新课标人教A版名师对话数学文一轮复习作业6.1不等关系与不等式(含答案详析)

第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．知识点一实的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个的符号)．[自测练习]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.答案：B知识点二不等式性质易误提醒1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c . 2．在乘法法则中，要特别注意“乘c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[自测练习]2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.答案：D3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C.答案：C4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________． 解析：⎭⎪⎬⎪⎫－1<b <0⇒0<b 2<1a <0⇒a <ab 2<0， 又ab >0，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a考点一 利用不等式(组)表示不等关系|1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0， 5－x ＋ 12－x >13－x ，5－x 2＋ 12－x 2< 13－x 2.2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点： 关键点：准确将题目中的文字语言转为学符号语言．注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．考点二 不等式性质及应用|1．(2016·大庆质检)若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A.1a －b >1a B.1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a 不成立，选A. 答案：A2．(2016·武汉调研)若实a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．a ≥b解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14，∴14<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b2，即b －a >0，故选A. 答案：A3．设a ，b 是实，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一：因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab>0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函，在(－1,1)上为减函，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推判定失误．2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．考点三 比较大小|(1)若实a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－ a 2＋a ＋11－a，∵a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0，∴当1－a >0，即a <1时，－ a 2＋a ＋1 1－a <0，则有a ＋2<31－a .当1－a <0即a >1时，－ a 2＋a ＋1 1－a >0，则有a ＋2>31－a .综上知，当a <1时，a ＋2<31－a，当a >1时，a ＋2>31－a.(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b， 当a >b >0时，ab>1，a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ； 当b >a >0时，0<a b<1，a －b <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ； 当a ＝b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推都要有充分的依据．(2)用作商法比较代式的大小一般适用于分式、指式、对式，作商只是思路，关键是简变形，从而使结果能够与1比较大小．已知实a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ，∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝a －b ，f 1 ＝a ＋b得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1 ＋f 1 ]，b ＝12[f 1 －f －1 ].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．A 组 考点能力演练1．已知1a <1b<0，则下列结论错误的是( ) A ．a 2<b 2B.b a ＋a b >2 C ．ab >b 2 D ．lg a 2<lg ab解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －b ab>0，∴a －b >0， ∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab <b 2，故选C.答案：C2．已知实a ，b ∈(0,1)，且满足cos πa <cos πb ，则下列关系式成立的是( )A ．ln a <ln bB ．sin a <sin b C.1a <1bD ．a 3<b 3 解析：因为a ，b ∈(0,1)，则πa ，πb ∈(0，π)，而函y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，又cos πa <cos πb ，所以πa >πb ，即a >b ，由函y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x，y ＝x 3的单调性知C 正确． 答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )A ．若a >b ，则|a |>|b |B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 2<b ，又b 2>0，所以a <1b ，同由a <1b可得b <1a，故选C. 答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<b c 2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；C 项，∵a c 2<b c 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误；故选C.答案：C6．若m <n ，p <q ，且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 的大小顺序是________．解析：把p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n ，即得m <p <q <n . 答案：m <p <q <n7．(2015·安庆二模)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b＋y ，③ax >by ，④a y >b x这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：②8．如果0<a <b <c <d <e ，S ＝a b ＋c d ＋1e，则把变量________的值增加1会使S 的值增加最大(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)．解析：显然变量a 或c 的值增加1会使S 的值增加，∵0<a <b <c <d <e ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋c d ＋1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1d ＋1e ＝1b －1d ＝d －b bd >0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>eb －d 2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1 a －c 2<1 b －d 2. 又∵e <0，∴e a －c 2>eb －d 2. 10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组 高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．2．(2012·高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确．当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函，又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指函的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c 解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。

第一节 不等关系与不等式时间：45分钟 分值：100分基 础 必 做一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析 当c ＝0时，选项A 不成立；当a >0，b <0时，选项B 不成立；当a ＝1，b ＝－5时，选项C 不成立；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3b 24>0，故选D. 答案 D2．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析 ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，选C.答案 C3．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0解析 当b ≥0时，a ＋b <0，当b <0时，a －b <0， ∴a <b <0，∴a ＋b <0，故选D. 答案 D4．(2014·重庆七校联考)已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析 ∵－1<b <0，∴b <b 2<1.又∵a <0，∴ab >ab 2>a . 答案 D5．设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 由1<e 2<10，知0<lge<12，∴a >b ，a >c ，又c －b ＝lg e －(lge)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－lge ·lge>0，∴a >c >b .答案 B6．(2015·上海松江期末)已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( ) A ．log 2a >0B ．2a －b<12C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．2a b ＋b a <12解析 若0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；若a －b <0，此时2a －b<1，B 错误；由a b ＋ba >2a b ·b a＝2,2a b ＋b a >22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，即ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2.故选C.答案 C 二、填空题7．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3. 答案 (－3,3)8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析 ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解．综上可得b <－1. 答案 (－∞，－1)9．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＜1，则4a 5－3a 3与a 1的大小关系是__________．解析 4a 5－3a 3－a 1＝4a 1q 4－3a 1q 2－a 1 ＝a 1(4q 4－3q 2－1) ＝a 1(q 2－1)(4q 2＋1)．∵0＜q ＜1，∴q 2＜1，即q 2－1＜0.又a 1＞0,4q 2＋1＞0，∴4a 5－3a 3－a 1＜0，即4a 5－3a 3＜a 1.答案 4a 5－3a 3＜a 1 三、解答题10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c2>e b －d2.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c2<1b －d2.又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围． 解 设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ， lg x y＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ， 设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y.∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg x y≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10.培 优 演 练1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>abB ．ac >bcC ．a 2>b 2D ．a －b >1解析 对于选项A ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ，可得a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，即a 2－2ab ＋b 2>0，(a －b )2>0，故⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab 不能推出a >b 成立，故A 不符合题意；对于选项B ，由ac >bc ，可得(a －b )c >0，当c >0时，a >b 成立，当c ≤0时，a >b 不成立，故B 不符合题意；对于选项C ，由a 2>b 2，可得(a ＋b )(a －b )>0，不能推得a >b 成立，故C 不符合题意；对于选项D ，由a －b >1，可得a －b >1>0，即a >b ，由a >b 不能推得a >b ＋1，即a －b >1成立，故a －b >1是a >b 成立的充分不必要条件，故D 符合题意．答案 D2．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2解析 由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab ≥4知，正数a ，b 中至少有一个大于等于2.由c ＋d ≤4知，c ，d 中至少有一个小于等于2，故选C.答案 C3．给出下列条件：①1<a <b ；②0<a <b <1；③0<a <1<b .其中，能推出log b 1b <log a 1b<log a b成立的条件的序号是________．解析 若1<a <b ，则1b <1a <1<b ，∴log a 1b <log a 1a ＝－1＝log b 1b，故条件①不成立；若0<a <b <1，则b <1<1b <1a，∴log a b >log a 1b >log a 1a ＝－1＝log b 1b，故条件②成立；若0<a <1<b ，则0<1b <1，∴log a 1b>0，log a b <0，故条件③不成立．答案 ②4．(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1<a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.所以[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式，得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy ≤1x＋1y＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．。

