2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
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全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(时间:4月20日上午8:00—10:00)一、选择题(本题满分30分,每小题6分)1. 如果实数m ,n ,x ,y 满足a n m =+22,b y x =+22,其中a ,b 为常数,那么mx+ny 的最大值为 []A. 2b a +B. abC. 222ba + D. 222b a +2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P(1,1),Q(1,2),M(2,3),⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中,函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 []A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么z y x ++的值为答:[] A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值,那么 []A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形,222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形,222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5. 设a ,b 是夹角为30°的异面直线,则满足条件“α⊆a ,β⊆b ,且βα⊥”的平面α,β[] A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对二、填空题(本题满分50分,每小题10分)6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和,其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数,则A B =___________________.7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =__________(结果要求写成既约分数).8. 已知点O 在ABC ∆内部,022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为____________. 9. 与圆0422=-+x y x 外切,且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10. 在ABC ∆中,若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB ,则 222c b a +=______________.三、解答题(本题满分70分,各小题分别为15分、15分、20分、20分)11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1,n m <<0,并且[]n m x ,∈时,)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ,n 的值.1 2 0.5 1 xyz12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点,满足0=⋅OB OA 。
2009年全国高中数学联赛赛区初赛一、填空题(每题7分,共70分) 1.sin αcos β=1,那么cos(α+β)=.2.等差数列{a n }的前11项的和为55,去掉一项a k 后,余下10项的算术平均值为4.假设a 1=-5,那么k =. 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,那么此椭圆的离心率e =. 4.=,那么实数x =.5.如图,在四面体ABCD 中,P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点,且BP =2PC ,CQ =2QD .R 为棱AD 的中点,那么点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为.6.设f (x )=log 3x -4-x ,那么满足f (x )≥0的x 的取值围是.7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm .假设不计净水器中的存水,那么净水水箱中最少可以存水cm 3.8.设点O 是△ABC 的外心,AB =13,AC =12,那么→BC ·→AO =.9.设数列{a n }满足:a n +1a n =2a n +1-2(n =1,2,…),a 2009=2,那么此数列的前2009项的和为. 10.设a 是整数,0≤b <1.假设a 2=2b (a +b ),那么b =. 二、解答题(本大题共4小题,每题20分,共80分)11.在直角坐标系xOy 中,直线x -2y +4=0与椭圆+=1交于A ,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以O ,F ,A ,B 为顶点的四边形的面积.12.如图,设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点,∠ACD =∠BCE ,AC =14,AD =7,AB =28,CE =12.求BC .13.假设不等式x +y ≤k 2x +y 对于任意正实数x ,y 成立,求k 的取值围.14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数,请予以验证;⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数?请证明你的结论.2009年全国高中数学联赛赛区初赛(2009年5月3日8∶00-10∶00)一、填空题(每题7分,共70分)1.sin αcos β=1,那么cos(α+β)=.填0.解:由于|sin α|≤1,|cos β|≤1,现sin αcos β=1,故sin α=1,cos β=1或sin α=-1,cos β=-1,∴α=2kπ+,β=2lπ或α=2kπ-,β=2lπ+πα+β=2(k +l )π+(k ,l ∈Z). ∴cos(α+β)=0.2.等差数列{a n }的前11项的和为55,去掉一项a k 后,余下10项的算术平均值为4.假设a 1=-5,那么k =.填11.解:设公差为d ,那么得 55=-5×11+×11×10d55d =110d =2.a k =55-4×10=15=-5+2(k -1)k =11.3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,那么此椭圆的离心率e =.填-1+52.解:由(2b )2=2c ×2aa 2-c 2=ac e 2+e -1=0e =-1+52. 4.=,那么实数x =.填1. 解:即=32x-4×3x+3=03x =1(舍去),3x=3x =1.5.如图,在四面体ABCD 中,P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点,且BP =2PC ,CQ =2QD .R 为棱AD 的中点,那么点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为.填14.解:A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比.V APQR =V APQD =×13V APCD =×13×13V ABCD =V ABCD ;又,S BPQ =S BCD -S BDQ -S CPQ =(1-13-23×13)S BCD =49S BCD ,V RBPQ =49V RBCD =×49V ABCD =418V ABCD .∴A 、B 到平面PQR 的距离的比=1∶4.又,可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值:在面BCD ,延长PQ 、BD 交于点M ,那么M 为面PQR 与棱BD 的交点. 由Menelaus 定理知,··=1,而=,=,故=4.在面ABD ,作射线MR 交AB 于点N ,那么N 为面PQR 与AB 的交点. 由Menelaus 定理知,··=1,而=4,=1,故=14.∴A 、B 到平面PQR 的距离的比=1∶4.6.设f (x )=log 3x -4-x ,那么满足f (x )≥0的x 的取值围是.填[3,4].解:定义域(0,4].在定义域f (x )单调增,且f (3)=0.故f (x )≥0的x 的取值围为[3,4].7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm .假设不计净水器中的存水,那么净水水箱中最少可以存水cm 3.填78000.解:设净水器的长、高分别为x ,y cm ,那么xy =300,V =30(20+x )(60+y )=30(1200+60x +20y +xy )≥30(1200+260x ×20y +300)=30(1500+1200)=30×2700.∴ 至少可以存水78000cm 3.8.设点O 是△ABC 的外心,AB =13,AC =12,那么→BC ·→AO =.填-. 解:设|→AO |=|→BO |=|→OC |=R .那么→BC ·→AO =(→BO +→OC )·→AO =→BO ·→AO +→OC ·→AO =R 2cos(π-2C )+R 2cos2B=R 2(2sin 2C -2sin 2B )=(2R sin B )2-(2R sin C )2=(122-132)=-.9.设数列{a n }满足:a n +1a n =2a n +1-2(n =1,2,…),a 2009=2,那么此数列的前2009项的和为.填2008+2.解:假设a n +1≠0,那么a n =2-,故a 2008=2-2,a 2007=2-=-2,a 2006=2+2,a 2005=2. 一般的,假设a n ≠0,1,2,那么a n =2-,那么a n -1=a n +1-2a n +1-1,a n -2=,a n -3=a n +1,故a n -4=a n .于是,a n =502(a 1+a 2+a 3+a 4)+a 2009=502(a 2005+a 2006+a 2007+a 2008)+a 2009=2008+2. 10.设a 是整数,0≤b <1.假设a 2=2b (a +b ),那么b =.填0,3-12,3-1. 解:假设a 为负整数,那么a 2>0,2b (a +b )<0,不可能,故a ≥0. 于是a 2=2b (a +b )<2(a +1)a 2-2a -2<00≤a <1+3a =0,1,2.a =0时,b =0;a =1时,2b 2+2b -1=0b =3-12; a =2时,b 2+2b -2=0b =3-1.说明:此题也可以这样说:数x ,使[x ]2=2{x }x . 二、解答题(本大题共4小题,每题20分,共80分)11.在直角坐标系xOy 中,直线x -2y +4=0与椭圆+=1交于A ,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以O ,F ,A ,B 为顶点的四边形的面积.解:取方程组代入得,25y 2-64y +28=0. 此方程的解为y =2,y =.即得B (0,2),A (-,),又左焦点F 1(-5,0). 连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形.CFyxOBA得,S =×2×+×5×=(72+75). 也可以这样计算面积:直线与x 轴交于点C (-4,0).所求面积=×4×2-×(4-5)×=(72+75). 也可以这样计算面积:所求面积=(0×2-0×0+0×-(-)×2+(-)×0-(-5)×+(-5)×0-0×0)=(+5)=(72+75).12.如图,设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点,∠ACD =∠BCE ,AC =14,AD =7,AB =28,CE =12.求BC . 解:=△ACD ∽△ABC ∠ABC =∠ACD =∠BCE . ∴CE =BE =12.AE =AB -BE =16. ∴cos A ====.∴BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos A =142+282-2·14·28·=72·9BC =21. 13.假设不等式x +y ≤k 2x +y 对于任意正实数x ,y 成立,求k 的取值围. 解法一:显然k >0.(x +y )2≤k 2(2x +y )(2k 2-1)x -2xy +(k 2-1)y ≥0对于x ,y >0恒成立.令t =x y>0,那么得f (t )=(2k 2-1)t 2-2t +(k 2-1)≥0对一切t >0恒成立. 当2k 2-1≤0时,不等式不能恒成立,故2k 2-1>0.此时当t =时,f (t )取得最小值-+k 2-1==(k 2(2k 2-3),2k 2-1). 当2k 2-1>0且2k 2-3≥0,即k ≥62时,不等式恒成立,且当x =4y >0时等号成立. ∴k ∈[62,+∞). 解法二:显然k >0,故k 2≥=.令t =x y>0,那么k 2≥=(1+). 令u =4t +1>1,那么t =u -14.只要求s (u )=的最大值.s (u )=≤=2,于是,(1+)≤(1+2)=32.∴k 2≥32,即k ≥62时,不等式恒成立(当x =4y >0时等号成立).又:令s (t )=,那么s (t )==,t >0时有驻点t =.且在0<t <时,s (t )>0,在t >时,s (t )<0,即s (t )在t =时取得最大值2,此时有k 2≥(1+s ())=32.解法三:由Cauchy 不等式,(x +y )2≤(+1)(2x +y ). 即(x +y )≤622x +y 对一切正实数x ,y 成立. 当k <62时,取x =14,y =1,有x +y =32,而k 2x +y =k 62<62×62=32.即不等式不能恒成立. 而当k ≥62时,由于对一切正实数x ,y ,都有x +y ≤622x +y ≤k 2x +y ,故不等式恒成立.∴k ∈[62,+∞). 14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数?请证明你的结论.解:对于任意n ∈N*,n 2≡0,1(mod 4).设a ,b 是两个不同的自然数,①假设a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4),或a ≡b ≡2(mod 4),均有ab ≡0(mod 4),此时,ab +10≡2(mod 4),故ab +10不是完全平方数;② 假设a ≡b ≡1(mod 4),或a ≡b ≡3(mod 4),那么ab ≡1(mod 4),此时ab +10≡3(mod 4),故ab +10不是完全平方数.由此知,ab +10是完全平方数的必要不充分条件是ab (mod 4)且a 与b 均不能被4整除.⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取a =2,b =3,c =13,那么2×3+10=42,2×13+10=62,3×13+10=72.即2,3,13是满足题意的一组自然数.⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数.这是因为,任取4个不同自然数,假设其中有4的倍数,那么它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数,如果这4个数都不是4的倍数,那么它们必有两个数mod 4同余,这两个数的积加10后不是完全平方数.故证.2010年全国高中数学联赛赛区·初赛一、填空题〔此题总分值70分,每题7分〕1.方程9135x x+-=的实数解为 .2.函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3.在△ABC 中,4AB AC ⋅=,12AB BC ⋅=-,那么AB =. 4.函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ,最小值是.5.在直角坐标系xOy 中,圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点,其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =,那么R 的取值围为.6.设函数()f x 的定义域为R ,假设()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数,那么函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7.从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,那么n 的最大值为 .8.圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀2金2银的概率是 .9.在三棱锥A BCD -中,ACB CBD ∠=∠,ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=,且cos θ=.棱AB的长为 . 10.设复数列{}n x 满足1n x a ≠-,0,且11n n n a x x x +=+.假设对任意n ∈N *都有3n n x x +=,那么a 的值是 .二、解答题〔此题总分值80分,每题20分〕11.直角坐标系xOy 中,设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点.假设3455OM OA OB =+, 证明:AB 的中点在椭圆22212x y +=上.12.