内蒙古赤峰市2020届高三毕业班冲刺模拟考试 文科数学(含答案)

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞17．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．898．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm310．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．412．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项之和为S n，且满足S n=1﹣a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；（Ⅱ）求该几何体的体积．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接由全集U，集合M求出∁U M，则N∩（∁U M）的答案可求．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴∁U M={﹣2，2}．则N∩（∁U M）={﹣1，2}∩{﹣2，2}={2}．故选：A．2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质求出z，分别判断各个选项即可．【解答】解：∵z===﹣﹣i，故|z|=，故选：C．3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线【考点】曲线与方程．【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．故选：B．4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得，的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k的值．【解答】解：=（1，2），=（﹣2，4），可得•=﹣2+8=6，||==2，由k+与垂直，可得（k+）•=0，k•+2=0，即有6k+20=0，解得k=﹣．故选B．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心代入回归方程得出，从而得出回归方程解析式，令x=5，计算即可．【解答】解：=，=．∴7.8=﹣3.2×10+，解得=39.8．∴线性回归方程为=﹣3.2x+39.8．当x=5时，=﹣3.2×5+39.8=23.8≈24．故选C．6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，△＜0，可解得m的范围，然后看m＞1与选项中的m范围，即可得出答案．【解答】解：当不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立时，△=4﹣4m＜0，解得m＞1；所以m＞1是不等式恒成立的充要条件；m＞2是不等式成立的充分不必要条件；0＜m＜1是不等式成立的既不充分也不必要条件；m＞0是不等式成立的必要不充分条件．故选：C．7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【考点】程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B8．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n【考点】等比数列的通项公式．【分析】由S1，S2，S4成等比数列，得到S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），求出a1，即可求出通项公式．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，∴a n=﹣+1﹣n=﹣n，故选：B．9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100cm3．故选：A．10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g（x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：∵若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，∴若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的对称轴，则函数的周期T=2×（﹣）=2π，即=2π，则ω=1，即f（x）=cos（x+φ），①若x=时，函数取得极大值，则f（）=cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，即φ=2kπ﹣，当k=0时，φ=﹣，此时f（x）=cos（x﹣），将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，即g（x）=）=cos[（x+）﹣]=cosx，此时函数g（x）是偶函数不是奇函数，故A错误，g（﹣）=cos（﹣）=0，即函数y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故B正确，g（）=cos（）=0，即函数y=g（x）的图象关于关于直线x=不对称，故C错误，y=g（x）的周期为2π，故D错误，②若x=时，函数取得极小值，则f（）=cos（+φ）=cos（+φ）=﹣1，则+φ=2kπ﹣π，即φ=2kπ﹣，当k=1时，φ=，∵|φ|＜，∴此时φ不存在．综上故选：B．11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．4【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值．【解答】解：约束条件的可行域如下图示：画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），因为圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，国灰r2=14，故|AB|=2=4，所以线段AB的最小值为4．故选：D12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得•=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得直线AB的方程为： +=1，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，由PF1⊥PF2，∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（y﹣a）2+y2﹣c2，令f（y）=（y﹣a）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）•+2y，由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2==（）2，可得e=，故选：D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由，可得：＜π，=﹣．利用cosα=，展开即可得出．【解答】解：∵，∴＜π，∴=﹣=﹣．∴cosα==+=+=．故答案为：﹣．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180．【考点】二项式定理．【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：18015．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．【考点】球内接多面体．【分析】过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，求出球的半径，可得球心到截面的距离．【解答】解：过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，∴球的半径为=，∴球心到截面的距离为=，故答案为：．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为（1，2+）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出f（x）的导数f′（x），分析f′（x）的零点和区间[，e]的位置关系，判断f （x）的单调性为在[，1]上单调递增，在（1，e）上单调递减，若有两个不同的零点，则，即可解出a的取值范围．【解答】解：f（x）=2lnx﹣x2+a，f′（x）=，∵x∈[，e]，故f′（x）=0，解得x=1，当＜x＜1，f′（x）＞0；当1＜x＜e，f′（x）＜0，故f（x）在x=1有唯一的极值点，f（1）=a﹣1，f（）=a﹣2﹣，f（e）=a+2﹣e2，则f（e）＜f（），f（x）在[，e]上有两个零点的条件，，解得1＜a＜2+，故实数a 的取值范围（1，2+]．故答案为：（1，2+]．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项之和为S n ，且满足S n =1﹣a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过S n =1﹣a n 与S n ﹣1=1﹣a n ﹣1作差可知a n =a n ﹣1，进而计算可得结论； （2）通过（1）可知b n =（n +1），进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵S n =1﹣a n ，S n ﹣1=1﹣a n ﹣1，∴a n =a n ﹣1﹣a n ，即a n =a n ﹣1，又∵S 1=1﹣a 1，即a 1=，∴数列{a n }是首项、公比均为的等比数列，∴其通项公式a n =；（2）由（1）可知b n =（n +1）a n =（n +1）， ∴T n =2•+3•+4•+…+（n +1）， T n =2•+3•+…+n •+（n +1）， 两式相减得： T n =2•+++…+﹣（n +1） =+﹣（n +1）=﹣， ∴T n =3﹣．18．如图，在多面体ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC=AB=1，△A 1BC 是 正三角形，B 1C 1∥BC ，B 1C 1=BC ．（Ⅰ）求证：面A 1AC ⊥面ABC ；（Ⅱ）求该几何体的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由已知得，从而A1A⊥AC，由此能证明面A1AC ⊥面ABC．（Ⅱ）依题意得：而，，由此能求出该几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC，∴，∴，∴A1A⊥AC，又A1A⊥AB，∴A1A⊥平面ABC，∴面A1AC⊥面ABC．（Ⅱ）解：依题意得：而，，故：．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（2）根据小矩形的高=，求a、b的值；（3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为2+4+4=10，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为1﹣=0.9；（2）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为34，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（3）数据的平均数为（12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4）=7.68（小时），∴样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得=2，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得y的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|，化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得y=±b=±，即有=2，又a2﹣b2=16，解得a=4，b=4，则椭圆方程为+=1；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得（2+t2）y2+8ty﹣16=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），可得△=64t2+64（2+t2）＞0y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|y1﹣y2|===，S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|=•4•=16•=16•≤16•=8，当且仅当=，即t=0时，△COB面积的最大值为8．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数，可得f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）由题意可得f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最小值是f（1）或f（﹣1），最大值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数为f′（x）=1﹣2x﹣e x，可得函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线斜率为1﹣0﹣1=0，切点为（0，﹣1），即有切线的方程为y=﹣1；（2）由存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，则只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，f（x）=xlna﹣x2﹣a x的导数为f′（x）=lna﹣2x﹣a x lna，又x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）增函数极大值减函数所以f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值f（x）max=f（0）=﹣1，f（x）的最小值f（x）min为f（﹣1）和f（1）中的最小值．因为f（1）﹣f（﹣1）=（lna﹣1﹣a）﹣（﹣lna﹣1﹣）=2lna﹣a+，令g（a）=2lna﹣a+，由g′（a）=﹣1﹣=﹣＜0，所以g（a）在a∈（0，+∞）上是减函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1），所以，当a＞1时，f（0）﹣f（1）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna的导数y′=1﹣，可得函数y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（0）﹣f（﹣1）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna的导数为y′=﹣=，可得函数y在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD 内接于⊙O，能求出∠D．（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，即可证明结论．【解答】（1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=35°，又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=55°．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，∴∠D=112°．（2）证明：∵∠DAE=35°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，∴△ADC∽△ABP，∴=，∠DBA=∠BDA，∴DA=BA，∴DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，∴=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．把ρ2=x2+y2代入可得曲线C的极坐标方程．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d=2．可得cos=，进而得出答案．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程：x+y﹣4=0．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．可得曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d==2．∴cos==，∵，∴∠AOB=，可得∠AOB=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．【考点】基本不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）通过作差法证明即可．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c，当且仅当（x﹣a）（x﹣b）≤0时：“=”成立，故a+b+c=1；（2）3（a2+b2+c2）﹣12=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，∴a2+b2+c2．2020年8月27日。

