六年级奥数-牛吃草问题-教师讲义

6-1-10.牛吃草问题（一）教学目标1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识精讲英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲模块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？【巩固】牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则头牛96天可以把草吃完．【巩固】一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?【例 2】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。

六年级奥数牛吃草问题讲座牛吃草问题牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度．牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.下面给出几例牛吃草及其相关问题．草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?【分析与解】27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；3头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；所以需要12×6÷6=12，于是2l头牛需吃12周．评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了．一般方法：先求出变化的草相当于多少头牛来吃：÷；再进行如下运算：×时问甲÷=时间丙．或者：×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周?【分析与解】我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个.36×12=432头牛吃一周吃4个．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草．对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷=36周吃完2公顷．所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36×÷20=9周．于是50头牛需要9周吃10公顷的草．．如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光．之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？【分析与解】一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即群牛，1天，吃了1块1天新长的.又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完.所以，③=2阴影部分面积.于是，整个为块地.那么需要群牛吃新长的草，于是=现在.所以需要吃：天.所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?【分析与解】我们注意到：牛、马45天吃了原有+45天新长的草①牛、马90天吃了原有+90天新长的草⑤马、羊60天吃了原有+60天新长的草②牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③马90天吃了原有+90天新长的草④所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.所需时间为l÷=36天.所以，牛、羊、马一起吃，需36天．有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是公顷、10公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?【分析与解】由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形．所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷=0.6头牛，加上专门吃新长草的o．9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草．所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．。

牛吃草问题（讲义）一、教学目标1、知识与技能：（1）能够理解牛吃草问题的实质，掌握该类问题的解法。

（2）通过问题的解法，可以根据所给条件图示或思维图，finding the answer。

2、过程与方法：通过引领学生自主探究、合作学习等方式，激发学生的问题意识和探究欲望，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容牛吃草问题的讲解三、教学方法1、解释法2、举例法3、归纳法四、教学过程Step1、引入（1）学生在小组中集思广益，思考有没有什么常识可以与牛吃草问题相关联。

比如：牛一定会一口一口地吃草，不会一口吃掉。

（2）老师引入牛吃草问题。

如果有一头牛在一片长满草的牧场上吃草，它平均每天可以吃掉牧场上草的90%。

那么如果这头牛吃了2天，牧场上还剩下多少草？Step2、探究（1）老师让学生分组探究。

思考：如果牛吃了1天，牧场上还剩下多少草？如果牛连续吃了两个周六（即2天），又会吃掉多少？如果吃了3天、4天呢？请你们探究该问题的解法。

（2）学生分享与总结。

学生展示自己的解法，并总结出如下规律：n 天后还剩1 ($ 1 \div 10 $) $\times 10 = 1$2 ($ 1 \div 10 $) $\times 9 = 0.9$3 ($ 1 \div 10 $) $\times 8 = 0.8$……n ($ 1 \div 10 $) $\times (10-n) $Step3、引申（1）如上所述，牧场的草只剩10%。

如果这时再入一只牛来吃草，那么还能支撑多少天？（2）如果现在牛吃1天最多能吃掉30%草，那么还能支撑多少天？Step4、总结回顾笔记，让学生总结解决牛吃草问题的方法。

五、教学总结本节课学习到了牛吃草问题。

引入问题后，老师呈现出其解决方式，学生自主学习和合作学习，掌握相关知识与技能。

通过此类问题的引导，学生可以从一系列看似简单的问题中，慢慢发展出自己的数学思维和解题方法，从而增加解决问题的能力。

牛吃草问题教学目的：1、学会在草生长或枯萎时，计算牛吃草的天数或牛的头数。

2、通过吃草的天数和牛的头数，来计算草地的生长或枯萎速度及原有的草量。

3、掌握典型牛吃草问题的求解方法。

4、掌握草地面积变化的牛吃草问题解法。

教学重难点：1、计算草生长速度和原有草量2、归一法解决草地面积变化类牛吃草问题1、牛吃草，看似主角是牛，其实主角是草，草原上的草到了春天，春意盎然，“蹭蹭”的长，长的比牛吃的还快；到了秋天，就算没有牛，草地自己也会慢慢枯萎。

所以草地自身草量的变化非常关键。

草生长情况下吃草天数的计算，最关键的一步是求出“草地每天真正的减少量。

”牛吃草问题，只要抓住草地每天的减少量，其他问题都好办！2、通过吃草的天数和牛的头数，来计算草地的情况，关键还是围绕草地进行分析。

主要计算三个量：①草地在多少天内提供了多少草？②多少是新草？③多少是老草？3、解决典型的牛吃草问题，要紧紧抓牢两个关键的量：①草的生长速度②原有的草量4、解决草地面积变化牛吃草问题，最关键的一步是“归一”。