整数列{}n a 满足31a =-,74a =,前6项依次成等差数列,从第5项起依次成等比数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2) 求出所有的正整数m ,使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=.13.如图,圆接五边形ABCDE 中,AD 是外接圆的直径,BE AD ⊥,垂足H .过点H 作平行于CE 的直线,与直线AC 、DC 分别交于点F 、G . 证明: (1) 点A 、B 、F 、H 共圆; (2) 四边形BFCG 是矩形.14.求所有正整数x ,y ,使得23x y +与23y x +都是完全平方数.参考答案1、x <0无解; 当0x ≥时,原方程变形为32x+3x -6=0,解得3x=2,x =log 32. 2、与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间一样,[,],2422k k k ππππ++∈Z . 3、216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==,得4AB =.4、极小值-4,端点函数值f (2)=0,f (0)=-2,最小值-4,最大值0.5、画图观察,R 最小时圆与直线段AC 相切,R 最大时圆过点B .[855,10].6、f (2k -1)=0,k ∈Z. 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件,且()f x 的一个零点恰为21x k =-,k ∈Z. 所以至少有50个零点. 7、不能有公共端点,最多4条,图上知4条可以.8、穷举法,注意可翻转,有6种情况,2金2银有两种,概率为 13 .9、4面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 .10、由11n n n a x x x +=+,2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++恒成立,即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0,故210a a ++=,所以122a i =-±. 11、解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么 +y 12=1,+y 22=1. 由3455OM OA OB =+,得 M (35x 1+45x 2,35y 1+45y 2).因为M 是椭圆C 上一点,所以35x 1+45x 2)2,4)+(35y 1+45y 2)2=1, …………………6分 即 (+y 12)(35)2+(+y 22)(45)2+2(35)(45)(+y 1y 2)=1,得 (35)2+(45)2+2(35)(45)(+y 1y 2)=1,故+y 1y 2=0. …………………14分又线段AB 的中点的坐标为 (,),所以 +2()2=12(+y 12)+12(+y 22)++y 1y 2=1,从而线段AB 的中点(,)在椭圆+2y 2=1上. ………………20分12、解:(1) 设数列前6项的公差为d ,那么a 5=-1+2d ,a 6=-1+3d ,d 为整数. 又a 5,a 6,a 7成等比数列,所以(3d -1)2=4(2d -1),即 9d 2-14d +5=0,得d =1. …………………6分 当n ≤6时,a n =n -4,由此a 5=1,a 6=2,数列从第5项起构成的等比数列的公比为2, 所以,当n ≥5时,a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n -4,n ≤4,2n -5, n ≥5.…………………10分(2) 由〔1〕知,数列{}n a 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当m =1时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当m =3时等式成立,即 -1+0+1=0; 当m =2、4时等式不成立;…………………15分 当m ≥5时,a m a m +1a m +2=23m -12, a m +a m +1+a m +2=2m -5(23-1)=7×2m -5,7×2m -5≠23m -12,所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2.故所求 m = 1,或m =3. …………………20分13、证明:(1) 由HG ∥CE ,得∠BHF =∠BEC ,又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC , ∴∠BAF =∠BHF ,ABC DEFH∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆; …………………8分(2) 由(1)的结论,得 ∠BHA =∠BFA ,∵BE ⊥AD , ∴BF ⊥AC , 又AD 是圆的直径,∴CG ⊥AC , …………………14分由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆,∴∠BFG =∠DAB =∠BCG , ∴B 、G 、C 、F 共圆. ∴∠BGC =∠AFB=900, ∴BG ⊥GC , ∴ 所以四边形BFCG 是矩形. …………………20分14、解:假设x =y ,那么x 2+3x 是完全平方数. ∵x 2<x 2+3x <x 2+4x +4= (x +2)2, ∴x 2+3x = (x +1)2,∴x =y =1. ………………5分假设x >y ,那么x 2<x 2+3y <x 2+3x <x 2+4x +4= (x +2)2. ∵x 2+3y 是完全平方数, ∴x 2+3y = (x +1)2,得3y =2x +1,由此可知y 是奇数,设y =2k +1,那么x =3k +1,k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数,且 (2k +2)2=4k 2+8k +4<4k 2+13k +4<4k 2+16k +16= (2k +4)2, ∴y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2,得 k =5,从而求得x =16,y =11. …………………15分 假设x <y ,同x >y 情形可求得 x =11,y =16.综上所述,(x ,y )= (1,1), (11,16), (16,11). …………………20分2011年全国高中数学联赛赛区初赛题一、填空题〔此题共10小题,总分值70分,每题7分.要求直接将答案写在横线上〕 1. 复数44(1i)(1i)++-= .2. 直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴,那么实数m =.3. 某班共有30名学生,假设随机抽查两位学生的作业,那么班长或团支书的作业被抽中的概率是〔结果用最简分数表示〕.4. 1cos45θ=,那么44sin cos θθ+=.5. 向量a ,b 满足π2,,3==<>=a b a b ,那么以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为.6. 设数列{a n }的前n 项和为S n .假设{S n }是首项及公比都为2的等比数列,那么数列{a n 3}的前n 项和等于. 7. 设函数2()2f x x =-.假设f (a )=f (b ),且0<a <b ,那么ab 的取值围是. 8. 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数,其中2,n a n n =∈N*,那么[(2011)]f f =. 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上,那么此直角三角形的斜边长是.10.m 是正整数,且方程2100x m -+=有整数解,那么m 所有可能的值是. 二、解答题〔本大题共4小题,每题20分,共80分〕AB CP11.圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点,数h 的取值围.12.设2()(,)f x x bx c b c =++∈R .假设2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值.13.如图,P 是ABC 一点.〔1〕假设P 是ABC 的心,证明:1902BPC BAC ∠=+∠;〔2〕假设1902BPC BAC ∠=+∠且1902APC ABC ∠=+∠,证明:P 是ABC 的心.14.α是实数,且存在正整数n 0证明:存在无穷多个正整数n2011年全国高中数学联赛赛区初赛题 答案及点评一、填空题〔此题共10小题,总分值70分,每题7分.要求直接将答案写在横线上〕 1. 复数44(1i)(1i)++-= .答案:-8 根底题,送分题,高考难度2. 直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴,那么实数m =.答案:32-根底题,送分题,高考难度3. 某班共有30名学生,假设随机抽查两位学生的作业,那么班长或团支书的作业被抽中的概率是〔结果用最简分数表示〕.答案:19145根底题,送分题,高考难度,但需要认真审题,否那么很容易有错 4. 1cos45θ=,那么44sin cos θθ+=.答案:45计算量挺大的,要注重计算的方法,对于打酱油的同学有一定难度5. 向量a ,b 满足π2,,3==<>=a b a b ,那么以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为.答案:可以用特殊法,把向量放在直角坐标系中,很容易可以得出答案6. 设数列{a n }的前n 项和为S n .假设{S n }是首项及公比都为2的等比数列,那么数列{a n 3}的前n 项和等于.答案:1(848)7n +高考难度级别,根底好的同学可以做出来7. 设函数2()2f x x =-.假设f (a )=f (b ),且0<a <b ,那么ab 的取值围是.答案:(0,2) 这是一道高考题8. 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数,其中2,n a n n =∈N*,那么[(2011)]f f =.答案:6 这也是一道高考题9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上,那么此直角三角形的斜边长是.答案:43还是一道高考题 10.m是正整数,且方程2100x m -+=有整数解,那么m 所有可能的值 是.答案:3,14,30 这是2011年市一模的第十四题。
已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体,1O 是底面1111A B C D 的中心,M 是棱1BB 上的点,且:2:3S S =11△DBM△O B M ,则四面体1O ADM 的体积为748(江苏2007夏令营)在正方体1111D C B A ABCD -中,P 是侧面C C BB 11内一动点,若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线 已知x 为锐角,则22cos sin33=+x x 是4π=x 的(充要条件)同信一寝室的四名女生,她们当中有一人在修指甲,一人在看书,一人在梳头发,另一人在听音乐。
①A 既不在修指甲,也不在看书;②B 既不在听音乐,也不在修指甲;③如果A 不在听音乐,那么C 不在修指甲;④D 既不在看书,也不在修指甲;⑤C 既不在看书,也不在听音乐。
若上面的命题都是真命题,问她们各在干什么?答:ABCD 分别在听音乐;看书;修指甲;梳头发 已知)1(3tan m +=α,且βαββα,,0t a n )t a n (t a n 3=++⋅m 为锐角,则βα+的值为3π=︒-︒︒-︒︒+)5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 12330cos =︒=函数d cx bx ax x x f ++++=234)(,若3)3(,2)2(,1)1(===f f f ,那么)4()0(f f +的值为(28 )在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,,且31cos =A 。
(1)求A CB 2cos 2sin2++的值;(2)若3=a ,求bc 的最大值。
(-1/9; 9/4) 若m 、{}22101010n x x aa a ∈=⨯+⨯+,其中{}1234567i a ∈,,,,,,,012i =,,,并且 636m n +=,则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为( 90 )圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2.斜三棱柱111ABC A B C -中,面11AAC C 是菱形,160ACC ∠=︒,侧面11ABB A ⊥11AAC C ,11A B AB AC ===.求证:(1)1AA ⊥1BC ;(2)求点1A 到平面ABC 的距离. 515满足20073+++=x x y 的正整数数对(x ,y )恰有两对设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f :M →N 使对任意的x ∈M ,都有)()(x xf x f x ++是奇数,则这样的映射f 的个数是(45)将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”。
2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷)参考答案及评分标准一试说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题份分,满分64分.1.设b a ,为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则=)2(f 答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22a b a+=-,即20a b +=,所以(2)424f a b =++=.2.若实数α满足ααtan cos =,则αα4cos sin 1+的值为 . 答案:2. 解:由条件知,ααsin cos 2=,反复利用此结论,并注意到1sin cos 22=+αα,得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα.3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ,则=2015z .答案:2015 + 1007i .解:由己知得,对一切正整数n ,有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+.4.在矩形ABCD 中,1,2==AD AB ,线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满=,则PQ PA ⋅的最小值为 .答案34.解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(t , l) (其中02t ≤≤),则由||||DP BQ =得Q 的坐标为(2,-t ),故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此,22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥.当12t =时,min 3()4PA PQ ⋅=.5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 答案:255.解:设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即 AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能.当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH .由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求概率为8222055=.6.在平面直角坐标系中,点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 . 答案:24.解:设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤. 先考虑1K 在第一象限中的部分,此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知,1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部.同理,设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤,则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.由点集K 的定义知,K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S .由于直线CD 的方程为36x y +=,直线GH 的方程为36x y +=,故它们的交点P 的坐标为33(,)22.由对称性知,138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=.7.设ω为正实数,若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ,使得2sin sin =+b a ωω,则ω的取值范围为 . 答案:9513[,)[,)424w ∈+∞.