一元一次不等式
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
1．理解一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式等概念。
2．会解一元一次不等式，并会在数轴上表示不等式的解集。
3．通过类比一元一次方程的有关概念、解法来学习一元一次不等式的有关概念及解法，发展学生的类比推理能力。
【教学重点】
一元一次不等式的解法和用数轴表示不等式的解集。
【教学难点】
准确求一元一次不等式的解集。
【教学过程】
一、复习
不等式的基本性质
二、引例
问题：某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元。
如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费应高于多少万元？
分析：设该公司增加的科研经费为x万元，根据题意，得：
200>
+x
8.1
245
三、新授课
含有一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
（一）问题：请你找出一个数，使得上述不等式成立。
一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。
所有这些解的全体成为这个不等式的解集。
求不等式解集的过程，叫做解不等式。
（二）提示：不等式的解集与不等式的解的区别：解集是使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合。
而不等式的解是使不等式成立的未知数的值，二者的关系是解集包含解，所有的解组成解集。
（三）回顾：解一元一次方程的过程 1．去分母（等式基本性质2） 2．去括号（去括号法则）
3．移项（移项法则、等式基本性质1） 4．合并同类项（整式加减） 5．系数化为1（等式基本性质2）
（四）类比一元一次方程的解法来研究一元一次不等式如何解。
例1：
1．解方程：)2(752x x -=+ 2．解不等式：)2(752x x -≤+
（五）总结：解一元一次不等式的过程。
（六）将不等式的解集在数轴上表示出来。
（七）注意
1．空心点和实心点的使用，注意它们在表示不等式解集时的差别； 2．小于（小于或等于）时向左，大于（大于或等于）时向右。
（八）练习
1．（2010年邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（ ） A ．x≤1 B ．x≥1 C ．x<1 D ．x>1
2．例2：解不等式：)32(3312-≥-x x
答案：
827
≤
x
将例1的第二题和例2的最后一步（系数化为1）进行对比，强调不等式的两边同时乘以
－2 －1 0 1
2
（或除以）一个数时，要先判断这个数的正负，再考虑运用不等式基本性质2或性质3。
3．练习（课本练习1、练习2（1））
4．解不等式1)1(2+<-x x ，并求它的非负整数解。
5．（2010年荷泽中考）若关于x 的不等式3m-2x<5的解集是x>2，则实数m 的值为______。
变式练习：已知不等式)2(2+≥+x a x 的解集如图所示，求不等式a ax 35>+的解集。
6．如果不等式03≤-m x 的正整数解是1、2、3，则m 的取值范围是（ ） A ．9≤m <12 B ．9<m<12 C ．m<12 D ．m≥9
变式练习：如果不等式03<-m x 的正整数解是1、2、3、4，则m 的取值范围是______。
7．已知关于x 的方程
415
2435-=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围。
四、总结
（一）什么是一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式？ （二）解一元一次不等式与解一元一次方程有哪些相同和不同的地方？ （三）不等式的解集如何在数轴上表示出来？
【第二课时】 【教学目标】
会解含分母的一元一次不等式，并会在数轴上表示其解集。
【教学重点】
含分母的一元一次不等式的解法。
【教学难点】
在数轴上表示不等式的解集。
【教学过程】
（一）复习
1．一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式。
－4 －3 －2 －1 0
1
2．不等式的解集如何在数轴上表示出来。
3．解一元一次不等式的步骤。
（二）新授课
例1：解不等式：213
4x
x <
-+，并把它的解集表示在数轴上。
1．同步练习（课本习题7.2第2题）
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）
23
)14(21<
--x x ； （2）3)1(4124+≥
++x x 。
例2：解不等式：
33
1512->-+x x 。
注意：方程两边可以同时乘以15，去掉分母。
也可以同时乘以-15，此时要注意不等号方向改变。
2．同步练习
解不等式：15145
)1(2-+-
--x x >1 3．交流
解一元一次方程与解一元一次不等式有哪些相同和不同的地方？为什么？
不等式的解法与方程的解法基本一样，只是最后一步“系数化为1”时，要注意不等式基本性质3的应用。
例3：若代数式5)53(2+y 的值不大于代数式2
31
5-+y 的值，求y 的取值范围。
变式练习x 取哪些正整数时，代数式
413--
x 的值不小于代数式8)
2(3+x 的值？
答案：不等式的解集为4≤x ，x 取1、2、3、4。
例4：解不等式：7.75.01
.02.03.0<++-x x
例5：已知关于x 的不等式22>-m x 与不等式x
->-
3231的解集相同，求m 的值。
4．变式练习
已知不等式(3)314k x x +>+与不等式211x x ->+的解相同，求2
