椭圆讲义(学生版)

椭圆的方程【学习目标】1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；2.掌握椭圆的定义和标准方程；3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.要点二、椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系(如图)．设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝． (3)代数方程即：(4)化简方程 由22a c >可得222a cb -=，则得方程22221(0)x y a b a b+=>>关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)．这里c 2=a 2-b 2．椭圆的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b ac -=；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。

学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）A ．221259x y +=B ．221259y x +=C ．22179y x +=D ．22179x y +=【例2】 已知椭圆2215x y m+=的离心率10e 5=，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．253或3【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能【例6】 已知22212x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >或1m <-B ．2m >-C ．12m -<<D ．2m >或21m -<<-【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ；典例分析【例8】 已知焦点坐标为(40)-，，(40)，，且6a =的椭圆方程是___________；【例9】 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．【例10】 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是____________．【例11】 若椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = ．【例12】 若椭圆满足条件2a =，1e 2=，则椭圆的标准方程为【例13】 已知椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为椭圆的标准方程为____________．【例14】 若椭圆22189x y k +=+的离心率为1e 2=，则k 的值等于 ．【例15】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：①221128x y += ②221812x y +=【例16】 求椭圆2211625x y +=的焦距、顶点坐标【例17】 求焦点的坐标分别为(03)-，和(03)，，且过点16(3)5P ，的椭圆的方程．【例18】 已知椭圆的中心在原点，且经过点(30)P ，，3a b =，求椭圆的标准方程．【例19】 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦1，求椭圆的方程．【例20】 已知常数0a >，向量(0)(10)c a i ==r r ，，，．经过原点O 以c i λ+r r为方向向量的直线与经过定点(0)A a ，以2i c λ-r r为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：是否存在两个定点E F ，，使得||||PE PF +为定值．若存在，求出E F ，的坐标；若不存在，说明理由．【例21】 离心率为45的椭圆()222210x y C a b a b +=>>∶上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10，以椭圆C 的右焦点()0F c ，为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足PT PB =（B 为椭圆C 的上顶点）． ⑴求椭圆的方程；⑵求点P 所在的直线方程l ．【例22】 已知椭圆221(0)x y m n m n+=>>上一点(68)P ，，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，且12PF PF ⊥，求椭圆的方程．【例23】 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r⑴求椭圆C 的离心率；⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：50x -=相切，求椭圆C 的方程．【例24】 已知12F F ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点(1)P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=u u u u r u u u u u r r．⑴求椭圆C 的方程．⑵椭圆C 上任一动点00()M x y ，关于直线2y x =的对称点为111()M x y ，，求1134x y -的取值范围．【例25】 过椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上一点P 引圆O ：222x y b +=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点⑴设00()P x y ，，且000x y ≠，求直线AB 的方程； ⑵若椭圆C 的短轴长为8，且222225||||16a b OM ON +=，求此椭圆的方程；⑶试问椭圆C 上是否存在满足0PA PB ⋅=u u u r u u u r的点P ，说明理由．【例26】 已知A B C ，，均在椭圆222:1(1)x M y a a+=>上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅=u u u r u u u u r 时，有21219AF AF AF ⋅=u u u r u u u u r u u u r ．⑴求椭圆M 的方程；⑵设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆22:(2)1N x y +-=的任一条直径，求PE PF ⋅u u u r u u u r的最大值．【例27】 设椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e ， M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ．（1）若12||||F M F N ==u u u u r u u u u ra 、b 的值．（2） 证明：当||MN u u u u r取最小值时，12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．。

目录第三讲：椭圆初步................................................................................................. 错误!未定义书签。