解:2sin sin =+b a ωω知,1sin sin ==b a ωω,而]2,[,ππωωw w b a si ∈,故题目条件等价于:存在整数,()k l k l <,使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤. ①当4w ≥时,区间]2,[ππw w 的长度不小于π4,故必存在,k l 满足①式. 当04w <<时,注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ,故仅需考虑如下几种情况:(i) ππππw w 2252≤<≤,此时21≤w 且45>w 无解;(ii) ππππw w 22925≤<≤,此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤,此时29413≤≤w ,得4413<≤w .综合(i)、(ii)、(iii),并注意到4≥w 亦满足条件,可知9513[,)[,)424w ∈+∞.8.对四位数abcd ,若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数,若d c c b b a <><,,,则称abcd 为Q 类数,则P 类数总量与Q 类数总量之差等于 .答案:285.解:分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ,再将个位数为零的P 类数全体记为0A ,个位数不等于零的尸类数全体记为1A .对任一四位数1A abcd ∈,将其对应到四位数dcba ,注意到1,,≥><>d c c b b a ,故B dcba ∈.反之,每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd .这建立了1A 与B 之间的一一对应,因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=.下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1,…,9,对其中每个b ,由9≤<a b 及9≤<c b 知,a 和c 分别有b -9种取法,从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑. 因此,()()285N P N Q -=. 三、解答题9.(本题满分16分)若实数c b a ,,满足cb ac b a 424,242=+=+,求c 的最小值. 解:将2,2,2abc分别记为,,x y z ,则,,0x y z >.由条件知,222,x y z x y z +=+=,故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+.8分因此,结合平均值不等式可得,4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分 当212y y =,即y =时,zx求).由于2log c z =,故c的最小值225log log 33=-.16分 10.(本题满分20分)设4321,,,a a a a 为四个有理数,使得:{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji,求4321a a a a +++的值. 解:由条件可知,(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,由此知,4321,,,a a a a 的绝对值互不相等,不妨设||||||||4321a a a a <<<,则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ,最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ,从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分 于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-. 故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--,15分结合1a Q ∈,只可能114a =±.由此易知,123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=.检验知这两组解均满足问题的条件. 故123494a a a a +++=±. 20 分 11.(本题满分20分)设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,,焦点2F 到直线l 的距离为d ,如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列,求d 的取值范围.解:由条件知,点1F 、2F 的坐标分别为(-1, 0)和(l, 0) .设直线l 的方程为y kx m =+,点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则12,x x 满足方程22()12x kx m ++=,即 222(21)4(22)0k x kmx m +++-=.由于点A 、B 不重合,且直线l 的斜率存在,故12,x x 是方程①的两个不同实根,因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆=-⋅+⋅-=+->,即2221k m +>.②由直线11,,BF l AF 的斜率1212,,11y y k x x ++依次成等差数列知,1212211y yk x x +=++,又1122,y kx m y kx m =+=+,所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kx m x kx m x k x x +++++=++,化简并整理得,12()(2)0m k x x -++=.假如m k =,则直线l 的方程为y kx k =+,即 z 经过点1F (-1, 0),不符合条件. 因此必有1220x x ++=,故由方程①及韦达定理知,1224()221kmx x k =-+=+,即12m k k=+.③ 由②、③知,222121()2k m k k +>=+,化简得2214k k>,这等价于||2k >. 反之,当,m k满足③及||2k >l 必不经过点1F (否则将导致m k =,与③矛盾), 而此时,m k 满足②,故l 与椭圆有两个不同的交点A 、B ,同时也保证了1AF 、1BF 的斜率存在(否则12,x x 中的某一个为- l ,结合1220x x ++=知121x x ==-,与方程①有两个不同的实根矛盾).10分点2F (l , 0)到直线l: y kx m =+的距离为211|2|(2)22d k kk ==+=+.注意到||2k >t =t ∈,上式可改写为 21313()()222t d t t t=⋅+=⋅+.考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在上上单调递减,故由④得,(1)f d f <<,即2)d ∈.20 分加试1.(本题满分40分)设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数,证明:可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε,使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε.证法一:我们证明:2[]222111[]2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====⎛⎫ ⎪+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑,① 即对1,2,,[]2n i =,取1i ε=,对[]1,,2ni n =+,取1i ε=-符合要求.(这里,[]x 表示实数x 的整数部分.) 10分事实上,①的左边为2222[][][]222111[]1[]1[]122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ []2221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪≤+- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(柯西不等式)30分 []2221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+⎛⎫⎛⎫⎛+⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(利用122n n n +⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦) []2221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(利用[]x x ≤) 21(1)()ni i n a =≤+∑.所以 ① 得证,从而本题得证.证法二:首先,由于问题中12,,,n a a a 的对称性,可设12n a a a ≥≥≥.此外,若将12,,,n a a a 中的负数均改变符号,则问题中的不等式左边的21)(∑=n i i a 不减,而右边的21ni i a=∑不变,并且这一手续不影响1i ε=±的选取,因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥. 10分引理:设120n a a a ≥≥≥≥,则1110(1)ni i i a a -=≤-≤∑.事实上,由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-,故当n 是偶数时,1123411(1)()()()0ni i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑,11232111(1)()()ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑.当n 是奇数时,11234211(1)()()()0ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑,1123111(1)()()ni i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑.引理得证. 30 分回到原题,由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)n n n ni i i i i i i i i a a n a a n a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑,这就证明了结论. 40分证法三:加强命题:设12,,,n a a a ⋅⋅⋅(2n ≥)是实数,证明:可以选取12,,,{1,1}n εεε⋅⋅⋅∈-,使得 2221111()()()()n nn i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑.证明 不妨设22212n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥,以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明.当n 为奇数时,取12121n εεε-==⋅⋅⋅==,13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-,于是有12221112()[()()]n nni i jn i i j a a a -+===+-∑∑∑12221122[()+()]n ni jn i j a a -+===∑∑1222112112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤⋅⋅-∑∑(应用柯西不等式).1222112(1)()+(1)()n ni jn i j n a n a -+===-+∑∑ ①另外,由于22212n a a a≥≥⋅⋅⋅≥,易证有122211211(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑,因此,由式①即得到1222112(1)()+(1)()n nijn i j n a n a -+==-+∑∑211()()n i i n a n =≤+∑,故n 为奇数时,原命题成立,而且由证明过程可知,当且仅当12121n εεε-==⋅⋅⋅==,13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-,且12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.当n 为偶数时,取1221n εεε==⋅⋅⋅==,24221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-,于是有2222112()[()()]n nni i j n i i j a a a +===+-∑∑∑22222122[()+()]n ni j n i j a a +===∑∑2222122()+2()()22nn i j n i j n n a n a +==≤⋅⋅-∑∑(应用柯西不等式).222212[()+()]n nijn i j n a a +===∑∑22111()()()nn ii i i n a n a n ===≤+∑∑,故n 为偶数时,原命题也成立,而且由证明过程可知,当且仅当120n a a a ==⋅⋅⋅==时取等号,若12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全为零,则取不到等号.综上,联赛加试题一的加强命题获证. 2.(本题满分40分)设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ,满足对任意的S A A j i ∈,,均有S A A j i ∈ ,若2min 1≥=≤≤i ni A k ,证明:存在i ni A x 1=∈ ,使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合.证明:不妨设1||A k =.设在12,,,n A A A 中与1A 不相交的集合有s 个,重新记为12,,,s B B B ,设包含1A 的集合有t 个,重新记为12,,,t C C C .由已知条件,1()i B A S ∈,即112(){,,,}i t B A C C C ∈,这样我们得到一个映射12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=. 显然f 是单映射,于是,s t ≤. 10 分设112{,,,}k A a a a =.在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B ,12,,,t C C C 后,在剩下的n s t --个集合中,设包含i a 的集合有i x 个(1i k ≤≤),由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空,即包含某个i a ,从而12k x x x n s t +++≥--. 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=,则由上式知i n s tx k --≥,即在剩下的n s t --个集合中,包含1a的集合至少有n s tk--个.又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆,故12,,,t C C C 都包含1a ,因此包含1a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥(利用2k ≥) nk ≥(利用s t ≤). 40 分 3.(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆O ,P 为BC 弧上一点,点K 在AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ,连接BD 交圆Ω于E ,连接PE ,延长交AB 于F ,证明:FCB ABC ∠=∠2.证法一:设CF 与圆Q 交于点L (异于C),连接PB 、PC 、 BL 、KL .注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上,结合A 、 B 、P 、C 四点共圆,可知∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP ,因此△FB E ∽△FPB ,故FB 2=FE ·FP .10分又由圆幂定理知,FE ·FP= FL ·FC ,所以FB 2=FL ·FC . 从而△FBL ∽△FCB .因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L 三点共线. 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得,∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB .证法二:设CF 与圆Ω交于点L (异于C).对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知, DC 与KP 的交点A 、CL 与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线,因此B ’是AF 与ED 的交点,即B ’=B .所以B 、K 、L 共线.10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆,得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,又由BK 平分∠ABC 知,∠FBL=12∠ABC ,从而 ∠ABC=2∠FCB .4.