 5> x ，即 x <5 时，原方程可整理得：＝2，方程两边同时乘以（ 5﹣ a ）得：5＝ 2（5﹣x ），解得： x ＝ ，经检验： x ＝ 是原方程的解， 且 < 5，即 x ＝ 符合题意， 若 5<x ，即 x > 5 时， 原方程可整理得：x ＝ 2（x ﹣5），解得： x ＝ 10，经检验： x ＝ 10 是原方程的解， 且 10> 5，即 x ＝10 符合题意， 故选： B ．、填空题（本题共 6小题， 11-15 小题每小题 2 分， 16小题 4 分，共 14分）211．【解答】 解：原式＝ 2a （ x 2﹣ 4）＝ 2a （x+2）（x ﹣2）．故答案为：2a （x+2）（x ﹣2）．方程两边同时乘以x ﹣5）得：12．【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x2＝﹣3mx +（2m﹣24）x+16，∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x 项，∴ 2m﹣24 ＝0，解得：m＝12，故答案为：12．13．【解答】解：∵＝0，∴ x＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：若CD 垂直平分AB，则根据线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等得到CA＝CB，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC 就是等腰三角形．故答案为线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．15．【解答】解：如图，连接BE，∵点D 是AB 边的中点，l⊥ AB，∴l 是AB 的垂直平分线，∴AE＝BE，∴AE+CE＝BE+CE，∵BE+CE≥ BC，∴当B，E，C 在同一直线上时，BE+CE 的最小值等于BC 的长，而AC 长不变，∴△ AEC 的周长最小值等于AC+BC ＝5+8 ＝13，故答案为：13．16．【解答】解：（1）如图1所示：∵ AB＝AC，∠A＝36∴当AE＝BE，则∠ A＝∠ ABE＝36°，则∠ AEB＝108则∠ EBC＝36∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36 度；故答案为：108°，36°；（2）当∠ A＝90°或108°时，在等腰△ ABC 中画一条线段，能得到故答案为：90°或108°．三、解答题（本题共12 小题，共56 分）17．【解答】解：原式＝3+1 ﹣4＝0．18．【解答】解：（1）原式＝＝；22（2）原式＝x ﹣4x+4 ﹣x +9＝﹣4x+13 ．2 2 219．【解答】解：方法一：（x +2xy）+x ＝2x +2xy＝2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2＝（x+y）2；2 2 2 22 2 2 2方法四：（y +2xy）﹣（x +2xy）＝y ﹣x ＝（y+x）（y﹣x）．20．【解答】解：方程两边同乘以2（x+3），得4x+2（x+3）＝7，解得x＝，检验：当x＝时，2（x+3）≠ 0，∴ x＝是分式方程的解．21．【解答】解：原式＝2个等腰三角形，方法三：（x +2xy）﹣（y +2xy）＝x ﹣y ＝（x+y）（x﹣y）；＝＝．当a＝0 时，＝．22．【解答】解：（1）如图所示，△ A1B1C1 即为所求；当△ BCA与△ CBD 关于BC 的中点对称时，点D 坐标为（0，﹣1），△BCA 与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．23．【解答】（1）证明：∵ AB∥DE ，∴∠ ABC＝∠ DEF ，在△ ABC 与△ DEF 中∴△ ABC≌△ DEF ；（2）∵△ ABC≌△ DEF ，∴BC＝EF，D 坐标为（0，3），2）当△ BCD 与△ BCA关于BC 对称时，点∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵ BE＝10m，BF＝3m，∴ FC＝10﹣3﹣3＝4m．24．【解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x ﹣40）千米/时．依题意，得．解方程，得x＝100．经检验：x＝100 是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100 千米．25．【解答】解：结论：AE 与AF 的位置关系是垂直．证明：∵ AE是△ ACD 的角平分线，∴，∵AE∥BC，∴∠ DAE＝∠ B，∠ EAC＝∠ ACB，∴∠ B＝∠ ACB，∴AB＝AC，又∵F为BC中点，∴，∵∠ CAB+∠CAD ＝180°，∴∠ CAF+∠ CAE＝90°，∴AE⊥AF．故答案为 ﹣ ； ﹣ ；（ 2 ） 1.（ 2 ） 1.1+ + + ﹣ +⋯ + ﹣ ）（ +1）＝（ ﹣ 1）（ +1）＝2019﹣1＝ 2018；2. + + +⋯ + ＝ （ ﹣ 1+ ﹣ +⋯+）＝ ．27．【解答】 解：（ 1）如图，过点 P 作 PF ∥BC 交 AC 于点 F ，∴∠Q ＝∠ FPD ，∠ APF ＝∠ ABC ，∠ AFP ＝∠ ACB ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ BAC ＝60°，∴∠ APF ＝∠ AFP ＝∠ BAC ＝60°，∴△APF 为等边三角形，∴AP ＝AF ＝PF ，又∵ PE ⊥AC26．【解答】 解：（ 1） ＝ ＝ ＝ ﹣ ；＝﹣；＝（∴ EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠ PDF＝∠ CDQ，∠ Q＝∠ FPD，∴△ PDF ≌△ QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+ AF＝AC＝1；过点P作PF∥BC 交CE的延长线于点F，∴∠ DQC ＝∠ FPD ，∠ APF ＝∠ ABC，∠ AFP ＝∠ ACB，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ ACB＝∠ BAC＝60°，∴∠ APF ＝∠ AFP ＝∠ FAP＝60°，∴△APF 为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵ PE⊥ AC∴ EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠ PDF＝∠ CDQ，∠ DQC＝∠ FPD，∴△ PDF ≌△ QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），∴DE＝DF﹣EF ＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；2、过点P作PF∥BC 交BC 的延长线与点F．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ ACB＝∠ BAC＝60°，∴∠ APF ＝∠ AFP ＝∠ BAC＝60°，∴△APF 为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵ PE⊥ AC∴ EF＝AF，∴ PF＝AP＝CQ ，∠ PDF ＝∠ CDQ ，∠ DQC ＝∠ FPD，∴△ PDF ≌△ QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），∴DE＝EF﹣DF ＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；答案为② ．28．【解答】解：（1）∵点A关于y 轴的对称点为D，∴∠ DOE＝∠ EOA＝90°﹣∠ AOB＝30°，∴△OAD 为等边三角形，∴∠ BOD＝120°，∴∠ BDO＝＝30°；（2）如下图：∵∠ AOE＝∠ DOE＝α，∠ AOB＝60°，∴∠ BOD＝360°﹣2α﹣60°＝300°﹣ 2α，∵ BO＝BD，∴∠ OBD＝∠ ODB．∴（3）如上图，连接AP，过点A作AQ∥y轴，交DB的延长线于点Q，∠ OBD ＝∠ BDO＝α﹣60°，∠ ABQ＝180°﹣∠ ABO﹣∠ BDO＝180°﹣α，而∠ AOP＝180°﹣∠ AOE＝180°﹣α，∴∠ ABQ＝∠ AOP，∵AQ∥y 轴，∴∠ Q＝∠ DPE ＝∠ APE，又AB＝AO，∴△ AOP≌△ ABQ（AAS），∴AP＝AQ，BQ＝PO，∠ BAQ＝∠ OAP，∴∠ PAQ＝∠ QAB+∠BAP＝∠ BAP+∠PAO＝60°，∴△APQ 为等边三角形，∴AQ＝PQ＝PB+BQ＝PB+PO，∵AQ∥y轴，E为AD 的中点，∴EP 为△ DAQ 的中位线，∴AQ＝2EP，∴2PE＝BP+PO．第21 页（共22 页）第22 页共22 页）第23 页共22 页）。

东城区2018-2019学年度第一学期期末数学测试及参考答案2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）A ．73.210⨯ B ．83.210⨯ C ．73.210-⨯ D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是 A ．1a ≠B ．0a ≠C ．1a ≠且0a ≠D ．一切实数3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235325x x x +=B ．C ．D ． 33()ab a b =4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A B C D5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误．．的是（ ）A ．446+=B ．04446++=C ．46=D ．1446-=6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）A.B. C.D. 7．已知，则的值是（ ）A ．6B ．24C ．36D ．728.如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一 个条件，那么在①AB =AE ， ②BC =ED ， ③∠C =∠D ， ④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．810. 定义运算“※”：,,aa b a bb b a b b aa ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※ ．若2x =5※，则x 的值为（ ）A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11. 分解因式：228ax a -= ． 12. 多项式（mx +8）（2-3x )展开后不含x 项，则m = ．13．当x 的值为 时，分式242x x --的值为0.23323433x 2,3m na a ==32m n a +14. 课本上有这样一道例题：请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是____________.15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为__________.16．已知在△ABC中，AB=AC．（1）若∠A=36º，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是___________；（2）若∠A≠36º，当∠A=___________时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC）.（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12小题，共56分）17．(本小题4分)()-2012-π-2⎛⎫⎪⎝⎭．18. （本小题6分）计算：(1)-；(2) )3)(3()2(2-+--xxx．19. (本小题3分)在三个整式xyx22+，xyy22+，2x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使yx 所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20. （本小题4分） 解分式方程：21． （本小题4分）先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22. （本小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3）， B （1，0）， C （1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ；（2）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标.23. （本小题5分）如图，点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量)，点A ,D 在l 异侧，测得 AB ＝DE ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ． (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE =10m ，BF =3m ，求FC 的长度．271326x x x +=++lACB24.（本小题5分）列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.25. （本小题5分）如图，AE 是△ACD 的角平分线，B 在DA 延长线上，AE ∥BC ，F 为BC 中点，判断AE 与AF 的位置关系并证明.26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+. 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+.（一）还可以用以下方法化简：22(二)（1)请用不同的方法化简.①参照（一）式得＝______________________________________________；②参照（二）式得＝_________________________________________；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择．．下面两个问题中的一个．．加以解决： 1.求.......1)+的值； 352+352+352+2.化简：. 27．（本小题6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC 边长为2，过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE 的长. （2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1.等边△ABC 边长为2，当P 为BA 的延长线上一点时,作PE ⊥CA 的延长线于点E ，Q 为边BC 上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D .请你在图（2）中补全图形并求DE 的长.2. 已知等边△ABC ，当P 为AB 的延长线上一点时,作PE ⊥射线AC 于点E ， Q 为（○1BC 边上；○2BC 的延长线上；○3CB 的延长线上）一点，且AP =CQ ，连接PQ 交直线AC 于点D ，能使得DE 的长度保持不变.(将答案的编号填在横线上)图（1） 图（2） （备用图）28. （本小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABO 为等边三角形，O 为坐标原点，点A 关于y 轴的对称点为D ，连接AD ，BD ，OD ，其中AD ，BD 分别交y 轴于点E ，P . （1）如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出BDO ∠的度数；（2）如图2，将△ABO 绕点O 旋转，且点A 始终在第二象限，此时AO 与y 轴正半轴夹角为α，60︒<α<90︒，依题意补全图形，并求出BDO ∠的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP ，PE ，PO 之间的数量关系.（直接写出结果）12121...571351131-+++++++++n n C B A C B A图1 图2东城区2018-2019学年度第一学期期末数学测试答案一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）二、 填空题（本题共6小题，11-15题每小题2分，16小题4分，共14分）11．2(2)(2)a xx +-；12．12；13．-2；14．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义； 15．13；16.（1）36°，108°；（2）°1807，90°，108°.三、 解答题（本题共12小题，共56分）17．解：原式=3+14- …………………………3分 =0 . …………………………4分 18．解：（1）原式=2…………………………2分 = …………………………3分 （2）原式=22449x x x -+-+ …………………………2分=413x -+. …………………………3分19. 解：22)2(x xy x ++---------------------------------------------1分 xy x 222+=-------------------------------------------------2分)(2y x x +=．----------------------------------------------3分或或 或 其他情况参照给分． 20. 解：去分母，得：222(2)();y xy x x y ++=+2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+-2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+-4x +2(x +3)=7 . ……………………………………………………1分 化简，得：6x +6=7 . …………………………………………………2分解得：16x =. …………………………………………3分 检验：把16x =代入最简公分母，2（x +3）≠0.所以16x =是原分式方程的解.…………………………………………4分21. 解：原式=23(3)2(2)(+2)a a a a a --÷-- ……………………2分 =23(2)(+2)2(3)a a a a a --⨯-- =+23a a -. ……………………3分 当0a =时，+23a a -=2-3. ………………………4分注意：如a 取﹣2， 2，3没分.22．解：（1）图略；………………………1分（2）(0,3) ， ( 0,-1) ， (2,-1) . ………………………4分23. 解：(1)证明：∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DEF ，---------------------------------------------------1分 又∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，------------------------------------------2分 ∴△ABC ≌△DEF ．---------------------------------------------------3分（2）解：∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF . -------------------------------------------------------------4分 ∴BF ＋FC ＝EC ＋FC. ∴BF= EC.∵BE =10m ，BF =3m ，∴43310=--=FC m ．-------------------------------------------------------5分24．解：设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x -40）千米/时. ………………………1分依题意，得501180640x x =-. ………………………3分 解方程，得100x =. ………………………4分 经检验：100x =是原方程的解，且符合题意.QPF EDCBA答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米. ………………………5分25. 解：AE 与AF 的位置关系是垂直. ………………………1分证明：∵ AE 是△ACD 的角平分线，∴ 12DAE CAE DAC ∠=∠=∠. ………………………2分 ∵ AE ∥BC ，∴ ,DAE B EAC ACB ∠=∠∠=∠. ∴=B ACB ∠∠.∴ AB =AC . ………………………3分 又∵ F 为BC 中点， ∴ 1==2BAF CAF CAB ∠∠∠. ………………………4分 ∵ 180CAB CAD ∠+∠=︒ ∴ 90CAF CAE ∠+∠=︒.∴ AE ⊥AF . ………………………5分26. 解：（1）………………………1分…………2分（2）1. 2018； 2.. ………………………4分27. 解：（1）DE=1. ………………………1分(2) 1. 正确补全图形. ……………2分 过点P 作PF ∥BC 交CA 的延长线与点F . ∴ ∠PF A =∠C .∵ △ABC 是等边三角形， ∴ 可证 △APF 为等边三角形. ∴ AP =PF .又∵ PE ⊥CA 的延长线于点E ，11 ∴ AE =FE =12AF . ……………3分 ∵ AP=CQ ，∴ PF =QC .∵ ∠FDP =∠CDQ ，∴ △FDP ≌△CDQ .∴ FD =CD =12CF . ……………4分 ∵ DE =DF -EF =1111222CF AF AC -==. ……………5分 2. ○2. ……………6分 28． 解：（1）120°； ……………1分（2）正确画出图形. ……………2分∵ ,60AOE DOE AOB α∠=∠=∠=︒,∴ 3602603002BOD αα∠=︒--︒=︒-. …………3分 ∵ BO =BD ,∴ ∠OBD =∠ODB .∴ 180602BOD BDO α︒-∠∠==-︒. ……………4分 （3）2PE BP PO =+. ……………6分 说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.F P D E B A O。