考点一：椭圆的定义及其应用 (2)题型一：利用定义判断轨迹 (2)考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 (2)题型二：椭圆的标准方程相应问题 (3)题型三：椭圆简单性质问题 (3)课后综合巩固练习 (4)考点一：椭圆的定义及其应用椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．依椭圆的定义，设P 是椭圆上一点，则有122PF PF a +=，（a 为常数且22)a c >题型一：利用定义判断轨迹1．（2017•天心区校级学业考试）设1F ，2F 为定点，12||6F F =，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段2．（2016秋•兴庆区校级期末）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹． 考点二：椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 椭圆的几何性质1．范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；2．对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；3．椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； 4．长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． 5．椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁； 反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．题型二：椭圆的标准方程相应问题1．（2018秋•娄底期末）设椭圆22221(0,0)x y m n m n +=>>的一个焦点为(0,2)-，离心率为12，则(m n -= ) A．8-B．4C．8D22．（2017秋•龙岗区期末）已知ABC ∆的周长为20，且顶点B (0,4)-，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A ．221(0)3620x y x +=≠B ．221(0)2036x y x +=≠C ．221(0)620x y x +=≠D ．221(0)206x y x +=≠3．（2018秋•未央区校级期末）若曲线22111x y k k +=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．1k >B ．1k <-C ．11k -<<D ．10k -<<或01k <<题型三：椭圆简单性质问题1．（2019•北京）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =2．（2019•昆明模拟）己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )A B C D 课后综合巩固练习1．（2018秋•南关区校级期末）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )A ．22110084x y +=B ．221259x y +=C ．22110084x y +=或22184100x y +=D ．221259x y +=或221259y x +=2．（2019•聊城三模）若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为( ) A ．4k >B ．4k =C ．4k <D ．04k <<3．（2019春•湖州期中）经过点P 且与椭圆2214x y +=相切的直线方程是( )A ．40x +-=B ．40x --=C ．20x +-=D ．20x -+=4．（2019春•惠城区校级月考）设1F 是椭圆2219x y +=的一个焦点，AB 是经过另一个焦点2F 的弦，则△1AF B 的周长是( )A ．12B ．6C ．4D ．85．（2019春•厦门期末）已知椭圆222:1(0)25x y C m m +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且△12PF F 的周长为16，则m 的值是( )A ．2B ．3C ．D ．46．（2019春•雅安期末）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )A 1BC ．2D。

3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．一、椭圆的几何性质问题1观察椭圆x2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？提示范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c .问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？提示 利用离心率e ＝ca来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆．知识梳理椭圆的离心率：e ＝ca ∈(0,1)．注意点： (1)e ＝1－b 2a2＝11＋b 2c 2. (2)离心率的范围为(0,1)．(3)e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆．例1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其几何性质． 、二、由椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e ＝63.反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程．跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程是__________．三、求椭圆的离心率例3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．延伸探究1．若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法或不等式法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 (1)某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100 km ，远月点与月球表面的距离为400 km.已知月球的直径约为 3 476 km ，则该椭圆形轨道的离心率约为( ) A.125 B.340 C.18 D.35(2)椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 的长为185，若△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为( )1．知识清单：(1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率．2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e ＜1及长轴长与a 的关系．1．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±34D ．离心率为322．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )A.x 236＋y 227＝1 B.x 26＋y 23＝1 C.x 227＋y 236＝1 D.x 29＋y 26＝13．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.644．若椭圆C ：x 2m ＋y 2m 2－1＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C 的长轴长为________．课时对点练1．(多选)为使椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，正数m 的值可以是( )A ．1 B. 3 C.83 D.322．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋25y 2＝400，则关于椭圆C 下列叙述正确的是( ) A ．椭圆C 的长轴长为10B ．椭圆C 的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3) C ．椭圆C 的离心率等于35D ．若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，则|PQ |＝3253．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B ．2 C.14 D ．45．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.456．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地心最近的一点)距地面m km ，远地点B (离地心最远的一点)距地面n km ，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R km ，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________________．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率．10.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B —→，求椭圆的标准方程．11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( ) A.x 28＋y 29＝1 B.x 218＋y 216＝1 C.x 212＋y 26＝1 D.x 29＋y 28＝112．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝5|PF 2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎣⎡⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫23，113．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.14．如图，把椭圆x 216＋y 29＝1的长轴AB 八等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 7F |的值为________．15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎣⎡⎭⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎤0，255 D.⎣⎡⎭⎫255，116．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．+。

