2019年高考数学考纲与考试说明解读

立德树人鲜明导向数学素养综合考查近日，教育部考试中心颁布了《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（以下简称《考试大纲》），从考核目标与要求、考试范围与要求等方面进行了详细阐述。

2019年山东高考数学卷将第二次使用全国新课标I卷，也是最后一年进行传统高考，2020年将全面实施新高考。

作为具有历史意义的关键性过渡年，研读《考试大纲》对教学和备考有着非常重要的意义。

一、考纲解读2019年《考试大纲》是依据普通高等学校对新生思想道德素质、科学文化素质的要求以及《普通高中课程标准》制定，较2018年文化素质的要求有所提升。

《考试大纲》在延续2018年指导思想、考核要求及考试范围方面要求的基础上，增加了对学生德智体美劳全面发展的考查。

仔细研读《考试大纲》，主要体现四个注重：（一）注重高考宗旨和功能全面贯彻党的教育方针，落实构建德智体美劳培养教育体系的要求，以立德树人为鲜明导向，以促进素质教育发展为基本遵循，科学构建基于德智体美劳全面发展要求的高考评价体系。

继续坚持“一核四层四翼”高考评价体系，继续明确“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心功能；通过明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查内容以及“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面考查要求，回答了高考“考什么”和“怎么考”的问题。

（二）注重考查数学基础知识全面而又突出重点地对数学基础知识考查，增加支撑学科知识体系的重点内容，注重学科内在联系和知识综合性，深度考查知识网络的交汇点。

（三）注重考查数学学科的关键能力强调能力立意，注重知识的理解和应用，考查考生将知识迁移到不同情境中的能力。

强调综合性、应用性的同时，切合考生实际，并展现数学科学价值和人文价值，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，促进学生德智体美劳全面发展。

（四）注重考查数学学科核心素养和数学思想新《课程标准》明确提出数学学科素养，2018年高考试题处处体现学科核心素养。

2019年高考数学考试大纲解读从已经公布的《2019年高考文科、理科数学考试大纲》来看，2019年的考试大纲与2018 年相比，在考核目标、考试范围与要求等方面都没有变动，总体来看，《2019年高考数学考试大纲》在指导思想、考核要求及考试范围方面延续了2018年的要求：1.继续坚持“一体四层四翼”的命题指导思想，注重顶层设计，继续明确了“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心功能；通过明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查内容以及“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求，回答了高考“考什么”和“怎么考”的问题。

2.无论是知识内容及其要求的三个层次（了解、理解、掌握），还是能力（空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识）要求、个性品质要求和考查要求都没有变化。

3.从《2019年高考文科、理科数学考试大纲》来看，我们可以得到一个启示，2019年高考数学的命题仍将保持相对稳定，在新的一轮高考改革到来之前，以平稳过渡的方式进入新课改。

1.试题结构稳定2019年高考数学命题聚焦学科主干内容，突出关键能力的考查，强调逻辑推理等理性思维能力，重视数学应用，关注创新意识，渗透数学文化。

2. 聚焦主干内容，突出关键能力2019年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数与解三角形、数列、立体几何、概率与统计、解析几何、选考内容等。

在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、解三角形、线性规划、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频考点。

在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，选考内容仍然是极坐标系与参数方程、不等式选讲。

3.注重通性通法，淡化解题技巧从2018年的高考数学试题可以看出，命题者依然坚守“重视通性通法，淡化技巧”，这为我们未来的备考指明了一个明确的方向：高考数学备考不宜过难过偏，要多从归纳解题通法的角度去进行教学备考。

名师解析高考数学考试说明名师解析2019年高考数学考试说明2019年高考数学《考试说明》与2019年相比有什么特点和变化？与2019年相比，2019年的文理科《考试说明》在命题思想、试卷结构、目标与要求等方面都没有变化，不过，部分例题改成了2019年各地高考卷中出现的试题。

这些更新、更鲜活的例题，同样是用来解释、说明对考生的知识和能力要求。

考试内容方面，和去年相比，理科数学选考内容与要求有所调整，特别是坐标系与参数方程、不等式选讲等取消了去年要求的部分考点。

参考试卷改动较大，不过，题型与试卷结构仍保持不变。

今年的理科《考试说明》在“选考内容与要求”中，删除了哪些内容？为什么？今年的理科《考试说明》在“选考内容与要求”中，删除了部分内容。

在“2.坐标系与参数方程”中，删除了两小条：一条是“了解坐标系、球坐标系中表示空间重点的位置和方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别”；还有一条是“了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程”。

此外，在“3.不等式选讲”中，删除了“会用向量递归方法讨论排序不等式”和“会用数学归纳法证明贝努利不等式”。

为什么要删除这些内容呢？我认为是因为这些内容既繁又例如《考试说明》中对“函数”的知识要求是：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。

③了解简单的分段函数，并能简单应用．④理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质。

在这个部分，没有提出“掌握”的要求，其中“了解”是最低层次的要求，“会求、会算”与“了解”是同一层次的要求；“理解”的层次高于“了解”，要求能用数学语言正确地表达，会比较、会辨别．特别注意④中，对函数的单调性的要求是“理解”，而对奇偶性的要求是“了解”，显然对单调性的要求更高。

2019年高考数学考试大纲《考试说明》解读2019考试大纲与2018相比基本没有变化。

核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等.不过考纲对基础性、综合性、应用性、创新性的要求是对能力要求的强调，也是一种从教材习题出发兼顾综合的体现应用，进行微创新是2019年高考命题的基本方向.1.基础性和综合性：综合性主要是核心考点基本知识的综合.2.应用性：体现在数学的应用功能，在函数、数列、概率统计、解三角形、不等式等知识背景下命制应用性试题，考生应重点关注.3.创新性：2018年高考试题中，出现一些立意新、情境新、设问新的试题。

此类试题新颖、灵活，难度不大，广泛而又有科学尺度，考查考生的数学创新意识和创新能力，把此类题称为创新试题.高考数学答题策略1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系.首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；8．数列的题目与和有关，优选作差的方法；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略.。

