高三文科数学复习单元检测试题8

单元质检卷八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018广东化州一模,6)设m,n为两条不同的直线,α为平面,则下列结论正确的是()A.m⊥n,m∥α⇒n⊥αB.m⊥n,m⊥α⇒n∥αC.m∥n,m⊥α⇒n⊥αD.m∥n,m∥α⇒n∥α2.(2019届河北武邑中学三调,10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C.5π D.3.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.84.(2019届广东珠海摸底,7)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,过轴PO的截面为△PAB,C为PA中点,PA=4,PO=6,则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为()A.2B.2-C.6D.2-5.(2018黑龙江鹤岗一中模拟,12)三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,PA=PB=PC=1,PA⊥PB,三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.12πB.3πC.D.2π6.(2019届河北衡水联考,11)将正方形ABCD沿对角线AC折起,点B到达B'的位置.当以A,B',C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与B'C所成的角为()A. B. C. D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018福建厦门外国语学校模拟,15)已知棱长为1的正方体有一个内切球(如图),E为底面ABCD的中心,A1E与球相交于EF,则EF的长为.8.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019届四川一诊,18)如图所示,四棱锥S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠ABC=90°,AB=, BC=1,AD=2,∠ACD=60°,E为CD的中点.(1)求证:BC∥平面SAE;(2)求三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的体积比.10.(15分)(2018河北唐山一模,18)在直角三角形ABC中,AB=BC=2,D为AC的中点,以BD为折痕将△ABD折起,使点A到达点P的位置且PB⊥CD.(1)求证:PD⊥CD;(2)求A点到平面PBC的距离.11.(15分)(2019届贵州遵义航天高中模拟,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,△PAB为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.E,M分别为线段AB,PD的中点.(1)求证:PE⊥平面ABCD;(2)在棱CD上是否存在点G,使平面GAM⊥平面ABCD,请说明理由,并求三棱锥D-ACM的体积.单元质检卷八立体几何(B)1.C对于A,当m⊥n,m∥α时,可能n⊂α或n与α斜交,故A错;对于B,m⊥n,m⊥α⇒n∥α或m⊂α,故B错;对于C,m∥n,m⊥α⇒n⊥α,正确;对于D,m∥n,m∥α⇒n∥α或m⊂α,故D错;故选C.2.A由三视图可知,从左往右为半个圆锥,一个圆柱,一个半圆,故体积为π+π·2+π=π.故选A.3.B由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.4.A先作出圆锥的侧面展开图如图所示,由题得圆锥底面圆的半径为-=2,所以=π·4=4π,∴∠APA'==π,所以∠APB=,所以BC==2.故选A.5.B∵三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,PA=PB=PC=1,∴△PAB≌△PAC≌△PBC.∵PA⊥PB, ∴PA⊥PC,PB⊥PC.以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作正方体如图,则正方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球.∵正方体的对角线长为,∴球直径为,半径R=,因此,三棱锥P-ABC外接球的表面积是4πR2=4π×2=3π.故选B.6.C设O是正方形对角线AC、BD的交点,将正方形ABCD沿对角线AC折起,可得当B'O⊥平面ADC时,点B'到平面ADC的距离等于BO,当B'O与平面ADC不垂直时,设点B'到平面ADC的距离为d,则d<B'O,由此可得当三棱锥B'-ACD的体积最大时,B'O⊥平面ADC.连接B'B,因为AD∥BC,所以∠BCB'就是直线AD与B'C所成的角,设正方形的边长为a,因为B'O⊥平面ADC,OB⊂平面ADC,所以B'O⊥OB,因为B'O=BO=AC=a,所以BB'=BC=B'C=a,即△BB'C是等边三角形,所以∠BCB'=,所以直线AD与B'C所成的角为,故选C.7.设球心O到FE的距离为d,则在△OA1E中,A1E=,OE=.由等面积法可得×d,∴d=,∵球的半径为,∴EF=2.故答案为.8.连接A1B,则∠A1BE是BE与CD1所成的角.设AA1=2AB=2a,则BE=a,A1B=a,则cos∠A1BE=.9.(1)证明因为AB=,BC=1,∠ABC=90°,所以AC=2,∠BCA=60°,在△ACD中,AD=2,AC=2,∠ACD=60°,由余弦定理可得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos∠ACD,解得CD=4.所以AC2+AD2=CD2,所以△ACD是直角三角形,又E为CD的中点,所以AE=CD=CE.又∠ACD=60°,所以△ACE为等边三角形,所以∠CAE=60°=∠BCA,所以BC∥AE,又AE⊂平面SAE,BC⊄平面SAE,所以BC∥平面SAE.(2)解因为SA⊥平面ABCD,所以SA同为三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的高.由(1)可得∠BCE=120°,CE=CD=2,所以S△BCE=BC×CE×sin∠BCE=×1×2×.S四边形BEDA=S四边形ABCD-S△BCE=S△ABC+S△ACD-S△BCD=×1+×2×2=2.所以S△BCE∶S四边形ABED=∶2=1∶4.故三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的体积比为1∶4.10.解 (1)证明:∵直角三角形ABC中,AB=BC=2,D为AC的中点,∴BD⊥CD,又∵PB⊥CD,BD∩PB=B,∴CD⊥平面PBD,又因为PD⊂平面PBD,∴PD⊥CD.(2)∵AD⊥BD,∴PD⊥BD.又∵PD⊥CD,BD∩CD=D,∴PD⊥平面BCD.在直角三角形ABC中,AB=BC=2,所以PD=AD=,PB=PC=BC=2.S△ABC=2,S△PBC=,设A点到平面PBC的距离为d,由V P-ABC=V A-PBC,得S△ABC×PD=S△PBC×d, ∴d=△.△即A点到平面PBC的距离为.11.(1)证明因为△PAB为正三角形,E为AB的中点,所以PE⊥AB,又因为面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,PE⊂平面PAB,所以PE⊥平面ABCD.(2)解在棱CD上存在点G,当点G为CD的中点时,平面GAM⊥平面ABCD.证明:连接EC.由(1)得,PE⊥平面ABCD,所以PE⊥CD,因为ABCD是菱形,∠ABC=60°,E为AB的中点,所以△ABC是正三角形,EC⊥AB.因为CD∥AB,所以EC⊥CD.因为PE∩EC=E,所以CD⊥平面PEC,所以CD⊥PC.因为M,G分别为PD,CD的中点,所以MG∥PC,所以CD⊥MG.因为ABCD是菱形,∠ADC=60°,所以△ADC是正三角形.又因为G为CD的中点,所以CD⊥AG,因为MG∩AG=G,所以CD⊥平面MAG,因为CD⊂平面ABCD,所以平面MAG⊥平面ABCD.V D-ACM=V M-ADC=··22·.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = -2x + 3B. y = x^2 - 4x + 3C. y = 2^xD. y = log2(x - 1)2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 0C. a < 0D. a ≤ 03. 在等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，那么a10 + a20的值是（）A. 48B. 50C. 52D. 544. 已知复数z = 1 + i，那么|z|^2的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a^3 > b^3C. 若a > b，则loga > logbD. 若a > b，则1/a < 1/b6. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，则点Q的坐标是（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (-2, -3)D. (-3, -2)7. 已知等比数列{an}中，a1 = 1，公比q = 2，那么S5的值是（）A. 31B. 32C. 33D. 348. 下列函数中，在定义域内为奇函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|9. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 5，b = 7，c = 8，则sinB的值是（）A. 5/12B. 7/12C. 8/12D. 9/1210. 已知函数f(x) = e^x - 1，那么f'(x)的值是（）A. e^xB. e^x - 1C. e^x + 1D. e^x - 2二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，那么f(x)的最小值是______。