椭圆知识一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数(122a F F >)的点的轨迹叫做椭圆，即点集；1212M={P| |PF|+|PF |=2a},2a>||=2c F F这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（122a F F =时为线段12F F ，122a F F <无轨迹）。

第二定义：椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

.准线：l 1：x=－c a 2， l 2：x=ca 2焦半径：1122r =|PF|=a+ex;r =|PF |=a-ex 1F 为左焦点，2F 为右焦点。

（规律：左加右减） 2．椭圆方程：标准方程：①焦点在x 轴上：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：22221x y b a+=（a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；一般方程： 或者221mx ny +=其中0,0,m n m n >>≠参数方程:cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ , θ为参数二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆（a ＞b ＞0） 横坐标- a x a -≤≤,纵坐标b y b -≤≤（2）椭圆（a ＞b ＞0） 横坐标a x a -≤≤，纵坐标b y b -≤≤2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）222c a b =-221x y m n +=12222=+b y a x 12222=+b x a y（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

第一讲椭圆-学生版第一讲椭圆题型一椭圆定义的应用1. 定义：平面内与两个定点21F F ，的距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2. 椭圆定义的集合语言{}21212,2F F a a MF MF M P >=+=是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点)0)(,(000≠y y x P 和焦点)0,(),0,(21c F c F -为顶点的21F PF ?中，若θ=∠21PF F ，注意以下公式的运用：（1）a PF PF 221=+（2）θcos 242122212PF PF PF PF c -+=（3）θsin 212121PF PF S F PF =例1 已知ABC ?的顶点B,C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ?的周长是例2 已知椭圆C:14922=+y x ，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A,B ，线段MN 的中点在C 上，则BN AN += 变式1 已知椭圆12-1022=-+m y m x 的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m=题型二求椭圆的标准方程1. 标准方程中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ；中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a ay b x2. 求椭圆方程有两种方法：（1）定义法：根据椭圆的定义，确定22,b a 的值，结合焦点位置，可写出椭圆方程（2）待定系数法：这种方法是求椭圆的常用方法，一般步骤是：第一步，做判断，焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能。

椭圆的几何性质讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March28．1 椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a ,b ,c ,e 等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF =，0＜e ＜1的常数}。

（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），这种形式用起来更方便。

33．性质：对于椭圆：12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点;④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本) 此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式： |PF 1|=左r =a +ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；(由第二定义推得)c a PF c a PF -=+=min max ,⑧焦准距c b p 2=；准线间距c a 22=;通径长22b a⨯;⑨最大角()12122max F PF F B F ∠=∠ 证:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则222221212121212221222124()24cos 222211,"",.()2r r c r r r r c P r r r r b b r r r r a +-+--==≤-=-==+时取角最大对于椭圆：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。

