结构力学 静定梁的内力分析讲解学习

(b)
(c)
(d)
1.结构的内力概念
结构的内力反映其受力后结构内部的响应状态 （产生应变及相应的应力）。杆件结构的内力 为杆件（垂直杆轴的）横截面上分布的应力， 可以用一个合力来表示。在杆系结构的内力分 析中，将这个合力分解成作用在横截面中性轴 处的三个分量即轴力、剪力和弯矩。
典型杆件截面上的内力
内力计算的一般步骤
1.计算结构的支座反力和约束 取结构整体（切断结构与大地的约 束）、或取结构的一部分（切开结 构的某些约束）为隔离体，建立平 衡方程
(2)计算控制截面的内力 （指定截面的内力）
用假想的平面垂直于杆轴切开指定 截面，取截面的任意一侧为隔离体 并在其暴露的横截面上代以相应的 内力（按正方向标出），建立平衡 方程并求解
2)求截面1处的内力
截开截面1，取右侧为隔离
体，见图（c），建立平衡
方程并解之：
M
M1
F Ax
F Ay
F Q1
(c)
M1
FQ1
FBy
(d)
FX 0 FN1FAx0 FN1 FAx
FY 0 FQ 1FAy qa0
FQ1 FAyqa
M1 0
用文字写
a
明受拉侧
M 1qa2FA yaM0
M11 2qa2FAyaM
(3)绘制结构的内 力图
(a)弯矩图 (b)剪力图 (c)轴力图
在静定结构的受力分析中，正 1 确有序地选取隔离体是解题的
关键。
2 取隔离体的要点是，要保证隔 离体的完全隔离，即隔离体与 结构其他部分的所有联系都要 切断。
3 隔离体上原有的已知力（荷载 和已求出未知力）要保留，不
能有遗漏。
4
隔离体上与其他部分联系的截 断处，只标舍去的其他部分对
1.轴力（FN） 2.剪力（FQ）
3.弯矩（M）
轴力(FN)
横截面上应力在截面法线（杆轴） 方向上的投影（或横截面上正应 力）的代数和称为轴力。轴力使 隔离体受拉为正（与截面法线方 向相同）。
剪力（FQ）
横截面上应力在截面切线（垂直于 杆轴）方向上的投影（或横截面上 切应力）的代数和称为剪力。剪力 使隔离体顺时针转动为正（左上、 右下）。
弯矩（M）
截面一侧所有外力对 指定截面形心力矩的 代数和。
例3-1-2 用直接法，求例 3-1-1图(a)所示伸臂梁截 面2上的内力。
M
(a)
解
支座反力计算同例3-1-1。内力 可由右图所示受力图直接计算：
M
FAx FAy
FBy
取截面2左侧：
FN2 FAx FQ2FAyq2a
M 2 F A y2 a M q 2 a a
第三章 静定梁的内力分析
静定梁有单跨静定梁和多跨静定梁。静定梁 是基本的结构形式。本节通过单跨静定梁， 复习杆系结构内力概念及内力计算基本方法； 通过多跨静定梁，了解静定结构几何组成对 内力计算的影响，掌握静定结构内力分析的 基本途径和方法。
第一节 单跨静定梁
单跨静定梁
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
(a)
隔离体的作用力。
例3-1-1 用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1上的内力。
M
M
FAx FAy
(a)
FBy
(b)
解
1)求支座反力
去掉支座约束，取整体为隔离体， 见图(b)。建立隔离体的平衡方程 并解之：
MB 0
F A y3 a M q 3 a 3 2 a F P 5 4a 0
F A y 3 1 a M q3 a3 2 aF P5 4a (↓)
弯矩（M）
横截面上应力（或横截面上正 应力）对截面中性轴的力矩代 数和称为弯矩。规定弯矩的竖 标画在受拉侧。
杆件截面上的 内力定义图
MA
MA
MB
MB
静定结构内力计算基本方 法和步骤：
静定结构的内力计算可归纳为， 选隔离体、建立隔离体的静力 平衡方程，和求解方程三部分 主要工作。内力计算基本方法 为截面法。
图3-1-
4 (b)
dx
FY 0 M0
F Q F QF QF P0
FQ FP
(d)
M M M F Q dxm 0
Mm
(e)
以上两式，为荷载与内力的增量 关系。式(e)忽略了一阶微量。
增量关系的几 何意义
在集中力作用点（集中力垂直 与杆轴或有垂直于杆轴的分量） 两侧截面，剪力有突变，突变 值即为该集中力或垂直于杆轴 的分量；弯矩相同。
在集中力偶作用截面两侧，弯矩 有突变，突变值即为该集中力偶； 剪力相同。
图3-1-4(a)
dx
FY 0 F QdQ F F Qqd0 x
dFQ q
(a)
dx
M0 M dM M F Q d xq(d2)2 x0
Hale Waihona Puke Baidu
dM dx FQ
(b)
由(a)、(b) 两式得:
d 2M q dx2
(c)
以上三式，为荷载与内力的微分 关系。式(b)忽略了二阶微量。
微分关系的几何意义
取截面1右侧为隔离体 计算可得同样结果
3.直接法求指定 截面的内力
由例3-1-1内力计算结果 分析，指定截面的内力可 用该截面一侧的外力直接 表示，即：
轴力（FN）
截面一侧所有外力在指定 截面法线方向投影的代数 和，以与截面外法线方向 相反为正。
剪力（FQ）
截面一侧所有外力在指定 截面切线方向投影的代数 和，左上、右下为正。
用文字写明 受拉侧
取截面2右侧：
FN2
FP
3 5
4 FQ2 FP5FByqa
M 2F B yaF P5 4 2 aq aa 2
用文字写 明受拉侧
4.荷载与内力的关系(未考虑 沿杆件轴向的荷载作用)
dx
图3-1-3 对于直杆段上，见图3-1-3,荷 载与内力之间有下列关系：
(1)微分关系 在图3-1-3所示杆件的连续分 布荷载段截取微段dx，见图31-4(a),建立微段的平衡方程：
（箭头标出 实际方向）
MA 0
3 a 4 F B y3 a M q 3 a 2 F P 5 4 a 0
F B y3 1 a M q3 a3 2 aF P5 44 a (↑)
箭头标出实 际方向
FX 0
箭头标出 实际方向
FAx
FP
3 5
0
FAx
3 5
FP
(→)
由 FY 0 可校核所得支座反力。
若直杆段上无荷载作用，则剪 力图是与轴线平行的一条直线， 弯矩图是一条斜直线；
若直杆段上作用均布荷载，则 剪力图为一条斜直线，弯矩图 为抛物线
若直杆段上作用三角形分布荷 载，则剪力图为抛物线，弯矩 图为三次曲线；
以此类推
(2)荷载与内力的增量关系
在图3-1-3所示杆件上，取含有集 中力和集中力偶在内的微段dx，见 图 3-1-4(b)，建立微段平衡方程：