江西省丰城中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学卷(理科课改实验班)

丰城中学2014-2015学年下学期高二月考试卷数 学（文科 ）命题：丁娟英 审题：甘小荣 2015.04.03一、选择题（本大题共小题，每小题5分,共6分在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题卡上） 1、在复平面内，复数3-12i i-对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2、甲、乙两位同学在高二月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是甲x 、乙x ，则下列正确的是（ ）A ．乙甲x x <，甲比乙成绩稳定B ．乙甲x x >，乙比甲成绩稳定C ．乙甲x x >，甲比乙成绩稳定D ．乙甲x x <，乙比甲成绩稳定3、一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则事件A 与B 同时发生的概率是( ) A ．85 B ．165C ．74D ．1454.若2015321,......,,x x x x 的方差为3,则）（），（），（），（23......2323232015321----x x x x 的方差为（ ）A. 3B. 9C. 18D. 275、小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ） A.31 B.21 C.41 D.61 6、“α与β为ABC ∆的内角”是“βαsin sin =”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 7、有如下命题：命题p :设集合{}30|≤<=x x M ，{}20|≤<=x x N ，则“M ∈a ”是“N ∈a ”的充分而不必要条件；命题q ：“01,0200>--∈∃x x R x ”的否定是 “01,2≤--∈∀x x R x ”，则下列命题中为真命题的是( )A ．q p ∧B ．）（q p ⌝∧C ．q p ∨D ．）（q p ⌝∨8、 如果方程11222=+++m y m x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A.(-2,-1) B.()()∞+∞，，1-2-- C.(-1,-1) D.(-3,-2)9、右边的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ) A.x >c B.c x > C ．b c > D.c >b10、数列 (4)141414131313121211，，，，，，，，，前100项的和等于（ ）A ．14913B.141113 C ．14114 D ．14314 11、已知椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，B为椭圆短轴的端点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率等于（ ） A ．21 B ．22 C ．31 D ．55 12、如果函数y=f(x)的图象如图，那么导函数)(x f y '=的图象可能是（ ）二．填空题（共小题，每小题分共分，把答案填在答题卷上）13、命题A ：3|1|<-x ，命题B ：(x ＋2)(x ＋a )＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 .14、若函数1)(2++=x ax x f 在x ＝1处取得极值，则＝________.15、已知函数1)(23+++=mx x x x f 在区间（—1，2）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 。

丰城中学高二下学期第一次月考数学试卷（理重）命题：丁军峰 审题：黄汉乐一、选择题（共60分） 1、下列说法不正确的是（ ）A.不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1B.某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8C.“直线y ＝k(x+1)过点(-1，0)”是必然事件D.先后抛掷两枚大小一样的硬币，两枚都出现反面的概率是132、在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（ ）A ．30个B ．35个C ．20个D ．15个3、如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印” 主体由四个互不连通的色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架 桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种4、某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有（ ）A ．15种B ．12种C ．9种D ．6种5、设5nx （的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M-N ＝240, 则展开式中3x 项的系数为（ ）A ．-150B ．150C ．-500D ．5006、2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救 灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决 定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组3列列车先开 出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种7、从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有（ ）A ． 18种B ． 30种C ．45种D ． 84种8、在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有（ ）A ．55B ．56C ．46D ．459、在821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含x 的项的系数是（ ）A ．55B ．－55C ．56D ．－5610、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod m )。

2014-2015学年江西省南昌市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2C．4D．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm3 6．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线8．（5分）已知＝（1，5，﹣2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4B．，﹣，4C．，﹣2，4D．4，，﹣15 9．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．312．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与点P到点M的距离的平方的差为1，在以AB、AD为坐标轴的平面直角坐标系中，动点P 的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面P AD的位置关系，并证明你的结论．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝CD＝2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD＝，求三棱锥M﹣BDP的体积．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为＝，侧棱P A长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面P AD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江西省南昌市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行【解答】解：对于A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A 不对；对于B，∵四边形有两种：空间四边形和平面四边形，∴四边形不一定是平面图形，故B不成立；对于C，梯形中因为有一组对边平等，∴梯形是平面图形，故C成立．对于D，根据异面直线的定义：既不平行也不相交的直线为异面直线，可以判断当两直线没有公共点时可能平行也可能异面．故选：C．2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π【解答】解：球的截面圆的半径为：π＝πr2，r＝1球的半径为：R＝所以球的表面积：4πR2＝4π×＝8π故选：B．3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2C．4D．【解答】解：根据斜二测画法的原则可知OC＝2，OA＝1，∴对应直观图的面积为，故选：D．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【解答】解：＝，＝+﹣+，＝++﹣，＝﹣++，∵＝，＝，＝，∴＝﹣++，故选：A．5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm3【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，高为15cm的直四棱锥；且底面矩形的长为20cm，宽为15cm，如图所示；∴该四棱锥的体积为×20×15×15＝1500cm2．故选：A．6．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE＝CF．设正四面体的棱长为2a，则EF＝a，CE＝CF＝．在△CEF中，由余弦定理得：＝．故选：B．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解答】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选：D．8．（5分）已知＝（1，5，﹣2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4B．，﹣，4C．，﹣2，4D．4，，﹣15【解答】解：∵⊥，∴＝3+5﹣2Z＝0，解得z＝4．∴．∵BP⊥平面ABC，∴，．∴化为，解得．∴，，z＝4．故选：B．9．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c＝O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β＝c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c＝O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选：C．10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═＝．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【解答】解：设底面边长为a，则高h＝＝，所以体积V＝a2h＝，设y＝12a4﹣a6，则y′＝48a3﹣3a5，当y取最值时，y′＝48a3﹣3a5＝0，解得a＝0或a＝4时，当a＝4时，体积最大，此时h＝＝2，故选：C．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与点P到点M的距离的平方的差为1，在以AB、AD为坐标轴的平面直角坐标系中，动点P 的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线【解答】解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2﹣PQ2＝RQ2＝1．又已知PR2﹣PM2＝1，∴PM＝PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为a．【解答】解：由题意，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD ∴∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角∴∠AEC＝60°，∵菱形ABCD中，锐角A为60°，边长为a，∴AE＝CE＝a∴△AEC是等边三角形∴A与C之间的距离为a，故答案为：a．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π＝πl2∴l＝3，∴120°＝×360°，∴r＝1，∴圆锥的高是＝2∴圆锥的体积是×π×12×2＝．故答案为：．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．【解答】解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由于AB＝1，BC＝2，AA1＝3，再结合棱柱的性质，可得BM＝AA1＝1，故B1M ＝2由图形及棱柱的性质，可得AM＝，AC1＝，MC1＝2，cos∠AMC1＝＝﹣．故sin∠AMC1＝，△AMC1的面积为＝，设点C到平面AMC1的距离为h，则由等体积可得，∴h＝．故答案为：．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是①②④．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．【解答】解：对于①，取BC的中点G，BB1，B1C1的中点NM，连结MN，EG，则F在MN上，满足F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，所以①正确；对于②，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以②正确；对于③，当F在N时，A1F与D1E平行，所以③不正确；对于④，A1F与CC1是异面直线；满足异面直线的定义，所以④正确；对于⑤，A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，tanθ＝＝2，所以⑤不正确；故答案为：①②④．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面P AD的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）结论：BC∥l．证明：∵AD∥BC，BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BC∥平面P AD．又∵BC⊂平面PBC，平面P AD∩平面PBC＝l，∴BC∥l．（2）结论：MN∥平面P AD．证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD．又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面P AD．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC＝BC＝AC＝4，BD＝a，体积V＝＝16，解得a＝2；（2）在RT△ABD中，，BD＝2，AD＝6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝CD ＝2，点M 是侧棱PC 的中点． （1）求证：BC ⊥平面BDP ；（2）若tan ∠PCD ＝，求三棱锥M ﹣BDP 的体积．【解答】（1）证明：∵AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝2， ∴BD ＝＝2，又AD ＝2，CD ＝4，AB ＝2， 则BC ＝2，∴BD 2+BC 2＝16＝DC 2，∴BD ⊥BC ． ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BC ．又BD ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面BDP ．（2）解：如图，过M 作MG ⊥DC 交DC 于点G ． 由PD ⊥DC ，M 是PC 中点，知MG 是△DCP 的中位线，∴MG ∥PD ，MG ＝PD ， 又PD ⊥平面ABCD ， ∴MG ⊥平面BDC ．又tan ∠PCD ＝，得PD ＝2，MG ＝PD ＝1．∴V M ﹣BDP ＝V P ﹣BCD ﹣V M ﹣BCD ＝××2×2×2﹣××2×2×1＝．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为＝，侧棱P A长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．【解答】解：（1）由A′B′∥AB得，∴＝，∴P A′＝5，AB＝18，∵PO＝＝3∴OO′＝PO＝2，∴V＝（36+182+）•2＝312（cm3）…（6分）台（2）作轴截面图如下，设球心为E，半径为R，由PH＝PQ＝12，HQ＝AB＝18，PO＝＝3，则＝（PH+PQ+HQ）R，∵S△PHQ∴＝（12+12+18）R，∴R＝，∴棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积为4πR2＝π（cm2）…（12分）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面P AD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．【解答】解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ又∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°即QB⊥AD．又∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BQ⊥平面P AD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面P AD．（Ⅱ）∵P A＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，C（﹣1，，0）∵M是PC中点，∴，∴设异面直线AP与BM所成角为θ则cosθ＝＝，∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，由，且0≤λ≤1，得，又，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴．∴|QM|＝22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵正△ABC的边长为3，且＝＝∴AD＝1，AE＝2，△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得DE＝＝∵AD2+DE2＝4＝AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE又∵平面A1DE∩平面BCDE＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED所以A1D丄PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠P A1H是直线P A1与平面A1BD所成的角，即∠P A1H＝60°设PB＝x（0≤x≤3），则BH＝PB cos60°＝，PH＝PB sin60°＝x在Rt△P A1H中，∠P A1H＝60°，所以A1H＝，在Rt△DA1H中，A1D＝1，DH＝2﹣x由A1D2+DH2＝A1H2，得12+（2﹣x）2＝（x）2解之得x＝，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB ＝．。

