大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第二节课堂讲义

大学高数第九章知识点总结本章的内容可以分为多元函数的导数、方向导数和全微分、隐函数与参数方程、复合函数的偏导数等四个部分。

下面我将对第九章的主要知识点进行总结和归纳。

一、多元函数的导数1、定义：假设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)附近有定义，当自变量x和y分别以x=x0,y=y0为自变量时，关于z的增量Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)与增量Δx,Δy之间的比值分别为：(1) 当Δx≠0,Δy=0时，称为f对x的偏导数，记为fx(x0, y0)，即f对x的偏导数是指在y=y0时，f对x的导数。

fx(x0, y0)=lim(Δx→0){f(x0+Δx, y0)-f(x0,y0)}/Δx;(2) 当Δx=0,Δy≠0时，称为f对y的偏导数，记为fy(x0, y0)，即f对y的偏导数是指在x=x0时，f对y的导数。

fy(x0, y0)=lim(Δy→0){f(x0, y0+Δy)-f(x0,y0)}/Δy.2、几何意义：函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别等于曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,f(x0,y0))处沿着x轴、y轴的方向导数。

3、求导法则：多元函数的导数具有以下性质：（1）线性性：若z=f(x,y)可导，则对任何常数α、β，函数αf(x,y)+βg(x,y)也可导，并且有（αf(x,y)+βg(x,y))' = αf'(x,y) + βg'(x,y)；（2）乘积法则：如果z=u(x,y) v(x,y)可导，则z' = u(x,y) v'(x,y) + u'(x,y) v(x,y)；（3）复合函数的求导法则：如果z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都可导，则z' = f_u(x,y) u' +f_v(x,y) v'。

二、方向导数和全微分1、方向导数：函数z=f(x,y)在点P(x0, y0)处沿任一方向l=(α,β)的方向导数是函数f在这一方向上的变化率，其定义为：D_uf(x0,y0)=fa(x0, y0)α+fb(x0,y0)β;2、全微分：若z=f(x,y)在点P(x0, y0)可导，Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)近似等于其全微分：df(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.三、隐函数与参数方程1、隐函数存在定理：若z=f(x,y)在点(x0,y0)邻域内连续且fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在且至少有一个不为0，则z=f(x,y)=0在此点邻域内确定一个连续且具有连续导数的隐函数。