2.1椭圆第1课时椭圆及其标准方程1．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)例题1（椭圆定义理解）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a<c时，集合P 为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．案例11．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件．反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 例题2（求椭圆的标准方程）(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．解：(1) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2) 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.案例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26，2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.例题3（与椭圆有关的轨迹问题）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．案例3 如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆．由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1.例题4 （与焦点有关的三角形问题）如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.即△PF 1F 2的面积是335.第2课时 椭圆的简单几何性质1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题． 观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？ 提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？ 提示：离心率e ＝ca；0<e <1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)根据离心率的定义及椭圆中a ，b ，c 的关系可知， e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e 越接近于1，则c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2就越小；e 越接近于0，则c 越接近于0，从而b 越接近于a .那么e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 2．归纳总结，核心必记 椭圆的简单几何性质(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ．(3)如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2， ∴e ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2. ∴e ＝ 1－b 2a2. 续表例题1 （由椭圆的标准方程研究几何性质）求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.案例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.例题2 （由椭圆的几何性质求方程）求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. (2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.案例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b 2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上． 设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254.∴方程为y 225＋4x 225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x 225＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.例题3（求椭圆的离心率）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e . [尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得 d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．案例3 如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1O OA . ∴b 2a b ＝ca ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)1、直线与椭圆的位置关系（重要）[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径的大小关系判断，d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离；d <r ⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？ 名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系． [思考3] 已知直线l 和椭圆C 的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．例题1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．[尝试解答] 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1，消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.当Δ＝0时，得m ＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m <52，直线与椭圆相交； 当Δ<0时，得m <－52或m >52，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法案例1 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)， 因为直线与椭圆总有公共点， 所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立， 因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立， 所以1－m ≤0， 即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以0<m <5， 综上，1≤m <5，2、直线与椭圆的相交弦问题[思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |?名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公[思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？名师指津例题2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．[尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4， 解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1），由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2 ＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 案例2（1）直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 解析：选C 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.∴所求中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. （2）．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 例题3（与椭圆有关的最值问题）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a 2c＝32，求椭圆方程；(2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积的最大值．[尝试解答](1)由题意知⎩⎨⎧c a ＝63，2a2c ＝32，解得a ＝3，c ＝ 2.所以a 2＝3，b 2＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23b 2＋y 2b 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2， 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且，所以点C 在椭圆内部，所以a >1， 所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝43k 2＋1.又O 到直线l 的距离为d ＝|k |1＋k 2，所以S △ABO ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·d＝2|k |3k 2＋1＝23|k |＋1|k |≤33，所以当且仅当3|k |＝1|k |，即k ＝±33时，S △ABO 取得最大值33.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．案例3 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解：设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋（－2）2＝813， 切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74.。

椭圆讲义1、平面内与两个定点F1，F 2的距离之和等于常数（大于为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在x轴上图形标准方程范围-a_x_a 且-b_y_b顶点---1 -a,0、二2 a,0已0,-b、三2 0,b轴长短轴的长=2b焦占八'、八、、F1 -c,0、F2 c,0焦距F1F2 =2c t 对称性关于x轴、y 离心率2准线方程3、设□是椭圆上任一点，点|M F j M F2Ie.d i d2四、常考类型类型一：椭圆的基本量F1 F2）的点的轨迹称为椭圆•这两个定点称焦点在y轴上2 2y x2 2=1 a b 0a b--■-i 0, 一a、_-；i ：；—b,0、长轴的长=2aF i 0, -c、c2= a2_ b2轴、原点对称---2 0,a二 2 b,0F2 0,c2+a y二cM到F i对应准线的距离为d i，点切到F2对应准线的距离为d2，则1 •指出椭圆9x2 4y2 =36的焦点坐标、准线方程和离心率2 2举一反三：【变式1】椭圆 — 1 1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3,贝U P 到另一个焦点的距离 25162 2【变式2】椭圆X=1的两个焦点分别为 1625的周长C ABF 1 = ___________ ■2 2—=1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（16 m 2.. 22【变式4】已知椭圆mx+3y — 6m=0的一个焦点为（0, 2）,求m 的值。

类型二：椭圆的标准方程2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 ）两个焦点的坐标分别是（一 4, 0）、（4, 0）,椭圆上一点P 到两焦点距离的和是 10; （2）两 个焦点的坐标是（0,举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为 0,4 ,0,-4，且椭圆经过点（5,0）。