— 高二数学(理科乙卷)答案第1页 —2014—2015学年度第二学期期中测试卷高二数学(理科乙卷)参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.16π； 14.(042)--，，； 15 . 8 ； 16.3 . 三、解答题(共70分,要求写出主要的证明、解答过程） 17.解：假设4123a a a a λμν=++成立．1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵，(22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴．……………………..4分 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．………………………………………..8 分 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-．…………………10分 18.证明：//,EH FG EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCD∴EH ∥面BCD ……………….6分 又EH ⊂面BCD ，面BCD面ABD BD =，∴EH ∥BD ……………….12分 19. (1)证明：连接BD 交AC 于O 点，连接OP因为O 矩形对角线的交点，O 为BD 的中点，P 为1DD 的中点， 则1//BD OP ,又因为APC BD APC OP 面面⊄⊂1, 所以直线1BD //平面PAC ...........................4分(2) 因为1==AD AB 所以四边形为正方形，所以BD AC ⊥由长方体可知，AC DD ⊥1,而D DD BD =1 ，所以11B BDD AC 面⊥，且PAC AC 面⊂， 则平面PAC ⊥平面11B BDD ……………….8分（3）由线面角定义及（2）可知，CPO ∠为PC 与平面11B BDD所成的角，由已知得即PC 与平面11B BDD 所成的角的大小为︒30……………….12分 20．解：（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. 则N ABB C B 111面⊥,且在面N ABB 1内，易证1BNB ∠为直角。

丰城中学2014-2015学年下学期高二周练试卷化学 （理科尖子班、重点班）毛志辉 李松勇 2015.5.29一.单项选择题（每题5分）1、设N A 表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是( ) ①6.4g 熔融的KHC 2O 4中含有0.1N A 个阳离子 ②1L 1mol·L －1的盐酸中，含HCl 分子数为N A③常温常压下，11.2L 的CH 4中含有的氢原子数为2N A ④0.1mol Na 2O 2与水完全反应，转移0.2N A 个电子 ⑤62g Na 2O 溶于水中，所得溶液中有N A 个O 2－ ⑥1L 1mol·L －1的醋酸溶液中离子总数为2N A ⑦标准状况下，22.4L 氩气含有原子数为2N A⑧常温常压下，32g O 2、O 3的混合物含有2N A 个氧原子 ⑨1L 1mol·L －1的酒精溶液，含有N A 个分子⑩1mol MnO 2和含1mol HCl 的浓盐酸充分反应，生成的Cl 2数目为N A A ．全部 B ．①②⑥⑨ C ．⑥⑧⑩ D ．⑧2、某溶液中大量存在以下五种离子：NO －3、SO 2－4、Fe 3＋、H ＋、M ，其物质的量之比为n (NO －3：n (SO 2－4：n (Fe 3＋：n (H ＋：n (M)＝：：：：1，则M 可能是( )A ．Fe 2＋B ．Mg 2＋C ．Cl －D ．Ba 2＋ 3、下列说法正确的是（ ）A ．可以通过过滤的方法将淀粉溶液中混有的氯化钠溶液除去B ．含Ca 2+、Mg 2+的水都是硬水C ．雾是气溶胶，在阳光下可观察到丁达尔效应D ．玻璃是氧化物，成分可表示为226Na O CaO SiO ∙∙4、右图是某学校实验室从化学试剂商店买回来的硫酸试剂标签上的部分内容。

据此下列说法正确的是( )A．该硫酸的物质的量浓度为9.2 mol·L－1B．要配制250 mL 4.6 mol·L－1的稀硫酸需取该硫酸62.5 mLC．该硫酸50 mL与足量的铜反应可得到标准状况下SO20.46 molD．等质量的水与该硫酸混合后所得溶液的物质的量浓度大于9.2 mol·L－15、N A代表阿伏伽德罗常数。

2014-2015学年江西省宜春市丰城中学高二（下）期中数学试卷（文科）（课改实验班）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．一个年级共有12个班，每个班学生的学号从1到50，为交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下，这里运用的是（）A．分层抽样法B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法2．下列算法框中表示处理框的是（）A．菱形框B．平行四边形框C．矩形框D．三角形框3．当a=3时，下面的程序段输出的y是（）A．9 B．3 C．10 D．64．如果数据x1、x2、…、x n s2，则3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值和方差分别为（）A s2B．和9s2C．和s2D．和9s2+30s+255．命题“∃x∈π]，sinx﹣cosx＞2”的否定是（）A．∀x∈π]，sinx﹣cosx＜2 B．∃x∈π]，sinx﹣cosx≤2C．∀x∈π]，sinx﹣cosx≤2D．∃x∈π]，sinx﹣cosx＜26．设命题p（3，1（m，2q：关于x的函数y=（m2﹣5m﹣5）a x（a＞0且a≠1）是指数函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（）A．0 B．1 C．D．8．在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sinx＞1的概率为（）A B C D9的渐近线方程为）A B C D10．已知焦点在x它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A BC2=1 D11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A B C D12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AB的中点M在l上的投影为N）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上）13．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为．14．某赛季，甲乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b= ．15．已知△ABC中，A（﹣4，0），C（4，0），顶点B上，则= ．16．为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．根据以下算法，画出框图．算法：（1）输入x；（2）判断x的正负；①若x≥0，则y=x；②若x＜0，则y=﹣x．（3）输出y．18．已知命题P：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”若“p或q”为真，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68，其中b=﹣20，（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）20．某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布敬意为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，现已知成绩落在[90，100]的有5人．（Ⅰ）求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；（Ⅲ）现要求从成绩在[40，50）和[90，100]的学生共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．21．已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l l的斜率；（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．22．已知椭圆C（a＞b＞0）的焦距为41．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；T的坐标．2014-2015学年江西省宜春市丰城中学高二（下）期中数学试卷（文科）（课改实验班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．一个年级共有12个班，每个班学生的学号从1到50，为交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下，这里运用的是（）A．分层抽样法B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法【考点】分层抽样方法．【专题】对应思想；演绎法；概率与统计．【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样．将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．本题中，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选：D．【点评】本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．2．下列算法框中表示处理框的是（）A．菱形框B．平行四边形框C．矩形框D．三角形框【考点】流程图的概念．【专题】阅读型；算法和程序框图．【分析】算法框中表示处理框的是矩形框．【解答】解：算法中需要的算式、公式、对变量进行赋值等要用处理框表示，算法框中表示处理框的是矩形框．故选：C．【点评】本题主要考察程序框图中的基础概念，考查了常用的表示算法步骤的图形符号，属于基础题．3．当a=3时，下面的程序段输出的y是（）A．9 B．3 C．10 D．6【考点】选择结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数a值代入函数的解析式，不难得到函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数∵a=3∴输出的值为6故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．4．如果数据x1、x2、…、x n s2，则3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值和方差分别为（）A s2B．和9s2C．和s2D．和9s2+30s+25【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】计算题；整体思想．【分析】先根据平均值和方差的定义表示出数据x1、x2、…、x n s n，然后分别表示出3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值和方差，整体代入可得值．【解答】s2所以3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值；方差=2．故选B．【点评】考查学生会求一组数据的平均值和方差，会利用整体代入的数学思想解决数学问题．5．命题“∃x∈π]，sinx﹣cosx＞2”的否定是（）A．∀x∈π]，sinx﹣cosx＜2 B．∃x∈π]，sinx﹣cosx≤2C．∀x∈π]，sinx﹣cosx≤2D．∃x∈π]，sinx﹣cosx＜2【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈π]，sinx﹣cosx＞2”的否定是∀x∈π]，sinx﹣cosx≤2，故选C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6．设命题p（3，1（m，2q：关于x的函数y=（m2﹣5m﹣5）a x（a＞0且a≠1）是指数函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】分别求出关于命题p，q的m值，从而判断出p，q的关系．【解答】解：命题p：3×2﹣m=0，m=6；命题q：由m2﹣5m﹣5=1得m=﹣1或6，故选：A．【点评】本题考查了平行向量以及指数函数的性质，考查了充分必要条件，是一道基础题．7．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（）A．0 B．1 C．D．