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析2019年高考数学全国卷《考试大纲》和《考试说明》变化解读2019年1月31日教育部考试中心官方网站正式发布2019年版高考全国卷《考试大纲》数学《考试大纲》有2处变化：变化1:" I考核目标与要求“第一句2018年版：“根据普通高等学校对新生文化素质的要求“改为2019年版：“根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求“变化2:" I考核目标与要求“最后一句2018年版：“努力实现全面考查综合数学素养的要求“改为2019年版：“努力实现全面考查综合数学素养的要求，促进新生德智体美劳全面发展”理科数学《考试说明》有2处变化：在“统计与概率“知识模块，增加2道例题：2018年全国1卷理10题（数学文化题）2018年全国田卷理18题（开放题）文科数学《考试说明》有1处变化：在“统计与概率“知识模块，增加1道例题：2018年全国田卷文18题（开放题）2018年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第11题）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，=++++)50()3()2()1(f f f f （）A．-50B．0C．2D．50【分析】本题是高考中比较典型的题型，涉及抽象函数的奇偶性、对称性和周期性问题.注意到题设条件)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+可知，函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，从而)(x f 的周期为4.再利用周期性求解即可.【解析】解法1：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,故()()f x f x -=-且(0)0f =.又(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+.从而(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=.于是函数)(x f 的周期为4，且(4)(2)(0)0f f f =-==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C．解法2：因为)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+，所以函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，且函数)(x f 的周期为4.不妨设()sin 2f x A x π=，由(1)2f =得2A =，()2sin 2f x x π=.于是3(1)(2)(3)(4)2sin 2sin 2sin 2sin 2022f f f f ππππ+++=+++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C．【评注】若对于小题中含周期性的问题通常可以考虑构造sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++.函数图象的对称性问题是近十年高考数学全国卷每年必考的问题，因此要熟悉函数图象的对称性的有关性质，详见本书第7章例2.例2（理科第12题）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点，A是椭圆左顶点，点P 在过点A 且斜率为63的直线上，21F PF ∆为等腰三角形， 12021=∠P F F ，则C 的离心率为（）A．32B．21C．31D．41【分析】求椭圆C 的离心率的关键是建立,,a b c 间的等量关系，本题题设条件很多，路径宽广.【解析】因为21F PF ∆为等腰三角形，︒=∠12021P F F ，所以c F F PF 2212==，设(,)P x y ，则2cos602x c c c =+= ，2sin 603y c c == ，所以(2,3)P c c ，又(,0)A a -，6323=+=ac c k AP ，所以c a 4=，41=e ，故选D．【评注】本题可推广到一般：已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为k 的直线上,12PF F ∆满足212PF F F =且12F F P α∠=,则C 的离心率2sin (2cos 1)ke k αα=+-.例3（文科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与底面所成的角为30，若SAB ∆的面积为8，则该圆锥的体积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，圆锥的高h 和底面半径r ，再代入圆锥的体积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h .因为母线SB SA ,互相垂直，所以SAB ∆的面积为：8212=l ，所以4=l .又因为SA 与圆锥底面所成角为30，所以2,32==h r ，所以该圆锥的体积为2183V r h ππ==.【评注】求圆锥的体积即求圆锥的底面半径和高，要注意圆锥的轴截面中母线长，高和底面半径构成直角三角形.例4（理科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为87，SA 与圆锥底面所成角为45，若SAB ∆的面积为155，则该圆锥的侧面积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，底面半径r ，再代入圆锥的侧面积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r .因为母线SA ，SB 所成角的余弦值7cos 8ASB ∠=，所以15sin 8ASB ∠=.因为SAB ∆的面积为21sin 5152l ASB ∠=，所以280l =.因为SA 与圆锥底面所成角为30，所以22r l =.圆锥的侧面积为224022S rl l πππ===.【评注】例3和例4为姊妹题，可推广到一般：已知圆锥顶点为P ，母线,PA PB 所成角的角为(0)θθπ<<，PA 与圆锥底面所成角为02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.若PAB ∆的面积为S ，则该圆锥的侧面积为2cos =sin S S πϕθ侧，体积为sin 2cos 23sin sin SV πϕϕθθ=.例5（文科第21题）已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f .（Ⅰ）若3=a ，求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：)(x f 只有一个零点.【分析】第（Ⅰ）问利用()f x '正负，写出)(x f 的单调区间.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，一般利用函数的单调性和零点存在定理来判断.【解析】（Ⅰ）当3a =时，321()3(1)3f x x x x =-++，36)(2--='x x x f .令()0f x '=，解得323x =-或323x =+.当(,323)(323,)x ∈-∞-++∞ 时，()0f x '>；当(323,323)x ∈-+时，()0f x '<.故()f x 单调递增区间为)323,(--∞，),323(+∞+；)(x f 的单调递减区间为)323,323(+-．（Ⅱ）证法1：由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++.设32()31x g x a x x =-++，则2222(23)()0(1)x x x g x x x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点，从而()f x 至多有一个零点.又22111(31)626()0366f a a a a -=-+-=---<,1(31)03f a +=>.故()f x 有一个零点.综上，()f x 只有一个零点.证法2：由于210x x ++>，所以()f x 只有一个零点等价于32()3(1)x g x a x x =-++只有一个零点.因为2222(23)()03(1)x x x g x x x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点.又1(31)03g a a a --<---<，1(91)09g a a a +>+->.故()g x 只有一个零点.从而()f x 只有一个零点.【评注】解决函数零点个数问题一般要用函数零点存在定理，而应用函数零点存在定理的关键就是准确迅速找到函数零点所在的区间，这也是高考的重点和难点．观察函数)1(31)(23++-=x x a x x f 的结构特征，注意到321(1)(1)x x x x -=-++，可得2(1)(31)1()33x x x a f x ++--=+，1(31)03f a +=>.要使()0f x <，只需2(1)(31)1x x x a ++--<-，注意到221331()244x x x ++=++≥，所以只需4313x a --<-，即133x a <-，为了便于计算取31x a =-，得22111(31)626()0366f a a a a -=-+-=---<，这就是第（Ⅱ）问证法1寻找函数零点所在的区间的思考过程.注意到当1x >时，22013xx x <++<，22113xx x >++，()9x g x a >-，要使()0g x >，只需9x a >，取91x a =+即可；当1x <-时，2201x x x <++<，2211x x x >++，()3xg x a <-，要使()0g x <，只需3x a <，取31x a =--即可，这就是第（Ⅱ）问证法2寻找函数零点所在的区间的思考过程.例6（理科第21题）已知函数2()x f x e ax =-.（Ⅰ）若1=a ，证明：当0≥x 时，1)(≥x f ；（Ⅱ）若)(x f 在),0(+∞只有一个零点，求a .【分析】第（Ⅰ）问适当变形构造函数，利用函数最值证明，或直接二次求导，利用函数最值证明.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，可利用函数的单调性和零点存在定理来判断进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当1a =时，()1f x ≥等价于2(+1)10x x e --≤.设2()(+1)1x g x x e -=-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--.当1x ≠时，()0g x '<.所以()g x 在(0,)+∞单调递减.而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥.证法2：当1a =时，()1f x ≥等价于21+1xe x ≥.设2()+1xe g x x =，则222(1)()(1)x x e g x x -'=+.当1x ≠时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞单调递增.而(0)1g =，故当0x ≥时，()1g x ≥，即()1f x ≥.证法3：当1a =时，2()x f x e x =-，则()2xf x e x '=-，()2xf x e ''=-.当(0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '在(0,ln 2)单调递减，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '在(ln 2,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，ln 2()(ln 2)2ln 222ln 20f x f e ''≥=-=->，()f x 在(0,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)1f x f ≥=.即当0≥x 时，1)(≥x f .（Ⅱ）解法1：设函数2()1x h x ax e -=-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，()(2)x h x ax x e -'=-.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故24(2)1ah e =-是()h x 在[0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点.由（Ⅰ）知，当0x >时，2xe x >，所以33342241616161(4)11110()(2)a a a a a h a e e a a=-=->-=->故()h x 在(2,4)a 有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法2：设函数2()xe h x a x=-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，3(2)()xx e h x x -'=.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)4e h a =-是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，在(0,2)内存在11x a =，使得1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法3：（1）当0a ≤时，()0f x >，()f x 没有零点；（2）当0a >时，设函数()2ln ln h x x x a =--，则2()x h x x-'=，且()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)ln 4e h a=是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即204e a <<，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24ea >，在(0,2)内存在11x a=，使得1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.