51k k -+的值。
（三）选用练习
1．（2010江苏南通）关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≥2 B ．m≤2 C ．m>2 D ．m<2
2．如果不等式ax+4<0的解集在数轴上表示如图，那么a 的值是（ ）
A ．a>0
B ．a<0
C ．a=-2
D ．a=2 3．已知)1(645)25(3+-<++x x x ，化简：x
x 3113--+。
4．当x 为何值时，
114x --
的值不小于3(1)
8x +的值。
5．求不等式121
5312≤+--x x 的非正整数解，并在数轴上表示出来。
（四）总结
1．含分母的一元一次不等式的解法步骤有哪些？
2．解一元一次方程与解一元一次不等式有哪些相同和不同的地方？ 3．本节课有哪些需要注意的问题？ （五）思想方法：类比思想
【第三课时】 【教学目标】
1．会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际。
2．通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决问题的经验，感知方程与不等式的内在联系。
3．在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯。
【教学重点】
寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。
【教学难点】
弄清列不等式解决实际问题的思想方法。
【教学过程】
（一）回顾复习 解下列不等式：
1．7212
1x
x +<
- 2．1352213++≤--
x x
答案：1．3<x ；2．1-≥x 。
（学生板演，师生共同点评） （二）新授课
例1：松山公园梅花展个人票每张10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠。
当人数不足20人时，试问有多少人时买20人的团体票比买个人票要便宜？
分析：题目中的数量关系是：购买团体票的钱少于购买个人票的钱。
根据上述关系列出不等式求解。
注意：可先假设为相等关系列方程，再改为不等关系列不等式。
注意体会列不等式解决问题和列方程解决问题的关联和区别。
例2：学校举行环保知识竞赛，共有20个问题，答对一题得5分，不答或答错一题扣3分。
王林希望自己的得分不低于80分，那么他至少答对多少题？
分析：设王林答对了x 题，则：
80)20(35≥--x x
5.17≥x
注意：受实际问题的限制，最后结果要取整数，所以王林至少答对了18题。
例3：一水果商某次按每千克4元购进一批苹果，销售过程中有20%的苹果正常损耗。
问该商家把售价定为多少时可以避免亏本？
分析：设商家的售价为x 元/千克，且设商家进货m 千克，则：
m x m 4%)201(≥-
5≥x
所以定价不低于5元/千克可以不亏本。
注意：根据进货总价和销售总价的关系可以列不等式求解。
列式过程中需要引入购进苹果的重量，不妨设重量为参数m ，在解不等式的过程中，两边同时除以m ，从而消去参量m ，求出x 的值。
同步练习：课本练习第1、2、3题。
例4：为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A 、B 两种型号设备，
经预算：该企业购买设备的资金不高于130万元。
（1）请你设计该企业的几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为2260吨，为了节约资金，应该选哪种购买方案？ 分析：（1）设购买A 中型号设备x 台，则购买B 型号设备)10(x -台，根据题意，得
130)10(1215≤-+x x
310
≤
x
由于x 为正整数，x 只能取1、2、3。
因此购买方案有三种：①购买A 型号设备1台，B 型号设备9台； ②购买A 型号设备2台，B 型号设备8台； ③购买A 型号设备3台，B 型号设备7台。
（2）第①种方案：购买资金为123万元，处理污水量为2230吨。
第②种方案：购买资金为126万元，处理污水量为2260吨。
第③种方案：购买资金为129万元，处理污水量为2290吨。
由以上计算知，应选第②种方案。
例5：某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元。
相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%。
（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？
（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？ （3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，应如何选购鱼苗？ 分析：设购买甲种鱼苗x 尾，则购买乙种鱼苗(6000)x -尾， （1）由题意得：
0.50.8(6000)3600x x +-=
解这个方程，得：4000x = ∴60002000x -=
答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾。
（2）由题意得：0.50.8(6000)4200x x +-≤ 解这个不等式，得： 2000x ≥ 即购买甲种鱼苗应不少于2000尾。
（3）由题意得：909593(6000)6000100100100x x +-≥⨯
解得：2400x ≤
即购买甲种鱼苗应不超过2400尾。
注意：比较问题（1）和问题（2）的过程，再次体会列方程解决问题和列不等式解决问题的联系。
（三）总结
根据实际问题中的不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式可得到实际问题的答案。