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图可知，程序框图的功能是计算并输出【解答】解：模拟执行程序框图可知，程序框图的功能是计算并输出：故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．8．在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sinx＞1的概率为（）A B C D【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由于在区间[0，2π]内随机取一个数，故基本事件是无限的，而且是等可能的，属于几何概型，求出满足2sinx＞1的区间长度，即可求得概率．【解答】解：∵2sinx＞1，x∈[0，2π]，故选：C．【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到2sinx＞1，x∈[0，2π]的x的范围，利用区间长度的比，得到所求概率．9的渐近线方程为）A B C D【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，解方程可得a=3，再由a，b，c的关系可得c，再由离心率公式，计算即可得到．【解答】的渐近线方程为，故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．10．已知焦点在x它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A BC2=1 D【考点】圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用配方化简x2+y2﹣2x﹣15=0得到圆的半径为4，所以椭圆的长轴为4，根据离心率求出c，根据勾股定理求出b得到椭圆的解析式即可．【解答】解：∵x2+y2﹣2x﹣15=0，∴（x﹣1）2+y2=16，∴r=4=2a，∴a=2，2=3．故选A【点评】考查学生会根据条件求圆标准方程，以及灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力．11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A B C D【考点】几何概型；简单线性规划的应用．【专题】概率与统计．【分析】由题意，得到所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．画出平面区域，计算面积，利用几何概型的公式解答．【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x﹣y=2和y﹣x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形：即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积255﹣2）2=16，故选：D．【点评】本题考查了几何概型的概率公式的应用；关键是由题意找出事件对应的不等式组，然后利用几何概型公式解答．12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AB的中点M在l上的投影为N）A B C D【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）22a+b）2a+b）．故选C．【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上）13．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为 3 ．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，故答案为：3；【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14．某赛季，甲乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b= 8 ．【考点】茎叶图．【专题】计算题．【分析】根据给出的两组数据，把数据按照从小到大排列，根据共有11个数字，写出中位数、众数，再求差，得到结果．【解答】解：由题意知，∵甲运动员的得分按照从小到大排列是7，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41共有11 个数字，最中间一个是19，∴a=19；乙运动员得分按照从小到大的顺序排列是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40，共有11个数据，出现次数最多的一个是11，∴b=11则a﹣b=8故答案为：8．【点评】本题考查中位数，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．15．已知△ABC中，A（﹣4，0），C（4，0），顶点B【考点】椭圆的简单性质；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用椭圆的定义和正弦定理即可得出．【解答】解：由椭圆的定义可知：|BA|+|BC|=2×5=10．|AC|=8．【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、正弦定理，考查了推理能力，属于基础题．16．为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10 ．【考点】总体分布的估计；极差、方差与标准差．【专题】压轴题；概率与统计．【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．故答案为：10．【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．根据以下算法，画出框图．算法：（1）输入x；（2）判断x的正负；①若x≥0，则y=x；②若x＜0，则y=﹣x．（3）输出y．【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】作图题；图表型；数形结合；算法和程序框图．【分析】根据该算法的运行过程，画出程序框图即可．【解答】（本小题满分10分）解：程序框图如下：【点评】本题考查了算法与程序框图的应用问题，解题时应模拟执行算法，从而得出运行的结果是什么，也考查了画图能力，是基础题．18．已知命题P：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”若“p或q”为真，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据二次函数的最值，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系即可求出p：a≤1，q：a＜﹣1，或a＞3，而根据“p或q”为真，“p且q”为假知道p真q假，或p假q真两种情况，所以求出每种情况的a的取值范围并求并集即可．【解答】解：由命题p知，x2在[1，2]上的最小值为1，∴p：a≤1；由命题q知，不等式x2+（a﹣1）x+1＜0有解，∴△=（a﹣1）2﹣4＞0；∴a＞3或a＜﹣1；即q：a＞3，或a＜﹣1；∴若“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q一真一假；∴﹣1≤a≤1，或a＞3；∴实数a的取值范围为[﹣1，1]∪（3，+∞）．【点评】考查二次函数在闭区间上的最值，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68，其中b=﹣20，（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【考点】回归分析的初步应用；线性回归方程．【专题】计算题．【分析】（I）计算平均数，利用b=﹣20，（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．【解答】解：（I），∵b=﹣20，∴a=80+20×8.5=250﹣20x+250；（II）设工厂获得的利润为L元，则L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣【点评】本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．20．某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布敬意为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，现已知成绩落在[90，100]的有5人．（Ⅰ）求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；（Ⅲ）现要求从成绩在[40，50）和[90，100]的学生共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】（I）成绩落在[90，100]的有5人，频率不0.010×10，由此能求出该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数．（II）利用频率分布直方图能求出平均分．（Ⅲ）成绩在[40，50）中共有0.006×10×50=3人，成绩在[90，100）中共有0.010×10×50=5人，要求从成绩在[40，50）和[90，100]的学生共选2人参加某项座谈会，总的基本事件有个，其中2人来自同一分数段的基本事件有个，由此能求出2人来自于同一分数段的概率．【解答】解：（I）该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数为（人）．（II分．（Ⅲ）成绩在[40，50）中共有0.006×10×50=3人，成绩在[90，100）中共有0.010×10×50=5人，要求从成绩在[40，50）和[90，100]的学生共选2人参加某项座谈会，总的基本事件有个，其中2人来自同一分数段的基本事件有个，∴2人来自于同一分数段的概率【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．21．已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l l的斜率；（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；点到直线的距离公式．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x﹣4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），因为点F到直线l l的斜率．（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB不垂直于x轴，所以直线MN AB AB的方程为AB中点的横坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x﹣4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）因为点F到直线l3分）l5分）（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB不垂直于x轴，则直线MN直线AB7分）直线AB8分）消去x10分）11分）因为N为AB中点，13分）所以x0=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）【点评】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．本题的易错点是计算量大，容易出错．22．已知椭圆C（a＞b＞0）的焦距为41．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；T的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】C的标准方程．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．（ⅱ）T点的坐标为（3，﹣m）．最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．【解答】解得a2=6，b2=2．所以椭圆C（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），设M为PQ的中点，则M因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT将Mt=3．（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．m=±1时，等号成立，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．【点评】本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用．。