Ａ.16 Ｂ．12 Ｃ．8 Ｄ．4班级 姓名 学号D8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm9. 在直角坐标系中，已知A （3，3），在x 轴、y 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A ．4个 B ．6个C ．8个D ．10个10．如图, 在△ABC 中, AD 是它的角平分线, AB = 8 cm, AC = 6 cm, 则 S △ABD : S △ACD = ( )A. 3 : 4B. 4 : 3C. 16 : 9D. 9 : 16个小题,每小题2分,共20分)，3π，0.6，32这五个实数中，无理数,02=则x+y= .a ＋3和2a －3，．BOP=15°，PC ∥OB ，PD ⊥OB ，若OC=4，则PD 等于 . ,自变量x 的取值范围是5的所有整数是 。

8题图B CD17．若10210404=，则2.10=x 中的=x18．如图3 三角形纸片ABC 中，∠A =75º，∠B =60º，将纸片的角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠α=35º，则∠β=19．已知：如图，Rt △ABC 中. ∠ACB=90O.∠B=30O，CD ⊥AB 于D 点，若AD=3，则AB= .20．已知：如图，正方形ABCD 的边长为2，M 、N 分别为AB 、AD的中点，在对角线BD 上找一点P ，使△MNP 的周长最小，则此时PM+PN=三．计算题（共2题，每小题5分，共10分） 212 22. 0)23(3221-+-+-四、看图象填空（5分）23.x （h ）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15请你回答下列问题： （1）小强到离家最远的地方需要_______个小时，此时离家__________千米； （2）小强在_________点开始第一次休息，休息了___________个小时； （3）小强从E 点到F 点返回时的平均速度是______________MDD 图3学校 班级 姓名 学号五.作图题(3分)24. 如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA ＝PB ． 要求：并保留作图痕迹．（不要求写作法）六．解答题（25题5分，26，27，28每题6分，29题4份，30题5分，共32分）25．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （1-，5），B （1-，0），C （4-，3）．（1）求出△ABC 的面积；（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △； （3）写出点111A B C ，，26．已知：如图，C 、D 在AB 上，且AC=BD ，AE ∥FB ，DE ∥FC.求证：AE=BF 。

2018-2019学年度第一学期期中考试年级：初二 科目：数学 班级： 姓名：_________1．下列图形中，是轴对称图形的是A B C D2．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是A ．ay ax y x a +=+)(B ．4)4(442+-=+-x x x xC ．)12(55102-=-x x x x D ．x x x x x 3)4)(4(3162+-+=+- 3．下列运算中，正确的是 A ． B ．x x x 236⋅= C ．()x x 238= D ．222)(y x y x +=+4．已知：如图，D 、E 分别在AB 、AC 上，若AB=AC ，AD=AE ， ∠A =60°，∠B =35°，则∠BDC 的度数是A ．95°B ．90°C ．85°D ．80° 5．如图，OP 平分∠MON ，P A ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若P A =2，则PQ 的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列各式中，正确的是A ．3355x x y y --=- B ．a b a b c c +-+-=C．a ab a a b -=--D ．a b a b c c ---=-222235x x x +=AO7．如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙与丙 8．如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则∠2的度数为A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°二、填空题（9、10 题2分，11至16题每题3分，共22分） 9．当__________时，分式11x-有意义． 10．在解分式方程1113122-=--+x x x 时，小兰的解法如下： 解：方程两边同乘以)1)(1(-+x x ，得 13)1(2=--x ． ① 1312=--x ． ② 解得 25=x ． 检验：25=x 时，0)1)(1(≠-+x x ， ③ 所以，原分式方程的解为25=x ． ④ 如果假设基于上一步骤正确的前提下，你认为小兰在哪些步骤中出现了错误 （只填序号）．11．如图，将△ABC 绕点A 旋转到△ADE ，∠BAC =75°，∠DAC =25°，则∠CAE =______°．ABCB'C'EF 12B12．如图，已知AB ⊥BD , AB ∥ED ，AB =ED ，要说明ΔABC ≌ΔEDC ，若以“SAS ”为依据，还要添加的条件 为______________；若添加条件AC =EC ，则可以用 _______判定全等．13．如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ADC ∆的周长为16，AB =12，则ABC ∆的周长为 ．14．若关于x 的二次三项式2x +kx b +因式分解为(1)(3)x x --，则k+b 的值为__________．15．计算：313--2x x y -÷（）（）=____________．16．在平面直角坐标系中，已知点A （1，2），B （5，5），C （5，2），存在点E ，使△ACE 和△ACB 全等，写出所有满足条件的E 点的坐标 ． 三、解答题 (18至20题每题4分， 21、22题每题5分，共30分) 17．因式分解：（1） （2） 33312a b ab -18． 因式分解： 19．计算：211(1)m m m-+÷． 20．如图，点B ，E ，F ，C 在一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B求证：∠A ＝∠D ．21．已知0342=--x x ，求代数式()()()2232y y x y x x --+--的值．22．先化简，再对a 取一个适当的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+-÷-+-652--x x 2296yx x -+-CE CDABF四、作图题（本题5分）23．电信部门要在．P ．区域内．．．修建一座电视信号发射塔．如图， 按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须 相等，到两条高速公路m 和n 的距离也必须相等．发射 塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）五、解答题（24、25题每题6分，26题7分，共19分） 24．已知：△ABC 中，AC ⊥BC ，CE ⊥AB 于E ，AF 平分∠CAB交CE 于F ，过F 作FD ∥BC 交AB 于D ．求证：AC =AD ．25．赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多95小时．求自驾车速度和自行车速度各是多少？ 26．在ABC ∆中，（1）如图1，BP 为ABC ∆的角平分线，PM AB ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，50,60AB BC ==，请补全图形，并直接写出ABP ∆与BPC ∆面积的比值；（2）如图2，分别以ABC ∆的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和ACE ，CD 与BE相交于点O ，求证：BE=CD ；（3）在（2）的条件下判断AOD ∠与∠nCBCD2018-2019学年度第一学期初二数学期中考试答案一、选择题二、填空题9．1x ≠ 10． ①② 11． 50 ° 12． BC=DC ， HL 13．28 14．-1 15．y27x16． （1,5）（1，-1）（5,1） 三、解答题 17．因式分解：（1） +1)(6)x x -（ （2） 32)(2)ab a b a b +-（ 18.（3） 19．1-1m ． 21. 18 22．33a -25．设自行车速度为x 千米/时， 则2020529x x -= x =18 附加题1．因式分解（每题3分，共6分）：（1）1)12(2-+-+k x k kx （2） =+1)(1kx k x -+（） 2．5 3. （1）312x -+；（2）0，-2,2，-4；（3）0，-8,1，-9 (3)(3)x y x y -+--222222(2)2=2(1)2(1)x x x x x x x x x x --+--=--（）（）。

