江苏省泰州等四市2019届高三七市第二次模拟考试数学(文)试卷(含答案)

绝密★启用前江苏省南通、泰州、扬州及苏北四市2019届高三毕业班第二次模拟联合考试数学试题(满分160分,考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．1. 已知集合A ＝{1,3,a},B ＝{4,5},若A ∩B ＝{4},则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i 2＋i(i 为虚数单位)的实部为________． 3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况,现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49,则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为________．i ←1S ←2While i<7S ←S ×ii ←i ＋2End WhilePrint S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象,则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的右顶点A(2,0)到渐近线的距离为2,则b 的值为________．9. 在△ABC 中,已知C ＝120°,sin B ＝2sin A,且△ABC 的面积为23,则AB 的长为________．10. 设P,A,B,C 为球O 表面上的四个点,PA,PB,PC 两两垂直,且PA ＝2m ,PB ＝3m ,PC ＝4m ,则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x ),且在区间[2,4)上,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a,b,c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4},则c 2＋5a ＋b 的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A,B 在圆x 2＋y 2＝4上,且AB ＝22,点P(3,－1),PO →·(PA →＋PB →)＝16,设AB 的中点M 的横坐标为x 0,则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1,k ∈N *},B ＝{x |x ＝8k －8,k ∈N *},从集合A 中取出m 个不同元素,其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素,其和记为T .若S ＋T ≤967,则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题,共计90分．解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中,设向量a ＝(cos α,sin α),b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6,其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ,求α的值；(2) 若tan2α＝－17,求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,侧面BCC 1B 1为正方形,A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D,B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1；(2) BC 1⊥平面A 1B 1C.。

2019届高三第二次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，．若，则实数a的值为____．【答案】4【解析】【分析】由确定a值即可【详解】∵，∴a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.复数（为虚数单位）的实部为____．【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求【详解】故实部为故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故该学校的行政人员人数是735，故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【答案】【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2人参加植树活动，有6种，甲、乙两人中恰有1人被选中有4种，∴所求概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.函数的定义域为___．【答案】【解析】【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为___．【答案】【解析】【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，则b的值为___．【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，可得b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为____．【答案】【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△ABC，解得a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC，解得a．∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣2cos120°＝28，解得c,即AB=故答案为【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA 2 m，PB 3 m，PC4 m，则球O的表面积为____m2．【答案】【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，∴2R＝则球O的表面积S＝4πR2＝29π故答案为【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O 的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5【解析】【分析】由图分析画出与在同一个坐标系的图像，即可求解【详解】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.已知关于的不等式( a，b，c R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则的最小值为___．【答案】【解析】【分析】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知,将b,c分别用a 表示代入，利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知则，当且仅当-24a=即取等故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆上，且，点P（31），，设的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【答案】【解析】【分析】设AB中点为M由弦长公式，求出M的轨迹方程；由得,将向量坐标化得到的方程组，求解即可求出【详解】设AB中点为M由勾股三角形知OM=,即,又则，即∴, ②，将联立得故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取S由得到令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式得取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.在平面直角坐标系中，设向量 ， ，其中．（1）若∥，求的值； （2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标表示可求进而求出，（2）由，求得将展开即可代入求解【详解】（1）因为∥， 所以，所以．因为，所以．于是 解得．（2）因为，所以，又，故．因为，所以，又，解得．因此，．【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题 16.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E ．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,进而BB1⊥A1B1,证得A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB ABB1 A1，DE ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是基础题.17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM 5 m，BC 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH ．（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当为时该别墅总造价最低【解析】【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM中，所以，得△FBC的面积，从而得到屋顶面积；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM 5，，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为()．（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为记，，所以，令，得，又，所以．列表：所以当时，有最小值．答：当为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S表示为函数是关键，求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点．①射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值；②过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆a=,离心率，由得b即可；（2）①当直线OP斜率不存在时，得当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，与椭圆联立，同理，推得从而可求；②设，直线的方程为即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程得，由，得，再将代入得，同理，得到关于为根的方程，由韦达定理及点P在椭圆上化简即可求得为定值【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，，，，解得，因此椭圆C2的标准方程为。

2019届泰州、南通、扬州、苏北四市七市高2016级高三二模考试数学试卷★祝考试顺利★(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A∩B＝{4}，则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i 2＋i(i 为虚数单位)的实部为________． 3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．i←1S←2While i<7S←S×ii ←i ＋2End WhilePrint S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐近线的距离为2，则b 的值为________．9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB ＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________． 12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c∈R ) 的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k∈N *}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ，求α的值；(2) 若tan2α＝－17，求a ·b 的值．。