丰城中学上学期高二周考试卷理科数学(1—3班)(本试卷总分值为150分，考试时间为120分钟)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.242．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45 3．设1~24X N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则X 落在(][)3.50.5---+，，∞∞内的概率是( )Ａ．95.4% Ｂ．99.7% Ｃ．4.6%Ｄ．0.3%4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．245．设~(100.8)X B ，，则(21)D X +等于( )Ａ．1.6Ｂ．3.2Ｃ．6.4Ｄ．12.86．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为( )Ａ．0.998Ｂ．0.046Ｃ．0.002Ｄ．0.9547．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．35003cmπB ． 38663cmπC ．313723cmπD ．320483cmπ8．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X =( )A ．126125B ．65C ．168125D ． 759．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是( )Ａ．甲多Ｂ．乙多Ｃ．一样多Ｄ．不确定10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2. 5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：若进这种鲜花500Ａ．706元 Ｂ．690元Ｃ．754元Ｄ．720元11．如图，12F F 、A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为 AB C D12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)， 从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)； (2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)． 则( )A ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)B ． p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)C ． p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····，则()PB = ． 1B14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在 线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________．15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于 其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取 值范围是 ．16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果．则该公司一年后估计可获收益的均值是 元．三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求(1)恰有1人译出密码的概率；(2)若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人．18．(本小题满分12分)设焦点在y 轴上的双曲线渐近线为且焦距为4，已知点1(1,)2A . (Ⅰ)求双曲线的标准方程；(Ⅱ)过点A 的直线l 交双曲线于,M N 两点，点A 为线段MN 的中点，求直线l 的方程.19.(本小题满分12分)现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得10张奖票；若落入B 槽，得5张奖票；若落入C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．(1)求投球一次，小球落入B 槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．20．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．21．(12分)如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA = AB = 2a，DC = a ，F为EB的中点，G为AB的中点.(1) 求证：FD∥平面ABC；(2) 求二面角B—FC—G的正切值.22．(12分)(12分)某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求这位射手在三次射击中命中目标的概率；(2)求这位射手在这次射击比赛中得分的均值．丰城中学上学期高二周考试题答案(数学)一、选择题13．1214 15. 2[,1]516．4760三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．．解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ， 则11()()34P A P B ==，． (1)13215()()343412P P A B P A B =+=⨯+⨯=··． (2)n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n⎛⎫- ⎪⎝⎭．199114100n⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴≥．解得17n ≥．达到译出密码的概率为99100，至少需要17人.18.解：分(2)设直线l ：12A(1,)是 12分19. 解：(1)由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝12.(2)落入A 槽的概率为⎝⎛⎭⎫122＝14，落入B 槽的概率为12，落入C 槽的概率为⎝⎛⎭⎫122＝14. X 的所有可能取值为0，5，10，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫143＝164，P (X ＝5)＝12＋14×12＋⎝⎛⎭⎫142×12＝2132， P (X ＝10)＝14＋14×14＋14×⎝⎛⎭⎫142＝2164， X 的分布列为E (X )＝0×164＋5×2132＋10×2164＝10516.20. 解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25. 且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是 P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615. 故所求的X 分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.21.解：∵F 、G 分别为EB 、AB 的中点，∴FG=21EA ， ……… 2分又EA 、DC 都垂直于面ABC ， 所以FG ∥DC 且 FG = DC ， ……… 4分 ∴四边形FGCD 为平行四边形， ∴FD ∥GC ， 又GC ⊂面ABC ， FD ⊄面ABC.∴FD ∥面ABC. ……………… 6分 (2) 因为ABC ∆是正三角形，G 是AB 的中点， 所以CG BA ⊥ 又//,,.FG EA EA B FG BA ⊥∴⊥且面A C,C GG F GB G G FC =∴⊥面作GH FC ⊥于点,H 连,BH 则FC ⊥面,GHB.F C B HG H B∴⊥∴∠即为所求二面角的平面角. ……… 8分,,,B G G F a G aa==∴ tan 3BGGHB GH∴∠=== …………… 12分方法二(向量法)分别以,,GB GC GF 所在直线为,,x y z 轴建系如图，…… 7分则(,0,0),(0,0,),,0),B a F a C(,3,0),(,0,)BC a a BF a a ∴=-=- …………… 9分平面GFC 的法向量1(1,0,0),n =设平面BFC的法向量2(,,),n x y z =则222010(3,1,n BC ax x y z x n BF ax az n ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⇒=-⎨⎨=⋅=-+=⎪⎪⎩⎩∴=--设 …………… 10分则121212cos ,7||||7nn n n n n ⋅-<>===-⋅设二面角B —FC —G 的大小为,θ则cos tan 73θθ=∴==故二面角B —FC —G 的正切值为3. …22.解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A B C ，，，三次都未击中目标为事件D ，依题意1()2P A =，设在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()k P x x =，且212100k =，5000k =∴，即25000()P x x=，250002()1509P B ==∴，250001()2008P C ==，17749()298144P D =⨯⨯=．(1)由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率()()()P P A P A B P A B C =++··· ()()()()()()P A P A P B P A P B P C =++···11212195111229298144⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭···．(2)依题意，设射手甲得分为X ，则1(3)2P X ==，121(2)299P X ==⨯=，1717(1)298144P X ==⨯⨯=，49(0)144P X ==， 117492558532102914414414448EX =⨯+⨯+⨯+⨯==∴．。

丰城中学2014-2015学年下学期高二周考试卷数 学 理 科（课改实验班）命题人：吴爱龙 审题人：聂燕凤 2015.05.24一、选择题（每小题5分，共60分）１．sin 210=A B ． C ．12D ．12-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U AB =ð A ．{2} B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，３．函数sin y x =的一个单调增区间是A ．ππ⎛⎫-⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 2 5．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ= A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是 A ．(21)-， B ．(2)+∞， C ．(21)(2)-+∞，， D ．(2)(1)-∞-+∞，， 7．已知三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于AB C D ８．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于A B C ．2 D 9．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x = A ．3e 2x -+ B ．3e 2x +- C ．2e 3x -+ D ．2e3x +- 1０．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为A ．2B ．2C ．2D11．设12F F ，分别是双曲线1922=-y x 的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=AB ．CD ．2512．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题（每小题5分，共２0分）13．命题“对任意x∈R，都有x 2≥0”的否定为 ． 14．已知数列的通项52na n =-+，则其前n 项和n S = ．15．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________.16．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题（共７0分）17．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程； （2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．EBC FSD21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设nb a =1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． ①求a 的值及直线l 的直角坐标方程；②圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．丰城中学2014-2015学年下学期高二周考试卷数 学 理 科（课改实验班）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）１．sin 210=（ Ｄ ）A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U AB =ð（ Ｂ ） A ．{2} B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，３．函数sin y x =的一个单调增区间是（ Ｃ ）A ．ππ⎛⎫-⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ Ｄ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 2 5．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ Ａ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ Ｃ ） A ．(21)-， B ．(2)+∞， C ．(21)(2)-+∞，， D ．(2)(1)-∞-+∞，， 7．已知三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ Ａ ）AB C ．2 D ８．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ Ａ ）A ．4B ．4C ．2D ．29．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ Ｃ ） A ．3e 2x -+ B ．3e 2x +- C ．2e 3x -+ D ．2e3x +- 1０．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ Ｂ ）AB C D 11．设12F F ，分别是双曲线1922=-y x 的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ Ｂ ）AB ．CD ．2512．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ Ｂ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题（每小题5分，共２0分）13．命题“对任意x∈R，都有x 2≥0”的否定为 ．存在x 0∈R，使得x 20<014．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．252n n --15．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________.解析 AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，因OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0， 即－3＋k －1＝0，所以k ＝4.16．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．解析 由题意，得Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12，∵0≤α≤π，∴0≤2α≤2π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.三、解答题（共７0分）17．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y 取得最大值18．（本小题满分12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr 2)元．又根据题意得200πrh＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V(r)＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r>0，又由h>0可得r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因V(r)＝π5(300r －4r 3)，故V′(r)＝π5(300－12r 2)，令V(r)＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．解（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD ∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ．所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos 3MDEA MD EA MD EA<>==，．所以二面角A EF D --的大小为． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P使PA PO PB ，，成等比数列，求PAPB 的取值范围．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x =的距离，即 2r ==．EBC FSD得圆O 的方程为224xy +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，． 设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得2222(2)y x x y -+=+，即 222x y -=．(2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩， 由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数． 解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…， 整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此 1nn b b n +<，为正整数．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．①求a 的值及直线l 的直角坐标方程；②圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：①由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．。

