江苏省泰州等四市2019届高三七市第二次模拟考试数学(文)试卷(含答案)

绝密★启用前江苏省南通、泰州、扬州及苏北四市2019届高三毕业班第二次模拟联合考试数学试题(满分160分,考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．1. 已知集合A ＝{1,3,a},B ＝{4,5},若A ∩B ＝{4},则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i 2＋i(i 为虚数单位)的实部为________． 3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况,现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49,则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为________．i ←1S ←2While i<7S ←S ×ii ←i ＋2End WhilePrint S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象,则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的右顶点A(2,0)到渐近线的距离为2,则b 的值为________．9. 在△ABC 中,已知C ＝120°,sin B ＝2sin A,且△ABC 的面积为23,则AB 的长为________．10. 设P,A,B,C 为球O 表面上的四个点,PA,PB,PC 两两垂直,且PA ＝2m ,PB ＝3m ,PC ＝4m ,则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x ),且在区间[2,4)上,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a,b,c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4},则c 2＋5a ＋b 的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A,B 在圆x 2＋y 2＝4上,且AB ＝22,点P(3,－1),PO →·(PA →＋PB →)＝16,设AB 的中点M 的横坐标为x 0,则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1,k ∈N *},B ＝{x |x ＝8k －8,k ∈N *},从集合A 中取出m 个不同元素,其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素,其和记为T .若S ＋T ≤967,则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题,共计90分．解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中,设向量a ＝(cos α,sin α),b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6,其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ,求α的值；(2) 若tan2α＝－17,求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,侧面BCC 1B 1为正方形,A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D,B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1；(2) BC 1⊥平面A 1B 1C.。

2019届高三第二次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，．若，则实数a的值为____．【答案】4【解析】【分析】由确定a值即可【详解】∵，∴a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.复数（为虚数单位）的实部为____．【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求【详解】故实部为故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故该学校的行政人员人数是735，故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【答案】【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2人参加植树活动，有6种，甲、乙两人中恰有1人被选中有4种，∴所求概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.函数的定义域为___．【答案】【解析】【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为___．【答案】【解析】【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，则b的值为___．【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，可得b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为____．【答案】【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△ABC，解得a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC，解得a．∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣2cos120°＝28，解得c,即AB=故答案为【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA 2 m，PB 3 m，PC4 m，则球O的表面积为____m2．【答案】【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，∴2R＝则球O的表面积S＝4πR2＝29π故答案为【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O 的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5【解析】【分析】由图分析画出与在同一个坐标系的图像，即可求解【详解】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.已知关于的不等式( a，b，c R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则的最小值为___．【答案】【解析】【分析】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知,将b,c分别用a 表示代入，利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知则，当且仅当-24a=即取等故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆上，且，点P（31），，设的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【答案】【解析】【分析】设AB中点为M由弦长公式，求出M的轨迹方程；由得,将向量坐标化得到的方程组，求解即可求出【详解】设AB中点为M由勾股三角形知OM=,即,又则，即∴, ②，将联立得故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取S由得到令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式得取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.在平面直角坐标系中，设向量 ， ，其中．（1）若∥，求的值； （2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标表示可求进而求出，（2）由，求得将展开即可代入求解【详解】（1）因为∥， 所以，所以．因为，所以．于是 解得．（2）因为，所以，又，故．因为，所以，又，解得．因此，．【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题 16.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E ．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,进而BB1⊥A1B1,证得A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB ABB1 A1，DE ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是基础题.17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM 5 m，BC 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH ．（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当为时该别墅总造价最低【解析】【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM中，所以，得△FBC的面积，从而得到屋顶面积；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM 5，，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为()．（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为记，，所以，令，得，又，所以．列表：所以当时，有最小值．答：当为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S表示为函数是关键，求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点．①射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值；②过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆a=,离心率，由得b即可；（2）①当直线OP斜率不存在时，得当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，与椭圆联立，同理，推得从而可求；②设，直线的方程为即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程得，由，得，再将代入得，同理，得到关于为根的方程，由韦达定理及点P在椭圆上化简即可求得为定值【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，，，，解得，因此椭圆C2的标准方程为。