2 2- —=1有相同的焦点，并且经过点942）,求此椭圆的方程。

R 、F 2，过F 2的直线交椭圆于 A 、B 两点」V .IABF 1 【变式3】已知椭圆的方程为 A . — 4W me 4 且 m ^ 0B.— 4v m < 4 且 m ^ 0C. m > 4 或 m <— 4 D . 0< m < 4【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 3，一2）、（ 0, 2）,并且椭圆经过点6 3 23.求经过点P (- 3, 0)、Q(0, 2)的椭圆的标准方程。

目录椭圆初步 (2)考点1：椭圆的定义 (2)题型一：利用定义判断动点轨迹 (2)考点2：椭圆的标准方程 (3)题型二：求椭圆的标准方程 (3)题型三：利用椭圆标准方程反求参 (5)考点3：椭圆定义的应用 (6)题型四：焦点三角形 (6)考点4：椭圆的简单几何性质 (8)题型五：椭圆离心率 (8)课后综合巩固练习 (11)椭圆初步考点1：椭圆的定义椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．题型一：利用定义判断动点轨迹例1.（1）（2017•天心区校级学业考试）设1F ，2F 为定点，12||6F F =，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段(2)（2017秋•绥滨县校级期中）如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线（3）（2014春•长宁区期中）如图，点A是平面α外一定点，过A作平面α的斜线l，斜线l与平面α所成角为50︒．若点P在平面α内运动，并使直线AP与l所成角为35︒，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线的一支考点2：椭圆的标准方程椭圆的标准方程：①22221(0)x ya ba b+=>>，焦点是1(0)F c-，，2(0)F c，，且222c a b=-．②22221(0)y xa ba b+=>>，焦点是1(0)F c-，，2(0)F c，，且222c a b=-．题型二：求椭圆的标准方程例2.（1）（201910=的化简结果为()A．2212516x y+=B．2212516y x+=C．221259x y+=D．221259y x+=（2）（2017秋•龙岗区期末）已知ABC ∆的周长为20，且顶点B (0,4)-，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A ．221(0)3620x y x +=≠B ．221(0)2036x y x +=≠C ．221(0)620x y x +=≠D ．221(0)206x y x +=≠（3）（2018秋•南关区校级期末）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )A ．22110084x y +=B ．221259x y +=C ．22110084x y +=或22184100x y +=D ．221259x y +=或221259y x +=（4）（2018•宝鸡三模）已知椭圆的焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，P 是椭圆上一点，且12||F F 是1||PF ，2||PF 等差中项，则椭圆的方程是( )A ．221169x y += B ．2211612x y +=C ．22143x y += D ．22134x y +=（5）两个焦点分别是(30)-，、(30)，且经过点(50)，的椭圆的方程（6）（2018•徐汇区校级一模）x ( ) A ．圆 B ．椭圆C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分例3.（1）（2018秋•宁县期末）已知定点1(2A -，0)，B 是圆:(C x 221)42y -+=上的一个动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，求动点M 的轨迹方程．题型三：利用椭圆标准方程反求参例4.（1）（2019春•香洲区校级月考）若曲线表示椭圆，则的取值范围是 A ． B ．或 C ． D ．22111x y k k +=-+k ()1k <10k -<<01k <<1k l -<<k l >-（2）（2019•西城区校级模拟）若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．22a b > B ．11a b< C ．0a b << D ．0b a <<（3）（2018•迎泽区校级一模）在区间[1，5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是( ) A ．15B ．14 C ．35D ．34考点3：椭圆定义的应用题型四：焦点三角形例5.（1）（2018秋•湖北期末）已知椭圆221166x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为 ．（2）（2018秋•南山区期末）已知1(F 、2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．若2ABF ∆周长是方程是( )A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2211210x y +=D ．22143x y +=（3）（2018秋•南关区校级期末）已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，且1290F PF ∠=︒，若129PF F S =，则b = ．例6.（1）（2018秋•眉山期末）已知椭圆22:143x y C +=，其左右焦点分别为1F 、2F ，P为椭圆上一动点，则满足12F PF ∠为45︒的点P 有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个（2）（2018秋•城关区校级期末）椭圆22142x y +=上有一点P ，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，△12F PF 为直角三角形，则这样的点P 有( ) A ．3个 B ．4个C ．6个D ．8个考点4：椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b+=>>来研究）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中的线段12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． ⑸椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<．e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．题型五：椭圆离心率例7.（1）（2019•长春四模）下列椭圆中最扁的一个是A ．B ．C ．D ．()2211612x y +=2214x y +=22163x y +=22198x y +=。