丰城中学2014-2015学年下学期高二期中考试试卷数学（课改实验班理）本试卷总分值为150分考试时间为120分钟一、选择题(本大题共12小题．共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -= 2．已知角α的终边经过点P （2，﹣1），则=（ ）Cx D5..设首项为1，公比为的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为（ ）BC7.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若260a a a ++1为一个确定的常数,则下列各数中也可以确定的是( )A.6SB.S 11C.2S 1D.3S 18.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y 2=2px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的9．已知直线⊥平面α，直线⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ; ②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是( )A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③10．设,x y 满足约束条件220840x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数11(0,0)z x y a b a b =+>>的最大值为2，则a b +的最小值为( )A．92 B ．14C ．29D ．411. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 12.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ( )A 、33 B 、1 C 332 D 、2 二.填空题(本大题共4小题．共20分。

2014—2015学年江西省宜春市丰城中学等五校高二(下)期末数学试卷（理科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣B．3 C．﹣3 D．2．下列函数中，满足f(xy)=f（x）f（y）的单调递增函数是()A．f(x）=x3B．f(x）=﹣x﹣1C．f（x)=log2x D．f（x)=2x3．如图是王珊早晨离开家边走边背诵英语过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示王珊家的位置，则王珊步行走的路线可能是（)A．B．C．D．4．如果（3x﹣)n的展开式中各项系数之和为8，则x n dx的值是（）A．B．C．D．15．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(）A．7 B．9 C．10 D．116．如图为一个几何体的三视图，其主、左视图均为等腰直角三角形，俯视图的外轮廓是正方形(尺寸如图），则该几何体的外接球的表面积为（)A．4πB．8πC．12πD．16π7．已知等差数列{a n}，S n是其前n项的和，若S3=2a3，则的值为（）A．2015 B．2016 C．1024 D．10088．△ABC中，若，且，则的值为（）A．3 B．2 C．D．．9．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．5010．如图，平行四边形的顶点A位于双曲线的中心，顶点B位于该双曲线的右焦点,∠ABC 为60°，顶点D恰在该双曲线的左支上，若=0,则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．11．若实数x、y满足sinx﹣cosx≤y≤0，﹣≤x≤,则目标函数z=x+y的最小值是(）A．﹣B．﹣2 C．D．﹣﹣12．设函数f（x）=x2lnx，,若存在x1∈［e，e2］，x2∈[1,2］,使得e3（k2﹣2）g （x2)≥kf（x1）成立（其中e为自然对数的底数），则正实数k的取值范围是（）A．k≥2 B．0＜k≤2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a,b,c,已知A=，a=bcosC，则角C的大小是（弧度）14．实数x、y满足（x﹣1）2+y2≤1，则y≥x的概率为．15．设P是抛物线y=x2﹣3上横坐标非负的一个动点，过P引圆x2+y2=2的两条切线，切点分别为T1、T2，当｜T1T2｜最小时，直线T1T2的方程是．16．已知函数f(x）=，直线y=k与函数f(x）的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是．三、解答题(本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．5﹣4i D．5+4i2．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．34．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4.5A．4 B．3.15 C．4.5 D．35．用数学归纳法证明不等式1+++…+＜2﹣（n≥2，n∈N+）时，第一步应验证不等式（）A．1+＜2﹣ B．1++＜2﹣C．1+＜2﹣ D．1++＜2﹣6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为（）A．B．C．D．9．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%．则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.6610．已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到正四面体，类似的结论正确的是（）A．正四面体的内切球的半径是高的B．正四面体的内切球的半径是高的C．正四面体的内切球的半径是高的D．正四面体的内切球的半径是高的11．f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a12．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若复数z满足（l+2i）z=|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．15．我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a2）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有人．16．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.共70分．17．（1）已知a，b为正实数．求证： +≥a+b；（2）某题字迹有污损，内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”．试分析污损部分的文字内容是什么？并说明理由．18．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调性．19．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）总人数20 36 44 50 40 10将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女20 110合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820．已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x．21．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲、乙、丙面试合格的概率分别是，，，且面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．22．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．5﹣4i D．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由a+i与2﹣bi互为共轭复数，求出a、b的值，然后代入（a+bi）2，再由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求．【解答】解：∵a+i与2﹣bi互为共轭复数，∴a=2，b=1．则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．故选：B．2．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．4．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4.5A．4 B．3.15 C．4.5 D．3【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5， ==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．5．用数学归纳法证明不等式1+++…+＜2﹣（n≥2，n∈N+）时，第一步应验证不等式（）A．1+＜2﹣ B．1++＜2﹣C．1+＜2﹣ D．1++＜2﹣【考点】数学归纳法．【分析】利用n=2写出不等式的形式，就是第一步应验证不等式．【解答】解：当n=2时，左侧=1+，右侧=2﹣，左侧＜右侧．所以用数学归纳法证明不等式1+++…+＜2﹣（n≥2，n∈N+）时，第一步应验证不等式：1+＜2﹣．故选：A．6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选B．7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】定积分．【分析】先根据图象求出f（x）的表达式，在分段求出定积分．【解答】解：当0≤x≤1，f（x）=x﹣1，当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x﹣1，则dx=（x+1）（x﹣1）dx+（x+1）（﹣x﹣1）dx=（x2﹣1）dx﹣（x2+2x+1）dx=（）|﹣（）|=﹣1+（﹣+1﹣1）=﹣1，故选：D．8．袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为（）A．B．C．D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】由已知得XX～B（4，），由此能求出D（X）．【解答】解：袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，则每次取到红球的概率都是p=，设X为取得红球的次数，则X～B（4，），∴D（X）=4××（1﹣）=．故选：B．9．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%．则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.66【考点】条件概率与独立事件．【分析】记甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，根据题意可得P（A）、P（B）、P（AB）的值，“乙市下雨时甲市也下雨的概率”就是求“在乙市下雨的条件下，甲市也下雨的概率”，由条件概率公式，计算可得答案【解答】解：记甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，根据题意有P（A）=0.2，P（B）=0.18，P（AB）=0.12；则在乙市下雨的条件下，甲市也下雨的概率为==0.6；故选A10．已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到正四面体，类似的结论正确的是（）A．正四面体的内切球的半径是高的B．正四面体的内切球的半径是高的C．正四面体的内切球的半径是高的D．正四面体的内切球的半径是高的【考点】类比推理．【分析】连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．【解答】解：如图示：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S×r=×S×h，r=h，（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故选：C．11．f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】令g（x）=，得到g（x）在（0，+∞）递减，通过＞20.2＞0.22，从而得出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减，又＞=2，1＜20.2＜2，0.22=0.04，∴＞20.2＞0.22，∴g（）＜g（20.2）＜g（0.22），∴c＜a＜b，故选：C．12．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若复数z满足（l+2i）z=|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于1﹣2i ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足（l+2i）z=|3+4i|，∴（1﹣2i）（1+2i）z=，化为5z=5（1﹣2i），∴z=1﹣2i．故答案为：1﹣2i．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求出．【解答】解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．15．我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a2）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有200 人．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在70分到110分之间的人数概率，即可得成绩不低于110分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于110分的学生数．【解答】解：∵成绩ξ～N（90，a2），∴其正态曲线关于直线x=90对称，又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的（1﹣）=，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：．故答案为：200．16．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于 1 ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．【解答】解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，∴f（x）在（，2）上递减，∴f（x）max=f（）=ln﹣a•=﹣1，∴ln=0，得a=1．故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.共70分．17．（1）已知a，b为正实数．求证： +≥a+b；（2）某题字迹有污损，内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”．试分析污损部分的文字内容是什么？并说明理由．【考点】不等式的证明．【分析】（1）不等式两边同乘（a+b），使用基本不等式即可得出结论；（2）将结论两边平方即可得出（x2﹣1）（1﹣y2）≤0，故只需1﹣y2≥0即可．【解答】证明：（1）∵a＞0，b＞0，∴（a+b）（）=a2+b2++≥a2+b2+2ab=（a+b）2．∴+≥a+b，当且仅当a=b时等号成立．（2）污损部分的文字内容为“|y|≤1”．理由如下：要证：|x+y|≤|1+xy|，只需证：（x+y）2≤（1+xy）2，即证：x2+y2≤1+x2y2，只需证：（x2﹣1）（1﹣y2）≤0，∵|x|≤1，故只需证：1﹣y2≥0即可．∴估计污损部分的文字内容为“|y|≤1”．18．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调性．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=ax2+blnx，知，由f（x）在x=1处有极值，知，由此能求出a，b的值．（Ⅱ）由f（x）=，其定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣=．列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2+blnx，∴，∵f（x）在x=1处有极值，∴，解得a=，b=﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，其定义域为（0，+∞），且f′（x）=x﹣=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：∴函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．19．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）总人数20 36 44 50 40 10将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女20 110合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（I）根据所给的数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与临界值比较即可得出结论；（II）由题意，用频率代替概率可得出抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，由于X～B （3，），由公式计算出期望与方差即可．【解答】解：列出列联表，课外体育不达标课外体育达标合计男 60 30 90女90 20 110合计150 50 200（Ⅰ），所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，∴X～B（3，），∴．20．已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值及函数f（x）的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求函数的导数，研究是的单调性和极值即可证明当x＞0时，x2＜e x．【解答】解：（1）因为f（x）=e x﹣ax，所以f（0）=1，即A（0，1），由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，得a=2．所以f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．令f′（x）=0，得x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=ln2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x．由（1）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x．21．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲、乙、丙面试合格的概率分别是，，，且面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出甲、乙、丙面试合格的概率，根据相互独立事件的概率，计算至少有1人面试合格的概率即可；（Ⅱ）由ξ的可能取值，计算P（ξ），列出ξ的分布列，计算ξ的期望的值．【解答】解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=，P（C）=；（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是1﹣P（）=1﹣P（）P（）P（）=1﹣×=（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3；P（ξ=0）=P（B）+P（C）+P（）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（C）+P（）P（）P（）=×+×+×=，P（ξ=1）=P（A C）+P（AB）+P（A）=P（A）P（）P（C）+P（A）P（B）P（）+P（A）P（）P（）=×+×+×=，P（ξ=2）=P（BC）=P（）P（B）P（C）=×=，P（ξ=3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=×=；所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3Pξ的期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．22．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；绝对值不等式的解法．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（2）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）减函数极小值增函数所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，令g（a）=a﹣﹣2lna（a＞0），因为g′（a）=＞0，所以g（a）=a﹣﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．…。