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数z在复平面上的对应点为，为z的共轭复数，则A. 是纯虚数B. 是实数C. 是纯虚数D. 是纯虚数3.“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当5.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.6.若双曲线C：的一条渐近线方程为，则A. B. C. D.7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数对．问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是A. B. C. D.8.设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则A. 510B. 255C. 512D. 2569.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是A. 是最小正周期为的偶函数B. 是最小正周期为的奇函数C. 在上单调递减D. 在上的最大值为10.已知椭圆C：，，是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有恒成立，则实数a的取值范围为A. B.C. D.11.已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.12.已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设在R上是奇函数，且，当时，，则______．14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．15.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．已知1斛粟的体积为立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是______尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积含上下两底最小那么它的底面半径是______尺．16.设数列的前n项和为，且满足，则使成立的n的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面底面ABCD，E为AD的中点．求证：平面平面PCE；点F在线段CD上，且，求三棱锥的体积．18.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．求角A；若，求的面积的最大值．19.3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多．研究者分析了1月1日日的6013份病例数据，发现的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有为男性．随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据．他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有为危重，而女性患者危重情况的为也就是说，男性的发病情况似乎普遍更严重．研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色．”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻中度感染重度包括危重总计男性患者20m x女性患者30n y总计5050100求列联表中的数据，，，的值；能否有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？该学生实验小组打算从“轻中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果．然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率．附表及公式：，．20.已知曲线C上的任意一点M到点的距离比到直线l：的距离少1，动点P在直线s：上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．求曲线C的方程；判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由．21.已知函数．当时，求函数的极值；当时，求函数在上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．若，求曲线C与l的交点坐标；过曲线C上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，且的最大值，求a 的值．23.已知函数．解不等式；记函数的最大值为s，若b，，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由题意，，则，是实数；是纯虚数；是实数；，是纯虚数．故选：D．由已知求得z，进一步求出，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：，解得：．“”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．，解出范围即可判断出关系．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额，2015年食品的消费额为，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额，2015年食品的消费额为，，B错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额，2015年休闲旅游的消费额为，，C对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额，2015年生活用品的消费额为，不相等，D错；故选：C．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．本题考查图表，进行推理，属于基础题．5.答案：B解析：解：，，，，，，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.答案：A解析：解：由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得．故选：A．利用双曲线的渐近线方程，列出方程，求解m即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.答案：C解析：解：从30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，组成的孪生素数对有：，，，，共4个，这对孪生素数的积不超过20的有：，共1个，这对孪生素数的积不超过20的概率是．故选：C．利用列举法先求出从30以内的素数，再求出组成的孪生素数对，进而求出这对孪生素数的积不超过20的个数，由此能求出这对孪生素数的积不超过20的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：解：等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，，解得，．故选：B．利用等比数列通项公式和等差数列性质列方程求出公比，由此能求出等比数列的前8项和．本题考查等比数列的前8项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：D解析：解：令；向右平移个单位，A答案：，所以A错．B答案：此函数为偶函数，所以B错误．C答案：增区间为，所以C错误．D答案：正确．故选：D．本题考查的三角函数图象的基本性质．先将给定函数化成的形式，跟据题中所给条件作出判断．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．10.答案：C解析：解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，要使恒成立，则为锐角，即，即，所以，而所以，解得：或，故选：C．由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，而恒成立可得为锐角，即可得b，c的关系，再由a，b，c之间的关系可得a的取值范围．本题考查椭圆的性质，椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，及数量积的符合可得角的大小，属于中档题．11.答案：A解析：解：，当PA，PB，PC两两相互垂直时三棱锥体积最大值，放在正方体中，如图所示，可得棱长为的正方体，由外接球的直径2R是正方体的对角线可得，，解得；所以外接球的体积为故选：A．由题意可得该三棱锥为三条棱相等且两两相互垂直，放在正方体中，可得该正方体的棱长为，由正方体的对角线等于外接球的直径可得外接球的半径，进而求出体积．考查三棱锥体积最大的情况及球的体积公式，属于中档题．12.答案：B解析：解：函数的图象与函数关于原点对称，则原题等价于函数与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，当时，，单调递减，当时，，单调递增．，，，所以实数a的取值范围是，故选：B．求出函数关于原点对称的函数，已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，等价为与，有交点，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，将条件转化为两个函数有交点，构造函数，求导数研究函数的最值是解决本题的关键．注意利用数形结合进行求解比较好理解．13.答案：解析：解：，关于直线对称，又为奇函数，的最小正周期为4，．故答案为：．先求出函数的一条对称轴为，进一步求得其周期为4，由此即可转化得解．本题考查利用函数性质求函数值，主要考查了函数的对称性，奇偶性及周期性，属于基础题．14.答案：解析：解：由，且，所以，所以；所以，又，所以与的夹角为．故答案为：．由题意，利用平面向量的数量积，求出夹角的余弦值，从而求得夹角．本题考查了利用平面向量的数量积求出夹角大小的问题，是基础题．15.答案：20解析：解：设粮仓的高是尺，则该粮仓的容积为立方尺．一万斛粟的体积为立方尺．由题意有：，得尺；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为，由题意可得，则，圆柱形粮仓的表面积平方尺．当且仅当，即时上式取等号．故答案为：20；．设粮仓的高是尺，则该粮仓的容积可求，求出一万斛粟的体积，由体积相等列式求得h；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为，由体积关系可得，代入圆柱形粮仓的表面积公式，利用基本不等式求最值．本题考查圆柱与棱柱体积的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．16.答案：3解析：解：由，当时，，得，当时，，得，，故是以1为首项，公比为2的等比数列，，，所以，化简得：，令，解不等式得，，故最大的，故答案为：3．先求出是以1为首项，公比为2的等比数列，根据题意得到，求出最大的n即可．本题考查了等比数列求通项公式，前n项和，还考查了不等式的解法，考查运算能力，中档题．17.答案：解：证明：为等边三角形，E为AD的中点，，平面底面ABCD，平面底面，底面ABCD，平面ABCD，，由题意知ABCE是正方形，，，平面PCE，平面PBC，平面平面PCE．解：过F作，垂足为G，三棱锥的体积：．解析：推导出，，，从而平面PCE，由此能证明平面平面PCE．过F作，垂足为G，三棱锥的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：由题意及正弦定理得，，，，化简得，，，，，，，由余弦定理得，，，当且仅当，，，的面积的最大值为．解析：由题中所给方程，通过正弦定理化边为角，利用三角函数性质求解；结合中结果，利用余弦定理，求出bc的值域，代入面积公式求面积，求出最值．本题考查解三角形，注意选择合理的公式，属于中档题．19.答案：解：由题意可得，，，，；，没有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关；由于在“轻中度感染”的患者中，按男女比例2：3，设抽取的5人中3名女性患者用a，b，c表示，2名男性患者用D，E表示，则所有组合为：E，，E，，E，，a，，a，，b，，a，，a，，b，，b，共10种可能的情况．其中至少抽到2名女性患者的情况有7种，则至少抽到2名女性患者的概率为．解析：直接由题意可得m，n，x，y的值；求出的值，结合临界值表得结论；利用分层抽样可得在“轻中度感染”的患者中抽取到的男女人数，再由枚举法写出基本事件总数，得到其中至少抽到2名女性患者的情况种数，再由古典概型概率计算公式求解．本题考查独立性检验，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：由已知得动点M到点的距离与到直线l：的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C为抛物线，焦点，准线l：．曲线C的方程为；设，，，由，即，得．抛物线C在点A处的切线方程为，即．，，又点在切线PA上，，同理，综合得，，的坐标都满足．直线AB：，恒过抛物线的焦点．解析：由已知得动点M到点的距离与到直线l：的距离相等，然后直接利用抛物线的定义求曲线C的方程；设，，，利用导数求过点A与B的切线方程，可得点，的坐标都满足，由此可得直线AB：，恒过抛物线的焦点．本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，训练了利用“同一法”求直线方程，是中档题．21.答案：解：函数的定义域为，分，，，，函数在上为减函数；，函数在上为增函数；所以，无极大值分由可得，，由，可得，分当，即时，在成立，在此区间上为减函数，所以分当，即时，，；，；所以在为减函数，在为增函数，所以分当，即时，，，在上为增函数，分综上所述，分解析：可求得，进一步分析知函数在上为减函数，函数在上为增函数，可求函数的极值；由可得可得，，分，即，，即，当，即时，三类讨论，分别求得其最小值，最后通过分段函数式表示即可．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理与综合运算能力，属于难题．22.答案：解：曲线C的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为．当时，直线l的参数方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．所以，解得或，所以交点坐标为和曲线的直角坐标方程为，故曲线C上任意一点到直线的距离，则，当时，的最大值为，解得．当时，的最大值为，解得．故或．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．利用直线和曲线的位置关系的应用建立关系，进一步点到直线的距离求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：，当时，恒成立；当时，，即，则；当时，显然不成立．故不等式的解集为；证明：由知，，于是，由基本不等式可知当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，上述三式相加可得，当且仅当时取等号，，．解析：将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；易知，利用基本不等式可得，由此得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。