2.1.1 不等关系与不等式【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1.若x≠−2且y≠1，则M=x 2+y 2+4x−2y的值与−5的大小关系是()A. M>−5B. M<−5C. M≥−5D. M≤−52.不等式a 2+1≥2a中等号成立的条件是()A. a=±1B. a=1C. a=−1D. a=03.a，b∈R，则a 2+b 2与2|ab|的大小关系是()A. a 2+b 2≥2|ab|B. a 2+b 2=2|ab|C. a 2+b 2≤2|ab|D. a 2+b 2>2|ab|4.一座大桥的桥头竖立着“限载600kg”的警示牌(如图)，指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T(kg)满足的关系为()A. T<600B. T>600C. T≤600D. T≥6005.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列不等的关系不正确的是()A. a+b>cB. a<b+cC. c−b<aD. (a+b−c)(b+c−a)<06.已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且点A在原点右侧，点B在原点左侧，则下列不等式成立的是()A. a−b≤0B. a+b<0C. |a|>|b|D. a>b7.若M=(a+7)(a+5)，N=(a+6)2，a∈R，则M与N的大小关系是()A. M≥NB. M>NC. M<ND. M≤N8.已知a>2，b>2，则有()A. ab≥a+bB. ab≤a+bC. ab>a+bD. ab<a+b9.如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项不恒成立的是A. ab>acB. cb2<ab2C. c(b−a)>0D. ac(a−c)<010.下列结论正确的个数为()①两个实数a，b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种；②若ab>1，则a>b；③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变；④一个非零实数越大，则其倒数就越小；⑤a>b>0,c>d>0⇒ad >bc；⑥若ab>0，则a>b⇔1a <1b．A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题11.已知a>0，b>0，则下列说法不正确的有()A. 1a−b >1aB. 若a+b≥2，则ab≥1C. 若a+b≥2，则ab≤1D. a3+b3≥a2b+ab212.给出下列四个条件：①−xk2<−yk2；②a+x>a+y；③|x|>|y|；④1x <1y<0.其中能成为x>y的充分不必要条件的是()A. ①B. ②C. ③D. ④13.对于实数a，b，c，下列命题中正确的是()A. 若a>b则ac<bc；B. 若a<b<0，则a2>ab>b2；C. 若c>a>b>0，则ac−a >bc−b；D. 若a>b，1a >1b，则a>0，b<0．三、填空题14.设n>1，n∈N，A=√n−√n−1，B=√n+1−√n，则A与B的大小关系为_______．15.设A=5a2−a+1，B=4a2+a−1，则A________B.(填“>”“<”或“=”)16.若1≤a≤5，−1≤b≤2，则a−b的取值范围为____．17.已知x<1，y>1，则xy+1________x+y.(填“>”“<”或“=”)18.一辆汽车原来每天行驶xkm，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写成不等式为(1);如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程现在花9天多的时间，用不等式表示为(2)．19.若不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为，实数a的取值范围为．四、解答题20.已知a，b均为正实数，试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小．21.设x，y，z∈R，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z−2的大小．22.(1)有两杯质量不一样的糖水，第一杯、第二杯糖水中糖的质量与糖水质量的比分别为b1a1，b2a2，而且b1a1=b2a2，即两杯糖水一样甜．把这两杯糖水都倒入一个更大的容器中，混合之后的糖水和原来的糖水一样甜吗？你能用等式的知识解释吗？(2)现有四杯糖水，第一杯、第二杯、第三杯、第四杯糖水中糖的质量与糖水质量的比分别为b1a1，d1c1，b2 a2，d2c2，而且b1a1>d1c1，b2a2>d2c2，即第一杯糖水比第二杯甜，第三杯糖水比第四杯甜．现将第一、三杯糖水都倒入甲杯，第二、四杯糖水都倒入乙杯，那么甲杯中的糖水甜还是乙杯中的糖水甜？你能用不等式的知识解释吗？23.若a>b>0,c<d<0,|b|>|c|，(Ⅰ)求证：b+c>0；(Ⅱ)求证：b+c(a−c)2<a+d(b−d)2；答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查比较大小，属于基础题．利用作差法即可求出结果．【解答】解：因为M=x2+y2+4x−2y，所以M−(−5)=x2+y2+4x−2y+5=(x+2)2+(y−1)2，∵x≠−2，y≠1，∴(x+2)2>0，(y−1)2>0，∴(x+2)2+(y−1)2>0，故M>−5．故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查比较大小，属于基础题．根据a2+1≥2a等价于a2+1−2a≥0，即(a−1)2⩾0，即可求出结果．【解答】解：因为a2+1≥2a等价于a2+1−2a≥0，即(a−1)2⩾0，所以当a=1时，等号成立．故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查比较大小，属于基础题．利用作差法比较即可．【解答】解：因为a2+b2−2|ab|=|a|2+|b|2−2|ab|=(|a|−|b|)2⩾0，所以a2+b2≥2|ab|．故选A．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了用不等式表示不等关系，属于基础题．根据题意可直接写出答案．【解答】解：根据题意可得“限载600kg”是指不超过600kg，即T⩽600．故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式性质，属于基础题．利用平面几何知识，结合不等式性质，逐项判断得结论．【解答】解：因为a，b，c是△ABC的三边长，所以由三角形任意两边之和大于第三边得：a+b>c，b+c>a，而在a+b>c两边同时加上−b得a>c−b，因此A、B、C都是正确的．又因为a+b>c，b+c>a，所以a+b−c>0，b+c−a>0，所以(a+b−c)(b+c−a)>0，因此D不正确．故选D．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查数轴上的点的坐标，比较大小，属于基础题．依题意，确定a，b的正负即可解题．【解答】解：依题意，a>0，b<0，∴a−b>0，a>b．故选D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了作差法比较大小，属于基础题．化简M−N，令差与0比较即可．【解答】解：M−N=(a+7)(a+5)−(a+6)2=a2+12a+35−a2−12a−36=−1<0，故M<N，故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查不等式的性质及比较大小，属于基础题．依题意可得1a <12,1b<12，运用不等式的性质可得a+bab=1a+1b<1．【解答】解：∵a>2，b>2，∴1a <12,1b<12，∴a+bab =1a+1b<1，∴ab>a+b．故选C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式性质，不等关系的判断，属于基础题．由ac<0，得到a,c异号，再由c<b<a，得到a>0,c<0，再依据不等式性质判断即可．【解答】解：∵ac<0，∴a,c异号，∵c<b<a，∴a>0,c<0，A.∵b>c,a>0，∴ab>ac，∴原不等式一定成立，此选项错误；B.∵c<a,b2≥0，∴cb2≤ab2，当b≠0时，原不等式成立，当b=0时，原不等式不成立，此选项正确；C.∵b<a，∴b−a<0，∵c<0，∴c(b−a)>0，∴原不等式一定不成立，此选项错误；D.∵c<b<a，且ac<0，∴a−c>0，∴ac(a−c)<0，∴原不等式成立，此选项错误．故选B．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查不等式和不等式的性质，属于中档题．利用不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：两个实数a，b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种，①正确；ab>1，若a<0，b<0时，a<b，②错误；一个不等式的两边同乘以一个负数，不等号方向改变，③错误；2>−1，12>1−1，故④错误；a>b>0,c>d>0，则ac>bd，ad −bc=ac−bdcd>0，所以ad>bc，⑤正确；ab>0，a>b两边同时除以ab得1b >1a，⑥正确；综上可知①⑤⑥正确，故选B．11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了不等式性质，灵活运用不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．由题意和不等式的性质，逐个选项验证即可．【解答】解：对于A，若a>0，b>0，且a<b，则a−b<0，则1a−b <1a，故选项A说法不正确；对于B，若a=1.9,b=0.1,则满足a+b≥2，而ab=0.19，不满足ab≥1，故选项B说法不正确；对于C，若a=3,b=2，满足a+b⩾2，，而ab=6不满足ab≤1，故选项C说法不正确；对于D，已知a>0，b>0，则(a3+b3)−(a2b+ab2)=a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a)=(a −b )(a 2−b 2)=(a +b )(a −b )2⩾0，当a =b 时，等号成立，故选项D 成立． 故选ABC ．12.【答案】AD【解析】【分析】本题主要考查了充分条件、必要条件、充要条件的判定，涉及不等式的性质，属于基础题． 根据不等式的性质结合充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个判定解答．【解答】解：对于A 选项，当−xk 2<−yk 2，∴k 2>0，∴−x <−y ，x >y ，但当x >y 时，不能得出−xk 2<−yk 2，故①是x >y 的充分不必要条件，故A 正确； 对于B 选项，a +x >a +y ⇔x >y ，故②是x >y 的充要条件，故B 错误；对于C 选项，由|x |>|y |不能得出x >y ，由x >y 不能得出|x |>|y |，故③是x >y 既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D 选项，当1x <1y <0时，xy >0，∴y <x <0，但当x >y 时，不能得出1x <1y <0，故④是x >y 的充分不必要条件，故D 正确； 故选AD ． 13.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法，属于中档题．选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．【解答】解：A.c =0时不成立；B .若a <b <0，则a 2−ab =a(a −b)>0，a 2>ab ；ab −b 2=b(a −b)>0，ab >b 2，∴a 2>ab >b 2 ，故B 正确；C .若c >a >b >0，则a c−a −b c−b =ac−ab−bc+ab (c−a )(c−b )=c (a−b )(c−a )(c−b )>0，故C 正确；D.若a >b ，1a >1b ，则1a −1b =b−a ab >0，所以a >0，b <0，故D 正确．故选BCD ．14.【答案】A >B【解析】【分析】本题考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题．根据A =√n −√n −1=√n+√n−1，B =√n +1−√n =√n+1+√n ，且√n +1+√n >√n +√n −1>0，即可得出结果． 【解答】解：因为A =√n −√n −1=√n+√n−1，B =√n +1−√n =√n+1+√n ，又因为√n +1>√n,√n >√n −1，n >1，所以√n +1+√n >√n +√n −1>0， 所以√n+1+√n <√n+√n−1，所以A >B ．故答案为A >B ． 15.【答案】>【解析】【分析】本题主要考查了不等式的大小比较，属于基础题．作差A −B =a 2−2a +2=(a −1)2+1>0，从而作答即可．【解答】解：∵A −B =a 2−2a +2=(a −1)2+1>0，∴A>B．故答案为：>16.【答案】[−1,6]【解析】【分析】本题考查利用不等式性质求取值范围，属于基础题．由不等式性质可得−2≤−b≤1，结合1≤a≤5，得出a−b的取值范围．【解答】解：∵−1≤b≤2，∴−2≤−b≤1，又1≤a≤5，∴−1≤a−b≤6，即a−b的取值范围为[−1,6]．17.【答案】<【解析】【分析】本题主要考查的是利用不等式的性质比较大小，属于基础题．直接利用作差比较大小即可．