【评注】第（Ⅱ）问解法2中1()0h x >的计算过程是1121()(1)01()aaeh a a e a a=-=->，2()0h x >的计算过程是2743322224422()()10()ae a a a e e e e a h ae a a a a ae a e e a a=->-=⋅->⋅-=；解法3中1()0h x >的计算过程是1111()2lnln 0h a aaaa=--=>，2()0h x >的计算过程是222()2ln ln 743ln 4(1)3(ln )0h ae ae ae a a a a a a =-->--=-+->.30分钟限时训练练习1已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．2C．3D．2【解析】设两个圆的圆心分别为1O ，2O ，球心为O ，两圆的公共弦为AB ，其中点为E ，则四边形12O OO E 为矩形，于是对角线12O O OE =.而2222213OE OA AE =-=-=，所以123O O =，故选C．练习2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行．类似地，空间中一个四棱柱为平行六面体的一个充要条件是_________.【解析】两组相对侧面分别平行.（本题为开放题，答案不唯一）练习3设函数sin ()2cos xf x x=+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++.当222233k x k ππππ-<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当242233k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<.因此)(x f 在每一个区间222,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）内是增函数，)(x f 在每一个区间242,233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）内是减函数.（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x g x a a x x x +'=-=-++++.故当13a ≥时，()0g x '≥.又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，即()f x ax ≤.当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-.故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得当0[0,)x x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在0[0,)x 上单调递增.故当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，于是当0(0,)x x ∈时，sin sin ()2cos 3x xf x ax x =>>+.当0a ≤时，有10222f a ππ⎛⎫=>≥⋅ ⎪⎝⎭.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（本章作者：张国治、聂文喜、杨续亮、侯有岐、汪仁林）高考数学全国卷备考策略请见《全国高考数学考什么：高考数学压轴题全解全析》！该书对近十年高考数学课标全国卷进行了深入分析：追根溯源，抽丝剥茧，揭秘命题规律；小题活做，大题精做，传授解题策略！进淘宝、京东、当当、亚马逊搜“全国高考数学考什么”！2018年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）压轴题解析例1（文科第12题）设函数20,()1 0,x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（）A．(]1-∞，B．()0+∞，C．()10-，D．()0-∞，【分析】本题考查分段函数及不等式的解法，既可以利用零点分段法进行分类讨论，也可以利用函数的图象采用数形结合加以解决，还可以利用函数单调性求解．【解析】因为当0x ≤时，()f x 单调递减且()1f x ≥；当0x >时，()1f x =，所以(1)(2)f x f x +<等价于210x x <+≤或201x x <<+，解得1x ≤-或10x -<<，所以0x <，故选D.【评注】本题深刻考查函数单调性的概念，函数的单调性具有“双向性”：既能通过自变量的大小推出函数值的大小，也能通过函数值的大小推出自变量的大小.李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”在复习备考过程中要注意深刻理解核心概念，准确把握概念的内涵和外延.另外，本题与2017年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）文科第16题理科第15题类似，详见本书第5章例3.例2（理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．334B．233C．324D．32【分析】本题关键是构造出合理的图形，认清截面图形的特点．对于截面面积最值的处理，既可以建立严格的函数关系，从函数的最值角度入手定量分析解决，也可以从最值取得的条件（即特殊位置）入手定性分析解决．【解析】解法1：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即正方体中同一个顶点出发的三条棱所在直线与平面α所成的角都相等.如图，易知平面'ACD 满足题意，再将其平移至平面EFGHIJ ．设EF GH IJ x ===，根据对称性与相似可得，2FG HI JE x ===-，故六边形EFGHIJ 的周长为定值．所以当2x x =-，即22x =时，截面EFGHIJ 是正六边形，2max32336424S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A．解法2：如图，建立空间直角坐标系D xyz -．因为正方体的12条棱可以分为三组，分别与单位向量(1,0,0)=a ，(0,1,0)=b ，(0,0,1)=c 互相平行．设截面EFGHIJ 的法向量为(,,)x y z =n ，当每条棱所在直线与平面α所成的角都相等时，满足⋅⋅⋅==a n b n c n |a ||n ||b ||n ||c ||n |，即222222222x y zx y z x y z x y z==++++++，令1x y ==，则截面EFGHIJ 的法向量(1,1,1)=n ．设截面EFGHIJ 与三个坐标轴的交点分别为,,R S T ，令DR DS DT t ===，易知RS ST TR ==，即RST ∆是等边三角形，同时REJ ∆也是等边三角形．于是2()2(1)RJ DR DA t =-=-，23(1)2REJ S t ∆=-．同理23(1)2SFG S t ∆=-，23(1)2THI S t ∆=-，又232RST S t ∆=，所以截面EFGHIJ 面积22233333(1)(263)222RST REJ S S S t t t t ∆∆=-=--=-+-．于是当32t =时，max 33324S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选A ．【评注】解答本题的一个关键是平面α处于什么位置时，正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，其实人教A 版必修2课本多次出现这个几何模型，如第57页例2的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第11题理科第11题也是源于此图；再如第79页第2题的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第18题也是源于此图.所以，在复习备考过程中，要注意回归课本.解答本题的另一个关键是平面α处于什么位置时，α截此正方体所得截面的面积最大，如果注意到正方体的对称性，不难猜想：当平面α过正方体的中心，且与各棱交点为相应棱的中点时，截面的面积最大，此时截面是正六边形，不难得到正确答案．例3（文科第16题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．【分析】注意到题设条件2228b c a +-=符合余弦定理中222cos 2b c a A bc+-=的结构特征，从而容易想到求ABC △的面积应选择公式1sin 2ABC S bc A =△，进而想到要利用正弦定理将题设条件sin sin 4sin sin b C c B a B C +=化边为角.【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，因为sin sin 0B C ≠，所以1sin 2A =.因为2228b c a +-=，由余弦定理得2224cos 02b c a A bcbc +-==>，所以3cos 2A =，83bc =，118123sin 22233ABC S bc A ==⨯⨯=△．【评注】在解三角形有关问题时，如果涉及到边角关系，那么可以利用正弦定理或余弦定理进行边角互化．到底是化边为角还是化角为边，要根据题设具体问题具体分析.例4（理科第16题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．【分析】对于函数最值问题的处理，我们通常优先考虑利用导数或均值不等式．【解析】解法1：2()2cos 2cos 22cos 2(2cos 1)2(cos 1)(2cos 1)f x x x x x x x '=+=+-=+-.令()0f x '>，得1cos 2x >，即()f x 在2,233k k ππ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递增；令()0f x '<，得1cos 2x <，即()f x 在52,233k k ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递减.则min 33()232f x f k ππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭．解法2：因为()2sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x =+=+,所以2223()4sin (1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x =+=-+4(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )3x x x x =-+++44(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )34x x x x -++++++⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦44327324⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．当且仅当33cos 1cos x x -=+，即1cos 2x =时，取等于号．根据()()f x f x -=-可知，()f x 是奇函数，于是3333(),22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min 33()2f x =-，此时3sin 2x =-，1cos 2x =．解法3：()2sin 2sin cos f x x x x =+222sin 2sin cos 3(sin cos 1)x x x x x =+++-2223233333cos 2sin cos sin sin 2sin 3322x x x x x x =+++++-22323333(3cos sin )(sin )3322x x x =+++-332≥-当且仅当3cos sin 0,3sin 0,2x x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即23x k ππ=-，k ∈Z 时，()f x 取得最小值332-.【评注】若注意到()f x 是周期函数，周期为2π，且()f x 是奇函数，当[0,]x π∈时，()0f x ≥，则只需要求函数()f x 在区间[,0]π-上的最小值，容易利用导数求得min 33()32f x f π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭．本题与2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题类似，都是利用导数或均值不等式求函数最值问题，详见本书第4章例4.解法3利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析式子的结构，堪称妙法.类似的题目可参考本书主编发表在《中学数学》（高中版）2015年第7期上的文章《巧用配方法妙解调考题》.例5（文科第21题）已知函数()ln 1xf x ae x =--．（Ⅰ）设2x =是)(x f 的极值点，求a ，并讨论)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【分析】（Ⅰ）先求出()f x '，由(2)0f '=求a ，再由()f x '的正负，写出)(x f 的单调区间.