2015-2016学年江西省宜春市丰城九中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．对于独立性检验，下列说法正确的是（）A．K2的值可以为负值B．K2独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立C．K2独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎”D．2×2列联表中的4个数据可为任何实数2．设X为随机变量，X～B （n，），若随机变量X的数学期望E（X）=2，则P（X=2）等于（）A． B． C． D．3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）是（）A．B．C．D．4．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c5．设曲线y=﹣log a x在点x=e处的切线与直线x﹣4y+1=0垂直，则实数a=（）A．B．C． D．26．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（）A．B．﹣C．﹣D．27．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．8．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值9．若随机变量x～N（1，4），P（x≤0）=m，则P（0＜x＜2）=（）A．1﹣2m B．C．D．1﹣m10．在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为（）A．B．C．D．11．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集[﹣1，3]，则函数单调递增区间为（）A．（﹣∞，﹣1），（3，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3），（1，+∞）12．已知f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2015π），求则函数f（x）的各极大值之和为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是．14．若函数f（x）=1nx﹣ax2﹣2x存在单调减区间，则实数a的取值范围是．15．乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于．16．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1、2和3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加1（如：取到球的编号为2，改为3）后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取球的编号之和．（Ⅰ）求X的概率分布；（Ⅱ）求X的数学期望与方差．18．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+（4a﹣2）lnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤时，讨论f（x）的单调区间．19．当前《奔跑吧兄弟第三季》正在热播，某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄是否相关，在某市步行街随机抽取了110名成人进行调查，发现45岁及以上的被调查对象中有10人收看，有25人未收看；45岁以下的被调查对象中有50人收看，有25人未收看．（1）试根据题设数据完成下列2×2 列联表，并说明是否有99.9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关；2×2 列联表收看不收看总计45岁以上45岁以下总计（2）采取分层抽样的方法从45岁及以上的被调查对象中抽取了7人．从这7人中任意抽取2人，求至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001K0 6.635 7.879 10.82820．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx．a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的最小值．21．某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．22．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．2015-2016学年江西省宜春市丰城九中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．对于独立性检验，下列说法正确的是（）A．K2的值可以为负值B．K2独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立C．K2独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎”D．2×2列联表中的4个数据可为任何实数【考点】独立性检验的应用．【分析】利用独立性检验的定义和解题步骤逐一筛选四个选项即可【解答】解：∵2×2列联表中的数据均为正整数，故k2不可能为负值，排除A；由独立性检验的检验步骤可知B正确；∵K2独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”，是指有一定的把握说他们相关，或者说有一定的出错率，故排除C；∵2×2列联表中的4个数据是对于某组特定数据的统计数据，故四个数据间有一定的关系，不能为任意实数，故排除D；故答案选：B．2．设X为随机变量，X～B （n，），若随机变量X的数学期望E（X）=2，则P（X=2）等于（）A． B． C． D．【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据X为随机变量，X～B （n，），利用二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n的值，再根据二项分布概率公式得到结果．【解答】解：∵随机变量X为随机变量，X～B （n，），∴其期望EX=np=n=2，∴n=6，∴P（X=2）==．故选：A．3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件与对立事件．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的乘法公式，由两个独立事件A和B都不发生的概率为，则P（）•P（）=，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则P（）P（B）=P（A）P（），设P（A）=x，P（B）=y，构造关于x，y的方程，解方程即可求出事件A发生的概率P（A）．【解答】解：由题意，P（）•P（）=，P（）P（B）=P（A）P（），设P（A）=x，P（B）=y，则，即∴x2﹣2x+1=，∴x﹣1=﹣或x﹣1=（舍去），∴x=．故选D4．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c【考点】定积分．【分析】根据积分的几何意义，分别作出函数y=2x，y=x，y=log2x的图象，根据对应区域的面积的大小即可得到结论【解答】解：分别作出函数y=2x，（红色曲线），y=x（绿色曲线），y=log2x（蓝色曲线）的图象，则由图象可知当1≤x≤2时，对应的函数2x＞x＞log2x，即对应的平面的面积依次减小，即c＜b＜a，故选：A5．设曲线y=﹣log a x在点x=e处的切线与直线x﹣4y+1=0垂直，则实数a=（）A．B．C． D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a的方程，即可求得a．【解答】解：∵y=﹣log a x，∴y′=﹣，∴y′|x=e=﹣，∵曲线y=﹣log a x在点x=e处的切线与直线x﹣4y+1=0垂直，∴﹣=﹣4，即a=．故选：C．6．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（）A．B．﹣C．﹣D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=，∵g（x）=，∴g′（x）=，则g′（1）===，故选：A．7．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】从9个数中随机抽取3个不同的数，共有C93种取法，3个数的和为偶数包括抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，用组合数表示出算式，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件数包括两类：抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，前者C43，后者C41C52．∴A中基本事件数为C43+C41C52．∴符合要求的概率为=．8．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f'（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论．【解答】解：当k=1时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）+（e x﹣1）=（xe x﹣1），f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0，则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．故选C．9．若随机变量x～N（1，4），P（x≤0）=m，则P（0＜x＜2）=（）A．1﹣2m B．C．D．1﹣m【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量x～N（1，4），得到正态曲线的对称轴是x=1，得到P（x≤0）=P（x≥2），根据所给的条件P（x≤0）=m，得到P（x≥2）=m，又根据概率之和是1，得到要求的结果．【解答】解：∵随机变量x～N（1，4），∴正态曲线的对称轴是x=1，∴P（x≤0）=P（x≥2）∵P（x≤0）=m，∴P（0＜x＜2）=1﹣m﹣m=1﹣2m，故选A．10．在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为（）A．B．C．D．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】先求出事件A在每次试验中出现的概率为P的值，再根据n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式，求得事件A恰好发生一次的概率．【解答】解：设事件A在每次试验中出现的概率为P，则由题意可得1﹣（1﹣p）4=，∴P=，故事件A恰好发生一次的概率为••=，故选：C．11．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集[﹣1，3]，则函数单调递增区间为（）A．（﹣∞，﹣1），（3，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3），（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．【分析】先由不等式ax2+bx+c≥0的解集[﹣1，3]，得到，然后把a代入f′（x），再根据函数单调性和导数正负的关系得到f′（x）＞0时，﹣3＜x＜1，即得答案．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c≥0的解集[﹣1，3]，∴，则∵函数，∴f′（x）=﹣bx2+2ax+c=ax2+2ax﹣3a=a（x﹣1）（x+3），令f′（x）＞0，解得﹣3＜x＜1，∴函数单调递增区间为：（﹣3，1）故答案为：C12．已知f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2015π），求则函数f（x）的各极大值之和为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的函数，利用导函数判断函数的单调区间与极大值点，从而求出极大值；再利用等比数列的求和公式求出函数f（x）的各极大值之和．【解答】解：∵函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），∴f′（x）=[e x（sinx﹣cosx）]′=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx；令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增，当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减；∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值，此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；又∵0≤x≤2015π，∴0和2015π都不是极值点，∴函数f（x）的各极大值之和为：eπ+e3π+e5π+…+e2011π+e2013π==．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】抛掷两枚骰子，求出基本事件总数，利用列举法求出每次试验成功的概率，在10次试验中，成功次数X～B（10，），由此能求出在10次试验中，成功次数X的期望E（X）．【解答】解：抛掷两枚骰子，基本事件总数n=6×6=36，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，试验成功包含的基本事件有：（1，4），（4，1），（4，2），（2，4），（4，3），（3，4），（4，4），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，1），（1，5），（5，2），（2，5），（5，3），（3，5），（5，5），（5，6），（6，5），共20个，∴每次试验成功的概率p=，∴在10次试验中，成功次数X～B（10，），∴在10次试验中，成功次数X的期望E（X）==．故答案为：．14．若函数f（x）=1nx﹣ax2﹣2x存在单调减区间，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先分析求出函数的定义域，对f（x）求导可得，根据题意，有f′（x）≤0，变形可得a≥，结合x的范围，可得a＞﹣1可得答案；【解答】解：根据题意，函数定义域为{x|x＞0}，，已知函数存在单调递减区间，由f′（x）≤0有解，即a≥有解，又由，（x＞0）故在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，则有所以a＞﹣1，故答案为（﹣1，+∞）．15．乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】根据甲、乙两队每场比赛获胜的几率相等可知甲、乙两队每场比赛获胜的概率都为，它们打完5场以后仍不能结束比赛，则这5场比赛中甲胜3场乙胜2场或乙胜3场甲胜2场，根据n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出概率，根据互斥事件的概率公式可求出所求．【解答】解：∵甲、乙两队每场比赛获胜的几率相等∴甲、乙两队每场比赛获胜的概率都为，∵它们打完5场以后仍不能结束比赛∴这5场比赛中甲胜3场乙胜2场或乙胜3场甲胜2场甲胜3场乙胜2场的概率为（）3（）2，乙胜3场甲胜2场的概率为（）3（）2，∴它们打完5场以后仍不能结束比赛的概率为：2（）3（）2=，故答案为：．16．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率是．【考点】几何概型．【分析】利用两角和的正切公式，利用线性规划，以及几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：设FA=x，GB=y，则0≤x≤3，0≤y≤3，平面区域{（x，y）|0≤x≤3，0≤y≤3}对应的区域是正方形边长为3，面积S=9．则tan∠FEA=，tan∠GEB=，则tan（∠GEB+∠FEA）==，若∠FEG为锐角，则等价为∠GEB+∠FEA是钝角，即tan（∠GEB+∠FEA）=，即1﹣xy＜0，即y，作出对应的平面区域如图：当y=3时，由，解得x=，A（，3），当x=3时，y=，即B（3，），则矩形ODAE的面积S=3×，曲边四边形ACFB的面积S=═lnx|=ln3﹣ln=2ln3，∴阴影部分的面积S=9﹣1﹣2ln3=8﹣2ln3，（阴影部分的面积也可以这样求==8﹣2ln3，）∴根据几何概型的概率公式可得∠FEG为锐角的概率，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1、2和3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加1（如：取到球的编号为2，改为3）后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取球的编号之和．（Ⅰ）求X的概率分布；（Ⅱ）求X的数学期望与方差．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）随机变量X所有可能的取值为1，3，5，分别求出随机变量X取每个值的概率，列表写出分布列．（II）利用数学期望公式和方差的公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在X=1时，表示第一次取到的1号球，取球停止；…在X=3时，表示第一次取到2号球，第二次取到1号球，或第一次取到3号球，取球停止；…在X=5 时，表示第一次取到2号球，第二次取到3号球，取球停止…X的概率分布为P（X=1）=，P（X=3）=×+=，P（X=5）=×=，X 1 3 5P（Ⅱ）E（X）=1×+3×+5×=D（X）=×（1﹣）2+×（3﹣）2+×（5﹣）2=18．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+（4a﹣2）lnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤时，讨论f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，由f（x）在x=3处取得极值，得f'（3）=0可得a=2，再得函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（Ⅱ）求出函数的导数并分解因式，讨论当时，当时，当时函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ），∵f（x）在x=3处取得极值，∴f'（3）=0，∴a=2，∴，∴，∴，故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即4x﹣2y﹣13=0．（Ⅱ）当时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当，即时，f（x）在（0，2a﹣1）上是增函数，在（2a﹣1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；当，即时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．19．当前《奔跑吧兄弟第三季》正在热播，某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄是否相关，在某市步行街随机抽取了110名成人进行调查，发现45岁及以上的被调查对象中有10人收看，有25人未收看；45岁以下的被调查对象中有50人收看，有25人未收看．（1）试根据题设数据完成下列2×2 列联表，并说明是否有99.9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关；2×2 列联表收看不收看总计45岁以上45岁以下总计（2）采取分层抽样的方法从45岁及以上的被调查对象中抽取了7人．从这7人中任意抽取2人，求至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001K0 6.635 7.879 10.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据已知条件计算出2×2 列联表中各个数据，可得答案；（2）采取分层抽样的方法抽取的7人中有2人收看，5人不收看《奔跑吧兄弟第三季》，结合组合公式和古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）满足题意的2×2 列联表如下表所示：由列联表中的数据，得到因此，有99.9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关．（2）采取分层抽样的方法抽取的7人中有2人收看，5人不收看《奔跑吧兄弟第三季》，从中任意抽取2人由21种不同的取法．记事件A为至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》，基本事件总数为21，事件A包含的事件数为1+10=11，故．20．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx．a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0可求出函数单调减区间，注意与定义域求交集；（2）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令，x∈（0，），则，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞，从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2．21．某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）求出每生产一台合格仪器的概率，利用独立重复试验的概率公式求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（II）根据题意得到变量的可能的取值，根据变量对应的事件，利用独立重复试验的概率公式得到概率，写出分布列，根据做出的变量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值【解答】解：（Ⅰ）设恰有两台仪器完全合格的事件为A，每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为…所以…（Ⅱ）每月生产的仪器完全合格的台数可为3，2，1，0四种所以赢利额ξ的数额可以为15，9，3，﹣3…当ξ=15时，当ξ=9时，当ξ=3时，当ξ=﹣3时，…每月的盈利期望所以每月的盈利期望值为10.14万元…22．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，得f′（x）=x（2﹣e x﹣1），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，讨论当k ≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，讨论当﹣2＜k≤﹣1时，当k=﹣2时，当k＜﹣2时的情况，从而求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，∴f′（x）=x（2﹣e x﹣1），∴f′（1）=1，f（1）=1，∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，∵x＜0，∴ke x﹣x﹣k＞0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，∴h′（x）=ke x﹣1，当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当k＞1时，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）递减，在（﹣lnk，0）递增，∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合题意，综上：k≤1．（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，∴x2=ln（﹣）＞k，当﹣2＜k≤﹣1时，x2=ln（﹣）＞0，f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，当k=﹣2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，当k＜﹣2时，f（x）的最小值为m=min{f（x2），f（1）}，f（x2）=﹣2[ln（﹣）﹣1]+[ln（﹣）]2=﹣2x2+2＞1，f（1）=1，此时m=1，综上：m=1．2016年9月2日。