【解答】解：因为x<1，y>1，所以xy+1−(x+y)=(x−1)(y−1)<0，得xy+1<x+y，故答案为<．18.【答案】8(x+19)>22008x>9(x−12)【解析】【分析】本题主要考查了不等式的概念和不等关系，属于基础题．根据题目中有关不等关系的词语“多”“少”“超过”等，结合实际意义直接列不等式即可．【解答】解： ①原来每天行驶xkm，现在每天行驶(x+19)km，则不等关系“在8天内它的行程超过2200km”，写成不等式为8(x+19)>2200． ②若每天行驶(x−12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x>9(x−12)．故答案为：8(x+19)>2200；8x>9(x−12)．19.【答案】30<a⩽3 4【解析】【分析】本题考查含参数的一元二次不等式解法，不等式的性质，属于拔高题．先求解不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)的解集为{x|a+1−√a2+1<x<a+1+√a2+1}，再利用不等式的性质判断左右端点的取值范围即可求解．【解答】解：方程x2−(2a+2)x+2a=0(a>0)的解为x=a+1±√a2+1，则不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)的解集为{x|a+1−√a2+1<x<a+1+√a2+1}，因为a>0，所以0<√a2+2a+1−√a2+1=a+1−√a2+1<a+1−√a2=1，a+1+√a2+1>a+1+1>2，若不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)有且只有两个整数解，则这两个整数解应为1和2，故两个整数解之和为3．且a+1+√a2+1⩽3，得√a2+1⩽2−a，因为a>0，所以解得0<a⩽34．故答案为3;0<a⩽34．20.【答案】解：因为a3+b3−(a2b+ab2)=(a3−a2b)+(b3−ab2)=a2(a−b)+b2(b−a)=(a−b)(a2−b2)=(a−b)2(a+b)．当a=b时，a−b=0，a3+b3=a2b+ab2；当a≠b时，(a−b)2>0，a+b>0，a3+b3>a2b+ab2．综上所述，a3+b3≥a2b+ab2【解析】本题考查利用作差法比较大小，考查不等式性质应用，属基础题．依题意，利用作差法，a3+b3−(a2b+ab2)=(a−b)2(a+b)，结合不等式性质即可比较大小．21.【答案】解：因为5x2+y2+z2−(2xy+4x+2x−2)=4x2−4x+1+x2−2xy+y2+z2−2z+1= (2x−1)2+(x−y)2+(z−1)2≥0，所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z−2，当且仅当x=y=12且z=1时，等号成立．【解析】本题主要考查比较大小，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．根据题意利用作差法即可得到结果．22.【答案】解：(1)混合之后的糖水和原来的糖水一样甜，因为b1a1=b2a2=b1+b2a1+a2，即等比定理．(2)无法判断甲杯中的糖水甜还是乙杯中的糖水甜，因为由b1a1>d1c1，b2a2>d2c2无法判断b1+b2a1+a2与d1+d2c1+c2的大小关系．【解析】本题主要考查了比较大小，不等式的性质．(1)利用等比定理求解；(2)利用不等式的性质进行解释．23.【答案】证明：(Ⅰ)因为|b|>|c|，且b>0,c<0，所以b>−c，所以b+c>0.(Ⅱ)因为c<d<0，所以−c>−d>0．又因为a>b>0，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a−c>b−d>0．所以(a−c)2>(b−d)2>0．所以0<1(a−c)2<1(b−d)2.(i)因为a>b,d>c，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a+d>b+c．又由(Ⅰ)b+c>0，所以a+d>b+c>0.(ii)由不等式的相乘性可将以上两不等式(i)(ii)相乘得b+c(a−c)2<a+d(b−d)2.【解析】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．(Ⅰ)由条件及不等式的性质得出b>−c，移项即可求解；(Ⅱ)因为c<d<0，所以−c>−d>0，又a>b>0，先得出0<1(a−c)2<1(b−d)2；再得出a+d>b+c>0，由不等式的相乘性即可证明．。

第六篇 第1节1．(2014泰安模拟)如果a >b ，则下列各式正确的是( )A ．a ·lg x >b ·lg xB ．ax 2>bx 2C ．a 2>b 2D ．a ·2x >b ·2x解析：∵a >b,2x >0，∴a ·2x >b ·2x .故选D.答案：D2．(2014华中师大一附中5月模拟)若a 、b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若0<ab <1，当a <0时，b >1a ，反之，若b <1a ，当a <0时，ab >1.故选D.答案：D3．(2014潍坊模拟)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．(－3π2，3π2 )B ．(－3π2，0)C ．(0，3π2 )D ．(－π2，0)解析：∵－π2<α<β<π，∴－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，又α－β<0，∴－3π2<α－β<0.故选B.答案：B4．(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：∵1＜log 23＜log 25＜log 27，∴1log 23＞1log 25＞1log 27＞0， 即log 32＞log 52＞log 72，a ＝log 3(3×2)＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，∴a ＞b ＞c .故选D.答案：D5．(2014南平模拟)如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：由条件知a >0，c <0，则选项A 、B 、D 一定正确，当b ＝0时，选项C 不正确．故选C.答案：C6．(2014浙江龙泉市模拟)如果a <b <0，那么，下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB ．a 2<b 2 C.1a －b >1a D.1a 2<1b 2 解析：法一 由a <b <0，所以1ab >0，a <b 两边同乘以1ab 得：1b <1a，故选项A 错；由a <b <0，得－a >－b >0，两边平方得：a 2>b 2，故选项B 错；由a <b <0，得a －b <0，所以a (a －b )>0，若1a －b >1a 成立，则a (a －b )a －b >a (a －b )a 成立，即a >a －b 成立，也就是b >0成立，与已知矛盾，故选项C 错；由a <b <0得1b <1a <0，所以－1b >－1a>0， 则1a 2＝(－1a )2<(－1b )2＝1b 2，故选项D 正确． 法二 ∵a <b <0，故可取a ＝－3，b ＝－2，∴1a ＝－13>－12＝1b ，故选项A 错；a 2＝9，b 2＝4，∴a 2>b 2，故选项B 错；a －b ＝－1，∴1a －b＝－1<－13＝1a ，故选项C 错；1a 2＝19，1b 2＝14，∴1a 2<1b 2，故选项D 正确．故选D. 答案：D二、填空题7．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________________________． 解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎨⎧ b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)9．(2014南昌一模)现给出三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2a －b －32；③7＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个．解析：①∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，故①不恒成立；②∵a 2＋b 2－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0，∴a 2＋b 2>2a －b －32恒成立． ③∵(7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242， 又∵70>42，∴17＋270>17＋242， ∴7＋10>3＋14，成立．答案：210．(2014南京一模)给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④设a ，b 是互不相等的正数，则|a －b |＋1a －b≥2. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a >b >0，则b －a ab <0，①是假命题；②a >b >0，则1a <1b，进而可得－1a >－1b ，所以可得a －1a >b －1b ，②是真命题；③2a ＋b a ＋2b －a b ＝b (2a ＋b )－a (a ＋2b )(a ＋2b )b＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b －a )(b ＋a )(a ＋2b )b<0，③是假命题；④当a －b <0时不成立，④是假命题． 答案：②三、解答题11．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7枝，练习本至少买6本．写出满足条件的不等式．解：设铅笔买x 枝，练习本买y 本(x ，y ∈N *)，总钱数为0．6x ＋0.7y ，且不大于10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0.6x ＋0.7y ≤10，x ≥7，x ∈N *，y ≥6，y ∈N *.12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

高考数学一轮复习第六篇不等式第1节不等关系与不等式课时作业文含解析新人教A 版课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件A 解析：a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.2．如果a >b ，则下列各式正确的是( ) (A)a ·lg x >b ·lg x (x >0) (B)ax 2>bx 2(C)a 2>b 2(D)a ·2x >b ·2xD 解析：两边相乘的数lg x 不一定恒为正，选项A 错误；不等式两边都乘以x 2，它可能为0，选项B 错误；若a ＝－1，b ＝－2，不等式a 2>b 2不成立，选项C 错误．选项D 正确．3．(2018上海十三校联考)已知1a ＜1b＜0，给出下面四个不等式：①|a |＞|b |；②a ＜b ；③a ＋b ＜ab ；④a 3＞b 3.其中不正确的不等式的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，①不正确；a ＞b ，②不正确；a ＋b＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab 成立，③正确；a 3＞b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.故选C.4．已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) (A)M ＜N (B)M ＞N (C)M ＝N (D)不确定答案：B5．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) (A)1a ＞1b(B)1a －b ＞1a(C)|a |＞－b (D)－a ＞－b答案：B6．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) (A )①④ (B)②③ (C )①③ (D)②④答案：C7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )(A )① (B)①② (C )②③ (D)①②③ 答案：D8．(2017北京东城区统测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p ＞q ＞0.则提价多的方案是________．解析：设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥(（1＋p %）（1＋q %）)2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p ＞q ＞0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．答案：乙9．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N ＋，n ＞2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ＜12n ＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1＞12n＝φ(n )，∴f (n )＜φ(n )＜g (n )．答案：f (n )＜φ(n )＜g (n )10．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为____________． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132.答案：(－92，132)能力提升练(时间：15分钟)11．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，a ＋c ＜b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )(A)d ＞b ＞a ＞c (B)b ＞c ＞d ＞a (C)d ＞b ＞c ＞a(D)c ＞a ＞d ＞bA 解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，∴2a ＞2c ，即a ＞c .因此b ＜d .∵a ＋c ＜b ，∴a ＜b ，综上可得，c ＜a ＜b ＜d .12．若不等式(－1)na ＜2＋（－1）n ＋1n对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是( )(A)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (B)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32(C)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32 (D)⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 A 解析：当n 取奇数时，－a ＜2＋1n ，因为n ≥1，故2＜2＋1n≤3，所以－a ≤2，所以a ≥－2；当n 取偶数时，a ＜2－1n ，因为n ≥2，所以32≤2－1n ＜2，所以a ＜32，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32，故选A.13．