2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学试卷试题数：27.满分：1001.（单选题.2分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”.是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线.自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.（单选题.2分）下列等式中.从左到右的变形是因式分解的是（）A.m（a+b）=ma+mbB.3x2-3x+1=3x（x-1）+1C.x2+3x+2=（x+1）（x+2）D.（a+2）2=a2+4a+43.（单选题.2分）已知三角形的三边长分别为3.4.x.且x为整数.则x的最大值为（）A.8B.7C.5D.64.（单选题.2分）如图.河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构.主要是（）A.节省材料.节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮5.（单选题.2分）下列运算结果为a6的是（）A.a3•a2B.a9-a3C.（a2）3D.a18÷a36.（单选题.2分）如图.点C在∠AOB的边OA上.用尺规作出了CP || OB.作图痕迹中. FĜ是（）A.以点C为圆心、OD的长为半径的弧B.以点C为圆心、DM的长为半径的弧C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧D.以点E为圆心、OD的长为半径的弧7.（单选题.2分）如图.点O是△ABC的两个外角平分线的交点.下列结论：① 点O在∠A的平分线上；② 点O到△ABC的三边的距离相等；③ OB=OC．以上结论正确的有（）A. ② ③B. ① ②C. ① ③D. ① ② ③8.（单选题.2分）如图.等腰△ABC中.AB=AC.MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点BBC.MD⊥BC交AB于点D.NE⊥BC交AC于点E.在MN从重合.点N不与点C重合）.且MN= 12左至右的运动过程中.△BMD和△CNE的面积之和（）A.保持不变B.先变小后变大C.先变大后变小D.一直变大9.（填空题.2分）如果等腰三角形一边长为3.另一边长为10.那么它的周长是 ___ ．10.（填空题.2分）已知一正多边形的每个外角是36°.则该正多边形是___ 边形．11.（填空题.2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成.点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上.则表示△ABC重心的点是___ ．12.（填空题.2分）有两块总面积相等的场地.左边场地为正方形.由四部分构成.各部分的面积数据如图所示.右边场地为长方形.长为2（a+b）.则宽为 ___ ．13.（填空题.2分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角.这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA.OB组成.两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定.OC=CD=DE.点D.E可在槽中滑动.若∠BDE=75°.则∠COD=___ °．14.（填空题.2分）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时.就能拼成一个既不留空隙.又不相互重叠的平面图形.我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案.如：6个正三角形.记作（3.3.3.3.3.3）；3个正三角形和两个正方形.记作（3.3.3.4.4）；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 ___ ．15.（填空题.2分）如图.等边△ABC中.AD是BC边上的中线.且AD=17.E.P分别是AC.AD上的动点.则CP+EP的最小值等于 ___ ．16.（填空题.2分）新年联欢.某公司为员工准备了A、B两种礼物.A礼物单价a元、重m千克.B礼物单价（a+1）元.重（m-1）千克.为了增加趣味性.公司把礼物随机组合装在盲盒里.每个盲盒里均放两样.随机发放.小林的盲盒比小李的盲盒重1千克.则两个盲盒的总价钱相差 ___ 元.通过称重其他盲盒.大家发现：称重情况重量大于小林的盲盒的与小林的盲盒一样重重量介于小林和小李之间的与小李的盲盒一样重重量小于小李的盲盒的盲盒个数 5 9 417.（问答题.8分）因式分解：（1）3x2+6x+3；（2）a3-9a.18.（问答题.8分）计算：（1）a3•a+（-a2）3÷a2；（2）[（m+n）（m-n）+（-n）2]÷2m.19.（问答题.5分）已知x2-x+1=0.求代数式（x+1）2-（x+1）（2x-1）的值．20.（问答题.5分）如图.AB=AD.AC=AE.∠1=∠2．求证：BC=DE．21.（问答题.6分）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1.线段a和线段b.求作：△ABC.使得AB=AC.BC=a.BC边上的中线为b.作法：如图2.① 作射线BM.并在射线BM上截取BC=a；② 作线段BC的垂直平分线PQ.PQ交BC于D；③ 以D为圆心.b为半径作弧.交PQ于A；④ 连接AB和AC．则△ABC为所求作的图形．根据上述作图过程.回答问题：（1）用直尺和圆规.补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC=a.AD=b.∵PQ为线段BC的垂直平分线.点A在PQ上.∴AB=AC（ ___ ）（填依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D.∴___ =___ ．∴AD为BC边上的中线.且AD=b.22.（问答题.5分）如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.∠A=30°.BD平分∠ABC.AD=10.求CD的长．23.（问答题.5分）课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n边形的一个顶点作对角线.把n边形分成（n-2）个三角形.把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到n边形的内角和等于（n-2）•180°.现在再提供两种添辅助线的方案.请你选择其中一种.再次证明n边形内角和定理．方案一方案二如图.P为n边形A1A2……A n内一点.连接PA1.PA2.…….PA n.那么如图.P为n边形A1A2……A n边n边形被分成了 ___ 个三角形. 由此推理n边形的内角和定理．A1A2上的任意一点.连接PA3.PA4.…….PA n.那么n边形被分成了 ___ 个三角形.由此推理n边形的内角和定理．证明：证明：24.（问答题.6分）如图.在平面直角坐标系xOy中.△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2.3）.B （1.0）.C（1.2）.（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.其中A1的坐标为 ___ ；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等（A、D不重合）.写出所有符合条件的点D坐标．25.（问答题.6分）小明在学习有关整式的知识时.发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2-2x+3.由于x2-2x+3=（x-1）2+2.所以当x-1取任意一对互为相反数的数时.多项式x2-2x+3的值是相等的.例如.当x-1=±l.即x=2或0时.x2-2x+3的值均为3；当x-1=±2.即x=3或-1时.x2-2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式.若当x-t取任意一对互为相反数的数时.该多项式的值相等.就称该多项式关于x=1对称．例如x2-2x+3关于x=1对称．请结合小明的思考过程.运用此定义解决下列问题：（I）多项式x2-6x+10关于x=___ 对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x=4对称.求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2+4x+4）关于x=___ 对称．26.（问答题.7分）在△ABC中.D是BC的中点.且∠BAD≠90°.将线段AB沿AD所在直线翻折.得到线段AB'.作CE || AB交直线AB'于点E．（1）如图.若AB＞AC.① 依题意补全图形；② 用等式表示线段AB.AE.CE之间的数量关系.并证明；（2）若AB＜AC.上述结论是否仍然成立？若成立.简述理由；若不成立.直接用等式表示线段AB.AE.CE之间新的数量关系（不需证明）．27.（问答题.7分）在平面直角坐标系xOy中.直线l为一、三象限角平分线.点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点.记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点.记作P2．例如.点（-2.5）的一次反射点为（2.5）.二次反射点为（5.2）．根据定义.回答下列问题：（1）点（3.4）的一次反射点为 ___ .二次反射点为 ___ ；（2）当点A在第三象限时.点M（-4.1）.N（3.-1）.Q（-1.-5）中可以是点A的二次反射点的是 ___ ；（3）若点A在第二象限.点A1.A2分别是点A的一次、二次反射点.∠A1OA2=50°.求射线OA与x轴所夹锐角的度数；（4）若点A在y轴左侧.点A1.A2分别是点A的一次、二次反射点.△AA1A2是等腰直角三角形.请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：27.满分：1001.（单选题.2分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”.是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线.自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】：解：A、是轴对称图形.故本选项正确；B、不是轴对称图形.故本选项错误；C、不是轴对称图形.故本选项错误；D、不是轴对称图形.故本选项错误．【点评】：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴.图形两部分折叠后可重合．2.（单选题.2分）下列等式中.从左到右的变形是因式分解的是（）A.m（a+b）=ma+mbB.3x2-3x+1=3x（x-1）+1C.x2+3x+2=（x+1）（x+2）D.（a+2）2=a2+4a+4【正确答案】：C【解析】：利用因式分解的定义.将多项式和的形式化为积的形式.即可得到结果．【解答】：解：A、是整式的乘法.不是因式分解.故本选项不符合题意；B、不是积的形式.不是因式分解.故本选项不符合题意；C、是因式分解.故本选项符合题意；D、是整式的乘法.不是因式分解.故本选项不符合题意；故选：C．【点评】：此题考查了因式分解的意义.熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．3.（单选题.2分）已知三角形的三边长分别为3.4.x.且x为整数.则x的最大值为（）A.8B.7C.5D.6【正确答案】：D【解析】：根据三角形两边之和大于第三边.三角形的两边差小于第三边.求出x的取值范围.进而得到x的最大值．【解答】：解：∵4-3=1.4+3=7.∴1＜x＜7.∵x为整数.∴x的最大值为6．【点评】：此题主要考查了三角形的三边的关系.要熟练掌握.解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）三角形的两边差小于第三边．4.（单选题.2分）如图.河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构.主要是（）A.节省材料.节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮【正确答案】：C【解析】：桥梁的斜拉钢索是三角形的结构.故主要是利用了三角形的稳定性．【解答】：解：桥梁的斜拉钢索是三角形的结构.这样做的数学依据是三角形的稳定性．故选：C．【点评】：本题主要考查了三角形的稳定性.解题的关键是熟记三角形的稳定性．5.（单选题.2分）下列运算结果为a6的是（）A.a3•a2B.a9-a3C.（a2）3D.a18÷a3【正确答案】：C【解析】：分别根据同底数幂的乘法法则.合并同类项法则.幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】：解：A．a3•a2=a5.故本选项不合题意；B．a9与-a3不是同类项.所以不能合并.故本选项不合题意；C．（a2）3=a6.故本选项符合题意；D．a18÷a3=a15.故本选项不合题意．【点评】：本题主要考查了合并同类项.同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方.熟记幂的运算法则是解答本题的关键．6.（单选题.2分）如图.点C在∠AOB的边OA上.用尺规作出了CP || OB.作图痕迹中. FĜ是（）A.以点C为圆心、OD的长为半径的弧B.以点C为圆心、DM的长为半径的弧C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧D.以点E为圆心、OD的长为半径的弧【正确答案】：C【解析】：根据平行线的判定.作一个角等于已知角的方法即可判断．【解答】：解：由作图可知作图步骤为：① 以点O为圆心.任意长为半径画弧DM.分别交OA.OB于M.D．② 以点C为圆心.以OM为半径画弧EN.交OA于E．③ 以点E为圆心.以DM为半径画弧FG.交弧EN于N．④ 过点N作射线CP．根据同位角相等两直线平行.可得CP || OB．故选：C．【点评】：本题考查作图-基本作图.平行线的判定等知识.解题的关键是熟练掌握基本知识.属于中考常考题型．7.（单选题.2分）如图.点O是△ABC的两个外角平分线的交点.下列结论：① 点O在∠A的平分线上；② 点O到△ABC的三边的距离相等；③ OB=OC．以上结论正确的有（）A. ② ③B. ① ②C. ① ③D. ① ② ③【正确答案】：B【解析】：过O点作OD⊥AB于D.OE⊥BC于E.OF⊥AC于F.如图.根据角平分线的性质得到OD=OE.OE=OF.则OD=OF.于是根据角平分线的性质定理的逆定理可对① 进行判断；同时可对② 进行判断；由于不能确定∠ABC=∠ACB.则不能确定∠OBE=∠OCE.则可对③ 进行判断．【解答】：解：过O点作OD⊥AB于D.OE⊥BC于E.OF⊥AC于F.如图.∵BO平分∠DBC.OD⊥BD.OE⊥BC.∴OD=OE.同理可得OE=OF.∴OD=OF.∴点O在∠A的平分线上.所以① 正确；OD=OE=OF.所以② 正确；∵不能确定∠ABC=∠ACB.∴不能确定∠OBE=∠OCE.∴不能确定OB=OC.所以③ 错误．故选：B．【点评】：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理．8.（单选题.2分）如图.等腰△ABC中.AB=AC.MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B 重合.点N不与点C重合）.且MN= 12BC.MD⊥BC交AB于点D.NE⊥BC交AC于点E.在MN从左至右的运动过程中.△BMD和△CNE的面积之和（）A.保持不变B.先变小后变大C.先变大后变小D.一直变大【正确答案】：B【解析】：妨设BC=2a.∠B=∠C=α.BM=m.则CN=a-m.根据二次函数即可解决问题．【解答】：解：不妨设BC=2a.∠B=∠C=α.BM=m.则CN=a-m.则有S阴= 12•m•mtanα+ 12（a-m）•（a-m）tanα= 12tanα（m2+a2-2am+m2）= 12tanα（2m2-2am+a2）.∴S阴的值先变小后变大.故选：B．【点评】：此题考查等腰三角形的性质.关键根据二次函数的性质得出面积改变规律．9.（填空题.2分）如果等腰三角形一边长为3.另一边长为10.那么它的周长是 ___ ．【正确答案】：[1]23【解析】：题目给出等腰三角形有两条边长为10和3.而没有明确腰、底分别是多少.所以要进行讨论.还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】：解：分两种情况：当腰为3时.3+3＜10.所以不能构成三角形；当腰为10时.3+10＞10.所以能构成三角形.周长是：3+10+10=23．故答案为：23．【点评】：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况.分类进行讨论.还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.这点非常重要.也是解题的关键．10.（填空题.2分）已知一正多边形的每个外角是36°.则该正多边形是___ 边形．【正确答案】：[1]十【解析】：多边形的外角和等于360°.因为所给多边形的每个外角均相等.故又可表示成36°n.列方程可求解．【解答】：解：设所求正n边形是n边形.则36°n=360°.解得n=10．故正多边形是十边形．故答案为：十．【点评】：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数.解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．11.（填空题.2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成.点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上.则表示△ABC重心的点是___ ．【正确答案】：[1]点D【解析】：利用三角形重心的定义进行判断．【解答】：解：根据图形.点D为AB和BC边上的中线的交点.所以点D为△ABC重心．故答案为点D．【点评】：本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．12.（填空题.2分）有两块总面积相等的场地.左边场地为正方形.由四部分构成.各部分的面积数据如图所示.右边场地为长方形.长为2（a+b）.则宽为 ___ ．【正确答案】：[1] 12a+12b【解析】：求出左边场地的面积为a2+b2+2ab.由题意可求右边场地的宽=（a2+b2+2ab）÷2（a+b）.按此计算便可．【解答】：解：左边场地面积=a2+b2+2ab.∵左边场地的面积与右边场地的面积相等.∴宽=（a2+b2+2ab）÷2（a+b）=（a+b）2÷2（a+b）= 12（a+b）= 12a+12b .故答案为：12a+12b．【点评】：本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则.准确计算是解题的关键．13.（填空题.2分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角.这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA.OB组成.两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定.OC=CD=DE.点D.E可在槽中滑动.若∠BDE=75°.则∠COD=___ °．【正确答案】：[1]25【解析】：由等腰三角形的性质分别求出∠COD.∠DEC的度数.由外角的性质可求解．【解答】：解：设∠COD=x.∵OC=CD=DE.∴∠COD=∠CDO=x.∠DCE=∠DEC.∵∠DCE=∠COD+∠CDO=2x.∴∠DEC=2x.∵∠BDE=∠DEC+∠COD=3x.∴3x=75°.∴x=25°.故答案为：25．【点评】：本题考查了旋转的性质.等腰三角形的性质.灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14.（填空题.2分）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时.就能拼成一个既不留空隙.又不相互重叠的平面图形.我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案.如：6个正三角形.记作（3.3.3.3.3.3）；3个正三角形和两个正方形.记作（3.3.3.4.4）；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 ___ ．【正确答案】：[1]（3.3.3.3.6）（答案不唯一）【解析】：一种正多边形组成镶嵌.看一个内角度数为360°的约数即可；两种正多边形能否组成镶嵌.要看同一顶点处的几个角之和能否为360°.找到这样的正多边形或组合即可．【解答】：解：正三角形的一个内角度数为60°.正六边形的一个内角度数为120°.那么4个正三角形.一个正六边形能组成镶嵌.记做（3.3.3.3.6）.故答案为：（3.3.3.3.6）（答案不唯一）．【点评】：此题考查了平面镶嵌.用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面.这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；两种或两种以上的正多边形能组成镶嵌.同一顶点处的几个角之和为360°．15.（填空题.2分）如图.等边△ABC中.AD是BC边上的中线.且AD=17.E.P分别是AC.AD上的动点.则CP+EP的最小值等于 ___ ．【正确答案】：[1]17【解析】：作BE⊥AC于E.交AD于P.根据等边三角形的性质得到AD⊥BC.求得点B.C关于AD 为对称.得到BP=CP.根据垂线段最短得出CP+EP=BP+EP=BE=AD.即可得到结论．【解答】：解：BE⊥AC于E.交AD于P.∵△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.∴AD⊥BC.∴AD是BC的垂直平分线.∴点B.C关于AD为对称.∴BP=CP.根据垂线段最短得出：CP+EP=BP+EP=BE.即此时CP+EP的值最小.∵△ABC是等边三角形.∴AC=BC.∵S△ABC= 12BC•AD= 12AC•BE.∴BE=AD=17.即CP+EP的最小值为17.故答案为：17．【点评】：本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识.熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．16.（填空题.2分）新年联欢.某公司为员工准备了A、B两种礼物.A礼物单价a元、重m千克.B礼物单价（a+1）元.重（m-1）千克.为了增加趣味性.公司把礼物随机组合装在盲盒里.每个盲盒里均放两样.随机发放.小林的盲盒比小李的盲盒重1千克.则两个盲盒的总价钱相差 ___ 元.通过称重其他盲盒.大家发现：称重情况重量大于小林的盲盒的与小林的盲盒一样重重量介于小林和小李之间的与小李的盲盒一样重重量小于小李的盲盒的盲盒个数 5 9 4【正确答案】：[1]1; [2]50【解析】：根据小林的盲盒比小李的盲盒重1千克可判断两个盲盒的总价钱相差1元.再根据重量小于小李的盲盒的为4盒可以得出结论：小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物.小林的盲盒中为2件A礼物.然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可．.【解答】：解：∵A礼物重m千克.B礼物重（m-1）千克.∴A礼物比B礼物重1千克.∵每个盲盒里均放两样.小林的盲盒比小李的盲盒重1千克.∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物.小林的盲盒中为2件A礼物；或小李的盲盒中为2件B礼物.小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物；∴不管以上哪种情况.两个盲盒的礼物总价格都相差a+1-a=1（元）.由表格中数据可知.重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物.不可能为2件B礼物.∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物.小林的盲盒中为2件A礼物.∴重量小于小李的盲盒为2件B礼物.∵与小林的盲盒一样重盲盒有5盒.与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒.重量小于小李的盲盒有4盒.∴2件B礼物的有4盒.1件A礼物和1件B礼物有10盒.2件A礼物有6盒.∴2×4（a+1）+10×a+10（a+1）+2×6a=2018.解得a=50.故答案为：1.50．【点评】：本题主要考查数据的收集与整理.能根据一直数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物时解答此题的关键．17.（问答题.8分）因式分解：（1）3x2+6x+3；（2）a3-9a.【正确答案】：【解析】：（1）先提公因式.再用公式法因式分解即可；（2）先提公因式.再用公式法因式分解即可．【解答】：解：（1）3x2+6x+3=3（x2+2x+1）=3（x+1）2；（2）a3-9a=a（a2-9）=a（a-3）（a+3）．【点评】：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用.熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18.（问答题.8分）计算：（1）a3•a+（-a2）3÷a2；（2）[（m+n）（m-n）+（-n）2]÷2m.【正确答案】：【解析】：（1）根据同底数幂的乘除法.幂的乘方和积的乘方即可得出答案；（2）根据平方差公式和整式的除法计算即可．【解答】：解：（1）a3•a+（-a2）3÷a2=a4+（-a6）÷a2=a4-a4=0；（2）[（m+n）（m-n）+（-n）2]÷2m=（m2-n2+n2）÷2m=m2÷2m= 1m.2【点评】：本题考查了整式的混合运算.熟练掌握同底数幂的乘除法.幂的乘方和积的乘方.平方差公式是解题的关键．19.（问答题.5分）已知x2-x+1=0.求代数式（x+1）2-（x+1）（2x-1）的值．【正确答案】：【解析】：根据多项式乘多项式进行化简.然后整体代入即可求值．【解答】：解：原式=x 2+2x+1-2x 2+x-2x+1=-x 2+x+2.当x 2-x+1=0.即-x 2+x=1时.原式=1+2=3．【点评】：本题考查了多项式乘多项式.解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．20.（问答题.5分）如图.AB=AD.AC=AE.∠1=∠2．求证：BC=DE ．【正确答案】：【解析】：要证明BC=DE.只要证明三角形ABC 和ADE 全等即可．两三角形中已知的条件有AB=AD.AC=AE.只要再得出两对应边的夹角相等即可．我们发现∠ABC 和∠DAE 都是由一个相等的角加上∠DAC .因此∠ABC=∠DAE .这样就构成了两三角形全等的条件（SAS ）.两三角形就全等了．【解答】：证明：∵∠1=∠2.∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ．即：∠BAC=∠DAE ．在△ABC 与又△ADE 中. {AB =AD∠BAC =∠DAE AC =AE.∴△ABC≌△ADE ．∴BC=DE．【点评】：本题主要考查了全等三角形的判定.利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．21.（问答题.6分）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1.线段a和线段b.求作：△ABC.使得AB=AC.BC=a.BC边上的中线为b.作法：如图2.① 作射线BM.并在射线BM上截取BC=a；② 作线段BC的垂直平分线PQ.PQ交BC于D；③ 以D为圆心.b为半径作弧.交PQ于A；④ 连接AB和AC．则△ABC为所求作的图形．根据上述作图过程.回答问题：（1）用直尺和圆规.补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC=a.AD=b.∵PQ为线段BC的垂直平分线.点A在PQ上.∴AB=AC（ ___ ）（填依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D.∴___ =___ ．∴AD为BC边上的中线.且AD=b.【正确答案】：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等; BD; DC【解析】：（1）根据要求作出图形即可；（2）利用线段的承载着平分线的性质.等腰三角形的性质解决问题即可．【解答】：（1）解：图形如图所示：（2）证明：由作图可知BC=a.AD=b.∵PQ为线段BC的垂直平分线.点A在PQ上.∴AB=AC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）.又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D.∴BD=DC.∴AD为BC边上的中线.且AD=b.故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等.BD.DC．【点评】：本题考查作图-复杂作图.线段的垂直平分线的性质.等腰三角形的性质等知识.解题的关键是理解题意.灵活运用所学知识解决问题．22.（问答题.5分）如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.∠A=30°.BD平分∠ABC.AD=10.求CD的长．【正确答案】：【解析】：在Rt△ABC中利用∠C=90°.∠A=30°易求∠ABC=60°.再利用角平分线性质可求∠ABD=∠DBC=30°.从而可得∠ABD=∠A.进而可求BD.在Rt△BDC中.利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求CD．【解答】：解：在Rt△ABC中.∵∠C=90°.∠A=30°.∴∠ABC=60°.∵BD是∠ABC的平分线.∴∠ABD=∠DBC=30°.∴∠ABD=∠A.∴BD=AD=10.又∵∠DBC=30°.∴DC= 12BD=5．即DC的长是5．【点评】：本题考查了含有30°角的直角三角形、角平分线的性质．解题的关键是得出BD=AD=10．23.（问答题.5分）课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n边形的一个顶点作对角线.把n边形分成（n-2）个三角形.把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到n边形的内角和等于（n-2）•180°.现在再提供两种添辅助线的方案.请你选择其中一种.再次证明n边形内角和定理．方案一方案二如图.P为n边形A1A2……A n内一点.连接PA1.PA2.…….PA n.那么n边形被分成了 ___ 个三角形. 由此推理n边形的内角和定理．如图.P为n边形A1A2……A n边A1A2上的任意一点.连接PA3.PA4.…….PA n.那么n边形被分成了 ___ 个三角形.由此推理n边形的内角和定理．证明：证明：【正确答案】：n; （n-1）【解析】：在n边形内任取一点O.并把O与各顶点连接起来.共构成n个三角形.这n个三角形的角和为n•180°.再减去以点O为顶点的一个周角.就可以得到n边形的内角和为（n-2）•180°；连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形．【解答】：证明：方法① 在n边形内任取一点O.并把O与各顶点连接起来.共构成n个三角形.这n个三角形的角和为n•180°.再减去以点O为顶点的一个周角.就可以得到n边形的内角和为（n-2）•180°．故答案为：n；方法② 在n边形的任意一边上任取一点P.连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形.这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）•180°.以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°.所以n边形的内角和是（n-1）•180°-180°=（n-2）•180°．故答案为：（n-1）．【点评】：本题考查了多边形的内角和定理的证明.解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决．24.（问答题.6分）如图.在平面直角坐标系xOy中.△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2.3）.B （1.0）.C（1.2）.（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.其中A1的坐标为 ___ ；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等（A、D不重合）.写出所有符合条件的点D坐标．【正确答案】：（2.-3）【解析】：（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.进而可以得A1的坐标；（2）根据网格利用全等三角形的判定即可写出所有符合条件的点D坐标．【解答】：解：（1）如图.△A1B1C1即为所求；A1的坐标为（2.-3）；故答案为：（2.-3）；（2）所有符合条件的点D坐标为：（0.3）或（0.-1）或（2.-1）．。