高考数学模拟试题数学试卷（文科）注意事项：1、本试卷本分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁UA )I =B（A ）{}3 （B ）{}4,5 （C ）{}4,56，（D ）{}0,1,2 2.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ） 34- （D ） 34± 3．已知等差数列{n a }的公差d ≠0，若931,,a a a 成等比数列，那么公比为 （A ）31 （B ）3 （C ）21（D ）2 4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（A ）2)(x x f = （B ）xx f 1)(=（C ）x e x f =)(（D ）x x f sin )(=5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=I ，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的（A ）充分且不必要条件 （B ）必要且不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 一名小学生的年龄和身高（单位：cm)的数据如下：年龄x 6 7[来源:]8 9 身高y118126136144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为$$8.8y x a=+，预测该学生10岁时的身高为 （A ）154 （B ）153 （C ）152 （D ）151 7.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）38．设函数()11sin 3cos 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是()A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()D 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．已知函数()x xf x e=,若(ln 2),(ln3),(ln5)a f b f c f ===,则,,a b c 的大小关系为 （A ）a b c >> （B ）c a b >> （C ）b a c >> （D ）b c a >>10. 已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为（A ）22（B ） 32 （C ）312- （D ）512-11． 函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）12. 在△ABC 中，AB=1，AC=2，120A ∠=︒，点O 是△ABC 的外心，存在实数,λμ，使AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则 （A ）53,44λμ== （B ）45,36λμ== （C ）57,36λμ== （D ）43,34λμ==数学试卷（文科）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第：24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13．i 是虚数单位，复数iiZ -+=221，则=Z ．14．若一个几何体的三视图如图 所示（单位长度：cm ），则此几何体的表面积是_______15．设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为 ．16．已知数列{n a }满足()()*11222,1n n n a a a n N n ++==∈+，则{n a }的通项公式n a =________________.三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=o ，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.DA18. （本小题满分12分）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R （单位：公里）分为3类，即A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250，C ：R ≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型A B C 已行驶总里程不超过5万公里的车辆数 10 40 30 已行驶总里程超过5万公里的车辆数202020（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C 类车中抽取了n 辆车． （ⅰ）求n 的值；（ⅱ）如果从这n 辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．19．（本小题满分12分）己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥(Ⅰ)求证：1AC ⊥平面1A BC ； (Ⅱ)求点C 到平面1A AB 的距离.20．（本小题满分12分） 2:C x y =，自已知直线l 的方程是1y =-和抛物线l 上任意一点P 作抛物线的两条切线，设切点分别为,A B ，DB 1A 1CA1（Ⅰ）求证：直线AB 恒过定点.（Ⅱ）求△PAB 面积的最小值.21．（本小题满分12分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. (Ⅰ)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭、()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q ，射线OP 与曲线1C 交于点A ，射线OQ 与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB+的值.24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围. ．数学试卷（文科）参考答案一、选择题：BABD CBDC CDAB二、填空题：13、1；14、20+；15、6；16、()121n n a n -=+. 三、解答题： 17．（Ⅰ）解：因为 ο90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ，……………… 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC .在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=… 6分 所以 5104=BD . ……………… 7分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以15sin 4CBD =∠， 即sin CDB ∠= ……… 12分18．解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为73140202020=++． ……………………3分（Ⅱ）（ⅰ）依题意3020145140n +=⨯=． ……………………6分 （ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A ，B ，C ；5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M ，N ． “从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：AB ，AC ，AM ，AN ，BC ，BM ，BN ，CM ，CN ，MN ．---------------------8分 “从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种： AM ，AN ，BM ，BN ，CM ，CN ．设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D ，--------10分则53106)(==D P ．………………… 12分 19.解（Ⅰ）︒=∠90BCA 得AC BC ⊥，因为⊥D A 1底ABC ，所以BC D A ⊥1， …………2分又D AC D A =I 1，所以⊥BC 面AC A 1，所以1AC BC ⊥ ………………………………4分 因为11AC BA ⊥，B BC BA =I 1，所以⊥1AC 底BC A 1 ………………………………6分 （Ⅱ）解法1.由（Ⅰ）得C A AC 11⊥，所以11ACC A 是菱形， 即211===C A AA AC ，221==B A AB ，…………8分 由ABC A B AA C V V --=11，得7212=h …………………12分 （解法2）作AB DE ⊥于点E ，连E A 1作E A DF 1⊥， 因为1A D ⊥平面ABC ，所以AB D A ⊥1，又AB DE ⊥，D D A DE =1I ，所以⊥AB 平面DE A 1， ………………8分 又⊂DF 面DE A 1，所以DF AB ⊥，而E AB E A =I 1，所以⊥DF 平面AB A 1，……………………………………10分DE A Rt 1∆中，72111=⋅=E A DE D A DF ， 因为D 是AC 中点，所以C 到面AB A 1距离7212 ……………………12分 20．（Ⅰ）证明：设()()()221122,,,,,1A x x B x x P t -因为()/'22y xx ==，所以切线PA 的方程是()21112y x x x x -=-即2112y x x x += ①， 同理切线PB 的方程是2222y x x x += ②--------3分由①②得12122,1t x x x x =+=-，显然直线AB 存在斜率. 设直线AB 的方程是y kx b =+，代入2xy =得20x kx b --=所以12122,1x x k t x x b +===-=-，------------- 5分 即直线AB 的方程是1y kx =+，恒过定点()0,1-------------6分 （Ⅱ）解：()()()()222222121212121AB x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++⎣⎦()()2212121241x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-++⎣⎦⎣⎦()()2241k k =++分点P 到直线AB 的距离是22242121k kt d kk++==++-----10分△PAB 的面积322114224AB d k =⋅=⋅+≥FA 1B 1C 1ABCD E当0k =时△PAB 的面积取得最小值2-----------------------12分 21．解：（I ）由()cos sin f x x x x =-得'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-. 因为在区间(0,)2π上'()f x sin 0x x =-<，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 从而()f x (0)0f ≤=.------------------------------4分 （Ⅱ）当0x >时，“sin xa x>”等价于“sin 0x ax ->”; sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”.-------------------6分 令()g x sin x cx =-，则'()g x cos x c =-，当0c ≤时，()0g x >对任意(0,)2x π∈恒成立.-------7分当1c ≥时，因为对任意(0,)2x π∈，'()g x cos x c =-0<，所以()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 从而()g x (0)0g <=对任意(0,)2x π∈恒成立.----------------------8分当01c <<时，存在唯一的0(0,)2x π∈使得0'()g x 0cos x c =-0=.()g x 与'()g x 在区间(0,)2π上的情况如下：因为(g x 在区间00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=. 进一步，()0g x >对任意(0,)2x π∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥，即20c π<≤，------------------------10分综上所述，当且仅当2c π≤时，()0g x >对任意(0,)2x π∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意(0,)2x π∈恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意(0,)2x π∈恒成立， 则a 最大值为2π，b 的最小值为1.-----------------------12分 22. （1）∵BE 为圆O 的切线∠EBD=∠BAD ………………2分 又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴∠EBD =∠CAD ………………4分 又∵∠CBD=∠CAD ∴∠EBD=∠CBD ………………5分（2）在△EBD 和△EAB 中，∠E=∠E ，∠EBD=∠EAB∴△EBD ∽△EAB ………………7分∴BE BD AE AB = ∴AB •BE=AE •BD ………………9分 又∵AD 平分∠BAC ∴BD=DC 故AB •BE=AE •DC ………………10分23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=， 化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= ………3分曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-= ……………5分（2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的一条直径 ∴90POQ ∠=o 由OP OQ ⊥ 得OA OB ⊥,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中，有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭ EDOAC B22211cos sin ,4θθρ∴=+ 22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+= 即221154OA OB+=. ……………10分 24．解：（1）1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ ……………………2分 210, 1,35352530, ,2323x x x x x x x >-><∅≤≤-><≤<当时，即解得当时，即解得 3310, 1,122x x x x <->><<当时，即解得 513x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭不等式解集为 ……………………6分 （2）22|2|02|2|23a x x a x x a x a x +---<⇒-<-⇒<->或恒成立 即4a ≥ ……………………10分。