若a ，b ，c ，d 均为正实数，且a ＞b ，那么四个数b a ，a b ，b ＋c a ＋c ，a ＋db ＋d由小到大的顺序是________．解析：∵a ＞b ＞0，∴a b ＞1，a ＋d b ＋d ＞1，b a ＜1，b ＋c a ＋c ＜1，则a b －a ＋d b ＋d ＝d （a －b ）b （b ＋d ）＞0， 即a b ＞a ＋c b ＋c ，b a －b ＋c a ＋c ＝c （b －a ）a （a ＋d ）＜0，即b a ＜b ＋c a ＋c ，所以由小到大的顺序是b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋db ＋d＜a b答案：b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜ab14．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000vv 2＋18v ＋20l.①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加______辆/时． 解析：①当l ＝6.05时，F ＝76000vv 2＋18v ＋121＝76000v ＋121v＋18≤760002v ·121v＋18＝7600022＋18＝1900.当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时． ②当l ＝5时，F ＝76000vv 2＋18v ＋100＝76000v ＋100v＋18≤760002v ·100v＋18＝7600020＋18＝2000. 当且仅当v ＝10米/秒时，车流量最大为2000辆/时比①中最大车流量增加100辆/时． 15．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设原来的窗户面积与地板面积分别为a 、b ，且ab≥10%，窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有的窗户面积与地板面积分别为a ＋c ，b ＋c . 于是原来窗户面积与地板面积之比为a b， 面积均增加c 以后，窗户面积与地板面积之比为a ＋cb ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝c （b －a ）（b ＋c ）b. 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，又由题设条件可知a ＜b ， 故有a b ＜a ＋cb ＋c 成立，即a ＋c b ＋c ＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

第六章不等式及不等式选讲第一节不等关系与不等式[考情展望] 1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较.2.考查与不等式相关的充分必要条件的判断.3.考查和函数、数列等知识的综合应用．一、实数的大小顺序与运算性质的关系a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0.二、不等式的性质1．对称性：a>b⇔b<a；(双向性)2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)5．乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；(单向性)6．开方法则：a>b>0n∈N，n≥2)；(单向性)7．倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔1a＞1b.(双向性)真、假分数的性质若a＞b＞0，m＞0，则(1)真分数的性质：b a＜b＋ma＋m，ba＞b－ma－m(b－m＞0)(2)假分数的性质：a b＞a＋mb＋m，ab＜a－mb－m(b－m＞0)1．对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＞bD/⇒ac2＞bc2，如c＝0时，ac2＝bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b，∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件．【答案】 B2．在城区限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()A．v＜40 km/h B．v＞40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h【答案】 D3．已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()A．a4＞b4 B.1a＜1bC．|a|＞|b| D．2a＞2b【解析】当a＝1，b＝－2时，A、B、C均不正确，由y＝2x的单调性知，D正确．【答案】 D4.12－1与3＋1的大小关系为________．【解析】12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1.【答案】12－1＜3＋15．(2012·湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②ac<b c；③logb(a－c)>log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【解析】∵a>b>1，∴1a< 1 b.又c<0，∴ca>cb，故①正确．当c＜0时，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，又a>b>1，∴a c<b c，故②正确．∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.∵a>b>1，∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，即log b(a－c)>log a(b－c)，故③正确．【答案】 D6．(2013·天津高考)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由不等式的性质知(a －b )·a 2＜0成立，则a ＜b 成立；而当a ＝0，a ＜b 成立时，(a －b )·a 2＜0不成立，所以(a －b )·a 2＜0是a ＜b 的充分而不必要条件．【答案】A考向一 [099] 应用不等式表示不等关系(1)某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式为________．(2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．【思路点拨】 (1)“不低于300元”的含义为“大于等于300元”． (2)“至少”及“不超过”的含义分别为“大于等于”和“小于等于”． 【尝试解答】 (1)设最低生活保障金为x 元，则x ≥300. 【答案】 x ≥300(2)设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.规律方法1 1.本例(2)在求解时，常因忽略变量x ，y ∈N *致误.2.求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义.考向二 [100] 不等式的性质及应用(1)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的命题为________．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． 【思路点拨】 (1)利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假． (2)把f (－2)表示成mf (－1)＋nf (1)的形式是解题的关键．用待定系数法或者以a 、b 为桥梁，利用方程思想解题．【尝试解答】 (1)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0， ∴ad ＜0，bc ＞0，则ad ＜bc ，(1)错误． 由a ＞0＞b ＞－a ，知a ＞－b ＞0， 又－c ＞－d ＞0，因此a ·(－c )＞(－b )·(－d )，即ac ＋bd ＜0， ∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故(2)正确． 显然a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确． 【答案】 ②③④(2)法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二 因为⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴a ＝f (－1)＋f (1)2，b ＝f (1)－f (－1)2.∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 故5≤f (－2)≤10.规律方法2 1.解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误.2.由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围.对点训练 (1)设b ＜a ，d ＜c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c ＜b －d B ．ac ＜bd C ．a ＋c ＞b ＋dD ．a ＋d ＞b ＋c(2)若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．【解析】 (1)由不等式的同向可加性可知C 正确． 【答案】 C(2)设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.考向三 [101] 比较大小(1)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2xx －1，试比较f (a )与f (b )的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)的大小．【思路点拨】 (1)计算出f (a )与f (b )，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．【尝试解答】 (1)法一 ∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2b b －1，∴f (a )－f (b )＝m 2aa －1－m 2bb －1＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－b b －1 ＝m 2·a (b －1)－b (a －1)(a －1)(b －1)＝m 2·b －a (a －1)(b －1)，当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1， ∴f (a )＜f (b )，即f (a )≤f (b )． 法二 ∵f (x )＝m 2xx －1＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， ∴f (a )＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1，f (b )＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b －1， 由于a ＞b ＞1，∴a －1＞b －1＞0，∴1＋1a －1＜1＋1b －1，当m ＝0时，m 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a －1＝m 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b －1， 即f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a －1＜m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b －1， 即f (a )＜f (b )， ∴f (a )≤f (b )．(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法， a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， 当a ＞b ＞0时，ab ＞1，a －b ＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ， 当b ＞a ＞0时，0＜ab ＜1，a －b ＜0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ， 当a ＝b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．规律方法3 1.第(1)中，若注意到m 2≥0，亦可构造函数φ(x )＝x x －1(x ＞1)，判断出φ(x )是减函数，f (a )≤f (b )．2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等．(2)“作商比较法”的依据是“ab ＞1，b ＞0⇒a ＞b ”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法．对点训练 若a ＞b ＞0，试比较a a ＋b b 与a b ＋b a 的大小．【解】 (a a ＋b b )－(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a－b )＝(a －b )2(a ＋b )，∵a ＋b ＞0，(a －b )2＞0， ∴(a a ＋b b )－(a b ＋b a )＞0， ∴a a ＋b b ＞a b ＋b a .易错易误之十一 不等式变形中盲目扩大范围———— [1个示范例] ———— [1个防错练] —————(2012·陕西高考改编)设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N *，b ，c ∈R)．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最大值和最小值． 【解】 (1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0， ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有零点，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＝n ·x n －1＋1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点．(2)法一 由n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.本例(2)在求解中常犯以下错误：, ∵n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.因此－1≤b ≤1，且－2≤c ≤0.,∴－7≤b ＋3c ≤1，,故b ＋3c 的最大值为1，最小值为－7.出错原因为：(1)忽视字母b 、c 相互制约的条件，片面将b ，c 分割开来导致字母范围发生变化.