2019届江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市七市高三第二次模拟数 学 理(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i2＋i(i 为虚数单位)的实部为________．3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________． i ←1 S ←2 While i<7 S ←S ×i i ←i ＋2 End While Print S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐近线的距离为2，则b 的值为________．9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________． 10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB ＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈N *}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ，求α的值； (2) 若tan2α＝－17，求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1； (2) BC 1⊥平面A 1B 1C.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M.已知HM ＝5 m ，BC ＝10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4. (1) 求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？①②如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：k 1·k 2为定值．已知函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－ax ，a ∈R .(1) 当a ＝3时，求函数f (x )的极值；(2) 设函数f (x )在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的单调增函数，求x 0的值；(3) 是否存在一条直线与函数y ＝f (x )的图象相切于两个不同的点？并说明理由．已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a2n}的前n项和为T n，且3S2n－4S n ＋T n＝0，n∈N*.(1) 求a1，a2的值；(2) 证明：数列{a n}是等比数列；(3) 若(λ－na n)(λ－na n＋1)<0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．2019届高三年级第二次模拟考试(十二) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知m ，n ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 2n 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知x ，y ，z 均是正实数，且x 2＋4y 2＋z 2＝16，求证：x ＋y ＋z ≤6.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝1，AP＝AD＝2.(1) 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(2) 若点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，试确定点M，N的位置．23. (本小题满分10分)已知a1，a2，…，a n(n∈N*，n≥4)均为非负实数，且a1＋a2＋…＋a n＝2.证明：(1) 当n＝4时，a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a1≤1;(2) 对于任意的n∈N*，n≥4，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＋a n a1≤1.2019届高三年级第二次模拟考试 (南通七市)数学参考答案1.42.253.354.23 5.30 6.[2，＋∞) 7.－2 8.2 9.27 10.29π 11.5 12.4 513.1，15 14.4415.(1) 因为a ∥b ，所以cos αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0，(2分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝0.(4分) 因为0<α<π2，所以π6<2α＋π6<7π6，所以2α＋π6＝π2，解得α＝π6.(6分)(2) 因为0<α<π2，所以0<2α<π.又tan2α＝－17<0，故π2<2α<π.因为tan2α＝sin2αcos2α＝－17，所以cos2α＝－7sin2α<0.又sin 22α＋cos 22α＝1， 解得sin2α＝210，cos2α＝－7210.(10分) 所以a ·b ＝cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6(12分) ＝sin2αcos π6＋cos2αsin π6＝210·32＋⎝⎛⎭⎫－7210·12＝6－7220.(14分) 16.(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1A 1为平行四边形． 又A 1C 与AC 1交于点D ， 所以D 为AC 1的中点．同理，E 为BC 1的中点，所以DE ∥AB.(3分) 又AB ⊂平面ABB 1A 1，DE ⊄平面ABB 1A 1， 所以DE ∥平面ABB 1A 1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1B 1.(8分)又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1， BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.(10分) 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1.(12分)又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C. 又A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C.(14分)17.(1) 由题意得FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH ⊥HM.(2分) 在Rt △FHM 中，HM ＝5，∠FMH ＝θ， 所以FM ＝5cos θ，(4分) 所以△FBC 的面积为12×10×5cos θ＝25cos θ，所以屋顶面积S ＝2S △FBC ＋2S 梯形ABFE ＝2×25cos θ＋2×25cos θ×2.2＝160cos θ，所以S 关于θ的函数关系式为S ＝160cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4.(6分) (2) 在Rt △FHM 中，FH ＝5tan θ，所以主体高度为h ＝6－5tan θ，(8分) 所以别墅总造价为 y ＝S·k ＋h·16k ＝160cos θ·k ＋(6－5tan θ)·16k ＝160cos θk －80sin θcos θk ＋96k＝80k·⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋96k(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，0<θ<π4，所以f′(θ)＝2sin θ－1cos 2θ， 令f′(θ)＝0，得sin θ＝12.又0<θ<π4，所以θ＝π6.(12分)列表：所以当θ＝π6时，f(θ)有最小值．故当θ为π6时该别墅总造价最低.(14分)18.(1) 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，得a ＝22， c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， 解得b ＝2，所以椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2) ①1°当直线OP 的斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PA PB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P＝84k 2＋1，(6分) 所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，得x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，所以PA PB ＝|x P －x A ||x P －x B |＝|x P －x A ||x P ＋x A |＝2－12＋1＝3－22，所以PAPB＝3－22为定值.(8分)②设P(x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为 y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x ＋k 1y 0－x 0， 记t ＝k 1y 0－x 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 21＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0. 因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t)2－4(4k 21＋1)(4t 2－4)＝0，即4k 21－t 2＋1＝0，将t ＝k 1y 0－x 0代入上式，整理得，(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0, (12分)同理可得，(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，所以k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根， 所以k 1·k 2＝y 20－1x 20－4.(14分)又点P(x 0，y 0)在椭圆C 2：x 28＋y 22＝1上，所以y 20＝2－14x 2， 所以k 1·k 2＝2－14x 20－1x 20－4＝－14为定值．(16分)19.(1) 当a ＝3时，函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－3x 的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x ＋x －3＝x 2－3x ＋2x ，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.(2分)列表：所以函数f(x)的极大值为f(1)＝－52，极小值为f(2)＝2ln 2－4.(4分)(2) 依题意，得切线方程为y ＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 所以g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 记p(x)＝f(x)－g(x)，则p(x)＝f(x)－f(x 0)－f′(x 0)(x －x 0)在(0，＋∞)上为单调增函数， 所以p′(x)＝f′(x)－f′(x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即p′(x)＝2x －2x 0＋x －x 0≥0在()0，＋∞上恒成立.(8分)法一：变形得⎝⎛⎭⎫x －2x 0(x －x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2x 0＝x 0，又x 0>0，所以x 0＝ 2.(10分)法二：变形得x ＋2x ≥x 0＋2x 0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ＋2x≥2x·2x＝22(当且仅当x ＝2时，等号成立)， 所以22≥x 0＋2x 0，所以()x 0－22≤0，所以x 0＝ 2.(10分)(3) 假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T 1(x 1，y 1)，T 2(x 2，y 2)， 不妨设0<x 1<x 2，则点T 1处切线l 1的方程为 y －f(x 1)＝f′(x 1)(x －x 1)， 点T 2处切线l 2的方程为 y －f(x 2)＝f′(x 2)(x －x 2)． 因为l 1，l 2为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝f′（x 2），f （x 1）－x 1f′（x 1）＝f （x 2）－x 2f′（x 2），(12分)所以2x 1＋x 1－a ＝2x 2＋x 2－a ，2ln x 1＋12x 21－ax 1－x 1⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 1－a ＝2ln x 2＋12x 22－ax 2－x 2⎝⎛⎭⎫2x 2＋x 2－a ， 整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2，2ln x 1－12x 21＝2ln x 2－12x 22，(14分)消去x 2，得2ln x 212＋2x 21－x 212＝0.①令t ＝x 212，由0<x 1<x 2与x 1x 2＝2，得t ∈(0，1)，记p(t)＝2ln t ＋1t －t ，则p′(t)＝2t －1t 2－1＝－（t －1）2t 2<0，所以p(t)为(0，1)上的单调减函数，所以p(t)>p(1)＝0， 所以①式不可能成立，所以假设不成立，所以不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点．(16分)20.(1) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.令n ＝1，得3a 21－4a 1＋a 21＝0. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0，即2a 22＋a 2＝0.因为a 2≠0，所以a 2＝－12.(3分)(2) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，①所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0，②②－①，得3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0， 因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0，③ (5分)所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2)，④当n ≥2时，③－④，得3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝－12a n .因为a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－12.又由(1)知，a 1＝1，a 2＝－12，所以a 2a 1＝－12，所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列.(8分)(3) 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立， 所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n <0对任意的n ∈N *恒成立，所以λ＝0适合.(10分) 若λ>0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有λ<n2n －1恒成立． 记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n ≤1，所以n 2n ≤1n (*)，从而当n ≥5且n ≥2λ时，有λ≥2n ≥n2n －1，所以λ>0不符．(13分)若λ<0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有－λ<n2n 恒成立．由(*)式知，当n ≥5且n ≥－1λ时，有－λ≥1n ≥n2n ，所以λ<0不符．综上，实数λ的所有值为0.(16分)21.A.由题意，得Mα＝3α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋m 2＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 所以m ＝2，n ＝1，即矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.(5分) 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝0，解得矩阵M 的另一个特征值为λ＝－1.(10分) B.由题意，得直线l 的普通方程为x －y －1＝0.① 椭圆C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.②(4分)由①②联立，解得A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，(8分) 所以AB ＝⎝⎛⎭⎫43－02＋⎝⎛⎭⎫13＋12＝423.(10分)C.由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋z 2]·⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋12≥(x ＋y ＋z )2.(5分) 因为x 2＋4y 2＋z 2＝16， 所以(x ＋y ＋z )2≤16×94＝36，所以x ＋y ＋z ≤6，当且仅当x ＝2y ＝z 时取等号.(10分) 22.(1) 由题意，知AB ，AD ，AP 两两垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则 B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 所以PB →＝(1，0，－2)，PC →＝(1，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2z ＝0，2y －2z ＝0，不妨取y ＝1，则x ＝0，z ＝1，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)．(3分)设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n ||PB →·|n |＝105， 即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105.(5分) (2) 设M (a ，0，0)，则MA →＝(－a ，0，0)， 设PN →＝λPC →，则PN →＝()λ，2λ，－2λ，因为AP →＝(0，0，2)，所以MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝(λ－a ，2λ，2－2λ).(8分) 由(1)知，平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN →∥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－a ＝0，2λ＝2－2λ，解得λ＝12，a ＝12，所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点.(10分)23.(1) 当n ＝4时，因为a 1，a 2，…，a 4均为非负实数，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 1 ＝a 2(a 1＋a 3)＋a 4(a 3＋a 1) ＝(a 3＋a 1)(a 2＋a 4)(2分)≤⎣⎡⎦⎤（a 3＋a 1）＋（a 2＋a 4）22＝1.(4分)(2) ①当n ＝4时，由(1)可知，命题成立； ②假设当n ＝k(k ≥4)时，命题成立，即对于任意的k ≥4，若x 1，x 2，…，x k 均为非负实数，且x 1＋x 2＋…＋x k ＝2， 则x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x k －1x k ＋x k x 1≤1，则当n ＝k ＋1时，设a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝2，不妨设a k ＋1＝max {a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}． 令x 1＝(a 1＋a 2)，x 2＝a 3，x k －1＝a k ，x k ＝a k ＋1， 则x 1＋x 2＋…＋x k ＝2. 由归纳假设，知x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x k －1x k ＋x k x 1≤1.(8分) 因为a 1，a 2，a 3均为非负实数，且a k ＋1≥a 1， 所以x 1x 2＋x k x 1＝(a 1＋a 2)a 3＋a k ＋1(a 1＋a 2) ＝a 2a 3＋a k ＋1a 1＋a 1a 3＋a k ＋1a 2 ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a k ＋1a 1，所以1≥(x 1x 2＋x k x 1)＋(x 2x 3＋…＋x k －1x k )≥(a 1a 2＋a 2a 3＋a k ＋1a 1)＋(a 3a 4＋…＋a k a k ＋1)， 即a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a k a k ＋1＋a k ＋1a 1≤1， 所以当n ＝k ＋1时命题也成立，所以由①②可知，对于任意的n ≥4，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤1.(10分)。