2019届泰州、南通、扬州、苏北四市七市高2016级高三二模考试数学试卷★祝考试顺利★(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A∩B＝{4}，则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i 2＋i(i 为虚数单位)的实部为________． 3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．i←1S←2While i<7S←S×ii ←i ＋2End WhilePrint S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐近线的距离为2，则b 的值为________．9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB ＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________． 12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c∈R ) 的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k∈N *}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ，求α的值；(2) 若tan2α＝－17，求a ·b 的值．。

2019届江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市七市高三第二次模拟数 学 理(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i2＋i(i 为虚数单位)的实部为________．3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________． i ←1 S ←2 While i<7 S ←S ×i i ←i ＋2 End While Print S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐近线的距离为2，则b 的值为________．9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________． 10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB ＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈N *}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ，求α的值； (2) 若tan2α＝－17，求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1； (2) BC 1⊥平面A 1B 1C.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M.已知HM ＝5 m ，BC ＝10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4. (1) 求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？①②如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：k 1·k 2为定值．已知函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－ax ，a ∈R .(1) 当a ＝3时，求函数f (x )的极值；(2) 设函数f (x )在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的单调增函数，求x 0的值；(3) 是否存在一条直线与函数y ＝f (x )的图象相切于两个不同的点？并说明理由．已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a2n}的前n项和为T n，且3S2n－4S n ＋T n＝0，n∈N*.(1) 求a1，a2的值；(2) 证明：数列{a n}是等比数列；(3) 若(λ－na n)(λ－na n＋1)<0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．2019届高三年级第二次模拟考试(十二) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知m ，n ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 2n 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知x ，y ，z 均是正实数，且x 2＋4y 2＋z 2＝16，求证：x ＋y ＋z ≤6.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝1，AP＝AD＝2.(1) 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(2) 若点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，试确定点M，N的位置．23. (本小题满分10分)已知a1，a2，…，a n(n∈N*，n≥4)均为非负实数，且a1＋a2＋…＋a n＝2.证明：(1) 当n＝4时，a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a1≤1;(2) 对于任意的n∈N*，n≥4，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＋a n a1≤1.2019届高三年级第二次模拟考试 (南通七市)数学参考答案1.42.253.354.23 5.30 6.[2，＋∞) 7.－2 8.2 9.27 10.29π 11.5 12.4 513.1，15 14.4415.(1) 因为a ∥b ，所以cos αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0，(2分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝0.(4分) 因为0<α<π2，所以π6<2α＋π6<7π6，所以2α＋π6＝π2，解得α＝π6.(6分)(2) 因为0<α<π2，所以0<2α<π.又tan2α＝－17<0，故π2<2α<π.因为tan2α＝sin2αcos2α＝－17，所以cos2α＝－7sin2α<0.又sin 22α＋cos 22α＝1， 解得sin2α＝210，cos2α＝－7210.(10分) 所以a ·b ＝cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6(12分) ＝sin2αcos π6＋cos2αsin π6＝210·32＋⎝⎛⎭⎫－7210·12＝6－7220.(14分) 16.(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1A 1为平行四边形． 又A 1C 与AC 1交于点D ， 所以D 为AC 1的中点．同理，E 为BC 1的中点，所以DE ∥AB.(3分) 又AB ⊂平面ABB 1A 1，DE ⊄平面ABB 1A 1， 所以DE ∥平面ABB 1A 1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1B 1.(8分)又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1， BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.(10分) 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1.(12分)又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C. 又A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C.(14分)17.(1) 由题意得FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH ⊥HM.(2分) 在Rt △FHM 中，HM ＝5，∠FMH ＝θ， 所以FM ＝5cos θ，(4分) 所以△FBC 的面积为12×10×5cos θ＝25cos θ，所以屋顶面积S ＝2S △FBC ＋2S 梯形ABFE ＝2×25cos θ＋2×25cos θ×2.2＝160cos θ，所以S 关于θ的函数关系式为S ＝160cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4.(6分) (2) 在Rt △FHM 中，FH ＝5tan θ，所以主体高度为h ＝6－5tan θ，(8分) 所以别墅总造价为 y ＝S·k ＋h·16k ＝160cos θ·k ＋(6－5tan θ)·16k ＝160cos θk －80sin θcos θk ＋96k＝80k·⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋96k(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，0<θ<π4，所以f′(θ)＝2sin θ－1cos 2θ， 令f′(θ)＝0，得sin θ＝12.又0<θ<π4，所以θ＝π6.(12分)列表：所以当θ＝π6时，f(θ)有最小值．故当θ为π6时该别墅总造价最低.(14分)18.(1) 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，得a ＝22， c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， 解得b ＝2，所以椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2) ①1°当直线OP 的斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PA PB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P＝84k 2＋1，(6分) 所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，得x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，所以PA PB ＝|x P －x A ||x P －x B |＝|x P －x A ||x P ＋x A |＝2－12＋1＝3－22，所以PAPB＝3－22为定值.(8分)②设P(x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为 y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x ＋k 1y 0－x 0， 记t ＝k 1y 0－x 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 21＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0. 因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t)2－4(4k 21＋1)(4t 2－4)＝0，即4k 21－t 2＋1＝0，将t ＝k 1y 0－x 0代入上式，整理得，(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0, (12分)同理可得，(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，所以k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根， 所以k 1·k 2＝y 20－1x 20－4.