山东省烟台市2008—2009学年高三年级模块检测数学试题（文科）说明：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔要字迹工整，笔迹清晰。

严格在题号所指示的答题区域内作答。

超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确的选项的代号涂在答题卡上。

1．已知全集U={-1，0，1，2}，集合A={-1，2}，B={0，2}，则B A C U ⋂)(= （ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0，1，2}D ．φ2．若△ABC 中，BC=2，角C ABC B sin ,23,3时的面积等于当∆=π= （ ）A ．23 B ．21 C ．33 D ．43 3．用一些棱长是1cm 的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其正视图，则这个几何体的体积最多是 （ ）A ．6cm 3B ．7cm 3C ．8cm 3D ．9cm 3 4．函数12ln )(-+=x x x f 零点的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．若ααπααsin cos ,22)4sin(2cos +-=-则的值为（ ）A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 6．设F 1，F 2分别是双曲线1922=-y x 的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且2121,0PF PF PF PF +=⋅则=（ ）A ．10B ．210C ．5D ．25 7．在等比数列1129119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中=的值为 （ ）A ．9B ．1C ．2D ．38．已知非零向量,22,0(,==⋅+BC BC AC AB 满足和 则△ABC 为 （ ）A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D ．等腰直角三角形 9．已知动圆过点（1，0），且与直线x=—1相切，则动圆圆心的轨迹方程为 （ ）A ．122=+y xB ．122=-y xC ．x y 42=D ．0=x10．若实数x ，y 满足不等式y x z y x y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-4,3311则的最大值为（ ）A ．4B ．11C ．12D ．1411．已知函数)(,||log )||2()(2x f x x x x f x f 则满足=+的解析式是 （ ）A ．x x f 2log )(=B ．x x f 2log )(-=C ．xx f -=2)(D ．2)(-=x x f12．关于函数有下列四命题),0()(>-=a xax x f ：①),0()0,()(+∞-∞ 的值域是x f ；②)(x f 是奇函数；③),0()0,()(+∞-∞ 在x f 上单调递增；④方程a x f =|)(|总有四个不同的解，其中正确的是 （ ） A ．仅②④ B ．仅②③ C ．仅①② D ．仅③④ 二、填空题；本大题共4个小题，每小题4分，共16分；将答案填在答题卡上。

