江苏省苏州市石牌中学2017年中考数学一轮复习第18讲《等腰三角形》讲学案

2017年中考数学专题练习18《等腰三角形》【知识归纳】一、等腰三角形1．等腰三角形的定义：的三角形是等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：；(3)等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边．4.等边三角形的性质等边三角形的各角都相等，并且每—个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．5.等边三角形的判定(1)三边都的三角形是等边三角形；(2)三个角都的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.【基础检测】1．（2013德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）A、680B、320C、220D、1602．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（） A．70°B．55°C．50°D．40°3．(2015湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______． 4．(2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．5． （2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点O 分斜边AB 为BO ：OA=1：，将△BOC 绕C 点顺时针方向旋转到△AQC 的位置，则∠AQC=105°．6．（2016•莆田）如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是（ ）AB C D EF(第19题图2) AB C D E (第19题图1)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD7. （2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．8.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【达标检测】一．选择题1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50° B．100° C．120° D．130°2. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°3.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．104. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2016·湖北荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或116. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A ．5B ．10C ．12D ．137. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A ．120° B．90° C．60° D．30°8. 已知等腰三角形ABC 中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 189. 如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是（ ）A ． 8B ．10C ．3πD ．5π 二．填空题10．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．11．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A 处，该海轮沿南偏东30°方向航行 海里后，到达位于灯塔P 的正东方向的B 处．EDC BA（第11题图）12．（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是．13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）14.（2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．三．解答题15.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．16. 如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．17．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．18. （2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【知识归纳答案】一、等腰三角形1．有两条边相等2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角相等；(2)三线合一；(3)等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等．4.等边三角形的性质60°； 3 ．5.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.【基础检测答案】1．（2013德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）A、680B、320C、220D、160【答案】B.【解析】在△CDE中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°, ∴∠C=180°-2×74°=32°.∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°.【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质.2．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（） A．70°B．55°C．50°D．40°【答案】：D．【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°，再根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠C-∠B=180°-70°-70°=40°.故选D.【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.3．(2013湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______． 【答案】50°或80°．【解析】(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；(2)若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°．【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论． 4．(2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【思路分析】(1)证△ABE ≌△ACE 即可．(2)△AEF 和△BCF 已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC ＝45°可知ABF 为等腰直角三角形，于是找到对应边AF ，BF 相等． 【解】证明：(1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE ＝∠CAE ． 在△ABE 和△ACE 中，∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ， △ABE ≌△ACE ． ∴BE ＝CE ．(2)∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形．∴AF ＝BF ． 由(1)知AD ⊥BC ，∴∠EAF ＝∠CBF ．AB C D EF(第19题图2) AB C D E (第19题图1)在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，∴△AEF≌△BCF．【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.5．（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O 分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105°．考点：旋转的性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．解答：解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠A=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=，∴∠AQO=60°，∴∠AGC=105°．点评：本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．6．（2016•莆田）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．【解答】解：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠BO P，∵OP=OP，∴根据‘HL’需添加PC⊥OA，PD⊥OB，根据‘SAS’需添加OC=OD，根据‘AAS’需添加∠OPC=∠OPD，故选D．【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．7. （2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解答：解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．故答案为：9．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．8.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．.专题：证明题．分析：（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．【达标检测答案】一．选择题1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50° B．100° C．120° D．130°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°【答案】B．【解析】∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°﹣36°=54°．故选B．3.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】勾股定理；等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．4. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解析】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形．因为BD是△ABC的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36°所以△ABD是等腰三角形．在△BDC中有三角形的内角和求出∠BDC=72°所以△BDC是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D．5．（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x 2﹣7x+12=0，解得x 1=3，x 2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11；②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选：D ．6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是A ．5B ．10C ．12D ．13【答案】D.【解析】在Rt △CAE 中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：13AE ==又DE 是AB 的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.7. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A ．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D ．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°． 故选D ．8. 已知等腰三角形ABC 中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )E DCB A （第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A ．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解： ∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A ．9.. 如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是（ ）A ． 8B ．10C ．3πD ．5π【答案】A ．【解析】连结DE ，作FH ⊥BC 于H ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，过D 点作DE ′⊥AB ，则BE ′=12BD=2，∴点E ′与点E 重合，∴∠BDE=30°，BE=，∵△DPF 为等边三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF ，∴∠EDP+∠HDF=90°，∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH ，在△DPE 和△FDH 中，∵∠PED=∠DHF ，∠EDP=∠DFH ，DP=FD ，∴△DPE ≌△FDH ，∴FH=DE=P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径为一条线段，此线段到BC 的距离为P 在E 点时，作等边三角形DEF 1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF 1⊥BC ，当点P 在A 点时，作等边三角形DAF 2，作F 2Q ⊥BC 于Q ，则△DF 2Q ≌△ADE ，所以DQ=AE=10﹣2=8，∴F 1F 2=DQ=8，∴当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长为8．故选A ．二．填空题10．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20 ．【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．11．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行 4 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案．【解答】解：一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行 4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键．12．（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③⑤【解析】①∵正△ABC和正△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正确）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP=QE，∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∴AD-DP=BE-QE，∴AP=BQ，（故③正确）；④∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故④错误）；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．∴正确的有：①②③⑤．14.（2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= 2 ．【考点】等边三角形的性质．【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2，故答案为2三．解答题15.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．【解析】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE 和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD=AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．16. 如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）40°．【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵ BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）∵∠A=100°，∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB=40°，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=40°．17．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【分析】等腰三角形的性质．（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE 均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BC E中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．18. （2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，∴PF=PE=2，PB=PA=4，∴AE=BF==2．∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．故答案为4，4．如图2中，连接EF，，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=1，∵∠PAB=30°，∴PB=1，PA=，在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，∴PE=，PF=，∴AE==，BF==，∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分别为，．（2）结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接EF．∵AF、BE是中线，∴EF∥AB，EF=AB，∴△FPE∽△APB，∴==，设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×（）2，∴AF=4．。