(14分)又点P(x 0，y 0)在椭圆C 2：x 28＋y 22＝1上，所以y 20＝2－14x 2， 所以k 1·k 2＝2－14x 20－1x 20－4＝－14为定值．(16分)19.(1) 当a ＝3时，函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－3x 的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x ＋x －3＝x 2－3x ＋2x ，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.(2分)列表：所以函数f(x)的极大值为f(1)＝－52，极小值为f(2)＝2ln 2－4.(4分)(2) 依题意，得切线方程为y ＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 所以g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 记p(x)＝f(x)－g(x)，则p(x)＝f(x)－f(x 0)－f′(x 0)(x －x 0)在(0，＋∞)上为单调增函数， 所以p′(x)＝f′(x)－f′(x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即p′(x)＝2x －2x 0＋x －x 0≥0在()0，＋∞上恒成立.(8分)法一：变形得⎝⎛⎭⎫x －2x 0(x －x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2x 0＝x 0，又x 0>0，所以x 0＝ 2.(10分)法二：变形得x ＋2x ≥x 0＋2x 0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ＋2x≥2x·2x＝22(当且仅当x ＝2时，等号成立)， 所以22≥x 0＋2x 0，所以()x 0－22≤0，所以x 0＝ 2.(10分)(3) 假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T 1(x 1，y 1)，T 2(x 2，y 2)， 不妨设0<x 1<x 2，则点T 1处切线l 1的方程为 y －f(x 1)＝f′(x 1)(x －x 1)， 点T 2处切线l 2的方程为 y －f(x 2)＝f′(x 2)(x －x 2)． 因为l 1，l 2为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝f′（x 2），f （x 1）－x 1f′（x 1）＝f （x 2）－x 2f′（x 2），(12分)所以2x 1＋x 1－a ＝2x 2＋x 2－a ，2ln x 1＋12x 21－ax 1－x 1⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 1－a ＝2ln x 2＋12x 22－ax 2－x 2⎝⎛⎭⎫2x 2＋x 2－a ， 整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2，2ln x 1－12x 21＝2ln x 2－12x 22，(14分)消去x 2，得2ln x 212＋2x 21－x 212＝0.①令t ＝x 212，由0<x 1<x 2与x 1x 2＝2，得t ∈(0，1)，记p(t)＝2ln t ＋1t －t ，则p′(t)＝2t －1t 2－1＝－（t －1）2t 2<0，所以p(t)为(0，1)上的单调减函数，所以p(t)>p(1)＝0， 所以①式不可能成立，所以假设不成立，所以不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点．(16分)20.(1) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.令n ＝1，得3a 21－4a 1＋a 21＝0. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0，即2a 22＋a 2＝0.因为a 2≠0，所以a 2＝－12.(3分)(2) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，①所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0，②②－①，得3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0， 因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0，③ (5分)所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2)，④当n ≥2时，③－④，得3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝－12a n .因为a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－12.又由(1)知，a 1＝1，a 2＝－12，所以a 2a 1＝－12，所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列.(8分)(3) 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立， 所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n <0对任意的n ∈N *恒成立，所以λ＝0适合.(10分) 若λ>0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有λ<n2n －1恒成立． 记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n ≤1，所以n 2n ≤1n (*)，从而当n ≥5且n ≥2λ时，有λ≥2n ≥n2n －1，所以λ>0不符．(13分)若λ<0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有－λ<n2n 恒成立．由(*)式知，当n ≥5且n ≥－1λ时，有－λ≥1n ≥n2n ，所以λ<0不符．综上，实数λ的所有值为0.(16分)21.A.由题意，得Mα＝3α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋m 2＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 所以m ＝2，n ＝1，即矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.(5分) 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝0，解得矩阵M 的另一个特征值为λ＝－1.(10分) B.由题意，得直线l 的普通方程为x －y －1＝0.① 椭圆C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.②(4分)由①②联立，解得A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，(8分) 所以AB ＝⎝⎛⎭⎫43－02＋⎝⎛⎭⎫13＋12＝423.(10分)C.由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋z 2]·⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋12≥(x ＋y ＋z )2.(5分) 因为x 2＋4y 2＋z 2＝16， 所以(x ＋y ＋z )2≤16×94＝36，所以x ＋y ＋z ≤6，当且仅当x ＝2y ＝z 时取等号.(10分) 22.(1) 由题意，知AB ，AD ，AP 两两垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则 B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 所以PB →＝(1，0，－2)，PC →＝(1，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2z ＝0，2y －2z ＝0，不妨取y ＝1，则x ＝0，z ＝1，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)．(3分)设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n ||PB →·|n |＝105， 即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105.(5分) (2) 设M (a ，0，0)，则MA →＝(－a ，0，0)， 设PN →＝λPC →，则PN →＝()λ，2λ，－2λ，因为AP →＝(0，0，2)，所以MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝(λ－a ，2λ，2－2λ).(8分) 由(1)知，平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN →∥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－a ＝0，2λ＝2－2λ，解得λ＝12，a ＝12，所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点.(10分)23.(1) 当n ＝4时，因为a 1，a 2，…，a 4均为非负实数，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 1 ＝a 2(a 1＋a 3)＋a 4(a 3＋a 1) ＝(a 3＋a 1)(a 2＋a 4)(2分)≤⎣⎡⎦⎤（a 3＋a 1）＋（a 2＋a 4）22＝1.(4分)(2) ①当n ＝4时，由(1)可知，命题成立； ②假设当n ＝k(k ≥4)时，命题成立，即对于任意的k ≥4，若x 1，x 2，…，x k 均为非负实数，且x 1＋x 2＋…＋x k ＝2， 则x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x k －1x k ＋x k x 1≤1，则当n ＝k ＋1时，设a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝2，不妨设a k ＋1＝max {a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}． 令x 1＝(a 1＋a 2)，x 2＝a 3，x k －1＝a k ，x k ＝a k ＋1， 则x 1＋x 2＋…＋x k ＝2. 由归纳假设，知x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x k －1x k ＋x k x 1≤1.(8分) 因为a 1，a 2，a 3均为非负实数，且a k ＋1≥a 1， 所以x 1x 2＋x k x 1＝(a 1＋a 2)a 3＋a k ＋1(a 1＋a 2) ＝a 2a 3＋a k ＋1a 1＋a 1a 3＋a k ＋1a 2 ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a k ＋1a 1，所以1≥(x 1x 2＋x k x 1)＋(x 2x 3＋…＋x k －1x k )≥(a 1a 2＋a 2a 3＋a k ＋1a 1)＋(a 3a 4＋…＋a k a k ＋1)， 即a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a k a k ＋1＋a k ＋1a 1≤1， 所以当n ＝k ＋1时命题也成立，所以由①②可知，对于任意的n ≥4，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤1.(10分)。

