数学必修一知识点大全一．集合1．集合的表示：描述法、列举法理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 如：①已知集合}23|{},1lg |{2x x y y B x x A --==<=，则B A = ； ② 设集合},5|{},73|{>=<<∈=x x B x N x A 则B A = ；2．子、交、并、补运算：数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具 如：③集合}042|{},032|{222≤-+-=≤--=m mx x x B x x x A （1）若]3,0[=⋂B A ，求实数m 的值； （2）若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围。
3．含n 个元素的集合的子集数为n 2,真子集数为12-n4．B B A A B A B A =⇔=⇔⊆注意：讨论的时候不要遗忘了∅=A 的情况。
如：④设}1|{},0232|{2===--=ax x Q x x x P ，若P Q ⊆，则实数a 为： ；二．函数概念及基本初等函数：1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠; 偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0>且1≠； 零指数幂的底数0≠；实际问题有意义；如:（2009江西卷文）函数y =的定义域为: ;②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域） （1）利用基本初等函数的值域：如函数131-=x y 的值域是：（2）二次函数配方法：如223x x y +-= 的值域是______________.（3）利用函数单调性：如函数xx y 1-=在]2,1[上的值域是_______________]4,1[,4∈+=x xx y 的值域为＿＿＿＿。
（4）部分分式法：如312-+=x x y 的值域是______________.（5）数形结合:函数x x y 2225.0-=③求函数解析式的常用方法：①换元法（ 注意新元的取值范围）。
如:已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为：②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）如：已知f (x )为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f (0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,则f (x )的解析式为：③整体代换（配凑法）。
如若221)1(x x xx f +=-，则函数)1(-x f =_________.④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） 如若函数)(x f 满足关系式x xf x f 3)1(2)(=+，则)(x f 的表达式为________.⑤已知函数)(x f 为奇函数，且0>x 时，x x x f -=3)(，求0<x 时，)(x f 的解析式。
2．函数的奇偶性：①对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．：如果_________，那么函数)(x f 为奇函数； 如果______________________________________，那么函数)(x f 为偶函数. ②奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称； ③)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f ；④)(x f 为偶函数，则|)(|)()(x f x f x f ==-⑤奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数⑥若证明)(x f 是奇、偶函数，必须用定义，而要说明一个函数没有奇偶性，则应用特殊值； ⑦常见函数的奇偶性：奇函数：,tan ,sin ,1,1,,3x y x y xx y x x y x y x y ==-=+=== ,11lg ),1lg(2+-=++=x x y x x y偶函数：C y =（C 为常数），,cos |,|,2x y x y x y ===特别的，1||)(2+-+=a x x x f ，0=a 时，函数为偶函数，0≠a 时，无奇偶性。
如：ⅰ.如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____；ⅱ.函数2|2|1)(2-+-=x x x f 的奇偶性是： ；ⅲ.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_______ⅳ.定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数， 若0)54()1(2>-+--a f a a f ，则实数a 的范围是： ； ⅴ.若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ．3．)函数的单调性①对于给定区间D 上的函数)(x f ，如果________ ， 则称)(x f 是区间D 上的增（减）函数.②判断函数单调性的常用方法：（1）定义法： （2）利用复合函数的单调性： (3)图象法 ③关于函数单调性还有以下一些常见结论：ⅰ.两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差__；ⅱ.奇函数在对称两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；④求函数的单调区间应注意： ⅰ.单调区间是定义域的一部分；ⅱ.复合函数单调区间遵循同增异减原则； ⅲ.单调区间不可以写成并集。