第九章欧几里得空间§1 定义与基本性质教学目的：理解欧几里得空间的定义与性质，掌握向量的长度与夹角的概念，度量矩阵的概念与性质，会求欧几里得空间基的度量矩阵 .教学重点：欧几里得空间的定义与性质，度量矩阵的性质 .教学难点：理解欧几里得空间的定义 .教学内容：一、向量的内积定义1设V是实数域R上一个向量空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积,记作( , ) ,它具有以下性质 :1) ( , ) ( , );2) (k , ) k( , ) ;3) ( , ) ( , ) ( , );4) ( , ) 0 ,当且仅当0时, ( , ) 0这里，，是V任意的向量,k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间.例1在线性空间R n中，对于向量(a1, a2 , ,a n) , (b1,b2, ,b n),定义内积( , ) a1b1 a2b2 a n b n. (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样R n就成为一个欧几里得空间•仍用来表示这个欧几里得空间 .在 n 3时， (1) 式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例 2 在 R n里 , 对于向量(a1, a2 , ,a n) , (b1,b2, ,b n),定义内积( , ) a1b1 2a2b2 na n b n .则内积(1)适合定义中的条件，这样R n就也成为一个欧几里得空间•仍用来表示这个欧几里得空间 .,对同一个线性空间可以引入不同的内积 ,使得它作成欧几里得空间•例 3 在闭区间[a,b] 上的所有实连续函数所成的空间C(a,b) 中 ,对于函数f(x),g(x) 定义内积b(f (x),g(x)) a f (x)g(x)dx • (2)对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间•同样地，线性空间R[x], R[x]n 对于内积 (2) 也构成欧几里得空间•例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列2(x1,x2 , ,x n ), x nn1所成的集合，则H是一个欧几里得空间，通常称为希尔伯特(Hilbert)空间•二、欧几里得空间的基本性质1 )定义中条件 1 )表明内积是对称的•2) ( ,k ) (k , ) k( , ) k(,).定义2非负实数,(,)称为向量的长度，记为显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质:这里k R, V .长度为1的向量叫做单位向量.如果，0由⑶式，向量就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量，有(，)I II I当且仅当，线性相关时，等式才成立对于例1的空间R n，(5)式就是对于例2的空间C(a,b)，(5)式就是定义3非零向量，的夹角，规定为arccos(根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式定义4如果向量，的内积为零，即bn.f (x)g(x)dx 2(x)dx g2(x)dx那么，称为正交或互相垂直，记为两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为- 只有零向量才与自己正交.(,)XAY ,勾股定理：当，正交时,推广：如果向量两222 1 2m12m设V 是一个n 维欧几里得空间，在 2,n，对于V 中任意两个向量 X 1 1X 2 2X n n , y 1 1 y 2由内积的性质得X 1 1n n(i 1 j 1X 2 jEja ij(i ,j)X n n , y 11 y22(i, j 1,2, ,n)y n(8)显然a ij a ji.于是na j X i y jj 1(9)利用矩阵,)还可以写成(10)1，2 12 V 中取一组基m两两正交，那么其中x1 y1y2x2X 2 , Yx n y n分别是, 的坐标，而矩阵A (a ij ) nn称为基1, 2, , n 的度量矩阵 .上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按( 9)或( 10 )来计算，因而度量矩阵完全确定了内积 .设1, 2, , n是空间V的另外一组基，而由1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵为 C ，即( 1, 2, , n) ( 1, 2, , n)C于是不难算出，基1, 2, , n的度量矩阵B b ij i , jC AC . (11) 这就是说，不同基的度量矩阵是合同的 .根据条件 (4)，对于非零向量，即X有( , ) X AX 0因此，度量矩阵是正定的 .反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基1, 2, , n可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的1, 2, , n度量矩阵是A. 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间 . 欧几里得空间以下简称为欧氏空间 .§2 正交基理解正交基、标准正交基、正交矩阵的概念，掌握施密特正交.化方教学目的：法，会求欧几里得空间的标准正交基教学重施密特正交化方法 .点：教学难求标准正交基 .点：教学内容：、标准正交基定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量 ,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组 .按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非 零向量不能超过 n 个.定义 6 在 n 维欧氏空间中， 由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基； 由单 位向量组成的正交基称为 标准正交基组 .对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基 设 1, 2, , n 是一组标准正交基，由定义，有显然， (1)式完全刻画了标准正交基的性质 .换句话说，一组基为标准正交基 的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵 .因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第 五章关于正定二次型的结果， 正定矩阵合同于单位矩阵 .这说明在 n 维欧氏空间中 存在一组基， 它的度量矩阵是单位矩阵 .由此断言， 在 n 维欧氏空间中， 标准正交 基是存在的 .在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即( 1, ) 1 ( 2, ) 2( n , ) n .(2)在标准正交基下，内积有特别简单的表达式 .设这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广 应该指出，内积的表达式 (3)，对于任一组标准正交基都是一样的 .这说明了，所 有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位 .二、规范正交基的存在性及其正交化方法( i , j )1,当 i j; 0,当 i j.(1)x 1 1 y 11那么( , ) x 1y 1 x 2 y 2x 2 2 x n n .y 2 2 y n n .x n y n X Y. (3)定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基 . 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基 .