-2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝．2．（5分）已知复数（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的体积是cm 3．7．（5分）若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x+3，则x+y 的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+2）＝f （x ）．当0＜x ≤1时，f （x ）＝x 3﹣ax+1，则实数a 的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面PAB ．16．（14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，，．（1）求角B 的值；（2）若，求△ABC 的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ：x ＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，可得A （﹣，﹣），B （（﹣，），|AB|＝＝，可得p ＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为4．【解答】解：根据题意得，t ＝1y ′＝acosx ﹣bsinx ∴k ＝acos0﹣bsin0＝a ∴a ＝3，bcos0＝1∴a ＝3，b ＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x 3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为?＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又?＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l 有斜率，设直线l ：y ＝k （x ﹣m ），即kx ﹣y ﹣km ＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m ＞0且3m 2+8m ﹣16＜0解得﹣4＜m ＜，故答案为：﹣4＜m ．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f （x ）关于点对称，所以，解得：a ＝﹣673，f （x ）＝（2x ﹣673）（|x+673|+|x ﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x ﹣673＜2019，即，所以，f （x ）＝（2x ﹣673）（x+673+2×673﹣x ）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD?侧面PAD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面PAB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cosB＝sinB．…………………………………………………………………4分若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cosB≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n ﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3?2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为ξ012P所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：?，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。

2019届高三年级第二次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i2＋i(i 为虚数单位)的实部为________．3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________． i ←1 S ←2 While i<7 S ←S ×i i ←i ＋2 End While Print S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐近线的距离为2，则b 的值为________．9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB ＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________． 14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈N *}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ，求α的值； (2) 若tan2α＝－17，求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1； (2) BC 1⊥平面A 1B 1C.17. (本小题满分14分)图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M.已知HM ＝5 m ，BC ＝10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4. (1) 求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？①②18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：k 1·k 2为定值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－ax ，a ∈R .(1) 当a ＝3时，求函数f (x )的极值；(2) 设函数f (x )在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的单调增函数，求x 0的值；(3) 是否存在一条直线与函数y ＝f (x )的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20. (本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.(1) 求a 1，a 2的值；(2) 证明：数列{a n }是等比数列；(3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的所有值．2019届高三年级第二次模拟考试(十二) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知m ，n ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 2n 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知x ，y ，z 均是正实数，且x 2＋4y 2＋z 2＝16，求证：x ＋y ＋z ≤6.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AP ＝AD ＝2.(1) 求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(2) 若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且MN ⊥平面PCD ，试确定点M ，N 的位置．23. (本小题满分10分)已知a 1，a 2，…，a n (n ∈N *，n ≥4)均为非负实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝2.证明： (1) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 1≤1;(2) 对于任意的n ∈N *，n ≥4，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤1.2019届高三年级第二次模拟考试 (南通七市)数学参考答案1.42.253.354.23 5.30 6.[2，＋∞) 7.－2 8.2 9.27 10.29π 11.5 12.4 513.1，15 14.4415.(1) 因为a ∥b ，所以cos αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0，(2分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝0.(4分) 因为0<α<π2，所以π6<2α＋π6<7π6，所以2α＋π6＝π2，解得α＝π6.(6分)(2) 因为0<α<π2，所以0<2α<π.又tan2α＝－17<0，故π2<2α<π.因为tan2α＝sin2αcos2α＝－17，所以cos2α＝－7sin2α<0.又sin 22α＋cos 22α＝1， 解得sin2α＝210，cos2α＝－7210.(10分) 所以a ·b ＝cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6(12分) ＝sin2αcos π6＋cos2αsin π6＝210·32＋⎝⎛⎭⎫－7210·12＝6－7220.(14分) 16.(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1A 1为平行四边形． 又A 1C 与AC 1交于点D ， 所以D 为AC 1的中点．同理，E 为BC 1的中点，所以DE ∥AB.(3分) 又AB ⊂平面ABB 1A 1，DE ⊄平面ABB 1A 1， 所以DE ∥平面ABB 1A 1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1B 1.(8分)又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1， BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.(10分) 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1.(12分)又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C. 又A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C.(14分)17.(1) 由题意得FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH ⊥HM.(2分) 在Rt △FHM 中，HM ＝5，∠FMH ＝θ， 所以FM ＝5cos θ，(4分)所以△FBC 的面积为12×10×5cos θ＝25cos θ，所以屋顶面积S ＝2S △FBC ＋2S 梯形ABFE ＝2×25cos θ＋2×25cos θ×2.2＝160cos θ，所以S 关于θ的函数关系式为S ＝160cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4.