内蒙古赤峰市 2020 届高三数学模拟考试试题 文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则 中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先求 B,再求交集则元素个数可求【详解】由题，则，则 中的元素个数为 3 个故选：C【点睛】本题考查交集的运算，描述法，是基础题2.已知是纯虚数，复数 是实数，则 （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵ 是实数，∴设a，a 是实数，则 z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai， ∴z＝2a﹣1﹣ai， ∵z 为纯虚数， ∴2a﹣1＝0 且﹣a≠0，即a ，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的有关概念，利用待定系数法是解决本题的关 键．3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等 马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中 等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐 王获胜的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出满足 “从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛” 这一条件的事件数，然后求 出满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果. 【详解】解：因为双方各有 3 匹马， 所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为 9 种， 满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的 事件数为 3； 齐王派出中等马，则获胜的事件数为 2； 齐王派出下等马，则获胜的事件数为 1； 故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为 6 种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率，故选 A.【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型 的计算公式求解问题，属于基础题.4.若函数是定义在 上的奇函数，在上是增函数，且，，则使得的 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解不等式的范围，当 时，显然不成立，可等价转化为当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，即当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，再根据函数 的性质求解不等式.【详解】解：因为是 R 上的奇函数，且在上是增函数，所以在上也是增函数，又因为，所以，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，，不成立，故的 的取值范围是，故选 C.【点睛】本题考查了函数性质（单调性、奇偶性等）的综合运用，解题的关键是要将函数的问题转化为函数的问题，考查了学生转化与化归的思想方法.5.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的外接球的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，且上下两底面是等腰直角三角形，侧 棱长为 4，底面等腰直角三角形的腰长为 4，找出球心的位置，求出球的半径，从而得出三 棱柱外接球的体积. 【详解】解：根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，如图所示，其中四边形、四边形均是边长为 4 的正方形，三角形 、三角形是，的等腰直角三角形，设 的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，设球的球心为 ，因为三棱柱的为直三棱柱，所以球的球心 为 的中点，且直线 与上、下底面垂直，连接 ，外接球的半径即为线段 的长，所以在中，，，故，即球的半径为 ，所以球的体积为，故选 B.【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，由三视图解析出该几何体是前提，准确想象出 三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，并且从立体图形中构建出平面图形是解得球半径的关键，属于中档题.6.我们可以用随机数法估计 的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生 内的任何一个实数）.若输出的结果为 7840，则由此可估计 的近似值为（ ）A. 3.119B. 3.124C. 3.136D. 3.151【答案】C【解析】【分析】程序的 功能是利用随机模拟实验的方法求取（0，1）上的 x，y，计算 x2+y2+＜1 发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案．【详解】x2+y2＜1 发生的概率为，当输出结果为 7840 时，i＝10001，m＝7840，x2+y2＜1 发生的概率为 P，∴，即 π＝3.136故选：C． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题和随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率 的应用问题，是综合题．7.已知是等差数列，且，，则（）A. -5 【答案】B 【解析】 【分析】B. -11C. -12由是等差数列，求得 ，则 可求D. 3【详解】∵是等差数列，设,∴故故选：B 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题8.设定义在 上的函数 满足，且，则下列函数值为-1 的是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，得到函数的周期是 4，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【详解】由得 f（x-4）＝﹣f（x-2）＝f（x），则函数的周期是 4，则=，=-1即函数值为-1 的为 ，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用代入法和转化法是解决本题的关键．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移 个单位B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位D. 向右平移 个单位【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】函数＝sin（2x ）＝sin2（x ），故把函数的图象向左平移 个单位，可得函数的图象，故选：C． 【点睛】本题主要考查二倍角公式和两角和的 正弦公式，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规 律，熟记变换原则是关键，属于基础题．10.已知 为双曲线 的两个焦点， 是 上的一点，若，且，则 的离心率为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由离心率公式即可得到所求值．【详解】由双曲线的定义可得＝2a，又得点 P 满足 即有 c a，，可得＝4c2，则离心率 e 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查离心率的求法，以及运 算能力，属于基础题．11.已知直三棱柱 余弦值为（ ）的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,可得 AM 与 B 所成角为∠N B 或其补角，在△ NB 中，利用余弦定理即可求解 AM 与 B 所成角的余弦值．【详解】取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,所以 AM 与 B 所成角为∠NC1B 或其补角，设所有棱长为 2，则 N=B=2 ,BN= ，在△ NB 中，由余弦定理 cos∠N B=故选：A【点睛】本题考查线线角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的 合理运用12.已知函数在区间 上只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）A.或B.或C. 【答案】D 【解析】 【分析】 原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[D. ]上有一个实根，即或 在区间[ ]上有一个实根．令，求出其值域，即可得实数 k 的取值范围．【详解】原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[ ]上有一个实根，∴在区间[ ]上有一个实根．令，0，可得 x＝1，当时，f′（x）＜0，此时函数 f（x）递减，当∈（1，e]时，f′（x）＞0．此时函数 f（x）递增，∴f（x）≥f（1）＝1，且，1+e，又﹣1+e，∴实数 k 的取值范围是 k=1 或 故选：D． 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设 的满足约束条件，则的最大值为______．【答案】 【解析】 【分析】先将题中 ， 满足约束条件对应的可行域画出，目标函数意义为一条斜率为-2 的直线，通过平移求解出最值.的几何【详解】解：如图， ， 满足约束条件 边界），对应的可行域为五边形内部（含目标函数的几何意义为一条斜率为-2、截距为 的直线，当直线经过点 O 时，直线的截距最小，最小，故.【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.14.设向量 的模分别为 1,2，它们的夹角为 ，则向量 【答案】 【解析】 【分析】与 的夹角为____．利用向量 夹角公式 cosθ，先求出的模以及与 的数量积，再代入公式计算求解．【详解】∵（）22﹣2 •∴||，（）• ＝3，∴cosθ，∴θ＝2＝12﹣2×1×2×cos60°+22＝3，故答案为 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积的计算，模的计算知识比较基础， 掌握基本的公式和技巧即可顺利求解15.若过点且斜率为 的直线与抛物线交点为 ，若，则 ____．【答案】【解析】【分析】的准线相交于点 ，与 的一个由直线方程为与准线得出点 坐标，再由可得，点 为线段的中点，由此求出点 A 的坐标，代入抛物线方程得出 的值.【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为 的直线方程为，联立方程组，解得，交点 坐标为，设 A 点坐标为，因为，所以点 为线段 的中点，所以，解得，将代入抛物线方程，即，因为 ， 解得 . 【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.设数列 满足 ______．【答案】 【解析】 【分析】 将 相减求 即可 【详解】由题，且 平方得比数列，，则，则数列的前 项的和，进而得 的通项，得,由 错位,∴=0，故，所以 为等两式作差得-即 故答案为 【点睛】本题考查数列的递推关系求通项公式，错位相减求和，考查推理及计算能力，是中 档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设 的内角 ， ， 所对的边长分别是 ， ，，且满足.（1）求角 的大小；（2）若， ，求 的面积.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）由正弦定理得得，进而得【详解】（1）又， 故又，结合余弦定理得 ，则面积可求，则 B 可求（2）由余弦定理，. （2）由余弦定理得：，即 又. 【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，熟记定理及面积公式是关键，是基础题18.国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从 15 个发达地区，10 个欠发达地区，5 个贫困地区中选取 6 个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查 小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能 会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户9060150合计13070200（1）写出选择 6 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.附：参考公式：，其中参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1) 分层抽样(2)见解析 【解析】 【分析】 （1）由分层抽样的定义与特点结合题意确定为分层抽样；(2)计算 的值即可进行判断， 再分析原因给出建议即可 【详解】（1）分层抽样 （2）由列联表中的数据可得 的观测值所以有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关 原因：1.居民对普查不够重视， 不愿意积极配合； 2.企事业单位工作时间固定，个体经营者相对时间不固定 建议：1.要加大宣传力度，宣传要贴近居民生活，易被居民接受； 2.合理的安排普查时间，要结合居民工作特点. 【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验， 的计算，考查计算能力，是基础题19.如图，在四棱锥中， 底面 ，，，，点 为棱 的中点.（1）证明：;（2）若 与底面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）连接,且面 ，即可证明,证明是正方形得，再由（2）由 平面 ，得 与底面角为，由,得，得求解距离即可证明 平 所成的平面，利用【详解】证明:（1）连接,BE,且,, 为棱 的中点，且是正方形，又 平面 ， 平面 ,平面 ,,平面又平面 ,（2）因为 平面 ，所以 与底面 所成的平面角为 ，且,∵,∴tan = 得设点 到平面 的距离为 ，由已知得，，得，所以，点 到平面 的距离为 .【点睛】本题考查线面垂直的判定，线面角的应用，点面距离的考查，考查空间想象和推理 能力，是中档题20.顺次连接椭圆应该的四个顶点恰好构成了一个边长 为且面积为 的菱形.