先把已知条件归为一公顷草地提供草的情况，再通过对比算出一公顷草地的草的生长速度和原有草量。

归一运算的步骤：先算出整块草地在多少天内提供了多少草，再除以草地面积，求出一公顷草地在多少天内提供了多少草。

草量变化时求牛数与天数例题1 1头牛1天吃“1份草”，草地一开始有60份草，每天新生长2份草，问8头牛几天可以吃完整片草地的草？例题2 1头牛1天吃“1份草”，草地一开始有60份草，每天枯萎2份草，问8头牛几天可以吃完整片草地的草？每天减少量：8×1+2=10份60÷10=6天草地6天被吃完！计算草速与原有草量例题3 一片草地8头牛吃10天，4头牛吃18天，你觉得这片草地是在生长还是枯萎呢？如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地每天枯萎或者减少的草量是多少份？例题4 一片草地8头牛吃10天，6头牛吃15天，如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地原有多少份草呢？总草量：6×15=90份新草：15×2=30份老草：90-30=60份典型牛吃草问题例题5 一片草地，8头牛吃10天，6头牛吃15天，4头牛吃几天？草地面积变化牛吃草问题例题6 同样一片草地，15头牛20天吃了其中的5公顷，24头牛30天吃了其中的9公顷，40头牛多少天可以吃其中的10公顷？训练1 1头牛1天吃“1份草”，草地开始有60份草，每天新生长2份草，问几头牛5天可以吃完整片草地的草？训练2 有一片牧场，草地上现有20 0份草，草地每天都均匀地生长5份草．若一开始放25头牛，每头牛每天吃1份草，一共可以吃几天？训练3 一片草地8头牛吃10天，6头牛吃15天，你觉得这片草地是在生长还是枯萎呢？如果一头牛一天吃的草量为1份，那这片草地每天枯萎或者减少的草量是多少份？训练4 有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草．如果在牧场上放养14头牛，那么15天能把草吃完；如果只放养19头牛，那么10天能把草吃完．那么每天均匀长几份草？草地一开始原有几份草？训练5 有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草．如果在牧场上放养20头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养15头牛，那么15天能把草吃完．如果要想一直有草吃，那么最多放几头牛？（思考：一直有草吃的含义是什么？）训练6 一片面积为7公顷的草地，可供10头牛吃70天。

牛吃草问题精讲【例1】（★★）加油站解“牛吃草”问题的主要依据：1．草的每天生长量不变；有一片牧场，草每天都在均匀地生长.如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完。

请问：⑴要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？⑵如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？2．每头牛每天的食草量不变；3．草的总量＝草场原有的草量＋新生的草量，4．新生的草量＝每天生长量×天数。

【例2】（★★）【例3】（★★★）进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30 只羊，把草吃完需要30天，如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？1【例5】（★★★★★）【例4】（★★★★）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快.有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完.在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完.如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【例6】（★★★★）如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)．之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始23就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？3①④【例7】（★★★★）小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。

六年级奥数讲义牛吃草问题TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】第三十九周“牛吃草”问题专题简析：牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。

“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。

因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。

例1：一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。

因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。

新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。

假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。

而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。

这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）练习11、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供19头牛吃几天？2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？3、牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？例2：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

牛吃草问题一、知识梳理英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：① 草的每天生长量不变；② 每头牛每天的食草量不变；③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．二、方法归纳同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数) ÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．三、课堂精讲（一）、草匀速增长，不同头数的牛吃同一片次的草：例1. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10 头牛吃20 天，可供15 头牛吃10 天，那么，供25 头牛吃多少天？【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1.牧场上有一片牧草，供24 头牛6 周吃完，供18 头牛10 周吃完。

假定草的生长速度不变，那么供19 头牛几周吃完？2.牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头牛吃 18 周？头牛吃几周？例2．一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16 头牛吃20 天，或者可供80 只羊吃12 天，如果1 头牛的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么10 头牛与60 只羊一起吃可吃多少天？【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。

六年级数学专题讲解：牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量.
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题：确定两个不变的量.
基本公式：
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
例题解析：
一片草地，可供15头牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天. 如果青草每天生长速度一样，那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天?
分析：一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那么15头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上这片草地10天长出草，以下类推……其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量要少. 原因是因为其一，用的时间少;其二，对应的长出来的草也少. 这个差就是这片草地5天长出来的草. 每天长出来的草可供5头牛吃一天. 如此当供10牛吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的草，余下的牛吃草地上原有的草。