北京汇文中学八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．对x y 、定义一种新运算T ，规定：()()(),2T x y mx ny x y =++（其中mn 、均为非零常数）．例如：()1,133T m n =+．（1）已知()()1,10,0,28T T -==．①求mn 、的值； ②若关于p 的不等式组()()2,244,32T p p T p p a ⎧->⎪⎨-≤⎪⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围； （2）当22x y ≠时，()(),,T x y T y x =对任意有理数,x y 都成立，请直接写出mn 、满足的关系式．学习参考：①()a b c ab ac +=+，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②()()a b m n am an bm bn ++=+++，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．解析：（1）①11m n =⎧⎨=⎩；②42≤a ＜54；（2）m=2n 【解析】【分析】（1）①构建方程组即可解决问题；②根据不等式即可解决问题；（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．【详解】解：（1）①由题意得()088m n n ⎧--=⎨=⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩， ②由题意得()()()()222424432464p p p p p p p p a ⎧+-+->⎪⎨+-+-≤⎪⎩， 解不等式①得p ＞-1．解不等式②得p≤1812a -， ∴-1＜p≤1812a -， ∵恰好有3个整数解，∴2≤1812a -＜3．∴42≤a ＜54；（2）由题意：（mx+ny ）（x+2y ）=（my+nx ）（y+2x ），∴mx 2+（2m+n ）xy+2ny 2=2nx 2+（2m+n ）xy+my 2，∵对任意有理数x ，y 都成立，∴m=2n ．【点睛】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ． （1）若点E 的位置如图1所示．①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °；②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是 ．（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为 ．解析：（1）①70；②∠F =12∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED =360°；（3）3045α︒≤<︒ 【解析】【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ），求得∠ABF+∠CDF=70︒，即可求解； ②分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE ，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF ），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF ，即可求解；（2）根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED 与∠BFD 之间的数量关系；（3）通过对1452E F ∠≥∠+︒的计算求得30α≥︒，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得45α<︒，即可求得3045α︒≤<︒．【详解】（1）①过F作FG//AB，如图：∵AB∥CD，FG∥AB，∴CD∥FG，∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG，∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60︒+80︒=140︒，∴∠ABF+∠CDF=70︒，∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70︒，故答案为：70；②∠F=12∠BED，理由是：分别过E、F作EN//AB，FM//AB，∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，∴∠BED=∠ABE+∠CDE，∵DF、BF分别是∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线，∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）；同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF，∴∠F=12∠BED；（3）2∠F+∠BED=360°．如图，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，∵AB ∥CD ，EG ∥AB ，∴CD ∥EG ，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE ），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE ），∵BF 平分∠ABE ，∴∠ABE=2∠ABF ，∵DF 平分∠CDE ，∴∠CDE=2∠CDF ，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF ），由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF ，∴∠BED=360°-2∠BFD ，即2∠F+∠BED=360°；（3）∵1452E F ∠≥∠+︒，∠F =α， ∴2452αα≥+︒，解得：30α≥︒，如图，∵∠CDE 为锐角，DF 是∠CDE 的角平分线，∴∠CDH=∠DHB 190452<⨯︒=︒， ∴∠F <∠DHB 45<︒，即45α<︒，∴3045α︒≤<︒，故答案为：3045α︒≤<︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．3．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若3,1a b ab ，求22a b +的值． 解：因为3,1a b ab 所以()29,22a b ab +==所以2229,22a b ab ab ++==得227a b +=．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若228,40x y x y +=+=，求xy 的值；（2）①若()45x x -=,则()224x x -+= ； ②若()()458x x --=则()22()45x x -+-= ； （3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC BC 、为边向两边作正方形，设6AB =，两正方形的面积和1218S S +=，求图中阴影部分面积．解析：（1）12；（2）①6；②17；（3）92 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；（2）①两边平方，再将(4)5x x -=代入计算；②两边平方，再将()()458x x --=代入计算；（3）由题意可得：6AC BC +=，2218AC BC +=，两边平方从而得到9AC BC =，即可算出结果．【详解】解：（1）8x y +=；22()8x y ∴+=；22264x xy y ++=；又2240x y +=；22264()xy x y ∴=-+，2644024xy ∴=-=，∴12xy =．（2）①(4)4x x -+=，22[(4)]4x x ∴-+=222[(4)](4)2(4)16x x x x x x -+=-+-+=；又(4)5x x -=，22(4)162(4)16256x x x x ∴-+=--=-⨯=．②由(4)(5)1x x ---=-，2222[(4)(5)](4)2(4)(5)(5)(1)x x x x x x ∴---=----+-=-；又(4)(5)8x x --=，22(4)(5)12(4)(5)12817x x x x ∴-+-=+--=+⨯=．（3）由题意可得，6AC BC +=，2218AC BC +=；22()6AC BC +=，22236AC AC BC BC ++=；22236()361818AC BC AC BC ∴=-+=-=，9AC BC =；图中阴影部分面积为直角三角形面积，BC CF =， ∴1922ACF S AC CF ∆==．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得①(4)4x x -+=，②(4)(5)1x x ---=-是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段6AB BC +=，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到9AC BC =，再根据直角三角形面积公式得出答案．4．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD 中，若120BCD ∠<︒，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ． ①求证：AD BE CF ==；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．解析：（1）详见解析；（2）①详见解析；②PB PC PD BE ++=，理由详见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD ，判断出BCE ACD ≌（SAS ），即可得出结论；（2）①同（1）的方法判断出≌ACD BCE （SAS ），ABD CBF ≌（SAS ），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE 上取一点M ，使PM=PC ，证明CPM △是等边三角形， 进而判断出PCD MCE ≌（SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD ，∴BCE ACD ≌（SAS ），∴BE=AD ；（2）①证明：∵ABC 和DCE 是等边三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠BCE ，∴≌ACD BCE （SAS ），∴AD=BE ，同理：ABD CBF ≌（SAS ），∴AD=CF ，即AD=BE=CF ；②解：结论：PB+PC+PD=BE ，理由：如图2，AD 与BC 的交点记作点Q ，则∠AQC=∠BQP ，由①知，≌ACD BCE ，∴∠CAD=∠CBE ，在ACQ 中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在BPQ 中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP ）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∴∠=︒∠CPD=120°，CPE60,在PE上取一点M，使PM=PC，△是等边三角形，∴CPM==，∠PCM=∠CMP=60°，∴CP CM PM∴∠CME=120°=∠CPD，△是等边三角形，∵CDE∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，≌（SAS），∴PCD MCE∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．5．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．解析：（1）∠BDC ＝90°+2α；（2）∠BFC ＝2α；（3）∠BMC ＝90°+4α．【解析】【分析】 （1）由三角形内角和可求∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α，由三角形的内角和定理可求解； （2）由角平分线的性质可得∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ，由三角形的外角性质可求解；（3）由折叠的性质可得∠G ＝∠BFC ＝2α，方法同（1）可求∠BMC ＝90°+2G ∠，即可求解.【详解】解：（1）∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠BCD ＝12∠ACB ， ∴∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α， ∴∠BDC ＝180°﹣（∠DBC +∠BCD ）＝90°+2α； （2）∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，∴∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ， ∵∠ACE ＝∠A +∠ABC ，∠FCE ＝∠BFC +∠FBC ，∴∠BFC ＝12∠A ＝2α； （3）∵∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M ， ∴方法同（1）可得∠BMC ＝90°+2G ∠， ∵将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∴∠G ＝∠BFC ＝2α， ∴∠BMC ＝90°+4α. 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.6．（阅读材料）：（1）在ABC ∆中，若90C ∠=︒，由“三角形内角和为180°”得1801809090A B C ∠︒+∠=-∠︒︒-=︒=．（2）在ABC ∆中，若90A B ∠+∠=︒，由“三角形内角和为180°”得180()1809090C A B ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（解决问题）：如图①，在平面直角坐标系中，点C 是x 轴负半轴上的一个动点．已知//AB x 轴，交y 轴于点E ，连接CE ，CF 是∠ECO 的角平分线，交AB 于点F ，交y 轴于点D ．过E 点作EM 平分∠CEB ，交CF 于点M ．（1）试判断EM 与CF 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，过E 点作PE ⊥CE ，交CF 于点P ．求证：∠EPC=∠EDP ；（3）在（2）的基础上，作EN 平分∠AEP ，交OC 于点N ，如图③．请问随着C 点的运动，∠NEM 的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．解析：（1）EM ⊥CF ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）不变，且∠NEM=45°，理由见解析．【解析】【分析】（1）EM ⊥CF ，分别利用角平分线的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理进行求证即可；（2）根据垂直定义和三角形的内角和定理证得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，再利用等角的余角相等和对顶角相等即可证得结论；（3）不变，且∠NEM=45°，先利用平行线的性质得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP ，进而有∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP ，再由角平分线的定义∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP ，再根据同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP ，然后等量代换证得∠NEM=45°，是定值．【详解】解：(1)EM ⊥CF ，理由如下：∵CF 平分∠ECO ，EM 平分∠FEC ，∴∠ECF=∠FCO=12ECO ∠，∠FEM=∠CEM=12CEF ∠ ∵AB ∥x 轴 1111()180902222ECF CEM ECO CEF ECO CEF ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ ∴∠ECO+∠CEF=180°∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF）=180°-90°=90°∴EM⊥CF（2）由题得，∠EOC=90°∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°∵PE⊥CE∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°∵∠DCO=∠ECP∴∠CDO=∠EPC又∵∠CDO=∠EDP∴∠EPC=∠EDP(3)不变，且∠NEM=45°，理由如下：∵AB∥x轴∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP∵EN平分∠AEP∴∠NEP=∠AEN=12AEP∠=1(902)2ECP︒+∠=45°+∠ECP∵∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=90°又∵∠EMC=90°∴∠MEP+∠EPC=90°∴∠ECP=∠MEP∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP 又∵∠NEP=45°+∠ECP∴∠NEM=45°．【点睛】本题是一道综合探究题，涉及有平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、同（等）角的余角相等、对顶角相等、垂线性质等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，寻找相关联信息，确定解题思路，进而探究、推理、论证．7．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．解析：（1）AE//BF;QE=QF ；(2)QE=QF ，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据AAS 得到AEQ BFQ ∆≅∆，得到AEQ BFQ ∠=∠、QE=QF ，根据内错角相等两直线平行，得到AE//BF ；（2）延长EQ 交BF 于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长EQ 交FB 的延长于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明．【详解】（1）AE//BF ；QE=QF（2）QE=QF证明：延长EQ 交BF 于D ，,AE CP BF CP ⊥⊥//AE BF ∴AEQ BDQ ∴∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, AEQ BDQ ∴∆≅∆EQ DQ ∴=90BFE ︒∠=QE QF ∴=（3）当点P 在线段BA 延长线上时，此时（2）中结论成立证明：延长EQ 交FB 的延长于D因为AE//BF所以AEQ BDQ ∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEQ BDQ ∴∆≅∆EQ=QF90BFE ︒∠=QE QF ∴=【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS ，平行线的性质，根据P 点位置不同，画出正确的图形，找到AAS 的条件是解决本题的关键．8．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．解析：（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°∵∠BAC ＝90°∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°∴∠CAE ＝∠ABD∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∴∠ABD=∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B 的坐标为B （1，4）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2，∠DPE =∠α．（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；（2）若点P 在线段AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ； （3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P 运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．解析：(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE与AC的交点为G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．10．请按照研究问题的步骤依次完成任务．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．解析：（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=23x y+；（5）∠P=1802B D︒+∠+∠．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，得到y+（∠CAB-13∠CAB）=∠P+（∠BDC-13∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-13∠CAB-∠CDB+13∠CDB=23x y+；（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到12∠BAD+∠P=[∠BCD+12（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+12∠BCD-12∠BAD +∠D=1802B D︒+∠+∠.【详解】解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：3124P BP D∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩①②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=23°；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°；故答案为：26°；（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-13∠CAB）=∠P+（∠BDC-13∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-13∠CAB-∠CDB+13∠CDB= y+23（∠CAB-∠CDB ） =y+23（x-y ） =2133x y + 故答案为：∠P=2133x y +； （5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D ，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD ，∵AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠BAP=∠DAP ，∠PCE=∠PCB ，∴12∠BAD+∠P=（∠BCD+12∠BCE ）+∠D ， ∴12∠BAD+∠P=[∠BCD+12（180°-∠BCD ）]+∠D ， ∴∠P=90°+12∠BCD-12∠BAD +∠D =90°+12（∠BCD-∠BAD ）+∠D =90°+12（∠B-∠D ）+∠D =1802B D ︒+∠+∠， 故答案为：∠P=1802B D ︒+∠+∠. 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．11．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 解析：（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．12．探究：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝30°，则∠ACD 的度数是 度；拓展：如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别在CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，若∠CBE ＝70°，求∠CAD 的度数；应用：如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连接AD 、BE ，若∠ADP ＝∠BEP ＝60°，则∠CAD +∠CBE +∠ACB ＝ 度．解析：探究：30；（2）拓展：20°；（3）应用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．【详解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案为：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案为120．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直的定义，解本题的关键是充分利用直角三角形的性质：两锐角互余，是一道比较简单的综合题．13．如图，若要判定纸带两条边线a，b是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB折叠的方式来进行探究．∠=∠，则可判定a//b，请写出判定的依据_________；（1）如图1，展开后，测得12（2）如图2，若要使a//b ，则1∠与2∠应该满足的关系是_________；（3）如图3，纸带两条边线a ，b 互相平行，折叠后的边线b 与a 交于点C ，若将纸带沿11A B （1A ，1B 分别在边线a ，b 上）再次折叠，折叠后的边线b 与a 交于点1C ，AB//11A B ，137BB AC ==，，求出1AC 的长．解析：（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；（3）分两种情况：①当B 1在B 的左侧时，如图2，当B 1在B 的右侧时，如图3，分别求出1AC 的长，即可得到答案．【详解】（1）∵12∠=∠，∴a ∥b （内错角相等，两直线平行），故答案是：内错角相等，两直线平行；（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a ∥b ，则1∠与2∠应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①当B 1在B 的左侧时，如图2，∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1AC =AC- AA 1=7-3=4；②当B 1在B 的右侧时，如图3，∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1AC =AC+AA 1=7+3=10．综上所述：1AC =4或10．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．14．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．解析：（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=12 CE，∵BD=CE，∴CF=OF=12 BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD ≌△CBP （SAS ），∴∠BCP=∠A ，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．15．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：FD BC =；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若3AG =，1CG =，求证：E 点为BC 中点． （3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若4BC =，3BE =，则AG CG=______．（直接写出结果） 解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53【解析】【分析】（1）证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF=AC ，等量代换证明结论； （2）作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG=CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；（3）过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG=GD ，AD=CE=7，代入计算即可．【详解】解：（1）证明：∵FD ⊥AC ，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE ，在△AFD 和△EAC 中， AFD EAC ADF ECA AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，90 FDG BCG FGD BGCFD BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴4 1.5111.53 AGCG+==，同理，当点E在线段BC上时，4 1.551.53 AGCG-==，故答案为：113或53.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、选择题16．在数3，﹣3，13，13-中，最小的数为（）A．﹣3 B．13C．13-D．3解析：A【解析】【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：∵3＞13＞13-＞﹣3，∴在数3，﹣3，13，13-中，最小的数为﹣3．故选：A．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．17．购买单价为a元的物品10个，付出b元（b＞10a），应找回（）A．（b﹣a）元B．（b﹣10）元C．（10a﹣b）元D．（b﹣10a）元解析：D【解析】【分析】根据题意知：花了10a元，剩下（b﹣10a）元．【详解】购买单价为a元的物品10个，付出b元（b＞10a），应找回（b﹣10a）元．故选D．本题考查了列代数式，能读懂题意是解答此题的关键．18．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线解析：C【解析】【详解】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．19．下列判断正确的是（）A．3a2bc与bca2不是同类项B．225m n的系数是2C．单项式﹣x3yz的次数是5D．3x2﹣y+5xy5是二次三项式解析：C【解析】【分析】根据同类项的定义，单项式和多项式的定义解答．【详解】A．3d2bc与bca2所含有的字母以及相同字母的指数相同，是同类项，故本选项错误．B．225m n的系数是25，故本选项错误．C．单项式﹣x3yz的次数是5，故本选项正确．D．3x2﹣y+5xy5是六次三项式，故本选项错误．【点睛】本题考查了同类项，多项式以及单项式的概念及性质．需要学生对概念的记忆，属于基础题．20．我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示91颗的是（）A．B．C．D．解析：B【解析】【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别进行计算，然后把它们相加即可得出正确答案．【详解】解：A、5+3×6+1×6×6＝59（颗），故本选项错误；B、1+3×6+2×6×6＝91（颗），故本选项正确；C、2+3×6+1×6×6＝56（颗），故本选项错误；D、1+2×6+3×6×6＝121（颗），故本选项错误；故选：B．【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．21．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（）A．a＞b B．﹣ab＜0 C．|a|＜|b| D．a＜﹣b解析：D【解析】【分析】根据各点在数轴上的位置得出a、b两点到原点距离的大小，进而可得出结论．【详解】解：∵由图可知a＜0＜b，∴ab＜0，即-ab＞0。

