充要条件2

充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是高一数学充分条件与必要条件的知识点.(一)充分条件、必要条件和充要条件1．充分条件：如果A成立，那么B成立，即A⇒B，则条件A是B成立的充分条件；2．必要条件：如果A成立，那么B成立，即A⇒B，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件；3．充要条件：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件；反之，如果有事物情况B，则必然有事物情况A；如果没有事物情况B，则必然没有事物情况A，B就是A的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足B，必然A；不满足B，必然不A，则B是A的充分必要条件.即A可以推导出B，且B也可以推导出A.或者说，如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，即A⇔B，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件.（二）充分条件、必要条件与充要条件的判断命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下，其中符号“⇒”叫做推出，符号“”叫做推不出或叫做不能推出，符号“⇔”叫做互相推出.1．若A⇒B且B A成立，则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件；2．若A⇒B且B A成立，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件；3. 若A B且B⇒A成立，则B是A成立的充分条件，A是B成立的必要条件；4．若A⇒B且B⇒A成立，即A⇔B成立，则A、B互为充要条件.证明A是B的充要条件，分两步：①充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；②必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A.5. 若A B且B A成立，则A是B的既不充分也不必要条件.6. 若B A且A B成立，则B是A的既不充分也不必要条件.即：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件；能由结论推出条件，但由条件推不出结论；此条件为必要条件；既能由结论推出条件，又能有条件推出结论，此条件为充要条件；由条件推不出结论，由结论推不出这个条件，这个条件就是即不充分也不必要条件；充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B⇒A或者A⇒B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断.3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件,q是p的必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；若A不包含于B，且B不包含于A，则p是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看，若p：x∈A，q：x∈B．①若A⊆B，则p是q的充分条件， q是p 的必要条件；②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；③若A=B，则p、q互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.4.充分必要条件的常见集合表示：设A、B是两个集合．①如果A是B的充分条件，那么满足A的必然满足B，表示为A⊆B；②如果A是B的必要条件，那么满足B的必然满足A，表示为B⊆A，或A⊇B；③如果A是B的充分不必要条件，那么A是B的真子集；④如果A是B的必要不充分条件，那么B是A的真子集；⑤如果A是B的充分必要条件，那么A、B等价，表示为A=B.5.充分条件与必要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.充分条件与必要条件的内涵.1.充分条件:指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的内涵.如母亲与女儿的关系属于亲情关系吗？答案是必然属于.2.必要性条件:事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行.如亲情关系与母女关系，亲情关系符合母女关系的一种现象表达，但不能推出亲情关系属于母女关系.题型解释充分条件与必要条件相关知识例1：(1)A“三角形三条边相等”；B=“三角形三个角相等”；(2)A“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”；(3)A“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”.解：A都是B的充分必要条件：其一，A必然导致B；其二，A是B发生必需的.例2：(1)A.天下雨了，B.地面一定湿；(2)A.地面一定湿,B.天下雨了解：天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A⇒B且B A成立，所以A是B充分条件；(2)天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A B且B⇒A成立，以B是A必要条件；例3：已知P:x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根，Q:x1+x2=-5,则P是Q的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根，∴x1,x2的值分别为1,-6，∴x1+x2=1-6=-5，故选A.例4：P是Q的充要条件的是( )A.P:3x+2＞5，Q:-2x-3＞-5B.P:a＞2，b＜2,Q:a＞bC.P:四边形的两条对角线互相垂直平分，Q:四边形是正方形D.P:a≠0，Q:关于x的方程ax=1有唯一解解：对于A，P:3x+2＞5⇒x＞1，Q:-2x-3＞-5⇒x＜1，∴P推不出Q，Q推不出P，P是Q既不充分也不必要条件；对于B，P:a＞2，b＜2⇒Q:a＞b；但Q推不出P，故P是Q的充分不必要条件；对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”成立，故P是Q的必要条件；对于D，P:a≠0⇔Q:关于x的方程ax＝1有唯一解，故P是Q的充分必要条件；故选D．例5：若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A 成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：∵A是B的充分条件,∴A⇒B ①，∵D是C成立的必要条件,∴C⇒D ②，C⇔B ③，由①③得A⇒C ④，由②④得A⇒D，∴D是A成立的必要条件，故选B.例6：设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x-2|＜3，那么甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：解不等式|x-2|＜3，得-1＜x＜5，∵0＜x＜5，-1＜x＜5，但-1＜x＜5，0＜x＜5，∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B.当且仅当A=B时，甲为乙的充要条件.例7：给出下列各组条件:(1)P:ab=0，Q:a2+b2=0；(2)P:xy≥0，Q:|x|+|y|=|x+y|；(3)P:m＞0，Q:方程x2-x-m=0有实根；(4)P:|x-1|＞2，Q:x＜-1．其中P是Q的充要条件的有( )A.1组B.2组C.3组D.4组解：(1)P是Q的必要条件；(2)P是Q充要条件；(3)P是Q的充分条件；(4)P是Q的必要条件，故选A.。