（1）求椭圆 的方程；（2）设，过椭圆 右焦点 的 直线交于 两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求 的最小值.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）列 a,b,c 的方程组求解即可（2）当直线垂直于 轴时得，当直线不垂直于 轴时，设直线与椭圆联立，利用，代入韦达定理得即可求解【详解】（1）由已知得：，解得所以，椭圆 的方程为 （2）设当直线垂直于 轴时，此时，当直线不垂直于 轴时，设直线由，得且 ，要使不等式恒成立，只需，即 的最小值为 .【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量坐标化运算及数量积，考查运 算求解能力，是中档题21.已知函数（1）若 ，求函数 的极值和单调区间；（2）若，在区间 上是否存在 ，使，若存在求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值(2)见解析 【解析】 【分析】（1）， 判 断 符 号 变 化 ， 则 极 值 和 单 调 区 间 可 求 ，（ 2 ）由时，，时得为函数的唯一极小值点，讨论当 求解时和当 时，的 a 的范围即可【详解】（1）当 时，时，，且 有极小值时，故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值.（2）时，，时为函数的唯一极小值点又，当时在区间 上若存在 ，使，则，解得当 时，在为单调减函数，，不存在，使综上所述，在区间 上存在 ，使，此时【点睛】本题考查导数与函数的 单调性，函数的最值，极值与单调区间的求解，分类讨论思 想，考查推理能力，是中档题22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为的直线与曲线 交于 两点. （1）求 的取值范围； （2）求 中点 的轨迹的参数方程.为参数），过点且倾斜角为【答案】(1)(2)（为参数，）.【解析】 【分析】 （1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的 范围；（2）设出 对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示 的参数，从而得出 点 的轨迹的参数方程.【详解】解：（1） 曲线 的直角坐标方程为,当 时，与 交于两点，当 时，记，则的方程为，与 交于两点当且仅当，解得 即或，或，综上 的取值范围是 .（2）的参数方程为（为参数，），设 对应的参数分别为，则且 满足，由韦达定理可得：，故,又点 的坐标 满足所以点 的轨迹的参数方程为（为参数，）.【点睛】本题考查了直线的倾斜角问题，常见解法是转化为求斜率的范围问题；还考查了点 的轨迹问题，常见解法有相关点法、几何图形性质等方法.23.已知函数，.（1）若，不等式恒成立，求实数 的取值范围；（2）设，且，求证：.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）不等式恒成立，等价于，然后求出函数解决问题；的最小值，从而（2）要证，即证明即可.【详解】解：（1）由，，，所以 的取值范围是（2）由（1），当且仅当， 时等号成立，，然后借助于基本不等式证 ，，【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是 否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.。

赤峰市高三年级期末模拟考试试题文科数学（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3A x x =∈≤N ，{}(3)(3)0B x x x =∈-+<R ，则A B ⋂=（ ） A ．{0,1,2}B ．{}33x x ∈-<<RC ．{}13x x ∈≤<RD ．{1,2}2．已知a ∈R ，(5i)i 15i a +=+，（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图1所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G 直接经济产出做出的预测．则以下结论错误的是（ ）A ．运营商的5G 直接经济产出逐年增加B ．设备制造商的5G 直接经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的5G 直接经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的5G 直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥ ②若m n ∥，m α⊄，n α⊂，则m α∥ ③若αβ⊥，m α∥，则m β⊥ ④若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥其中正确的命题个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知向量a ，b 的夹角为120︒，||4a =，||2b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A ．4B ．2-C D ．1-6．设0.732a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.723b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()334log log 4c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（ ） A ．0B ．1-C ．2D ．18．已知函数1()sin()f x x ωϕ=-（其中0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则ω与ϕ分别等于（ ）A ．1，3π-B ．1，23π-C ．2，23π D ．2，3π9．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC △的面积为且cos cos cos c a bC A B+=+，BC 的中点为D ，则AD 的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，点M ，N 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AM ，AN 的斜率之积为2-，则C 的离心率为（ ）A B ．2C ．2D 11．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 为球O 的直径，且PC OA ⊥，PC OB ⊥，AOB △为等边三角形，三棱锥P ABC -O 的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π12．已知函数2()2ln xe f x a x ax x=+-存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．22,44e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan 3α=，则cos2α=______．14．在[1,1]-上随机取一个数a ，则事件“直线y ax =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为______．15．抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过C 上一点P 作C 的准线l 的垂线，垂足为A ，若直线AF 的斜率为a -，则PAF △的面积为______． 16．设有下列四个命题：①1p ：x ∃∈R ，x e m ≤为假命题，则(,0]m ∈-∞；②2p ：函数212115y x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为1+ ③3p ：关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∈R 恒成立的一个必要不充分条件是102a <<；④4p ：设函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，如果n m >，且()()f n f m =，令t n m =-，那么t 1；则上述命题为真命题的序号是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）已知单调递增的等差数列{}n a ，且12a =，2a ，32a +，64a +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．18．（12分）为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查．问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25：女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15．据调查结果制作了如下22⨯列联表．（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数恰为1人的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，24PA AB ==．（1）取PC 中点F ，证明：PC ⊥平面AEF ； （2）求点D 到平面ACE 的距离．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(,0)A a ，(0,)B b ，直线l 过坐标原点O 交椭圆C 于P ，Q 两点（点A ，B 位于直线l 的两侧）．设直线AP ，AQ ，BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求证：1234k k k k +为定值． 21．（12分）已知函数()ln (1),f x x a x a =-+∈R ．（1）讨论函数的单调性；（2）对任意0x >，求证：22(1)()xe a xf x xe-+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244,x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半拍为极轴建立极坐标系，曲线2C sin 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，且两曲线1C 与2C 交于M ，N 两点． （1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程； （2）设(2,1)P -，求PM PN -． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1|2|1|f x x x =++-． （1）解不等式()22f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为t ，若0a >，0b >，且a b t +=，证明：22111a b a b +≥++． 赤峰市高三1·30模拟考试试题文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．45-14．14 15．15216．①④ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（1）解：设递增等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，由22a d =+，322a d =+，625a d =+，有2(222)(2)(254)d d d ++=+++，化简得24d =．则2d =，1(1)2n a a n d n =+-=，所以{}n a 的通项公式为2n a n =．（2）解：因为k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k ，所以在数列{}n b 中有10项来自{}n a ，10项来自{}2n，所以()102021210(220)2156212T -+=+=-．18．（12分）（1）解：补充的列联表如下：所以22100(2236933)100334.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科， 用1A ，2A 表示更擅长理科的两人，用1B ，2B ，3B 表示其他三人， 则从这5人中，任取两人共有以下10种情况：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,B B ，()31,B B ，()23,B B ，满足条件的有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B 共6种情况，所以概率为35．19．（12分）（1）证明：因为PC 中点F ，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，则BC =4AC =． 而4PA =，则在等腰三角形APC 中，PC AF ⊥①．又在PCD △中，PE ED =，PF FC =，则EF CD ∥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 则PA CD ⊥，又90ACD ∠=︒，即AC CD ⊥，AC PA A ⋂=，则CD ⊥平面P AC ，因为PC ⊂平面P AC ，所以PC CD ⊥，因此EF PC ⊥②． 又EF AFF ⋂=，由①②知PC ⊥平面AEF ；（2）在Rt ACD △中，CD =4AC =，∴ACD S =△，又EM PA ∥，PA ⊥平面ABCD ，∴EM⊥平面ABCD ，即EM 为三棱锥E ACD -的高，∴112333E ACD ACD V S EM -=⋅=⋅=△，在ACE △中，AE CE ==4AC =，∴8ACE S =△，设点D 到平面ACE 的距离为h ，则133D ACE E ACD ACE V V S h --==⋅⋅=△，∴h =D 到平面ACE 的距离为20．（12分）（1）解：由题意得24,1,2a =⎧=解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）点A ，B 的坐标分别为(2,0)，．设点P 的坐标为(,)m n ，由对称性知点Q 的坐标为(,)m n --．所以12n k m =-，22n k m =+．所以2122224n n n k k m m m =⋅=-+-． 又因为点P 在椭圆22:143x y C +=上，所以22143m n +=，即22443m n -=-，所以21223443n k k n ==--． 同理3434k k =-．所以2234333442k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为定值．21．（12分）（1）解：由题意得()f x 的定义域是(0,)+∞，11()axf x a x x-=-='， 当0a ≤时，令()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得：1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：要证22(1)()x e a x f x xe -+>，即证22ln 0xe x e x ⋅->， 令22()ln x e g x x e x =⋅-，则2222(1)()x x e e x g x e x--='， 令2()2(1)xr x x e e x =--，则2()2x r x xe e '=-，由()r x '在(0,)+∞单调递增，且2(1)20r e e ='-<，2(2)30r e ='>，∴存在唯一的实数0(1,2)x ∈，使得()00r x '=，∴()r x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∵(0)0r <，(2)0r =，∴当()0r x >时，2x >，当()0r x <时，02x <<，∴()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，∴()(2)1ln20g x g ≥=->，综上，22ln 0x e x e x ⋅->，即22(1)()xe a xf x xe-+>． 