-2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝．2．（5分）已知复数（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的体积是cm 3．7．（5分）若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x+3，则x+y 的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+2）＝f （x ）．当0＜x ≤1时，f （x ）＝x 3﹣ax+1，则实数a 的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面PAB ．16．（14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，，．（1）求角B 的值；（2）若，求△ABC 的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ：x ＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，可得A （﹣，﹣），B （（﹣，），|AB|＝＝，可得p ＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为4．【解答】解：根据题意得，t ＝1y ′＝acosx ﹣bsinx ∴k ＝acos0﹣bsin0＝a ∴a ＝3，bcos0＝1∴a ＝3，b ＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x 3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为?＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又?＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l 有斜率，设直线l ：y ＝k （x ﹣m ），即kx ﹣y ﹣km ＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m ＞0且3m 2+8m ﹣16＜0解得﹣4＜m ＜，故答案为：﹣4＜m ．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f （x ）关于点对称，所以，解得：a ＝﹣673，f （x ）＝（2x ﹣673）（|x+673|+|x ﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x ﹣673＜2019，即，所以，f （x ）＝（2x ﹣673）（x+673+2×673﹣x ）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD?侧面PAD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面PAB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cosB＝sinB．…………………………………………………………………4分若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cosB≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n ﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3?2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为ξ012P所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：?，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。

