陕西省2015年中考数学总复习课件：专题三 方案设计与动手操作型问题

第四章统计与概率第15讲数据的收集与整理陕西《中考说明》陕西2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1数据的收集1.从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的数据；2.通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的样本可能得到不同的结果；3.通过实例，体会用样本估计总体的思想————————————考点2数据的分析1.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，能选择合适的统计量表示数据的集中程度；2.会计算简单数据的方差，并会用它表示数据的离散程度；3.能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差；4.探索如何表示一组数据的离散程度2014 选择题 6 3 求表格中的平均数和众数 2013 选择题 5 3求一组数据的平均数 2012 选择题 4 3 求表格中平均数2.5%题，分值为3分，考查形式一般有两种，一种是直接给出一组数据，一种是以表格形式给出一组数据，对于中位数的考查，虽然近三年未考查到，但曾在2011年考查到中位数的计算，因此对中位数的计算考生在复习时不容忽视，2014年中考说明中删除了极差的相关内容，因此以后中考将不会再涉及，预计在2015的中考中，仍会在选择题中可能会考查平均数和众数的计算，也可能会考查中位数的计算．1．数据收集的途径(1)直接手段：__调查、观察、测量、实验__等．(2)间接途径：__查阅文献资料、使用互联网查询__等． 2．数据整理的方法__分类、排序、分组、编码__等．3．平均数、总体、个体、样本及样本容量 (1)总体：把__所要考察对象__的全体叫总体． (2)个体：__每一个考察对象__叫做个体．(3)样本：从总体中所抽取的__一部分个体__叫做总体的一个样本． (4)样本容量：样本中__个体的数目__叫做样本容量．(5)算术平均数：一般地，如果有n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n ，那么平均数x ＝1n(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )．加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现了f 1次，x 2出现了f 2次，…，x k 出现了f k 次，这里f 1＋f 2＋…＋f k ＝n ，那么这n 个数的算术平均数x ＝x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x k f kn.也叫做x 1，x 2，…，x k 这k 个数的加权平均数，其中f 1，f 2，…f k 分别叫做x 1，x 2，…，x k 的权．4．众数与中位数在一组数据中，出现次数最多的那个数据叫做这组数据的__众数__．将一组数据按大、小依次排列，把排在正中间的一个数据称为__中位数__．但中位数并不一定是数据中的一个数．当数据的个数是偶数个时，最中间有两个数，这两个数的平均数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是奇数个时，中位数是正中间的那个数．5．方差设一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方分别是(x 1－x)2，(x 2－x)2，…，(x n －x)2.那么我们用它的平均数即s 2＝1n[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2]来衡量一组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．6．由样本特征估计总体特征是统计数据常用的方法“集中”问“三数”平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们是“同一家族的三个成员”，都是用来刻画一组数据的平均水平，表示数据的集中趋势．应用平均数时，所有数据都参与运算，它能充分地利用数据所提供的信息，但当一组数据中存在极大值或极小值时，平均数将不能准确地表示数据的集中情况．应用中位数时，计算较简单，不会受极大值或极小值的影响，但不能充分利用所有数据的信息．应用众数时，某些情况下，人们最关心、最重视的是出现次数最多的数据，这时应用众数比较简单且能够直接满足人们的需求，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义．“波动”问“方差”方差是刻画数据离散程度的统计量，能反映一组数据的波动情况．1．(2014·陕西)某区10名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如下表：那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是( B )A．85和82.5B．85.5和85C．85和85 D．85.5和802．(2013·陕西)我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：111，96，47，68，70，77，105，则这七天空气质量指数的平均数是( C )A．71.8B．77C．82D．95.73．(2012·陕西)某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九(3)班的演唱打分情况(满分100分)如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是( C )A.92分B．93选择合适的调查方式【例1】(2014·内江)下列调查中，①调查本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿命；③为保证“神舟9号”的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是( B )A．①B．②C．③D．④【点评】全面调查可以直接获得总体的情况，调查的结果准确，但搜集、整理、计算数据的工作量大；抽样调查的范围小，节省人力、物力，但往往不如全面调查的结果准确．调查范围的大小是相对而言的，类似的问题应联系实际才不会出错．1．(2013·黔西南州)下列调查中，可用普查的是( C )A．了解某市学生的视力情况B．了解某市中学生课外阅读的情况C．了解某市百岁以上老人的健康情况D．了解某市老年人参加晨练的情况平均数、众数、中位数的计算【例2】(2014·孝感)为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民月用电量(单位：度)，下列说法错误的是( C ) A ．中位数是55 B ．众数是60 C ．方差是29 D ．平均数是54 【点评】 平均数、众数、中位数是中考的热点之一，解决这类问题的关键是弄清概念．平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数着眼于各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可以是一个或多个；中位数则与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，计算时要分清数据是奇数个，还是偶数个．2．(1)(2014·襄阳)五箱梨的质量(单位：kg )分别为：18，20，21，18，19，则这五箱梨质量的中位数和众数分别为( D )A ．20和18B ．20和19C ．18和18D ．19和18(2)(2013·内江)一组数据3，4，6，8，x 的中位数是x ，且x 是满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，5－x ＞0的整数，则这组数据的平均数是__5__．方差的计算【例3】 (1)(2014·呼和浩特)某校五个绿化小组一天的植树棵数如下：10，10，12，x ，8.已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是__1.6__．(2)(2014·重庆)2014年8月26日，第二届青奥会将在南京举行，甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备．在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.2秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.11，0.03，0.05，0.02.则当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是( D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【点评】 理解中位数、方差的概念，灵活运用求平均数、方差的计算公式．3．(2014·湘潭)为测试两种电子表的走时误差，做了如下统计：__B __试题 某校七年级六个班的人数依次为52人，55人，53人，51人，54人，52人，各班的期末数学平均成绩分别为95分，91.5分，`93分，95分，91分，93.5分，求七年级期末数学考试的平均成绩． 错解解：x ＝16(95＋91.5＋93＋95＋91＋93.5)≈93.2(分)答：七年级期末数学考试的平均成绩为93.2分．剖析 七年级的平均成绩应该是七年级每个学生成绩的平均数，题目已知六个班各班的平均成绩，求这个年级的平均成绩，只需分别求出每个班的总分数，这些总分数的和就是这个年级所有学生成绩的和，再除以年级总人数，就是所求的这个年级的平均成绩，而上面的错解把六个班的平均成绩的平均数误当成年级的平均成绩，导致了错误．正解x ＝95×52＋91.5×55＋93×53＋95×51＋91×54＋93.5×5252＋55＋53＋51＋54＋52≈93.1(分)答：该校七年级期末数学考试的平均成绩为93.1分．。

中考衣食住用行衣：中考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2015年陕西省初中毕业学业考试试题数学第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.计算：=-032）（（ ） A.1 B.23-C.0D.32 2.如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（ ）3.下列计算正确的是（ ）A.632a a a =• B.2224)2(b a ab =- C.532)(a a = D.ab b a b a 332223=÷4.如图，AB//CD,直线EF 分别交直线AB 、CD 于点E 、F,若∠1=46°30′，则∠2的度数为（ ）A.43°30′B.53°30′C.133°30′D.153°30′5.设正比例函数mx y =的图象经过点)4,(m A ，且y 的值随x 值的增大而减小，则=m （ ）A.2B.-2C.4D.-4 6.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE,则图中等腰三角形共有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧---≥+0)3(23121＞x x x 的最大整数解为（ ）A.8B.6C.5D.48.在平面直角坐标系中，将直线22:1--=x y l 平移后，得到直线42:2+-=x y l ，则下列平移作法正确的是（ ）A.将1l 向右平移3个单位长度B.将1l 向右平移6个单位长度C.将1l 向上平移2个单位长度D. 将1l 向上平移4个单位长度9.在□ABCD 中，AB=10，BC=14，E 、F 分别为边BC 、AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为（ ）A.7B.4或10C.5或9D.6或810.下列关于二次函数）＞1(122a ax ax y +-=的图象与x 轴交点的判断，正确的是（ ） A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y 轴右侧 C.有两个交点，且它们均位于y 轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于y 轴右侧 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11.将实数605-，，，π由小到大用“＜” 号连起来，可表示为_________________。