(15×10-25×5)÷(10-5)=(150-125)÷(10-5) =25÷5
=5(头)→可供5头牛吃一天.
150-10×5 =150-50 =100(头)→草地上原有的草可供100头牛吃一天
100÷(10-5) =100÷5 =20(天)
答：若供10头牛吃，可以吃20天。

网络搜集整理，仅供参考。

数学公开课体验课《牛吃草问题》学生讲义及答案【牛吃草问题】牛吃草问题的关键：原有草量、每天新长出草量学会通过画辅助图解决实际问题【例1】一块草地有草240份，每天长6份，如果每头牛每天吃1份草，那么：（1）要使草永远吃不完，那么最多放养（6）头牛；（2）10头牛，吃（60）天；18头牛，吃（20）天；（3）（24）头牛，吃12天；（14）头牛，吃24天【练1】一块草地有草150份，每天长2份，如果每头牛每天吃1份草，那么：（1）要使草永远吃不完，那么最多放养（2）头牛；（2）8头牛，吃（25）天；（3）17头牛，吃（10）天；（4）（12）头牛，吃15天；（5）（7）头牛，吃30天。

【例2】一片草地，每天都匀速长出青草。

现在这块草地可供37头牛吃7天，27头牛吃17天，可供21头牛吃多少天？解：设一头牛一天吃1份草37头牛7天吃：37×7=259（份）27头牛17天吃：27×17=459（份）每天长草：（459-259）÷（17-7）=20（份）原来有草：259-20×7=119（份）或459-17×7=119（份）能吃：119÷（21-20）=119（天）答：那么可供21头牛吃119天。

【练2】有一个牧区长满草，每天匀速生长。

这个牧区的草可供27头牛食用6周，或供23头牛食用9周，可供多少头牛食用12周？（2014广东公务员考试）解：假设一头牛一周吃草量是1份，则草的生长速度：（23×9－27×6）÷（9－6）=（207－162）÷3=15（份）原有的草量为：27×6－6×15=72（份）能吃：72÷（21－15）=12（周）答：那么可供21头牛吃12周。

第28讲-“牛吃草”问题教学目标明确牛吃草问题中，必须把草的生长与牛吃的草问题，分开来分析解决，避免复杂错乱。

能够了解问题中的基本不变量并会求出，清楚牛吃草中等量的关系，能够利用求出的不变量来求解变化的问题。

知识梳理一、专题引入英国物理学家牛顿曾经编了这样一道数学题:牧场上有一片草，每天生长的一样快，这片草可供10头牛吃22天，或者供16头牛吃10天，如果供22头牛可吃几天？这道题就是有名的牛吃草问题，也叫牛顿问题。

解决这一问题的关键是:在牛吃草的同时，草每天也在不断均匀生长，所以草总量也在不断变化。

二、知识清单1、牛吃草问题中不变基本量:草的原有量、草的生长速度2、牛吃草问题中可变量:牛的数量、天数3、等量关系:草的总量与牛吃的草的总量一致草的总量=原有草量+草的生长速度×天数(或者草的总量=原有草量-草的减少速度×天数)，牛吃的草量=牛头数×1×天数(一般设1头牛1天吃“1”份草)。

草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；典例分析考点一:求时间例1:牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供27头牛吃6周，或者可供23头牛吃9周。

问:可供21头牛吃几周?【解析】1、这片草每天以同样的速度生长是分析问题的难点。

我们可以设1头牛1周吃草1份，27头牛6 周吃27⨯6=162份，23头牛9周吃草23⨯9=207份，比较这两个量发现总草量是不一样的，那是为什么呢？思考后得出，总草量的差实际上是由于草生长了不同的时间所导致的。

9周比6周的草多长了(207-162=45份)， 所以每周长出的草量为(45÷3=15份)，那么原来草量为162-15⨯6=72(份)。

2、接下来也是一个难点，我们可以巧妙的处理一下21头牛，我们可以把它分为2部分，15头牛去吃 新草，剩下的6头牛去吃旧草，什么时候将旧草吃完，整个牧场的草也就吃完了。

牛吃草问题观察前面的图案，想想问号处应该填什么？一块牧场长满了草，每天均匀生长。

这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。

可供25头牛吃＿＿天。

【解析】A 假设1头牛1天吃草的量为1份。

每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。

那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

一、定义伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧草331格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。

问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。

”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。

这类问题难在哪呢？大家看看它的特点二、特点 在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。

三、解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数【例1】★牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=． 供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例2】★由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【解析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()2051566510⨯-⨯÷-=，原有草量为：()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的头数是：15010105÷-=(头)．【小试牛刀】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。