(6分) (2) 在Rt △FHM 中，FH ＝5tan θ，所以主体高度为h ＝6－5tan θ，(8分) 所以别墅总造价为 y ＝S·k ＋h·16k ＝160cos θ·k ＋(6－5tan θ)·16k ＝160cos θk －80sin θcos θk ＋96k＝80k·⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋96k(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，0<θ<π4，所以f′(θ)＝2sin θ－1cos 2θ， 令f′(θ)＝0，得sin θ＝12.又0<θ<π4，所以θ＝π6.(12分)列表：所以当θ＝π6时，f(θ)有最小值．故当θ为π6时该别墅总造价最低.(14分)18.(1) 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，得a ＝22， c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， 解得b ＝2，所以椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2) ①1°当直线OP 的斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PA PB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P ＝84k 2＋1，(6分) 所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，得x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，所以PA PB ＝|x P －x A ||x P －x B |＝|x P －x A ||x P ＋x A |＝2－12＋1＝3－22，所以PAPB＝3－22为定值.(8分)②设P(x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为 y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x ＋k 1y 0－x 0， 记t ＝k 1y 0－x 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 21＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0. 因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t)2－4(4k 21＋1)(4t 2－4)＝0，即4k 21－t 2＋1＝0，将t ＝k 1y 0－x 0代入上式，整理得，(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0, (12分)同理可得，(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，所以k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根， 所以k 1·k 2＝y 20－1x 20－4.(14分)又点P(x 0，y 0)在椭圆C 2：x 28＋y 22＝1上，所以y 20＝2－14x 20， 所以k 1·k 2＝2－14x 20－1x 20－4＝－14为定值．(16分)19.(1) 当a ＝3时，函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－3x 的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x ＋x －3＝x 2－3x ＋2x ，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.(2分)列表：所以函数f(x)的极大值为f(1)＝－52，极小值为f(2)＝2ln 2－4.(4分)(2) 依题意，得切线方程为y ＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 所以g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 记p(x)＝f(x)－g(x)，则p(x)＝f(x)－f(x 0)－f′(x 0)(x －x 0)在(0，＋∞)上为单调增函数，所以p′(x)＝f′(x)－f′(x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即p′(x)＝2x －2x 0＋x －x 0≥0在()0，＋∞上恒成立.(8分)法一：变形得⎝⎛⎭⎫x －2x 0(x －x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2x 0＝x 0，又x 0>0，所以x 0＝ 2.(10分)法二：变形得x ＋2x ≥x 0＋2x 0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ＋2x≥2x·2x＝22(当且仅当x ＝2时，等号成立)， 所以22≥x 0＋2x 0，所以()x 0－22≤0，所以x 0＝ 2.(10分)(3) 假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T 1(x 1，y 1)，T 2(x 2，y 2)， 不妨设0<x 1<x 2，则点T 1处切线l 1的方程为 y －f(x 1)＝f′(x 1)(x －x 1)， 点T 2处切线l 2的方程为 y －f(x 2)＝f′(x 2)(x －x 2)． 因为l 1，l 2为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝f′（x 2），f （x 1）－x 1f′（x 1）＝f （x 2）－x 2f′（x 2），(12分)所以2x 1＋x 1－a ＝2x 2＋x 2－a ，2ln x 1＋12x 21－ax 1－x 1⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 1－a ＝2ln x 2＋12x 22－ax 2－x 2⎝⎛⎭⎫2x 2＋x 2－a ， 整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2，2ln x 1－12x 21＝2ln x 2－12x 22，(14分)消去x 2，得2ln x 212＋2x 21－x 212＝0.①令t ＝x 212，由0<x 1<x 2与x 1x 2＝2，得t ∈(0，1)，记p(t)＝2ln t ＋1t －t ，则p′(t)＝2t －1t 2－1＝－（t －1）2t 2<0，所以p(t)为(0，1)上的单调减函数，所以p(t)>p(1)＝0，所以①式不可能成立，所以假设不成立，所以不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点．(16分)20.(1) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.令n ＝1，得3a 21－4a 1＋a 21＝0.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0，即2a 22＋a 2＝0.因为a 2≠0，所以a 2＝－12.(3分) (2) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，①所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0，②②－①，得3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0，因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0，③(5分)所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2)，④当n ≥2时，③－④，得3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝－12a n . 因为a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－12. 又由(1)知，a 1＝1，a 2＝－12，所以a 2a 1＝－12， 所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列.(8分) (3) 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立，所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n 之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n <0对任意的n ∈N *恒成立，所以λ＝0适合.(10分) 若λ>0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有λ<n 2n －1恒成立． 记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n ≤1，所以n 2n ≤1n(*)， 从而当n ≥5且n ≥2λ时，有λ≥2n ≥n 2n －1， 所以λ>0不符．(13分)若λ<0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有－λ<n 2n 恒成立． 由(*)式知，当n ≥5且n ≥－1λ时，有－λ≥1n ≥n 2n ，所以λ<0不符．综上，实数λ的所有值为0.(16分)21.A.由题意，得Mα＝3α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋m 2＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 所以m ＝2，n ＝1，即矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.(5分) 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝0， 解得矩阵M 的另一个特征值为λ＝－1.(10分)B.由题意，得直线l 的普通方程为x －y －1＝0.①椭圆C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.② (4分)由①②联立，解得A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，(8分)所以AB ＝⎝⎛⎭⎫43－02＋⎝⎛⎭⎫13＋12＝423.(10分) C.由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋z 2]·⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋12≥(x ＋y ＋z )2.(5分) 因为x 2＋4y 2＋z 2＝16，所以(x ＋y ＋z )2≤16×94＝36， 所以x ＋y ＋z ≤6，当且仅当x ＝2y ＝z 时取等号.(10分)22.(1) 由题意，知AB ，AD ，AP 两两垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则 B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，所以PB →＝(1，0，－2)，PC →＝(1，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2z ＝0，2y －2z ＝0， 不妨取y ＝1，则x ＝0，z ＝1，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)．