第4讲 分式及分式方程二是分式化简求值；三是解分式方程，题型为解答题，且稳定在第17题，分值为5分，一般分式化简题会与分式化简求值题或解分式方程题轮换考查，试题也较为简单，难度不大，切记解分式方程后要验根．由近几年的陕西中考考情分析可得，分式化简、分式化简求值或解分式方程在2015年仍有可能考查，且仍会稳定在第17题，分值为5分，故对本节的知识在复习中应多加练习，做到不失分．1．分式的基本概念(1)形如__AB(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)__的式子叫分式；(2)当__B ≠0__时，分式A B 有意义；当__B ＝0__时，分式AB无意义；当__A ＝0且B ≠0__时，分式AB的值为零．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变，用式子表示为__A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷M B÷M (M 是不等于零的整式)__．3．分式的运算法则(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．用式子表示：a b ＝－a －b ＝－a －b＝－－a b ；－a b ＝a－b ＝－a b .(2)分式的加减法：同分母加减法：__a c ±b c ＝a±bc __；异分母加减法：__b a ±d c ＝bc±adac__．(3)分式的乘除法： a b ·c d ＝__acbd __； a b ÷c d ＝__adbc__． (4)分式的乘方： (a b )n ＝__a nb n (n 为正整数)__． 4．最简分式(1)概念：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．(2)寻找最简公分母的方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．5．分式的约分、通分把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．7．分式方程(1)定义：分母中含有__未知数__ 的方程；(2)解法：分式方程――→转化去分母__整式方程__――→解方程求出解――→代入最简公分母检验得出分式方程的解；(3)增根：使最简公分母为0的根． 规律总结：(1)如何由增根求参数的值： a ．将原方程化为整式方程；b ．将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值． (2)检验分式方程的根是否为增根的方法： a ．利用方程的解的定义进行检验；b ．将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，若不为0就是原方程的根；若为0则为增根，必须舍去．一个思想类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现规律的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识，分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习中，要注意与分数进行类比学习理解．两个技巧(1)分式运算中的常用技巧分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．(2)分式求值中的常用技巧分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．三个防范(1)“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．(2)去分母时，不要漏乘没有分母的项；解分式方程的重要步骤是检验．(3)分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．1．(2014·陕西)先化简，再求值：2x 2x 2－1－x x ＋1，其中x ＝－12.解：原式＝2x 2（x ＋1）（x －1）－x （x －1）（x ＋1）（x －1）＝x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x －1，当x ＝－12时，原式＝－12－12－1＝132．(2013·陕西)解分式方程：2x 2－4＋xx －2＝1.解：去分母得：2＋x(x ＋2)＝x 2－4，整理得：2＋x 2＋2x ＝x 2－4，解得：x ＝－3，经检验得，x ＝－3是原分式方程的根3．(2012·陕西)化简：(2a －b a ＋b －ba －b )÷a －2b a ＋b.解：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a ＋ba －2b＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a －b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab（a －b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a －b ）（a －2b ）＝2aa －b分式的概念，求字母的取值范围【例1】 (1)(2014·贺州)分式2x －1有意义，则x 的取值范围是( A )A ．x ≠1B ．x ＝1C ．x ≠－1D ．x ＝－1(2)(2014·毕节)若分式x 2－1x －1的值为零，则x 的值为( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．1．(1)(2013·广州)若代数式xx －1有意义，则实数x 的取值范围是( D )A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠1(2)当x ＝__－3__时，分式|x|－3x －3的值为0.分式的四则混合运算【例2】 (2014·深圳)先化简，再求值：(3x x －2－x x ＋2)÷xx 2－4，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．解：原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x ＋2）（x －2）·（x ＋2）（x －2）x＝2x ＋8，当x ＝1时，原式＝2＋8＝10【点评】 准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x 的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与±2.2．(1)(2014·十堰)已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为( B )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－5(2)(2014·娄底)先化简x 2－4x 2－9÷(1－1x －3)，再从不等式2x －3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）÷x －3－1x －3＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －4＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －4），不等式2x －3＜7，解得x ＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x ＝1时，原式＝14分式方程的解法【例3】 (2014·舟山)解方程：x x ＋1－4x 2－1＝1.解：去分母，得x(x －1)－4＝x 2－1，去括号，得x 2－x －4＝x 2－1，解得x ＝－3，经检验x ＝－3是分式方程的解【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去．3．(1)(2014·德州)分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解是( D )A ．x ＝1B ．x ＝－1＋ 5C ．x ＝2D ．无解(2)(2014·巴中)若分式方程x x －1－m1－x＝2有增根，则这个增根是__x ＝1__．(3)(2014·新疆)解分式方程：3x 2－9＋xx －3＝1.解：方程两边都乘(x ＋3)(x －3)，得3＋x(x ＋3)＝x 2－9，3＋x 2＋3x ＝x 2－9，解得x ＝－4，检验：把x ＝－4代入(x ＋3)(x －3)≠0，∴x ＝－4是原分式方程的解试题 当a 取什么值时，方程x －1x －2－x －2x ＋1＝2x ＋a（x －2）（x ＋1）的解是负数？错解解：原方程两边同乘以(x －2)(x ＋1)，得x 2－1－x 2＋4x －4＝2x ＋a ，2x ＝a ＋5，∴x ＝a ＋52.由a ＋52＜0，得a ＜－5.故当a ＜－5时，原方程的解是负数． 剖析(1)分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时，往往忽略题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误；(2)利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同乘或同除以的整式的值不能是零；(3)解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解．如果最后x 取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方程同解原理，这个取值就是方程的解；否则，不能保证新方程与原方程同解．从另一角度看，既然使各分母的最简公分母为零，则必使某个分母为零，该分式则无意义，原方程不可能成立，这个取值就不是原方程的解．正解解：当x ≠－1且x ≠2时，原方程两边都乘以(x －2)(x ＋1)，得 x 2－1－x 2＋4x －4＝2x ＋a ，2x ＝a ＋5，∴x ＝a ＋52.由a ＋52＜0，得a ＜－5，又由a ＋52≠2，得a ≠－1；a ＋52≠－1，得a ≠－7，故当a ＜－5且a ≠－7时，原方程的解是负数．。

陕西省2015年中考数学总复习教学案专题一规律探索型问题 (1)专题二开放探究型问题 (6)专题三方案设计与动手操作型问题 (10)专题四情境应用型问题 (19)专题五阅读理解型问题 (26)专题六运动型问题 (33)专题七综合型问题 (38)专题一规律探索型问题规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等题型．1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．数字猜想型问题【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__336__分．【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．1．(2014.兰州)为了求1＋2＋22＋23＋...＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋ (2100)则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是__32015－12__．数式规律型问题【例2】 (2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是__165__．【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形．2．(2013·南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为__－1__．(结果用数字表示)图形规律型问题【例3】 (2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……(1)观察以上图形并完成下表： 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数图①1 7 图②2 12 图③3 17 图④4 22 … … …猜想：在图中，特征点的个数为__5n ＋2__；(用n 表示)(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝__x 1＝3__；图的对称中心的横坐标为__20133__．【点评】本题考查图形的应用与作图，是规律探究题，难度中等，注意观察图形及表格，总结规律．3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有__485__．