再单位化，就得到一组标准正交基 .定理2对于n维欧氏空间中任意一组基1, 2, , n，都可以找到一组标准正交基1, 2, , n ，使L( 1 , 2, , i ) L( 1, 2, , i ) ,i1,2, ,n.应该指出，定理中的要求L( 1 , 2 , , i ) L( 1, 2, , i ) ,i1,2, ,n.就相当于由基1, 2, , n 到基1, 2, , n 的过渡矩阵是上三角形的定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特( Schimidt )正交化过程 .例 1 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0), 3 ( 1,0,0,1), 4 (1, 1, 1,1) 变成单位正交组 .三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法 .由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式 .设1, 2, , n 与1, 2, , n 是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是 A (a ij ) ，即A 1A定义7 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果A A E由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵； 反过来， 是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基最后指出，根据逆矩阵的性质，由AA E即得AA E写出来就是1, 当 i j ； ai1aj1 ai2aj2 ain ajn0,当 i j.(5)式是矩阵列与列之间的关系， (7)式是矩阵行与行之间的关系 .这两组关系是等因为 )(12是标准正交基，所以)1,当i j ； j )0,当 i j.矩阵 A 的各列就是 2n在标准正交基式可以表示为a 1i a 1ja 2i a 2ja ni a nj(5)式相当于一个矩阵的等式或者a 11 a 21a n1 a 12 a 22a n2 1,当i0,当 ij; j.a 1n a 2na nn(4)n下的坐标 .按公式 (3),(4)(5)(6)如果第一组基 (7)价的.例2考虑定义在闭区间［0,2 ］上一切连续函数所作成的欧氏空间 函数组1,cosx,sinx, , cosnx,sin nx,构成C ［0,2 ］的一个正交组.把上面的每一向量除以它的长度，就得到C ［0,2 ］的一个标准正交组例3欧氏空间R n的基(i )i(0,,0, 1 ,0, ,0),i 1,2, ,n是R n 的一个标准正交基.§3 同构教学目的：理解欧几里得空间同构的定义，注意它与一般线性空间同构的不同 . 教学重点：同构的定义 . 教学难点：同构的判定 . 教学内容：定义8实数域R 上欧氏空间V 与V 称为同构的,如果由V 到V 有一个双射 ，满足1) () () ( ), 2) (k ) k(),3)( ( ), ( )) ( , ) , 这里 ,V,k R ，这样的映射称为V 到V 的同构映射 由定义，如果 是欧氏空间V 到V 的一个同构映射，那么也是 V 到V 作为 线性C[0,2 ]. 1 1.2cos x, 1sinx,1 .—sin nx,广1空间的同构映射 .因此，同构的欧氏空间必有相同的维数 .设V是一个n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基1, 2, , n，在这组基下， V 的每个向量都可表成x1 1 x2 2 x n n( ) (x1,x2, ,x n ) R n就是V到R n的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).上一节(3)式说明，也适合条件 3)，因而是 V 到 R n的一个同构映射，由此可知，每个n 维的欧氏空间都与R n同构.同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性 .既然每个n维欧氏空间都与R n同构，按对称性与传递性得，任意两个n维欧氏空间都同构 .定理 3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等 . 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定 .§4 正交变换教学目的：掌握正交变换的定义与性质及其分类，了解正交变换与正交矩阵之间的关系.教学重点：正交变换的定义与性质 .教学难点：正交变换的应用 .教学内容：定义 9 欧氏空间 V 的线性变换 A 叫做一个正交变换 ,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有, V ,都有 .(A ,A )= ( , ).正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画 .定理 4 设 A 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1) A是正交变换；2) A保持向量的长度不变，即对于V ,|A |=| |；3 )如果!, 2, , n是标准正交基，那么A 1 , A 2,…,A n也是标准正交基;4) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的•由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵•如果A是正交矩阵，那么由AA E可知2A 1或者A 1.因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的•例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基1, 2, , n，定义线性变换A为:A 1 1 , A i i ,I 2,3, ,n.那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.例1令H是空间V3里过原点的一个平面，V3,令对于H的镜面反射与它对应.: 是V3的一个正交变换.例 2 设L(R3),令()(X2,X3,X1), (X1,X2,X3)V3.则是 R3的一个正交变换.例3将V2的每一向量旋转一个角的正交变换关于V2的任意标准正交基的矩阵是cos sinsin cos又令是例 1 中的正交变换 .在平面 H 内取两个正交的单位向量1, 2,再取一个垂直于 H 的单位向量 3 ,那么 1 ,2, 3是V的一个规范止父基,关于这个基的矩阵是1 000 100 01以上两个矩阵都是正交矩阵§5 子空间教学目的：理解子空间正交的定义与性质，掌握正交补的定义与求法教学重点：子空间正交的定义与性质，正交补的定义 . 教学难点：正交补的性质与求法 .教学内容：定义 10 设V1,V2 是欧氏空间 V 中两个子空间 .如果对于任意的V1, V2 ，恒有( , ) 0则称V i,V2为正交的，记为V V2.一个向量，如果对于任意的V，恒有( , ) 0则称与子空间V1正交，记为V1.因为只有零向量与它自身正交，所以由V1 V2可知V1 V2 0；由V1, V1可知0.定理5如果子空间V i,V2, ,V s两两正交，那么和V V2 V s是直和•定义 11 子空间V2 称为子空间V1 的一个正交补，如果V1 V2 ，并且V1 V2 V .显然，如果V是V的正交补，那么V也是V的正交补.定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间V i都有唯一的正交补.V1 的正交补记为V1 ，由定义可知维(V1)+ 维(V)= n推论V1 恰由所有与V1 正交的向量组成 .由分解式V V1 V1可知， V 中任一向量都可以唯一分解成12其中 1 V1, 2 V2 .称 1 为向量在子空间V1 上的内射影 .