（Ⅱ）常规思路是转化为证明()f x 的最小值min ()0f x ≥．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()xf x ae x '=-.由题设知，(2)0f '=，所以212a e =.从而21()ln 12x f x e x -=--，211()2x f x e x-'=-.当02x <<时，0)(<'x f ；当2x >时，0)(>'x f .所以)(x f 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．（Ⅱ）证法1：当1a e ≥时，()ln 1x e f x x e ≥--.设()ln 1xeg x x e =--，则1()x e g x e x '=-.当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()(1)0g x g ≥=.故()(1)0f x f ≥=.因此，当1a e≥时，()0f x ≥.证法2：当1a e ≥时，1()ln 1x f x e x -≥--，故只需证明当1a e =时，()0f x ≥，即要证1ln 1x e x -≥+.设1()x g x e x -=-，则1()1x g x e -'=-.当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．因为(1)0g =，所以1x ex -≥，当且仅当1x =时取等号．不等式两边取对数的1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．从而ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号．所以1ln 1x ex -≥+．所以当1a e≥时，()0f x ≥．证法3：当1a e≥时，()0f x ≥等价于ln 1x ae x x x +³.设函数()x ae g x x =（1a e≥），则2(1)()xa x e g x x -'=.所以当(0,1)x Î时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.故()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为(1)1g ae =³.设函数ln 1()x h x x+=，则2ln ()x h x x '=-.所以当(0,1)x Î时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<.故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为(1)1h =综上，当1a e ≥，0x >时，()()g x h x ³，即()0f x ≥．证法4：当1a e≥时，()0f x ≥等价于ln 1xx a e +³.设函数ln 1()xx g x e+=，则1ln 1()x x x g x e --'=.设函数1()ln 1h x x x=--，则211()h x x x '=--.所以当(0,)x Î+¥时，()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.因为(1)0h =，所以当(0,1)x Î时，()0h x >，从而()0g x '>，()g x 在(0,1)单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，从而()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减.从而()g x 在(0,)+∞的最大值为1(1)g e=.又因为1a e≥，所以()a g x ³，即()0f x ≥．【评注】本题与2013年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）理科第21题如出一辙，第（Ⅰ）问解法和第（Ⅱ）问的证法1和证法2也与该题完全类似，详见本书第13章例6.第（Ⅱ）问的证法3与2014年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的证法1类似，详见本书第12章例6.第（Ⅱ）问的证法4与2013年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的解法2类似，详见本书第14章例6.例6（理科第21题）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】第（Ⅰ）问先求出导函数()f x '的零点，进而对参数a 进行分类讨论，得到()f x的单调性；第（Ⅱ）问要注意()f x 有两个极值点1x ，2x 的隐含条件2a >且121x x =，将不等式1212()()2f x f x a x x -<--等价转化为当12x x <时，22212ln 0x x x -+<或11112ln 0x x x -+>，而这就是要研究函数1()2ln g x x x x=-+的单调性，此时利用第（Ⅰ）问的结果即可.【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-.（1）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时，()0f x '=，所以)(x f 在(0,)+∞单调递减．（2）若2a >，令()0f x '=得，242a a x --=或242a a x +-=．当2244(0,)(,)22a a a a x --+-∈+∞ 时，0)(<'x f ；当2244(,)22a a a a x --+-∈时，0)(>'x f .所以)(x f 分别在24(0,)2a a --，24(,)2a a +-+∞单调递减，在2244(,)22a a a a --+-单调递增．（Ⅱ）证法1：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--．证法2：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则101x <<．由于12121211212121211()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ---=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于11112ln 0x x x -+>.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(0,1)x ∈时，()0g x >．所以11112ln 0x x x -+>，即1212()()2f x f x a x x -<--．【评注】对于含有两个变量的不等式，一般转化为只含有一个变量的不等式，并构造函数结合单调性进行证明，本题与2011年高考数学湖南卷文科第22题如出一辙，通过分析和解析，我们容易发现，本题实际上就是要证明11ln ()2x x x >-（01x <<）或11ln ()2x x x<-（1x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.30分钟限时训练练习1设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+ ，[1.)x ∈+∞，则当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是（）A．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．[)284,28,563⎛⎫ ⎪⎝⎭ D．16284,,2833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦【解析】由题设知[)883,,2,256,2,3.(1)x x x C x x x ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎪∈⎪-⎩因为函数8x C 在区间3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭和[)2,3上分别单调递减，且328163C =，2828C =，所以当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选D．练习2对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ （m 是给定的正整数，且22m n ≤≤-），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于_________.【解析】当1i j m ≤<≤时，21ij mP C =，这样的ij P 共有2m C 个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为2211m m C C ⋅=；当1m i j n +≤<≤时，21ij n mP C -=，这样的ij P 共有2n m C -个，故所有ij P （1m i j n +≤<≤）的和为2211n m n mC C --⋅=；当1,1i m m j n ≤≤+≤≤时，4()ij P m n m =-，这样的ij P 共有()m n m -个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为4()4()m n m m n m ⋅-=-；综上所述，所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于6.练习3已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的n *∈N 都成立（其中e 是自然对数的底数），求α的最大值.【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(1,)-+∞，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x xf x x x x ++++--'=-=+++.设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-.令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211xh x x x'=-=-++.当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以()h x 在0x =处取得极大值，而(0)0h =，所以()0g x '<（0x ≠），函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数.于是，当10x -<<时，()(0)0g x g >=；当0x >时，()(0)0g x g <=.所以，当10x -<<时，()0f x '>，)(x f 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0f x '<，)(x f 在(0,)+∞上为减函数.故函数)(x f 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞.（Ⅱ）不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭等价于不等式1()ln 11n n α⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭.由111n +>知，11ln 1n n α≤-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.设11()ln(1)G x x x=-+，(0,1]x ∈，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++.由（Ⅰ）知，22ln (1)01x x x+-≤+，即22(1)ln (1)0x x x ++-≤.所以()0G x '<，(0,1]x ∈.于是()G x 在(0,1]上为减函数.故函数()G x 在(0,1]上的最小值为1(1)1ln 2G =-.综上所述，α的最大值为11ln 2-.（本章作者：杨瑞强）高考数学全国卷备考策略请见《全国高考数学考什么：高考数学压轴题全解全析》！该书对近十年高考数学课标全国卷进行了深入分析：追根溯源，抽丝剥茧，揭秘命题规律；小题活做，大题精做，传授解题策略！进淘宝、京东、当当、亚马逊搜“全国高考数学考什么”！2018年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第10题）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A．123B．183C．243D．543【分析】本题考查三棱锥的外接球问题，求三棱锥D ABC -体积的最大值，底面积已知，关键是求三棱锥D ABC -的高的最大值.【解析】如图，设球心为O ，ABC ∆的外接圆的圆心为1O ，则当球心O 在线段1DO 上时，三棱锥ABC D -的体积最大．因为ABC ∆的面积3960sin 212=⋅⋅=∆ AB S ABC ，所以6=AB .所以ABC ∆的外接圆的半径为1232sin 60ABO A ==．所以球心O 到平面ABC 的距离2222114(23)2OO OA O A =-=-=．所以三棱锥D ABC -的高的最大值11426DO DO OO =+=+=．所以三棱锥D ABC -体积的最大值16931833D ABC V -=⨯⨯=.故选B.【评注】三棱锥的外接球问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第16题，详见本书第4章例3，三棱锥的体积最值问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题，详见本书第4章例4，本题可以看成是由以上两题改编而成.