2016年某某省某某市东北育才学校高考数学模拟试卷（文科）（八）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50 B．45 C．40 D．202．若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x3．设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i4．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}5．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.36．执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤97．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）A．4πB．5πC．6πD．7π9．已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1）B．（2，2）C．3 D．410．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A．B．C．1 D．211．tan20°+4sin20°的值为（）A．B．C．D．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为．14．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，c=2，若点D为线段BC上靠近B的一个三等分点，则AD=．16．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值X 围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，其前n项和为T n，求T n．18．在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：语文成绩分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120]频数（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的语文、历史成绩分别为x i，y i（i=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86， =y i =64，（x i﹣）（y i ﹣）=4698，（x i﹣）2=5524，≈0.85．①求y关于x的线性回归方程；②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==， =﹣．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A﹣PDE的侧面积．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2﹣1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．（i）求k1k2的值；（ii）求OB2+OC2的值．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试某某数a的取值X围．2016年某某省某某市东北育才学校高考数学模拟试卷（文科）（八）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50 B．45 C．40 D．20【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样性质求解．【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，∴由分层抽样性质，得：，解得n=45．故选：B．2．若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p 是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．3．设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式即可．【解答】解：z=1+i（是虚数单位），则+===1．故选：A．4．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的值确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}={0，1，2，…}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．5．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×=，∴∴π=3，R=，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【考点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：当x≤0时，f（x）=cos2x不是单调函数，此时﹣1≤cos2x≤1，当x＞0时，f（x）=x4+1＞1，综上f（x）≥﹣1，即函数的值域为[﹣1，+∞），故选：D8．如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）A．4πB．5πC．6πD．7π【考点】几何概型．【分析】由几何概型概率计算公式，以面积为测度，可求该阴影部分的面积．【解答】解：设该多边形的面积为S，则，∴S=5π，故选B．9．已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1）B．（2，2）C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．即，即C（2，1），故使得2x﹣y取最大值时的最优解是（2，1），故选：A．10．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A．B．C．1 D．2【考点】等比数列的前n项和．【分析】设此等比数列的首项为a1，公比为q，前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，由等比数列性质推导出P2=（）4，由此能求出前4项倒数的和．【解答】解：∵等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，∴设此等比数列的首项为a1，公比为q前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，若q=1，则，无解；若q≠1，则S=，M==，P=a14q6，∴（）4=（a12q3）4=a18q12，P2=a18q12，∴P2=（）4，∵，∴前4项倒数的和M===2．故选：D．11．tan20°+4sin20°的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，转化为特殊角的三角函数值，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°========2sin60°=．故选B．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为y=ex ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（ x0，e x0），再求出在点切点（ x0，e x0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．【解答】解：y′=e x设切点的坐标为（x0，e x0），切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y﹣e x0=e x0（x﹣x0）又切线过原点，∴﹣e x0=e x0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．14．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为25π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故答案为：25π．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，c=2，若点D为线段BC上靠近B的一个三等分点，则AD=．【考点】解三角形．【分析】利用余弦定理求出cosB，再利用余弦定理解出AD．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得cosB==．在△ABD中，BD==．由余弦定理得：AD2=BD2+AB2﹣2BD•AB•cosB=．∴AD=．故答案为：．16．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值X 围是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出g（x），h（x）的表达式，然后将不等式恒成立进行参数分离，利用基本不等式进行求解即可得到结论．【解答】解：∵函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，∴e x=g（x）+h（x），e﹣x=g（x）﹣h（x），∴g（x）=，h（x）=．∵∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，即﹣a•≥0恒成立，∴a≤==（e x﹣e﹣x）+，设t=e x﹣e﹣x，则函数t=e x﹣e﹣x在（0，2]上单调递增，∴0＜t≤e2﹣e﹣2，此时不等式t+≥2，当且仅当t=，即t=时，取等号，∴a≤2，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，其前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）运用n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求；（Ⅱ）求得b n=﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由2a1=S1+2=a1+2，得a1=2．当n≥2时，由，以及a n=S n﹣S n﹣1，两式相减可得，则数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故其前n项和化简可得T n =﹣．18．在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：语文成绩分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120]频数（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的语文、历史成绩分别为x i，y i（i=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86， =y i=64，（x i ﹣）（y i ﹣）=4698，（x i ﹣）2=5524，≈0.85．①求y关于x的线性回归方程；②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==， =﹣．【考点】线性回归方程；茎叶图．【分析】（Ⅰ）根据所给数据，可得历史成绩的茎叶图；（Ⅱ）根据所给数据，可得语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；（Ⅲ）求出a，b，可得y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在茎叶图中完成历史成绩统计，如图所示；（Ⅱ）语文成绩的频数分布表；语文成绩分组[50，60﹚[60，70﹚[70，80﹚[80，90﹚[90，100﹚[100，110﹚[110，120]频数 1 2 3 7 6 5 1 语文成绩的频率分布直方图：；（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64﹣0.85×86=﹣9.1，∴y=0.85x﹣9.1，∴x=100时，y=75.9≈76，预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩为76分．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A﹣PDE的侧面积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）在Rt△DAE中，求出BE=3．在Rt△EBC中，求出∠CEB=．证明CE⊥DE．PD ⊥CE．即可证明CE⊥平面PDE．（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A﹣PDE的侧面积S侧=++．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD=，∠ADE=，∴AE=AD•tan∠ADE=•=1．又AB=CD=4，∴BE=3．在Rt△EBC中，BC=AD=，∴tan∠CEB==，∴∠CEB=．又∠AED=，∴∠DEC=，即CE⊥DE．∵PD⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，∴PD⊥CE．∴CE⊥平面PDE．…（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF=．在Rt△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得AE=•，解得AE=2．∴S△APD=PD•AD=××=，S△ADE=AD•AE=××2=，∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴BA⊥PA．在Rt△PAE中，AE=2，PA===，∴S△APE=PA•AE=××2=．∴三棱锥A﹣PDE的侧面积S侧=++．…20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2﹣1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．（i）求k1k2的值；（ii）求OB2+OC2的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设出椭圆右焦点坐标，由题意可知，椭圆右焦点F2到直线x+y+2﹣1=0的距离为a，再由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形得到a，b，c的关系，结合焦点F2到直线x+y+2﹣1=0的距离为a可解得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）（i）由题意设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），由两点求斜率公式可得是，把纵坐标用横坐标替换可得答案；（ii）由k1k2=k3k4．得到．两边平方后用x替换y可得．结合点B，C在椭圆上得到．则OB2+OC2的值可求．【解答】解：（1）设椭圆C的右焦点F2（c，0），则c2=a2﹣b2（c＞0），由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+2﹣1=0的距离①，∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，∴，a=2c，代入①式得，，故所求椭圆方程为；（2）（i）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），于是=；（ii）由（i）知，，故．∴，即，∴．又=，故．∴OB2+OC2=．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h （x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值X围是[，+∞）．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求△ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长．【解答】解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，所以∠PAE=∠ABC=45°，…又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PD•PB=9，所以EP=PA=3，…所以△ABP的面积为BP•PA=…（2）在Rt△APE中，由勾股定理得AE=3…又ED=EP﹣PD=2，EB=DB﹣DE=8﹣2=6，所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12 …所以EC==2，故AC=5…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试某某数a的取值X围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．【解答】解：（Ⅰ）函数可化为，∴f（x）∈[﹣3，3]（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值X围是[3，+∞）．。

新课程高三年级文科数学综合测试题与参考答案（八）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 满足i z i 34)21(+=+，则z= （ ）A i -2B i +2C i 21+D i 21-2、如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为 （ ） A91 B 61 C 32 D 31 3．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为 （ ）A ．423.1ˆ+=x yB ．523.1ˆ+=x yC ．08.023.1ˆ+=x yD ．23.108.0ˆ+=x y4．在ABC ∆中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于 ( )A 49B 75C D 51 5．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入（ ）.A ．10?k ≤B ．10?k ≥C ．11?k ≤D ．11?k ≥ 6．若2a >，则方程321103x ax -+=在（0，2）上根的个数恰好是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为 （ ）A ．43B ．53 C ．21 D ．65 8．命题:,,11p a b R a b a b ∈+<+<若则是的充分不必要条件命题][):31q y =-∞-⋃+∞，，，则 ( )A.“p 且q ” 为真B.“p 或q ”为假C. p 真，q 假D. p 假，q 真9.设γβα、、中三个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线。