22．（10分）选修4- 4：坐标系与参数方程（1）解：由曲线1C 的参数方程消去参数t ，得24y x =，即曲线1C 的直角坐标方程为24y x =． 由曲线2C 的极坐标方程，得sin cos 10ρθρθ+-=，则10x y +-= 即2C 的直角坐标方程为10x y +-=．（2）解：因为(2,1)P -在曲线2C 上，所以曲线2C的参数方程为2,21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入1C的直角坐标方程，得21702t +-=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-，1214t t =-，所以12||||||PM PN t t -=+= 23．（10分）选修4-5：不等式选讲（1）解：不等式等价于13122x x x ≤-⎧⎨-+≤+⎩或11322x x x -<<⎧⎨-+≤+⎩或13122x x x ≥⎧⎨-≤+⎩，解得x ∈∅或113x ≤<或13x ≤≤．所以不等式()22f x x ≤+的解集为133x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）解：法一：由31,1()3,1131,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩知，当1x =时，min ()(1)2f x f ==，即2a b +=．法二：()|1|2|1|(|1||1|)|1||11||11|2f x x x x x x x x =++-=++-+-≥+-++-=， 当且仅当1x =时，取得等号，则()f x 的最小值为2，即2a b +=．法一：22222222(1)(1)()()44111(1)(1)()13332a b a b b a ab a b a b a b a b a b ab a b ab ab a b ++++++++====≥=++++++++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==，不等式取得等号，所以22111a b a b +≥++．法二：由柯西不等式可得：22222111()1114114a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++++=+≥+= ⎪++++⎝⎭．当且仅当1a b ==，不等式取得等号，所以22111a b a b +≥++．。

高考数学模拟试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页～第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M I 等于（ ）（A ）)1,1(- （B ）)3,1( （C ）)1,0( （D ）)0,1(-2．下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ）（A ）2x y = （B ）3x y -= （C ）||lg x y -= （D ）x y 2=3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）.（A ）9（B ）10（C ）19（D ）294．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是（A ）23 （B ）43（C ）53 （D ）836．在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，若存在实数,λμ，使AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则（ ）（A ）11,33λμ== （B ）21,33λμ== （C ）12,33λμ== （D ）22,33λμ== 7. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（A ） 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ） 若//αβ，//m α，则//m β （C ） 若//αβ，m α⊥，则m β⊥ （D ） 若//m α，//m β，则//αβ俯视图侧（左）视图正（主）视图111128．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设1x ，2x 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有 (A) 12x x =，12s s < (B) 12x x =，12s s >(C) 12x x >，12s s >(D)12x x =，12s s =9．△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) （A ）191622=+y x (y ≠0) （B ） 192522=+x y (y ≠0)（C ）191622=+x y (y ≠0) （D ）192522=+y x (y ≠0)10． 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ） （A ） 向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度 （C ） 向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度11．已知直线x y =按向量a 平移后得到的直线与曲线)2ln(+=x y 相切，则a 可以为 （A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（0，2） （D ）（2，0）12．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是 （A ）[5,5]- （B ）11[,]33-（C ） 11[,0)(0,]33-U （D ）33[,0)(0,]-U数学试题（文科）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13． 若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z . 14.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是____________.15. 给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与 输出的y 值相等, 则这样的x 值的集合为____________.16．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意的自然数n ，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17.（本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且sin 3cos b A a B =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.18．（本题满分12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．EDPCA19．（本题满分12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示： （I ）求频率分布直方图中m 的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（III ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．20．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且C 上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设直线l 与椭圆交于P 、Q ，O 为坐标原点，若90POQ ∠=︒，求证2211PQOQ+为定值．4653100频率 组距2xyQOP21.（本小题满分12分） 已知函数1()1e xf x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）过点(0,)B t 能否存在曲线()y f x =的切线，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F .若35AC AB =. (Ⅰ)OD ∥AE ; (Ⅱ)求FDAF的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为22,2(24.2x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M N 、. (Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2． （Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．数学试题（文科）参考答案一、选择题：BABA BACB DCAD 二、填空题：13、12i -； 14、53； 15、{}0,1,3； 16、()3,-+∞ 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）因为sin 3cos b A a B =，由正弦定理sin sin a bA B=得：sin 3cos B B =，tan 3B = 因为02B π<<，所以3B π=---------------------------6分（Ⅱ）因为sin 2sin C A =，由正弦定理知2c a = ① 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+- ② 由①②得3,23a c ==。

2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ）A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A.36B.423C.433D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试（文科）数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3aA =，{,}B a b =，若13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则22a b -=（ ）A. 0B.43C.89D.【答案】C 【分析】由13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,可解得,a b ,代入即可求得结果.【详解】Q 13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,331=a ∴,解得:1a =-, 13b =,22181-=99a b -∴=.故选:C.【点睛】本题考查已知交集求解参数,难度容易.2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发xi 现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，6i e π表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【分析】由cos sin ixe x i x =+可知当6x π=时,6=cossin66ii e πππ+,化简即可求得结果.【详解】Q cos sin ix e x i x =+,∴ 当6x π=时,61=cossin662ie i i πππ+, ∴6i e π表示的复数对应的点为1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在第一象限. 故选:A.【点睛】本题考查复数与平面内点的对应关系,难度容易. 3.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 45-B. 35-C.35D.45【答案】B 【分析】先用诱导公式化简,再借助三角函数定义即可解得. 【详解】因为角α的终边经过点(4,3)-,则有3sin =5a , 所以3cos sin 25-=-παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选:B.【点睛】本题考查诱导公式, 考查三角函数的定义求函数值,难度容易.4.已知(2,0)是双曲线221yx k-=一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. y x =±C. y =D.y =【答案】D【分析】利用已知条件列出关系式，求解k ，然后得到双曲线的渐近线方程．【详解】解：由已知(2,0)为双曲线的一个焦点可得，14k +=，即3k =，2213yx ∴-=所以渐近线方程为：3y x =±． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）A. 43+B. 843+C. 883+D.83+【答案】D 【分析】根据在直角三角形的边角关系求出弦心距,弦长及“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可.【详解】设半径为r ,圆心到弦的距离为d ,则121cos 232d r r π⎛⎫=⋅⨯=⎪⎝⎭, 11422r d r r r -=-==Q8,4r d ∴==∴ 所以弦长为2222641683r d -=-=, ∴弧田面积为()21834481632⨯⨯+=+.故选:D.【点睛】本题考查新定义的面积公式,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易. 6.我区的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.督导一年后.分别随机抽查了高中（用A 表示）与初中（用B 表示）各10所学校.得到相关指标的综合评价得分（百分制）的茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信息为（80分及以上为优秀）（ ） ①高中得分与初中得分的优秀率相同 ②高中得分与初中得分的中位数相同 ③高中得分的方差比初中得分的方差大 ④高中得分与初中得分的平均分相同A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】B 【分析】根据茎叶图可计算优秀率、中位数、平均数;根据得分的分散程度可判断方差大小关系,从而可得各个选项的正误.【详解】从茎叶图可知抽查的初中得分优秀率为:3100%30%10⨯= ；高中得分的优秀率为:3100%30%10⨯=可知①正确;高中的中位数为75.5,初中的中位数为72.5,可知②错误；初中得分比较分散，所以初中的方差大，可知③正确;高中的平均分为75.7,初中的平均分为75,可知④错误. 故选:B.【点睛】本题考查利用茎叶图求解频率、中位数、平均数、方差的问题,难度较易.7.如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，点,E F 分别为对角线BD 上两个三等分点，则AE CF ⋅=u u u v u u u v（ ）A. 43-B.43C. 283-D.283【答案】A 【分析】在菱形ABCD 中，求得2AB AD ⋅=-u u u r u u u r，再根据向量的线性运算，得到1(2)3AE AD AB =+u u u r u u u r u u u r ，再根据向量的数量积的运算，即可求解．