2020-2021北京汇文中学初二数学上期中第一次模拟试卷及答案一、选择题1．下列各式中，分式的个数是（ ） 2x ，22a b +，a b π+，1a a +，(1)(2)2x x x -++，b a b+． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．下列分式中，最简分式是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．下列条件中能判定△ABC ≌△DEF 的是 ( )A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠DB ．∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F C ．AC ＝DF ，∠B ＝∠F ，AB ＝DED ．∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF 4．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A ．11B ．12C ．13D ．145．计算()2x y xy x xy--÷的结果为（ ） A ．1yB ．2x yC ．2x y -D ．xy - 6．将多项式241x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）A ．4xB ．4x -4C ．4x 4D ．4x -7．如图，直线AB ∥CD ，∠C ＝44°，∠E 为直角，则∠1等于（ ）A ．132°B ．134°C ．136°D ．138°8．如图，在△ABC 中，过点A 作射线AD ∥BC ，点D 不与点A 重合，且AD≠BC ，连结BD 交AC 于点O ，连结CD ，设△ABO 、△ADO 、△CDO 和△BCO 的面积分别为和,则下列说法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）A ．212A ∠=∠-∠B ．32(12)A ∠=∠-∠C ．3212A ∠=∠-∠D ．12A ∠=∠-∠10．下列说法中正确的是（ ） A ．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部B ．三角形中至少有一个内角不小于60°C ．直角三角形仅有一条高D ．三角形的外角大于任何一个内角11．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b12．2019年5月24日，中国·大同石墨烯+新材料储能产业园正式开工，这是大同市争当能源革命“尖兵”的又一重大举措．石墨烯是已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的韧性，石墨烯的理论厚度为0.00000000034米，这个数据用科学记数法可表示为（ ） A ．90.3410-⨯ B ．113.410-⨯ C ．103.410-⨯ D ．93.410-⨯二、填空题13．如图，把一根直尺与一块三角尺如图放置，若∠1=55°，则∠2的度数为________．14．当x ＝_____时，分式293x x -+的值为零． 15．已知关于x 的分式方程233x k x x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________. 16．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是 ．17．若实数，满足，则______.18．在实数范围因式分解：25a -＝________． 19．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是_____．20．因式分解：x 2y ﹣y 3＝_____．三、解答题21．先化简(31a +－a ＋1)÷2441a a a -++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．22．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm 和15cm 两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．23．已知a 、b 、c 是三角形三边长，试化简：|b +c ﹣a |+|b ﹣c ﹣a |+|c ﹣a ﹣b |﹣|a ﹣b +c |．24．解分式方程（1）2101x x -=+． （2）2216124x x x --=+- 25．如图，已知△ABC ，∠C=90°，AC<BC ，D 为BC 上一点，且到A ，B 两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD ，若∠B=37°，求∠CAD 的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【详解】22a b +, a b π+的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式; b a b +的分子不是整式,因此不是分式. 2x ,1 a a +,()()12 2x x x -++的分母中含有字母,因此是分式. 故选B.【点睛】本题考查了分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子A B 叫做分式,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.注意π不是字母,是常数,所以a b π+不是分式,是整式. 2．A解析：A【解析】【分析】根据最简分式的定义：分子和分母中不含公分母的分式，叫做最简分式，对四个选项中的分式一一判断即可得出答案.【详解】解：A.，分式的分子与分母不含公因式，是最简分式； B.，分式的分子与分母含公因式2，不是最简分式； C.，分式的分子与分母含公因式x -2，不是最简分式； D.，分式的分子与分母含公因式a ，不是最简分式,故选A.【点睛】本题考查了最简分式的概念.对每个分式的分子和分母分别进行因式分解是解题的关键. 3．D解析：D【解析】分析：根据全等三角形的判定定理AAS ，可知应选D.详解：解：如图：A选项中根据AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 不能判定两个三角形全等，故A错；B选项三个角相等，不能判定两个三角形全等，故B错；C选项看似可用“边角边”定理判定两三角形全等，而对照图形可发现它们并不符合此判定条件，故C错；D选项中根据“AAS”可判定两个三角形全等，故选D；点睛：本题考查了全等三角形的条件，本题没有给出图形，增加此题的难度.若能顺利画出图形，对照图形和选项即可得到正确选项.4．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为3+4+6=13．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．5．C解析：C【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题【详解】()()()22===x y xyx xy xyx y x x y xy x x y x y x y--÷-⋅--⋅---故答案为C【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．6．B解析：B【解析】【分析】完全平方公式：()222=2a b a ab b +++，此题为开放性题目．【详解】设这个单项式为Q ，如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故Q=±4x ； 如果这里首末两项是Q 和1,则乘积项是22422x x =⋅,所以Q=44x ；如果该式只有24x 项，它也是完全平方式，所以Q=−1；如果加上单项式44x -，它不是完全平方式故选B.【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方式的基本形式. 7．B解析：B【解析】过E 作EF ∥AB ，求出AB ∥CD ∥EF ，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC ，∠BAE=∠FEA ，求出∠BAE ，即可求出答案．解：过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故选B．“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．8．D解析：D【解析】【分析】根据同底等高判断△ABD和△ACD的面积相等，即可得到，即，同理可得△ABC和△BCD的面积相等，即.【详解】∵△ABD和△ACD同底等高，,，即△ABC和△DBC同底等高，∴∴故A,B,C正确，D错误.故选：D.【点睛】考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.9．A解析：A【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠A′=∠A，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【详解】如图所示：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，∴∠A′=∠A，又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，∵∠A+∠ADA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，整理得，2∠A=∠1-∠2．故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A转化到同一个三角形中是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A；根据三角形的内角和定理判断B；根据三角形的高的定义及性质判断C；根据三角形外角的性质判断D．【详解】A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误；B、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确；C、直角三角形有三条高，故本选项错误；D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；故选B．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．11．A解析：A【解析】【分析】4张边长为a的正方形卡片的面积为4a2，4张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为4ab，1张边长为b的正方形卡片面积为b2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a2+4ab+b2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b．【详解】设拼成后大正方形的边长为x，∴4a2+4ab+b2=x2，∴(2a+b)2=x2，∴该正方形的边长为：2a+b.故选A.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．12．C解析：C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】二、填空题13．145°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3再根据邻补角定义求出∠4然后根据两直线平行同位角相等解答即可【详解】∵∠1=55°∴∠3=90°-∠1=90°-55°=35°∴∠4=180°解析：145°．【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．【详解】∵∠1=55°，∴∠3=90°-∠1=90°-55°=35°，∴∠4=180°-35°=145°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠4=145°．故答案为145．14．3【解析】【分析】分式的值为零的条件：分子为0分母不为0据此即可求出x的值【详解】∵分式的值为零∴x2-9=0且x+3≠0解得：x=3故答案为：3【点睛】本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零需解析：3【解析】【分析】分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，据此即可求出x 的值．【详解】 ∵分式293x x -+的值为零， ∴x 2-9=0，且x+3≠0，解得：x=3，故答案为：3【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．15．k<6且k≠3【解析】分析：根据解分式方程的步骤可得分式方程的解根据分式方程的解是正数可得不等式解不等式可得答案并注意分母不分零详解：方程两边都乘以（x-3）得x=2（x-3）+k 解得x=6-k≠3解析：k <6且k≠3【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零． 详解：233x k x x -=--， 方程两边都乘以（x-3），得x=2（x-3）+k ，解得x=6-k≠3，关于x 的方程程233x k x x -=--有一个正数解， ∴x=6-k ＞0，k ＜6，且k≠3，∴k 的取值范围是k ＜6且k≠3．故答案为k ＜6且k≠3．点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k 的范围是解此题的关键． 16．12【解析】试题解析：根据题意得（n-2）•180-360=1260解得：n=11那么这个多边形是十一边形考点：多边形内角与外角解析：12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．17．5【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出mn 的值然后代入代数式进行计算即可得解【详解】解：根据题意得：m-2=0n-2018=0∴m=2n=2018∴m-1+n0=12+1=32；故答案为：32【解析：5【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出m ，n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意得：， ∴∴； 故答案为：.【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，解题的关键是利用非负性正确求值. 18．【解析】【分析】将5改成然后利用平方差进行分解即可【详解】==故答案为【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式把5写成是利用平方差公式进行分解的关键 解析：(5)(5)a a 【解析】【分析】将5改成25，然后利用平方差进行分解即可. 【详解】25a - =2a -25 =(55a a +， 故答案为(55a a . 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，把5写成25是利用平方差公式进行分解的关键．19．1【解析】【分析】先把每个命题的逆命题写出来再判断逆命题是否成立数出逆命题成立的个数即可得到答案【详解】解：①对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角不成立（例如：等边三角形中的三个角都相等但不是对顶解析：1【解析】【分析】先把每个命题的逆命题写出来，再判断逆命题是否成立，数出逆命题成立的个数即可得到答案．【详解】解：①对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，不成立（例如：等边三角形中的三个角都相等，但不是对顶角）；②全等三角形的对应边相等的逆命题为：对应边相等的三角形是全等三角形，成立（SSS）;③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题为：乘积是正数的两个实数是都是正数，不成立，因为两个负数的乘积也是正数；因此，只有②正确，故答案是1.【点睛】本题主要考查了命题的逆命题的定义（把一个命题的题设和结论互换可得到其逆命题），能正确写出逆命题是解题的关键．20．y(x＋y)(x－y)【解析】【分析】（1）原式提取y再利用平方差公式分解即可【详解】原式=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y）故答案为y（x+y）（x-y）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法解析：y(x＋y)(x－y)【解析】【分析】（1）原式提取y，再利用平方差公式分解即可.【详解】原式=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y）,故答案为y（x+y）（x-y）.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三、解答题21．【解析】试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．试题解析：原式=223111(2)a aa a-++⨯+-=2(2)(2)11(2)a a aa a-+-+⨯+-=22aa+--；当a=0时，原式=1．考点：分式的化简求值．22．底边长为4cm，腰长为10cm.【解析】【分析】根据题意画出图形，设△ABC的腰长为xcm，则AD＝DC＝12xcm，然后根据AB+AD=9和AB+AD=15两种情况分别求出底边和腰长，最后根据三角形的三边关系进行判定是否能够构成三角形，从而得出答案．【详解】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线．设△ABC的腰长为xcm，则AD＝DC＝12 xcm.分下面两种情况解：①AB＋AD＝x＋12x＝9，∴x＝6. ∵三角形的周长为9＋15＝24(cm)，∴三边长分别为6cm，6cm，12cm. 6＋6＝12，不符合三角形的三边关系，舍去；②AB＋AD＝x＋12x＝15，∴x＝10. ∵三角形的周长为24cm，∴三边长分别为10cm，10cm，4cm，符合三边关系．综上所述，这个等腰三角形的底边长为4cm，腰长为10cm.【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质以及分类讨论思想的应用，属于中等难度的题型．学会分类讨论是解决这个问题的关键．23．2b【解析】【分析】首先根据三角形三边之间的关系得出绝对值里面的数的正负性，然后再进行去绝对值计算，得出答案.【详解】∵b+c-a>0, b-c-a<0. c-a-b<0, a-b+c>0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|=(b+c-a)-(b-c-a)-(c-a-b)-(a-b+c)=(b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b24．（1）x=-2；（2）无解【解析】【分析】【详解】（1）去分母得：2(1)0x x +-=，解此整式方程得：2x =-，检验：当2x =-时，(1)0x x +≠，∴原方程的解为：2x =-.（2）去分母得：22(2)164x x --=-，解此整式方程得：2x =-，检验：当2x =-时，(2)(2)0x x +-=，∴2x =-是原方程的增根，∴原方程无解.【点睛】解分式方程时需注意两点：（1）解分式方程的基本思路是“去分母，化分式方程为整式方程”；（2）求得对应的整式方程的解后，需检验，再作结论.25．（1）点D 的位置如图所示（D 为AB 中垂线与BC 的交点）．（2）16°．【解析】【分析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB 的中垂线．（2）要求∠CAD 的度数，只需求出∠CAD ，而由（1）可知：∠CAD=2∠B【详解】解：（1）点D 的位置如图所示（D 为AB 中垂线与BC 的交点）．（2）∵在Rt △ABC 中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．又∵AD=BD ，∴∠BAD=∠B=37°．∴∠CAD=53°—37°=16°．考点：尺规作图，直角三角形两锐角互余、垂直平分线的性质．。