§6 实对称矩阵的标准形掌握实对称矩阵的特点与性质，会把一个对称矩阵对角化；掌握对称变教学目的：换的定义及性质，了解对称变换与对称矩阵之间的对应关系 .教学重点：对称变换，对称矩阵的性质，实对称矩阵对角化方法 . 教学难点：实对称矩阵对角化方法 . 教学内容：由第五章得到， 任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有 一个可逆矩阵C 使CAC 成对角形•现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对 称矩阵的结果可以加强 .这一节的主要结果是：对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使T AT T 1AT成对角形 .引理1设A 是实对称矩阵，则A 的特征值皆为实数.对应于实对称矩阵 A ，在n 维欧氏空间R n 上定义一个线性变换A 如下：x 1 x 1x 2 x 2(1)A 2 A 2 .x nx n显然 A 在标准正交基1 0 011,2,,n(2)0 1下的矩阵就是 A.引理2设A 是实对称矩阵，A 的定义如上，则对任意 , R n，有(A , )=( ,A),(3)或(A ) A定义 12 欧氏空间中满足等式 (3) 的线性变换称为对称变换 . 容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵 .用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚 .引理3设A 是对称变换，V 是A-子空间，则V i 也是A-子空间.引理4设A 是实对称矩阵，则R n中属于A 的不同特征值的特征向量必正交T AT T 1AT 对角形 .基.事实上，设T 是一个正交矩阵，而就是对角形 .定理 7 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使成面来看看在给定了一个实对称矩阵 A 之后，按什么办法求正交矩阵 T 使T AT 成对角形 .在定理的证明中看到，矩阵 A 按(1)式在R n 中定义了一个线性变 换.求正交矩阵 T 的问题就相当于在 R n 中求一组由A 的特征向量构成的标准正交t 11 t 211t 12 t 22t 1n t 2nt n1t n2t nn是 R n 的一组标准正交基，它们都是A 的特征向量 . 显然，由 1, 2 ,, n 到12n的过渡矩阵就是t 11 t 21t 12t 22t 1n t 2nt n1 t n2 t nn1 T 1ATTAT根据上面的讨论，正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行：1. 求出A的特征值.设1, , r是A的全部不同的特征值•2. 对于每个i，解齐次方程组X iX2(i E A) 0X n求出一个基础解系，这就是 A的特征子空间V i的一组基.由这组基出发，按定理 2的方法求出V i的一组标准正交基ii , , ik i.3. 因为1, , r两两不同，所以根据这一节引理4 ,向量组rk r还是两两正交的•又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成R n的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量.这样，正交矩阵T也就求出了•例已知0 1111 0 1 1A1 1 0 11110求一正交矩阵T使TAT成对角形•应该指出，在定理7中，对于正交矩阵T我们还可以进一步要求事实上，如果求得的正交矩阵T的行列式为-1，那么取11S 1那么T i TS 是正交矩阵，而且T i | T|S 1 显然 T 1AT 1 TAT .如果线性替换X 1 C11 y 1C12y2C1n yn，X 2 C 21 y 1 022 y2C2n yn,X nCn1 y1C n2y 2Cnn yn的矩阵C C j 是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是 非退化的.用二次型的语言，定理7可以叙述为: 定理8任意一个实二次型n na x x aII i j iji 1 j 1都可以经过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数1, 2, , n 就是矩阵A 的特征多项式全部的根最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方 程，以及讨论二次曲线的分类在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是a11 a12a13 x b 1 Aa12 a22 a23 , Xy ,B b 2a 13a23a33zb 3则(5)可以写成XAX 2BX d 0a ji2 2 1 y12 y22 n y n,2 2 2 aux a 22x a 33X2@2xy 2a 13xz 2a 23 yz 2dx2b 2y 2b 3z d经过转轴，坐标变换公式为X c11 C12 C13 X iy C21 C22C23 y i ,或者X CX iz C31 C32 C33 Z i其中C为正交变换且C 1，在新坐标系中，曲面的方程就是X i(CAC)X i 2(B C)X i d 0根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使1 0 0CAC 0 200 0 3这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为2 2 2 * * *i X i 2力3丫1 20 X i 2b2 y i 2b3Z i d 0其中(b；,b；,b3) (b i,b2,b3)C这时，再按照1, 2, 3是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当i, 2, 3全不为零时，就作移轴*biX1x271y i y2* b22Z i Z2 b! 3于是曲面的方程化为2 1 X222 y22 .*3Z2 d 0其中* 2 * 2 * 2* d b2 b3d d1 2 3§向量到子空间的最小距离•最小一乘法理解向量间的距离与向量到子空间的最小距离的概念，了解它在实际教学目的：中的应用一最小一乘法.教学重点：向量间的距离与向量到子空间的最小距离的概念教学难点：实际应用教学内容：在解析几何中，两个点和间的距离等于向量的长度.定义13长度称为向量和的距离，记为d (,)不难证明距离的三条性质：1) d( , ) d(,);2) d ( , ) 0，并且仅当时等号才成立；3) d( , ) d( , ) d(,)(三角不等式)在中学所学几何中知道一个点到一个平面（一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.先设一个子空间W，它是由向量1, 2, , k所生成，即W L（1, 2, , k）.说一个向量垂直于子空间W，就是指向量垂直W于中任何一个向量.易证垂直于W 的充要条件是垂直于每个i （i 1,2, ,k）.现给定，设是W中的向量，满足垂直于W.要证明到W中各向量的距离以垂线最短，就是要证明，对于 W中任一向量，有我们可以画出下面的示意图：证明（）（）因W是子空间，W, W,则W.故垂直于.由勾股定理，2 2 2故这就证明了，向量到子空间各向量间的距离以垂线最短 .这个几何事实可以用来解决一些实际问题 .其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.例已知某种材料在生产过程中的废品率 y与某种化学成分x有关.下列表中记载了某工厂生产中y与相应的x的几次数值：我们想找出y 对x 的一个近似公式. 最小二乘法问题：线性方程组an X i 812X 2 Q S Xsb i 0,a 21 X i 822X 2 a2s Xsb 2 0,8ni X i 8n2 X 2an s xsb n可能无解 .即任何一组数X i ,X 2, ,X S 都可能使n(aii X iai2X 2i iais Xsb i )2(i)不等于零 .