在命题“γβα⊂=⋂n m ,，且 ，则m//n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题。

①βγα⊂n ,//；②βγ//,//n m ；③γβ⊂m n ,//。

2021届高三数学一轮复习第八单元训练卷不等式（文科） A卷（详解）1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、已知集合，，则（）A、B、C、D、2、已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A、B、C、D、3、下列函数中，最小值为的是（）A、B、C、D、4、设，，给出下列三个结论：①；②；③，其中所有的正确结论的序号是（）A、①B、①②C、②③D、①②③5、对任意正实数，不等式恒成立的一个充分不必要条件是（）A、B、C、D、6、已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A、B、C、D、7、已知，则取到最小值时，（）A、B、C、D、8、某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票、这名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的，，，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为（）A、B、C、D、9、定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值、若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过个单位长度，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、10、已知函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值是（）A、B、C、D、11、《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据、通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接，作交于，则下列不等式可以表示的是（）A、B、C、D、12、已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A、B、C、D、第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分、13、设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是________、14、函数，在其定义域内任取一点，使的概率是________、15、若点满足，点在圆上，则的最大值为______、16、已知，，若不等式恒成立，则的最大值为________、三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、（10分）已知、（1）解关于的不等式；（2）若不等式的解集为，求实数，的值、18、（12分）甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元、（1）要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润、19、（12分）已知数列的前项和为，其中，，数列满足、（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的最小值、20、（12分）设是函数的零点，，、（1）求证：，且；（2）求证：、21、（12分）已知函数、（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，、22、（12分）已知函数、（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，证明：、答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、【答案】 D 【解析】由题意知，，∴、2、【答案】 C对于A，令，，，，满足，但不满足，故排除；对于B，令，，，故排除；对于C，为减函数，当时，，故C恒成立；对于D，令，，，故排除、3、【答案】 C【解析】当、时，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号、4、【答案】 D【解析】由不等式及知，又，所以，①正确；由幂函数的图像与性质知②正确；由，，知，由对数函数的图像与性质知③正确、5、【答案】 A【解析】记，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴不等式恒成立的等价条件为，∴不等式恒成立的一个充分不必要条件是、6、【答案】 B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，当位于时，此时的斜率最小，此时、7、【答案】 D【解析】由，可得，且、所以，当且时等号成立，解得，所以取到最小值时、8、【答案】 C设投票的有，票的，票的，则，则，即，由题投票有效率越高越小，则时，，故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为、9、【答案】 B【解析】因为关于的不等式有解，所以，解得或，设方程的两个根分别为和，则，，又因为解集区间长度不超过个单位长度，所以，所以，即，所以，解得，综上可得实数的取值范围是、10、【答案】 C【解析】由题得，所以，所以，所以、当且仅当，时取到最小值、11、【答案】 A【解析】连接，因为是圆的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以，在中，由射影定理可得，即，由，得、12、【答案】 A【解析】构造函数，则，所以函数在上单调递减，由于函数为奇函数，则，则，∴，由，得，即，所以，由于函数在上为单调递减，因此、第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分、13、【答案】由题知，，则，再由不等式的性质知、14、【答案】【解析】函数，若，即，解不等式可得，因为函数定义域为，则使的概率为、15、【答案】【解析】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示，因为在圆上，所以即求可行域内到点距离加半径即可，由图可知，可行域内点到点的距离最大，所以，所以最大值为、16、【答案】【解析】因为，，所以恒成立等价于恒成立，因为（时等号成立），所以，的最大值为、三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、【答案】（1）见解析；（2）或、【解析】（1）∵，∴，即，，①当，即时，原不等式的解集为；②当，即时，方程有两根，，∴不等式的解集为，综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为、（2）由，得，即，∵它的解集为，∴与是方程的两根，∴，解得或、18、【答案】（1）；（2）甲厂以千克/小时的生产速度生产千克该产品获得的利润最大，最大利润为元、【解析】（1）根据题意，，整理得，即，又，可解得，即要使生产该产品小时获得的利润不低于元，的取值范围是、（2）设利润为元，则，故时，元，即甲厂以千克/小时的生产速度生产千克该产品获得的利润最大，最大利润为元、19、【答案】（1）；（2）、【解析】（1）由，，可得时，，两式相减得，又由，，可得，数列是首项为，公比为的等比数列，从而，于是、（2）由（1）知，于是，依题意对一切恒成立，令，则，由于易知，；时，，即有，∴只需，从而所求的最小值为、20、【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析、【解析】（1）∵在上是单调递增的，∴是唯一的，由，，且的图象在上是连续不断的，∴，又∵，，∴，同理：、（2）∵，又，，当时，、21、【答案】（1）；（2）证明见解析、【解析】（1）由题意：，得，∴，即曲线在点处的切线斜率为，∴，即、（2）证明：由题意，原不等式等价于恒成立，令，∴，，∵，∴恒成立，∴在上单调递增，∴在上存在唯一使，即，∴，且在上单调递减，在上单调递增，∴、又，又，∵，∴，∴，∴，∴，得证、综上所述：当时，、22、【答案】（1）见解析；（2）证明见解析、【解析】（1）∵，∴，且方程的判别式，①当时，，，∴此时在上为单调递减；②当或时，，方程两根为，，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减；当时，，此时在上递减，在上单调递增，在上单调递减，∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增、（2）由（1）可得，的两根，得，，，令，∴，、∴，要证成立，即要证成立，即要证成立，即要证成立，即要证，令，则，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立、。

一中2021届高三第八次质量检测本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

文科数学时量：120 分钟 分值：150分 命题人：许小云一、选择题。

〔本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．设全集U = {1，3，5，7}，M = {1，a －5}，∁U M = {5，7}，那么实数a 的值是〔 〕 A ．－2 B ．2C ．－8D ．82．函数()sin cos f x x x 的最小正周期为〔 〕A.2B.C. 2D. 43. 由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有〔 〕 A. 48 个 B. 72 个 C. 96 个 D. 120 个4.命题p ：1||<x ，命题q ：062<-+x x ，那么q 是p 成立的〔 〕A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件5.三个不同的平面,,αβγ，和三条不同的直线,,a b c ，有以下三个命题： ①//,//,//;a b b c a c 若则 ②//,,,//;a a b a b βαγβγ==若则③,,;a b b c a c ⊥⊥⊥若则 ④,,//;a a ααββ⊥⊥若则 其中正确命题的个数是〔 〕A 4个B 3个C 2个D 1个6. 在平面直角坐标系中， A 为平面内一个动点，(2,0)B . 假设||OA BA OB 〔O 为坐标原点〕，那么动点A 的轨迹是〔 〕A. 椭圆B.双曲线C.抛物线D. 圆 ,,a b c 成公差不为0的等差数列，那么以下不等式不成立．．．的是〔 〕 〔A 〕21≥-+-bc a b 〔B 〕222c b a ca bc ab ++≥++ 〔C 〕ac b ≥2〔D 〕||||||||b c a b -≤-8. 函数f (x )的定义域为D ，假设对于任意12,x x D ，当12x x 时，都有12()()f x f x ，那么称函数()f x 在D 上为非减函数。