(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn . 解:对正整数m ,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂,则熟知2(!)()v m m S m =-,①这里()S m 表示正整数m 在二进制表示下的数码之和.由于1)1(2+-n k 不整除()!!kn n ,等价于2()!()(1)!kn v k n n ≤-,即22(()!)(!)kn v kn n v n -≥-,进而由①知,本题等价于求所有正整数k ,使得()()S kn S n ≥对任意正整数n 成立. 10分我们证明,所有符合条件的k 为2(0,1,2,)aa =.一方面,由于(2)()aS n S n =对任意正整数n 成立,故2ak =符合条件. 20 分另一方面,若k 不是2的方幂,设2,0,ak q a q =⋅≥是大于1的奇数.下面构造一个正整数n ,使得()()S kn S n <.因为()(2)()aS kn S q S qn <⋅=, 因此问题等价于我们选取q 的一个倍数m ,使得()()m S m S q <. 由(2,q )=l ,熟知存在正整数u ,使得21(mod )uq ≡.(事实上,由欧拉定理知,u 可以取()q ϕ的.)设奇数q 的二进制表示为1212222,0,2t a a at a a a t +++=<<<≥.取1122222t t a a tu aa-+++++,则()S m t =,且2(21)0(mod )t a tu m q q =+-≡.我们有1(1)02121211212(122)12t t ttu uu t a a lu a u t ul m q q q q q -+-=---=++⋅=+⋅+++=+⋅∑由于2102u uq -<<,故正整数21u q -的二进制表示中的最高次幂小于u ,由此易知,对任意整数,(01)i j i j t ≤<≤-,数212t u iu a q +-⋅与212tu ju a q+-⋅的二进制表示中没有相同的项.又因为0i a >,故212(0,1,,1)tu lu a l t q +-⋅=-的二进制表示中均不包含1,故由②可知21()1()()u m S S t t S m q q-=+⋅>=, 因此上述选取的m 满足要求.综合上述的两个方面可知,所求的k 为2(0,1,2,)aa =.50分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置1.已知集合{}123A =,,,{}245B =,,,则集合A B 中元素的个数为_______.解析:{}5,4,3,2,1=⋃B A ,故答案5 2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 解析:66678564=+++++,故答案63.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.解析:设z=a+bi,,则()i bi a 432+=+化为i abi b a 43222+=+-,所以⎩⎨⎧==-42322ab b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ,所以z 的模为522=+b a ,故答案54.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.解析:第一次:S=1+2=3,I=1+3=4;第二次:S=3+2=5,I=4+3=7;第三次:S=5+2=7,I=7+3=10;因为10>8,所以程序结束,故S=75.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =,,()2-1,=b ,若()()R n m b n a m ∈-=+,89,,则m-n 的值为______. 解析:因为()()R n m b n a m ∈-=+,89,,所以⎩⎨⎧-=-=+8292n m n m ,所以352-=-⎩⎨⎧==n m n m , S ←1 I ←1While I<8 S ←S+2 I ←I+3 End While Print S7.不等式224x x-<的解集为________.解析:因为224x x-<,所以()()2102102222<<-<-+<--<-x x x x x x x ,,,,故解析为()21,-8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______. 解析:()[]()()3757152711271tan tan 1tan tan tan tan ==⨯-+=++-+=-+=αβααβααβαβ,故答案3 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一.选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+,则{}n a 的最大项是( )()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a2.函数3log 3xy =的图象是( )()A ()B ()C ()D3.已知抛物线22y px =,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点P 共有( )()A 0个()B 2个()C 4个()D 6个4.设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数.若120x x +>,230x x +>,310x x +>,则( )()A ()()()1230f x f x f x ++>()B ()()()1230f x f x f x ++< ()C ()()()1230f x f x f x ++=()D ()()()123f x f x f x +>5.过空间一定点P 的直线中,与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线成等角的直线共有( )()A 0条()B 1条()C 4条()D 无数多条6.在△ABC 中,1tan 2A =,310cos B =.若△ABC 的最长边为1,则最短边的长为( )()A ()B ()C ()D 二.填空题(本题满分54分,每小题9分)7.集合{}3,,010A x x n n N n ==∈<<,{}5,,06B y y m m N m ==∈≤≤,则集合A B 的所有元素之和为. 8.设cos 2ϑ=,则44cos sin ϑϑ+的值是. 9.()323x x-的展开式中,5x 的系数为.10.已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩,则22x y +的最大值是.11.等比数列{}n a 的首项为12020a =,公比12q =-.设()f n 表示这个数列的前n 项的积,则当n =时,()f n 有最大值.12.长方体1111ABCD A B C D -中,已知14AB =,13AD =,则对角线1AC 的取值范围是. 三.解答题(本题满分60分,第13题、第14题各12分,第15题16分,第16题20分) 13.设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭,21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭.若A B ≠∅,求实数a 的取值范围.14.椭圆22194x y +=的右焦点为F ,1224,,,P P P 为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中1P 是椭圆的右顶点,并且122334241PFP P FP P FP P FP ∠=∠=∠==∠.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ,求2S 的值.15.△ABC 中,AB AC <,AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线,且BAD EAC ∠=∠. 证明BAC ∠是直角.16.设p 是质数,且271p +的不同正因数的个数不超过10个.求p . 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷【参考答案】1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D7.2258.11189.27 10.9 11.1212.()4,513.解:{}13A x x =-≤<,()(){}30B x x a x a =--<. 当0a >时,{}03B x a x a =<<<,由A B ≠∅得03a <<; 当0a <时,{}30B x a x a =<<<,由A B ≠∅得1a >-;当0a =时,{}20B x x =<=∅,与A B ≠∅不符.综上所说,()()1,00,3a ∈-.B14.解:椭圆中,3a =,2b =,故c =)F,e =设i FP 与x 轴正向的夹角为i ϑ,i d 为点i P 到右准线的距离.则()2cos 1i i a d e c cϑ+=-.即()21cos 1i i c e d b ϑ=+.同理()()1222121cos 1cos 1i i i c c e d b bϑϑ++=+=-+. 所以2121122i i c d d b ++==. 从而2411i id ==∑ 2180S =. 15.如图,取AB 中点I ,连ID 、IE .则IE 为中位线,所以//IE AC ,且IEA EAC ∠=∠.而BAD EAC ∠=∠,所以IEA BAD ∠=∠.…………①在直角△ADB 中,I 为斜边中点,所以ID IA =,从而BAD IDA ∠=∠.…………②联合①、②得A 、I 、D 、E 四点共圆.所以BAD IEB C ∠=∠=∠,∴90B C ∠+∠=︒,即90BAC ∠=︒.16.解:当2p =时,22717535p +==⨯,有()()11216++=个正因数; 当3p =时,24718025p +==⨯,有()()411110++=个正因数.所以2p =、3p =满足条件.当3p >时,()()2711172p p p +=-++.其中p 为奇质数,所以()1p -与()1p +是相邻的两个偶数,从而必然有一个2的倍数和4个倍数,还必然有一个3的倍数,从而()()11p p -+是24的倍数. 设23712423p m m +=⨯=⨯⨯,其中4m ≥.若m 中有不同于2、3的质因数,则271p +的正因数个数()()()31111110≥+++>;若m 中含有质因数3,则则271p +的正因数个数()()312110≥++>;BC若m 中仅有质因数2,则271p +的正因数个数()()511110≥++>.所以3p >不满足条件.综上所说,所求得的质数p 是2或3.高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系1.(·人大附中月考)设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为( )A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切2.(·福建高考)直线x+3y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于( )A.25B.23C.3D.13.(·安徽高考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )A.[-3,-1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)4.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )A.2B.3C.2D.35.(·兰州模拟)若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围为( )A.(2+1,+∞) B.(2-1, 2+1)C.(0, 2-1) D.(0, 2+1)6.(·临沂模拟)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )A.2B.21 2C.22D.27.(·朝阳高三期末)设直线x-my-1=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为23,则实数m的值是________.8.(·东北三校联考)若a,b,c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边),则圆C:x2+y2=4被直线l:ax+by+c=0所截得的弦长为________.9.(·江西高考)过直线x +y -22=0上点P 作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是________.10.(·福州调研)已知⊙M :x2+(y -2)2=1,Q 是x 轴上的动点,QA ,QB 分别切⊙M 于A ,B 两点.(1)若|AB|=423,求|MQ|及直线MQ 的方程;(2)求证:直线AB 恒过定点.11.已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ,2t (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ,与y 轴交于点O 、B ,其中O 为原点.(1)求证:△AOB 的面积为定值;(2)设直线2x +y -4=0与圆C 交于点M 、N ,若|OM|=|ON|,求圆C 的方程. 12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x2+y2-12x +32=0的圆心为Q ,过点P(0,2),且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围;(2)是否存在常数k ,使得向量OA +OB 与PQ ―→共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.1.已知两圆x2+y2-10x -10y =0,x2+y2+6x -2y -40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为________________;公共弦长为________.2.(·上海模拟)已知圆的方程为x2+y2-6x -8y =0,a1,a2,…,a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列a1,a2,…,a11成等差数列,则该等差数列公差的最大值是________.3.(·江西六校联考)已知抛物线C :y2=2px(p >0)的准线为l ,焦点为F ,圆M 的圆心在x 轴的正半轴上,圆M 与y 轴相切,过原点O 作倾斜角为π3的直线n ,交直线l 于点A ,交圆M 于不同的两点O 、B ,且|AO|=|BO|=2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程;(2)若P 为抛物线C 上的动点,求PM ―→,·PF ―→,的最小值;(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线,切点分别为S 、T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.[答 题 栏] A 级1._________2._________3._________4._________5B 级1.______2.______.__________6._________7.__________8.__________9.__________答 案高考数学(文)一轮:一课双测A+B 精练(四十八)A 级1.C2.B3.C4.C5.选A 计算得圆心到直线l 的距离为22= 2>1,如图.直线l :x -y -2=0与圆相交,l1,l2与l 平行,且与直线l 的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2+1.6.选D 圆心C(0,1)到l 的距离 d =5k2+1,所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d2-1=2, 解得k2=4,即k =±2. 又k >0,即k =2.7.解析:由题意得,圆心(1,2)到直线x -my -1=0的距离d =4-3=1, 即|1-2m -1|1+m2=1,解得m =±33.答案:±338.解析:由题意可知圆C :x2+y2=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为24-⎝⎛⎭⎪⎫c a2+b22,由于a2+b2=c2,所以所求弦长为2 3.答案:239.解析:∵点P 在直线x +y -22=0上,∴可设点P(x0,-x0+22),且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°, ∴∠OPM =30°.故在Rt △OPM 中,有OP =2OM =2.由两点间的距离公式得OP =x20+-x0+222=2,解得x0= 2.故点P 的坐标是( 2,2).答案:( 2, 2)10.解:(1)设直线MQ 交AB 于点P ,则|AP|=223,又|AM|=1,AP ⊥MQ ,AM ⊥AQ ,得|MP|=12-89=13,又∵|MQ|=|MA|2|MP|,∴|MQ|=3.设Q(x,0),而点M(0,2),由x2+22=3,得x =±5, 则Q 点的坐标为(5,0)或(-5,0).从而直线MQ 的方程为2x +5y -25=0或2x -5y +25=0.(2)证明:设点Q(q,0),由几何性质,可知A ,B 两点在以Q M 为直径的圆上,此圆的方程为x(x -q)+y(y -2)=0,而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB 的方程为qx -2y +3=0,所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32. 