【详解】由题意，因为2AB AD ==，120BAD ︒∠=，所以2AB AD ⋅=-u u u r u u u r，所以13AE AB BE AB BD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11()(2)33AB AD AB AD AB =+-=+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又AE CF =-u u u r u u u r ，所以21(2)9AE CF AB AD ⋅=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r ()22144493AB AB AD AD -+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选A.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的三角形法则，以及准确利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232 321 210 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计事件A 发生的概率为（ ） A.29B.518C.13D.718【答案】C 【分析】18组随机数中,利用列举法求出事件A 发生的随机数有共6个,由此能估计事件A 发生的概率. 【详解】18组随机数中,利用列举法求出事件A 发生的随机数有210，021，001，130，031，103，共6个,估计事件A 发生的概率为61183p ==. 故选:C.【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,难度较易.9.已知(4)(2)f x f x -=+，()f x 在(,3]-∞上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ）A. 2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B. 2,23⎛⎫⎪⎝⎭C. 22,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 42,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【分析】由(4)(2)f x f x -=+可知()f x 的图象关于直线3x =对称, 由(0)0f =可知(6)0f =,则(23)0f x ->可转化为230x -<或236x ->,即可求得结果.【详解】Q (4)(2)f x f x -=+,∴ ()f x 的图象关于直线3x =对称, Q (0)0f =,∴(6)0f =,Q ()f x 在(,3]-∞上单调递减,∴()f x 在[)3,+∞上单调递增,∴(23)0f x ->,可得230x -<或236x ->,解得:23x >或43x <-.故选:D.【点睛】本题主要考查函数图象及性质,考查数形结合思想、化归与转化思想的应用,难度一般. 10.已知,a b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中： ①若,a b αββγ⋂=⋂=，且a ∥b ，则α∥γ；②若,a b 相交，且都在,αβ外，//a α，a ∥β，//b α，b ∥β，则α∥β；③若αβ⊥，a αβ⋂=，b β⊂，a b ⊥r r，则b α⊥；④若a α⊂，b α⊂，l a ⊥，l b ⊥，则l α⊥.其中正确命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①②③④【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,面面垂直的性质定理对命题依次判断即可得出结论.【详解】①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行;④错误,a b 、相交时结论才成立.通过排除可知②③正确. 故选:C.【点睛】本题考查线面的位置关系,考查学生空间想象能力和对判定定理和性质定理的认知能力,难度一般.11.已知函数()2()2xf x x m e =+有最小值，则函数2()24g x x x r =++的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 取决于m的值 【答案】C 【分析】求导化简可得()2()e24e ()xx f x xx m g x '=++=⋅,由函数()f x 有最小值可知,()=0f x '应有两解,即224=0x x m ++由两解,即可得到()g x 的零点个数. 【详解】()()22()4e 2e e24e ()xx xx f x x x m xx m g x '=⋅++⋅=++=⋅,函数()f x 的最小值即其极小值，即()=0f x '解.当()=0f x '有一解0x 时,在0x 两侧()>0f x '都成立,此时()f x 是单调递增的,没有极值,不符合题意应舍去,因此()=0f x '有两解，即224=0x x m ++有两解，故()g x 有两个零点.故选:C.【点睛】本题考查导数在求函数最值中的应用,考查函数的零点问题,难度较难.12.有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料111ABC A B C -，其各棱长都为2.已知1Q ，2Q 分别为上，下底面的中心，M 为12Q Q 的中点，过A ，B ，M 三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（ ） A.7B.163C.319D. 2【答案】B 如图:连NO 延长交1DC 于M,易证11DO O M =,因为1O 为中心，所以1113C M CD =，过M 做EF ||AB ,则梯形ABFE 即为所求截面，12233EF =⨯=,224132()33AE BF ==+=,52443993-=，故梯形面积为1243163+223⨯（） B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若24mn +=2____．（用数字作答）【答案】12- 【分析】首先利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系中的平方关系和正弦的倍角公式，对式子进行化简，求得结果.【详解】根据题中的条件可得：22cos542sin182cos18-=⋅=o oo o sin 3612sin 362-==-o o， 故答案是：12-. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的求值问题，涉及到的知识点有新定义，利用条件对式子进行正确的变形是解题的关键.14.在锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =且224bc b c +=+，则角A =___. 【答案】3π【分析】根据已知条件,反凑余弦定理,即可求得角A. 【详解】Q 2a =,2224bc a bc b c +=+=+∴,222b c a bc ∴+-=由余弦定理得: 2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,又03A A ππ<<∴=，. 故答案为:3π.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.15.直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B 两点，则p =______，11AF BF+=______． 【答案】 (1). 2 (2). 1 【分析】 由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =．联立方程，利用韦达定理可得结果.【详解】由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =． 当直线AB 斜率不存在时：1x =代入，解得2AF BF ==，从而111AF BF+=． 当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为()1y k x =-，联立()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理，得()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩从而12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++． （方法二）利用二级结论：112AF BF p+=，即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.16.已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3412a b a b +--的最小值为____.【答案】7+ 【分析】通过求导数,根据导数符号可判断出()f x 是R 上的增函数,且()f x 是奇函数,从而根据1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出121f f a b ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得出21ab a =-，所以34374(1)121a b a a b a +=++----且,a b 都为正数,从而根据基本不等式即可求出最小值. 【详解】()sin f x x x =+Q ,()1cos 0,()sin()()f x x f x x x f x '∴=+≥-=-+-=-()f x ∴是增函数,且()f x 是奇函数,由1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得121f f a b ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 121a b ∴=-,即21ab a =-. ,a b Q 都为正数,1a ∴>. 343(1)34(2)83838772121212121a b a b a a b a b a b a a -+-+∴+=+=++=++---------374(1)771a a =++-≥+=+-当且仅当34(1)1a a =--时取等号. 故答案为:7+【点睛】本题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，奇函数的定义，基本不等式求最值的方法,考查了计算和推理能力,难度一般.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,0n S An Bn C A =++≠.（Ⅰ）当2A =、0C =，且210a =-时，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的各项均为负实数，当1336,9a a =-=-时，求实数A 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）*418,n a n n N =-∈（Ⅱ）902A -<< 【分析】(Ⅰ) 2n ≥时,1112n n n S n a S n S -=⎧=⎨-≥⎩，，化简可得4(2)n n a B =+-,=2n 代入可解得16B =-,1n =代入验证即可求得通项公式.(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知2n ≥时,12()n n n a S S An B A -=-=+-, 39a =-,可得59B A =--则269n a An A =--,由136a =-及各项均为负实数,可知需满足0A <,20a <即可.【详解】解：（Ⅰ）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S An Bn C =++，若2A =、0C =，2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)(1)An Bn C A n B n C =++-----2()An B A =+-4(2)n B =+-可得28(2)10a B =+-=- ∴16B =-，则418n a n =-， 当1n =时，可得1114a S ==-； 则*418,n a n n N =-∈.（Ⅱ）设{}n a 的各项均为负实数， 由（Ⅰ）知，当2n ≥时，12()n n n a S S An B A -=-=+-∴36()59a A B A A B =+-=+=- ∴59B A =--∴12()n n n a S S An B A -=-=+- ∴269n a An A =--若{}n a 的各项均为负实数，则0A <，且269n a An A =--在2n ≥递减，只须20a <即可， ∴92A >-故实数A 的取值范围为902A -<<. 【点睛】本题考查1112n n n S n a S n S -=⎧=⎨-≥⎩，，,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易.18.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）设2AB =，若AEF V 的面积为394求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解+析（Ⅱ）4 【分析】(Ⅰ) 因为四边形ABCD 是菱形,则有AC BD ⊥,由PA ⊥平面ABCD ,则PA BD ⊥,即可证得BD ⊥平面PAC ,进而证得结论.(Ⅱ)由PA ⊥平面ABCD ,由AB AC =则PB PC =,E 、F 分别是BC 、PC 的中点,则有12EF PB =，12AF PC =设AF EF a ==,21sin 2AEF S a AFE =⋅∠=△2232cos a a a a AFE =+-⋅⋅∠,即可求得a ,在Rt PAC ∆中,即可求出PA ,进而求得体积.【详解】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形 ∴AC BD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴PA BD ⊥ 又∵PA AC A =I ∴BD ⊥平面PAC 又∵BD ⊂平面PBD ∴平面PBD ⊥平面PAC（Ⅱ）∵四边形ABCD 是菱形，2AB =，60ABC ∠=︒， ∴ABC V 为等边三角形. ∵E 是BC 的中点,∴AE =又∵PA ⊥平面ABCD ，2AB AC == ∴PB PC =又∵E 、F 分别是BC 、PC 的中点， ∴12EF PB =，12AF PC =在AEF V 中，AE =AF EF a ==，1sin 24AEF S EF AF AFE =⋅⋅∠=△ 且2232cos a a a a AFE =+-⋅⋅∠ ∴2AF EF a ===∴PA =所以123P ABCD V -=⨯.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理,考查求解几何体的体积问题,难度一般.19.某市据实际情况主要采取以下四种扶贫方式：第一，以工代赈方式，指政府投资建设基础设施工程，组织贫困地区群众参加工程建设并获得劳务报酬，第二，整村推进方式指以贫困村为具体帮扶对象，帮扶对口到村，资金安排到村，扶贫效益到户，第三，科技扶贫方式，指组织科技人员深入贫困乡村实地指导、技术培训等传授科技知识，第四，移民搬迁方式，指对目前极少数居住在生存条件恶劣、自然资源贫乏地区的特困人口，实行自愿移民，该市为了2020年更好的完成精准扶贫各项任务，2020年初在全市贫困户（分一般贫困户和“五特”户两类）中随机抽取了5000户就目前的主要四种扶贫方式行了问卷调查，支持每种扶贫方式的结果如表：已知在被调查的5000户中随机抽取一户支持整村推进的概率为0.36.（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的贫困户中抽取50户进行深入访谈，问应在支持科技扶贫户数中抽取多少户？（Ⅱ）虽然“五特”户在全市的贫困户所占比例不大，但本次调查要有意义，其中这次调查的“五特”户户数不能低于被调查总户数的9.2%，已知1530,58b c ≥≥，求本次调查有意义的概率是多少？