(3分)设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n ||PB →·|n |＝105，即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105.(5分) (2) 设M (a ，0，0)，则MA →＝(－a ，0，0)，设PN →＝λPC →，则PN →＝()λ，2λ，－2λ，因为AP →＝(0，0，2)， 所以MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝(λ－a ，2λ，2－2λ).(8分) 由(1)知，平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)，因为MN ⊥平面PCD ，所以MN →∥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－a ＝0，2λ＝2－2λ，解得λ＝12，a ＝12， 所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点.(10分)23.(1) 当n ＝4时，因为a 1，a 2，…，a 4均为非负实数，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2， 所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 1＝a 2(a 1＋a 3)＋a 4(a 3＋a 1)＝(a 3＋a 1)(a 2＋a 4)(2分)≤⎣⎡⎦⎤（a 3＋a 1）＋（a 2＋a 4）22＝1.(4分)(2) ①当n ＝4时，由(1)可知，命题成立； ②假设当n ＝k(k ≥4)时，命题成立，即对于任意的k ≥4，若x 1，x 2，…，x k 均为非负实数，且x 1＋x 2＋…＋x k ＝2， 则x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x k －1x k ＋x k x 1≤1，则当n ＝k ＋1时，设a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝2，不妨设a k ＋1＝max {a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}． 令x 1＝(a 1＋a 2)，x 2＝a 3，x k －1＝a k ，x k ＝a k ＋1， 则x 1＋x 2＋…＋x k ＝2.由归纳假设，知x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x k －1x k ＋x k x 1≤1.(8分) 因为a 1，a 2，a 3均为非负实数，且a k ＋1≥a 1， 所以x 1x 2＋x k x 1＝(a 1＋a 2)a 3＋a k ＋1(a 1＋a 2)＝a 2a 3＋a k ＋1a 1＋a 1a 3＋a k ＋1a 2≥a1a2＋a2a3＋a k＋1a1，所以1≥(x1x2＋x k x1)＋(x2x3＋…＋x k－1x k)≥(a1a2＋a2a3＋a k＋1a1)＋(a3a4＋…＋a k a k＋1)，即a1a2＋a2a3＋…＋a k a k＋1＋a k＋1a1≤1，所以当n＝k＋1时命题也成立，所以由①②可知，对于任意的n≥4，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＋a n a1≤1.(10分)。

2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是cm3．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，，则p的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x+t与曲线y＝a sin x+b cos x（a，b，t∈R）相切于点（0，1），则（a+b）t的值为．10．（5分）已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1，则实数a的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4．若存在过点P（m，0）的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围．14．（5分）已知函数f（x）＝（2x+a）（|x﹣a|+|x+2a|）（a＜0）．若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（672）＝0，则满足f（x）＝2019的x的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面P AB．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，可得A（﹣，﹣），B（（﹣，），|AB|＝＝，可得p＝2．故答案为：2．9．【解答】解：根据题意得，t＝1y′＝a cos x﹣b sin x∴k＝a cos0﹣b sin0＝a∴a＝3，b cos0＝1∴a＝3，b＝1故答案为4．10．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为•＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又•＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．【解答】解：显然直线l有斜率，设直线l：y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m＞0且3m2+8m﹣16＜0解得﹣4＜m＜，故答案为：﹣4＜m．14．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f（x）关于点对称，所以，解得：a＝﹣673，f（x）＝（2x﹣673）（|x+673|+|x﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x﹣673＜2019，即，所以，f（x）＝（2x﹣673）（x+673+2×673﹣x）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD⊂侧面P AD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面P AB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cos B＝sin B．…………………………………………………………………4分若cos B＝0，则sin B＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cos B≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O 2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣3﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3•2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：∅，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。

2019届高三第二次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，．若，则实数a的值为____．【答案】4【解析】【分析】由确定a值即可【详解】∵，∴a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.复数（为虚数单位）的实部为____．【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求【详解】故实部为故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故该学校的行政人员人数是735，故答案为35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【答案】【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2人参加植树活动，有6种，甲、乙两人中恰有1人被选中有4种，∴所求概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.函数的定义域为___．【答案】【解析】【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为___．【答案】【解析】【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，则b的值为___．【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，可得b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C = 120°，sinB = 2 sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为____．【答案】【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△ABC，解得a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC，解得a．∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣2cos120°＝28，解得c,即AB=故答案为【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，则球O 的表面积为____m2．【答案】【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，∴2R＝则球O的表面积S＝4πR2＝29π故答案为【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5【解析】【分析】由图分析画出与在同一个坐标系的图像，即可求解【详解】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.已知关于的不等式( a，b，c R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则的最小值为___．【答案】【解析】【分析】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知,将b,c分别用a 表示代入，利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知则，当且仅当-24a=即取等故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆上，且，点P（3， 1），，设的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【答案】【解析】【分析】设AB中点为M由弦长公式，求出M的轨迹方程；由得,将向量坐标化得到的方程组，求解即可求出【详解】设AB中点为M由勾股三角形知OM=,即,又则，即∴, ②，将联立得故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取S由得到令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式得取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.在平面直角坐标系中，设向量=，= ，其中．