4．掌握角平分线的性质及判定.等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.教学过程一、等腰三角形1．等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．3．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．二、等边三角形的性质与判定1．等边三角形的性质(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________．2．等边三角形的判定(1)________相等的三角形是等边三角形；(2)________相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．三、线段的垂直平分线1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．四、角的平分线1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．，一边上的高为3，则底边长为__________＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为方法总结1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等．2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理．触类旁通1 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．考点二、等边三角形的性质与判定【例2】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．(2)如图乙，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD 不能重叠)，求∠AEB的大小．方法总结1．等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等．2．等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心．(四心合一)触类旁通2 已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．考点三、线段的垂直平分线【例3】如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是()A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm方法总结1．线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段．2．线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题．触类旁通3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．考点四、角的平分线【例4】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.方法总结在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线．触类旁通4 如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()A．P A＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP经典考题1．(2012贵州铜仁)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为()A．6 B．7 C．8 D．92．(2012江西南昌)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是()。

等腰三角形1导学案2.3.1等腰三角形（1）一、学习目标：1、巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。

2、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。

3、激情投入，收获成功。

二、重点难点学习重点：等腰三角形性质的探索及应用学习难点：等腰三角形性质的应用三、合作探究（同学合作，教师引导）1、复习回顾：○1.三角形全等的判定方法○2.有两条边相等的三角形，叫叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角2、用剪刀按照49页介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？3、将2中的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形的哪些性质？性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

你能证明这两个性质吗？4、填空：如图1，在△ABC中○1∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴BD = ，⊥ 。

○2∵AB=AC，BD=CD ∴∠BAD= ，⊥ .○3∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAD= ， BD四、精讲精练例1、如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数。

例2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为。

例3、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE求证：BD练习：1、如图4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M求证：CM=DM2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为。

3、如图5，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，BD=CF，求∠DFE的度数。

五、课堂小结：腰三角形的哪些性质？性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

中考复习课题：等腰三角形
设计理念：等腰三角形是一类特殊的三角形，因而它比一般的三角形在理论和实际中的应用更为广泛。

这节复习课的重点就是等腰三角形的性质、判定以及它的应用。

一、教学目标：
1、知识与技能目标
（1）理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质
（2）熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题。

2、过程方法
通过回顾有关定理的证明，进一步掌握综合法的证明法。

提高学生用规定数学语言表达论证过程的能力。

3、情感态度价值观
进一步体会证明的必要性，培养实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的
二、复习重点
能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。

三、复习难点
证明的思路和方法。

四、教学过程：
（一）、课前热身
（二）、例题评讲及练习
（三）随堂检测
（四）、小结思考五、作业。

第18讲等腰三角形【考点总汇】一、等腰三角形的判定与性质1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也（简写“”）。

2.性质（1）等腰三角形的两个底角（简写为“”）。

（2）等腰三角形顶角的、底边上的高和底边上的互相重合（简写成“三线合一”）。

（3）等腰三角形是图形，底边上的中线（或底边上的高或顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴。