数形结合猜想型问题【例4】 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去….若点A(53，0)，B(0，4)，则点B 2014的横坐标为__10070__．【点评】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意数形结合得出B 点横坐标变化规律是解题关键．4．在由m ³n(m ³n ＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，(1)当m ，n 互质(m ，n 除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：m n m ＋nf 1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 5 7 63 4 7 6猜想：当m ，n 互质时，在m ³n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m ，n 的关系式是__f ＝m ＋n －1__．(不需要证明)(2)当m ，n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．解：(2)当m ，n 不互质时，上述结论不成立，如图试题(1)(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是____．(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由________个圆组成．审题视角探索数量规律题可以检验同学们观察图形的变化规律，并从中找出其数量关系的能力，由于没有现成的公式、定理可以套用，对初中生而言，有一定的难度．但只要了解一些数列的有关知识，加上一些常用的分析方法，解决这类问题也是比较容易的．规范答题解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的小正方形的个数的和即可．仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：第1个图有：1＋3个；第2个图有：4＋4个；第3个图有：9＋5个；……故第n个图有：[n2＋(n＋2)]个．(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．第①个图有2个相同的小正方形：2＝1³2；第②个图有6个相同的小正方形：6＝2³3；第③个图有12个相同的小正方形：12＝3³4；第④个图有20个相同的小正方形：20＝4³5；……按此规律，第个图有n(n＋1)个相同的小正方形．(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2³6；……故第9个图由1＋6＋2³6＋3³6＋…＋8³6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)³6＝217(个)圆组成．答题思路第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律；第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项；第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分(如分子、分母，整数、分数等)构成何种数列；第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和．能找到前三项，就能求出任一项；另外，有些图形或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析了；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．试题 探索n ³n 的正方形钉子板上(n 是钉子板上每边的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有二种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值有1，2，2，5，22五种，比n ＝2时增加了三种，即S ＝2＋3＝5.(1)观察下图，并填写下表：钉子数(n ³n) S 值2³22 3³3 2＋34³4 2＋3＋( )5³5( ) (2)写出(n －1)³(n －1)和n ³n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)(3)对n ³n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．错解 (1)4；2＋3＋4＋5；(2)设(n －1)³(n －1)和n ³n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3＋…＋n ；(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n.剖析 (1)填对了；(2)题目要求理解错了，命题要求写出两个钉子板上的两个S 值之间关系，而不是每个钉子板上的S 值与每边上的钉子数n 的关系，显然，S n 比S n －1的值大n ；(3)写对了，但应化成不含省略号的代数式．正解 (1)4；2＋3＋4＋5；(2)设(n －1)³(n －1)和n ³n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3…＋n ，∴S n －S n －1＝n.即在(n －1)³(n －1)和n ³n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数前者比后者少n 种；(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)－1＝n （n ＋1）2－1＝n 2＋n －22.专题二开放探究型问题开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．条件开放型问题【例1】已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？解：如图，当AB∥CD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行四边形．(1)AD∥BC；(2)AB＝CD；(3)∠A＝∠C；(4)∠B＝∠D；(5)∠A＋∠B＝180°……【点评】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：①两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③一组对边平行，一组对角相等．都能得到平行四边形的结论．1．(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是__EH ＝FH__，并证明．(2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．解：(1)答：添加：EH ＝FH ，证明：∵点H 是BC 的中点，∴BH ＝CH ，在△BEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BH ＝CH∠BHE ＝∠CHF EH ＝FH ，∴△BEH ≌△CFH(SAS ) (2)解：∵BH ＝CH ，EH ＝FH ，∴四边形BFCE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，∵当BH ＝EH 时，则BC ＝EF ，∴平行四边形BFCE 为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形)．结论开放型问题【例2】 (2014·襄阳)如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D.(1)求证：△ADP ∽△BDA ；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AD ＝2，PD ＝1，求线段BC 的长．解：(1)证明：作⊙O 的直径AE ，连接PE ，∵AE 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，∴∠DAE ＝∠APE ＝90°，∴∠PAD ＋∠PAE ＝∠PAE ＋∠E ＝90°，∴∠PAD ＝∠E ，∵∠PBA ＝∠E ，∴∠PAD ＝∠PBA ，∵∠PAD ＝∠PBA ，∠ADP ＝∠BDA ，∴△ADP ∽△BDA(2)PA ＋PB ＝PC ，证明：在线段PC 上截取PF ＝PB ，连接BF ，∵PF ＝PB ，∠BPC ＝60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB ＝BF ，∠BFP ＝60°，∴∠BFC ＝180°－∠PFB ＝120°，∵∠BPA ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠BPA ＝∠BFC ，在△BPA 和△BFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PAB ＝∠PCB ∠BPA ＝∠BFC PB ＝BF，∴△BPA ≌△BFC(AAS )，∴PA ＝FC ，AB ＝BC ，∴PA ＋PB ＝PF ＋FC ＝PC(3)解：∵△ADP ∽△BDA ，∴AD BD ＝DP DA ＝AP AB，∵AD ＝2，PD ＝1∴BD ＝4，AB ＝2AP ，∴BP ＝BD －DP ＝3，∵∠APD ＝180°－∠BPA ＝60°，∴∠APD ＝∠APC ，∵∠PAD ＝∠E ，∠PCA ＝∠E ，∴PAD ＝∠PCA ，∴△ADP ∽△CAP ，∴AP CP ＝DP AP，∴AP 2＝CP·PD ，∴AP 2＝(3＋AP)·1，解得：AP ＝1＋132或AP ＝1－132(舍去)，∴BC ＝AB ＝2AP ＝1＋13.【点评】解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．2．(2013·杭州)(1)先求解下列两题：①如图①，点B ，D 在射线AM 上，点C ，E 在射线AN 上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，已知∠EDM ＝84°，求∠A 的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，AC ∥x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，且BC ＝2，点D 在AC 上，且横坐标为1，若反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点B ，D ，求k 的值．(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．解：(1)①∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴∠A ＝∠BCA ，∠CBD ＝∠BDC ，∠ECD ＝∠CED ，根据三角形的外角性质，∠A ＋∠BCA ＝∠CBD ，∠A ＋∠CDB ＝∠ECD ，∠A ＋∠CED ＝∠EDM ，又∵∠EDM ＝84°，∴∠A ＋3∠A ＝84°，解得，∠A ＝21°；②∵点B 在反比例函数y ＝k x 图象上，点B ，C 的横坐标都是3，∴点B(3，k 3)，∵BC ＝2，∴点C(3，k 3＋2)，∵AC ∥x 轴，点D 在AC 上，且横坐标为1，∴D(1，k 3＋2)，∵点D 也在反比例函数图象上，∴k 3＋2＝k ，解得，k ＝3； (2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．存在开放型问题【例3】 (2014·龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA ，OB 的长分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根(OA ＞OB)．(1)求点D 的坐标．(2)求直线BC 的解析式．