2014-2015学年江西省宜春市丰城中学课改实验班高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．2．（5分）已知角α的终边经过点P（2，﹣1），则＝（）A．3B．C．﹣D．﹣33．（5分）在△ABC中，若tan A•tan B＞1，则△ABC的形状（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．（5分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+（x∈R），则使f（x+m）＝f（x）对任意实数x恒成立的最小正实数m的值为．A．2πB．πC．D．5．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1B．S n＝3a n﹣2C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n 6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是（）A．S6B．S11C．S12D．S138．（5分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2＝2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（）A．B．p2C．2p2D．4p29．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α⊥β其中正确的两个命题是（）A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则a+b的最小值为（）A．B．C．D．411．（5分）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．2二.填空题（本大题共4小题．共20分．把答案填在题中横线上13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝．14．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝，猜想数列{a n}的前2014项的和S2014＝．15．（5分）已知四面体ABCD满足AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝，BC⊥AD，则该四面体外接球的表面积等于．16．（5分）已知f（1，1）＝1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n+1）＝f（m，n）+3；②f（m+1，1）＝2f（m，1）对于以下四个命题：（1）数列{f（m，2015）}是等比数列；（2）数列{f（2015，n）}是等差数列；（3）f（1，1）+（1，2）+…+f（1，2015）＝22015﹣1；（4）f（1，1）+f（2，1）+…+f（2015，1）＝22015﹣1；其中真命题的序号为：．三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，sin C＝2sin B，求b、c的值．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面P AD⊥平面ABCD，PD⊥PB，P A＝PD．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面P AB；（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC＝90°，AB＝2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．19．（12分）若数列{b n}：对于n∈N*，都有b n+2﹣b n＝d（常数），则称数列{b n}是公差为d的准等差数列．如数列c n：若，则数列{c n}是公差为8的准等差数列．设数列{a n}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有a n+a n+1＝2n．（Ⅰ）求证：{a n}为准等差数列；（Ⅱ）求证：{a n}的通项公式及前20项和S20．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．21．（12分）点Q位于直线x＝﹣3右侧，且到点F（﹣1，0）与到直线x＝﹣3的距离之和等于4．（1）求动点Q的轨迹C；（2）直线l过点M（1，0）交曲线C于A、B两点，点P满足，，又＝（x0，0），其中O为坐标原点，求x0的取值范围；（3）在（2）的条件下，△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l的方程；若不能，请说明理由．22．（12分）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值1．（1）求整数m的值；（2）已知a，b，c均为正数，若2a+2b+2c＝m，求++的最小值．2014-2015学年江西省宜春市丰城中学课改实验班高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c＝＝5，可得a2+b2＝25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y＝上，∴＝…②，①②联解，得a＝3且b＝4，可得双曲线的方程故选：C．2．（5分）已知角α的终边经过点P（2，﹣1），则＝（）A．3B．C．﹣D．﹣3【解答】解：因为角α的终边经过点P（2，﹣1），所以，则＝，故选：D．3．（5分）在△ABC中，若tan A•tan B＞1，则△ABC的形状（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：∵在△ABC中，满足tan A•tan B＞1，∴A、B都是锐角，tan A＞0，tan B＞0．再由tan（A+B）＝＜0，可得A+B为钝角，故由三角形内角和公式可得C为锐角．综上可得这个三角形是锐角三角形．故选：A．4．（5分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+（x∈R），则使f（x+m）＝f（x）对任意实数x恒成立的最小正实数m的值为．A．2πB．πC．D．【解答】解：f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+＝sin2x﹣（1+cos2x）+＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），∵f（x+m）＝f（x）对任意实数x恒成立，∴m是函数y＝f（x）的周期，又m＞0，∴m min＝T＝＝π，故选：B．5．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1B．S n＝3a n﹣2C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n 【解答】解：由题意可得a n＝1×＝，∴S n＝＝3﹣＝3﹣2＝3﹣2a n，故选：D．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d＝1，a1＝1由等差数列的通项公式可得，a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n∴＝＝＝1﹣＝故选：A．7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是（）A．S6B．S11C．S12D．S13【解答】解：由a2+a6+a10＝a1+d+a1+5d+a1+9d＝3（a1+5d）＝3a6＝为一确定的常数，从而＝11a6为确定的常数，故选：B．8．（5分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2＝2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（）A．B．p2C．2p2D．4p2【解答】解：法一：取倾斜角为：45°，60°，90°，经计算可知，当倾斜角为90°时，△ABQ的面积的最小，此时AB＝2p，又焦点到准线的距离＝p，此时三角形的面积最小为p2故选B．法二：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△P AB为直角三角型，且角P为直角．，由于AB是通径时，AB最小，故选：B．9．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α⊥β其中正确的两个命题是（）A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③【解答】①因为α∥β且l⊥平面α，所以l⊥平面β，又因为直线m⊂平面β，所以l⊥m；②α⊥β⇒l∥m错误；③因为l∥m，直线l⊥平面α，所以直线m⊥平面α，又因为直线m⊂平面β，所以α⊥β；④l⊥m⇒α⊥β错误．故选：D．10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则a+b的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图，4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值2，即，∴a+b＝（a+b）（）＝（5+）∵a＞0，b＞0，∴≥＝4当且仅当时，的最小值问4∴a+b的最小值为故选：A．11．（5分）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy 平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y＝0，z＝0 和x＝0，z＝a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即＝两边平方，化简可得z＝（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z＝0和z＝a分别代入所得式子z＝0时代入可以得到y2﹣x2＝﹣a2，图形是个双曲线z＝a时代入可以得到y2﹣x2＝a2，图形也是个双曲线故选：D．12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos120°＝a2+b2+ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤＝，即的最大值为．故选：A．二.填空题（本大题共4小题．共20分．把答案填在题中横线上13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝2．【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y＝±x又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x＝﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，又由双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y＝±＝±，又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴××＝，得p＝2．故答案为：2．14．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝，猜想数列{a n}的前2014项的和S2014＝．【解答】解：∵a1＝2，a n+1＝，∴a2＝，a3＝，a4＝，…∴数列{a n}是以3为周期的数列，又S3＝a1+a2+a3＝2+＝，∴S2014＝S2013+a2014＝671×+a1＝+2＝．故答案为：．15．（5分）已知四面体ABCD满足AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝，BC⊥AD，则该四面体外接球的表面积等于3π．【解答】解：由于AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝，则AB⊥BC，又BC⊥AD，则BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，则CD＝＝，取CD中点O，连接OB，OA，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则OA＝OB＝OC＝OD＝，则该四面体外接球的球心即为O，则球的表面积为S＝4πr2＝4π×（）2＝3π．故答案为：3π．16．（5分）已知f（1，1）＝1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n+1）＝f（m，n）+3；②f（m+1，1）＝2f（m，1）对于以下四个命题：（1）数列{f（m，2015）}是等比数列；（2）数列{f（2015，n）}是等差数列；（3）f（1，1）+（1，2）+…+f（1，2015）＝22015﹣1；（4）f（1，1）+f（2，1）+…+f（2015，1）＝22015﹣1；其中真命题的序号为：（2）、（4）．【解答】解：∵f（m，n+1）＝f（m，n）+3，∴{f（m，n）}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴f（1，n）＝3n﹣2；又∵f（m+1，1）＝2f（m，1），∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）＝2n﹣1，∴f（m，n）＝2m﹣1+3n﹣3；对于（1），数列{f（m，2015）}，f（m，2015）＝2m﹣1+4028．数列不是等比数列，不满足等比数列的通项公式，（1）不正确；对于（2），数列{f（2015，n）}，f（2015，n）＝22014+2n﹣2，是n的一次函数，满足等差数列通项公式，是等差数列，所以（2）正确；对于（3），∵f（1，n）＝3n﹣2，∴f（1，1）+（1，2）+…+f（1，2015）＝（3×1﹣2）+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+…+（3×2015﹣2）＝3（1+2+3+…+2015）﹣2015×2＝20152≠22015﹣1；所以（3）不正确．对于（4），{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）＝2n﹣1，∴f（1，1）+f（2，1）+…+f（2015，1）＝＝22015﹣1．所以（4）正确．故答案为：（2）、（4）．三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，sin C＝2sin B，求b、c的值．【解答】解：（1）由正弦定理余弦定理得＝，∴2sin C cos A＝sin（A+B）＝sin C，∵sin C≠0，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）由sin C＝2sin B，得c＝2b，由条件a＝3，，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝3b2，解得．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面P AD⊥平面ABCD，PD⊥PB，P A＝PD．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面P AB；（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC＝90°，AB＝2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD所以AB⊥平面P AD…（1分）又PD⊂平面P AD，所以PD⊥AB…（2分）又PD⊥PB，所以PD⊥平面P AB…（3分）而PD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面P AB…（4分）（2）如图，建立空间直角坐标系…（5分）设AD＝2a，则A（a，0，0），D（﹣a，0，0）B（a，2，0），C（﹣a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0）…（6分）＝（﹣a，﹣1，a），＝（﹣2a，1，0），则得2a2﹣1＝0，得，则，＝（﹣，﹣1，），…（8分）设平面PEC的一个法向量，＝（．﹣2，）由得，令x1＝1，则＝（1，，）…（9分），＝（．﹣2，）设平面PCB的一个法向量，由得，令z2＝1，则＝（0，，1）…（10分）设二面角E﹣PC﹣B的大小为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝…（11分）故二面角E﹣PC﹣B的余弦值为…（12分）19．（12分）若数列{b n}：对于n∈N*，都有b n+2﹣b n＝d（常数），则称数列{b n}是公差为d的准等差数列．如数列c n：若，则数列{c n}是公差为8的准等差数列．设数列{a n}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有a n+a n+1＝2n．（Ⅰ）求证：{a n}为准等差数列；（Ⅱ）求证：{a n}的通项公式及前20项和S20．【解答】解：（I）∵数列{a n}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有a n+a n+1＝2n，∴a n+1+a n+2＝2（n+1），∴a n+2﹣a n＝2．∴数列{a n}是公差为2的准等差数列．（II）由（I）可得：a2＝2﹣a，其奇数项与偶数项都为等差数列，公差为2．＝a+2（n﹣1），a2n＝（2﹣a）+2（n﹣1）＝2n﹣a．∴a2n﹣1∴a n＝．∵a n+a n+1＝2n，∴S20＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）＝2（1+3+ (19)＝2×＝200．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．【解答】解：（1）∵，∴x﹣y＝1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ＝1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ＝sinθ，∴（ρcosθ）2＝ρsinθ即曲线C的普通方程为y＝x2．（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．21．（12分）点Q位于直线x＝﹣3右侧，且到点F（﹣1，0）与到直线x＝﹣3的距离之和等于4．（1）求动点Q的轨迹C；（2）直线l过点M（1，0）交曲线C于A、B两点，点P满足，，又＝（x0，0），其中O为坐标原点，求x0的取值范围；（3）在（2）的条件下，△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l的方程；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）Q（x，y），则|QF|+x+3＝4（x＞﹣3），即：，化简得：y2＝﹣4x（﹣3＜x≤0）．所以，动点Q的轨迹为抛物线y2＝﹣4x位于直线x＝﹣3右侧的部分．…（4分）（2）因为，所以，P为AB中点；又因为，且＝（x0，0），所以，点E为线段AB垂直平分线与x轴交点．由题可知：直线l与x轴不垂直，所以可设直线l的方程为y＝k（x﹣1），代入轨迹C的方程得到：k2x2+（4﹣2k2）x+k2＝0（﹣3＜x≤0）（*）设f（x）＝k2x2+（4﹣2k2）x+k2，要使得l与C有两个不同交点，需且只需解之得：．由（*）式得：，所以，AB中点P的坐标为：，．所以，直线EP的方程为令y＝0得到点E的横坐标为．因为，所以，x E∈（，﹣3）．…（10分）（3）不可能．…（11分）要使△PEF成为以EF为底的等腰三角形，需且只需2x P＝x E+x F，即：，解得：．另一方面，要使直线l满足（2）的条件，需要，所以，不可能使△PEF成为以EF为底的等腰三角形．…（14分）22．（12分）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值1．（1）求整数m的值；（2）已知a，b，c均为正数，若2a+2b+2c＝m，求++的最小值．【解答】解：（1）由关于x的不等式：|2x﹣m|≤1 可得﹣1≤2x﹣m≤1，解得≤x≤．由于整数解有且仅有一个值为1，∴，∴1＜m＜3．故整数m的值为2．（2）由2a+2b+2c＝m得a+b+c＝1．∵，，，∴，即∴，当且仅当a＝b＝c时取等号故的最小值为1．。