(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误.作上述不等式组表示的可行域，如图所示． 令t ＝b ＋3c ，则c ＝t 3－b 3.平移b ＋3c ＝0，知直线过原点O 时截距最大，过点A 时截距最小， ∴t ＝b ＋3c 的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6. 法二 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－b ＋c ，f (1)＝1＋b ＋c ，解得b ＝f (1)－f (－1)2，c ＝f (1)＋f (－1)－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，∴－6≤b ＋3c ≤0.当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0，∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.【防范措施】 处理该类问题的方式常有两种：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围.(2)运用线性规划，根据t ＝b ＋3c 的几何意义，数形结合求t 的最值.已知函数f (x )＝ax 2－c ，且f (1)∈[－4，－1]，f (2)∈[－1,5]，求f (3)的取值范围．【解】 法一 (以a 、c 为桥梁，方程组思想)∵f (x )＝ax 2－c .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －cf (2)＝4a －c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13[f (2)－f (1)]－c ＝43f (1)－13f (2)⇒f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋89f (2)． ⎭⎪⎬⎪⎫－4≤f (1)≤－1⇒53≤－53f (1)≤203－1≤f (2)≤5⇒－83≤83f (2)≤403⇒－1≤f (3)≤20. ∴f (3)的取值范围为[－1,20]．法二 (待定系数法)设f (3)＝λf (1)＋μf (2)，∴9a －c ＝λ(a －c )＋μ(4a －c )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9＝λ＋4μ－1＝－λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－53μ＝83.∴f (3)＝－53f (1)＋83f (2)．下同法一，略．。

[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．若ab <0，则有( ) A.b a ＋ab ≤－2 B.b a ＋ab >－2 C.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥1D.b a ＋ab≤－1 解析：由题可知，⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2，且b a <0，ab <0，故选A. 答案：A2．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：由x ＋y ＋z ＝0知x 、y 、z 中至少有一个小于零有一个大于零，又x >y >z ，所以z <0，x >0，结合选项可知选C.答案：C3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b 成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：1a <1b 成立，即b －a ab <0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．答案：C4．设a ，b 为正实数，则“a <b ”是“a －1a <b －1b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵a >0，b >0，a <b ， ∴1a >1b ，由不等式的性质a －1a <b －1b . ∴由a <b 可得出a －1a <b －1b.当a －1a <b －1b时，可得(a －b )－⎝⎛⎭⎫1a －1b <0，即(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab <0.又∵a >0，b >0，∴a －b <0. ∴a <b .故由a －1a <b －1b可得出a <b .∴“a <b ”是“a －1a <b －1b ”成立的充要条件．答案：C5．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定解析：∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0，1－ab >0.∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0.答案：A6．(2014年朔州模拟)已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a 解析：由－1<b <0，可得b <b 2<1，又a <0， ∴ab >ab 2>a . 答案：D 二、填空题7．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 1<b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2) >0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 18．已知x ，y ，z 均为正数，则x yz ＋y zx ＋z xy ________1x ＋1y ＋1z.(填>，<，≥，≤)解析：因为x ，y ，z 均为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z ，同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.答案：≥9．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．解析：图(1)所示广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，图(2)所示广告牌的面积为ab ，显然不等式表示为12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )．答案：12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )三、解答题10．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e(b －d )2. 证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2. 11．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)( x ＋y )的大小． 解析：解法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )， ∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0， ∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．解法二 ∵x <y <0，∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0. ∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0， ∴0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy<1，∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．12．(能力提升)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试说明f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．解析：由α＋β>0，得α>－β.∵f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)<f(－β)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－β)＝－f(β)，∴f(α)<－f(β)，∴f(α)＋f(β)<0，同理f(β)＋f(γ)<0，f(γ)＋f(α)<0，∴f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.。

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景． 3.掌握不等式的性质及应用．本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择题或填空题的形式出现：(1)依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立； (2)利用不等式的性质进行大小关系的比较． (3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用. [归纳·知识整合] 1．比较两个实数大小的法则 设a，b∈R，则 (1)a＞ba－b＞0； (2)a＝ba－b＝0； (3)a＜ba－b＜0. 2．不等式的基本性质 性质性质内容注意对称性a>bbb，b>ca>c?可加性a>ba＋c>b＋c可乘性ac>bcc的符号acb＋d同向同正可乘性ac>bd?可乘方性a>b>0an>bn(n∈N，n≥2)同正可开方性a>b>0>(n∈N，n≥2) [探究]　1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？ 提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立． 2．(1)a>bban>bn(n∈N，且n>1)对吗？ 提示：(1)不成立，当a，b同号时成立，异号时不成立． (2)不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)给出下列命题：a>b?ac2>bc2；a>|b|?a2>b2；a>b?a3>b3；|a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( ) A． B． C． D． 解析：选B　当c＝0时，不成立；当|a|＝1，b＝－2时，不成立． 2．如果aR，且a2＋aa>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2 解析：选B　a2＋ad，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( ) A．ad>bc B．ac>bd C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 解析：选D　由不等式的性质知，a>b，c>da＋c>b＋d. 4．(教材习题改编)已知a>b>0，c>d>0，则 与 的大小关系为________． 解析：c>d>0，>>0. 又a>b>0，>>0.∴ > . 答案： > 5．已知12<x<60,15<y<36，则x－y的取值范围是________． 解析：15<y<36， －36<－y<－15. 又12<x<60 ∴12－36<x－y<60－15， 即－24<x－y<≥≤ 1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式． 解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y， 则由题意可知 比较大小 [例2]　(1)已知a1，a2(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．MN C．M＝N D．不确定 (2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定 [自主解答]　(1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又a1∈(0,1)，a2(0,1)， a1－1<0，a2－10，即M－N>0. M>N. (2)设甲用时间为T，乙用时间为2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝， s＝ta＋tb2t＝. T－2t＝－＝s×＝>0，即乙先到教室． [答案]　(1)B　(2)B 若将本例(1)中“a1，a2(0,1)”改为“a1，a2(1，＋∞)”，试比较M与N的大小． 解：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 当a1，a2(1，＋∞)时，a1－1>0，a2－1>0. (a1－1)·(a2－1)>0. M－N>0，即M>N. ——————————————————— 比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤是：作差；变形；定号；结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． ?2?作商法一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论?注意所比较的两个数的符号?.?3?特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路. 2．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x2－x＋1与2x2＋x－1； (2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba. 解：(1)3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2 ＝(x－1)2＋1>0， 3x2－x＋1>2x2＋x－1. (2)＝aa－bbb－a＝aa－ba－b＝a－b. 当a>b，即a－b>0，>1时，a－b>1，aabb>abba. 当a<b，即a－b<0，1，aabb>abba. ∴当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba.不等式性质的简单应用 [例3]　(1)(2012·湖南高考)设a>b>1，c；acloga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是( ) A． B． C． D． (2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [自主解答]　(1) ?a·>b· ， 所以正确； ? ?acloga(b－c)， a－c>1logb(a－c)>loga(a－c)， 所以logb(a－c)>loga(b－c)．所以正确． (2)由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad， 得>，即－>0； 由ab>0，－>0，即>，得bc>ad， 即bc－ad>0； 由bc－ad>0，－>0， 即>0，得ab>0； 故可组成3个正确的命题． [答案]　(1)D　(2)D ——————————————————— 与不等式有关的命题的真假判断 在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等． 