2019届高三年级第二次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i2＋i(i 为虚数单位)的实部为________．3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________． i ←1 S ←2 While i<7 S ←S ×i i ←i ＋2 End While Print S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐近线的距离为2，则b 的值为________．9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB ＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________． 14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈N *}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ，求α的值； (2) 若tan2α＝－17，求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1； (2) BC 1⊥平面A 1B 1C.17. (本小题满分14分)图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M.已知HM ＝5 m ，BC ＝10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4. (1) 求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？①②18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：k 1·k 2为定值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－ax ，a ∈R .(1) 当a ＝3时，求函数f (x )的极值；(2) 设函数f (x )在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的单调增函数，求x 0的值；(3) 是否存在一条直线与函数y ＝f (x )的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20. (本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.(1) 求a 1，a 2的值；(2) 证明：数列{a n }是等比数列；(3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的所有值．2019届高三年级第二次模拟考试(十二) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知m ，n ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 2n 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知x ，y ，z 均是正实数，且x 2＋4y 2＋z 2＝16，求证：x ＋y ＋z ≤6.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AP ＝AD ＝2.(1) 求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(2) 若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且MN ⊥平面PCD ，试确定点M ，N 的位置．23. (本小题满分10分)已知a 1，a 2，…，a n (n ∈N *，n ≥4)均为非负实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝2.证明： (1) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 1≤1;(2) 对于任意的n ∈N *，n ≥4，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤1.2019届高三年级第二次模拟考试 (南通七市)数学参考答案1.42.253.354.23 5.30 6.[2，＋∞) 7.－2 8.2 9.27 10.29π 11.5 12.4 513.1，15 14.4415.(1) 因为a ∥b ，所以cos αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0，(2分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝0.(4分) 因为0<α<π2，所以π6<2α＋π6<7π6，所以2α＋π6＝π2，解得α＝π6.(6分)(2) 因为0<α<π2，所以0<2α<π.又tan2α＝－17<0，故π2<2α<π.因为tan2α＝sin2αcos2α＝－17，所以cos2α＝－7sin2α<0.又sin 22α＋cos 22α＝1， 解得sin2α＝210，cos2α＝－7210.(10分) 所以a ·b ＝cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6(12分) ＝sin2αcos π6＋cos2αsin π6＝210·32＋⎝⎛⎭⎫－7210·12＝6－7220.(14分) 16.(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1A 1为平行四边形． 又A 1C 与AC 1交于点D ， 所以D 为AC 1的中点．同理，E 为BC 1的中点，所以DE ∥AB.(3分) 又AB ⊂平面ABB 1A 1，DE ⊄平面ABB 1A 1， 所以DE ∥平面ABB 1A 1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1B 1.(8分)又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1， BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.(10分) 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1.(12分)又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C. 又A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C.(14分)17.(1) 由题意得FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH ⊥HM.(2分) 在Rt △FHM 中，HM ＝5，∠FMH ＝θ， 所以FM ＝5cos θ，(4分)所以△FBC 的面积为12×10×5cos θ＝25cos θ，所以屋顶面积S ＝2S △FBC ＋2S 梯形ABFE ＝2×25cos θ＋2×25cos θ×2.2＝160cos θ，所以S 关于θ的函数关系式为S ＝160cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4.(6分) (2) 在Rt △FHM 中，FH ＝5tan θ，所以主体高度为h ＝6－5tan θ，(8分) 所以别墅总造价为 y ＝S·k ＋h·16k ＝160cos θ·k ＋(6－5tan θ)·16k ＝160cos θk －80sin θcos θk ＋96k＝80k·⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋96k(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，0<θ<π4，所以f′(θ)＝2sin θ－1cos 2θ， 令f′(θ)＝0，得sin θ＝12.又0<θ<π4，所以θ＝π6.(12分)列表：所以当θ＝π6时，f(θ)有最小值．故当θ为π6时该别墅总造价最低.(14分)18.(1) 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，得a ＝22， c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， 解得b ＝2，所以椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2) ①1°当直线OP 的斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PA PB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P ＝84k 2＋1，(6分) 所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，得x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，所以PA PB ＝|x P －x A ||x P －x B |＝|x P －x A ||x P ＋x A |＝2－12＋1＝3－22，所以PAPB＝3－22为定值.(8分)②设P(x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为 y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x ＋k 1y 0－x 0， 记t ＝k 1y 0－x 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 21＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0. 因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t)2－4(4k 21＋1)(4t 2－4)＝0，即4k 21－t 2＋1＝0，将t ＝k 1y 0－x 0代入上式，整理得，(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0, (12分)同理可得，(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，所以k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根， 所以k 1·k 2＝y 20－1x 20－4.(14分)又点P(x 0，y 0)在椭圆C 2：x 28＋y 22＝1上，所以y 20＝2－14x 20， 所以k 1·k 2＝2－14x 20－1x 20－4＝－14为定值．(16分)19.(1) 当a ＝3时，函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－3x 的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x ＋x －3＝x 2－3x ＋2x ，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.(2分)列表：所以函数f(x)的极大值为f(1)＝－52，极小值为f(2)＝2ln 2－4.(4分)(2) 依题意，得切线方程为y ＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 所以g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 记p(x)＝f(x)－g(x)，则p(x)＝f(x)－f(x 0)－f′(x 0)(x －x 0)在(0，＋∞)上为单调增函数，所以p′(x)＝f′(x)－f′(x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即p′(x)＝2x －2x 0＋x －x 0≥0在()0，＋∞上恒成立.(8分)法一：变形得⎝⎛⎭⎫x －2x 0(x －x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2x 0＝x 0，又x 0>0，所以x 0＝ 2.(10分)法二：变形得x ＋2x ≥x 0＋2x 0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ＋2x≥2x·2x＝22(当且仅当x ＝2时，等号成立)， 所以22≥x 0＋2x 0，所以()x 0－22≤0，所以x 0＝ 2.(10分)(3) 假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T 1(x 1，y 1)，T 2(x 2，y 2)， 不妨设0<x 1<x 2，则点T 1处切线l 1的方程为 y －f(x 1)＝f′(x 1)(x －x 1)， 点T 2处切线l 2的方程为 y －f(x 2)＝f′(x 2)(x －x 2)． 因为l 1，l 2为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝f′（x 2），f （x 1）－x 1f′（x 1）＝f （x 2）－x 2f′（x 2），(12分)所以2x 1＋x 1－a ＝2x 2＋x 2－a ，2ln x 1＋12x 21－ax 1－x 1⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 1－a ＝2ln x 2＋12x 22－ax 2－x 2⎝⎛⎭⎫2x 2＋x 2－a ， 整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2，2ln x 1－12x 21＝2ln x 2－12x 22，(14分)消去x 2，得2ln x 212＋2x 21－x 212＝0.①令t ＝x 212，由0<x 1<x 2与x 1x 2＝2，得t ∈(0，1)，记p(t)＝2ln t ＋1t －t ，则p′(t)＝2t －1t 2－1＝－（t －1）2t 2<0，所以p(t)为(0，1)上的单调减函数，所以p(t)>p(1)＝0，所以①式不可能成立，所以假设不成立，所以不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点．(16分)20.(1) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.令n ＝1，得3a 21－4a 1＋a 21＝0.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0，即2a 22＋a 2＝0.因为a 2≠0，所以a 2＝－12.(3分) (2) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，①所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0，②②－①，得3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0，因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0，③(5分)所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2)，④当n ≥2时，③－④，得3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝－12a n . 因为a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－12. 又由(1)知，a 1＝1，a 2＝－12，所以a 2a 1＝－12， 所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列.(8分) (3) 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立，所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n 之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n <0对任意的n ∈N *恒成立，所以λ＝0适合.(10分) 若λ>0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有λ<n 2n －1恒成立． 记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n ≤1，所以n 2n ≤1n(*)， 从而当n ≥5且n ≥2λ时，有λ≥2n ≥n 2n －1， 所以λ>0不符．(13分)若λ<0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有－λ<n 2n 恒成立． 由(*)式知，当n ≥5且n ≥－1λ时，有－λ≥1n ≥n 2n ，所以λ<0不符．综上，实数λ的所有值为0.(16分)21.A.由题意，得Mα＝3α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋m 2＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 所以m ＝2，n ＝1，即矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.(5分) 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝0， 解得矩阵M 的另一个特征值为λ＝－1.(10分)B.由题意，得直线l 的普通方程为x －y －1＝0.①椭圆C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.② (4分)由①②联立，解得A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，(8分)所以AB ＝⎝⎛⎭⎫43－02＋⎝⎛⎭⎫13＋12＝423.(10分) C.由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋z 2]·⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋12≥(x ＋y ＋z )2.(5分) 因为x 2＋4y 2＋z 2＝16，所以(x ＋y ＋z )2≤16×94＝36， 所以x ＋y ＋z ≤6，当且仅当x ＝2y ＝z 时取等号.(10分)22.(1) 由题意，知AB ，AD ，AP 两两垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则 B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，所以PB →＝(1，0，－2)，PC →＝(1，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2z ＝0，2y －2z ＝0， 不妨取y ＝1，则x ＝0，z ＝1，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)．(3分)设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n ||PB →·|n |＝105，即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105.(5分) (2) 设M (a ，0，0)，则MA →＝(－a ，0，0)，设PN →＝λPC →，则PN →＝()λ，2λ，－2λ，因为AP →＝(0，0，2)， 所以MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝(λ－a ，2λ，2－2λ).(8分) 由(1)知，平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)，因为MN ⊥平面PCD ，所以MN →∥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－a ＝0，2λ＝2－2λ，解得λ＝12，a ＝12， 所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点.(10分)23.(1) 当n ＝4时，因为a 1，a 2，…，a 4均为非负实数，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2， 所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 1＝a 2(a 1＋a 3)＋a 4(a 3＋a 1)＝(a 3＋a 1)(a 2＋a 4)(2分)≤⎣⎡⎦⎤（a 3＋a 1）＋（a 2＋a 4）22＝1.(4分)(2) ①当n ＝4时，由(1)可知，命题成立； ②假设当n ＝k(k ≥4)时，命题成立，即对于任意的k ≥4，若x 1，x 2，…，x k 均为非负实数，且x 1＋x 2＋…＋x k ＝2， 则x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x k －1x k ＋x k x 1≤1，则当n ＝k ＋1时，设a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝2，不妨设a k ＋1＝max {a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}． 令x 1＝(a 1＋a 2)，x 2＝a 3，x k －1＝a k ，x k ＝a k ＋1， 则x 1＋x 2＋…＋x k ＝2.由归纳假设，知x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x k －1x k ＋x k x 1≤1.(8分) 因为a 1，a 2，a 3均为非负实数，且a k ＋1≥a 1， 所以x 1x 2＋x k x 1＝(a 1＋a 2)a 3＋a k ＋1(a 1＋a 2)＝a 2a 3＋a k ＋1a 1＋a 1a 3＋a k ＋1a 2≥a1a2＋a2a3＋a k＋1a1，所以1≥(x1x2＋x k x1)＋(x2x3＋…＋x k－1x k)≥(a1a2＋a2a3＋a k＋1a1)＋(a3a4＋…＋a k a k＋1)，即a1a2＋a2a3＋…＋a k a k＋1＋a k＋1a1≤1，所以当n＝k＋1时命题也成立，所以由①②可知，对于任意的n≥4，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＋a n a1≤1.(10分)。