2014—2015学年度第二学期期中测试卷高二数学(理科甲卷)参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBDAABDACBCD二、填空题（每小题5分，共20分）13．32a 14 15 16．①②④ 三、解答题17. (1)结论：BC ∥l ，因为AD ∥BC ，BC 平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BC ∥平面P AD .又因为BC ⊂平面PBC ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ， 所以BC ∥l . (2)结论：MN ∥平面P AD .设Q 为CD 的中点，如图所示，连接NQ ，MQ ， 则NQ ∥PD ，MQ ∥AD . 又因为NQ ∩MQ ＝Q ， PD ∩AD ＝D ， 所以平面MNQ ∥平面P AD . 又因为MN ⊂平面MNQ ， 所以MN ∥平面P AD . 18．解析：（1）由该几何体的三视图知AC ⊥面BCED ，且EC=BC=AC=4，BD=a ，体积1(4)4416,232a V a +=⋅==； ………………4分（2）在ΔRT ABD 中，AB =2BD =，6AD =，过B 作AD 的垂线BH ，垂足为H ，易得3BH =，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为3BH =，所以圆锥底面周长为233C π=⋅=，两个圆锥的母线长分别为2，故该旋转体的表面积为1(32(2233πS +=⨯+=。

………………12分19．解析：(1)证明：由已知可得BD ＝22，又AD ＝2，CD ＝4，AB ＝2，则BC ＝22，则BD 2＋BC 2＝16＝DC 2， 所以BD ⊥BC .因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 故PD ⊥BC .又BD ∩PD ＝D ， 所以BC ⊥平面BDP . ………………6分 (2)如图，过M 作MG ⊥DC 交DC 于点G .由PD ⊥DC ，M 是PC 中点，知MG 是△DCP 的中位线，因此，MG ∥PD ，MG ＝12PD ，又PD ⊥平面ABCD ， 所以MG ⊥平面BDC .又tan ∠PCD ＝12，得PD ＝2，MG ＝12PD ＝1.所以V M －BDP ＝V P －BCD －V M －BCD ＝13×12×22×22×2－13×12×22×22×1＝43.………………12分 20．（1）由''//A B AB 得 '''''61153PA A B PO PA PA AB PO AB ==⇒== '5;18PA AB ∴==由PO =22'33OO PO ∴==⨯21(36183V =+⋅台14683=⨯⨯=cm 3）…………………………6分（2）作轴截面图如下，设球心为E ，半径为R ，由12PH PQ =,18HQ AB ==po =1()2PHQ S PH PQ HQ R ∆=++⋅1118(121218)22R ∴⨯⨯++⋅R ∴232447S R ππ∴==球表(cm 2)…………12分21．解析 (1)方法一 ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形．∴CD ∥BQ . …………1分 ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BQ ⊥平面P AD . …………3分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD . …………4分方法二 ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴BC ∥DQ 且BC ＝DQ . ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ . …………1分 ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD . ∵P A ＝PD ，∴PQ ⊥AD . …………2分 又PQ ∩BQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PBQ . …………3分 ∵AD ⊂平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD . …………4分 (2)∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD . ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD . …………5分如图，以Q 为原点，QA ，QB ，QP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则Q (0,0,0)，A (1,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，M (－12，32，32)． (6)分∴AP →＝(－1,0，3)，BM →＝(－12，－32，32)．设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AP →，BM →〉|＝|AP →·BM →|AP →||BM →||＝277.…………7分∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277.…………8分(3)由(2)知，平面BQC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，…………9分连接QC ，由P ，M ，C 三点共线，得QM →＝λQP →＋(1－λ)QC →，且0≤λ≤1. ∴QM →＝(λ－1，3(1－λ)，3λ)．…………10分 又QB →＝(0，3，0)，设平面MBQ 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·QM →＝0，m ·QB →＝0.即⎩⎨⎧x λ－＋3－λy ＋3λz ＝0，3y ＝0.令x ＝3，得y ＝0，z ＝1－λλ.∴平面MBQ 的一个法向量为m ＝(3，0，1－λλ)．…………11分∵二面角M －BQ －C 的大小为30°，∴cos30°＝|n·m |n ||m ||＝32.∴λ＝14.∴QM ＝394.…………12分22．解析 (1)因为等边三角形ABC 的边长为3，且AD DB ＝CE EA ＝12，所以AD ＝1，AE ＝2.在△ADE 中，∠DAE ＝60°， 由余弦定理，得DE ＝12＋22－2×1×2×cos60°＝ 3. 因为AD 2＋DE 2＝AE 2， 所以AD ⊥DE ，折叠后有A 1D ⊥DE . …………3分 因为二面角A 1－DE －B 是直二面角， 所以平面A 1DE ⊥平面BCED .又平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，A 1D ⊂平面A 1DE ，A 1D ⊥DE ， 所以A 1D ⊥平面BCED . …………6分(2)假设在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°. 如图，作PH ⊥BD 于点H ，连接A 1H ，A 1P . 方法一 由(1)知A 1D ⊥平面BCED ，又PH ⊂平面BCED ， 所以A 1D ⊥PH .又A 1D ∩BD ＝D ，所以PH ⊥平面A 1BD . 所以∠P A 1H 是直线P A 1与平面A 1BD 所成的角．…………8分设PB ＝x (0≤x ≤3)，则BH ＝x 2，PH ＝3x2.又在Rt △P A 1H 中，∠P A 1H ＝60°，所以A 1H ＝x2.在Rt △A 1DH 中，A 1D ＝1，DH ＝2－x2，由A 1D 2＋DH 2＝A 1H 2，得12＋(2－x 2)2＝(x2)2.解得x ＝52，满足0≤x ≤3，符合题意．所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.…………12分方法二由(1)可知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，以射线DB ，DE ，DA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a . 所以A 1(0,0,1)，P (2－a ，3a,0)，E (0，3，0)．所以P A 1→＝(a －2，－3a,1)． 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)．…………9分 因为直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，所以sin60°＝|P A 1→·DE →||P A 1→||DE →|＝3a 4a 2－4a ＋5×3＝32.解得a ＝54，即PB ＝2a ＝52，满足0≤2a ≤3，符合题意．所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.…………12分。

丰城中学2014-2015学年下学期高二期中考试数学（文）试卷数 学 （课改实验班）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1．一个年级共有12个班，每个班学生的学号从1到50，为交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下，这里运用的是（ ）A ．分层抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．系统抽样法2．下列算法框中表示处理框的是（ ）A ．菱形框B ．平行四边形框C ．矩形框D ．三角形框3．当a ＝3时，下面的程序段输出的结果是( )A ．9B ．3C ．10D ．64.如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为s 2，则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5的平均值和方差分别为( )A. x 和s 2B. 3x +5和9s2C. 3x +5和s 2D. 3x +5和9s 2+30s+255、命题“2cos sin ,,2>-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ”的否定是（ ） A ．2cos sin ,,2<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀x x x ππ B ．2cos sin ,,2≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ C ．2cos sin ,,2≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀x x x ππ D ．2cos sin ,,2<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ 6、设命题:p ()3,1a =r ，(),2b m =r ，且//a b r r ；命题:q 关于x 的函数()255xy m m a=--（0a >且1a ≠）是指数函数，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．212+ D ．12+8、在区间[]0,2π上任取一个数x ，则使得2sin 1x >的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．239、已知双曲线2214x y a -=的渐近线方程为233y =±，则此双曲线的离心率为（ ）A ．72B ．133C ．53D ．21310．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ）A.254 B.258 C.2524 D.2516 12．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ） A ．3 B ．23 C ．33 D ．43二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上）13、某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，则抽取高级职称人数为14．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用下图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a ，乙运动员的众数为b ，则a －b ＝__________.15．已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作丰城中学2015-2016学年下学期高二期中考试试卷数 学(文)命题人：熊海荣 审题人：张业彬 2016.4.28 本试卷总分值为150分考试时间为120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； 1. 要描述一个工厂的组织情况，应用( )A ．程序流程图B ．工序流程图C ．知识结构图D ．组织结构图 2.设集合S ＝{x |x ≥2}，T ＝{x |x ≤5}，则S ∩T ＝( )A ．(－∞，5]B ．[2，＋∞)C ．(2,5)D ．[2,5]3.“因为指数函数x a y =是增函数(大前提)，而x y )31(=是指数函数(小前提)， 所以x y )31(=是增函数(结论)”，上面推理错误的是( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错 4.已知复数iiz +=12 ,Z 为复数Z 的共轭复数 ,则||Z 等于 A. 1 B. 22 C. 2 D. 215. “1>x ”是“0)1(log 2<-x ”的 A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 关于x 方程1|1|-=-x x x x 的解集为 A. {}0 B.{}1,0|>≤x x x 或 C.{}10|<≤x x D. ),1()1,(+∞⋃-∞7. 若x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则 1x ＋1y 的最小值是( )A ．2 B. 32 C ．1＋223 D ．3＋2 28.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为A ．423.1ˆ+=x yB ．523.1ˆ+=x yC ．08.023.1ˆ+=x yD ．23.108.0ˆ+=x y 9.观察下列各式：234749,7343,72401,===…，则20167的末两位数字为A ．01B ．43C ．07D ．4910. 若P(－2，－π3)是极坐标系中的一点，则Q(2，2π3)、R(2，8π3)、M(－2，5π3)、N(2,2kπ－4π3)(k ∈Z)四点中与P 重合的点有____个A ．1B ．2C ．3D ．411. 给出以下命题：①命题“若22bm am <”，则“b a <”的逆命题是真命题； ②命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题； ③已知R x ∈，则“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件； ④命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是:“0,2≤-∈∀x x R x ” 其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 412.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥ 0．50 0．40 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k0．455 0．708 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．6357．87910.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；13.已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M={}a .若P ∪M=P,则a 的取值范围是_____14.若复数1111i iz m i i+-=+⋅-+（i 为虚数单位）为实数，则实数=m ． 15.若关于x 的不等式|x ﹣1|﹣|x+m|≥a 有解时，实数a 的最大值为5，则实数m 的值 为 ．16.抛物线x 2－2y －6xsinθ－9cos 2θ＋8cosθ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R)_____三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==243,123|2x x x y y A ， B ＝{}x |x ＋m 2≥1， p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18.设函数|1||3|)(--+=x x x f . (1)解不等式0)(≥x f ；(2)若m x x f ≥-+|1|2)(对任意的实数x 均成立，求m 的取值范围；19. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线m 的极坐标方程．20.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与对应的生 产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a bx y+=ˆ (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)参考公式：∑∑==⋅-⋅-=ni ini ii xn xy x n yx b1221ˆ21. 在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐 标方程为1)3cos(=-πθρ，A ，B 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求A ，B 的极坐标；(2)设M 为曲线C 上的一个动点，)0(,>⋅=λλOM OQ ，2||||=⋅OQ OM ，求动点 Q 的极坐标方程．22.在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A B ，．（1）若3πα=，求线段AB 的长度；（2）若直线的斜率为54，且有已知点(23)P ,，求证2||||||PA PB OP ⋅=．丰城中学2015-2016学年下学期高二期中考试答案数 学 (文)一、DDAC ABCC ADAC二、13. []1,1-∈a 14. 1=m 15. 4=m 或6-=m 16. 椭圆三、17. 解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1. 配方，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716.∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈⎣⎡⎦⎤716，2.∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 716≤y ≤2. 化简集合B ，由x ＋m 2≥1， 得x ≥1－m 2，B ＝{}x |x ≥1－m 2.∵命题p 是命题q 的充分条件， ∴A ⊆B ．∴1－m 2≤716，解得m ≥34，或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.18. (1)由0)(≥x f 等价于|1||3|-≥+x x 即22)1()3(-≥+x x化简得：88-≥x ，解得：1-≥x ，即原不等式的解集为：{}1|-≥x x (2) 4|1||3||1|2)(≥-++=-+x x x x f要使m x x f ≥-+|1|2)(对任意的实数x 均成立，则[]m x x f ≥-+min |1|2)( 所以4≤m ；19.解（Ⅰ）由条件⎩⎨⎧='='y y x x 2，得到：⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 21代入：122=+y x 中，得1422='+'y x 即14:22=+y x C ，化参数方程为：⎩⎨⎧==θθsin 2cos y x (θ为参数) （Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=-+04402222y x y x 解得：⎩⎨⎧==01y x 或⎩⎨⎧==20y x所以)0,1(1P ，)2,0(2P 则21P P 的中点)1,21(直线)21(211:-=-x y m ，即0342=+-y x ∴直线m 的极坐标方程为：θθρcos 2sin 43-=20. 解(1)由表中数据，计算得：∑i ＝14x 2i ＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， 已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归直线方程的系数为：b ＝∑i ＝14x i y i －4x ·y∑i ＝14x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35……..8分 (2)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗， 得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨)标准煤．…12分21. (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosθ＋32sinθ＝1， 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，θ＝0时，ρ＝2，所以A(2,0)， θ＝π2时，ρ＝233，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由条件可设),(θρQ ),(1θρM由条件)3cos(22)3cos(211πθρπθρρρ-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅⇒为所求Q 的极坐标方程． 22.解 (1)由曲线,sin cos 2:⎩⎨⎧==θθy x C 得C 的普通方程是：1422=+y x ， 当3πα=时，直线方程为)(233212为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，代入C 的普通方程：1422=+y x 中，得04856132=++t t ， 则线段AB 的长度为13108134813456||||221=⨯⨯-=-=t t AB(2)将⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 2t y t x 代入C 的普通方程：1422=+y x 中， 得012)cos 4sin 38()sin 4(cos 222=++++t t αααα1tan 4)1(tan 12sin 4cos )sin (cos 12||||||22222221++=++==⋅∴ααααααt t PB PA由条件知：45tan =α，7||||=⋅∴PB PA 7)3(2||22=+=OP ，2||||||OP PB PA =⋅∴。