我们设法找X i 0,X 0, ,X S 使（i ）最小, 这样的x ；,x 0, ,x ；称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法, 数条件.令,x S 使丫与B 的距离最短.但从（2），知道向量丫就是aiiai2aisa2ia22a ?s2s,Ba nian2anssa ij X jX ij isX 2 ，丫j ia2j XjX ssa nj X jj iY B 2AX用距离的概念，（1 ）就是b ib 2b n⑵AX.并给出最小二乘解所满足的代最小二乘法就是找X ：, x 2,述成：应用前面所讲的结论，设是所求的向量，则B Y B AX回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即AAX AB这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是 AA ， 常数项是 A B .这种线性方程组总是有解的 .回到前面的例子，易知a 11 Y x 1a21x 2a 12 a 22a 1s a 2s x sa n1 a n2 a ns把 A 的 各 列 向 量 分 别 记 成.由它们生成的子空间为L(1, 2, , s ) .Y 就是 L ( s )中的向量 .于是最小二乘法问题可叙找 X 使( 1 )最小，就是在 12s) 中找一向量 Y ，使得 B 到它的距离比到子空间 L (12s) 中其它向量的距离都短 .AXx 1 1 x 2 2x s s必须垂直于子空间 L (s) .为此只须而且必须(C, 1) (C, 2 )(C, s ) 01C 0, 2 C 0, s C 0.s按行正好排成矩阵 A ，上述一串等式合起来就是A(BAX) 03.6 1 1.003.7 1 0.903.8 1 0.90A 3.9 1 ,B 0.814.0 1 0.604.1 1 0.564.2 1 0.35最小二乘解a,b 所满足的方程就是aAA A B 0,b即为106.75a 27.3b 19.675 0,27.3a 7b 5.12 0.解得a 1.05,b 4.81（取三位有效数字）§8 酉空间介绍教学目的：了解酉空间的定义与性质及与欧几里得空间相类似的概念与结论教学重点：酉空间的定义与性质 . 教学难点：对与欧几里得空间相类似的概念与结论的理解 . 教学内容：定义14设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称 为内积,记作(，)，它具有以下性质：1) (,) m ，u~r )是(，)的共轭复数； 2) (k , ) k(,)； 3) (,)(,)(,)；4) (,)是非负实数且(，)0当且仅当 0这里，，是V 中任意的向量,k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间.例1在线性空间c n ,对向量ai ,a 2, ,an !定义内积为(,)3^ a2^显然内积(1 )满足定义14中的条件•这样C n就成为一个酉空间•由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似， 有一套平行的理论，因此在这 只简单地列出重要的结论，而不详细论证.1) ( ,k ) k(,). 2)(, )(,)(,).3) .,(,)叫做向量的长度，记为||.4) 柯西-布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量，有I ， I I II I ，db, ,b n3n b n , (1)当且仅当，线性相关时等号成立•注意：酉空间中的内积(，)一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引5） 向量，，当（，）0时称为正交的或互相垂直.在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基 也有下述一些重要性质：6） 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准 正交基.7） 对门级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足A A AA E ，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.8） 酉空间V 的线性变换A ，满足（A ,A ）=（,）,就称为V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9）如矩阵A 满足X n(A , )=( ,A ).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，V i 是子空间，V i 是V i 的正交补，则V V i V i又设V i 是对称变换的不变子空间，则 V i 也是不变子空间.ii ）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正则叫做埃尔米特（Hermite ） 矩阵.在酉空间 C n 中令X i A X 2 X iA X 212 ）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C,使1 —C 1AC C AC 是对角形知阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时X CYf (X 1,X 2, ,X n )小“孑 d 2y 2?2d n y n%. 第九章欧几里得空间（小结）一、 欧氏空间1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质• f(X i ,X 2, ,X n ) n na j X i X j i 1 j 1XAX2. 柯西一布涅可夫斯基不等式：(,)2 (,)(,).3. 向量的长度：| | 7(，).4. 两个非零向量与的夹角：arccos( , ). (0 ).I II I若(，)0,则与正交.二、标准正交基1. 标准正交基的概念.2. 标准正交基的求法一施密特正交化方法.3. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基.三、正交补内射影1. 向量与集合正交的概念.2. 欧氏空间的子空间y的正交补的概念.3. 设V是V的子空间，则V V i V i ,且V可以唯一写成 1 2,其中，则称1是在V上的内射影.1 V1,2 V1四、欧氏空间的线性变换1. 正交变换(1) V的线性变换是正交变换①保持向量的长度不变②保持向量的内积不变 .③把规范正交基仍变为规范正交基 .④关于规范正交基的矩阵是正交矩阵 .(2) 正交矩阵的性质①正交矩阵为可逆矩阵 , 其逆仍为正交矩阵 .②正交矩阵的行列式为 1 或 -1.③正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵 .2. 对称变换(1) 假如欧氏空间 V 的线性变换满足 :( ( ), ) ( , ( )), , V那么叫做对称变换 .(2) n维欧氏空间V的线性变换是对称变换在V的标准正交基下的矩阵是对称矩阵 .(3) 设是欧氏空间V的对称变换若W是的不变子空间，则W 也是的不变子空间 .(4) 实对称矩阵的特征值都是实数 ,相应地有对称变换的特征值都是实数 .(5) 设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量是正交的.(6) 任一个n阶实对称矩阵 A都可以正交对角化，即存在正交矩阵 U，使得U AU U 1AU 是对角形式 ,相应地有对于欧氏空间 V 的任一个对称变换,存在 V 的标准正交基 , 在这个标准正交基下的矩阵是对角形式 . 六、欧氏空间的同构1. 欧氏空间同构的概念2. 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相同 .3. 每个n维欧氏空间都与R n同构.本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵 .难点是正交变换、正交补、对称变换 .。