东城区2019——2018学年度第一学期期末教学目的检测初二数学2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司。

将0.056用科学记数法表示为A. -15.610⨯B. -25.610⨯C.-35.610⨯ D ．-10.5610⨯ 2．江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而奇妙的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，其中根本是轴对称图形的是 3．下列式子为最简二次根式的是 A.2()+a bB. 12aC. 2D.124．若分式23x x -+的值为0，则x 的值等于A ．0B ．2C ．3D ．-3 5．下列运算正确的是A. 532b b b ÷=B.527()b b =C.248b b b = D ．2-22a a b a ab =+（）6．如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60︒，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ， 若BE=1，则AC 的长为A ．2B ．3C ．4D ．237.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线。

此角平分仪的画图原理是：根据仪器构造，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE=∠PAE. 则说明这两个三角形全等的根据是A. SASB. ASAC. AASD. SSS8．如图，根据计算长方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立a bb aa a aD CBAA. 2222)(b ab a b a ++=+B. 2222)(b ab a b a +-=-C. 22))((b a b a b a -=-+ D. 2()a a b a ab +=+9．如图，已知等腰三角形ABC AB AC =，，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论肯定．．正确的是A ．AE =ECB ．AE =BEC ．∠EBC =∠BACD ．∠EBC =∠ABE10．如图，点P 是∠AOB 内随意一点，且∠AOB ＝40°，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时,则∠MPN 的度数为（ ）A ．140° B．100° C．50° D． 40° 二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11x 的取值范围是 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，1）关于y 轴对称的点的坐标是 ．13．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，已知BF =CE ，AC //DF ，请你添加一个适当的条件 使得△ABC ≌△DEF ． 14．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是 ．15.如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_______．第15题 图 第16题 图16．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠ABC ，BC =10cm ，BD ：DC =3:2，则点D 到AB 的间隔 为_____ cm ．17．假如实数,a b 满意226,8,a b ab a b +==+=那么 ； 18．阅读下面材料：在数学课上，教师提出如下问题：小俊的作法如下：教师说：“小俊的作法正确．”请答复：小俊的作图根据是_________________________．三、解答题(本题共9个小题，共54分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)19．(5分)计算：101326()(21)2--++--20．（5分）因式分解：（1）24x - （2） 2244ax axy ay -+21．（5分）如图，点E ，F 在线段AB 上，且AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：DF =CE .22．（5分）已知2+2x x =，求()()()()22311x x x x x +-+++-的值23．（5分）解分式方程：11+2-22-xx x+=． 24．（5分）先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中32x =-． 25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营.截至2019年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区.据统计，2019 年地铁每小时客运量是2019年地铁每小时客运量的4倍，2019年客运240万人所用的时间比2019年客运240万人所用的时间少30小时，求2019年地铁每小时的客运量？如图，①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C ； ②再分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D ，使点D 与点C 在直线AB 的同侧；③作直线CD . 尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB ．26.（6分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥于点D ，AM 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线．(1)求证：AM ∥BC ；(2)若DN 平分∠ADC 交AM 于点N ，推断△ADN 的形态并说明理由． 27．（6分）定义：随意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩大得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1） 若1,a b ==干脆写出,a b 的“如意数”c ；（2）假如4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数” 0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b = (用含x 的式子表示)28. (6分)如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E. （1）依题意补全图形；（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE ，写出AE , BE , CE 之间的数量关系，并证明你的结论．东城区2019——2018学年度第一学期期末教学目的检测初二数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共54分）21. 如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.求证：△ADF≌△BCE.证明：∵点E，F在线段AB上，AE＝BF.，∴AE +E F ＝BF +EF ， 即：AF ＝BE ．………1分 在△ADF 与△BCE 中，,,,AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………3分∴△ADF ≌△BCE (SAS ) ………4分∴ DF=CE （全等三角形对应边相等）………5分 23.解方程：11+2-22-xx x+=解：方程两边同乘（x －2），得1＋2(x －2)＝－1-x 2分 解得：2.33x分24. 先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中2x =．当2x =-时，原式===．…5分25.解：设2019年地铁每小时客运量x 万人，则2019年地铁每小时客运量4x 万人……1分由题意得240240-304x x= ……………3分解得x ＝6 …………… 4分经检验x ＝6是分式方程的解 ……………5分4x 24=……………6分答：2019年每小时客运量24万人 26.（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12BAC ∠．…………… 1分∵AM 平分∠EAC ，∴∠EAM =∠MAC=12EAC ∠．…………… 2分∴∠MAD =∠MAC +∠DAC =1122EAC BAC ∠+∠=1180902⨯︒=︒。