微拨炉：二、等边三角形的判定与性质1.判定（1）三个角的三角形是等边三角形。

（2）有一个角等于60 的三角形是等边三角形。

2.性质（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于。

（2）等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴。

微拨炉：三、线段的垂直平分线1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。

2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。

微拨炉：21B C高频考点1、等腰三角形的性质与判定【范例】如图，90=∠ABC，ED,分别在ACBC,上，DEAD⊥，且DEAD=，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M。

（1）求证：FCMFMC∠=∠。

（2）AD与MC垂直吗？并说明理由。

得分要领：等腰三角形的“三线合一”，包括以下三个结论：如图，在△ABC中，ACAB=。

1.若BCAD⊥，则DCBD=，21∠=∠。

2.若DCBD=，则BCAD⊥，21∠=∠。

3.若21∠=∠，则BCAD⊥，DCBD=。

【考题回放】1.若等腰三角形的顶角为40 ，则它的底角数为（）A.40B.50C.60D.702.如图，在△ABC中，ACAB=，且D为BC上一点，ADCD=，BDAB=，则B∠的度数为（）A.30 B.36 C.40 D.45第2题第3题3.如图，在△ABC中，ACAB=，40=∠A，点D在AC上，CBD B=，则ABD∠的度数是。

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 ，则该等腰三角形的底角的度数为。

5.如图，在△ABC 中，点E D ,分别在边AB AC ,上，BD 与CE 交于点O ，给出下列三个条件：①DCO EBO ∠=∠；②CD BE =；③OC OB =。

2017年中考数学专题练习17《全等三角形》【知识归纳】1．能够完全重合的两个图形就是．能够完全重合的两个三角形就是．2．全等三角形的对应边，对应角．3．全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线) ，周长相等，面积相等．4.三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：（可简写成“ ”或“ ”）（2）角边角定理：（可简写成“ ”或“ ”）（3）边边边定理：（可简写成“ ”或“ ”）。

5.直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：（可简写成“ ”或“ ”）【基础检测】1．（2016•新疆）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF2．（2016•怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD3．（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B． 6 C．4 D．24．（2015•宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CE B．6. （2016·辽宁丹东·3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接A B．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为．7.（2016·云南省昆明市）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．【达标检测】一、选择题：1.（2013贵州安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC2．（2015•海南）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠DBC=∠ACB3．（2015•六盘水）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD4．（2016•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．605．（2013浙江台州，10，4分）已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确二、填空题：6．（2013白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）7．（2013湖南郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．三、解答题：8. （2016·重庆市A卷·7分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=F D．求证：AE=F B．9．（2016·四川泸州）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．10．（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．11（2013山东德州）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD。

等腰三角形「数学教案」教材分析：1、本节内容是七年级下第九章《轴对称》中的重点部分是等腰三角形的第一节课由于小学已经有等腰三角形的基本概念故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上着重探究等腰三角形的两个定理及其应用如何从对称角度理解等腰三角形是新教材和旧教材完全不同的出发点应该重新认识把好入门的第一课2、等腰三角形是在第八章《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处3、等腰三角形是基本的几何图形之一在今后的几何学习中有着重要的地位是构成复杂图形的基本单位等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具4、对称是几何图形观察和思维的重要思想也是解决生活中实际问题的常用出发点之一学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义5、例题中的几何运算是数形结合的思想的初步体验如何在几何中结合代数的等量思想是教学中应重点研究的问题6、新教材的合情推理是一个创新如何把握合情推理的书写及重点问题本课中的例题也进一步做了示范可以认真研究7、本课对学生的动手能力观察能力都有一定的要求对培养学生灵活的思维提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义8、本课内容安排上难度和强度不高适合学生讨论可以充分开展合作学习培养学生的合作精神和团队竞争的意识学情分析：1、授课班级学生基础较差教学中应给予充分思考的时间谨防填塞式教学2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛可以充分发挥合作的优势兼顾效率和平衡3、本班为自己任课的班级平时对学生比较了解在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生充分调动学生的积极性教学中的重点、难点：重点：1、等腰三角形对称的概念2、“等边对等角”的理解和使用3、“三线合一”的理解和使用难点： 1、等腰三角形三线合一的具体应用2、等腰三角形图形组合的观察总结和分析主要教学手段及相关准备：教学手段：1、使用导学法、讨论法2、运用合作学习的方式分组学习和讨论3、运用多媒体辅助教学4、调动学生动手操作帮助理解准备工作：1、多媒体课件片断辅助难点突破2、学生课前分小组预习上课时按小组落座3、学生自带剪刀圆规直尺等工具4、每人得到一张印有“长度为a的线段”的纸片教学设计策略：依据教学目标和学生的特点依据教学时间和效率的要求在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：1、回归学生主体一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程2、原则性和灵活性相结合既要完成教学计划在教学过程中又可以根据现实的情况安排问题的难度体现一些灵活性3、教学的形式上注重个体化充分给予学生讨论和发表意见的机会注重学习的参与性努力避免以教师活动为主体的教学过程。