三条线交于一点的充要条件(二)三条线交于一点的充要条件1. 什么是”三条线交于一点”？三条线交于一点是指在平面上，当三条不同的直线交于一个点时。

2. 充要条件是什么？要判断三条线是否能够交于一点，需要满足以下充要条件：•条件一：任意两条直线都有交点。

即，任意两条直线不能平行。

•条件二：任意两条直线不能共线。

即，不能存在两条直线与第三条直线平行。

3. 充要条件的证明：证明三条线交于一点的充要条件，首先需要证明充分条件和必要条件。

充分条件：任意两条直线都有交点假设存在三条线交于一点，我们可以先任意取两条直线，这两条直线必然交于一点。

然后我们再取这两条直线中的一条与第三条直线相交，由于这两条直线已经交于一点，所以第三条直线与前两条直线必然也有交点。

所以我们得出，如果三条线交于一点，则任意两条直线都有交点。

必要条件：任意两条直线不能平行，也不能共线假设存在三条线交于一点，我们可以通过排除法证明任意两条直线不能平行。

如果两条直线平行，则无法与第三条直线交于一点，与我们的前提相悖。

所以我们得出，如果三条线交于一点，则任意两条直线不能平行。

同理，我们可以通过排除法证明任意两条直线不能共线。

如果两条直线共线，则无法与第三条直线交于一点，与我们的前提相悖。

所以我们得出，如果三条线交于一点，则任意两条直线不能共线。

综上所述，我们得出三条线交于一点的充要条件是：任意两条直线不能平行，也不能共线。

4. 应用举例：•三边形的三条角平分线交于一点•三边形的三条中线交于一点（重心）•三角形的垂心、外心和内心•平面几何中的交角平分线（垂直平分线）等以上列举了一些应用举例，只要满足充要条件，任意三条直线在平面上交于一点的现象都可以应用到各种几何问题的解决中。

5. 总结：三条线交于一点是平面几何中的重要现象，要判断三条直线是否能够交于一点，需要满足任意两条直线不能平行，也不能共线的充要条件。

这一条件在许多几何问题的解决中起到关键作用，具有重要的应用价值。

高中数学专题复习（2）充要条件一、高考要求:充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.重难点归纳：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词:“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).二、题例示范:例1．已知p :|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图:本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托:本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析:对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法:利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解:由题意知:命题:若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0:*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是［9，+∞).例2．已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图:本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性 知识依托:以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析:因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法:由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解:a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1:(p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.例3．已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明:|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.证明:(1)充分性:由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性:由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2)内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2)内，即|α|＜2且|β|＜2.例4．写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.（1）若x 、y 都是奇数，则x +y 是偶数；（2）若xy =0，则x =0或y =0；（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.解：（1）命题的否定：x 、y 都是奇数，则x +y 不是偶数，为假命题.原命题的否命题：若x 、y 不都是奇数，则x +y 不是偶数，是假命题.（2）命题的否定：xy =0则x ≠0且y ≠0，为假命题.原命题的否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题.（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.例5．有A 、B 、C 三个盒子,其中一个内放有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条.A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.若苹果在B 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为假，C 盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B 盒内.同样，若苹果在C 盒内，则B 、C 两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B 盒内.三、巩固练习:1.函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A .ab =0 B.a +b =0 C .a =b .D .a 2+b 2=02.“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既非充分条件也不是必要条件3.a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的___.4.命题A :两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B :曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.5.设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.已知数列{a n }、{b n }满足:b n =nna a a n +++++++ 321221,求证:数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.已知抛物线C :y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)四、参考答案:1.解析:若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案:D2.解析:若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案:A3.解析:当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案:充要条件4.解析:若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案:充分不必要5.解:根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a ，结论是q :⎩⎨⎧>>11βα (注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例:取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明:①必要性:设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.1212(12)[1223(1)]1231n n a a na a n d n n b nn n +++++++⋅+⋅++-∴==+++++++12(1)3a n d =+-⋅ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1).32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n② ①－②得:na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 111111113[(1)][(2)](1)22222n n n n n n n a b b b n d b n d b n d -+-+-'''=-=+--+-=+-⋅ 从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列. 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解:①必要性:由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点， 所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解. 消元得:x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有2(1)440(0)40(3)93(1)401032m f f m m ⎧∆=+-⨯>⎪=≥⎪⎪⎨=-++≥⎪+⎪<<⎪⎩ 1033m ⇒<≤ ②充分性:当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤310. 8.解:若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理:⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.课前后备注:1.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴q p . 答案：A2..“cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3.在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）.答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A.a ∈（－∞，1］B.a ∈［2，+∞）C.α∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1.由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）·p =p （p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n －1，a n =（p －1）·p n －1，1-n n a a =p （n ≥2），∴{a n}是等比数列.。

高中数学关于充要条件的概念高二数学中学到的充要条件是证明题的一种常考类型，下面店铺的小编将为大家带来高中数学关于充要条件的概念的介绍，希望能够帮助到大家。

高中数学关于充要条件的概念介绍(1)先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p => q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。

这里由p => q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p => q”等价的逆否命题是“非q => 非p”。

它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。

这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要条件”若有p =>q，同时q => p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。

简称为p是q的充要条件。

记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。

“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。

也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。

(3)定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。

如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。

“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。

“仅当”表示“必要”。

(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。

高中数学数列的概念知识点1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1，。

课 题：命题及其关系、充要条件考点分析：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系复习重点：充要条件关系的判定．知识回顾：1.充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件.2.必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件.3.充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4、四种命题原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）； 逆命题：若q 则p ；否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p .5.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.主要方法：1.判断充要关系的关键是分清条件和结论；2.判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假；3.判断充要条件关系的四种方法：①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p q ⇔，则p 是q 的充要条件。

②利用原命题和逆否命题的等价性来确定。

p q ⇒等价于q p ⌝⌝⇒③利用集合的包含关系：对于集合问题，记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若A B Ü，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；若A B =，则A 是B 的充要条件；若A B à且B A à，则p 是q 的既不充分也不必要条件④利用“⇒”传递性4.“否命题”与“命题的否定”的区别：否命题是对原命题“若p 则q ”的条件p 和结论都否定，即“若p ⌝则q ⌝”；而原命题的否定是：“若p 则q ⌝”，即只是否定原命题的结论。