(3)在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∵OA ＞OB ，∴OA ＝4，OB ＝3，过D 作DE ⊥y 于点E ，∵正方形ABCD ，∴AD ＝AB ，∠DAB ＝90°，∠DAE ＋∠OAB ＝90°，∠ABO ＋∠OAB ＝90°，∴∠ABO ＝∠DAE ，∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°＝∠AOB ，在△DAE 和△ABO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠DAE ∠AED ＝∠AOB ＝90°AB ＝AD，∴△DAE ≌△ABO(AAS )，∴DE ＝OA ＝4，AE ＝OB ＝3，∴OE ＝7，∴D(4，7)(2)过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同上可证得△BCM ≌△ABO ，∴CM ＝OB ＝3，BM ＝OA ＝4，∴OM ＝7，∴C(7，3)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0，k ，b 为常数)，代入B(3，0)，C(7，3)得，⎩⎪⎨⎪⎧7k ＋b ＝33k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝34b ＝－94，∴y ＝34x －94 (3)存在．点P 与点B 重合时，P 1(3，0)，点P 与点B 关于点C 对称时，P 2(11，6)．【点评】 本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的开放性．3．已知一次函数y ＝－x －4和反比例函数y ＝k x(k ≠0)． (1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？(2)设(1)中的两个交点为A ，B ，试问∠AOB 是锐角还是钝角？为什么？解：(1)解两个函数关系式构成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝k x（k ≠0），由此可求得：k<4且k ≠0； (2)当0<k<4时，∠AOB<90°，是锐角；当k<0时，∠AOB>90°，是钝角．综合开放型问题【例4】 (2012·南京)看图说故事．请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系式，要求：①指出变量x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．解：①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位： km )与他所用的时间x(单位：min )的关系．②小明以400 m / min 的速度匀速骑了5 min ，在原地休息了6 min ，然后以500 m / min 的速度匀速骑车回出发地．(本题答案不唯一)【点评】解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．4．已知两数4和8，试写出第三个数，使三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是±42或2或16．(只需写出一个)试题在五环图案中，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，其中a，b，c是三个连续偶数，a＜b＜c，d，e是两个连续奇数，d＜e，且满足a＋b＋c＝d＋e，例如，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图中：错解剖析(1)在0到20之间，符合条件的答案除例题外，还有两组，因题目要求只画一个图，为了完整准确起见，两组答案都应写出，用“或”字连接；(2)正确的解题方法可使答案完整无漏，例如：此题中可采用二元一次方程不定解的方法来解答，设最小偶数为x，最小奇数为y，则三个连续偶数为x，x＋2，x＋4，两个连续奇数为y，y＋2.据题意，a＋b＋c＝d＋e，得x＋(x＋2)＋(x＋4)＝y＋(y＋2)，3x＋6＝2y＋2，整理得y＝32x＋2，下面列表表示它的解：故符合条件的解有⎩⎨⎧x＝2，y＝5，或⎩⎨⎧x＝6，y＝11，或⎩⎪⎨⎪⎧x＝10，y＝17.正解专题三方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案．操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化．三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．统计测量型方案设计【例1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．解：(1)方案1最后得分：110³(3.2＋7.0＋7.8＋3³8＋3³8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18³(7.0＋7.8＋3³8＋3³8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4 (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较．1．(2012·宜宾)如图，飞机沿水平方向(A ，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解：(1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM (2)第一步骤：在Rt △AMN 中，tan α＝MN AN，∴AN ＝MN tan α，第二步骤：在Rt △BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MN tan β，其中：AN ＝d ＋BN ，解得：MN ＝d·tan α²tan βtan β－tan α，此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理．利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】 (2013·茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．解：(1)设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x ＋2y ＝20，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝6，答：A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元(2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用为W 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12（360－a ）①W ＝8a ＋6（360－a ）②，由①，得a ≥120.由②，得W ＝2a ＋2160.∵k ＝2＞0，∴W 随a 的增大而增大，∴a ＝120时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240棵．∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵．【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．2．(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备 A 型 B 型价格(万元/台) m m －3月处理污水量(吨/台)220 180 (1)求m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)由90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：90m ＝75m －3，解得m ＝18，经检验m ＝18是原方程的解，即m ＝18(2)设买A 型污水处理设备x 台，则B 型(10－x)台，根据题意得：18x ＋15(10－x)≤165，解得x ≤5，由于x 是整数，则有6种方案，当x ＝0时，y ＝10，月处理污水量为1800吨，当x ＝1时，y ＝9，月处理污水量为220＋180³9＝1840吨，当x ＝2时，y ＝8，月处理污水量为220³2＋180³8＝1880吨，当x ＝3时，y ＝7，月处理污水量为220³3＋180³7＝1920吨，当x ＝4时，y ＝6，月处理污水量为220³4＋180³6＝1960吨，当x ＝5时，y ＝5，月处理污水量为220³5＋180³5＝2000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．图形类方案设计【例3】 (2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具 带刻度的三角板 带刻度三角板、量角器、圆规．带刻度三角板、圆规. 画出示意图简述设计方案 作⊙O 两条互相垂直的直径AB ，CD ，将⊙O 的面积分成相等的四份. (1)以点O 为圆心，以3个单位长度为半径作圆；(2)在大⊙O 上依次取三等分点A ，B ，C ；(3)连接OA ，OB ，OC.则小圆O 与三等份圆环把⊙O 的面积四等分．(4)作⊙O 的一条直径AB ；(5)分别以OA ，OB 的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O 1，⊙O 2；则⊙O 1，⊙O 2和⊙O 中剩余的两部分把⊙O 的面积四等分. 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键． 3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：。

第12讲 反比例函数及其图象题，且稳定在第15题，分值为3分，考查难度上近三年相对较大，常常是两个函数图象结合考查，综合性较强．预计在2015年的中考中，反比例函数仍是陕西中考的必考内容，其中反比例函数的图象和性质仍是填空题考查的重点内容．1．概念：函数__y ＝kx(k 为常数，k ≠0)__叫做反比例函数；反比例函数的自变量x 不能为0.2．图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线． 3．性质(1)当k ＞0时，其图象位于__第一、三象限__，在每个象限内，y 随x 的增大而__减小__；(2)当k＜0时，其图象位于__第二、四象限__，在每个象限内，y随x的增大而__增大__；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．4．反比例函数y＝kx(k≠0，k为常数)中比例系数k的几何意义．(1)如图，过反比例函数上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN所得矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|x|·|y|＝|xy|，∵y＝kx，∴xy＝k，∴S＝__|k|__．(2)计算与双曲线上的点有关的图形面积(1)确定反比例函数表达式的方法是__待定系数法__．(2)用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为y＝kx(k≠0)；②根据已知条件列出含k的方程；③解方程求出待定系数k的值；④把k代入函数表达式y＝kx中即可．一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用，解决这类问题的关键是将实际问题数学化，建立反比例函数的模型，然后利用反比例函数的性质、图象解决问题．注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案．一个思想数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来，使数学问题更直观、更容易解决．这一思想在这一讲中应用非常广泛．例如借助函数的图象比较大小等．两个防范(1)反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的，但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时，当k＞0时，第一象限内的点的纵坐标都为正，而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当k＜0时，第二象限内的点的纵坐标值都为正，而第四象限内的点的纵坐标值都为负．(2)在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别讨论．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．1．(2014·陕西)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点，若x 2＝x 1＋2，且1y 2＝1y 1＋12，则这个反比例函数的表达式为__y ＝4x__．