2022北京汇文中学初二（上）期中数学一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出米的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）．A. B. C. D.2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. x2+3x+2＝（x+1）（x+2）B. 3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1C. m（a+b）＝ma+mbD. （a+2）2＝a2+4a+43. 已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）A. 8B. 7C. 5D. 64. 桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( )A. 节省材料，节约成本B. 保持对称C. 利用三角形的稳定性D. 美观漂亮5. 下列运算结果为a6的是()A. a3•a2B. a9﹣a3C. (a2)3D. a18÷a36. 如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，FG是（）A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧∠的平分线上：②点O到7. 如图，点O是ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在AABC的三边的距离相等；③OB OC=，以上结论正确的有（）A. ②③B. ①②C. ①③D. ①②③8. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且MN ＝12BC ，MD ⊥BC 交AB 于点D ，NE ⊥BC 交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，△BMD 和△CNE 的面积之和（ ）A. 保持不变B. 先变小后变大C. 先变大后变小D. 一直变大二、填空题（每小题2分，共16分）9. 如果等腰三角形一边长为3，另一边长为10，那么它的周长是 _____．10. 已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是 _____．11. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则表示ABC 重心的点是__________；12. 有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2()a b +，则宽为 _____．13. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝75°，则∠COD ＝_____°．14. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作(3,3,3,3,3,3)；3个正三角形和两个正方形，记作(3,3,3,4,4)；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 _____．15. 如图，等边ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且17AD =，E P ，分别是AC ，AD 上的动点，则CP EP +的最小值等于 _____．16. 新年联欢，某公司为员工准备了A 、B 两种礼物，A 礼物单价a 元、重m 千克，B 礼物单价（a +1）元，重（m ﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差 _____元，通过称重其他盲盒，大家发现：三、解答题（共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分）17. 因式分解：（1）2363x x ++；（2）39a a −．18. 计算：（1）()3322a a a a ⋅+−÷；（2）()()()22m n m n n m ⎡⎤+−+−÷⎣⎦． 19. 已知210x x −+=，求代数式2(1)(1)(21)x x x +−+−的值．20. 已知：如图，=AB AD ，=AC AE ，BAD CAE ∠=∠，求证：=BC DE ．21. 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a 和线段b ．求作：ABC ，使得AB AC =，BC a =，BC 边上的中线为b ．作法：如图2，①作射线BM ，并在射线BM 上截取BC a =；②作线段BC 的垂直平分线PQ ，PQ 交BC 于D ；③以D 为圆心，b 为半径作弧，交PQ 于A ；④连接AB 和AC ．则ABC 为所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC a =，AD b ．∵PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，∴AB AC =（ ）（填依据）．又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D ，∴ ＝ ．∴AD 为BC 边上的中线，且AD b ．22. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC ，AD ＝10，求CD 的长．23. 课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n 边形的一个顶点作对角线，把n 边形分成(2)n −个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到n 边形的内角和等于(2)180n −⋅︒，现在再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种，再次证明n 边形内角和定理． P 为n 边形12n A A A 内一连接12n PA PA PA ，，，，那么 个三角形，边形的内角和定理． P 为n 边形12n A A A 边A 上的任意一点，连接34PA PA ，，……边形被分成了 个三边形的内角和定理．中，ABC 的三个顶点的坐标分别是()1，0，(12)C ，，（1）在图中作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，其中1A 的坐标为 ；（2）如果要使以B C D 、、为顶点的三角形与ABC 全等（A D 、不重合），写出所有符合条件的点D 坐标．25. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x −+，由于2223(1)2x x x −+=−+，所以当1x −取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x −+的值是相等的，例如，当11x −=±，即2x =或0时，223x x −+的值均为3；当12x −=±，即3x =或1−时，223x x −+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t −取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x −+关于1x =对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问愿：（1）多项式2610x x −+关于x = 对称；（2）若关于x 的多项式223x bx ++关于4x =对称，求b 的值；（3）整式22(816)(44)x x x x ++++关于x = 对称．26. 在ABC 中，D 是BC 的中点，且90≠︒∠BAD ，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，作CE AB ∥交直线AB '于点E ．（1）如图，若AB AC >，①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为一、三象限角平分线，点P 关于y 轴的对称点称为P 的一次反射点，记作1P ；1P 关于直线l 的对称点称为点P 的二次反射点，记作2P ．例如，点（2−，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：（1）点（3，4）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；（2）当点A 在第三象限时，点M （4−，1），N （3，1−），Q （1−，5−）中可以是点A 的二次反射点的是 ；（3）若点A 在第二象限，点1A ，2A 分别是点A 的一次、二次反射点，1250A OA ∠=︒，求射线OA 与x 轴所夹锐角的度数；（4）若点A 在y 轴左侧，点1A ，2A 分别是点A 的一次、二次反射点，12AA A 是等腰直角三角形，请直接写出点A 在平面直角坐标系xOy 中的位置．参考答案一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. 【答案】D【解析】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，利用轴对称图形的定义一一排查即可．【详解】根据轴对称图形的定义，只有选项D是轴对称图形，其它都不是，故选择：D．【点睛】本题考查轴对称图形问题，掌握轴对称图形的定义，会利用轴对称图形的定义识别图形是解题关键．2. 【答案】A【解析】【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．【详解】解：A、x2+3x+2＝（x+1）（x+2），符合因式分解的定义，故正确；B、3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故错误；C、m（a+b）＝ma+mb，是整式的乘法，不是因式分解，故错误；D、（a+2）2＝a2+4a+4，是整式的乘法，不是因式分解，故错误．故选：A．【点睛】本题主要考查的是因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义以及运算方法是解题的关键．3. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，∵x为整数，∴x的最大值为6．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．4. 【答案】C【解析】【分析】只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性，据此作答即可．【详解】解：桥梁的斜拉钢索往往是三角形结构，这主要是利用了三角形的稳定性．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．5. 【答案】C【解析】【分析】利用有关幂的运算性质直接运算后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、a 3•a 2=a 5，不符合题意；B 、a 9﹣a 3，不能合并，不符合题意；C 、（a 3）2=a 6，符合题意；D 、a 18÷a 3=a 15，不符合题意，故选:C ．【点睛】本题考查了幂的有关运算性质，解题的关键是能够正确的运用有关性质，属于基础运算，比较简单．6. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．【详解】解：由作图可知作图步骤为：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧DM ，分别交OA ，OB 于M ，D ．②以点C 为圆心，以OM 为半径画弧EN ，交OA 于E ．③以点E 为圆心，以DM 为半径画弧FG ，交弧EN 于N ．④过点N 作射线CP ．根据同位角相等两直线平行，可得CP ∥OB ．故选C ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7. 【答案】B【解析】【分析】过点O 分别作,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，根据角平分线的性质可得OD OE OF ==，进而判断①②，连接AO ，结合①②的结论，进而可得AOD AOF △≌△,ODB OFC △≌△,假设③成立，进而得出AB AC =，根据题意无法证明AB AC =，进而判断③；【详解】过点O 分别作,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，如图，点O 是ABC 的两个外角平分线的交点， ,OD OE OE OF ∴==，∴OD OE OF ==，OD OF =，∴点O 到ABC 的三边的距离相等；故②正确；,OD AB OF AC ⊥⊥，∴点O 在A ∠的平分线上，故①正确；连接AO ，假设OB OC =， =OD OF ,AO 是BAC ∠的角平分线， ,OD AB OF AC ⊥⊥， OAD OAF ∴∠=∠，90ADO AFO ∠=∠=︒， ∴AOD AOF △≌△,ODB OFC △≌△， AD AF ∴=,DB CF =，AD BD AF CF ∴−=−，即AB AC =， AB 不一定等于AC ，故③不成立；故正确的有①②．故选B ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．8. 【答案】B【解析】【分析】妨设BC ＝2a ，∠B ＝∠C ＝α，BM ＝m ，则CN ＝a ﹣m ，根据二次函数即可解决问题．【详解】解：不妨设BC ＝2a ，∠B ＝∠C ＝α，BM ＝m ，则CN ＝a ﹣m ，则有S 阴＝12•m•mtanα+12（a ﹣m ）•（a ﹣m ）tanα ＝12tanα（m 2+a 2﹣2am+m 2） ＝12tanα（2m 2﹣2am+a 2） ＝1tan 2α22[2()]22a a m •−+； 当2a m =时，S 阴有最小值； ∴S 阴的值先变小后变大，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键根据二次函数的性质得出面积改变规律．二、填空题（每小题2分，共16分）9. 【答案】23【解析】【分析】结合等腰三角形两腰相等和三角形三边关系即可求解．【详解】解：分两种情况：当腰为3时，3310+<，所以不能构成三角形；当腰为10时，31010+>，所以能构成三角形，故周长是：3101023++=．故答案为：23．【点睛】本题考察等腰三角形的定义和三角形三边关系，属于基础几何知识考查，难度不大．解题的关键是掌握三角形的三边关系．10. 【答案】10【解析】【分析】先思考正多边形的外角和为360°，再根据一个外角为36°，即可求出正多边形的边数即可．【详解】正多边形的边数是：360°÷36°=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 11. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合勾股定理即可得出结论．【详解】解：如下图所示由勾股定理可得：= =∴N ，M 分别是AB ，BC 的中点∴直线CD 经过ABC 的AB 边上的中线，直线AD 经过ABC 的BC 边上的中线，∴点D 是ABC 重心．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解决此题的关键，属于基础题意，比较简单．12. 【答案】1122a b + 【解析】【分析】先求出左边场地的面积，再根据面积相等可以求出右边场地的宽．【详解】解：左边场地面积222a b ab =++，∵左边场地的面积与右边场地的面积相等， ∴宽222111(2)2()()2()()222a b ab a b a b a b a b a b =++÷+=+÷+=+=+， 故答案为：1122a b +． 【点睛】本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算式解题的关键．13. 【答案】25【解析】【分析】根据题意设COD x ∠=，所以COD CDO x ∠=∠=，然后列出等式进行求解即可．【详解】解：设COD x ∠=，∵OC CD DE ==，∴COD CDO x ∠=∠=，DCE DEC ∠=∠，∵2DCE COD CDO x ∠=∠+∠=，∴2DEC x ∠=，∵3BDE DEC COD x ∠=∠+∠=，∴375x =︒，∴25x =︒，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练运用相关性质进行推理是解本题的关键．14. 【答案】(3,3,3,3,6)（答案不唯一）【解析】【详解】正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做(3,3,3,3,6)，故答案为：(3,3,3,3,6)（答案不唯一）．15. 【答案】17【解析】【分析】点C 关于AD 的对称点为点B ，CP EP BP EP BE +=+≥，当且仅当,,B E P 三点共线时，CP EP BP EP BE +=+=，再根据垂线段最短，得到当BE AC ⊥时，CP EP +最小，利用等边三角形的性质，进行求解即可．【详解】解：过点B 作BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，∵ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴AD BC ⊥，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴点B C ，关于AD 为对称，∴BP CP =，∴CP EP BP EP BE +=+≥当且仅当,,B E P 三点共线时，CP EP BP EP BE +=+=，根据垂线段最短得出：BEAC ⊥时，此时CP EP +的值最小， ∵ABC 是等边三角形，∴AC BC =， ∵1122ABC S BC AD AC BE ∆=⋅=⋅， ∴17BE AD ==，即CP EP +的最小值为17，故答案为：17．【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称．熟练掌握等边三角形三线合一，以及轴对称法解决线段和最小问题，是解题的关键．16. 【答案】 ①. 1 ②. 50【解析】【分析】由题意知，盲盒中礼物的重量组合有(),m m ，(),1m m −，()1,1m m −−共三种情况，由图表可知，小林的盲盒的重量组合为(),m m ，小李的盲盒的重量组合为(),1m m −，共有1519420++++=个盲盒，表示出小林与小李盲盒的总价钱后作差即可；由图表可得盲盒中共有A 礼物有(15)21922+⨯++=个，B 礼物有194218++⨯=个，列一元一次方程2218(1)2018a a ++=，计算求解即可得到a 的值．【详解】解：由题意知，盲盒中礼物的重量组合有(),m m ，(),1m m −，()1,1m m −−共三种情况，总重量分别为2m ，21m −，22m −千克∴由图表可知，小林的盲盒的重量组合为(),m m ，重量为2m 千克，小李的盲盒的重量组合为(),1m m −，重量为21m −千克，共有1519420++++=个盲盒∴小林盲盒的总价钱为2a a a +=元，小李盲盒的总价钱为121a a a ++=+元∴两个盲盒的总价钱相差2121a a +−=元∴盲盒中共有A 礼物有(15)21922+⨯++=个，B 礼物有194218++⨯=个∴2218(1)2018a a ++=解得50a =故答案为：1；50．【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于确定,A B 两种礼物的个数与不同盲盒的个数．三、解答题（共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分）17. 【答案】（1）()231x +（2）()()33a a a −+【解析】【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±；（2）先提公因式，再用平方差公式()()22a b a b a b −=+−； 【小问1详解】解：()()22236332131x x x x x ++=++=+； 【小问2详解】()()()329933a a a a a a a −=−=+−．【点睛】本题考查因式分解，解题关键掌握因式分解的方法：提公因式法、公式法，注意因式分解要彻底．18. 【答案】（1）0（2）12m 【解析】【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减；（2）先计算中括号里的乘方和乘法，然后计算括号里的加减，去掉括号后计算除法．【小问1详解】解：()3322a a a a ⋅+−÷ =()462a aa +÷- =44a a −=0【小问2详解】解：()()()22m n m n n m ⎡⎤+−+−÷⎣⎦=()2222m n nm −+÷ =22m m ÷ =12m 【点睛】本题考查了含乘方的整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 【答案】22x x −++，3．【解析】【分析】先按照完全平方公式与多项式乘以多项式的法则进行整式的乘法运算，再合并同类项即可得到化简的结果，再把210x x −+=化为21,x x −=−再整体代入求值即可得到答案．【详解】解：原式2212221x x x x x =++−+−+22x x =−++．当210x x −+=时，21,x x ∴−=−原式()()221212 3.x x =−−+=−−+=+=【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握利用完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则进行整式的乘法运算是解题的关键．20. 【答案】见解析【解析】【分析】先证明∠=∠BAC DAE ，再根据SAS 得出BAC DAE ≅，即可证明=BC DE ．【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠，∴=BAD DAC CAE DAC ∠+∠∠+∠，∴∠=∠BAC DAE在BAC △和DAE △中，===AB AD BAC DAE AC AE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BAC DAE ≅()SAS∴=BC DE ．【点睛】本题考查三角形的判定与性质，三角形全等的判定方法有：SSS ASA SAS AAS HL 、、、、，选用合适的判定定理是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，BD DC =．【解析】【分析】（1）根据步骤作图即可；（2）根据线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，据此填空即可．【小问1详解】解：图形如图所示：【小问2详解】证明：由作图可知BC a =，AD b ，∵PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，∴AB AC =（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D ，∴BD DC =，∴AD 为BC 边上的中线，且AD b ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质及作图，三角形的中线，牢固掌握其性质是解题的关键．22. 【答案】DC 的长是5【解析】【分析】在Rt △ABC 中利用∠C ＝90°，∠A ＝30°易求∠ABC ＝60°，再利用角平分线性质可求∠ABD ＝∠DBC ＝30°，从而可得∠ABD ＝∠A ，进而可求BD ，在Rt △BDC 中，利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求CD ．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝30°，∴∠ABD ＝∠A ，∴BD ＝AD ＝10，又∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°，∴DC ＝12BD ＝5．即DC 的长是5．【点睛】本题考查了含有30°角的直角三角形、角平分线的性质．解题的关键是得出BD ＝AD ＝10． 23. 【答案】方案一：n ，证明见解析；方案二：(n )1−，证明见解析【解析】【分析】方案一，在n 边形内任取一点O ，并把O 与各顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的角和为180n ⋅︒，再减去以点O 为顶点的一个周角，就可以得到n 边形的内角和为(2)180n −⋅︒； 方案二，连接P 点与其它各顶点的线段可以把n 边形分成(n )1−个三角形．【详解】证明：方案一，在n 边形内任取一点P ，并把O 与各顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的角和为180n ⋅︒，再减去以点O 为顶点的一个周角，就可以得到n 边形的内角和为(2)180n −⋅︒．故答案为：n ；方案二，在n 边形的边12A A 上的任意一点P ，连接P 点与其它各顶点的线段可以把n 边形分成(n )1−个三角形， 这(n )1−个三角形的内角和等于(1)180n −⋅︒，以P 为公共顶点的(n )1−个角的和是180︒，所以n 边形的内角和是(1)180180(2)180n n −⋅−=−⋅︒︒︒．故答案为：(n )1−．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决．、24. 【答案】（1）图见解析，(2,3)−（2）(0,3)或(0,1)−或(2,1)−【解析】【分析】（1）由关于x 轴对称的点的坐标的特征先确定111A B C 、、三点的坐标，再描点，连线即可； （2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出一个符合条件的点D 坐标．【小问1详解】如图，111A B C △即为所求；1A 的坐标为（2，﹣3）；故答案为：（2，﹣3）；【小问2详解】如图2，所有符合条件的点D 坐标为：(0,3)或(0,1)−或(2,1)−；【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．25. 【答案】（1）3 （2）4b =−（3）3−【解析】【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；（2）求出223x bx ++的对称轴，令对称轴4x =即可；（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．【小问1详解】解：22610(3)1x x x −+=−+，则多项式关于3x =对称．故答案为：3；【小问2详解】解：∵22223()3x bx x b b ++=++−，∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =−对称，∴4b −=，∴4b =−；【小问3详解】解：22(816)(44)x x x x ++++22(4)(2)x x =++[]2(4)(2)x x =++22(68)x x =++22(3)1x ⎡⎤=+−⎣⎦， ∴关于3x =−对称．故答案为：3−．【点睛】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． 26. 【答案】（1）①见解析；②AB AE CE =+ ，理由见解析（2）不成立，AB AE CE =−【解析】【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案； （2）连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案．【小问1详解】①补全图形如图所示：②AB AE CE =+ ，理由如下：如图，连接B D B C ''， ，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '， ,AB AB B AD BAD ''∴=∠=∠ ，又AD AD = ，(SAS)B AD BAD '∴∆≅∆ ，,AB D ABD B D BD ''∴∠=∠=，CE AB ∥ ，BCE ABD ∴∠=∠，AB D BCE '∴∠=∠，D 是BC 的中点，BD CD ∴= ，B D CD '∴=，DB C DCB ''∴∠=∠，即AB D EB C BCE ECB '''∠+∠=∠+∠， EB C ECB ''∴∠=∠，B E CE '∴= ，AB AE B E AE CE ''∴=+=+ ，AB AB AE CE '∴==+；【小问2详解】不成立，AB AE CE =−，理由如下：如图，连接B D B C ''，，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，,AB AB B AD BAD ''∴=∠=∠ ，又AD AD = ，(SAS)B AD BAD '∴∆≅∆ ，,AB D ABD B D BD ''∴∠=∠=，D 是BC 的中点，BD CD ∴= ，B D CD '∴=，DB C DCB ''∴∠=∠，CE AB ∥ ，180DCE ABD ∴∠+∠=︒，即180ABD DCB ECB ''∠+∠+∠=︒，180AB D DB C EB C '''∠+∠+∠=︒，180AB D DB C EB C ABD DCB ECB '''''∴∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，DCB DB C ''∠=∠，ECB EB C ''∴∠=∠，B E CE '∴= ，AB AE B E AE CE ''∴=−=− ，AB AB AE CE '∴==−．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键．27. 【答案】（1）（3−，4），（4，3−）（2）M （4−，1）（3）20°或70° （4）点A 在x 轴上或直线y x =上【解析】【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解；（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断2A 的位置即可；（3）判断出射线1OA 与x 轴的夹角，可得结论；（4）利用图像法，点A 在x 轴上或直线y x =上满足条件．【小问1详解】点（3，4）的一次反射点为（3−，4），二次反射点为（4，3−）；故答案为：（3−，4），（4，3−；【小问2详解】∵点A 在第三象限时，∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，∴点M （4−，1），N （3，1−），Q （1−，5−）中可以是点A 的二次反射点的是M （4−，1）； 故答案为：（4−，1）；【小问3详解】如图1中，∵1250A OA ∠=︒，∴1OA 与x 轴的夹角为20°或70°，根据对称性可知，OA 与x 轴所夹锐角的度数为20°或70°；【小问4详解】如图2中，观察图象可知，当点A 在x 轴上时，12AA A 是等腰直角三角形．如图3中，观察图象可知，当点A 在直线y x =上时，12AA A 是等腰直角三角形．综上所述，点A 在x 轴上或直线y x =上．【点睛】本题考查坐标与图形变化——对称，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是理解一次反射点、二次反射点的定义，学会利用图像法解决问题．。