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单元评估检测(三)(第八章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=12,S5=90,则等差数列{a n}的公差d= ( )A.2B.C.3D.4【解析】选C.因为a1=12,S5=90,所以5×12+d=90,解得d=3.2.在等差数列{a n}中,a5+a13=40,则a8+a9+a10= ( )A.72B.60C.48D.36【解析】选B.根据等差数列的性质可知:a5+a13=40⇒2a9=40⇒a9=20,a8+a9+a10=2a9+a9=3a9=60.【变式备选】在等差数列{a n}中,a3+a9=27-a6,S n表示数列{a n}的前n项和,则S11=( )A.18B.99C.198D.297【解析】选B.由等差数列的性质得2a6=27-a6,所以a6=9,又S11=11a6=99.3.已知等比数列{a n}中,a3·a13=20,a6=4,则a10的值是( )A.16B.14C.6D.5【解析】选D.由等比数列性质可知a3·a13==20,由a6=4,得q4===, 所以a10=a6q4=5.【变式备选】等比数列{a n}中,a1+a2+a3=30,a4+a5+a6=120,则a7+a8+a9= ( ) A.240 B.±240 C.480 D.±480【解析】选C.设等比数列{a n}中的公比为q,由a1+a2+a3=30,a4+a5+a6=120,得解得q3=4,所以a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=480.4.中国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里”.其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了7天,共走了700里,则这匹马第7天所走的路程等于( )A.里B.里C.里D.里【解析】选A.设马每天所走的路程是a1,a2,…,a7,是公比为的等比数列,这些项的和为700,S7==700⇒a1=,a7=a1q6=.【变式备选】我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数字之和为N n,如图三阶幻方的N3=15,那么N9的值为( )A.369B.321C.45D.41【解析】选A.根据题意可知,幻方对角线上的数成等差数列,根据等差数列的性质可知对角线的首尾两个数相加正好等于1+n2,根据等差数列的求和公式N n=,N9==369.5.已知等差数列{a n}的公差不为零,S n为其前n项和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5-1构成等比数列,则S5= ( )A.15B.-15C.30D.25【解析】选D.设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),由题意解得所以S5=5×1+=25.6.数列{a n}的前n项和S n=n2+1是a n=2n-1成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解题指南】先根据关系式a n=求出数列{a n}的通项公式,注意验证n=1时是否成立,再看求出的通项公式与a n=2n-1谁能推出谁即可.【解析】选D.由题意可得,当n=1时,a1=S1=1+1=2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1,经过验证后当n=1时不符合上式,所以前n项和S n=n2+1不能推出a n=2n-1,反之,a n=2n-1也不能推出S n=n2+1.故数列{a n}的前n项和S n=n2+1是a n=2n-1成立的既不充分又不必要条件.7.将石子摆成如图的梯形形状,称数列5,9,14,20,…,为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 021项= ( )A.1 010×2 021B.1 011×2 021C.1 011×2 025D.1 010×2 025【解析】选C.由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为:n=1时,a1=2+3=×(2+3)×2;n=2时,a2=2+3+4=×(2+4)×3;…,由此我们可以推断:a n=2+3+…+(n+2)=[2+(n+2)]×(n+1),所以a2 021=[2+(2 021+2)]×(2 021+1)=1 011×2 025.8.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n,且=,则= ( )A. B. C. D.15【解析】选B.因为======.9.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足2S n=3a n-1,则通项公式a n等于( )A.a n=2n-1B.a n=2nC.a n=3n-1D.a n=3n【解析】选C.当n=1时,2S1=3a1-1,所以a1=1,当n≥2且n∈N*时,2S n-1=3a n-1-1,则2S n-2S n-1=2a n=3a n-1-3a n-1+1=3a n-3a n-1,即a n=3a n-1,所以数列{a n}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以a n=3n-1.10.已知F(x)=f-2是R上的奇函数,a n=f(0)+f+…+f+f(1),n∈N*,则数列{a n}的通项公式为( )A.a n=nB.a n=2(n+1)C.a n=n+1D.a n=n2-2n+3【解析】选B.由题已知F(x)=f-2是R上的奇函数,故F(-x)=-F(x),代入得:f+f=4(x∈R),所以函数f(x)关于点对称,令t=-x,则+x=1-t,得到f(t)+f(1-t)=4.因为a n=f(0)+f+…+f+f(1),又因为a n=f(1)+f+…+f+f(0),倒序相加可得2a n=4(n+1),即a n=2(n+1).11.已知函数f(x)=(x∈R),若等比数列{a n}满足a1a2 019=1,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 019)= ( )A.2 019B.C.2D.【解析】选A.因为a1a2 019=1,所以f(a1)+f(a2 019)=+=+=+=2.因为{a n}为等比数列,则a1a2 019=a2a2 018=…=a1 009a1 011==1,所以f(a2)+f(a2 018)=2,…,f(a1 009)+f(a1 011)=2,f(a1 010)=1.即f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 019)=2×1 009+1=2 019.12.若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为世纪金榜导学号( )A.-2B.-4C.2D.4【解析】选D.因为{a n}是正项递增的等比数列,所以a1>0,q>1,由1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0,得1+(a2-a4)+λq(a2-a4)=0, 所以1+λq=,所以a6+λa7=a6(1+λq)====(q2-1)+2+≥2+2=4(q2-1>0),当且仅当q=时取等号,所以a6+λa7的最小值为4.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·泰安模拟)已知数列{a n}为等差数列且a7=,则sin(a2+a12)=.【解析】在等差数列{a n}中,由a7=,得a2+a12=2a7=.所以sin(a2+a12)=sin=.答案:【变式备选】设等比数列{a n}的公比q=2,前n项和为S n,则= .【解析】====.答案:14.若三数成等比数列,其积为8,首末两数之和为4,则公比q的值为.【解析】三数成等比数列,设公比为q,可设三数为,a,aq,可得求出公比q的值为1.答案:115.(2020·邯郸模拟)已知数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,b n-a n=2n+1,且S n+T n=2n+1+n2-2,则2T n= .【解析】由题意知T n-S n=b1-a1+b2-a2+…+b n-a n=n+2n+1-2,又S n+T n=2n+1+n2-2,所以2T n=T n-S n+S n+T n=2n+2+n(n+1)-4.答案:2n+2+n(n+1)-416.(2020·沈阳模拟)各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为. 世纪金榜导学号【解析】因为前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列,a4-a1=88,所以这四项可以设为a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中a1,d为正偶数,后三项依次成公比为q的等比数列,所以有=,整理得a1=>0,得(d-22)(3d-88)<0,22<d<,a1,d为正偶数,所以d=24,26,28,当d=24时,a1=12,q=;当d=26时,a1=,不符合题意,舍去;当d=28时,a1=168,q=,故q的所有可能的值构成的集合为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等差数列{a n}的公差d不为0,a1=3,且a2,a4,a7成等比数列.(1)求{a n}的通项公式.(2)求a2+a4+a6+…+a2n.【解析】(1)因为a2,a4,a7成等比数列,所以=a2a7,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+6d),化简得(a1-3d)d=0,因为公差d≠0,所以a1=3d,因为a1=3,所以d=1,所以a n=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)知a2n=2n+2,故{a2n}是首项为4、公差为2的等差数列,所以a2+a4+a6+…+a2n===n2+3n.【变式备选】已知等比数列{a n}的前n项和为S n,满足S4=2a4-1,S3=2a3-1.(1)求{a n}的通项公式.(2)记b n=l o,求b1+b2+…+b n的最大值.【解析】(1)设{a n}的公比为q,由S4-S3=a4,得2a4-2a3=a4,所以=2,所以q=2.又因为S3=2a3-1,所以a1+2a1+4a1=8a1-1,所以a1=1.所以a n=2n-1. (2)由(1)知,S n==2n-1,所以b n=l o=2log224-n=8-2n,b n+1-b n=-2,b1=8-2=6,所以数列{b n}是首项为6,公差为-2的等差数列,所以b2=4,b3=2,b4=0,当n≥5时b n<0,所以当n=3或n=4时,b1+b2+…+b n的最大值为12.18.