11.解:(1)证明:由题设知,圆C 的方程为 (x -t)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -2t 2=t2+4t2, 化简得x2-2tx +y2-4t y =0,当y =0时,x =0或2t ,则A(2t,0); 当x =0时,y =0或4t ,则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,4t , 所以S △AOB =12|OA|·|OB|=12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t =4为定值.(2)∵|OM|=|ON|,则原点O 在MN 的中垂线上,设MN 的中点为H ,则CH ⊥MN , ∴C 、H 、O 三点共线,则直线OC 的斜率 k =2t t =2t2=12,∴t =2或t =-2. ∴圆心为C(2,1)或C(-2,-1),∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5或(x +2)2+(y +1)2=5,由于当圆方程为(x +2)2+(y +1)2=5时,直线2x +y -4=0到圆心的距离d >r ,此时不满足直线与圆相交,故舍去,∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5.12.解:(1)圆的方程可写成(x -6)2+y2=4,所以圆心为Q(6,0).过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y =kx +2,代入圆的方程得x2+(kx +2)2-12x +32=0,整理得(1+k2)x2+4(k -3)x +36=0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ=[4(k -3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,解得-34<k<0,即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,0. (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2) 则OA +OB =(x1+x2,y1+y2), 由方程①得x1+x2=-4k -31+k2.②又y1+y2=k(x1+x2)+4.③因P(0,2)、Q(6,0),PQ =(6,-2),所以OA +OB 与PQ 共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式, 解得k =-34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,0,故没有符合题意的常数k. B 级1.解析:由两圆的方程x2+y2-10x -10y =0,x2+y2+6x -2y -40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x +y -5=0.圆心(5,5)到直线2x +y -5=0的距离为105=25,弦长的一半为50-20=30,得公共弦长为230.答案:2x +y -5=02302.解析:容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为10,最短为46,故公差最大为10-4610=5-265. 答案:5-2653.解:(1)易得B(1,3),A(-1,-3),设圆M 的方程为(x -a)2+y2=a2(a >0),将点B(1,3)代入圆M 的方程得a =2,所以圆M 的方程为(x -2)2+y2=4,因为点A(-1,-3)在准线l 上,所以p2=1,p =2,所以抛物线C 的方程为y2=4x.(2)由(1)得,M(2,0),F(1,0),设点P(x ,y),则PM ,=(2-x ,-y),PF ,=(1-x ,-y),又点P 在抛物线y2=4x 上,所以PM ,·PF ,=(2-x)(1-x)+y2=x2-3x +2+4x =x2+x +2,因为x ≥0,所以PM ,·PF ,≥2,即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明:设点Q(-1,m),则|QS|=|QT|=m2+5,以Q 为圆心,m2+5为半径的圆的方程为(x +1)2+(y -m)2=m2+5,即x2+y2+2x -2my -4=0,①又圆M 的方程为(x -2)2+y2=4,即x2+y2-4x =0,② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x -my -2=0,显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23,0.高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1.(·青岛摸底)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④2.有下列四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.43.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形6.(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )A.2+3B.1+3C.2+23D.4+37.(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积为1,则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________.(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆8.(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.9.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________.10.已知:图1是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图2是某几何体的三视图,试说明该几何体的构成.11.(·银川调研)正四棱锥的高为3,侧棱长为7,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少?12.(·四平模拟)已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧视图的面积.1.(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2,当其正视图有最大面积时,其侧视图的面积为( )A.23B.3C.3D.42.(·深圳模拟)如图所示的几何体中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面ABE,已知AB=2,AE=BE=3,且当规定正视方向垂直平面ABCD时,该几何体的侧视图的面积为22.若M,N分别是线段DE,CE上的动点,则AM+MN+NB的最小值为________.3.一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示,其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形.(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图;(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;(3)求该多面体的表面积.[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十)A级1.A2.A3.C4.B5.选B由斜二测画法知B正确.6.选D依题意得,该几何体的侧视图的面积等于22+12×2×3=4+ 3.7.解析:如图1所示,直三棱柱ABE-A1B1E1符合题设要求,此时俯视图△A BE是锐角三角形;如图2所示,直三棱柱ABC-A1B1C1符合题设要求,此时俯视图△ABC是直角三角形;如图3所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时,所得直四棱柱ABCD-A1B1C1D1符合题设要求,此时俯视图(四边形ABCD)是正方形;若俯视图是扇形或圆,体积中会含有π,故排除④⑤.答案:①②③8.解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2-13×12×2×2sin60°×1=533.答案:5339.解析:由题意知,正视图就是如图所示的截面PEF ,其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点,连接AO ,易得AO =2,而PA =3,于是解得PO =1,所以PE =2,故其正视图的周长为2+2 2.答案:2+2210.解:图1几何体的三视图为:图2所示的几何体是上面为正六棱柱,下面为倒立的正六棱锥的组合体. 11.解:如图所示,正四棱锥S -ABCD 中, 高OS =3,侧棱SA =SB =SC =SD =7, 在Rt △SOA 中,OA =SA2-OS2=2,∴AC =4. ∴AB =BC =CD =DA =2 2. 作OE ⊥AB 于E ,则E 为AB 中点. 连接SE ,则SE 即为斜高, 在Rt △SOE 中,∵OE =12BC =2,SO =3,∴SE =5,即侧面上的斜高为 5.12.解:(1)三棱锥的直观图如图所示. (2)根据三视图间的关系可得BC =23, ∴侧视图中VA =42-⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232=12=23,∴S △VBC =12×23×23=6.B 级1.选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积,可以按如图所示位置放置,此时侧视图的面积为2 3.2.解析:依题意得,点E 到直线AB 的距离等于32-⎝ ⎛⎭⎪⎫222=2,因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2=22,所以BC =1,DE =EC =DC =2.所以△DEC 是正三角形,∠DEC =60°,tan ∠DEA =AD AE =33,∠DEA =∠CEB =30°.把△DAE ,△DEC 与△CEB 展在同一平面上,此时连接AB ,AE =BE =3,∠AEB =∠DEA +∠DEC +∠CEB =120°,AB2=AE2+BE2-2AE ·BEcos120°=9,即AB =3,即AM +MN +NB 的最小值为3.答案:33.解:(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图,得到俯视图如下:(2)证明:如图,连接AC ,BD ,交于O 点,连接OE. ∵E 为AA1的中点,O 为AC 的中点, ∴在△AA1C 中,OE 为△AA1C 的中位线. ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ,A1C ⊂平面A1C1C , ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面,SABCD =a2, SA1B1C1D1=a22,S △ABA1=S △B1BC =S △C 1DC =S △ADD1=a22,S △AA1D1=S △B1A1B =S △C1B1C =S △DC1D1 =12×2a 2×32a 4=3a28, ∴该多面体的表面积S =a2+a22+4×a22+4×3a28=5a2.。
2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷)参考答案及评分标准一试说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.设b a ,为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则=)2(f 答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22a b a+=-,即20a b +=,所以(2)424f a b =++=.2.若实数α满足ααtan cos =,则αα4cos sin 1+的值为 . 答案:2. 解:由条件知,ααsin cos 2=,反复利用此结论,并注意到1sin cos 22=+αα,得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα.3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ,其中i 为虚数单位,n z 表示n z 的共轭复数,则=2015z .答案:2015 + 1007i .解:由己知得,对一切正整数n ,有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++,于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+.4.在矩形ABCD 中,1,2==AD AB ,边DC 上(包含点D 、C )的动点P 与CB 延长线上(包含点B )的动点Q 满足条件BQ DP =,则PQ PA ⋅的最小值为 . 答案34.解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(t , l)(其中02t ≤≤),则由||||DP BQ =u u u r u u u r 得Q 的坐标为(2,-t ),故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---u u u r u u u r,因此,22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥u u u r u u u r .当12t =时,min 3()4PA PQ ⋅=u u u r u u u r .5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 答案:255.解:设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即 AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能.当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH .由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求概率为8222055=.6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 . 答案:24.解:设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤.有36x y +≤,故先考虑1K 在第一象限中的部分,此时这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知,1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部.同理,设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤,则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.由点集K 的定义知,K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S .由于直线CD 的方程为36x y +=,直线GH 的方程为36x y +=,故它们的交点P 的坐标为33(,)22.由对称性知,138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=.7.设ω为正实数,若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ,使得2sin sin =+b a ωω,则ω的取值范围为 .答案:9513[,)[,)424w ∈+∞U .解:2sin sin =+b a ωω知,1sin sin ==b a ωω,而]2,[,ππωωw w b a si ∈,故题目条件等价于:存在整数,()k l k l <,使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤. ①当4w ≥时,区间]2,[ππw w 的长度不小于π4,故必存在,k l 满足①式.当04w <<时,注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ,故仅需考虑如下几种情况: (i) ππππw w 2252≤<≤,此时21≤w 且45>w 无解; (ii) ππππw w 22925≤<≤,此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤,此时29413≤≤w ,得4413<≤w . 综合(i)、(ii)、(iii),并注意到4≥w 亦满足条件,可知9513[,)[,)424w ∈+∞U . 8.对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ,),若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数;若d c c b b a <><,,,则称abcd 为Q 类数,用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数,则N(P)-N(Q)的值为 .答案:285.