苏科版初中数学(等腰三角形)教学设计课题：等腰三角形教学目标：1.掌握等腰三角形的性质，能够运用等腰三角形的性质进行证明和计算。

2.发展学生的形象思维和推理能力，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。

3.提高学生的问题解决能力，发展学生的应用意识、创新意识和反思意识。

4.激发学生的好奇心和求知欲，建立研究的自信心。

教学方法：实验法和探究法。

重难点：重点是等腰三角形的性质及应用。

难点是等腰三角形性质的证明。

教学过程：一、引入新课请同学们观察以下图片，发现其中共同存在的基本图形是什么？为什么这些伟大的人类建筑要设计成等腰三角形的形式呢？等腰三角形有什么特殊的性质吗？今天我们来一起研究等腰三角形的性质和应用。

（板书）12.3.1等腰三角形二、探究等腰三角形的性质1.认识等腰三角形在小学时我们就学过两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

现在我们通过剪纸的方法将手中的矩形纸片变形，得到一个等腰三角形。

观察这个等腰三角形，我们称相等的边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

2.探究等腰三角形的性质1）观察猜想我们再度观察手中的等腰三角形，它是轴对称图形吗？为什么？我们将等腰三角形ABC沿折痕对折，发现其中的线段和角是互相重合的。

由此我们猜想等腰三角形的两个底角相等。

（板书）猜想①等腰三角形的两个底角相等。

2）论证证明我们来证明一下猜想①。

首先，我们将等腰三角形ABC 沿中线AD折叠，得到图形ABDE和ACDE。

因为三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠BCA。

由于折叠后的图形ABDE和ACDE是重合的，所以AD=AE，∠___∠DAB+∠BAC+∠CAE=2∠BAC。

因此，∠BAC=∠DAE/2，∠BAC=∠BDE，所以∠BDE=∠BCA，即猜想①成立。

同学们，你们会发现什么性质呢？（板书）性质①等腰三角形的两个底角相等。

3）应用练请同学们用性质①证明：等腰三角形的底边中线与顶角的平分线重合。

初中数学教案之等腰三角形等腰三角形知识结构重点与难点分析：本节内容的重点是及其推论。

等腰三角形两底角相等(等边对等角)是证明同一三角形中两角相等的重要依据;而在推论中提到的等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一这条重要性质也是证明两线段相等，两个角相等及两直线互相垂直的重要依据。

为证明线段相等，角相等或垂直平提供了方法，在选择时注意灵活运用。

本节内容的难点是文字题的证明。

对文字题的证明，首先分析出命题的题设和结论，结合题意画出草图形，然后根据图形写出已知、求证，做到不重不漏，从而转化为一般证明题。

这些环节是学生感到困难的。

教法建议：数学教学的核心是学生的再创造.根据这一指导思想，本节课教学可通过精心设置的一个个问题链，激发学生的求知欲，最终在老师的指导下发现问题、解决问题.为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，本课教学拟用启发式问题教学法.具体说明如下：(1)发现问题本节课开始，先投影显示图形及问题，让学生观察并发现结论。

提出问题让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求.(2)解决问题对所得到的结论通过教师启发，让学生完成证明.指导学生归纳总结，从而顺其自然得到本节课的一个定理及其两个推论. 多让学生亲自实践，参与探索发现，领略知识形成过程，这是课堂教学的基本思想和教学理念.(3)加深理解学生学习的过程是对知识的消化和理解的过程，通过例题的解决，提高和完善对定理及其推论理解。

这一过程采用讲练结合、适时点拨的教学方法，把学生的注意力紧紧吸引在解决问题身上，让学生的思维活动在老师的引导下层层展开，让中国学习联盟胆参与课堂教学，使他们听有所思、练有所获，使传授知识与培养能力融为一体。