(12分)(2020·长沙模拟)设S n是数列{a n}的前n项和,已知a1=1,S n=2-2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=(-1)n l o a n,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)因为S n=2-2a n+1,a1=1,所以当n=1时,S1=2-2a2,得a2=1-=1-=;当n≥2时,S n-1=2-2a n,所以当n≥2时,a n=2a n-2a n+1,即a n+1=a n,又a2=a1,所以{a n}是以1为首项,为公比的等比数列.所以数列{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知b n=(-1)n(n-1),所以T n=0+1-2+3-…+(-1)n(n-1),当n为偶数时,T n=(-0+1)+(-2+3)+…+[-(n-2)+n-1]=;当n为奇数时,T n=T n+1-b n+1=-n=,所以T n=19.(12分)商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定,由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于2017年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元,其余部分全部用于年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每生每年800元,问到哪一年可偿还建行全部贷款?(2)若公寓管理处要在2025年年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)?(参考数据:lg 1.734 3≈0.239 1,lg 1.05≈0.021 2,1.058≈1.477 5)【解析】(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1 000×800=800 000(元)=80万元,扣除18万元,可偿还贷款62万元.依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1,化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1,所以1.05n≥1.734 3.两边取对数并整理得n≥≈≈11.28,所以当取n=12时,即到2029年底可全部还清贷款.(2)设每生每年的最低收费标准为x元,因到2025年底公寓共使用了8年,依题意有[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9. 化简得(0.1x-18)×≥500×1.059,解得x≥993,所以每生每年的最低收费标准为993元.【变式备选】某工厂在实施“减员增效”活动中对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的领取工资,该工厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属于投资阶段,没有利润,第二年每人可以获得b元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%.如果某人分流前工资收入每年a元,分流后进入新的经济实体,第n年总收入为a n元.(1)求a n.(2)当b=时,这个人哪一年收入最少,最少收入是多少?(3)当b≥时,是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的收入.【解析】(1)依题意知,当n=1时,a n=a,当n≥2时,a n=a+b,所以a n=(2)由已知b=,当n≥2时,a n=a+≥2=;要使上式等号成立,当且仅当a=,即=,解得n=3,因此这个人第3年收入最少,最少收入为元.(3)当n≥2时,a n=a+b≥a+≥2=a;上式等号成立需b=,且=,即n=1+l o,显然1+l o不是自然数,因此等号取不到,即当n≥2时,有a n>a,综上可知,当b≥a时,可使分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.20.(12分)(2020·武汉模拟)已知数列是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列的通项公式a n.(2)在(1)的条件下,数列的前n项和为S n,设b n=++…+,若对任意的n∈N*,不等式b n≤k恒成立,求实数k的最小值.【解析】(1)因为a1=2,=a2·(a4+1),又因为是正项等差数列,故d≥0,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),得d=2或d=-1(舍去) ,所以数列的通项公式a n=2n.(2) 因为S n=n(n+1),b n=++…+=++…+=-+-+…+-=-==,令f(x)=2x+(x≥1),则f′(x)=2-, 当x≥1时,f′(x)>0恒成立, 所以f(x)在[1,+¥)上是增函数,故当x=1时,[f(x)]min=f(1)=3,即当n=1时,=, 要使对任意的正整数n, 不等式b n≤k恒成立,则需使k ≥=, 所以实数k的最小值为.【变式备选】设公差不为零的等差数列{a n}的前5项和为55,且a2,,a4-9成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,求证:S n<.【解析】(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则解得,或(舍去),故数列{a n}的通项公式为a n=7+(n-1)×2=2n+5.(2)由a n=2n+5,得b n===,所以S n=++…+=<.21.(12分)已知数列{a n}满足:a1=-,a n+1=(n∈N*). 世纪金榜导学号(1)证明数列为等差数列,并求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足:b n=(n∈N*),求{b n}的前n项和S n.【解析】(1)因为a n+1+1=+1=,所以==3+,所以是首项为3,公差为3的等差数列,所以=3n,所以a n=-1.(2)由(1)可知:a n=-1,所以由b n=(n∈N*)⇒b n=n·3n+1,S n=1×32+2×33+…+(n-1)×3n+n×3n+1①;3S n=1×33+2×34+…+(n-1)×3n+1+n×3n+2②,①-②得-2S n=32+33+…+3n+1-n×3n+2=-n×3n+2⇒S n=×3n+2+.22.(12分)(2020·昆明模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,当n≥2时,a n=2a n S n-2. 世纪金榜导学号(1)求数列{a n}的通项公式.(2)是否存在正数k,使(1+S1)(1+S2)…(1+S n)≥k对一切正整数n都成立?若存在,求k的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为当n≥2时,a n=S n-S n-1,a n=2a n S n-2,所以S n-S n-1=2(S n-S n-1)S n-2.所以S n-1-S n=2S n S n-1.所以-=2.所以数列是首项为==1,公差为2的等差数列,即=1+(n-1)×2=2n-1.所以S n=.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=.因为当n=1时,a1=1不适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=(2)设b n=.则b n+1=由(1)知S n=,S n+1=,所以===>1.又b n>0,所以数列{b n}是单调递增数列.由(1+S1)(1+S2)…(1+S n)≥k,得b n≥k.所以k≤b1==.所以存在正数k,使(1+S1)(1+S2)…(1+S n)≥k对一切正整数n都成立,且k的取值范围为.【变式备选】(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M-数列”.(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=-,其中S n为数列{b n}的前n项和.①求数列{b n}的通项公式.②设m为正整数,若存在“M-数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k ≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.【解题指南】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论.(2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n}是等差数列,据此即可确定其通项公式;②由①确定b k的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,所以a1≠0,q≠0.由得解得因此数列{a n}为“M—数列”.(2)①因为=-,所以b n≠0.由b1=1,S1=b1,得=-,则b2=2.由=-,得S n=,当n≥2时,由b n=S n-S n-1,得b n=-,整理得b n+1+b n-1=2b n.所以数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{b n}的通项公式为b n=n(n∈N*).②由①知,b k=k,k∈N*.因为数列{c n}为“M-数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0. 因为c k≤b k≤c k+1,所以q k-1≤k≤q k,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q≥1;当k=2,3,…,m时,有≤ln q≤.设f(x)=(x>1),则f′(x)=.令f′(x)=0,得x=e.列表如下:(e,+∞x (1,e) e)f′(x)+ 0 -f(x) ↗极大值↘因为=<=,所以f(k)max=f(3)=.取q=,当k=1,2,3,4,5时,≤ln q,即k≤q k,经检验知q k-1≤k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216, 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上,所求m的最大值为5.【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.关闭Word文档返回原板块莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