2．(2013·陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数y ＝6x的图象交A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么(x 2－x 1)(y 2－y 1)值为__24__．3．(2012·陕西)在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y ＝－2x ＋6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是__y ＝18x (只要y ＝k x 中的k 满足k ＞92即可)__(只写出符合条件的一个即可)．待定系数法确定反比例函数解析式【例1】 (2014·广安)如图，反比例函数y ＝kx(k 为常数，且k ≠0)经过点A(1，3)．(1)求反比例函数的解析式；(2)在x 轴正半轴上有一点B ，若△AOB 的面积为6，求直线AB 的解析式．解：(1)∵反比例函数y ＝k x (k 为常数，且k ≠0)经过点A(1，3)，∴3＝k1，解得k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x(2)设B(a ，0)，则BO ＝a ，∵△AOB 的面积为6，∴12·a ·3＝6，解得a ＝4，∴B(4，0)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵经过A(1，3)、B(4，0)，∴⎩⎨⎧3＝k ＋b ，0＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝4，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋4【点评】 反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．1．(2014·襄阳)如图，一次函数y 1＝－x ＋2的图象与反比例函数y 2＝kx的图象相交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C.已知tan ∠BOC ＝12，点B 的坐标为(m ，n)．(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围．解：(1)作BD ⊥x 轴于点D ，如图，在Rt △OBD 中，tan ∠BOC ＝BD OD ＝12，∴－n m ＝12，即m ＝－2n ，把点B(m ，n)代入y 1＝－x ＋2得n ＝－m ＋2，∴n ＝2n ＋2，解得n ＝－2，∴m ＝4，∴B 点坐标为(4，－2)，把B(4，－2)代入y 2＝kx得k ＝4×(－2)＝－8，∴反比例函数解析式为y 2＝－8x(2)当x ＜4，y 2的取值范围为y 2＞0或y 2＜－2反比例函数与几何图形的综合【例2】 (2014·德州)如图，双曲线y ＝kx(x ＞0)经过△OAB 的顶点A 和OB 的中点C ，AB ∥x 轴，点A 的坐标为(2，3)．(1)确定k 的值；(2)若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD 的解析式； (3)计算△OAB 的面积．解：(1)将点A(2，3)代入解析式y ＝kx ，得k ＝6(2)将D(3，m)代入反比例解析式y ＝6x ，得m ＝63＝2，∴点D 坐标为(3，2)，设直线AD解析式为y ＝kx ＋b ，将A(2，3)与D(3，2)代入得⎩⎨⎧2k ＋b ＝3，3k ＋b ＝2，解得k ＝－1，b ＝5，则直线AD 解析式为y ＝－x ＋5(3)过点C 作CN ⊥y 轴，垂足为点N ，延长BA ，交y 轴于点M ，∵AB ∥x 轴，∴BM⊥y 轴，∴MB ∥CN ，∴△OCN ∽△OBM ，∵C 为OB 的中点，即OC OB ＝12，∴S △OCN S △OBM ＝(12)2，∵A ，C 都在双曲线y ＝6x 上，∴S △OCN ＝S △AOM ＝3，由33＋S △AOB ＝14，得到S △AOB ＝9，则△AOB面积为9【点评】 本题主要考查反比例函数知识的综合运用，关键是利用待定系数法，数形结合的思想来解决此类题目，当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征．2．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y ＝k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足AO AB ＝23，与BC 交于点D ，S △BOD ＝21，求k ＝__8__．(2)(2014·玉林)如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y ＝k 1x 和y ＝k 2x的一支上，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为点M 和N ，则有以下的结论：①AM CN ＝|k 1||k 2|； ②阴影部分面积是12(k 1＋k 2)；③当∠AOC ＝90°时，|k 1|＝|k 2|；④若OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 其中正确的是①④．(把所有正确的结论的序号都填上)试题 已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x ＝1时，y ＝3；x ＝－1时，y ＝1.求x ＝－12时，y 的值．错解 解：设y 1＝kx 2，y 2＝k x .∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝kx 2＋kx.∴把x ＝1，y ＝3代入上式，得3＝k ＋k ，∴k ＝32.∴y ＝32x 2＋32x .当x ＝－12时，y ＝32×(－12)2＋32×（－12）＝38－3＝－218.答：当x ＝－12时，y 的值是－218.剖析(1)错解错在设y 1＝kx ，y 2＝kx时取了相同的比例系数k ，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x，用两个不同字母k 1，k 2来表示两个不同的比例系数．(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．正解 解：设y 1＝k 1x 2，y 2＝k 2x ，∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1x 2＋k 2x.把x ＝1，y ＝3；x ＝－1，y ＝1分别代入上式，得⎩⎨⎧3＝k 1＋k 2，1＝k 1－k 2，解得⎩⎨⎧k 1＝2，k 2＝1，∴y ＝2x 2＋1x .当x ＝－12时，y ＝2×(－12)2＋1－12＝12－2＝－32.答：当x ＝－12时，y 的值是－32.。

专题三 方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案． 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化．三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．统计测量型方案设计【例1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．解：(1)方案1最后得分：110×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4 (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较．1．(2012·宜宾)如图，飞机沿水平方向(A ，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解：(1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM (2)第一步骤：在Rt △AMN 中，tan α＝MN AN，∴AN ＝MN tan α，第二步骤：在Rt △BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MN tan β，其中：AN ＝d ＋BN ，解得：MN ＝d·tan α·tan βtan β－tan α，此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理．利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】 (2013·茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．解：(1)设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x ＋2y ＝20，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝6，答：A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元(2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用为W 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12（360－a ）①W ＝8a ＋6（360－a ）②，由①，得a ≥120.由②，得W ＝2a ＋2160.∵k ＝2＞0，∴W 随a 的增大而增大，∴a ＝120时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240棵．∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵．【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．2．(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：(1)求m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)由90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：90m ＝75m －3，解得m ＝18，经检验m ＝18是原方程的解，即m ＝18(2)设买A 型污水处理设备x 台，则B 型(10－x)台，根据题意得：18x ＋15(10－x)≤165，解得x ≤5，由于x 是整数，则有6种方案，当x ＝0时，y ＝10，月处理污水量为1800吨，当x ＝1时，y ＝9，月处理污水量为220＋180×9＝1840吨，当x ＝2时，y ＝8，月处理污水量为220×2＋180×8＝1880吨，当x ＝3时，y＝7，月处理污水量为220×3＋180×7＝1920吨，当x ＝4时，y ＝6，月处理污水量为220×4＋180×6＝1960吨，当x ＝5时，y ＝5，月处理污水量为220×5＋180×5＝2000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．图形类方案设计【例3】 (2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．点A ，B ，C ；(3)连接OA，OB，OC.则小圆O 与三等份圆环把⊙O 的面积四等分．O 2；则⊙O 1，⊙O 2和⊙O中剩余的两部分把⊙O 的面积四等分. 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键． 3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：__都是轴对称图形__；特征2：__都是中心对称图形__．(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 解：(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个．图形的分割与拼接【例4】 (2014·广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a(a ＞1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值．解：①如图，a ＝4，②如图，a ＝52，③如图，a ＝43， ④如图，a ＝53，【点评】 本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形ABCD 将平行四边形分割是解题关键．