⑤用定义证明函数的单调性，必须化成积的形式； 如:①若ax x x f 2)(2+-=与1)(+=x ax g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的范围是：②已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)31(=f ， 则不等式0)(log 81>x f 的解集为：③已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是④已知()log (2)a f x ax =-在[0, 1]上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿。
⑤x x x f ln 2)(2+-=的单调增区间: ;⑥已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的范围是 ;4．函数的周期性①对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期. 若)()(x f T x f -=+,则)(x f 的周期为T 2若)(1)(x f T x f =+,则)(x f 的周期为T 2 ②x y x y x y tan ,cos ,sin ===都是周期函数。
,)sin(b x A y ++=ϕϖb x A y ++=)cos(ϕϖ的最小正周期：||2ϖπ=Tb x A y ++=)t a n (ϕϖ的最小正周期：||ϖπ=T 如：设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f = 。
5．.函数的对称性①若)()(x b f x a f -=+,则函数图象关于2ba x +=对称; ②若)()(x b f x a f --=+,则函数图象关于点)0,2(ba +对称;③函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于2ab x -=对称6．幂函数一般地，函数ax y =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数。
我们只研究1,21,3,2,1-=a 时的情形。
如:①设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 ；②函数12--=x xy 的对称中心是: .7．指数函数函数)10(≠>=a a a y x且称为指数函数. Ⅰ.定义域:R ; Ⅱ.值域:),0(+∞; Ⅲ.图象恒过点(0,1);Ⅳ.>a 1时为增函数,10<<a 时为减函数; 如:(1) 21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+(2)函数x y 416-=的值域是 ;8．对数函数①对数式及对数函数Ⅰ.log ()log log ;log log log ;log log n a a a a a a a a M NM N M N M N M n M ⋅=+=-=Ⅱ.对数换底公式log log log b b a N aN =(0,1,0,1)a a b b >≠>≠Ⅲ.对数恒等式log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>；1log =a a 01log =a )1,0(≠>a a②对数函数:函数)10(log ≠>=a a x y a 且称为对数函数,它与)10(≠>=a a a y x且互为反函数,它们的图象关于x y =对称. Ⅰ.定义域:);,0(+∞ Ⅱ.值域:R ;Ⅲ.图象恒过点(1,0);Ⅳ.>a 1时为增函数,10<<a 时为减函数;记住:对数式)10(log ≠>a a x a 且:当底数与真数都大于1或都在(0,1), 则0log >x a ; 否则0log <x a ; 如：①=+25.0log 10log 255 ；②211log 522lg 5lg 2lg502+++③若12m <<，则mmc m b a 2.0,log ,221===则这三个数从大到小的顺序是 ．④已知函数]56)5ln[()(2++++=k x x k x f ,若)(x f 的定义域为R ,求实数k 的取值范围9．函数与方程函数零点存在的判定定理:如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是一条连续不断的曲线， 且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点， 注：Ⅰ.上述定理中在),(b a 内的零点不唯一; Ⅱ.若函数是单调的,则零点唯一; Ⅲ.定理的逆定理不成立;Ⅳ.对于0)()(>⋅b f a f ,无法判定)(x f y =在),(b a 内是否有零点. 如：①函数xx x f 9lg )(-=的零点所在的大致区间一定是:( ) A .(6,7) B .(7,8) C .(8,9) D .(9,10)②关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围 ；③ 设函数,)1(34)1(44)(2⎩⎨⎧>+-≤-=x x x x x x f ,log )(2x x g =则函数)()()(x g x f x h -=的零点有________个.三．三角函数及三角恒等变换 1．任意角的概念：(1)正角、负角、零角： (2)象限角： (3)终边相同的角： 与α终边相同角连同α在内构成集合{}360,S k k Z ββα==+⋅︒∈2．弧度制：(1)角度与弧度的互化公式：1rad =180π︒（）57.35718'≈︒=︒；1︒= 180π rad (2)扇形的弧长公式：l = r α 扇形的面积公式：S 21122lr r α== 如：设扇形的面积为24cm ，则扇形的圆心角弧度数为 时，周长最小？3．任意角的三角函数的定义：在角α的终边上任取点(,)P x y ，设(0)OP r r =≠ 则sin α=y r ；cos α=x r ；tan α=yx三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.x y sin =的定义域： ；x y cos =的定义域： ； x y tan =的定义域： ； 如： ①若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于第 象限。