单元质检卷八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019山东淄博一模,5)已知直线l和两个不同的平面α,β,则下列结论正确的是()A.若l∥α,l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βC.若l∥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β2.(2019重庆巴蜀中学考前模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16πB.12ππC.323πD.1633.(2019山东日照一模,8)某几何体的三视图如图所示,图中正方形的边长为2,四条用虚线表示的线段长度均相等,则该几何体的表面积为()A.8-2π3B.24-πC.24+(2√5-1)πD.24+(√5-1)π4.(2019山东聊城一模,7)如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为弧BC的中点,则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为()A.√33B.√55C.√306D.√665.(2019山东济宁一模,9)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和√3,此三棱柱的高为2√3,则该三棱柱的外接球的体积为()A.8π3B.16π3C.32π3D.64π36.(2019四川成都七中一模,10)已知正三棱锥的高为6,侧面与底面成60°的二面角,则其内切球(与四个面都相切)的表面积为()A.4πB.16πC.36πD.64π二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019黑龙江哈尔滨三中一模,16)在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A-BD-C的大小为150°,则四面体ABCD外接球的半径为.8.(2019安徽“江南十校”二模,16)《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥”,现有阳马S-ABCD,SA⊥平面ABCD,AB=1,AD=3,SA=√3,BC上有一点E,使截面SDE的周长最短,则SE与CD所成角的余弦值等于.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019安徽合肥一模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,△BCD为等边三角形,BD=2√3,PA=√2,AB=AD=PB=PD,∠BAD=120°.(1)若点E为PC的中点,求证:BE∥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.10.(15分)(2019河北衡水同卷联考,19)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,∠PAB=120°,DC=PC=2,PA=AB=BC=1.(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.11.(15分)(2019天津和平三模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD.底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:直线BD⊥平面PAC;(2)求直线PB与平面PAD所成角的正切值.参考答案单元质检卷八立体几何(B)1.A对于A选项,过直线l作一个平面与平面α相交,因l∥α,则l与交线平行,又l⊥β,则交线也垂直β,所以α⊥β,A选项正确.对于B选项,直线l可能在平面β内,故B选项是假命题.对于C选项,两个平面可能相交,故C选项是假命题.对于D选项,直线l可能在平面β内,故D选项是假命题.故答案为A.2.C由三视图还原几何体如图,该几何体为圆柱挖去两个圆锥,圆柱的底面半径为2,高是4,圆锥的底面半径为2,高分别为1和3.则V=π×22×4-13π×22×(1+3)=32π3.故选C.3.D由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1,高为2的圆锥,如图,所以该几何体的表面积为S=6×22-πr2+πrl=24-π×12+π×1×√12+22=24+(√5-1)π,故选D.4.D取BC的中点H,连接EH,AH,∠EHA=90°,设AB=2, 则BH=HE=1,AH=√5,所以AE=√6,连接ED,ED=√6,因为BC∥AD,所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD,在△EAD中,cos∠EAD=2×2×√6=√66,故选D.5.C该直三棱柱的底面外接圆直径为2r=√12+(√3)2=2,所以外接球的直径为2R=√(2r)2+ℎ2=√22+(2√3)2=4,则R=2,因此,该三棱柱的外接球的体积为43πR3=323π.故选C.6.B如图,过点P作PD⊥平面ABC于D,连接并延长AD交BC于E,连接PE,△ABC是正三角形,∴AE是BC边上的高和中线,D为△ABC的中心.∴∠PEA为侧面与底面所成的二面角的平面角,∴∠PEA=60°,∵PD=6,∴DE=2√3,PE=4√3,AB=12,∴S△ABC=√34×122=36√3,S△PAB=S△PBC=S△PCA=12×12×4√3=24√3.∴S表=108√3.设球的半径为r,以球心O为顶点,棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,∵PD=6,∴V P-ABC=13·36√3·6=72√3.由等体积可得r=√31083=2,∴S球=4π×22=16π.故选B.7.√213在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A-BD-C的大小为150°,四面体ABCD外接球,如图:则△BCD在球的一个小圆上,BD的中点为小圆的圆心N,△ABD是正三角形,也在球的一个小圆上,小圆的圆心为M,作OM⊥平面ABD,ON⊥平面BCD,O为球心,二面角A-BD-C的大小为150°,作NP⊥BD,则∠ANP=150°,可得∠ONM=60°,MN=√33,则ON=2√33,BN=1,外接球的半径r=OB=2+BN2=(2√33)2+12=√213.8.√24要使截面SDE的周长最短,则SE+ED最短,将平面ABCD沿BC折至A'BCD',使SBC与A'BCD'共面,连接SD'交BC于E,连接ED,此时△SDE周长最短,作EF∥CD交AD于F, 则∠SEF即为所求角,在Rt△SAB中,求得SB=2,∴由SBSA'=BEA'D',得BE=2,∴在Rt△SBE中,求得SE=2√2, ∴在Rt△SFE中,cos∠SEF=EFSE =2√2=√24.故SE与CD所成角的余弦值等于√24.9.(1)证明取CD的中点为M,连接EM,BM.∵△BCD为等边三角形,∴BM⊥CD,∠CDB=60°.∵∠BAD=120°,AD=AB,∴∠ADB=30°,∴AD⊥CD,∴BM∥AD.又∵BM⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BM∥平面PAD.∵E为PC的中点,M为CD的中点,∴EM∥PD.又∵EM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EM∥平面PAD.∵EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD.又∵BE⊂平面BEM,∴BE∥平面PAD.(2)解连接AC交BD于O,连接PO.∵CB=CD,AB=AD,∴AC⊥BD,O为BD的中点.又∵∠BAD=120°,BD=2√3,△PBD≌△ABD,∴AO=PO=1.又∵PA=√2,∴PA2=PO2+OA2,∴PO⊥OA.又∵PO⊥BD,∴PO⊥平面ABD,即四棱锥P-ABCD的高为PO=1,∴四棱锥P-ABCD的体积V=13×√34×(2√3)2+12×2√3×1×1=4√33.10.(1)证明在△PAB中,由PA=AB=1,∠PAB=120°,得PB=√3.因为PC=2,BC=1,PB=√3,所以PB2+BC2=PC2,即BC⊥PB.因为∠ABC=90°,所以BC⊥AB.因为PB∩AB=B,所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解在平面PAB内,过点P作PE⊥AB,交BA的延长线于点E.如图,由(1)知BC⊥平面PAB,因为BC⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.因为PE⊂平面PAB,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE⊥AB,所以PE⊥平面ABCD.因为在Rt△PEA中,PA=1,∠PAE=60°,所以PE=√3 .因为底面ABCD是直角梯形,所以V P-ABCD=1×1×(1+2)×1×√3=√3.11.(1)证明∵底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,又∵AC,PA是平面PAC内的相交直线,∴直线BD⊥平面PAC.(2)解过B作BE⊥AD于点E,连接PE,∵PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,∴PA⊥BE.∵BE⊥AD,PA∩AD=A,∴BE⊥平面PAD,可得∠BPE就是直线PB与平面PAD所成角.∵Rt△BPE中,BE=√3,PE=√PA2+AE2=√5,∴tan∠BPE=BEPE =√155,即PB与平面PAD所成角的正切值等于√155.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