4．△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图①)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．(2)图①中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2(如图②)，则S 2＝__12__；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S 3(如图③)；继续操作下去……则第10次剪取时，S 10＝__12． (3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．解：(1)如图甲，由题意得AE ＝DE ＝EC ，即EC ＝1，S 正方形CFDE ＝1.如图乙，设MN ＝x ，则由题意，得AM ＝MQ ＝PN ＝NB ＝MN ＝x ，∴3x ＝22，解得x ＝223，∴S 正方形PNMQ ＝(223)2＝89.∵1＞89，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大； (2)由题意可得，S 1＝1×1＝1，S 2＝2×12×12＝12，S 3＝22×1414＝14，S 4＝23×1818＝18……S n ＝12n －1.故S 2＝12，S 10＝129； (3)结合(2)中求得的规律：S n ＝12n －1，则第10次剪取后余下的所有小三角形的面积和为S 9－S 10＝S 10＝129.图形的平移、旋转与翻折【例5】 (2014·江西)如图①，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B ，C 重合)．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去……(1)图②中的三角形EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为__等边三角形__，求此时线段EF 的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH ；①请判断四边形EFGH 的形状为__正方形__，此时AE 与BF 的数量关系是__AE ＝BF__； ②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．解：(1)等边三角形．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°.∵ED ＝FD ，∴△ADE ≌△CDF.(HL )∴AE ＝CF ，BE ＝BF.∴BEF是等腰直角三角形．设BE的长为x，则EF＝2x，AE＝4－x.∵在Rt△AED中，AE2＋AD2＝DE2，DE＝EF，∴(4－x)2＋42＝(2x)2解得x1＝－4＋43，x2＝－4－43(不合题意，舍去)．∴EF＝2x＝2(－4＋43)＝46－4 2(2)①四边形EFGH为正方形；AE＝BF.②∵AE＝x，∴BE＝4－x.∵在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，AE＝BF，∴y＝EF2＝(4－x)2＋x2＝16－8x＋x2＋x2＝2x2－8x＋16，∵点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合，∴0＜x＜4.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x2－4x＋4)＋8＝2(x－2)2＋8，∴当x＝2时有最小值8，当x＝0或4时，有最大值16，∴y的取值范围是8≤y＜16.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及旋转的性质，准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键．5．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C ＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是__DE∥AC__；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是__S1＝S2__．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF ＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．解：(1)①∵△DEC 绕点C 旋转，点D 恰好落在AB 边上，∴AC ＝CD ，∵∠BAC ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，又∵∠CDE ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACD ＝∠CDE ，∴DE ∥AC ；②∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴CD ＝AC ＝12AB ，∴BD ＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC ，AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；(2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC ＝CE ，AC ＝CD ，∵∠ACN ＋∠BCN ＝90°，∠DCM ＋∠BCN ＝180°－90°＝90°，∴∠ACN ＝∠DCM ，∵在△ACN 和△DCM 中，⎩⎨⎧∠ACN ＝∠DCM ，∠CMD ＝∠N ＝90°，AC ＝CD ，∴△ACN ≌△DCM(AAS )，∴AN ＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；(3)如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，所以BE ＝DF 1，且BE ，DF 1上的高相等，此时S △DCF ＝S △BDE ，过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC ＝60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1＝DF 2，∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC ＝∠DCB ＝12×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°－30°＝150°，∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF 1＝∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，⎩⎨⎧DF 1＝DF 2，∠CDF 1＝∠CDF 2，CD ＝CD ，∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS )，∴点F 2也是所求的点，∵∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC ＝∠BDE ＝∠ABD ＝12×60°＝30°，又∵BD ＝4，∴BE ＝12×4÷cos 30°＝2÷32＝433，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833，故BF 的长为433或833.立体图形与平面图形之间的相互转化【例6】 (2012·绍兴)把一边长为40 cm 的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm 2，求此时长方体盒子的长、宽、高．(只需求出符合要求的一种情况)解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm.则(40－2x)2＝484，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x＝800.的函数关系为：y＝4(40－2x)x＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，∴x＝10时，y最大即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大，为800 cm2；(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为x cm.则2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得：x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.∴剪掉的正方形的边长为15 cm.此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.【点评】此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，把平面图形围成立体图形然后找到等量关系，准确地列出函数关系式是解决问题的关键．6．(2014·凉山州)如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为__20__ cm.试题动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为____．错解：1.剖析学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1.所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2.理得A′C＝4，此时BA′取最小值为1.则点A′在BC边上移动的最大距离为3－1＝2.。

第18讲 概率的应用22题，分值为8分．题目设置均以学生平常生活中熟悉的游戏为背景，如摸球游戏、手指游戏、掷骰子游戏等，考查的内容均为列表法或树状图法求概率．预计在2015年的中考中，利用列表法或树状图法计算概率仍是解答题考查的重点．1．概率表示事件发生的可能性的大小，不能说明某种肯定的结果．2．概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的，在大量重复进行同一试验时，可以用某一事件发生的频率近似地作为该事件发生的概率．3．模拟试验：由于有时手边恰好没有相关的实物或者用实物进行试验的难度很大，这时可用替代物进行模拟试验，但必须保证试验在相同的条件下进行，否则会影响其结果．频率与概率概率被我们用来表示一个事件发生的可能性的大小．如果一个事件是必然事件，它发生的概率就是1；如果一个事件是不可能事件，它发生的概率就是0；随机事件发生的概率通常大于0且小于1.对事件可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的频率，即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值，由于观察的时间有长短，随机事件的发生与否也有随机性，所以在不同的试验中，同一个随机事件发生的频率可能彼此不相等．1．(2014·陕西)小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定，规则如下：①在一个不透明的袋子中装一个红球(延安)、一个白球(西安)、一个黄球(汉中)和一个黑球(安康)，这四个球除颜色不同外，其余完全相同；②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止．按照上面的规则，请你解答下列问题：(1)已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？(2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？解：(1)画树状图得：∵共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，∴小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：116(2)由(1)得：共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，∴小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：7162．