欧几里得空间与内积空间欧几里得空间是数学上一个重要的概念，它是指具有欧几里得度量的空间。

欧几里得度量是指通过直线距离来衡量空间中两个点之间的距离的一种度量方式。

而内积空间则是另一种数学概念，它是指一个向量空间上定义了内积运算的空间。

欧几里得空间的概念最早由古希腊数学家欧几里得提出，他将空间中的点用坐标表示，并利用坐标上的距离概念来研究几何性质。

欧几里得空间的特征是具有三角不等式、正向可加性、线性可加性以及满足直线距离公式等性质。

在欧几里得空间中，我们可以定义向量、向量的长度、向量的夹角等概念，并通过这些概念来研究几何中的问题。

而内积空间则是在向量空间的基础上引入了内积的概念。

内积是一种将两个向量映射为一个实数的运算，它具有线性性、对称性和正定性等性质。

通过内积的定义，我们可以引入向量的长度、向量的夹角以及正交等概念，并进一步研究向量空间中的性质和问题。

内积空间是线性代数中一个重要的概念，在物理学、工程学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。

虽然欧几里得空间和内积空间都是数学上的概念，但它们有着不同的定义和性质。

欧几里得空间主要关注点在于距离和长度的概念，而内积空间则更加注重向量的夹角和正交性质。

在欧几里得空间中，我们可以通过距离公式来计算两个点之间的距离，而在内积空间中，我们可以通过内积的定义来计算向量的夹角和长度。

此外，欧几里得空间和内积空间还有一些重要的定理和性质。

比如在欧几里得空间中，我们有三角不等式定理、柯西-施瓦茨不等式等；在内积空间中，我们有勾股定理、平行四边形法则等。

这些定理和性质为我们解决具体问题提供了数学工具和方法。

综上所述，欧几里得空间和内积空间是数学中重要的概念，它们在几何学、线性代数以及其他相关领域都有广泛的应用。

通过对这两个概念的研究和理解，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并能够运用数学工具解决实际问题。