解:分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ,再将个位数为零的P 类数全体记为0A ,个位数不等于零的尸类数全体记为1A .对任一四位数1A abcd ∈,将其对应到四位数dcba ,注意到1,,≥><>d c c b b a ,故B dcba ∈.反之,每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd .这建立了1A 与B 之间的一一对应,因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=.下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1,…,9,对其中每个b ,由9≤<a b 及9≤<c b 知,a 和c 分别有b -9种取法,从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑. 因此,()()285N P N Q -=.二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上.) 1.已知点P (4,1)在函数f (x )=log a (x -b ) (b >0)的图象上,则ab 的最大值是 . 解:由题意知,log a (4-b )=1,即a +b =4,且a >0,a ≠1,b >0,从而ab ≤(a +b )24=4,当a =b =2时,ab 的最大值是4.2.函数f (x )=3sin(2x -π4)在x =43π24处的值是 .解:2x -π4=43π12-π4=40π12=10π3=2π+4π3,所以f (43π24)=3sin 4π3=-32.3.若不等式|ax +1|≤3的解集为{x |-2≤x ≤1},则实数a 的值是 . 解:设函数f (x )=|ax +1|,则f (-2)= f (1)=3,故a =2.4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 .解:有两类情况:同为白球的概率是3×1025×25=30625,同为红球的概率是7×625×25=42625,所求的概率是72625.5.在平面直角坐标系xOy 中,设焦距为2c 的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与椭圆x 2b 2+y 2c 2=1有相同的离心率e ,则e 的值是 .解:若c >b ,则c 2a 2=c 2-b 2c 2,得a =b ,矛盾,因此c <b ,且有c 2a 2=b 2-c 2b 2,解得e =-1+52.6.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点.记四棱锥E -ABCD 的体积为V 1,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V 2,则V 1V 2的值是 .(第6题图) A 1解:记四棱锥B 1-ABCD 的体积为V .如图,DE =23DB 1,从而V 1=23V .又V =13V 2,所以V 1V 2=29.7.若实数集合A ={31x ,65y }与B ={5xy ,403}仅有一个公共元素,则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 .解:因为31x ×65y =5xy ×403=2015xy .若xy ≠0,则集合A 和集合B 中有一组相等,则另一组也必然相等,这不合题意.所以xy =0,从而A ∪B 中所有元素之积的值为0. 8.设向量a =(cos α,sin α),b =(-sin α,cos α).向量x 1,x 2,…,x 7中有3个为a ,其余为b ;向量y 1,y 2,…,y 7中有2个为a ,其余为b .则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为 .解:因为a ·a =b ·b =1,a ·b =0,所以7∑i =1x i y i 的最小值为2.9.在3×3的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格中的数分别为1,2,2015,则幻方中其余6个数之和为 . 解:如图,设幻方正中间的数为x ,则由题意知a =-2012,从而对角线上三个数的和为x -2011.因此b =x -2014,c =-4026,d =-2013,e =x +2014. 由b +e +x =x -2011,解得x =-20112.这9个数的和为3×(-20112-2011)=-180992,所以幻方中其余6个数之和为-180992-2018=-221352.10.在平面直角坐标系xOy 中,设D 是满足x ≥0,y ≥0,x +y +[x ]+[y ]≤19的点(x ,y )形成的区域(其中[x ]是不超过x 的最大整数).则区域D 中整点的个数为 . 解:区域D 中整点的个数为1+2+3+…+10=55.(第9题图) 12 2015(第9题图)e c d ab1 2 2015x (第6题图)A 1二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)11.在等比数列{a n }中,a 2=2,q 是公比.记S n 为{a n }的前n 项和,T n 为数列{a 2n }的前n 项和.若S 2n =2T n ,求q 的值.解:若q =1,则a n =a 2=2,a 2n =4,则S 2n =4n ,T n =4n ,S 2n ≠2T n .若q =-1,则a n =2×(-1)n ,a 2n =4,则S 2n =0,T n =4n ,S 2n ≠2T n .……………………………… 5分若q ≠±1,则a n =2q n -2,a 2n =4q 2n -4,从而S 2n =2q ×(1-q 2n )1-q ,T n =4q 2×(1-q 2n )1-q 2. ……………………………… 15分由S 2n =2T n ,则4q (1+q )=1,q 2+q -4=0,解得q =-1±172.综上,q 的值为-1+172和-1-172. ……………………………… 20分12.如图,△ABC 中,AB >AC ,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且BD =CE .∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点.求证:A 、P 、B 、C 四点共圆.证明:如图,连结PD ,PE ,PC .因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD =∠PED ,∠P AF =∠PDE . 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线, 所以∠P AD =∠P AF , 从而∠PED =∠PDE ,故PD =PE . ……………………………… 10分 又∠ADP =∠AEP , 所以∠BDP =∠CEP .又因为BD =CE ,所以△BDP ≌△CEP ,从而∠PBD =∠PCE ,即∠PBA =∠PCA ,ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆. ……………………………… 10分13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,圆O 1、圆O 2都与直线l :y =kx 及x 轴正半轴相切.若两圆的半径之积为2,两圆的一个交点为P (2,2),求直线l 的方程. 解:由题意,圆心O 1,O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k =tanα, 设t =tan α2,则k =2t1-t 2.圆心O 1,O 2在直线y =tx 上, 可设O 1(m ,mt ),O 2(n ,nt ).交点P (2,2)在第一象限,m ,n ,t >0. ……………………………… 4分 所以⊙O 1:(x -m )2+(y -mt )2=(mt )2,⊙O 1:(x -n )2+(y -nt )2=(nt )2,所以⎩⎨⎧(2-m )2+(2-mt )2=(mt )2,(2-n )2+(2-nt )2=(nt )2,即⎩⎨⎧m 2-(4+4t )m +8=0,n 2-(4+4t )n +8=0,……………… 8分所以 m ,n 是方程X 2-(4+4t )X +8=0的两根,mn =8.由半径的积(mt )(nt )=2,得t 2=14,故t =12.……………………………… 16分所以 k =2t 1-t 2=11-14=43,直线l :y =43x . ……………………………… 20分14.将正十一边形的k 个顶点染红色,其余顶点染蓝色. (1)当k =2时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数;(2)k 取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由. 解:(1)设正十一边形的顶点A 1,A 2,A 3,…,A 11,则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形.以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算:以A i (i =1,2,3,…,11)为顶角顶点的等腰三角形有11-12=5个,这些三角形均不是等边三角形,即当j ≠i 时,以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形.故所有的等腰三角形共有5×11=55个. …………………… 5分当k =2时,设其中A m ,A n 染成红色,其余染成蓝色.以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个,以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个;同时以A m ,A n 为顶点的等腰三角形有3个,这些等腰三角形的顶点不同色,且共有(5+10)×2-3=27个.注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色,故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55-27=28个. ………………………… 10分(2)若11个顶点中k 个染红色,其余11-k 个染蓝色.则这些顶点间连线段(边或对角线)中,两端点染红色的有k (k -1)2条,两端点染蓝色的有(11-k )(10-k )2条,两端点染一红一蓝的有k (11-k )条.并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形.把等腰三角形分4类:设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个,三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个,两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个,两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个,则按顶点颜色计算连线段,3x 1+x 3=3×k (k -1)2, ①3x 2+x 4=3×(11-k )(10-k )2, ②2x 3+2x 4=3×k (11-k ), ③由①+②得 3(x 1+x 2)+x 3+x 4=32[k (k -1)+(11-k )(10-k )],用③代入得 x 1+x 2=12[ k (k -1)+(11-k )(10-k )-k (11-k )]=12(3k 2-33k +110).当k =5或6时,(x 1+x 2)min =12(5×4+6×5-5×6)=10.即顶点同色的等腰三角形最少有10个,此时k =5或6.………… 20分。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题的括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.已知数列{an}的通项公式an =,则{an}的最大项是 ( ) A .a1 B .a2 C .a3 D .a42.函数y =3 |log 3x|的图象是 ( ) A .B .C .D .3.已知抛物线y2=2px ,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的P 点共有 ( ) A .0个 B .2个 C .4个 D .6个4.设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数,若x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则() A .f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B .f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C .f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D .f(x1)+f(x2)>f(x3)5.过空间一定点P 的直线中,与长方体ABCD -A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 ( ) A .0条 B .1条 C .4条 D .无数多条6.在△ABC 中,tanA =,cosB =,10).若的最长边为1,则最短边的长为 ( ) A .,5)B .,5)C .,5)D .,5)二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本小题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7.集合A ={x|x =3n ,n ∈N ,0<n <10},B ={y|y =5m ,m ∈N ,0≤n≤6}则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________.8.设cos2θ=,3),则cos4θ+sin4θ的值是__________________. 9.(x -3x2)3的展开式中,x5的系数为__________________.10.已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0,3x -y≥0,x +3y -3≤0,则x2+y2的最大值是__________________.11.等比数列{an}的首项为a1=,公比q =-,设f(n)表示这个数列的前n 项的积,则当n =_________________时,f(n)有最大值.12.长方体ABCD -A1B1C1D1中,已知AB1=4,AD1=3,则对角线AC1的取值范围是______________________________.三、解答题(本题满分60分,第13题,第14题各12分,第15题16分,第16题20分)13.设集合A ={x|log 12(3-x)≥-2},B ={x|≥1},若A∩B =,求实数a 的取值范围.14.椭圆+=1的有焦点为F ,P1,P2,…,P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中P1是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1,x O yx O yx O yx O y若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ,求S 的值.15.△ABC 中,AB <AC ,AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线,且∠BAD =∠EAC .证明是直角.16.设p 是质数,且p2+71的不同正因数的个数不超过10个,求p . 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题的括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.已知数列{an}的通项公式an =,则{an}的最大项是 ( ) A .a1 B .a2 C .a3 D .a4解:an =1(n -2)2+1,当n =2时,an 取最大值,故选B .2.函数y =3的图象是 ( ) A .B .C .D .解:由于|log3x|≥0,故y≥1,只有A 满足此条件,故选A .3.已知抛物线y2=2px ,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的P 点共有 ( ) A .0个 B .2个 C .4个 D .6个解:作垂直于x 轴的焦点弦交抛物线于点P1、P2,则△P1OF 、△P2OF是直角三角形.对于抛物线上异于O 、P1、P2的点Q ,显然∠QFO≠90˚,∠QOF≠90˚,从而若△QOF 为直角三角形,则只能是∠FQO =90˚.设点Q 坐标为(y22p,y)(y≠0,±p),则有y22p (y22p -p2)+y2=0, 由y≠0得,y22p +3p2=0,此方程无实解,从而这样的点P 只能2个,选B .4.设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数,若x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( )A .f(x1)+f(x2)+f(x3)>0B .f(x1)+f(x2)+f(x3)<0C .f(x1)+f(x2)+f(x3)=0D .f(x1)+f(x2)>f(x3)解:则x1>-x2,知f(x1)<f(-x2)=-f(x2)f(x1)+f(x2)<0; 同理,f(x2)+f(x3)<0,f(x3)+f(x1)<0; 所以,f(x1)+f(x2)+f(x3)<0.选B .5.