（1）若∥，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标表示可求进而求出，（2）由，求得将展开即可代入求解【详解】（1）因为∥，所以，所以．因为，所以．于是解得．（2）因为，所以，又，故．因为，所以，又，解得．因此，．【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题16.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）证明A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB⊂平面ABB1 A1，DE⊄平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C = B1，A1B1，B1C ⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH =．（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当为时该别墅总造价最低【解析】【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM中，所以，得△FBC的面积，从而得到屋顶面积；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ⊂平面ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM = 5，，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为()．（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为记，，所以，令，得，又，所以．列表：所以当时，有最小值．答：当为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S表示为函数是关键，求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点．① 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值；② 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆a=,离心率，由得b即可；（2）①当直线OP斜率不存在时，得当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，与椭圆联立，同理，推得从而可求；②设，直线的方程为即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程得，由，得，再将代入得，同理，得到关于为根的方程，由韦达定理及点P在椭圆上化简即可求得为定值【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，，，，解得，因此椭圆C2的标准方程为。

2019届江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市七市高三第二次模拟数 学 文(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i2＋i(i 为虚数单位)的实部为________．3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________． i ←1 S ←2 While i<7 S ←S ×i i ←i ＋2 End While Print S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐近线的距离为2，则b 的值为________．9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________． 10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB ＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈N *}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ，求α的值； (2) 若tan2α＝－17，求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1； (2) BC 1⊥平面A 1B 1C.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M.已知HM ＝5 m ，BC ＝10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4. (1) 求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？①②如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：k 1·k 2为定值．已知函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－ax ，a ∈R .(1) 当a ＝3时，求函数f (x )的极值；(2) 设函数f (x )在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的单调增函数，求x 0的值；(3) 是否存在一条直线与函数y ＝f (x )的图象相切于两个不同的点？并说明理由．已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a2n}的前n项和为T n，且3S2n－4S n ＋T n＝0，n∈N*.(1) 求a1，a2的值；(2) 证明：数列{a n}是等比数列；(3) 若(λ－na n)(λ－na n＋1)<0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．2019届高三年级第二次模拟考试 (南通七市)数学参考答案1.42.253.354.23 5.30 6.[2，＋∞) 7.－2 8.2 9.27 10.29π 11.5 12.4 513.1，15 14.4415.(1) 因为a ∥b ，所以cos αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0，(2分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝0.(4分) 因为0<α<π2，所以π6<2α＋π6<7π6，所以2α＋π6＝π2，解得α＝π6.(6分)(2) 因为0<α<π2，所以0<2α<π.又tan2α＝－17<0，故π2<2α<π.因为tan2α＝sin2αcos2α＝－17，所以cos2α＝－7sin2α<0.又sin 22α＋cos 22α＝1， 解得sin2α＝210，cos2α＝－7210.(10分) 所以a ·b ＝cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6(12分) ＝sin2αcos π6＋cos2αsin π6＝210·32＋⎝⎛⎭⎫－7210·12＝6－7220.(14分) 16.(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1A 1为平行四边形． 又A 1C 与AC 1交于点D ， 所以D 为AC 1的中点．同理，E 为BC 1的中点，所以DE ∥AB.(3分) 又AB ⊂平面ABB 1A 1，DE ⊄平面ABB 1A 1， 所以DE ∥平面ABB 1A 1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1B 1.(8分)又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.(10分) 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1.(12分)又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C. 又A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C.(14分)17.(1) 由题意得FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH ⊥HM.(2分) 在Rt △FHM 中，HM ＝5，∠FMH ＝θ， 所以FM ＝5cos θ，(4分) 所以△FBC 的面积为12×10×5cos θ＝25cos θ，所以屋顶面积S ＝2S △FBC ＋2S 梯形ABFE ＝2×25cos θ＋2×25cos θ×2.2＝160cos θ，所以S 关于θ的函数关系式为S ＝160cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4.(6分) (2) 在Rt △FHM 中，FH ＝5tan θ，所以主体高度为h ＝6－5tan θ，(8分) 所以别墅总造价为 y ＝S·k ＋h·16k ＝160cos θ·k ＋(6－5tan θ)·16k ＝160cos θk －80sin θcos θk ＋96k＝80k·⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋96k(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，0<θ<π4，所以f′(θ)＝2sin θ－1cos 2θ， 令f′(θ)＝0，得sin θ＝12.又0<θ<π4，所以θ＝π6.(12分)列表：所以当θ＝π6时，f(θ)有最小值．故当θ为π6时该别墅总造价最低.(14分)18.(1) 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，得a ＝22， c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， 解得b ＝2，所以椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2) ①1°当直线OP 的斜率不存在时， PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PA PB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P ＝84k 2＋1，(6分) 所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，得x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，所以PA PB ＝|x P －x A ||x P －x B |＝|x P －x A ||x P ＋x A |＝2－12＋1＝3－22，所以PAPB＝3－22为定值.(8分)②设P(x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为 y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x ＋k 1y 0－x 0， 记t ＝k 1y 0－x 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 21＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0. 