欧几里得空间和内积空间的研究不仅在基础学科中有重要地位，也对于应用科学和工程技术的发展起着重要的推动作用。

《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。

微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。

本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。

本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。

-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。

- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。

2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。

- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。

3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。

-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。

4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。

-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。

-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。

6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。

《高等数学》-各章知识点总结——第9章第9章 多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。

3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。

nR 为n元数组),,,(21nx x x 的全体，称为n 维空间。

n维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离：2221122||()()()n n PQ y x y x y x =-+-++-邻域:设0P 是nR 的一个点，δ是某一正数，与点0P距离小于δ的点P 的全体称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R|||}nU P P PP δδ=∈<空心邻域: 0P 的δ邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ空心邻域,记为0(,)U P δ=0{0||}PPP δ<<。

内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。

如果存在点P 的某个邻域),(δP U ，使得EP U ⊂),(δ，则称点P 为集合E 的内点。

如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点,E 的边界点的全体称为E的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。

如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。

开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。

设点集nE ⊆R , 如果E 的补集nE-R是开集，则称E 为闭集。

区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ⊆，即E 中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域． 有界闭区域的直径：设D 是nR 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P Dd D PP ∈=为D 的直径。

高等数学第九章知识要点二 重 积 分 三 重 积分 概念来源 1、曲顶柱体体积、曲顶柱体体积 ()()()()ini i i DiDn i i i u d y x M m f d x f v s h x s s h x s l l D ==D ==åòòòòå=®=®1010,lim ,2,lim 、平面薄片质量空间中立体的质量()()ini iiiv u dv z y x u M D ==òòòåW=®1,,lim,,z h x l基本性质 1、线性性质：()()[]()()òòòòòò+=×+×DDDdxdy y x g ldxdy y x fkdxdy y x g l y x fk ,,,,2、关于区域的可加性：()()()21,,,,21D DD dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f D DD +=+=òòòòòò3、()()()òòòò===D D D d dxdy y x f y x f 的面积时，s s ,1,4、()()()()()òòòò£Þ£ÎDDdxdy y x g dxdy y x f y x g y x f D y x ,,,,,时，5、()()òòòò£DDdxdy y x f dxdy y x f ,, 6、估值定理 ：()s s M dxdy y x f m D££òò,7、中值定理 ：()()()D f dxdy y x f D Î×=òòh x s h x ,,,,三重积分有类似的性质 计算方法1、直角坐标系下()()()()()òòòò=Dba x x X D dy y x f dxd y x f 21,,f f s 型为()()()()()òòòò=Dd cy yY D dx y x f dyd y x f 21,,y y s 型为2、极坐标下()()()()òòòò=D d f d d y x f 21211sin ,cos ,q qq r rq rr q r q r qs 1、直角坐标系下 ）（1投影法投影法 ()()()()òòòòòòúûùêëé=W Dxy y x z y x z dxdy dz z y x f dv z y x f ,,21,,,, （2）截面法）截面法()()òòòòòò=Dc c Dz dxdy z y x f dz dv z y x f 21,,,,2、在柱面坐标系下()òòòWdv z y x f ,,()()()()()òòò=212121,,,sin ,cos q q q r q r q r q r q r q r rqz z dz z f pd d3、球面坐标系下()òòòWdv z y x f ,,()()()òòò=212121,.2sin cos ,cos sin ,sin sin j jq j q j q qj q q j q j jqr r drr r r r f d d几何及物1、体积 ()òò=Ddxdy y x f v ,2、曲面面积 òò++=Dy x dxdy f f A 221 1、体积 òòòW =dv v 2、质量 ()òòòW=dv z y x M ,,r理中的应用 3、质量 ()òò=Ddxdy y x m ,r4、质心坐标 ()()òòòò==DDy d y x d y x x M M x s r s r ,,()()òòòò==D D x d y x d y x y M M y s r sr ,, 5、转动惯量()òò=Dx d y x y I s r ,2，()sr d y x x I Dy òò=,2()()òò+=DOd y x y xI s r ,226 6、平面薄片对空间质点的引力、平面薄片对空间质点的引力设面密度为()xoy y x 的,r 面上的闭区域D 对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=，则，则òòòò==Dy D x d r y G F d r x G F s rs r 33,òò-=D z dr GaF s r 3其中G 为引力常数，222a y x r ++=3、质心坐标 ()()òòòòòòW W ==dv z y x dvz y x x M M x yz,,,,r r ()()òòòòòòW W ==dvz y x dv z y x y M M y zx ,,,,r r ()()òòòòòòWW==dvz y x dv z y x z MM z xy ,,,,r r 4、转动惯量()()òòòW +=dvz y x z y I x,,22r ()()òòòW+=dvz y x x z I y,,22r ()()òòòW++=dvz y x z y x I O,,222r 5、物体对空间质点的引力设物体密度为()z y x ,,r ，占有空间闭区域W 的物体对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=则dv r yp G F dv r xpG F y x òòòòòòW W ==33,,()dv r a z GF z òòòW-=3r 其中G 为引力常数，()222a z y x r -++=对称性在计算中的应用 1、若（、若（11）D 关于x 轴对称，且1D 为D 内0³x 部分 （2）()y x f ,是关于y 的奇函数或偶函数，则有的奇函数或偶函数，则有()òòD d y x f s,=()()()()()ïîïíì=--=-òòDy x f y x f d y x f y x f y x f ,,,,2,,,0当当s 当D 关于y 轴对称，而()y x f ,关于x 为奇函数或偶函数时，有类似的结论函数时，有类似的结论2、若D 关于直线x y =对称，则对称，则()()òòòò=D Dd x y f d y x f s s ,,3、若D 关于原点对称，则关于原点对称，则()òòD d y x f s,()()()()()ïîïíì=--=--=òòy x f y x f d y x f y x f y x f D ,,,,2,,,01当当s 01³x D D 内为部分部分若（若（11）W 关于xOy 面对称；部分为01³W z（2）()z y x f ,,是关于z 的奇函数或偶函数，则有的奇函数或偶函数，则有()òòòWdv z y x f ,,=()()()()()ïîïíì=--=-òòòW 1,,,,,,,2,,,,0z y x f z y x f dv z y x f z y x f z y x f 当当， 当W 关于()zOx yOz 面对称，而()z y x f ,,是关于)(y x 的奇函数或偶函数时，有类似结论函数时，有类似结论..。