牛吃草问题精讲加油站解“牛吃草”问题的主要依据：1．草的每天生长量不变；2．每头牛每天的食草量不变；3．草的总量＝草场原有的草量＋再生的草量，4．再生的草量＝每天生长量×天数。

【例 2】（★★）【例 1】（★★）有一片牧场，草每天都在均匀地生长.若是在牧场上放养 24 头牛，那么 6 天就把草吃完了；若是只放养 21 头牛，那么 8 天才把草吃完。

请问：⑴要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？⑵若是放养 36 头牛，多少天可以把草吃完？【例 3】（★★★）进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯败，因此草会均匀地减少，现在开始在这片牧场上放羊，若是有 38 只羊，把草吃完需要 25 天；若是有 30 只羊，把草吃完需要 30 天，若是有 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？一个农民有面积为 2 公顷、 4 公顷和 6 公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得同样密，而且长得同样快．农民将8 头牛赶到 2 公顷的牧场，牛 5天吃完了草；若是农民将 8 头牛赶到 4 公顷的牧场，牛 15 天可吃完草．问：若农民将这 8 头牛赶到 6 公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？1【例 4 】（★★★★）第一、二、三号牧场的面积依次为 3 公顷、 5 公顷、 7 公顷，三个牧场上的草长得同样密，且生长得同样快 .有两群牛，第一群牛 2 天将一号牧场的草吃完，又用 5 天将二号牧场的草吃完 .在这 7 天里，第二群牛恰好将三号牧场的草吃完 .若是第一群牛有 15 头，那么第二群牛有多少头？【例 6】（★★★★）如图，一块正方形的草地被分成完好相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天此后把①号草地的草吃光 (在这 2 天内其他草地的草正常生长 )．此后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草， 6 天后又将两个草地的草吃光．尔后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，别的的牛放在④ 号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么若是一开始23就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？3①④②③【例 5】（★★★★★）一片匀速生长的牧草，若是让马和牛去吃，15 天将草吃尽；若是让马和羊去吃， 20 天将草吃尽；若是让牛和羊去吃，30 天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【例 7 】（★★★★）小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。

牛吃草问题牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。

难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。

“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．题型1、一块地的“牛吃草问题”1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150-=份草，这⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了2001505050份草是牧场的草201010÷=，那么原-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105有草量为：200520100-⨯=．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．2、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，651⨯-⨯=，-=天自然减少的草量为2051664原有草量为：()+=；所以可供11 2045120+⨯=。

应用题入门之牛吃草问题知识点概述同一块草地上的牛吃草问题多块草地上的牛吃草问题牛吃草的变型题例题精讲一、同一块草地上的牛吃草问题：一块牧场长满草,每天牧草都均匀生长.这片牧场可供10头牛吃20天；可供15头牛吃10天.问：可供25头牛吃多少天？例1例2进入冬季牧场上的草开始枯萎,因此草会均匀地减少.在这片牧场上放牛,如果放38头牛25天把草吃完；如果放30头牛30天把草吃完.如果40天吃完需要多少头牛？二、多块草地上的牛吃草问题：例3一个农夫有面积为2公顷,4公顷和6公顷的三块牧场,三块牧场上的草长得一样密,而且长得一样快,农夫将8头牛赶到2公顷的牧场,牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场,牛15天可吃完草.问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场,这块牧场可供这些牛吃几天？例4有三块草地,面积分别为5公顷、15公顷和24公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天.问：第三块草地可供多少头牛吃80天？三、牛吃草的变型题例5某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多.从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟.如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟？例6一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀,如果同时打开进水阀及一个排水阀,则30分钟能把水池的水排完,如果同时打开进水阀及两个排水阀,则10分钟把水池的水排完.问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需要多少分钟才能排完水池的水？知识点总结同一块草地上的牛吃草问题：五步法多块草地上的牛吃草问题：统一面积牛吃草的变型题：找准变型与原型的对应关系。

第八讲牛吃草问题牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿1642—1727)提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不一样，求假设干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个根本公式，分别是︰五大根本公式:1) 设定一头牛一天吃草量为“1〞2〕草的生长速度＝草量差÷时间差；3〕原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`4〕吃的天数＝原有草量÷〔牛头数－草的生长速度〕；5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这五个公式是解决牛吃草问题的根底。

首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚条件，进展比照分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我先介绍一些比拟浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点求天数例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：〔200-150〕÷〔20-10〕=5份10×20=200份=原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100份或15×10=150份=原草量+10天的生长量原草量：150-10×5=100份100÷〔25-5〕=5天答：这片牧草可供25头牛吃5天？练习1〔求时间〕1．1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。

这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。