2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是cm3．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，，则p的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x+t与曲线y＝a sin x+b cos x（a，b，t∈R）相切于点（0，1），则（a+b）t的值为．10．（5分）已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1，则实数a的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4．若存在过点P（m，0）的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围．14．（5分）已知函数f（x）＝（2x+a）（|x﹣a|+|x+2a|）（a＜0）．若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（672）＝0，则满足f（x）＝2019的x的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面P AB．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，可得A（﹣，﹣），B（（﹣，），|AB|＝＝，可得p＝2．故答案为：2．9．【解答】解：根据题意得，t＝1y′＝a cos x﹣b sin x∴k＝a cos0﹣b sin0＝a∴a＝3，b cos0＝1∴a＝3，b＝1故答案为4．10．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为•＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又•＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．【解答】解：显然直线l有斜率，设直线l：y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m＞0且3m2+8m﹣16＜0解得﹣4＜m＜，故答案为：﹣4＜m．14．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f（x）关于点对称，所以，解得：a＝﹣673，f（x）＝（2x﹣673）（|x+673|+|x﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x﹣673＜2019，即，所以，f（x）＝（2x﹣673）（x+673+2×673﹣x）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD⊂侧面P AD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面P AB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cos B＝sin B．…………………………………………………………………4分若cos B＝0，则sin B＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cos B≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O 2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣3﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3•2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：∅，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。

2019届高三第二次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，．若，则实数a的值为____．【答案】4【解析】【分析】由确定a值即可【详解】∵，∴a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.复数（为虚数单位）的实部为____．【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求【详解】故实部为故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故该学校的行政人员人数是735，故答案为35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【答案】【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2人参加植树活动，有6种，甲、乙两人中恰有1人被选中有4种，∴所求概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.函数的定义域为___．【答案】【解析】【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为___．【答案】【解析】【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，则b的值为___．【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，可得b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C = 120°，sinB = 2 sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为____．【答案】【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△ABC，解得a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC，解得a．∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣2cos120°＝28，解得c,即AB=故答案为【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，则球O 的表面积为____m2．【答案】【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，∴2R＝则球O的表面积S＝4πR2＝29π故答案为【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5【解析】【分析】由图分析画出与在同一个坐标系的图像，即可求解【详解】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.已知关于的不等式( a，b，c R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则的最小值为___．【答案】【解析】【分析】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知,将b,c分别用a 表示代入，利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知则，当且仅当-24a=即取等故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆上，且，点P（3， 1），，设的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【答案】【解析】【分析】设AB中点为M由弦长公式，求出M的轨迹方程；由得,将向量坐标化得到的方程组，求解即可求出【详解】设AB中点为M由勾股三角形知OM=,即,又则，即∴, ②，将联立得故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取S由得到令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式得取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.在平面直角坐标系中，设向量=，= ，其中．（1）若∥，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标表示可求进而求出，（2）由，求得将展开即可代入求解【详解】（1）因为∥，所以，所以．因为，所以．于是解得．（2）因为，所以，又，故．因为，所以，又，解得．因此，．【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题16.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）证明A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB⊂平面ABB1 A1，DE⊄平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C = B1，A1B1，B1C ⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH =．（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当为时该别墅总造价最低【解析】【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM中，所以，得△FBC的面积，从而得到屋顶面积；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ⊂平面ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM = 5，，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为()．（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为记，，所以，令，得，又，所以．列表：所以当时，有最小值．答：当为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S表示为函数是关键，求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点．① 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值；② 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆a=,离心率，由得b即可；（2）①当直线OP斜率不存在时，得当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，与椭圆联立，同理，推得从而可求；②设，直线的方程为即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程得，由，得，再将代入得，同理，得到关于为根的方程，由韦达定理及点P在椭圆上化简即可求得为定值【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，，，，解得，因此椭圆C2的标准方程为。