(2013·陕西)甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：i)每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；ii)两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时．(1)求甲伸出小拇指取胜的概率； (2)求乙取胜的概率．解：设用A ，B ，列表如下：1种可能的结果，P(甲伸出小拇指取胜)＝125 (2)由上表可知，乙取胜有5种可能的结果，所以P(乙取胜)＝525＝153．(2012·陕西)小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次(若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷)，点数和大的获胜；点数和相同为平局．依据上述规则，解答下列问题：(1)随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；(2)小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．(骰子：六个面分别刻有 1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和)解：(1)随机掷骰子一次，所有可能出现的结果如表：∵表中共有36种可能结果，其中点数和为2的结果只有一种，∴P(点数和为2)＝136(2)由表可以看出，点数和大于7的结果有15种，∴P(小轩胜小峰)＝1536＝512计算等可能事件的概率【例1】 (2014·漳州)如图，有以下3个条件：①AC ＝AB ，②AB ∥CD ，③∠1＝∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是( D )A ．0B .13C .23D ．1【点评】 本题可列举所有的情况，求出结果．1．(2014·南通)在如图所示(A ，B ，C 三个区域)的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在__A__区域的可能性最大(填A 或B 或C)．用统计频率的方法估计概率【例2】 (2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( A )个A ．45B ．48C ．50D ．55 【点评】 本题每摸一次就相当于做了一次试验，因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率．2．(1)(2012·贵阳)一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n 大约是( D )A ．6B ．10C ．18D ．20 (2)(2013·玉林)某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为：可回收垃圾、厨余垃圾、其他垃圾三类，分别记为A ，B ，C ，并且设置了相应的垃圾箱，依次记为a ，b ，c .①若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱，请你用树状图的方法求垃圾投放正确的概率； ②为了调查小区垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重500 kg 生活垃圾，数据如下(单位： kg )a b c A 40 15 10 B 60 250 40 C 15 15 55解：(2)解：①如图，共有9种情况，其中投放正确的有3种情况，故垃圾投放正确的概率：39＝13 ②“厨余垃圾”投放正确的概率为25060＋250＋40＝57试题 如图，电路图中有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合A ，B ，C 都可使小灯泡发光．(1)任意闭合一个开关，则小灯泡发光的概率等于____；(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．错解 (1)12 (2)14剖析 本题是结合物理电路图的概率问题，关键是理解电路图，理解概率的意义．正解 (1)14 (2)12正确画出树状图如下：。

陕西省2015年中考数学试卷及答案解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．计算：（﹣）0=（）C．0D．A．1B．﹣考点：零指数幂．分析：根据零指数幂：a0=1（a≠0），求出（﹣）0的值是多少即可．解答：解：（﹣）0=1．故选：A．点评：此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．2．（3分）（2015•陕西）如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．解答：解：从上面看外面是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，故选：B．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．3．（3分）（2015•陕西）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（﹣2ab）2=4a2b2C．（a2）3=a5D．3a2b2÷a2b2=3ab考点：整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，即可解答．解答：解：A、a2•a3=a5，故正确；B、正确；C、（a2）3=a6，故错误；D、3a2b2÷a2b2=3，故错误；故选：B．点评：本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法的法则．4．（3分）（2015•陕西）如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F．若∠1=46°30′，则∠1的度数为（）A．43°30′B．53°30′C．133°30′D．153°30′考点：平行线的性质．分析：先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再根据补角的定义即可得出结论．解答：解：∵AB∥CD，∠1=46°30′，∴∠EFD=∠1=46°30′，∴∠2=180°﹣46°30′=133°30′．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两线平行，同位角相等．5．（3分）（2015•陕西）设正比例函数y=mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m=（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣4考点：正比例函数的性质．分析：直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．解答：解：把x=m，y=4代入y=mx中，可得：m=±2，因为y的值随x值的增大而减小，所以m=﹣2，故选B点评：本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y 值随x的增大而减小．6．（3分）（2015•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：等腰三角形的判定与性质．分析：根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．解答：解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．点评：此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．7．（3分）（2015•陕西）不等式组的最大整数解为（）A．8B．6C．5D．4考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出各个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．解答：解：∵解不等式①得：x≥﹣8，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集为﹣8≤x＜6，∴不等式组的最大整数解为5，故选C．点评：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．8．（3分）（2015•陕西）在平面直角坐标系中，将直线l1：y=﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y=﹣2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将l1向右平移3个单位长度B．将l1向右平移6个单位长度C．将l1向上平移2个单位长度D．将l1向上平移4个单位长度考点：一次函数图象与几何变换．分析：利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．解答：解：∵将直线l1：y=﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y=﹣2x+4，∴﹣2（x+a）﹣2=﹣2x+4，解得：a=﹣3，故将l1向右平移3个单位长度．故选：A．点评：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．9．（3分）（2015•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．10．（3分）（2015•陕西）下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．解答：解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，故选：D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．二、填空题（共5小题，每小题3分，计12分，其中12、13题为选做题，任选一题作答）11．（3分）（2015•陕西）将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为﹣6．考点：实数大小比较．分析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．解答：解：≈2.236，π≈3.14，∵﹣6＜0＜2.236＜3.14，∴﹣6．故答案为：﹣6．点评：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．12．（3分）（2015•陕西）正八边形一个内角的度数为135°．考点：多边形内角与外角．分析：首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．解答：解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为×1080°=135°．故答案为：135°．点评：此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．13．（2015•陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为27.8°（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．解答：解：∵tan∠A==≈0.5283，∴∠A=27.8°，故答案为：27.8°．点评：本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．14．（3分）（2015•陕西）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为10．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y=的图象过A，B两点，所以ab=4，cd=4，进而得到S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，S矩形MCDO=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答．解答：解：如图，设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），∵反比例函数y=的图象过A，B两点，∴ab=4，cd=4，∴S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，∵点M（﹣3，2），∴S矩形MCDO=3×2=6，∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，故答案为：10．