3．(2013·包头模拟)若a>0>b>－a，c<dbc；(2)＋b－d； (4)a(d－c)>b(d－c)中能成立的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　a>0>b，c<d<0，ad0， ad0>b>－a，a>－b>0. c<d－d>0. a(－c)>(－b)(－d)． ac＋bd<0.＋＝<0.(2)正确． c－d.a>b，a＋(－c)>b＋(－d)， 即a－c>b－d.(3)正确． a>b，d－c>0，a(d－c)>b(d－c)．(4)正确． 1个区别——不等式与不等关系的区别 不等关系强调的是关系，可用符号“>”，“b”，“ab，ab>0<； a<0<b?b>0,0<c； 0b>0，m>0，则 真分数的性质： (b－m>0)； 假分数的性质： >；0)． 3个注意点——应用不等式的性质应注意的问题 (1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b<cabac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>bac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． (3)“a>b>0an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论. 易误警示——解题时忽视不等式的隐含条件而致误 [典例]　(2013·盐城模拟)已知－1d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由a>b；而当a＝c＝2， b＝d＝1时，满足，但a－c>b－d不成立， 所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件． 2．(2013·朔州模拟)已知a<0，－1<bab>ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a 解析：选D　由－1<b<0，可得b<b2<1，又aab2>a. 3．设α，β∈，那么2α－的取值范围是( ) A. B. C．(0，π) D. 解析：选D　0<2α<π，0≤≤，－≤－≤0. －<2α－<π. 4．(2013·南平模拟)如果a，b，c满足c0 C．cb20，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确． 5．设a，b为正实数，则“a<b”是“a－0，b>0，a，由不等式的性质a－<b－. 由a<b可得出a－<b－. 当a－<b－时，可得(a－b)－<0， 即(a－b)0，b>0，a－b<0. a<b.故由a－<b－可得出a<b. “a<b”是“a－ab(a≠b)． 答案：(a2＋b2)>ab(a≠b) 8．若x>y>z>1，则，，，从大到小依次为________． 解析：因为x>y>z>1，所以有xy>xz，xz>yz，xyz>xy，于是有>>>. 答案：，，， 9．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若m0，a(a＋1)>0.又m<n，故a(m－n)(a＋1)<0. f(m)<f(n)． 答案：f(m)0， 当x>1时，(x－1)(x2＋1)>0，即x3>x2－x＋1； 当x＝1时，(x－1)(x2＋1)＝0，即x3＝x2－x＋1； 当x<1时，(x－1)(x2＋1)<0，即x3b>c，求证：＋＋>0. 证明：a>b>c，－c>－b. a－c>a－b>0.>>0. ∴＋>0.又b－c>0，>0. ∴＋＋>0. 12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围． 解：由题意，得 解得 所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)． 因为－4≤f(1)≤－1， 所以≤－f(1)≤. 因为－1≤f(2)≤5， 所以－≤f(2)≤. 两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]． 1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是( ) A．v40 km/h C．v≠40 km/h D．v40 km/h 解析：选D　速度v不超过40 km/h，即v≤40 km/h. 2．已知a，b，cR，则“a>b”是“ac2>bc2”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　a>b / ac2>bc2，因为当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2>bc2a>b. 3．若<<0，则下列结论不正确的是( ) A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b|a＋b| 解析：选D　<a>b. ∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.。

高效达标A 组 基础达标(时间： 30 分钟 满分： 50 分)若时间有限 ，建议选讲 3， 6，8 一、 选择题 (每题 5 分，共 20 分)(2013 绵·阳质检 )若 a>b ，则以下各式正确的选项是 (D) 22B. ac>bcA. a >b C. a ＋ c>b － c D. a － c>b －c可用特别值法 ，当 a ＝ 1， b ＝－ 2 时，A 错；当 c ＝ 0 时，B 错；当 a ＝ 2， b ＝ 1，c＝－ 2 时，C 错；依据不等式的性质知 D 正确．a b已知 ab ≠ 0，那么“ b >1”是“ a <1”的 (A)A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件a a － b>1 即>0， ∴ a>b>0bb或 b a<b<0，此时 a<1 建立；反之 b a<1， ∴a －b a>0，即a>b ，aa>0 或 a<0， a<b ，此时不可以得出 b >1.应选 A.若 a>b>0，则以下不等式不建立的是 (C)1 1A. <B. |a|>|b|a b1a1bC. a ＋ b<2 abD. 2 <21ab1 1ab1 ∵ a>b>0，∴ a <b ，且|a|>|b|，a ＋ b>2 ab ，又 2 >2 ＞ 0，∴ 2 <2 ，应选 C.(2013 ·东调研丹 )若 1<a<3， － 4<b<2，则 a － |b|的取值范围是 (C)A. ( －1， 3)B. (－ 3，6)C. (－ 3， 3)D. (1，4)∵－ 4<b<2， ∴ 0≤|b|<4， ∴－ 4<－ |b|≤ 0.又 1<a<3， ∴－ 3<a － |b|<3.应选 C. 二、 填空题 (每题 5 分，共 10 分)(2013 ·州调研徐 )用锤子以平均的力敲击铁钉进入木板，跟着铁钉的深入 ，铁钉所受的阻力会愈来愈大 ，使得每次钉入木板部分的铁钉长度为前一次的1*k (k ∈ N ) ．已知一个铁钉受击 3 次后所有进入木板 ，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是铁钉长的4，则从中4＋ 4 777k <1，(k ∈ N *)__．提炼出一个不等式组为__4 447＋7k ＋7k 2≥ 1一单位的甲、乙、丙三人出差到 A 城做事；在安排住宿时 ，他们有三种住宿方案可供选择： (1) 三人同住一套间； (2) 二人住标准间 (双人间 )、一人住一个单间； (3) 三人各住一个单间．若旅馆方面对每个套间、标准间及单间的标价分别为300 元、 160 元和 60 元；同 时对客户推行打折优惠 ，但这三类房间的折率各不同样 ，分别为 50%、65%和 85%，这三人选择住宿方案中最经济的为第 __(1)__ 种．若选择方案 (1)，则需支付： y 1＝ 300× 50%＝ 150(元 )；若选择方案 (2) ，则需支付： y 2＝ 160× 65%＋60× 85%＝ 155(元 )；若选择方案 (3) ，则需支付： y 3＝ 60× 85%× 3＝ 153(元 )．∵ y 1<y 3<y 2 ，∴选择第 (1)种方案．三、 解答题 (共 20 分)(10 分 )已知 a>b>c>1，设 M ＝a － c ，N ＝ a － b ，P ＝ 2a ＋b－ ab ，试比较 M ，N ，2P 的大小．∵ b>c>1 ，∴ b> c ，∴－b< － c ， (2 分 )∴ a － b<a － c ，即 N<M.(4 分 )∵ P －N ＝a ＋ b － 2 ab － (a － b)＝ b － 2 ab ＋ b＝ b( b － 2 a ＋ 1)＝ b[( b － a)＋ (1－ a)]， (7 分 )又 a>b>c>1， ∴ b － a<0， 1－ a<0， ∴ P －N<0 ， ∴ P<N.(9 分 )综上可知 ， P<N<M.(10 分)(10 分 )甲、乙两人同时从同地沿同一路线走到同一地址 ，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半行程以速度m 行走 ，另一半行程以速度 n 行走 ， 问：甲、乙两人谁先抵达指定地址？设从出发地到指定地址的行程为 s ，甲、乙两人走完整程所需时间分别是t 1， t 2，1 1n ＝ s ，s＋ s ＝ t 2，即 t 1＝ 2s ，t 2＝ s （ m ＋ n ） .(3 分)则 tm ＋ t2mn22 2m2n m ＋ n∴ t 1－ t 2＝ 2s2 2－ s （ m ＋ n ）＝ s[4mn －（ m ＋ n ） ]＝－ s （ m － n ） .(6 分)m ＋ n2mn 2（ m ＋n ） mn 2mn （ m ＋n ） 因为 s ， m ， n 都是正数 ， ∴当 m ＝n 时， t 1－ t 2＝ 0，即 t 1＝ t 2 ， ∴甲、乙两人同时抵达指定地址； (8 分)当 m ≠ n 时， t 1－t 2 12， ∴甲先抵达指定地址． (10 分)<0，即 t <tB 组 提优操练(时间： 30 分钟 满分： 50 分)若时间有限 ，建议选讲 4， 6，8一、 选择题 (每题 5 分，共 20 分)某校正高一美术生划定录取分数线 ，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分y 高于380 分，体育成绩 z 超出 45 分，用不等式表示就是 (D)x ≥ 95，x ≥ 95，x>95 ， x ≥ 95，A. y ≥ 380，B.y>380 ， C. y>380 ， D. y>380，z>45z ≥ 45z>45z>45x ≥ 95，“不低于”即“≥” ，“高于”即 “ >，”“超出”即 “ >，”∴ y>380 ，z>45.(2013 深·圳月考 )已知实数 a ， b ，c 知足 c<b<a ，且 ac<0，那么 (A)A. ab>acB. c(b －a)<0C. cb 2<ab 2D. ac(a － c)>0∵ c<b<a ，且 ac<0，，∴ c<0， a>0，∵ b>c ， ∴ab>ac ，应选 A.(2013 黄·冈质检 )已知 x>y>z ， x ＋y ＋ z ＝ 0，则以下不等式中建立的是 A. xy>yz B. xz>yzC. xy>xzD. x|y|>z|y|(C)x>0，∵ x>y>z ，x ＋ y ＋z ＝ 0，∴3x>x ＋ y ＋ z ＝ 0，3z<x ＋ y ＋z ＝ 0，∴x>0 ，z<0.∴由可得 xy>xz ，应选 C. y>z1 13 3，则不正确的若 a <b <0，有下边四个不等式：①|a|>|b|；② a<b ；③ a ＋ b<ab ；④ a >b不等式的个数是 (C)A. 0B. 1C.2D.31 1由 a <b <0 可得 b<a<0，进而 |a|<|b|，①不正确； a>b ，②不正确； a ＋b<0 ，ab>0，则332.a ＋ b<ab 建立， ③正确； a >b ， ④正确 ，故不正确的不等式的个数为二、 填空题 (每题 5 分，共 10 分)2 2 222假如 a ∈ R ，且 a ＋a ＜ 0，那么 a ，a，－ a ，－ a 的大小关系是 __－ a ＞ a ＞－ a ＞a__． 由 a 2＋ a ＜ 0，即 a(a ＋ 1)＜ 0，解得－ 1＜ a ＜ 0.由不等式的性质可知－ a ＞ a 2＞ 0，而a ＜－ a 2＜ 0， ∴a ＜－ a 2＜ 0＜ a 2＜－ a ＜ 1.21 y 1x 3若 x ， y 知足 3≤ xy ≤ 8， 9≤ x 2≤ 4，则y 4的最大值是 __27__．1 y1 x2∵ ≤ 2≤ ，∴4≤≤ 9，x29 x4y2∴ y∈[16 ， 81]．又 3≤xy2≤ 8， ∴ xy 12∈ 18， 13 ，32 23∴x4＝x ·12∈ [2，27] ，故 x4的最大值是 27.yy xyy 三、 解答题 (共 20 分)mx(10 分 )已知 m ∈ R ， a>b>1, f(x) ＝ x －1，试比较 f(a)与 f(b) 的大小．mx 1∵ f(x) ＝x － 1 ＝ m 1＋x － 1 ， (1 分)11∴ f(a)＝ m 1＋ a － 1 ， f(b) ＝ m 1＋b － 1 .(3 分 )∵ a>b>1， ∴ a － 1>b － 1>0.∴ 1＋ 1 <1＋ 1.(5 分 )a － 1b － 1①当 m>0 时， m11 1＋ a －1 <m 1＋ b － 1 ，即 f(a)<f(b) ； (6 分 )②当 m ＝0 时， f(a)＝ f(b) ； (7 分 )11 ③当 m<0 时， m 1＋ a －1 >m 1＋ b － 1 ，即 f(a)>f(b) ． (8 分 )综上可知 ，当 m>0 时， f(a)<f(b) ；当 m ＝ 0 时， f(a)＝ f(b) ；当 m<0 时， f(a)>f(b) ． (10分 )(10 分 )设 a 1≈ 2，令 a 2＝ 1＋1.1＋ a 1(1)证明： 2介于 a 1，a 2 之间；1， a 2 中哪一个更靠近2；(2)求 a(3)你能设计一个比 a 2 更靠近2的 a 3 吗？并说明原因．(1) ∵( 2－ a 1)( 2－a 2 )＝ (1 2－ a 1) · 2－1－2－ a ） 21＋ a 1 （ 1－ 2）（＝1＜ 0，1＋ a 1∴ 2介于 a 1 ，a 2 之间． (4 分)2 2－1－1 ＝（ 1－ 2）（ 2－ a 1）(2)∵ | 2－ a |＝1＋ a 11＋ a 12－ 1＝1＋ a 1 | 2－ a 1|＜ | 2－ a 1|，∴ a 2 比 a 1 更靠近 2.(8 分 )1(3)令 a3＝ 1＋，1＋ a22－ 1由(2)知| 2－a3|＝1＋a2| 2－a2|＜| 2－a2|.则 a3比 a2更靠近 2.(10 分 )。