2019届江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市七市高三第二次模拟数 学 文(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i2＋i(i 为虚数单位)的实部为________．3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________． i ←1 S ←2 While i<7 S ←S ×i i ←i ＋2 End While Print S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐近线的距离为2，则b 的值为________．9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________． 10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB ＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈N *}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ，求α的值； (2) 若tan2α＝－17，求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1； (2) BC 1⊥平面A 1B 1C.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M.已知HM ＝5 m ，BC ＝10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4. (1) 求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？①②如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：k 1·k 2为定值．已知函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－ax ，a ∈R .(1) 当a ＝3时，求函数f (x )的极值；(2) 设函数f (x )在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的单调增函数，求x 0的值；(3) 是否存在一条直线与函数y ＝f (x )的图象相切于两个不同的点？并说明理由．已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a2n}的前n项和为T n，且3S2n－4S n ＋T n＝0，n∈N*.(1) 求a1，a2的值；(2) 证明：数列{a n}是等比数列；(3) 若(λ－na n)(λ－na n＋1)<0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．2019届高三年级第二次模拟考试 (南通七市)数学参考答案1.42.253.354.23 5.30 6.[2，＋∞) 7.－2 8.2 9.27 10.29π 11.5 12.4 513.1，15 14.4415.(1) 因为a ∥b ，所以cos αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0，(2分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝0.(4分) 因为0<α<π2，所以π6<2α＋π6<7π6，所以2α＋π6＝π2，解得α＝π6.(6分)(2) 因为0<α<π2，所以0<2α<π.又tan2α＝－17<0，故π2<2α<π.因为tan2α＝sin2αcos2α＝－17，所以cos2α＝－7sin2α<0.又sin 22α＋cos 22α＝1， 解得sin2α＝210，cos2α＝－7210.(10分) 所以a ·b ＝cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6(12分) ＝sin2αcos π6＋cos2αsin π6＝210·32＋⎝⎛⎭⎫－7210·12＝6－7220.(14分) 16.(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1A 1为平行四边形． 又A 1C 与AC 1交于点D ， 所以D 为AC 1的中点．同理，E 为BC 1的中点，所以DE ∥AB.(3分) 又AB ⊂平面ABB 1A 1，DE ⊄平面ABB 1A 1， 所以DE ∥平面ABB 1A 1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1B 1.(8分)又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.(10分) 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1.(12分)又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C. 又A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C.(14分)17.(1) 由题意得FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH ⊥HM.(2分) 在Rt △FHM 中，HM ＝5，∠FMH ＝θ， 所以FM ＝5cos θ，(4分) 所以△FBC 的面积为12×10×5cos θ＝25cos θ，所以屋顶面积S ＝2S △FBC ＋2S 梯形ABFE ＝2×25cos θ＋2×25cos θ×2.2＝160cos θ，所以S 关于θ的函数关系式为S ＝160cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π4.(6分) (2) 在Rt △FHM 中，FH ＝5tan θ，所以主体高度为h ＝6－5tan θ，(8分) 所以别墅总造价为 y ＝S·k ＋h·16k ＝160cos θ·k ＋(6－5tan θ)·16k ＝160cos θk －80sin θcos θk ＋96k＝80k·⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋96k(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，0<θ<π4，所以f′(θ)＝2sin θ－1cos 2θ， 令f′(θ)＝0，得sin θ＝12.又0<θ<π4，所以θ＝π6.(12分)列表：所以当θ＝π6时，f(θ)有最小值．故当θ为π6时该别墅总造价最低.(14分)18.(1) 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，得a ＝22， c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， 解得b ＝2，所以椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2) ①1°当直线OP 的斜率不存在时， PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PA PB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P ＝84k 2＋1，(6分) 所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，得x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，所以PA PB ＝|x P －x A ||x P －x B |＝|x P －x A ||x P ＋x A |＝2－12＋1＝3－22，所以PAPB＝3－22为定值.(8分)②设P(x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为 y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x ＋k 1y 0－x 0， 记t ＝k 1y 0－x 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 21＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0. 因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t)2－4(4k 21＋1)(4t 2－4)＝0，即4k 21－t 2＋1＝0，将t ＝k 1y 0－x 0代入上式，整理得，(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0, (12分)同理可得，(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，所以k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根， 所以k 1·k 2＝y 20－1x 20－4.(14分)又点P(x 0，y 0)在椭圆C 2：x 28＋y 22＝1上，所以y 20＝2－14x 20， 所以k 1·k 2＝2－14x 20－1x 20－4＝－14为定值．(16分)19.(1) 当a ＝3时，函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－3x 的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x ＋x －3＝x 2－3x ＋2x，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.(2分) 列表：所以函数f(x)的极大值为f(1)＝－52，极小值为f(2)＝2ln 2－4.(4分)(2) 依题意，得切线方程为y ＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 所以g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f(x 0)(x 0>0)， 记p(x)＝f(x)－g(x)，则p(x)＝f(x)－f(x 0)－f′(x 0)(x －x 0)在(0，＋∞)上为单调增函数， 所以p′(x)＝f′(x)－f′(x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即p′(x)＝2x －2x 0＋x －x 0≥0在()0，＋∞上恒成立.(8分)法一：变形得⎝⎛⎭⎫x －2x 0(x －x 0)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以2x 0＝x 0，又x 0>0，所以x 0＝ 2.(10分)法二：变形得x ＋2x ≥x 0＋2x 0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ＋2x≥2x·2x＝22(当且仅当x ＝2时，等号成立)， 所以22≥x 0＋2x 0，所以()x 0－22≤0，所以x 0＝ 2.(10分)(3) 假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T 1(x 1，y 1)，T 2(x 2，y 2)， 不妨设0<x 1<x 2，则点T 1处切线l 1的方程为 y －f(x 1)＝f′(x 1)(x －x 1)， 点T 2处切线l 2的方程为 y －f(x 2)＝f′(x 2)(x －x 2)． 因为l 1，l 2为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝f′（x 2），f （x 1）－x 1f′（x 1）＝f （x 2）－x 2f′（x 2），(12分)所以2x 1＋x 1－a ＝2x 2＋x 2－a ，2ln x 1＋12x 21－ax 1－x 1⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 1－a ＝2ln x 2＋12x 22－ax 2－x 2⎝⎛⎭⎫2x 2＋x 2－a ， 整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2，2ln x 1－12x 21＝2ln x 2－12x 22，(14分)消去x 2，得2ln x 212＋2x 21－x 212＝0.①令t ＝x 212，由0<x 1<x 2与x 1x 2＝2，得t ∈(0，1)， 记p(t)＝2ln t ＋1t －t ，则p′(t)＝2t －1t 2－1＝－（t －1）2t 2<0， 所以p(t)为(0，1)上的单调减函数，所以p(t)>p(1)＝0，所以①式不可能成立，所以假设不成立，所以不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点．(16分)20.(1) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.令n ＝1，得3a 21－4a 1＋a 21＝0.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0，即2a 22＋a 2＝0.因为a 2≠0，所以a 2＝－12.(3分) (2) 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，①所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0，②②－①，得3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0，因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0，③(5分)所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2)，④当n ≥2时，③－④，得3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝－12a n . 因为a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－12. 又由(1)知，a 1＝1，a 2＝－12，所以a 2a 1＝－12， 所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列.(8分) (3) 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立，所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n 之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n <0对任意的n ∈N *恒成立，所以λ＝0适合.(10分) 若λ>0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有λ<n 2n －1恒成立． 记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n ≤1，所以n 2n ≤1n(*)， 从而当n ≥5且n ≥2λ时，有λ≥2n ≥n 2n －1， 所以λ>0不符．(13分)若λ<0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有－λ<n 2n 恒成立．由(*)式知，当n≥5且n≥－1λ时，有－λ≥1n≥n2n，所以λ<0不符．综上，实数λ的所有值为0.(16分)。

2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是cm3．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，，则p的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x+t与曲线y＝a sin x+b cos x（a，b，t∈R）相切于点（0，1），则（a+b）t的值为．10．（5分）已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1，则实数a的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4．若存在过点P（m，0）的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围．14．（5分）已知函数f（x）＝（2x+a）（|x﹣a|+|x+2a|）（a＜0）．若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（672）＝0，则满足f（x）＝2019的x的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面P AB．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，，则p的值为．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，可得A（﹣，﹣），B（（﹣，），|AB|＝＝，可得p＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x+t与曲线y＝a sin x+b cos x（a，b，t∈R）相切于点（0，1），则（a+b）t的值为4．【解答】解：根据题意得，t＝1y′＝a cos x﹣b sin x∴k＝a cos0﹣b sin0＝a∴a＝3，b cos0＝1∴a＝3，b＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为•＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又•＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4．若存在过点P（m，0）的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l有斜率，设直线l：y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m＞0且3m2+8m﹣16＜0解得﹣4＜m＜，故答案为：﹣4＜m．14．（5分）已知函数f（x）＝（2x+a）（|x﹣a|+|x+2a|）（a＜0）．若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（672）＝0，则满足f（x）＝2019的x的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f（x）关于点对称，所以，解得：a＝﹣673，f（x）＝（2x﹣673）（|x+673|+|x﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x﹣673＜2019，即，所以，f（x）＝（2x﹣673）（x+673+2×673﹣x）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面P AB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD⊂侧面P AD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面P AB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cos B＝sin B．…………………………………………………………………4分若cos B＝0，则sin B＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cos B≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O 2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣3﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3•2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：∅，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n ＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）第21页（共21页）。