(α,α) 第九章Euclid(欧几里得)空间知识点考点精要一、欧几里得空间的基本概念1、设V 是实数域 R 上的线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β) ，它具有以下性质：（1） (α,β) = (β,α) ; （2） (k α,β) = k (α,β) ; （3） (α+ β,γ) = (α,γ) + (β,γ) ；（4） (α,α) ≥ 0, 当且仅当α= 0 时， (α,α) = 0 。

这里α,β,γ是V 中任意向量， k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。

2、向量的长度 α= 。

3、柯西 - 布涅柯夫斯基不等式对于欧氏空间V 中的任意向量α,β，有 (α,β) ≤ αβ。

当且仅当α,β线性相关时，等号成立。

4、非零向量α, β的夹角< α,β> 规定为 < α,β>= arccos (α,β),0 ≤< α,β>≤ π。

αβ5、如果(α,β) = 0, 称α与β正交，记为α⊥ β。

6、度量矩阵 设V 是 n 维欧氏空间，ε1 ,ε2 , ,εn 是⎨ V 的一组基，令 a ij= (εi ,εj )(i ,j = 1,2,.., n ) 矩阵 A= (a ij )n ⨯n 称为基ε1 ,ε2 , ,εn 的度量矩阵,⎛ (ε1 ,ε1 ) (ε1 ,ε2 ) (ε ,ε)(ε ,ε ) (ε1 ,εn ) ⎫ (ε ,ε ) ⎪A = 2 1222n⎪ ⎪ (ε ,ε) (ε ,ε )(ε ,ε ) ⎪⎝ n 1n2 n n ⎭1） 度量矩阵为正定矩阵； 2） 不同基的度量矩阵是合同的。

7、标准正交基1） ε1 ,ε2 , ,εn 是欧氏空间 V 的一组基，如果(ε,ε ) = ⎧1 (i = j )ij ⎩0 (i ≠ j ) ，那么称ε1 ,ε2 , ,εn 是V的一组标准正交基。

2） 标准正交基的度量阵是单位阵。