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第六章 第一节 不等关系与不等式课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．已知1a <1b<0，则下列结论错误的是( ) A ．a 2<b 2B.b a ＋a b>2 C ．ab >b 2 D ．lg a 2<lg ab 解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －b ab>0，∴a －b >0， ∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab <b 2，故选C.答案：C2．已知实数a ，b ∈(0,1)，且满足cos πa <cos πb ，则下列关系式成立的是( )A ．ln a <ln bB ．sin a <sin b C.1a <1bD ．a 3<b 3 解析：因为a ，b ∈(0,1)，则πa ，πb ∈(0，π)，而函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，又cos πa <cos πb ，所以πa >πb ，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x，y ＝x 3的单调性知C 正确．答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )A ．若a >b ，则|a |>|b |B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 2<b ，又b 2>0，所以a <1b ，同理由a <1b 可得b <1a，故选C. 答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<b c 2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；C 项，∵a c 2<b c 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误；故选C.答案：C6．若m <n ，p <q ，且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 的大小顺序是________． 解析：把p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n ，即得m <p <q <n .答案：m <p <q <n7．(2015·安庆二模)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④a y >b x 这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：② 8．如果0<a <b <c <d <e ，S ＝a b ＋c d ＋1e，则把变量________的值增加1会使S 的值增加最大(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)．解析：显然变量a 或c 的值增加1会使S 的值增加，∵0<a <b <c <d <e ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋c d ＋1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1d ＋1e ＝1b －1d ＝d －b bd>0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e ，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>e b －d 2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1a －c 2<1b －d 2.又∵e <0，∴ea －c 2>eb －d 2.10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组 高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．答案：A2．(2012·高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b ，故①正确．当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确． 答案：D。

第1讲 不等关系与不等式配套课时作业1．(2024·四川模拟)若a >b >0，c <d <0，则肯定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c答案 D解析 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－bc>0，所以a d <bc，故选D. 2．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .故选B.3．假如a ，b ，c 满意c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不肯定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>0答案 C解析 由题意知c <0，a >0，则A ，B ，D 肯定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C. 4．设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A.2a －bB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b 答案 D解析 解法一：(特别值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证． 解法二：y ＝a x(a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<b a<1. 由指数函数性质知，D 成立．5．已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2>a答案 D解析 由于每个式子中都有a ，故先比较1，b ，b 2的大小．因为－1<b <0，所以b <b 2<1.又因为a <0，所以ab >ab 2>a .故选D.6．(2024·河北石家庄模拟)设x ，y ∈R ，则“x >y >0”是“x y>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件答案 A解析 因为x >y >0，所以1y >0，所以x ·1y >y ·1y ，即x y >1，所以“x >y >0”是“xy>1”的充分条件；当x ＝－2，y ＝－1时，x y >1，但x <y <0，所以“x >y >0”不是“x y>1” 的必要条件．故选A.7．(2024·南宁模拟)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c答案 C解析 a －b ＝ln 23－ln 326<0⇒a <b ，a －c ＝ln 25－ln 5210>0⇒a >c ，∴c <a <b .8．(2024·金版创新)设c >0，则下列各式成立的是( ) A ．c >2cB ．c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC ．2c <⎝ ⎛⎭⎪⎫12cD ．2c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12c答案 D解析 c >0时，2c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c <1，所以2c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12c.故选D.9．(2024·广西联考)已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <y <zB ．z <y <xC ．y <z <xD ．y <x <z答案 D解析 明显0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1>1，所以y <x <z ，故选D.10．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( ) A ．log 2a >0 B ．2a －b>1C ．2ab>2 D ．log 2(ab )<－2答案 D解析 由已知，0<a <1,0<b <1，a －b <0,0<ab <14，log 2(ab )<－2，故选D.11．(2024·福建模拟)下面四个条件中，使a >b 成立的充要条件是( )A ．|a |>|b |B ．1a >1bC ．a 2>b 2D ．2a>2b答案 D解析 解法一：a >b ⇒/ |a |>|b |，如a ＝2，b ＝－5，故A 错误；a >b ⇒/ 1a >1b，如a ＝2，b ＝1，故B 错误；a >b ⇒/ a 2>b 2，如a ＝1，b ＝－3，故C 错误．选D.解法二：∵y ＝2x 是单调增函数，∴a >b ⇔2a >2b.故选D.12．(2024·重庆模拟)已知a ＝x 2＋x ＋2，b ＝lg 3，c ＝e － 12 ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a答案 D解析 a ＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋2－14>1，b ＝lg 3<lg 10＝12，c ＝e－ 12＝1e∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.所以b <c <a .故选D. 13．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________． 答案 ①④ 解析 因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.14．(2024·甘肃兰州模拟)设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是________．答案 c解析 解法一：b －a ＝1＋x －2x >1＋x －2x ＝(x －1)2≥0，∴b >a ，c －b ＝11－x－(1＋x )＝x 21－x>0，∴c >b ，∴c >b >a .所以c 最大．解法二：取x ＝18，则a ＝12，b ＝1＋18，c ＝87＝1＋17，明显c 最大．15．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．答案 ①解析 ①由ac 2>bc 2，可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．16．若a >b >0，给出以下几个命题： ①b a <b ＋5a ＋5；②lg a ＋b 2<lg a ＋lg b 2；③a ＋1b >b ＋1a； ④a －b >a －b .其中为真命题的是________(请填写全部真命题的序号)． 答案 ①③解析 因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5b －a a a ＋5<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，所以lga ＋b2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．17．(2024·湖北龙泉中学模拟)已知1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2y的取值范围．解 令lg x 2y ＝m lg (xy )＋n lg x y ＝lg (x m y m)＋lg x n y n ＝lg x m ＋n y n －m .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得m＝12，n ＝32. ∴lg x 2y ＝12lg (xy )＋32lg x y.∵1≤lg (xy )≤4，∴12≤12lg (xy )≤2.又∵－1≤lg x y ≤2，∴－32≤32lg xy≤3，∴－1≤12lg (xy )＋32lg xy≤5∴－1≤lg x 2y≤5.故lg x 2y的取值范围是[－1,5]．。

学问点 考纲下载不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简洁的二元线性规划问题，并能加以解决．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0) 1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题．第1讲 不等关系与不等式,)1．实数大小挨次与运算性质之间的关系a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ．2．不等式的基本性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．1．辨明两个易误点(1)在应用传递性时，留意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ；(2)在乘法法则中，要特殊留意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．2．不等式中的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b；(2)a <0<b ⇒1a <1b；(3)a >b >0，0<c <d ⇒a c >b d； (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.3．不等式恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0. (2)不等式ax2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.1.教材习题改编 若a <b <0，则下列不等式不成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2A 由a <b <0，可用特殊值法， 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 2.教材习题改编 设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小为( )A ．A ≥B B ．A >BC ．A ≤BD ．A <BB A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1>0，所以A >B .故选B. 3.教材习题改编 若a >b ，则下列不等式肯定成立的是( ) A ．ac 2>bc 2B ．c 2a <c 2bC ．ac 2≥bc 2D ．c 2a ≤c 2bC 当c ＝0时，A 、B 错误；当a >0，b <0时，D 错误，故选C. 4.教材习题改编 下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③D 对于①，由于a >b ，c <d ，所以－c >－d ， 所以a －c >b －d .对于③，a >b >0，则3a >3b >0.5.教材习题改编 若不等式－x 2＋2x ＋m >0的解集是∅，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－1 B ．m ≥－1 C ．m ≤1D ．m ≥1A －x 2＋2x ＋m >0， 即为x 2－2x －m <0.由题意得Δ＝(－2)2－4×1×(－m )≤0， 即4＋4m ≤0， 所以m ≤－1.故选A.不等式的性质(1)已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【解析】 (1)由于c >d ，所以c －d >0.又a >b ，所以两边同时乘以(c －d )，得a (c －d )>b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd >bc ＋ad ，则a (c －d )>b (c －d )，也可能a <b 且c <d ，所以“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件．