7.椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+=或者 mx 2+ny 2=1 。

3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆讲义1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率)22101c b e e a a==-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==． 四、常考类型类型一：椭圆的基本量1．指出椭圆364922=+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率.举一反三：【变式1】椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________【变式2】椭圆1251622=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长1ABF C ∆=___________.【变式3】已知椭圆的方程为116222=+my x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。

A ．－4≤m ≤4且m ≠0 B ．－4＜m ＜4且m ≠0 C ．m ＞4或m ＜－4 D ．0＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx 2+3y 2－6m=0的一个焦点为（0，2），求m 的值。

椭圆讲义1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==． 四、常考类型类型一：椭圆的基本量1．指出椭圆364922=+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率.举一反三：【变式1】椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________【变式2】椭圆1251622=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长1ABF C ∆=___________.【变式3】已知椭圆的方程为116222=+my x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。

A ．－4≤m ≤4且m ≠0 B ．－4＜m ＜4且m ≠0 C ．m ＞4或m ＜－4 D ．0＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx 2+3y 2－6m=0的一个焦点为（0，2），求m 的值。

第一节 椭 圆考点一 椭圆的定义及应用1.椭圆22192x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1｜=4，则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .2.椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、B,当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是 .3.已知F 1、F 2是椭圆C ： 22221x y a b+= (a 〉b>0）的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,若△PF 1F 2的面积为9，则b= 。

考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.已知椭圆E: 22221x y a b+= (a>b>0）的右焦点为F （3,0）,过点F 的直线交E 于A 、B 两点。

若AB 的中点坐标为（1,—1),则E 的方程为（ )（A ）2214536x y += (B ）2213627x y += （C ）2212718x y += (D)221189x y +=2。

在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点，焦点F 1、F 2在x ,过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 .3。

若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A 、B,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .考点三 椭圆离心率的求法1.设F 1，F 2是椭圆E ： 22221x y a b += （a>b 〉0)的左、右焦点，P 为直线x=32a 上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )（A ）12 (B)23 (C ）34 （D ）452。

椭圆Γ： 22221x y a b += (a 〉b>0）的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c 。