过空间一定点P 的直线中,与长方体ABCD -A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 ( ) A .0条 B .1条 C .4条 D .无数多条解:首先,过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线.故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系,则方程|x|=|y|=|z|共有8解,此8解共组成4条直线,故选C .6.在△ABC 中,tanA =,cosB =,10).若的最长边为1,则最短边的长为 ( ) A .,5)B .,5)C .,5)D .,5)解:作辅助图如右:取高CD =a ,则AD =2a ,BD = A B C D Ex O y x O y x O y x O yABDC3a2aa3a ,最短边AC =5a ;由5a =1,得a =,故选D . 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本小题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7.集合A ={x|x =3n ,n ∈N ,0<n <10},B ={y|y =5m ,m ∈N ,0≤n≤6}则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________.解:A∩B ={15};故所求和=(3+6+…+27)+(0+5+…+30)-15=225. 8.设cos2θ=,3),则cos4θ+sin4θ的值是__________________. 解:已知即cos2θ-sin2θ=,3)cos4θ+sin4θ-2cos2θsin2θ=; ① 又,cos2θ+sin2θ=1cos4θ+sin 4θ+2cos2θsin2θ=1. ② (①+②)÷2: cos4θ+sin4θ=.9.(x -3x2)3的展开式中,x5的系数为__________________. 解:(x -3x2)3=x3-3x2×3x2+3x×9x4-27x6.x5 的系数=27.10.已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0,3x -y≥0,x +3y -3≤0,则x2+y2的最大值是__________________.解:满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界.其中点(3,0)与原点距离最大,故(x2+y2)max =9.11.等比数列{an}的首项为a1=,公比q =-,设f(n)表示这个数列的前n 项的积,则当n =_________________时,f(n)有最大值.解:由于f(4k)>0,f(4k +1)>0,(k ∈N*).f(4k)=a 4k 1 q2k(4k -1);f(4k +1)=a 4k +11q2k(4k +1).故=a1q4k .于是f(12)>f(13),且当k≥3时,f(4k +1)<f(4k);又=a 31q30,有f(9)<f(12);=a 41q2(8k +3), 故f(8)<f(12),且k≥3时,f(4k +4)<f(4k), 从而f(12)最大.12.长方体ABCD -A1B1C1D1中,已知AB1=4,AD1=3,则对角线AC1的取值范围是______________________________.解:设长方体的三度分别为x ,y ,z ,对角线AC =d .则可得x2+z2=16,y2+z2=9.d2=x2+y2+z2=25-z2,但0<z <3,从而16<d2<254<d <5所求取值范围为(4,5).三、解答题(本题满分60分,第13题,第14题各12分,第15题16分,第16题20分)13.设集合A ={x|log 12(3-x)≥-2},B ={x|≥1},若A∩B =,求实数a 的取值范围.解:由log 12(3-x)≥-20<3-x≤4-1≤x <3.由≥1(x -a)(x -3a)≤0.1321Oyx① 当a >0时,解为a <x <3a ; ② 当a =0时,解为;③ 当a <0时,解为3a <x <a .若A∩B≠,则当a <0时,有a >-1-1<a <0;当a >0时,有3a <30<a <1. 所以,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,1).14.椭圆+=1的有焦点为F ,P1,P2,…,P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中P1是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1,若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ,求S 的值.解法一:已知椭圆的a =3,b =2,c =5,e =53,p =b2c =45. 对于椭圆上任一点P ,|FP|=r ,P 到准线的距离|PH|=d ,FP 与Ox 正向夹角为θ,则有 rcosθ+d =p ,rd=e .于是, d(1+ecosθ)=p ,1d =1p(1+ecosθ).所以, S =i =1∑241di =1p i =1∑24(1+ecosθ)=24p +e p i =1∑24co sθ=24p .故 S2=242p2=180.解法二:设过焦点且斜率为k 的直线交椭圆于A 、B 两点.则有⎩⎨⎧y =k(x -c), ①4x2+9y2=36. ②①代入②: 4x2+9k2(x -5)2-36=0.即, (4+9k2)x2-185xk2+45k2-36=0.所以, x1+x2=185k24+9k2,x1x2=45k2-364+9k2.而点P 到准线距离d =a2c -x =9-5x 51d =59-5x ,故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为59-5x1+59-5x2=5[18-5(x1+x2)]81-95(x1+x2)+5x1x2=5[18-5·185k24+9k2]81-95·185k24+9k2+545k2-364+9k2=185(4+9k2)-905k281(4+9k2)-810k2+225k2-180=725+725k2144+144k2=52.而过焦点且倾斜角θ=90˚时,两交点到准线的距离=a2c -c =45,故θ=90˚及270˚的pθF P OxyH rd两个点到准线距离倒数和也=52. 所以,S =12×52=65;S2=180.解法三:令⎩⎨⎧x =5+tcosθ,y =tsinθ.代入椭圆方程得,t2(4cos 2θ+9sin2θ)+85tcosθ-16=0.同上.15.△ABC 中,AB <AC ,AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线,且∠BAD =∠EAC .证明是直角.证明一:延长AE 到F ,使EF =AE ,延长AD 到K ,使DK =AD .连FK ,FB .因FB ∥AC ∠AFB =∠EAC .又BD 垂直平分AK ,故∠AKB =∠BAD ,因∠BAD =∠EAC ,所以∠AKB =∠AFB .所以A 、F 、K 、B 四点共圆. FK ∥BC ∠FKA =90˚.故AF 为该圆直径.E 为此圆圆心.故EA =EB =EC ,即点C 在此圆上.此圆为△ABC 的外接圆,BC 为圆的直径. 所以∠BAC 为直角.证明二:取△ABC 的外接圆,延长AE 交圆于点F ,连FB ,则∠CBF =∠CAF =∠BAD ,但∠BAD +∠ABD =90˚,从而∠FBC +∠ABC =90˚,即∠ABF =90˚. 从而AF 为圆的直径.若E 不是圆心,则AF ⊥BC ,AB =AC .与已知矛盾.故E 为外心.从而∠BAC =90˚.证明三:作△ABC 的外接圆,作EF ⊥BC ,交外接圆于点F ,连AF .则EF 是BC 的垂直平分线,故F 为⌒BC 的中点,于是AF 是∠BAC的平分线.由∠BAD =∠EAC ,得∠DAF =∠EAF .又,EF ∥AD ,故∠DAF =∠EFA ∠EAF =∠EFA .EA =EF .故AF 的垂直平分线经过点E .由于△ABC 的外接圆圆心应是弦AF 、BC 的垂直平分线的交点,故E 为△ABC 的外心.从而△ABC 为直角三角形,得,∠BAC 为直角.证明四:取AC 中点F ,连DF 、EF , 由EF ∥AB ∠AEF =∠EAB =∠BAD +∠DAE =∠EAC+∠DAE =∠DAC ,由AD 为高,故∠DAC =∠ADF ,所以,∠ADF =∠AEF A 、D 、E 、F 四点共圆.于是有∠EFA =90˚,从而∠BAC =90˚,故证.证明五:以D 为原点,BC 所在直线为x 轴建立坐标系.设点A 、B 、C 的坐标分别为A(0,a),B(b ,0),C(0,c).FE D CB AA B C D E FK FD E C B A设AB 到AD 的角为α,则tanα=-ba .kAC =-a c ,kAE =-2ab +c ,tan ∠EAC =-a c +2a b +c 1+2a2c(b +c)=a(c -b)2a2+bc +c2.由tan ∠EAC =tanα-ba =a(c -b)2a2+bc +c2.化简得a2=-bc .即|AD|2=|DB|·|DC|.故△ABC 为直角三角形.证明六:设BC =a ,BD =p ,AD =h ,则tanB =hp ,tan ∠AEB =h 12a -p =2ha -2p .∠BAE =∠DACtan ∠BAE =tan ∠DAC =a -ph.在△ABE 中,有h p +2ha -2p +a -p h =h p ·2h a -2p ·a -p h =2h(a -p)p(a -2p).即h2(a -2p)+2ph2+p(a -p)(a -2p)=2h2(a -2p).h2=p(a -p).从而|AD|2=|DB|·|DC|.故△ABC 为直角三角形.得证.证明七:设∠BAD =∠EAC =α,则AD =ABcosα=ACsinC , ①∠BAE =∠DAC =90˚-C .而S △BAE =S △CAE AB·AEsin(90˚-C)=AC·AEsinαABcosC =ACsinα.②①×②:sin2α=sin2C α+C =90˚或α=C .若α+C =90˚,则D 、E 重合,与AC >AB 矛盾,α=C .则有∠BAC =90˚,得证. 16.设p 是质数,且p2+71的不同正因数的个数不超过10个,求p . 解 p =2时,p2+71=75=3×52,d(75)=2×3=6<10,故p =2是本题的解; p =3时,p2+71=80=24×5,d(80)=5×2=10≤10,故p =3是本题的解; 若质数p >3,则p2≡1(mod 8)p2+71≡0(mod 8),故23|p2+71; p2≡1(mod 3)p2+71≡0(mod 3),故3|p2+71.所以,p2+71=2α×3β×t .其中α、β∈N*,且α≥3.当α=3,β=1,t 若有大于3的质因子,则d(p2+71)≥4×2×2,故t =1.此时无质数p 满足题意;当α=4,β=1,必有t =1,此时有d(p2+71)≥5×2=10.此时无质数p 满足题意; 当α≥4,β≥1,且等号不同时成立时,d(p2+71)>10. 综上可知,解为p =2,3.xyA (0,a )B (b ,0)C (c ,0)D EahpABCED高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则AB =(A ){1}(B ){12},(C ){0123},,,(D ){10123}-,,,, (2)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是(A )(31)-,(B )(13)-,(C )(1,)∞+(D )(3)∞--, (3)已知向量(1,)(3,2)m =-,=a b ,且()⊥a +b b ,则m= (A )-8(B )-6 (C )6 (D )8(4)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a= (A )43-(B )34-(C )3(D )2(5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A )24 (B )18 (C )12 (D )9(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A )20π(B )24π(C )28π(D )32π(7)若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则评议后图象的对称轴为(A )x=kπ2–π6 (k ∈Z) (B )x=kπ2+π6 (k ∈Z) (C )x=kπ2–π12 (k ∈Z) (D )x=kπ2+π12 (k ∈Z)(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s= (A )7 (B )12 (C )17 (D )34 (9)若cos(π4–α)=35,则sin 2α=(A )725(B )15(C )–15(D )–725(10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,nx ,1y ,2y ,…,ny ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(A )4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n(11)已知F1,F2是双曲线E 22221x y a b-=的左,右焦点,点M 在E 上,M F1与x 轴垂直,sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 (AB )32(CD )2(12)已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑(A )0 (B )m (C )2m (D )4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=. (14)α、β是两个平面,m 、n 是两条直线,有下列四个命题:(1)如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β. (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n.(3)如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β. (4)如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3。
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上.) 1.已知点P (4,1)在函数f (x )=log a (x -b ) (b >0)的图象上,则ab 的最大值是 . 解:由题意知,log a (4-b )=1,即a +b =4,且a >0,a ≠1,b >0,从而ab ≤(a +b)24=4,当a =b =2时,ab 的最大值是4.2.函数f (x )=3sin(2x -π4)在x =43π24处的值是 .解:2x -π4=43π12-π4=40π12=10π3=2π+4π3,所以f (43π24)=3sin 4π3=-32.3.若不等式|ax +1|≤3的解集为{x |-2≤x ≤1},则实数a 的值是 . 解:设函数f (x )=|ax +1|,则f (-2)= f (1)=3,故a =2.4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 .解:有两类情况:同为白球的概率是3×1025×25=30625,同为红球的概率是7×625×25=42625,所求的概率是72625.5.在平面直角坐标系xOy 中,设焦距为2c 的椭圆x2a2+y2b2=1(a >b >0)与椭圆x2b2+y2c2=1有相同的离心率e ,则e 的值是 .解:若c >b ,则c2a2=c2-b2c2,得a =b ,矛盾,因此c <b ,且有c2a2=b2-c2b2,解得e =-1+52.6.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点.记四棱锥E -ABCD 的体积为V 1,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V 2,则V1V2的值是 .(第6题图) A 1解:记四棱锥B 1-ABCD 的体积为V .如图,DE =23DB 1,从而V 1=23V .又V =13V 2,所以V1V2=29.7.若实数集合A ={31x ,65y }与B ={5xy ,403}仅有一个公共元素,则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 .解:因为31x ×65y =5xy ×403=2015xy .若xy ≠0,则集合A 和集合B 中有一组相等,则另一组也必然相等,这不合题意.所以xy =0,从而A ∪B 中所有元素之积的值为0. 8.设向量a =(cos α,sin α),b =(-sin α,cos α).向量x 1,x 2,…,x 7中有3个为a ,其余为b ;向量y 1,y 2,…,y 7中有2个为a ,其余为b .则错误!x i y i 的可能取值中最小的为 . 解:因为a ·a =b ·b =1,a ·b =0,所以错误!x i y i 的最小值为2.9.在3×3的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格中的数分别为1,2,2015,则幻方中其余6个数之和为 . 解:如图,设幻方正中间的数为x ,则由题意知a =-2012,从而对角线上三个数的和为x -2011.因此b =x -2014,c =-4026,d =-2013,e =x +2014. 由b +e +x =x -2011,解得x =-20112.这9个数的和为3×(-20112-2011)=-180992,所以幻方中其余6个数之和为-180992-2018=-221352.10.在平面直角坐标系xOy 中,设D 是满足x ≥0,y ≥0,x +y +[x ]+[y ]≤19的点(x ,y )形成的区域(其中[x ]是不超过x 的最大整数).