例2（理科第12题）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A．0a b ab +<<B．0ab a b <+<C．0a b ab +<<D．0ab a b<<+【分析】比较大小的常用方法是作差法和作商法，注意到a ，b 是两个底数不同，真数相同的对数，可考虑利用对数函数的单调性和对数换底公式.【解析】解法1：因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，22log 0.3log 0.5<，所以01a <<，1b <-，从而0a b +<，0ab <.又因为0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b ab a b+=+=+=，0.30.30.3log 1log 0.4log 0.3<<，所以01a bab+<<，从而0ab a b <+<，故选B.解法2：因为0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.4log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ⋅+=+=+=<⋅，0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.3log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ab ⋅=⋅=⋅=<⋅，ln 0.3ln 0.4ln 0.3ln 0.3ln 0.3(ln 0.4ln 0.3)0ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ab ⋅⋅-+-=-=>⋅⋅⋅，所以0ab a b <+<，故选B.【评注】虽然是选择题压轴题，但考查却都是通性通法，导向鲜明.例3（文科第16题）已知2()ln(1)1f x x x =+-+，4)(=a f ，则=-)(a f _____．【分析】已知()f a 求()f a -，容易想到利用函数的奇偶性或直接利用函数的解析式.【解析】解法1：因为2()ln(1)1f a a a =+-+，2()ln(1)1f a a a -=+++，所以22()()ln(1)1ln(1)12f a f a a a a a +-=+-+++++=，因为4)(=a f ，所以()2f a -=-．解法2：设2()ln(1)g x x x =+-，则1)()(+=x g x f .因为22()()ln(1)ln(1)0g x g x x x x x +-=+-+++=，所以21)(1)()()(=+-++=-+a g a g a f a f ，又因为4)(=a f ，所以2)(-=-a f ．【评注】一个奇函数与一个常数的和在高考数学全国卷中曾多次考查，例如2012年高考数学全国卷文科第16题，详见本书第15章例3.例4（理科第16题）已知点)1,1(-M 和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若90=∠AMB ，=k _____．【分析】解答本题的关键是将条件90=∠AMB 合理转化，转化的途径很多，如0=⋅MB MA ，1MA MB k k ⋅=-，222MA MB AB +=，点M 在以线段AB 为直径的圆上等.【解析】解法1：设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，代入x y 42=，得0)42(2222=++-k x k x k .设),(),,(2211y x B y x A ，则222142kk x x +=+，121=x x .因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA )1)(1()1)(1(2121----+++=k kx k kx x x 022))(1()1(2212212=++++-+-+=k k x x k k x x k .将222142kk x x +=+，121=x x 代入上式整理得，0442=+-k k ，所以2=k ．解法2：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+，124y y =-.因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA 1212(2)(2)(1)(1)ty ty y y =+++--21212(1)+(21)()50t y y t y y =+-++=．将t y y 421=+，124y y =-，代入上式整理得，01442=+-t t ，所以21=t ,2=k ．解法3：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+.设线段AB 的中点为N ，则12(,2)2x x N t +,因为以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，90=∠AMB ，所以M 为切点，所以21t =,21=t ,2=k ．【评注】比较解法1和解法2，对于抛物线2:2C y px =而言，一般设直线方程为x ty a =+，计算量要小一点.抛物线的焦点弦有很多常用性质，如能灵活运用，可以有效减少计算量.本题与2013年高考数学大纲全国卷理科第11题如出一辙，试题如下：已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若0=⋅MB MA ，则=k （）A．12B．22C．2D．2将这两道题推广到一般，即可得到抛物线焦点弦的一个性质：已知点0(,)2p M y -和抛物线22(0)C y px p =>：，过C 的焦点作斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若90=∠AMB ，0pk y =．例5（文科第21题）已知函数xex ax x f 1)(2-+=.（Ⅰ）求)(x f y =在(0,1)-处的切线方程；（Ⅱ）证明：当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【分析】第（Ⅰ）问由导数的几何意义，容易求出.第（Ⅱ）问注意到当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210xx x e e +-+≥.【解析】（Ⅰ）2(21)2()exax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．（Ⅱ）证法1：当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1e x g x x x +=+-+，则1()21e x g x x +'=++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．证法2：当1a ≥时，≥+e x f )(e x x e x+-+12．令,1)(2e e x x x g x +-+=则xex x x g )2)(1()(-+-='．当1x <-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当21<<-x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当2>x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减.所以当2x <时，()(1)0g x g ≥-=，又当2x ≥时，0)(>x g ，所以()0g x ≥，即当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【评注】比较第（Ⅱ）问两种证法，都注意到了当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210xx x e e +-+≥，证法1还注意到了0xe >，进一步转化证明211e 0x x x ++-+≥，更胜一筹.例6（理科第21题）已知函数x x ax x x f 2)1ln()2()(2-+++=．（Ⅰ）若0=a ，证明：当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f ；（Ⅱ）若0=x 是()f x 的极大值，求a .【分析】第（Ⅰ）问注意到(0)0f =．利用导数研究函数()f x 的单调性即可证明．第（Ⅱ）问要充分利用(0)0f =和0=x 是()f x 的极大值这两个条件，注意到()f x 解析式的结构特征，可考虑构造函数22()ln(1)2xh x x x ax =+-++，也可考虑多次求导，使得求导后的有关函数解析式中不再出现ln(1)x +，从而便于求出极值，进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当0=a 时，x x x x f 2)1ln()2()(-++=，()ln(1)1x f x x x'=+-+.设()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2)1()(x x x g +='.当01<<-x 时，0)(<'x g ，当0>x 时，0)(>'x g .故当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，当且仅当0=x 时，0)(=x g ，从而0)(≥'x f ，当且仅当0=x 时，0)(='x f .所以)(x f 在),1(+∞-上单调递增.又0)0(=f ，故当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .证法2：当0=a 时，2()(2)ln(1)2(2)ln(1)2x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦.设2()ln(1)2xg x x x=+-+，则222()0(1)(2)x g x x x '=≥++，仅当0x =时等号成立.所以()g x 在),1(+∞-上单调递增.又(0)0g =，故当01<<-x 时，()0g x <；当0>x 时，()0g x >.因为20x +>，所以当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .（Ⅱ）解法1：（1）若0≥a ，由（Ⅰ）知，当0>x 时，)0(02)1ln()2()(f x x x x f =>-++≥，这与0=x 是()x f 的极大值点矛盾.（2）若0<a ，设函数2222)1ln(2)()(ax x x x axx x f x h ++-+=++=.由于当1min{1,}x a<时，022>++ax x ，故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x x ax ++-++++'=-=++++++.如果016>+a ，则当a a x 4160+-<<，且1min{1,}x a<时，0)(>'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016<+a ，则016422=+++a ax x a 存在根01<x ，故当)0,(1x x ∈，且1min{1,}x a<时，0)(<'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016=+a ，则223)126)(1()24()(--+-='x x x x x x h .则当01<<-x 时，0)(>'x h ，当10<<x 时，0)(<'x h ，所以0=x 是)(x h 的极大值点，从而0=x 是)(x f 的极大值点.综上，61-=a .解法2：因为2'()(21)ln(1)1ax xf x ax x x -=++++，且'(0)0f =.令2()(21)ln(1)1ax xg x ax x x -=++++，则2(341)'()2ln(1)(1)ax a x g x a x x ++=+++，且'(0)0g =.令2(341)()2ln(1)(1)ax a x h x a x x ++=+++，则232661'()(1)ax ax x a h x x +-++=+.令'(0)0h =，则16a =-.下面证明，当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点.当16a =-时，31(6)3'()(1)x x h x x -+=+.当(1,0)x ∈-时，'()0h x >，()h x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减.所以当(1,)x ∈-+∞时，'()()(0)0g x h x h =≤=，()g x 在(1,)-+∞上单调递减.所以当(1,0)x ∈-时，'()g()g(0)0f x x =>=，()f x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()g()g(0)0f x x =<=，()f x 在(0,)+∞上单调递减.所以0x =是()f x 的极大值点.综上，16a =-.【评注】本题第（Ⅰ）问实际上就是要证明2ln(1)2xx x +<+（10x -<<）或2ln(1)2xx x +>+（0x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.第（Ⅱ）问解法1的关键一步是通过构造函数)(x h ，将函数)(x f 的极大值点转化为)(x h 的极大值点，由于函数()f x 的定义域为()1,-+∞，当0a <时，适当放缩获得0的一个邻域.因为222+1+x ax ax +>，故可以令21+0ax >可得1x a<，所以当1min{1,}x a <时，22+0x ax +>，使得故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.解法2的关键一步是通过多次求导，先利用必要条件求出参数a 的值，再证明所求a 的值满足充分性.构造函数和多次求导是破解高考导数压轴题的有效策略，详见本书第2章例7和例10.30分钟限时训练。