【答案】（Ⅰ）16户（Ⅱ）1113【分析】（Ⅰ）5000户中随机抽取一户支持整村推进的概率为0.36.可求得支持整村推进的户数1800,可知200a =,进而求得b c +,由()505000b c ⨯+即可求得结果; （Ⅱ）因为1530b ≥，58c ≥，1600b c +=，列出所有符合的结果共13种,由于五特户户数不能低于被调查总户数的9.2%,即50009.2%460⨯=,即100+100400460a c c ++=+≥,即60c ≥有意义,找到符合题意的结果即可求出概率.【详解】解：（Ⅰ）∵支持整村推进户数为50000.361800⨯=户. ∴5000120010018003001600b c +=----=户. ∴应在支持科技扶贫户数中抽取的户数为：501600165000⨯=（户）. （Ⅱ）∵200a =五特户户数不能低于被调查总户数的9.2% ∴即50009.2%460⨯=∴60c ≥有意义，又1530b ≥，58c ≥，1600b c +=，,b c 情况列举如下：(1530,70),(1531,69),(1532,68),(1533,67),(1534,66),(1535,65),(1536,64)，(1537,63),(1538,62),(1539,61),(1540,60),(1541,59),(1542,58)共13种情况.∴本次调查有意义的概率1113P =. 【点睛】本题考查分层抽样的应用及古典概型概率公式的应用,考查学生分析问题的能力,难度一般.20.()ln (,0)b f x a x a a R a =+∈≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2()y x b b R =+∈.（Ⅰ）求a 、b的值；（Ⅱ）若[1,)x ∀∈+∞，不等式11()22f x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2a =，2b =.（Ⅱ）12m ≥ 【分析】（Ⅰ）求导可得()a f x x '=，由(1)21a f '==,解得a ,由切点为()1,ba 在切线2y xb =+上，代入即可求得结果;（Ⅱ）由（Ⅰ）得()2ln 4f x x =+,[1,)x ∀∈+∞,11()22f x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭恒成立等价于 1ln x m x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立,构造函数1()ln g x x m x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，只需符合[1,),()0x g x ∀∈+∞≤恒成立,由 (1)=0g 通过求导讨论()g x 的单调性及讨论函数值和(1)g 的关系,即可求出求实数m 的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）∵()ln (,0)bf x a x a a R a =+∈≠，0x >， ∴()a f x x'=， 由题意得(1)21af '==， ∴2a =， 又切点为()1,ba 在切线2y xb =+上，∴22b b += ∴2b =∴2a =，2b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()2ln 4f x x =+，∴[1,)x ∀∈+∞，11()22f x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭， 即1ln x m x x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭， 设1()ln g x x m x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 即[1,),()0x g x ∀∈+∞≤，22211()1mx x m g x m x x x -+-⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭， ①若0m ≤，()0g x '>，()g x 在[1,)+∞上为增函数，()(1)0g x g ≥=，这与题设()0g x ≤矛盾；②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m =-△， 当0∆≤，即12m ≥时，()0g x '≤.∴()g x 在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)0g x g ≤=，即不等式成立， 当102m <<时，方程20mx x m -+-=，设两根为()1212,x x x x <，1(0,1)x =，2(1,)x =+∞，当()21,x x ∈，()0,()'>g x g x 单调递增，()(1)0g x g >=，与题设矛盾， 综上所述，12m ≥. 【点睛】本题考查导函数的几何意义,导数在恒成立问题求解参数中的应用,难度较难.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点且椭圆的短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于,M N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）2211612x y +=（Ⅱ）存在，11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（Ⅰ）由椭圆性质可知2b =点代入即可求得结果.（Ⅱ）假设存在定点(,0)Q m 符合题意，①当直线l 的斜率不存在时，由13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时,解得114m =-或114m =.由①②可得114m =,然后证明当114m =时,通过方程联立,借助韦达定理,坐标表示13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 即可证得结论.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C过点，所以221231a b +=.又椭圆的短轴长为2b =212b =，解得216a =.所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r ，①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3),(2,3)QM m QN m =-=--u u u u r u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0),(4,0)M N -，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r， 由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =. 由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立，当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222234161630k x k x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++，所以11221111,,44QM QN x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r()()22222221631116121135124434431616k k k k k k k -⎛⎫=+-+++=- ⎪++⎝⎭. 综上所述，在x 轴上存在定点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立..【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆位置关系中定点定值问题,难度较难.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线(0)3πθρ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当||||AB OP =时，求a 的值.【答案】（Ⅰ）:0l y a +-=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ）0或 【分析】（Ⅰ）将l 参数方程消去t 即可得到普通方程；由24cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原则可得C 的直角坐标方程；（Ⅱ）联立C 和射线的极坐标方程可得P 点极坐标，从而得到OP ；将l 参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用t 的几何意义，结合韦达定理构造关于a的方程，解方程求得结果.【详解】（1）将直线l 的参数方程消去t0y a +-=由4cos ρθ=得：24cos ρρθ= 224x y x ∴+=整理可得曲线C 的直角坐标方程为：()2224x y -+=（2）由()4cos 03ρθπθρ=⎧⎪⎨=≥⎪⎩得：2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭ 2OP ∴=将直线l 的参数方程代入C得：()2220t t a ++=由()22240a ∆=->得：44a -<<设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则：122AB t t =-===解得：0a =或a =∴所求a 的值为0或【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、极径的意义、直线参数方程中参数的几何意义的应用等知识，属于常考题型.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2||2|f x x a x =++-（其中a ∈R ）．（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()5|2|f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{|04}x x x ≤≥或（2）4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）当4a =-时不等式()6f x ≥化为2226x x -+-≥，即22x -≥，即可求得不等式的解集；（2）不等式化为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即2|2||42|5x a x a ++-≥，利用绝对值不等式化为245a a +≥，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥，即为|24||2|6x x -+-≥，所以|2|2x -≥，即22x -≤-或22x -≥，原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或．（2）不等式2()5|2|f x a x ≥--即为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即关于x 的不等式2|2||42|5x a x a ++-≥恒成立．而|2||42||4|x a x a ++-≥+，所以2|4|5a a +≥，解得245a a +≥或245a a +≤-，解得415a -≤≤或a φ∈． 所以a 的取值范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题．。

内蒙古赤峰市2024高三冲刺（高考数学）部编版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，集合，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（）A ．向左平移个单位B．向左平移个单位C ．向右平移个单位D．向右平移个单位第(3)题设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(4)题已知四边形ABCD的四个顶点在抛物线上，则“A，B，C，D四点共圆”是“直线AC与BD倾斜角互补”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（）A．B．0C．D．第(6)题已知，，则（）A．B．C．D．第(7)题数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（）.A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题若平面向量，，则（）A．1B．C．4D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在中，已知，则以下四个结论正确的是（）A．最大值B．最小值1C．的取值范围是D．为定值第(2)题设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（）A．B．数列为等差数列C．当时有最大值D．设，则当或时数列的前n项和取最大值第(3)题在棱长为1的正方体中，若点为四边形内（包括边界）的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（）A．若，则平面截正方体所得截面的面积为B ．若直线与所成的角为，则点的轨迹为双曲线C．若，则点的轨迹长度为D．若正方体以直线为轴，旋转后与其自身重合，则的最小值是120三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为________．第(2)题已知正四棱柱的体积为，侧棱，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度为______．第(3)题已知全集，集合，集合，则__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（2）设与曲线交于､两点，与曲线交于､两点，求四边形面积.第(2)题如图，曲线是以原点为中心、，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，.（1）求曲线和的方程；（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于，，，四点，若为中点，为中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.第(3)题如图，在三棱柱中，点分别在棱，上（均异于端点），平面．(1)若三棱柱的底面是边长2的正三角形，，求几何体的体积；(2)若，，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．第(4)题已知椭圆的离心率为的上顶点和右顶点分别为，点的面积为2．(1)求的方程；(2)过点且斜率存在的直线与交于两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点．第(5)题如图，海岸公路MN的北方有一个小岛A（大小忽略不计）盛产海产品，在公路MN的B处有一个海产品集散中心，点C在B的正西方向10处，，，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心.现有两种方案：①沿线段AB开辟海上航线：②在海岸公路MN上选一点P建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN运送到集散中心.已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/、200元/.（1）求方案①的运输费用；（2）请确定P点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？。