2018-2019学度北京版初二数学上年中检测题及解析 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

〔本试卷总分值：120分，时间：120分钟〕【一】选择题〔每题4分，共32分〕1.化简()22422+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m m m 的结果为〔〕A.0B.1C.D.2.两码头相距千米，一船顺水航行需小时，逆水航行需小时，那么水流速度为〔〕 A.22s s a b ⎛⎫-⎪⎝⎭千米／时B.22s s b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭千米／时 C 、ba ab -2千米／时D 、a b ab -2千米／时 3.分式方程123-=x x 的解为〔〕 A.B.C.D.4.甲计划用假设干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务.设甲计划完成此项工作的天数是x ，那么x 的值为〔〕A.5B.6C.7D.85.以下二次根式，不能与12合并的是（） A.48 B.18C.311 D.75-6.等式2111x x x -⋅+=-成立的条件是〔〕A.1x >B.1x <-C.D.≤7.假设a 错误！未指定书签。

，b 为实数，且满足｜，那么的值为〔〕A.2B 、0C 、－2D 、以上都不对8.以下说法错误的选项是〔〕A.5是25的算术平方根B.1是1的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【二】填空题〔每题4分，共16分〕 9.化简：mm m -+-2242＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 10.111x =-，那么211x x +--＝＿＿＿＿＿＿. 11、：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，那么a 的值是、12.计算：＿＿＿＿＿＿＿＿；22512+＿＿＿＿＿＿＿＿.【三】解答题〔共72分〕13.〔5分〕当《0时，化简：＋＋ 14.〔5分〕假设x 1y1，求y xy x y xy x ---+2232的值. 15.〔5分〕甲、乙两地相距，骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，骑摩托车也从甲地去乙地、的速度是的速度的3倍，结果两人同时到达乙地、求两人的速度、16.（5分），，124-=-=+xy y x 求1111+++++y x x y 的值. 17.（5分）先化简，再求值：a a a a a -+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--2244111，其中.1-=a 18.（5分）计算：211.2x x x x x x--⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭- 19.〔5分〕先化简，再求值：(3)(3)(6)a a a a +---，其中1122a =+. 20.〔5分〕0)2(12=-+-ab a ，求 )2004)(2004(1...)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值. 21.〔5分〕小东在学习了b a b a =后，认为b a b a =也成立，因此他认为一个化简过程：545520520-⨯-=--=--545-⋅-=＝24=是正确的.你认为他的化简对吗？如果不对请说明理由并改正.22.〔5分〕大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：的小数部分是，的整数部分是b ，求的值. 23.〔7分〕28-++=b a a M 是()8+a 的算术平方根，423+--=b a b N 是()3-b 的立方根，求N M +的平方根.24.〔7分〕先阅读以下的解答过程，然后再解答： 形如n m 2±的化简，只要我们找到两个数，使m b a =+，n ab =， 即m b a =+22)()(，n b a =⋅，那么便有：b a b a n m ±=±=±2)(2)(b a >. 例如：化简：347+. 解：首先把347+化为1227+，这里7=m ，12=n ，由于，， 即7)3()4(22=+，1234=⨯， 所以347+1227+32)34(2+=+. 根据上述例题的方法化简：42213-.25.〔8分〕阅读下面问题：12)12)(12()12(1211-=-+-⨯=+； ();23)23)(23(231231-=-+-⨯=+ ()25)25)(25(251251-=-+-⨯=+.试求：〔1〕671+的值；〔2〕nn ++11〔n 为正整数〕的值. 〔3〕计算：11111122334989999100+++⋅⋅⋅+++++++.期中检测题参考答案1.B 解析：()224412 1.2222m m m m m m m ⎛⎫-+÷+=⋅= ⎪---+⎝⎭2.A 解析：因为两码头相距千米，一船顺水航行需小时，逆水航行需小时， 所以这艘船顺水航行的速度为时千米as ，逆水航行的速度为时千米b s 、 所以水流的速度为 ()().222121时千米逆水航行的速度顺水航行的速度⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-b s a s b s a s 3.C 解析：方程两边同乘，得x x 233=-，解得3=x .经检验：3=x 是原方程的解.所以原方程的解是3=x 、4.B 解析：由题意，得，解得.5.B 解析：因为122348431832===，，，14231,33 3== 所以只有与不是同类二次根式，所以不能与合并.6.C 解析：由题意知，所以7.C 解析：∵，∴，，∴、应选C 、8.C 解析：A.因为＝5，所以本说法正确；B.因为±＝±1，所以1是1的一个平方根，本说法正确；C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；D.因为，，所以本说法正确.应选C 、9.2--m 解析：.22)2)(2(2422422--=-+-=--=-+-m m m m m m m m m 10.3解析：因为111x =-，所以，所以211x x +-- 11.2解析：由一个正数的两个平方根互为相反数，知，所以 12.3,13解析：221232333,51216913.-=-=+==13.解：＋＋＝. 因为所以原式＝－14.解：因为x 1y1所以 所以()23232431.2()22244x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy -++--+-====------- 15.解：设的速度为千米／时，那么的速度为千米／时、 根据题意，得方程.6020335050=-x x 解这个方程，得、经检验是原方程的根、所以、答：两人的速度分别为千米／时千米／时、16.解：()()()()12)(211112222+++++++=+++++=y x xy y x y x y x x y 原式().12)(222++++++-+=y x xy y x xy y x 把124-=-=+xy y x ，代入，得.15341412282416-=+--+-+=原式17.解：.2)2()1(1244111222-=--⋅--=-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a a a a a a a a a a 当1-=a 时，.31211=---=原式 18.解：(1)2211= 1.22x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭-----÷∙=--- 19.解：(3)(3)(6)a a a a +--- 当1122a =+1222=+时，原式6 20.解：因为，所以，从而.所以)2004)(2004(1...)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 200620051...431321211⨯++⨯+⨯+⨯= 2006120051...41313121211-++-+-+-= .20062005200611=-= 21.解：不正确.理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的， 所以520520--=--这一步是错误的. 注意b a b a =的前提条件是. 正确的化简过程是：.24545545520520520==⨯=⨯===-- 22.解：∵4《5《9，∴2《《3，∴7《5＋《8，∴＝－2.又∵－2》－》－3，∴5－2》5－》5－3，∴2《5－《3，∴， ∴23.解：因为是的算术平方根，所以又是的立方根，所以解得 所以，，所以.所以的平方根为24.解：由题意可知，由于，所以.25.解：〔1〕671+1(76)(76)(76)⨯-=+-＝76-. 〔2〕11(1)11(1)(1)n n n n n n n n n n ⨯+-==+-+++++-. 〔3〕11111122334989999100+++⋅⋅⋅+++++++。

2019北京初二（上）期中数学汇编代数式一、单选题1．（2019·北京·人大附中八年级期中）已知当 x =2 时，代数式ax 3－bx +3的值为 5，则当 x =－2 时， ax 3－bx +3的值为（ ）A ．5B ．－5C ．1D ．－12．（2019·北京·人大附中八年级期中）初一年级 14 个班举行了篮球联赛，规则如下：（1）每一个班都要和其他 13 个班打一场比赛，且每一场比赛一定分出胜负；（2）胜一场积 2 分，负一场积,1 分；（3）比赛结束后按照班级总积分高低颁发奖项. 若一个班已经完成了所有的比赛，胜m 场，则该班总积分为（ ）A ．2mB ．13－mC ．m +13D ．m +143．（2019·北京·人大附中八年级期中）历史上，数学家欧拉最先把关于 x 的多项式用记号 f (x )来表示，把 x 等于某数a 时的多项式的值用f (a )来表示，例如 x =－2 时，多项式 f (x )= x 2 +5x －6 的值记为 f (－2)，那么 f (－2)等于（ ）A ．8B ．－12C ．－20D ．0二、填空题4．（2019·北京市第四十三中学八年级期中）已知a 是方程的一个根，则代数式4a 2+6a+1的值等于2x 2+3x ―4=0_______．5．（2019·北京·海淀教师进修学校附属实验学校八年级期中）在考试期间，某文具店平均每天可卖出30支2B 铅笔，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，若该文具店把零售单价下降x 元（），0<x <1那么该文具店平均每天可卖出________支铅笔．6．（2019·北京·101中学八年级期中）如图的程序计算函数值，若输入x 的值为，则输出的结果y 为________． 327．（2019·北京市昌平区十三陵中学八年级期中）用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是_______cm （用含n 的代数式表示）．三、解答题8．（2019·北京·101中学八年级期中）边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积．9．（2019·北京市昌平区马池口中学八年级期中）已知和的小数部分分别为，求该代数式7+57―5a,b ab―a+4b―3的值.10．（2019·北京市三帆中学八年级期中）先分解因式，再求值：已知，，求的值.a+b=2ab=9a3b+2a2b2+ab3211．（2019·北京·清华附中八年级期中）先化简再求值：(x + 2 y)+(x + 2 y)(x－2 y)+ 2 y，其中x =－1，y = 2 ；2212．（2019·北京·人大附中八年级期中）已知3x－y－2 = 0 ，求代数式5(3x－y)2－9x +3 y－13的值.参考答案1．C【分析】把x=2代入代数式，使其值为5确定出8a-2b的值，再将x=-2 代入ax3－bx +3化简得-（8a-2b）+3，再代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：8a-2b+3=5，即8a-2b=2，则当x=-2时，原式=-（8a+2b）+3=-2+3=1，故选C.【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．C【分析】根据胜一场积2分，负一场积1分，以及胜m 场，进而列出式子求出答案．【详解】解：由题意得：2m+(13―m)=13+m故选C.【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意知道一共参加了13场比赛是解题的关键.3．B【分析】把x=-2代入f（x）计算即可确定出f（-2）的值．【详解】解：根据题意得：f（-2）= x2 +5x－6=4-10-6=-12．故选B．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．9【分析】根据a是原方程的解，把a代回原方程，再把方程转化为代数式相关的形式，代入求解即可．【详解】∵a是方程的一个根，代入得：2x2+3x―4=02a2+3a―4=0∴2a2+3a=4∴4a2+6a=8∴代数式4a2+6a+1=8+1=9故答案为9【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，通过已知方程转变为代数式内式子相等关系的式子是解题的关键．5．30+100x 【分析】根据零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔列式；【详解】当零售单价下降x 元（），则每天可多卖出0<x <1（支）10x 0.1=100x 则平均每天可卖出（）支铅笔．30+100x 故答案是：．30+100x 【点睛】本题考查列代数式，解题关键是求出每天可多卖出铅笔的数量，即（）支．100x 6．0.5【分析】根据程序计算即可.【详解】∵1＜＜232∴y =-+2=0.5，32故答案为：0.5【点睛】此题主要考查程序的计算，解题的关键是根据题意代入正确的程序计算.7． 【详解】解：第一次：1个小正方形的时候，周长等于1个正方形的周长，是1×4=4；第二次：3个小正方形的时候，一共有4条边被遮挡，相当于少了1个小正方形的周长，所搭图形的周长为2个小正方形的周长，是2×4=8；第三次：6个小正方形的时候，一共有13条边被遮挡，相当于少了3个小正方形的周长，所搭图形的周长为3个小正方形的周长，是3×4=12；…．找到规律，第n 次：第几次搭建的图形的周长就相当于几个小正方形的周长是n×4=4n ．所以第n 个图形的周长为4n ．8．2a 2．【分析】直接利用两个正方形面积和减去空白三角形面积，进而可得出答案．【详解】解：由题意可得，阴影部分面积：(2a )2+a 2－12×2a(2a +a)＝5a 2－3a 2＝．2a 2【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出各部分面积是解题关键．9．0【分析】 先估算出的大小，然后求得、的值，最后直接代入利用二次根式的法则进行计算即可．5a b 【详解】解；，∵4<5<9．∴2<5<3．．∴a =7+5―9=5―2b =7―5―4=3―5∴ab ―a +4b ―3=(5―2)(3―5)―(5―2)+4(3―5)―3=―5+25+35―6―5+2+12―45―．3=0【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小、二次根式的混合运算，求得、的值是解题的关键．a b 10．18【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．【详解】解：a 3b+2a 2b 2+ab 3=ab （a 2+2ab+b 2）=ab （a+b ）2把a+b=2，ab=代入，得原式=×4=18．9292【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，将所求式子进行适当的变形是解题的关键． 11．；22（x +y ）2【分析】先由完全平方公式、平方差公式得到x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y2，再合并同类项得到2x 2+ 4x y + 2 y ，将x =－1，y = 2代入即可得到答案.2【详解】(x + 2 y)+(x + 2 y)(x －2 y)+ 2 y22=x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y2= 2x 2+ 4x y + 2 y2=2（x 2+ 2x y + y ）2=2（x+y ）22×(―1+2）2则x =－1，y = 2代入得到=2.【点睛】本题考查代数式、完全平方公式、平方差公式和合并同类项，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和合并同类项的计算.12．1【分析】根据3x－y－2 = 0得3x－y = 2，把3x－y = 2代入5(3x－y)2－9x +3 y－13化简求解即可.【详解】∵解：3x－y－2 = 0∴3x－y = 25(3x－y)2－9x +3 y－13=5(3x－y)2－3（3x-y）－13∵5(3x－y)2－3（3x-y）－13=5×22-3×2-13=1故答案为1.【点睛】本题考查代数式化简求值计算，关键是根据已知式子进行解答．。