因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t)2－4(4k 21＋1)(4t 2－4)＝0，即4k 21－t 2＋1＝0，将t ＝k 1y 0－x 0代入上式，整理得，(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0, (12分)同理可得，(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，所以k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根， 所以k 1·k 2＝y 20－1x 20－4.(14分)又点P(x 0，y 0)在椭圆C 2：x 28＋y 22＝1上，所以y 20＝2－14x 20， 所以k 1·k 2＝2－14x 20－1x 20－4＝－14为定值．(16分)19.(1) 当a ＝3时，函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－3x 的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x ＋x －3＝x 2－3x ＋2x，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.(2分) 列表：所以函数f(x)的极大值为f(1)＝－52，极小值为f(2)＝2ln 2－4.(4分)(2) 依题意，得切线方程为y ＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 所以g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 记p(x)＝f(x)－g(x)，则p(x)＝f(x)－f(x 0)－f′(x 0)(x －x 0)在(0，＋∞)上为单调增函数， 所以p′(x)＝f′(x)－f′(x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即p′(x)＝2x －2x 0＋x －x 0≥0在()0，＋∞上恒成立.(8分)法一：变形得⎝⎛⎭⎫x －2x 0(x －x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2x 0＝x 0，又x 0>0，所以x 0＝ 2.(10分)法二：变形得x ＋2x ≥x 0＋2x 0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ＋2x≥2x·2x＝22(当且仅当x ＝2时，等号成立)， 所以22≥x 0＋2x 0，所以()x 0－22≤0，所以x 0＝ 2.(10分)(3) 假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T 1(x 1，y 1)，T 2(x 2，y 2)， 不妨设0<x 1<x 2，则点T 1处切线l 1的方程为 y －f(x 1)＝f′(x 1)(x －x 1)， 点T 2处切线l 2的方程为 y －f(x 2)＝f′(x 2)(x －x 2)． 因为l 1，l 2为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝f′（x 2），f （x 1）－x 1f′（x 1）＝f （x 2）－x 2f′（x 2），(12分)所以2x 1＋x 1－a ＝2x 2＋x 2－a ，2ln x 1＋12x 21－ax 1－x 1⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 1－a ＝2ln x 2＋12x 22－ax 2－x 2⎝⎛⎭⎫2x 2＋x 2－a ， 整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2，2ln x 1－12x 21＝2ln x 2－12x 22，(14分)消去x 2，得2ln x 212＋2x 21－x 212＝0.①令t ＝x 212，由0<x 1<x 2与x 1x 2＝2，得t ∈(0，1)， 记p(t)＝2ln t ＋1t －t ，则p′(t)＝2t －1t 2－1＝－（t －1）2t 2<0， 所以p(t)为(0，1)上的单调减函数，所以p(t)>p(1)＝0，所以①式不可能成立，所以假设不成立，所以不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点．(16分)20.(1) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.令n ＝1，得3a 21－4a 1＋a 21＝0.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0，即2a 22＋a 2＝0.因为a 2≠0，所以a 2＝－12.(3分) (2) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，①所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0，②②－①，得3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0，因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0，③(5分)所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2)，④当n ≥2时，③－④，得3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝－12a n . 因为a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－12. 又由(1)知，a 1＝1，a 2＝－12，所以a 2a 1＝－12， 所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列.(8分) (3) 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立，所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n 之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n <0对任意的n ∈N *恒成立，所以λ＝0适合.(10分) 若λ>0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有λ<n 2n －1恒成立． 记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n ≤1，所以n 2n ≤1n(*)， 从而当n ≥5且n ≥2λ时，有λ≥2n ≥n 2n －1， 所以λ>0不符．(13分)若λ<0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有－λ<n 2n 恒成立．由(*)式知，当n≥5且n≥－1λ时，有－λ≥1n≥n2n，所以λ<0不符．综上，实数λ的所有值为0.(16分)。

2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是cm3．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，，则p的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x+t与曲线y＝a sin x+b cos x（a，b，t∈R）相切于点（0，1），则（a+b）t的值为．10．（5分）已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1，则实数a的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4．若存在过点P（m，0）的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围．14．（5分）已知函数f（x）＝（2x+a）（|x﹣a|+|x+2a|）（a＜0）．若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（672）＝0，则满足f（x）＝2019的x的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面P AB．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，，则p的值为．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，可得A（﹣，﹣），B（（﹣，），|AB|＝＝，可得p＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x+t与曲线y＝a sin x+b cos x（a，b，t∈R）相切于点（0，1），则（a+b）t的值为4．【解答】解：根据题意得，t＝1y′＝a cos x﹣b sin x∴k＝a cos0﹣b sin0＝a∴a＝3，b cos0＝1∴a＝3，b＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为•＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又•＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4．若存在过点P（m，0）的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l有斜率，设直线l：y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m＞0且3m2+8m﹣16＜0解得﹣4＜m＜，故答案为：﹣4＜m．14．（5分）已知函数f（x）＝（2x+a）（|x﹣a|+|x+2a|）（a＜0）．若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（672）＝0，则满足f（x）＝2019的x的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f（x）关于点对称，所以，解得：a＝﹣673，f（x）＝（2x﹣673）（|x+673|+|x﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x﹣673＜2019，即，所以，f（x）＝（2x﹣673）（x+673+2×673﹣x）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面P AB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD⊂侧面P AD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面P AB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cos B＝sin B．…………………………………………………………………4分若cos B＝0，则sin B＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cos B≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O 2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣3﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3•2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：∅，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n ＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）第21页（共21页）。