2019 年浙江高考数学考试说明解读浙江余继光一、 2019 年浙江高考数学考试说明与2018 年对比解读1理念新渗透2019 年浙江高考数学考试仍将保持“四基五能力”重点考查，着力考查考生逻辑思维和推理能力，系统考查考生数学知识，检查考生对于学科完整理论的掌握情况，要求学生思维清晰、表达条理，会用数学的思考方式解决问题，数学考试注重数学本质，突出理性思维，科学考查数学学科必备知识、关键能力与学科素养，体现核心价值，渗透与落实六大核心素养评价，强调数学与生活以及其他学科的联系，渗透数学文化，积极引导中学数学教学，落实四基，提升五能力，助推人的数学素养终身受用.2019 年要落实六大核心素养的考查，怎么考？一是通过具体的实例概括一般性结论，看学生能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养；二是通过提出问题和论证命题的过程，看学生能否选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养；三是通过对实际应用问题的处理，看学生是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养；四是通过对空间图形与平面图形的观察以及对图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，看学生能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养；五是通过对各类数学问题特别是综合性问题的处理，看学生能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养；六是通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看学生能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养 .2内容无变化（1） 2019 年浙江高考数学考试说明与 2018 年、 2017 年一样，没有变化，这是符合一线教学现状与实际的必然要求 .（2）无论是知识内容及其要求的三个层次（了解、理解、掌握），还是能力（空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，数据处理能力、应用意识和创新意识）要求、个性品质要求和考查要求都没有变化.（3）与前几年比较，虽然在内容与要求方面知识块保持不变，但数学命题的切入口、设问方式、探究目标等会随着考查学生的“六大核心素养”要求的渗透而变化，真可谓稳定中有微观之变，不变中有创新之变 .3教学新导向根据 2019 年浙江高考数学考试说明不变的特点，希望对后期复习具有以下教学导向：一是引导数学教学加强对数学核心概念、主干知识多维度、整体的认识与理解，搞清楚知识的来龙去脉，以提高学生对知识的理解与整体认识；二是引导数学教学立足揭示数学学科本质，设计有效的教学活动，让学生积极参与主动建构知识网络的活动，注重弘扬中华优秀传统数学文化；三是引导数学教学注重发展学生数学核心素养，加强知识之间的联系，能在不同的情境中深刻理解、运用数学知识；四是引导数学教学注重方法指导，在解决问题中发展学生的数学素养，加强对试题的基础性、综合性、应用性、开放性和探究性研究 .4题型新组合选择题仍将保持10 题，且难度设计中起点低，低到学考水平，最后两题为把关题，难度较大；填空题设计为七题十一空，双空题与单空题，双空题中至少有一空难度为学考水平，最后两题为把关题，难度较大 .五道解答题内容仍将保持原来风格，最有可能的组合是：方案一：三角变换与解三角形，空间图形，函数与导数基础，圆锥曲线，数列综合；方案二：三角变换与解三角形，空间图形，数列基础，圆锥曲线，函数与导数综合；方案三：数列基础，概率分布与期望，空间图形，圆锥曲线，函数与导数综合.一般而言，前三题为基础题，后两题难度提升，以保持合理的区分度.二、 2019 年浙江高考数学命题趋势预测2019 年与 2017 年、 2018 年相比，浙江高考数学命题仍将保持稳定中求创新，以原文科数学水平为起点，逐步提升到原理科数学水平，起点低，基础是根本；落点高，创新是方向，以便高校人才选拔之需 .1命题风格自2004 年单独命题以来，“聚焦主干内容，突出关键能力；考查数学思维，关注创新意识；增强文化浸润，体现育人导向”成为浙江高考数学命题的基本风格， 2017 年以来，取消数学文理科试卷后，“低起点高品位，简洁语内涵丰，强基础重主干”成为浙江高考数学命题又一道风景线 .2命题特点浙江高考数学命题以浙江基础教育沉淀的数学教育教学文化为其内涵，引领着浙江基础教育数学文化的走向 .2004 年浙江高考数学单独命题以来，随着教育改革大环境的变化，逐步呈现出“六化”特点：命题语言抽象化，试题背景模型化，科内交汇综合化，高等知识初等化，实际情形数学化，问题内容精准化，比如，命题语言的抽象表达，可以区分考生的数学素养，把文字语言转化为抽象符号语言，可使40% 以上考生不能读懂下列问题：案例 1 中用复合函数形式定义投影；案例 2 把“一枚骰子投三次，出现的点数之积被 6 整除，求集合中元素个数”用集合形式语言抽象而成，许多考生卡在题意符号语言的理解上 .3命题趋势2019 年浙江高考数学试题将在“基础性，抽象性，综合性，应用性，创新性，数学文化”方面更加突出 .不论数学命题趋势如何走，数学审题能力与运算能力仍是数学考试成功的第一生产力！三角函数、空间图形、数列问题保持基础题位置，圆锥曲线问题、函数导数问题仍将成为区分考生水平的分水岭。