一.教学目标：1.掌握定理的证明及这个定理的两个推论;2.会运用证明线段相等;3.使学生掌握一般文字题的证明;4.通过文字题的证明，提高学生几何三种语言的互译能力;5.逐步培养学生逻辑思维能力及分析实际问题解决问题的能力;6.渗透对称的数学思想,培养学生数学应用的观点;二.教学重点：及其推论三.教学难点：文字题的证明四.教学用具：直尺，微机五.教学方法：问题探究法。

等腰三角形【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）知识与技能：1．寻找生活实例中的等腰三角形，给等腰三角形下定义，探求等腰三角形的轴对称性和它的相关性质。

2．培养学生自主、合作、探究的学习方式，亲身体验“再发现”过程。

（二）过程与方法：在探究过程中，增强协作交流，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观：经历探索等腰三角形的轴对称及相关性质的过程，进一步体验轴对称的特征，发展学生的空间意识。

【教学重点】等腰三角形有关性质的探索和应用。

【教学难点】等腰三角形性质的验证。

【教学过程】一、创设情境，导入新知。

教师出示学生熟悉的人字梁屋架：师：图中的人字架屋架的外观结构形式是什么图形？生：等腰三角形。

师：它有什么特点呢？学生思考。

师：我们从这节课开始学习等腰三角形的有关知识（板书课题）。

二、共同探究，获取新知。

教师引导学生操作：画一个等腰三角形ABC，把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C 重合，并出现折痕AD，如图学生操作，教师巡视指导。

师：△ADB与△ADC有什么关系？生：全等。

师：哪些线段或角相等？学生思考，教师参与探究。

学生口答：AB与AC相等，DB与DC相等，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC．师：AD与BC垂直吗？生：垂直。

师：由此你能得出什么结论？学生小组讨论。

生：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴。

师：很好！这样也就是说等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。

学生熟记。

师：你能证明这个性质定理吗？学生交流讨论。

教师提示：你先把这个命题分解为条件和结论两部分，写出已知、求证，然后给出证明。

教师找一名学生板演，其余同学在下面做，然后集体订正。

已知：如图，△ABC中，AB=AC。

求证：∠B=∠C。

证明：取BC的中点D，连接AD。

在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，（已知）AD=AD，（公共边）BD=CD，（已作）∴△ABD≌△ACD。

八年级下册《等腰三角形》复习教案一、教学目标：1、知识目标：了解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质与判定的应用2、过程与方法通过对等腰三角形知识的梳理，形成知识体系，并且提高解题的能力与速度；掌握分类讨论思想、方程思想在实际解题中的应用3、情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，培养学生的合作精神，在独立思考的同时能够认同他人二、教学重难点：1、重点：等腰三角形的性质及等腰三角形的判定2、难点：等腰三角形与其他知识的综合应用三、教学过程（一）、引入由线段的垂直平分线定理引出今天要复习的课题————等腰三角形（二）、温故而知新1、等腰三角形定义：2、等腰三角形性质：（1）两腰 。

（2）两底角 。

（3）三线合一（4）等腰三角形是 图形，其对称轴是 。

请同学们完成以下练习：（1）若等腰三角形的底角为40°，则另外两个角的度数分别为 。

变式：若等腰三角形的一个内角是40°，则另外两个角的度数分别为 。

（2）若等腰三角形的腰长为3cm ，底边长为 5cm ，则它的周长是 。

变式：若等腰三角形的两边长为3cm 和5cm ，则它的周长是 。

归纳总结：等腰三角形中出现的分类讨论思想主要包括：角的分类讨论、边的分类讨论。

2016陕西中考)14、在△ABC 中，AB=AC,6BC =, AD BC ⊥于点D ，则BD 的长是 。

归纳总结：三线合一中的三线分别为顶角的 、底边的 、底边上的 。

一般在解题中我们常常把等腰三角形底边上的高做出来，作为解题的重要的辅助线。

3、等腰三角形的判定（1）两腰相等；（2）两底角相等。

（因为“等角对等边”）如图，矩形纸片ABCD ，BC=6，AB=8，将该纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，EB 交DC 于点F. 你能说明△DFB 是一个等腰三角形吗？4、等边三角形（1）性质三条边，三个角（2）判定三条边都相等的三角形是等边三角形有一个角是060的是等边三角形5.典型例题如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．如图，在△ABC中，已知AB=AC=4，AD平分∠BAC，E是AC边的中点．(1)求DE的长；(2)求证：DE∥AB．（四）、课堂小结（五）、课堂作业（见学案）。