若直线）与椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 。

椭圆1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a ＞|F1F2|)的动点P 的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2a ＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；2a ＜|F1F2|时，动点的轨迹不存在. 2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)．焦点在x 轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y 轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 3❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．❷离心率表示椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b ＝a2－c2越小，因此椭圆越扁． [常用结论]1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，r1＝a ＋ex0，r2＝a －ex0； (2)y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，r1＝a ＋ey0，r2＝a －ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S ，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)中(1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c)．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin ＝2b2a .4．AB 为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l ＝1＋k2|x1－x2|＝ 1＋1k2|y1－y2|； (2)直线AB 的斜率kAB ＝－b2x0a2y0. 【题型精讲】考点一 椭圆的定义【例1】（1）（2020·上海徐汇.高二期末）已知1F ､2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ） 直线B ．线段C ．圆D ．椭圆（2）（2020·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【玩转跟踪】1．（2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ） A ．５ B ．３ C ．２D ．１2．（2020·东城.北京五十五中高二月考）若椭圆22110036x y +=上一点P 到其焦点1F的距离为6，则P 到另一焦点2F 的距离为( )A ．4B ．194C ．94D ．143.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 考点二 椭圆定义的运用【例2-1】（1）（2020·福建高二期末）如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）(0,1) B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,)+∞（2）（2020·江苏省苏州实验中学高二期中）方程2214x y m +=表示椭圆，则实数m 的取值范围（ ）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠【玩转跟踪】1．（2020·广东高三月考（文））“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020·浙江东阳.高二期中）如果方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a >B ．2a <-C ．3a >或2a <-D ．3a >或62a -<<-3．（2020·北京北师大实验中学高二期中）若方程2212y x m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()3-∞，B ．()23，C ．()2+∞， D ．()3+∞，【例2-2】（1）（2020·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆221169x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，则ABC ∆的周长是（ ） A ．8B． C ．16 D ．24（2）（2020·广西田阳高中））已知P 是椭圆221259x y +=上一点， 12,F F 为椭圆的两焦点，且01260F PF ∠=，则12F PF ∆面积为（ ）A．B．D．【玩转跟踪】1．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ） A ．20B ．16C ．18D ．142．（2020·湖南高二期中（理））已知E 、F 分别为椭圆x 225+y 29=1的左、右焦点，倾斜角为60∘的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则△FAB 的周长为( ) A ．10 B ．12 C ．16 D ．203．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．考点三椭圆的标准方程【例3】（2020·四川内江,高二期末）分别求适合下列条件的方程： （1）焦点在x 轴上，长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；（2）与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点(2,的椭圆的标准方程（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则此椭圆的标准方程【玩转跟踪】 1．（2020·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.（3）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点()0,2A 和12B ⎛ ⎝考点四 离心率【例4】（1）（2020·武威第八中学高二期末（理））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 。

椭圆1.椭圆的定义平面内与两个定点21F ,F 的距离之和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆。

其中定点21F ,F 叫做椭圆的焦点，|F F |21叫做焦距.（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<4.直线与椭圆的位置关系设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆12222=+by a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 5.弦长公式设直线b kxy +=与椭圆的交点坐标分别为)y ,x (A 11，)y ,x (B 22，则△=|AB ||x x |k 1212-+]x x 4)x x )[(k 1(212212-++=△2122122124)(1111y y y y ky y k AB -++=-+= 基础巩固：1.设P 是椭圆+=1上的点.若F 1、F 2是椭圆的两个焦点,|PF 1|=3,则|PF 2|等于_______.2.设F 1、F 2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|=3,则P 点到椭圆左焦点距离为 .3.已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为_________________. 4.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为_______________. 5.椭圆221625400x y +=的长轴长为__________，焦点坐标为_________________,上顶点坐标为6.已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为8,离心离为,则此椭圆的标准方程为____________________.7.经过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 8．已知点F 1、F 2分别是椭圆+=1（k ＞﹣1）的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为____________.9.P 为椭圆+=1上一点,F 1,F 2为该椭圆的两个焦点,若∠F 1PF 2=60°,则·等于____________.10.若点O 和点F 分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则·的最大值为___________.例题讲解：例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两焦点坐标分别为（-3,0）和（3,0），且过点（3，516）. （2）经过)1,32(-和)2,3(-两点.（3）长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-.变式训练：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点. （2）过点(3,0),离心率36e =.例2 椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,求椭圆的离心率.变式训练：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，求椭圆C 的离心率.例3 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点，且其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．变式训练：已知椭圆C:12222=+b y a x (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为22,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C 的方程; (2)当△AMN 的面积为310时,求k 的值.课后练习：1.已知△ABC 的顶点B,C 在椭圆1y 3x 22=+上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点F 在BC 边上,则△ABC 的周长是__________.2.已知椭圆的中心在原点,焦点在y 轴上,若其离心率为12,焦距为8,则该椭圆的方程是_________________. 3.已知椭圆，长轴在y 轴上、若焦距为4，则m 等于____________.4.已知椭圆C ：12222=+by a x (a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．则椭圆C 的方程为________________．5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________.6.如图所示，F 1，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x (a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．。