2019年高考数学考试大纲解读6.应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模型,并加以解决.7.创新意识：能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法,选择有效的方法和手段分析信息,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”,是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识也就越强.三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学的理性精神,形成审慎的思维习惯,体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神.四、考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系,包括各部分知识的纵向联系和横向联系,要善于从本质上抓住这些联系,进而通过分类、梳理、综合,构建数学试卷的框架结构.1.对数学基础知识的考查,既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容,要占有较大的比例,构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性,不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络的交汇点处设计试题,使对数学基础知识的考查达到必要的深度.2.对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时必须要与数学知识相结合,通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想方法的掌握程度.3.对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力,从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.对能力的考查要全面,强调综合性、应用性,并要切合考生实际.对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷,是考查的重点,强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查,考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力.4.对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活,背景公平,控制难度”的原则,试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点,并结合实践经验,使数学应用问题的难度符合考生的水平.5.对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题时,要注重问题的多样化,体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容,体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和人文价值,同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求.与《2018年高考文科数学考试大纲》相比，《2019年高考文科数学考试大纲》在考核目标、考试范围与要求等方面都没有变动.无论是知识内容及其要求的三个层次（了解、理解、掌握），还是能力（空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识）要求、个性品质要求和考查要求都没有变化.这说明2018年高考数学学科的命题仍然保持相对的稳定.下面对2018年考纲进行综合解读：一、核心考点不变2019年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等.在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频考点.在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选考内容仍然是必考内容.【备考策略】1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系.首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；8．数列的题目与和有关，优选作差的方法；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略.二、提升综合能力考纲对基础性、综合性、应用性、创新性的要求是对能力要求的强调，也是一种加强从教材习题出发，兼顾综合，体现应用，进行微创新是2018年高考命题的基本方向.1.基础性和综合性.综合性主要是核心考点基本知识的综合.2.应用性：体现在数学的应用功能，在函数、数列、概率统计、解三角形、不等式等知识背景下命制应用性试题，考生应重点关注.3.创新性：今年高考试题中，出现一些立意新、情境新、设问新的试题.此类试题新颖、灵活，难度不大，广泛而又有科学尺度，考查考生的数学创新意识和创新能力，把此类题称为创新试题.高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考数学的重要内容之一，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩.一、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松.二、一“慢”一“快”，相得益彰有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败.应该说，审题要慢，解答要快.审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据.而思路一旦形成，则可尽量快速完成.三、确保运算准确，立足一次成功时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功.解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答.所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤.四、讲求规范书写，力争既对又全考试的又一个特点是以卷面为唯一依据.这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范.会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高；表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学非智力因素失分的一大方面.字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬，“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”.“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理.五、执果索因，逆向思考，正难则反对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证.如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件；用反证法，从否定结论入手找必要条件.六、面对难题，讲究策略，争取得分会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法：1.缺步解答.对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数.2.跳步解答.当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节.若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答.。