则区域D 中整点的个数为 . 解:区域D 中整点的个数为1+2+3+…+10=55.(第9题图) 12 2015(第9题图)e c d ab1 2 2015x (第6题图)A 1二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)11.在等比数列{a n }中,a 2=2,q 是公比.记S n 为{a n }的前n 项和,T n 为数列{a 2n }的前n 项和.若S 2n =2T n ,求q 的值.解:若q =1,则a n =a 2=2,a 2n =4,则S 2n =4n ,T n =4n ,S 2n ≠2T n .若q =-1,则a n =2×(-1)n ,a 2n =4,则S 2n =0,T n =4n ,S 2n ≠2T n .……………………………… 5分若q ≠±1,则a n =2q n -2,a 2n =4q 2n -4,从而S 2n =2q ×(1-q 2n )1-q ,T n =4q2×(1-q 2n )1-q 2. ……………………………… 15分由S 2n =2T n ,则4q(1+q)=1,q 2+q -4=0,解得q =-1±172.综上,q 的值为-1+172和-1-172. ……………………………… 20分12.如图,△ABC 中,AB >AC ,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且BD =CE .∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点.求证:A 、P 、B 、C 四点共圆.证明:如图,连结PD ,PE ,PC .因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD =∠PED ,∠P AF =∠PDE . 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线, 所以∠P AD =∠P AF , 从而∠PED =∠PDE ,故PD =PE . ……………………………… 10分 又∠ADP =∠AEP , 所以∠BDP =∠CEP .又因为BD =CE ,所以△BDP ≌△CEP ,从而∠PBD =∠PCE ,即∠PBA =∠PCA ,ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆. ……………………………… 10分13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,圆O 1、圆O 2都与直线l :y =kx 及x 轴正半轴相切.若两圆的半径之积为2,两圆的一个交点为P (2,2),求直线l 的方程. 解:由题意,圆心O 1,O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k =tanα, 设t =tan α2,则k =2t1-t2.圆心O 1,O 2在直线y =tx 上, 可设O 1(m ,mt ),O 2(n ,nt ).交点P (2,2)在第一象限,m ,n ,t >0. ……………………………… 4分 所以⊙O 1:(x -m )2+(y -mt )2=(mt )2,⊙O 1:(x -n )2+(y -nt )2=(nt )2,所以⎩⎨⎧(2-m)2+(2-mt)2=(mt)2,(2-n)2+(2-nt)2=(nt)2,即⎩⎨⎧m2-(4+4t)m +8=0,n2-(4+4t)n +8=0,……………… 8分所以 m ,n 是方程X 2-(4+4t )X +8=0的两根,mn =8.由半径的积(mt )(nt )=2,得t 2=14,故t =12.……………………………… 16分所以 k =2t 1-t2=11-14=43,直线l :y =43x . ……………………………… 20分14.将正十一边形的k 个顶点染红色,其余顶点染蓝色. (1)当k =2时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数;(2)k 取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由. 解:(1)设正十一边形的顶点A 1,A 2,A 3,…,A 11,则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形.以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算:以A i (i =1,2,3,…,11)为顶角顶点的等腰三角形有11-12=5个,这些三角形均不是等边三角形,即当j ≠i 时,以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形.故所有的等腰三角形共有5×11=55个. …………………… 5分当k =2时,设其中A m ,A n 染成红色,其余染成蓝色.以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个,以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个;同时以A m ,A n 为顶点的等腰三角形有3个,这些等腰三角形的顶点不同色,且共有(5+10)×2-3=27个.注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色,故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55-27=28个. ………………………… 10分(2)若11个顶点中k 个染红色,其余11-k 个染蓝色.则这些顶点间连线段(边或对角线)中,两端点染红色的有k(k -1)2条,两端点染蓝色的有(11-k)(10-k)2条,两端点染一红一蓝的有k (11-k )条.并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形.把等腰三角形分4类:设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个,三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个,两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个,两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个,则按顶点颜色计算连线段,3x 1+x 3=3×k(k -1)2, ①3x 2+x 4=3×(11-k)(10-k)2, ②2x 3+2x 4=3×k (11-k ), ③由①+②得 3(x 1+x 2)+x 3+x 4=32[k (k -1)+(11-k )(10-k )],用③代入得 x 1+x 2=12[ k (k -1)+(11-k )(10-k )-k (11-k )]=12(3k 2-33k +110).当k =5或6时,(x 1+x 2)min =12(5×4+6×5-5×6)=10.即顶点同色的等腰三角形最少有10个,此时k =5或6.………… 20分。
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上.) 1.已知点P (4,1)在函数f (x )=log a (x -b ) (b >0)的图象上,则ab 的最大值是 . 解:由题意知,log a (4-b )=1,即a +b =4,且a >0,a ≠1,b >0,从而ab ≤(a +b )24=4,当a =b =2时,ab 的最大值是4.2.函数f (x )=3sin(2x -π4)在x =43π24处的值是 .解:2x -π4=43π12-π4=40π12=10π3=2π+4π3,所以f (43π24)=3sin 4π3=-32.3.若不等式|ax +1|≤3的解集为{x |-2≤x ≤1},则实数a 的值是 . 解:设函数f (x )=|ax +1|,则f (-2)= f (1)=3,故a =2.4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 .解:有两类情况:同为白球的概率是3×1025×25=30625,同为红球的概率是7×625×25=42625,所求的概率是72625.5.在平面直角坐标系xOy 中,设焦距为2c 的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与椭圆x 2b 2+y 2c 2=1有相同的离心率e ,则e 的值是 .解:若c >b ,则c 2a 2=c 2-b 2c 2,得a =b ,矛盾,因此c <b ,且有c 2a 2=b 2-c 2b 2,解得e =-1+52.6.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点.记四棱锥E -ABCD 的体积为V 1,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V 2,则V 1V 2的值是 .(第6题图) A 1解:记四棱锥B 1-ABCD 的体积为V .如图,DE =23DB 1,从而V 1=23V .又V =13V 2,所以V 1V 2=29.7.若实数集合A ={31x ,65y }与B ={5xy ,403}仅有一个公共元素,则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 .解:因为31x ×65y =5xy ×403=2015xy .若xy ≠0,则集合A 和集合B 中有一组相等,则另一组也必然相等,这不合题意.所以xy =0,从而A ∪B 中所有元素之积的值为0. 8.设向量a =(cos α,sin α),b =(-sin α,cos α).向量x 1,x 2,…,x 7中有3个为a ,其余为b ;向量y 1,y 2,…,y 7中有2个为a ,其余为b .则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为 .解:因为a ·a =b ·b =1,a ·b =0,所以7∑i =1x i y i 的最小值为2.9.在3×3的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格中的数分别为1,2,2015,则幻方中其余6个数之和为 . 解:如图,设幻方正中间的数为x ,则由题意知a =-2012,从而对角线上三个数的和为x -2011.因此b =x -2014,c =-4026,d =-2013,e =x +2014. 由b +e +x =x -2011,解得x =-20112.这9个数的和为3×(-20112-2011)=-180992,所以幻方中其余6个数之和为-180992-2018=-221352.10.在平面直角坐标系xOy 中,设D 是满足x ≥0,y ≥0,x +y +[x ]+[y ]≤19的点(x ,y )形成的区域(其中[x ]是不超过x 的最大整数).则区域D 中整点的个数为 . 解:区域D 中整点的个数为1+2+3+…+10=55.(第9题图) 12 2015(第9题图)e c d ab1 2 2015x (第6题图)A 1二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)11.在等比数列{a n }中,a 2=2,q 是公比.记S n 为{a n }的前n 项和,T n 为数列{a 2n }的前n 项和.若S 2n =2T n ,求q 的值.解:若q =1,则a n =a 2=2,a 2n =4,则S 2n =4n ,T n =4n ,S 2n ≠2T n .若q =-1,则a n =2×(-1)n ,a 2n =4,则S 2n =0,T n =4n ,S 2n ≠2T n .……………………………… 5分若q ≠±1,则a n =2q n -2,a 2n =4q 2n -4,从而S 2n =2q ×(1-q 2n )1-q ,T n =4q 2×(1-q 2n )1-q 2. ……………………………… 15分由S 2n =2T n ,则4q (1+q )=1,q 2+q -4=0,解得q =-1±172.综上,q 的值为-1+172和-1-172. ……………………………… 20分12.如图,△ABC 中,AB >AC ,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且BD =CE .∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点.求证:A 、P 、B 、C 四点共圆.证明:如图,连结PD ,PE ,PC .因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD =∠PED ,∠P AF =∠PDE . 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线, 所以∠P AD =∠P AF , 从而∠PED =∠PDE ,故PD =PE . ……………………………… 10分 又∠ADP =∠AEP , 所以∠BDP =∠CEP .又因为BD =CE ,所以△BDP ≌△CEP ,从而∠PBD =∠PCE ,即∠PBA =∠PCA ,ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆. ……………………………… 10分13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,圆O 1、圆O 2都与直线l :y =kx 及x 轴正半轴相切.若两圆的半径之积为2,两圆的一个交点为P (2,2),求直线l 的方程. 解:由题意,圆心O 1,O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k =tanα, 设t =tan α2,则k =2t1-t 2.圆心O 1,O 2在直线y =tx 上, 可设O 1(m ,mt ),O 2(n ,nt ).交点P (2,2)在第一象限,m ,n ,t >0. ……………………………… 4分 所以⊙O 1:(x -m )2+(y -mt )2=(mt )2,⊙O 1:(x -n )2+(y -nt )2=(nt )2,所以⎩⎨⎧(2-m )2+(2-mt )2=(mt )2,(2-n )2+(2-nt )2=(nt )2,即⎩⎨⎧m 2-(4+4t )m +8=0,n 2-(4+4t )n +8=0,……………… 8分所以 m ,n 是方程X 2-(4+4t )X +8=0的两根,mn =8.由半径的积(mt )(nt )=2,得t 2=14,故t =12.……………………………… 16分所以 k =2t 1-t 2=11-14=43,直线l :y =43x . ……………………………… 20分14.将正十一边形的k 个顶点染红色,其余顶点染蓝色. (1)当k =2时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数;(2)k 取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由. 解:(1)设正十一边形的顶点A 1,A 2,A 3,…,A 11,则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形.以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算:以A i (i =1,2,3,…,11)为顶角顶点的等腰三角形有11-12=5个,这些三角形均不是等边三角形,即当j ≠i 时,以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形.故所有的等腰三角形共有5×11=55个. …………………… 5分当k =2时,设其中A m ,A n 染成红色,其余染成蓝色.以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个,以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个;同时以A m ,A n 为顶点的等腰三角形有3个,这些等腰三角形的顶点不同色,且共有(5+10)×2-3=27个.注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色,故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55-27=28个. ………………………… 10分(2)若11个顶点中k 个染红色,其余11-k 个染蓝色.则这些顶点间连线段(边或对角线)中,两端点染红色的有k (k -1)2条,两端点染蓝色的有(11-k )(10-k )2条,两端点染一红一蓝的有k (11-k )条.并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形.把等腰三角形分4类:设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个,三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个,两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个,两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个,则按顶点颜色计算连线段,3x 1+x 3=3×k (k -1)2, ①3x 2+x 4=3×(11-k )(10-k )2, ②2x 3+2x 4=3×k (11-k ), ③由①+②得 3(x 1+x 2)+x 3+x 4=32[k (k -1)+(11-k )(10-k )],用③代入得 x 1+x 2=12[ k (k -1)+(11-k )(10-k )-k (11-k )]=12(3k 2-33k +110).当k =5或6时,(x 1+x 2)min =12(5×4+6×5-5×6)=10.即顶点同色的等腰三角形最少有10个,此时k =5或6.………… 20分。