江苏省泰州市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++= 【答案】A【解析】【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】 AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22AB r ===， 圆方程为22(3)2x y -+=.故选：A .【点睛】 本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.2．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn[g （x ）]＝sgn xB ．sgn[g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn[g （x ）]＝sgn[f （x ）]D ．sgn[g （x ）]＝﹣sgn[f （x ）]【答案】A【解析】【分析】根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn[g （ x ）]＝1， 当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn[g （ x ）]＝0， 当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn[g （ x ）]＝﹣1，综合有：sgn[g （ x ）]＝sgn （x ）；故选：A ．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.3．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ）A ．1B ．2CD ．3【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.4．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）AB ．1C ．2D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】 由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.5．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=v v v （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33 【答案】C【解析】【分析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案.【详解】 因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r .故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．6C ．5D ．34【答案】B【解析】【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB == 所以115,23AP PC AC === 由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯ 所以126sin APC ∠= 所以S 四边形1APQC 1112sin 262AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A【解析】【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A .【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.8．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行；当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行.所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件，当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.9．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】【分析】 求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A B ．C D 【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得r =故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.11．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据向量坐标运算求得2a b +r r ，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=r r()//2c a b +r r r Q 24λ∴=-，解得：2λ=- 故选：A【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.12．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1-【答案】D【解析】【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-， 所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届南通市高三第二次调研联考英语试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考试时间120分钟。

考试结束后，只要将答题纸交回。

1.本试卷共14页，包含第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共120分。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔把答题纸上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。

4.答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

第I卷 (三部分，共85分)第一部分听力(共两节，满分20分)第一节听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.【此处有音频，请去附件查看】What color is the sofa?A. Brown.B. White.C. Blue.【答案】B【解析】【分析】M: We need a new sofa. This one is starting to sink in the middle and it looks shabby.W: Yes. White wasn’t a good choice of color. The next one should be darker. Brown or blue maybe. 【详解】此题为听力题，解析略。

2.【此处有音频，请去附件查看】What meal are the speakers about to eat?A. Breakfast.B. LunchC. Dinner.【答案】C【解析】【分析】M: When will the pizza be ready? I haven’t eaten since this morning. What about you?W: I skipped breakfast, but I had a pretty big lunch, so you can have most of the pizza.【详解】此题为听力题，解析略。