...高中文科数学《考试大纲》解读王丕勇《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据;《考试大纲》明确了高考的性质和功能，规定了考试内容与形式，对指导高考内容改革、规范高考命题都有重要意义. 那么 2019 年高考，与往年相比，高考的考查要求有哪些变化呢?根据普通高等学校对新生文化素质的要求, 依据中华人民共和国教育部2003 年颁布的《普通高中课程方案( 实验 ) 》和《普通高中数学课程标准( 实验 ) 》的必修课程、选修课程系列 1 和系列 4 的内容 , 确定文史类高考数学科考试内容.一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准( 实验 ) 》( 以下简称《课程标准》 ) 中所规定的必修课程、选修课程系列 1 和系列 4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法 , 还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.1. 了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识, 知道这一知识内容是什么, 按照一定的程序和步骤照样模仿, 并能 ( 或会 ) 在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解, 知道、识别 , 模仿 , 会求、会解等.2. 理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识, 知道知识间的逻辑关系, 能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达, 能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论 , 具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述, 说明 , 表达 , 推测、想象, 比较、判别, 初步应用等 .3. 掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明, 能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论 , 并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析, 推导、证明 , 研究、讨论、运用、解决问题等 .二、能力要求1......能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.1. 空间想象能力：能根据条件作出正确的图形, 根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力, 主要表现为识图、画图和对图形的想象能力 . 识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种, 是空间想象能力高层次的标志.2. 抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性, 揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程. 抽象和概括是相互联系的, 没有抽象就不可能有概括 , 而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.抽象概括能力是对具体的、生动的实例，经过分析提炼，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论, 并能将其应用于解决问题或做出新的判断.3. 推理论证能力：推理是思维的基本形式之一, 它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程. 推理既包括演绎推理, 也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法, 也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法. 一般运用合情推理进行猜想, 再运用演绎推理进行证明.中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题, 论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.4. 运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理, 能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径, 能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合. 运算包括对数字的计算、估值和近似计算, 对式子的组合变形与分解变形, 对几何图形各几何量的计算求解等. 运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力, 也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.5. 数据处理能力：会收集、整理、分析数据, 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息, 并做出判断 .数据处理能力主要是指针对研究对象的特殊性，选择合理的收集数据的方法，根据问题的具体情况，选择合适的统计方法整理数据，并构建模型对数据进行分析、推断, 获得结论 .2......4. 应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题, 包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料, 并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类 , 将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证, 并能用数学语言正确地表达和说明. 应用的主要过程是依据现实的生活背景, 提炼相关的数量关系, 将现实问题转化为数学问题, 构造数学模型, 并加以解决 .5. 创新意识：能发现问题、提出问题, 综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法 , 选择有效的方法和手段分析信息, 进行独立的思考、探索和研究, 提出解决问题的思路, 创造性地解决问题 .创新意识是理性思维的高层次表现 . 对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明” , 是发现问题和解决问题的重要途径 , 对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高 , 显示出的创新意识也就越强 .三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观. 要求考生具有一定的数学视野, 认识数学的科学价值和人文价值, 崇尚数学的理性精神, 形成审慎的思维习惯, 体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪, 以平和的心态参加考试, 合理支配考试时间, 以实事求是的科学态度解答试题 , 树立战胜困难的信心, 体现锲而不舍的精神.四、考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系, 包括各部分知识的纵向联系和横向联系, 要善于从本质上抓住这些联系, 进而通过分类、梳理、综合, 构建数学试卷的框架结构 .1. 对数学基础知识的考查, 既要全面又要突出重点. 对于支撑学科知识体系的重点内容, 要占有较大的比例, 构成数学试卷的主体. 注重学科的内在联系和知识的综合性, 不刻意追求知识的覆盖面 . 从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题, 在知识网络的交汇点处设计试题, 使对数学基础知识的考查达到必要的深度.2. 对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查, 考查时必须要与数学知识相结合, 通过对数学知识的考查, 反映考生对数学思想方法的掌握程度.3.对数学能力的考查 , 强调“以能力立意” , 就是以数学知识为载体 , 从问题入手 , 把握学科的整体意义 , 用统一的数学观点组织材料 , 侧重体现对知识的理解和应用 , 尤其是综合和灵活的应用 , 以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力, 从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.3...对能力的考查要全面, 强调综合性、应用性, 并要切合考生实际. 对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷, 是考查的重点, 强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查, 考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力.4. 对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式. 命题时要坚持“贴近生活, 背景公平 ,控制难度”的原则, 试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点, 并结合实践经验, 使数学应用问题的难度符合考生的水平.5. 对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查. 在考试中创设新颖的问题情境, 构造有一定深度和广度的数学问题时 , 要注重问题的多样化 , 体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容 , 体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.数学科的命题, 在考查基础知识的基础上, 注重对数学思想方法的考查, 注重对数学能力的考查 , 展现数学的科学价值和人文价值, 同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性, 重视试题间的层次性, 合理调控综合程度, 坚持多角度、多层次的考查, 努力实现全面考查综合数学素养的要求 .与《 2018 年高考文科数学考试大纲》相比，《 2019 年高考文科数学考试大纲》在考核目标、考试范围与要求等方面都没有变动. 无论是知识内容及其要求的三个层次（了解、理解、掌握），还是能力（空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识）要求、个性品质要求和考查要求都没有变化. 这说明 2018 年高考数学学科的命题仍然保持相对的稳定. 下面对 2018 年考纲进行综合解读：一、核心考点不变2019 年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等.在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频考点. 在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选考内容仍然是必考内容.【备考策略】 1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系. 首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；4......2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、 b、 c 之间的关系等式即可；7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；8．数列的题目与和有关，优选作差的方法；解答的时候注意使用通项公式及前n 项和公式，体会方程的思想；9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略.二、提升综合能力考纲对基础性、综合性、应用性、创新性的要求是对能力要求的强调，也是一种加强从教材习题出发，兼顾综合，体现应用，进行微创新是2018 年高考命题的基本方向.6. 基础性和综合性. 综合性主要是核心考点基本知识的综合.7.应用性：体现在数学的应用功能，在函数、数列、概率统计、解三角形、不等式等知识背景下命制应用性试题，考生应重点关注.8. 创新性：今年高考试题中，出现一些立意新、情境新、设问新的试题. 此类试题新颖、灵活，难度不大，广泛而又有科学尺度，考查考生的数学创新意识和创新能力，把此类题称为创新试题 .高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考数学的重要内容之一，5......正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩.一、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松.二、一“慢”一“快”，相得益彰有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败. 应该说，审题要慢，解答要快. 审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据. 而思路一旦形成，则可尽量快速完成.三、确保运算准确，立足一次成功时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算( 关键步骤，力求准确，宁慢勿快 ) ，立足一次成功. 解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答. 所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤 .四、讲求规范书写，力争既对又全考试的又一个特点是以卷面为唯一依据. 这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范. 会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高；表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学非智力因素失分的一大方面. 字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬，“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”. “书--写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理.五、执果索因，逆向思考，正难则反对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展. 顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证. 如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件；用反证法，从否定结论入手找必要条件.六、面对难题，讲究策略，争取得分会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何6...--...分段得分，下面有两种常用方法：1.缺步解答 . 对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数.2.跳步解答 . 当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节. 若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答.--7 ...--。