高三数学文科测试与参考答案8创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1．设集合,,那么〔〕A． B． C． D．2．等差数列的前项和为，假设，那么等于〔〕A． B．C．D．3．现有名男生和名女生站成一排，要求其中名女生恰好站在两端的不同的排法种数为〔〕A． B．C．D．4．向量、满足，，，那么等于〔〕A．B．C．D．5．，那么=〔〕A．B．C．D ．6．的展开式中的常数项等于〔〕A．B．C．D．7．关于直线与平面，有以下四个命题：①假设且，那么；②假设且，那么；③假设且，那么；④假设且，那么；其中真命题的序号是〔〕A．①②B．③④C．①④D．②③8．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间是t的函数关系的是〔〕二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上．9．，那么=__________．10．某一共有师生人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本，从学生中抽取的人数为，那么该的老师人数是．11．不等式的解集是_________________．12．函数的单调递减区间是_____________．13．某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经历公式来计算各班的综合得分，的值越高那么评价效果越好．假设某班在自测过程中各项指标显示出，那么下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为．〔填入中的某个字母〕14．一种计算装置，有一个数据入口和一个运算出口，执行某种运算程序．〔1〕当从口输入自然数时，从口得到实数，记为；〔2〕当从口输入自然数时，在口得到的结果是前一结果倍．当从口输入时，从口得到；要想从口得到，那么应从口输入自然数 .三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．15．〔此题满分是14分〕：，．〔Ⅰ〕求和的值；〔Ⅱ〕求的值．16．〔此题满分是12分〕体育课上练习投篮，甲、乙两名学生在罚球线投球的命中率分别为、，每人投球次．〔Ⅰ〕求两人都恰好投进球的概率；〔Ⅱ〕求甲恰好赢乙球的概率．17．〔此题满分是14分〕设正数数列{}的前n项和S n满足．〔I〕求数列{}的通项公式；〔II〕设，求数列{}的前n项和．18．〔此题满分是14分〕：如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．〔Ⅰ〕求证：平面⊥平面；〔Ⅱ〕假设是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；〔Ⅲ〕点在线段上，且，求点到平面的间隔．19．〔此题满分是12分〕对于定义域为的函数，假设同时满足：①在内单调递增或者单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把〔〕叫做闭函数．〔Ⅰ〕请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[]；〔Ⅱ〕求闭函数符合条件②的区间[]；〔Ⅲ〕判断函数是否为闭函数？并说明理由．20．〔此题满分是14分〕，函数．〔Ⅰ〕假如函数是偶函数，求的极大值和极小值；〔Ⅱ〕假如函数是上的单调函数，求的取值范围．参考答案一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C B A C D C二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上．题号9 10 11 12 13 14答案81 150 ，或者，24 注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．15．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕∵，∴.∴，即. ……………4分∵，∴. ………………5分∴. …………………8分〔Ⅱ〕……12分. ………………14分16．〔此题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕记甲、乙两人都恰好投进球为事件 . ………1分由于甲、乙两人各投进两球为互相HY事件，那么甲乙两人都恰好投进球的概率为. (5)分〔Ⅱ〕记甲赢乙球为事件 . (6)分甲赢乙球一共有三种情况：甲投中球乙没中, 甲投中球乙投中球, 甲投中球乙投中球，这三种情况彼此互斥 . ………………………8分那么甲赢乙球的概率为.…………12分17．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕当时，，∴. ………………2分∵，①∴(n. ②①－②，得，整理得，，…………5分∵∴.∴，即. ……………7分故数列是首项为，公差为的等差数列.∴. …………………9分〔Ⅱ〕∵，……………11分∴. ………14分18．〔此题满分是14分〕解法一：〔Ⅰ〕证明：∵平面，∴. …………1分∵四边形是矩形，∴.又，∴平面. …………3分又∵平面，∴平面平面. ……5分〔Ⅱ〕解：设的中点为，连结、.∵是中点，∴∥.∴是异面直线与所成角或者其补角. ……………………7分由，，计算得，，，，…………………9分∴异面直线与所成角的余弦值为. ……………………10分〔Ⅲ〕解：过点作于.∵平面，∴．又，∴平面．∴线段的长是点到平面的间隔 . ………………………12分又，解得.所以点到平面的间隔为. ………………………14分解法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，那么A〔0，0，0〕，B〔1，0，0〕，C〔1，2，0，〕，D〔0，2，0〕，E〔0，1，〕，P〔0，0，1〕．∴＝〔－1，0，0〕，＝〔0，2，0〕，＝〔0，0，1〕，＝〔0，1，〕，＝〔1，2，－1〕．…………2分〔Ⅰ〕∵，∴．∵，∴．又，∴平面．…………………………5分∵平面，∴平面⊥平面．…………………………7分〔Ⅱ〕∵， (9)分∴异面直线与所成角的余弦值为．………………10分〔Ⅲ〕作于．∵平面，∴．又，∴平面．∴线段的长是点到平面的间隔 . ………………12分∵=矩形ABCD，∴，由，得到．∴点到平面的间隔为1．……………………14分19．〔此题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕如，. ……………………3分〔Ⅱ〕由题意，在[]上递减，那么，解得．所以，所求的区间为. ………………………7分〔Ⅲ〕取，，那么，即不是上的减函数.取，即不是上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数. ………………………12分20．〔此题满分是14分〕解：. ………………………2分〔Ⅰ〕∵是偶函数，∴. ………………………4分此时，，令，解得：. ………………………6分列表如下：(－∞,－2) －2(－2,2)2(2,+∞)+ 0 －0 + 递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为. …………………9分〔Ⅱ〕∵，令解得：. ………………………11分这时恒成立，∴函数在上为单调递增函数.综上，的取值范围是. ………………………14分创作人：历恰面日期：2020年1月1日。