2019届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{13}=A a ，，，{45}=B ，．若A B =I {4}，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】4 2． 复数2i2iz =+（i 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 【答案】253． 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 ▲ ． 【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 ▲ ． 【答案】235． 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】306.函数y =的定义域为 ▲ ．【答案】[2)+∞，7. 将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f 的值为 ▲ ．【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 b 的值为 ▲ ． 【答案】29． 在△ABC 中，已知C = 120°，sin B = 2 sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为 ▲ ．【答案】10．设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，则球O 的表面积为 ▲ m 2． 【答案】29π11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ． 【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>( a ，b ，c ∈R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则25c a b++的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =，点P （3，-1），()16PO PA PB ⋅+=uu u r uu r uu r，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．【答案】115， 14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元 素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的 最大值为 ▲ ． 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin()cos()66αα++，，其中π02α<<． （1）若a ∥b ，求α的值； （2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()066αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分 因为π02α<<，所以ππ7π2666α<+<．于是ππ262α+=， 解得π6α=． ………………………………………………………6分（2）因为π02α<<，所以02πα<<，又1tan 207α=-<，故π2π2α<<．因为sin 21tan 2cos 27ααα==-，所以cos27sin20αα=-<，又22sin 2cos 21αα+=，解得sin 2cos2αα=．……………………………………………………10分 因此，⋅a b πππcos sin()+sin cos()sin(2)666ααααα=++=+ …………………………12分ππsin 2cos cos 2sin 66αα=+(12=⋅= ……………………………………14分16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于 点D ，B 1C 与BC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面ABB 1A 1；（2）BC 1⊥平面A 1B 1C ．【证明】（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1 A 1为平行四边形．又A 1C 与AC 1交于点D ，所以D 为AC 1的中点，同理，E 为BC 1的中点．所以DE ∥AB ．………………3分 又AB ⊂平面ABB 1 A 1，DE ⊄平面ABB 1 A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1． ………………………………………………………………6分 （2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1．ABCA 1B 1C 1ED（第16题）又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1B 1． ………………………………………8分 又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1 = B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………………10分 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1．………………………………………12分 又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ． 又A 1B 1∩B 1C = B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．………………………………………………………………14分 17. (本小题满分14分)图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构 成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全 等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ， 梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θπ(0)4θ<<．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为 何值时，总造价最低？【解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ． …………2分 在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=， 所以5cos FM θ=．……………………………………4分因此△FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=．①（第17题）②ABC DE F HMθ A BC DE F HMθ从而屋顶面积22=+V 梯形FBC ABFE S S S 252516022 2.2cos cos cos θθθ=⨯+⨯⨯=．所以S 关于θ的函数关系式为160cos S θ=(π04θ<<)． ………………………………6分 （2）在Rt △FHM 中，5tan =FH θ，所以主体高度为65tan =-h θ． ……………8分 所以别墅总造价为16=⋅+⋅y S k h k160(65tan )16cos =⋅+-⋅k k θθ16080sin 96cos cos =-+k k k θθθ()2sin 8096cos -=⋅+k k θθ…………………………………………10分记2sin ()cos -=f θθθ，π04θ<<，所以2sin 1()cos f θθθ-'=2， 令()0'=f θ，得1sin 2=θ，又π04θ<<，所以π6=θ．………………………………12分列表：所以当π6=θ时，()f θ有最小值．答：当θ为π6时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 11，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =，因此椭圆C 2的标准方程为22182y x +=． ……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，1PA =，1PB =，则3PA PB =- ……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y=代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P x =从而||||3||||PA P A PB P A x x x x PA PB x x x x --====--+ 所以3PA PB =- ……………………………………………………………8分 ②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V ，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分 同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根，从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分（第18题）又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以2200124y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 【解】（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=， 令()f x '0=得，1x =或2x =． ………………………………………………………2分 列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-． ………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立． …………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立 ，所以002x x =，又00x >，所以0x =． ………………………………………………10分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立 ，因为2x x+=≥x =时，等号成立），所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =．……………………………10分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，， 不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， ………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t-'=--=-<， 所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n ， 且2340n n n S S T -+=，n *∈N ．（1）求12a a ，的值；（2）证明：数列{}n a 是等比数列；（3）若1()()0n n na na λλ+--<对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的所有值． 【解】（1）因为2340n n n S S T -+=，*n ∈N ．令1n =，得22111340a a a -+=，因为10a ≠，所以11a =． 令2n =，得()()()22222314110a a a +-+++=，即22220a a +=，因为20a ≠，所以212a =-．……………………………………………………………3分（2）因为2340n n n S S T -+=， ① 所以2111340n n n S S T +++-+=， ② ②-①得，()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，因为10n a +≠，所以()11340n n n S S a +++-+=，③ …………………………………5分 所以()1340(2)n n n S S a n -+-+=≥， ④当2n ≥时，③-④得，()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，因为0n a ≠，所以112n n a a +=-． 又由（1）知，11a =，212a =-，所以2112aa =-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列． ……………………………8分 （3）由（2）知，()112n n a -=-．因为对任意的*n ∈N ，()()10n n na na λλ+--<恒成立， 所以λ的值介于()112n n --和()12nn -之间．因为()()111022n nn n --⋅-<对任意的*n ∈N 恒成立，所以0λ=适合． ……………10分 若0λ>，当n 为奇数时，()()11122n n n n λ--<<-恒成立，从而有12n n λ-<恒成立．记2()(4)2n n p n n =≥，因为22211(1)21(1)()0222n n n n n n n p n p n +++-+++-=-=<， 所以()(4)1p n p =≤，即212n n ≤，所以12n n n ≤（*），从而当25n n λ≥且≥时，有122n n n λ-≥≥，所以0λ>不符． ………………………13分若0λ<，当n 为奇数时，()()11122nn n n λ--<<-恒成立，从而有2n n λ-<恒成立．由（*）式知，当15n n λ≥且≥-时，有12n n n λ-≥≥，所以0λ<不符．综上，实数λ的所有值为0． ………………………………………………………………16分 21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m ，n ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．【解】由题意得，3=，M αα即11132123m m n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2 1.m n ==，即矩阵1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦=M . …………………………………………………5分 矩阵M 的特征多项式()212()14021f λλλλ--==--=--， 解得矩阵M 的另一个特征值为1λ-=.…………………………………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t =+⎧⎨=⎩，( t 为参数)，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数，θθθ⎪⎩⎪⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】由题意得，直线l 的普通方程为10x y --=．①椭圆C 的普通方程为2212x y +=．② …………………………………………………4分由①②联立，解得A (01)，-，B ()4133，， ……………………………………………8分 所以AB =．…………………………………………………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤．【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥ ……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤， 所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号．…………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分． 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，AB = 1，AP = AD = 2. （1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且⊥MN 平面PCD ，试确定点M ，N 的位置． 【解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直． 以{}AB AD AP uu u r uuu r uu u r，，为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系A xyz -，则(100)(120)(020)(002)B C D P ，，，，，，，，，，，. 从而(102)(122)(022)PB PC PD =-=-=-，，，，，，，，uu r uu u r uu u r设平面PCD 的法向量()x y z =n ，，， 则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu u ruu u r，，即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，， 不妨取1y =，则01x z ==，．所以平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，． ………………………………………3分（第22题）设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin cos PB PB PB θ⋅=〈〉==⋅n n nuu ruu ruu r， 即直线PB 与平面PCD．……………………………………5分（2）设(00)M a ，，，则(00)MA a =-，，，uuu r设PN PC λ=，uuu r uu u r 则()22PN λλλ=，，-，uuu r而(002)AP =，，，uu u r 所以(222)MN MA AP PN a λλλ=++=--uuu r uuu r uu u r uuu r，，． ……………………………………8分 由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN uuu r∥n ．所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，解得，1122a λ==，．所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点． …………………………………………10分 23.（本小题满分10分）已知*12(4)n a a a n n ∈N ≥，，，，均为非负实数，且122n a a a +++=．证明：（1）当4n =时，12233441+++1a a a a a a a a ≤；（2）对于任意的*4n n ∈N ≥，，122311++++1n n n a a a a a a a a -≤L ．证明：（1）当4n =时，因为1a ，2a ，…，4a 均为非负实数，且12342a a a a +++=， 所以122334412134313124+++=(+)+(+)(+)(+)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =………………………2分 23124(+)+(+)=12a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤．………………………………………………………………4分 （2）①当4n =时，由（1）可知，命题成立； ②假设当(4)n k k =≥时，命题成立，即对于任意的4k ≥，若1x ，2x ，…，k x 均为非负实数，且12+++2k x x x =L ， 则122311++++1k k k x x x x x x x x -≤L ．则当+1n k =时，设12+1++++2k k a a a a =…，并不妨设{}+112+1max k k k a a a a a =，，…，，． 令()1122311+k k k k x a a x a x a x a -+====，，，，则12+++2k x x x =…． 由归纳假设，知122311++++1k k k x x x x x x x x -≤．………………………………………8分因为123a a a ，，均为非负实数，且+11k a a ≥， 所以121123112+()()k k x x x x a a a a a a +=+++23111312122311k k k a a a a a a a a a a a a a a +++=+++++≥．所以1212311223113411(+)+(++)()()k k k k k k x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+++++++≥≥，即1223+1+11++++1k k k a a a a a a a a ≤，也就是说，当+1n k =时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的4n ≥，122311++++1n n n a a a a a a a a -…≤．…………10分。

江苏省泰州中学等2019届高三第二学期联合调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.已知集合，，则集合中元素的个数为____.【答案】4【解析】【分析】先求出集合A B，数出其中元素个数即可.【详解】解：因为集合A＝{l，2，3}，B＝{2，3，4}所以A B＝{l，2，3，4}，有4个元素故答案为：4.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于第_______象限．【答案】四【解析】【分析】先对复数进行运算化简，找出其对应的点即可判断出其所在的象限.【详解】解：因为所以复数对应的点为，位于第四象限故答案为：四.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数与复平面中坐标的关系，属于基础题.3.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_______．【答案】1200【解析】【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数. 【详解】解：由题意知高三年级抽取了人所以该校学生总人数为人故答案为：1200.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.4.从集合A＝{0，1，2，3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是_______．【答案】【解析】【分析】先列出一共有多少种取法，再找出其中和为奇数的取法，即可求出其概率.【详解】解：集合A中共有4个元素，任取两个不同的元素有（0,1）、（0,2）、（0,3）、（1,2）、（1,3）（2,3）共6种取法，其中两个元素之和为奇数的有（0,1）、（0,3）、（1,2）、（2,3）共4种取法，所以故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型，当取法总数较少时可以采用穷举法，属于基础题.5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的n＝2，x＝1，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为_______．【答案】6【解析】【分析】先代入第一次输入的，计算出对应的，判断为否，再代入第二次输入的，计算出对应的，判断仍为否，再代入第三次输入的，计算出对应的，判断为是，得到输出值.【详解】解：第一次输入，得，，判断否；第二次输入，得，，判断否；第三次输入，得，，判断是，输出故答案为：6.【点睛】本题考查了循环结构流程图，要小心每次循环后得到的字母取值，属于基础题.6.若双曲线的离心率为，则实数a的值为_______．【答案】1【解析】【分析】先由双曲线方程求出，再利用列方程求解.【详解】解：因为代表双曲线所以，且，所以解出故答案为：1.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于基础题.7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为。