点评：本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．15．（3分）（2015•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是3．考点：三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．解答：解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=6，∴MN=AD=3故答案为：3．点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．三、解答题（共11小题，计78分，解答时写出过程）16．（5分）（2015•陕西）计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、17．（5分）（2015•陕西）解分式方程：﹣=1．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x2﹣5x+6﹣3x﹣9=x2﹣9，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．（5分）（2015•陕西）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC 分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）考点：作图—复杂作图．分析：作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．解答：解：如图，直线AD即为所求：点评：此题主要考查三角形中线的作法，同时要掌握若两个三角形等底等高，则它们的面积相等．19．（5分）（2015•陕西）某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况，让体育老师随机抽查了该年级若干名女生，并严格地对她们进行了1分钟“仰卧起坐”测试，同时统计了每个人做的个数（假设这个个数为x），现在我们将这些同学的测试结果分为四个等级：优秀（x≥44）、良好（36≤x≤43）、及格（25≤x≤35）和不及格（x≤24），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（2）被测试女生1分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在良好等级；（3）若该年级有650名女生，请你估计该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据各个等级的百分比得出答案即可；（2）根据中位数的定义知道中位数是第25和26个数的平均数，由此即可得出答案；（3）首先根据扇形图得出优秀人数占的百分比，条形统计图可以求出平均数的最小值，然后即可求出答案．解答：解：（1）；（2）∵13+20+12+5=50，50÷2=25，25+1=26，∴中位数落在良好等级，故答案为：良好；（3）650×26%=169（人），即该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数是169．点评：本题难度中等，主要考查统计图表的识别；解本题要懂得频率分布直分图的意义．同时考查了平均数和中位数的定义．20．（7分）（2015•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出AD=CE．解答：证明：∵AE∥BD，∴∠EAC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴AD=CE．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的性质，关键是利用ASA证出△ABD≌△CAE．21．（7分）（2015•陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）考点：相似三角形的应用．分析：先证明△CAD～△MND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6，再证明△EFB～△MFN，即可解答．解答：解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=MDN，∴△CAD～△MND，∴，∴，∴MN=9.6，又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN，∴△EFB～△MFN，∴，∴∴EB≈1.75，∴小军身高约为1.75米．点评：本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定．22．（7分）（2015•陕西）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人．（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家．考点：一次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得y=640×0.85x，对于乙两家旅行甲社的总费用，分类讨论：当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x；当x＞20时，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）；（2）把x=32分别代入（1）中对应得函数关系计算y甲和y乙的值，然后比较大小即可．解答：解：（1）甲两家旅行社的总费用：y=640×0.85x=544x；甲乙两家旅行社的总费用：当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x=576x；当x＞20时，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）=480x+1920；（2）当x=32时，y甲=544×32=17408（元），y乙=480×32+1920=17280，因为y甲＞y乙，所以胡老师选择乙旅行社．点评：本题考查了一次函数的应用：利用实际问题中的数量关系建立一次函数关系，特别对乙旅行社的总费用要采用分段函数解决问题．23．（7分）（2015•陕西）某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）．规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体）考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：（1）首先判断出向上一面的点数为奇数有3种情况，然后根据概率公式，求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可．（2）首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可．解答：解：（1）∵向上一面的点数为奇数有3种情况，∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是：．（2）填表如下：1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）由上表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果．∴P（小亮胜）=，P（小丽胜）==，∴游戏是公平的．点评：（1）此题主要考查了判断游戏公平性问题，要熟练掌握，首先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）此题主要考查了列举法（树形图法）求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．24．（8分）（2015•陕西）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．（1）求证：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可；（2）根据勾股定理和相似三角形进行解答即可．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠E=90°，∵∠DAE=90°，∴∠BAD+∠BAE=90°，∴∠BAD=∠E；（2）解：连接BC，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=8，AB=2×5=10，∴BC=，∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，∴△ABC∽△EAB，∴，∴，∴BE=．点评：本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点，关键是根据切线的性质和相似三角形的性质分析．25．（10分）（2015•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．（1）求点A，B，C的坐标；（2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．考点：二次函数综合题．分析：（1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答；（2）先求出A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），再代入解析式，即可解答；（3）取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，从而平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，求出抛物线的顶点坐标M，根据，即可解答．解答：解：（1）令y=0，得x2+5x+4=0，∴x1=﹣4，x2=﹣1，令x=0，得y=4，∴A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，4）．（2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），∴所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx﹣4，将（4，0），（1，0）代入上式，得解得：，∴y=﹣x2+5x﹣4．（3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，∴四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，∴平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，∵y=，∴M（），又∵A（﹣4，0），A′（4，0）∴AA′=8，MD=，∴=点评：本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定，综合性较强，解决本题的关键是根据中心对称，求出抛物线的解析式，在（3）中注意菱形的判定与数形结合思想的应用．26．（12分）（2015•陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．考点：四边形综合题．专题：综合题．分析：（1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C 的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC 于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC 最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．解答：解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE==4，则S△BMC=BC•AE=24；故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4﹣OQ）2，解得：OQ=，∴OB=，∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，则此时cos∠BPC的值为．点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．。