(2)由于1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，由于b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.【答案】 (1)A (2)C(1)推断不等式命题真假的方法①推断不等式是否成立，需要逐一给出推理推断或反例说明．常用的推理推断需要利用不等式性质． ②在推断一个关于不等式的命题真假时，先把推断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质推断命题真假．(2)充要条件的推断方法利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解．1．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cbD 由于a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．2．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋b c<0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中，成立 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 由于a >0>b ，c <d <0， 所以ad <0，bc >0， 所以ad <bc ，故①错误．由于a >0>b >－a ， 所以a >－b >0， 由于c <d <0， 所以－c >－d >0，所以a (－c )>(－b )(－d )， 所以ac ＋bd <0，所以a d ＋b c ＝ac ＋bd cd<0，故②正确．由于c <d ，所以－c >－d ，由于a >b ，所以a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确．由于a >b ，d －c >0，所以a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C.比较两个数(式)的大小(1)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“>”或“<”)．【解析】 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)， 又由于a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)， 所以a 1－1<0，a 2－1<0. 所以(a 1－1)(a 2－1)>0， 即M －N >0.所以M >N . (2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89>1，所以b >a .【答案】 (1)B (2)<比较两个数(式)大小的两种方法1．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a<a 1＋1a ；④a1＋a>a 1＋1a.其中成立的是( ) A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③D ．②与④D 当0<a <1时，(1＋a )－⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ＝（a ＋1）（a －1）a<0，则1＋a <1＋1a，因此②④成立，故选D.2．设a >b >0，m >0.试比较b a 与b ＋ma ＋m的大小．由于b a －b ＋m a ＋m ＝（b －a ）ma （a ＋m ），a >b >0，m >0.所以a (a ＋m )>0，(b －a )m <0.所以（b －a ）m a （a ＋m ）<0，即b a －b ＋m a ＋m <0，所以b a <b ＋m a ＋m.不等式的恒成立问题(高频考点)不等式的恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题或填空题，有时也消灭在解答题中，属中档题． 高考对不等式的恒成立问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)由f (x )≥0(x ∈R )恒成立，求参数的取值范围； (2)由f (x )≥0(x ∈)恒成立，求参数的取值范围； (3)由f (x )≥0(m ∈)恒成立，求x 的取值范围．(1)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2]B ．(－2，2)C ．(－∞，－2)∪(2)设f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<－m ＋5，对于x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围为________． 【解析】 (1)原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， 所以－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2，2]．选A.(2)法一：要使f (x )<－m ＋5在x ∈上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈上恒成立． 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈． 当m >0时，g (x )在上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．法二：要使f (x )<－m ＋5在x ∈上恒成立，即m (x 2－x ＋1)－6<0在上恒成立．由于x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又由于m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.由于函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是{m |m <67}．【答案】 (1)A (2)(－∞，67)不等式恒成立问题的求解方法(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分别参数法求最值．(2)解决恒成立问题肯定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．角度一 由f (x )≥0(x ∈R )恒成立，求参数的取值范围1．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．B ．(－∞，－2]∪∪A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.角度二 由f (x )≥0(x ∈)恒成立，求参数的取值范围2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax对任意x ∈ 由于x ∈ (－3，＋∞)角度三 由f (x )≥0(m ∈)恒成立，求x 的取值范围3．已知a ∈时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1，3)C 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则由f (a )>0对于任意的a ∈恒成立， 易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可， 联立不等式解得x <1或x >3.,)——特值法推断不等式若a >b >0，c <d <0，则肯定有( ) A ．a d >bc B ．ad <b c C ．a c >b dD ．a c <b d【解析】 法一：由于c <d <0，所以－c >－d >0， 所以1－d >1－c >0.又a >b >0，所以a－d >b－c，所以a d <b c.故选B.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒cd >0c <d <0⇒c cd <dcd <0⇒⎭⎪⎬⎪⎫1d <1c <0⇒－1d >－1c >0 a >b >0 ⇒－a d >－b c ⇒a d <b c . 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd＝－1，排解选项C ，D ； 又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <bc，所以选项A 错误，选项B 正确．故选B. 【答案】 B本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形推断，易出错，而法三接受特值法验证，简化了过程，提高了精确 率．(2021·四川绵阳中学模拟)下列四个命题中正确命题的个数为( )①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④若a >b >0，则c a >c b. A ．3 B ．2 C ．1D ．0C 易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a >b >0，则1a <1b ，当c >0时，c a <cb，故④错误．所以正确的命题只有1个．,)1．设a ，b ∈ 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－mD 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n <0⇒m ＜－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立． 3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a c ＞bc⇒a ＞bC ．⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1bD ．⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1bC 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a ＞b 不能得到ac 2＞bc 2，故A 项错误；当c ＜0时，a c ＞bc⇒a ＜b ，故B 项错误；由于1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞0a ＜b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＜0a ＞b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.4．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |D 由于1a <1b<0，不妨令a ＝－1，b ＝－2，可得a 2<b 2，故A 正确．ab ＝2，b 2＝4，故B 正确．a ＋b ＝－3<0，故C 正确．|a |＋|b |＝3，|a ＋b |＝3，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以D 不正确．故选D.5．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1)D ．(0，2)A 由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.6．若关于x 的不等式x 2＋mx －4≥0在区间上有解，则实数m 的最小值是( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4B 由题知，原不等式等价于m ≥4x －x 在区间上有解，令f (x )＝4x－x (x ∈)，则m ≥f (x )min .由于f (x )＝4x－x 在区间上单调递减，所以f (x )在x ＝4处取得最小值－3. 故m 的最小值为－3.7．(2021·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，由于a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 18．设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c2；②1a <1b；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，则肯定成立的有________．(填正确序号)对于①，1c2>0，故①成立；对于②，a >0，b <0时不成立； 对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立； 对于④，|c |≥0，故④成立． ①④9．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________．由于－π2<α<π，－π2<β<π，所以－π<－β<π2，所以－3π2<α－β<3π2.又由于α<β，所以α－β<0，从而－3π2<α－β<0.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 10．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________．由于1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)， 即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2. 依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6. 611．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2>e（b －d ）2.由于c <d <0，所以－c >－d >0， 又由于a >b >0，所以a －c >b －d >0.所以(a －c )2>(b －d )2>0. 所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2.又由于e <0，所以e （a －c ）2>e（b －d ）2.12．(2021·盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又由于－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.即－92<2a ＋3b <132.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 13．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，求a 的最小值．由于x 2＋ax ＋1≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立． 而f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增， 所以f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，满足a ≥f (x )max ＝－52即可，所以a 的最小值为－52.14．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 由于f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。