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材料力学课件第5章

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材料力学第5章弯曲变形ppt课件

材料力学第5章弯曲变形ppt课件

qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D

材料力学第5章-剪力图与弯矩图

材料力学第5章-剪力图与弯矩图
梁的力学模型（1）
固定端
A
l
自由端 B
悬臂梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型（2）
固定铰支座
A l
辊轴支座 B
简支梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型（3）
外伸端 固定铰支座
C
A
l2
l1
辊轴支座
B 外伸梁（一端外伸）
外伸端 C
固定铰支座 A
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
q(x)
FP2
FP4
M1
M2
FP1
x
FQ
M1
M
x FP1
FP3
FP5

F
＝
y
0，
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
FP A
B
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
大自然中的悬臂梁
独根草，多年 生草本植物，具 粗壮的根状茎， 生长在山谷和悬 崖石缝处，为中 国特有属。
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型
固定铰支座
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中的梁
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第5章 剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线 所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线， 这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要 承受弯曲的杆件称为梁（beam）。

第5章 材料力学基本知识 课件

第5章 材料力学基本知识 课件
平面面平行行力力系（如均布荷载）可合成为一一个合力力，
平面面任意力力系向平面面内任一一点简化可以得到一一个力力和 一一个力力偶，最终简化为一一个合力力。
基本形式
平 面面 任 意 力力 二二矩式 系 平 衡 方方 程 三矩式
A、B、C不共线
第5章 材料力力学基本知识
5.1 材料力力学概述 5.2 外力力、内力力、截面面法和应力力的概念 5.3 变形和应变
5.2外力力、内力力、截面面法和应力力的概念
1.外力力和内力力
外力力
其他物体作用用在研究对象上的作用用力力统称为外力力， 如支支座反力力、荷载等
内力力
物体在外力力作用用下，内部各质点的相对位置将发生生 改变，其质点的相互作用用力力也会发生生改变。这种由于 物体受到外力力作用用而而引起的内力力的改变量，称为“附加 内力力”，简称为内力力。
荷载未作用用时
荷载作用用下
③ 具有足足够的稳定性——某些细⻓长杆 F
件（或薄壁构件）在轴向压力力达到 一一定的数值时，会失去原来的平衡 状态而而丧失工工作能力力，这种现象称 为失稳。
所谓稳定性，是指构件维持原有平衡状 态的能力力。
材料力力学的研究任务：在保证构件满
足足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以 最经济的代价为构件选择适合的材料，确 定合量的截面面形状及尺寸寸，提供必要的理 论基础、计算方方法和实验方方法。
综上所述
材料力力学研究的是连续均匀的、各向同性 的理想弹性体，且限于小小变形范围内。
2.材料力力学的任务
各种工工程结构都是由若干个构件组成的，这些构件 工工作时都要承受力力的作用用。为确保构件在规定的工工作 条件和使用用寿命期间能正常工工作，须满足足以下要求：
① 具有足足够的强度——构件在外力力作用用下不发生生

材料力学第五章 弯曲内力PPT课件

材料力学第五章 弯曲内力PPT课件
存在平行于截面的内力（剪 力）。
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：

材料力学：第5章：扭转

材料力学：第5章：扭转




d

dx d
在外表面上

d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA T
A

o
dA
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
令 I p dA
2 A
d G T T G G Ip Ip dx
d T dx G I p
W = m 2 n
(1) = (2) 得 N×1000× 60 = m 2 n
(2)
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
§5-2 扭矩和扭矩图
Ip
极惯性矩：
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32 抗扭截面模量： 3 d 实心圆： Wt 16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
实心圆： I p
d
4
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
刚度条件：

材料力学第五章

材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图

材料力学I第五章 ppt课件

材料力学I第五章 ppt课件

材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
14
例题 5-1
试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI
为常量。
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
15
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为
M x F l x ( 1 )
挠曲线近似微分方程为
(b)
E w M I x F l x ( 2 )
通过两次积分得 Ew IFlx x 22C 1 (3) EI F w l2 x 2x 6 3 C 1xC 2 (4)
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
16
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程
w Mx
EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
10
II. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w Mx
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
E w I M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
材料力学(Ⅰ)电子教案
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得 C 10 ， C 20
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
qwFxF l 2x(5)
EI2EI
挠曲线方程
F2lx F3x w
(6)
2EI6EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
17
例题 5-1
转角方程

材料力学 第五章课件

材料力学 第五章课件

M ym ax Iz
1)当 中性轴为对称轴时( 1)当 中性轴为对称轴时(The cross sections symmetrical about the neutral axis) :
σmax = M WZ
C
ymax
Z
W
=
I y
Z
max
ymax
y
WZ称为抗弯截面系数
( Stresses in Beams)
y
M
?
O
z x
σ =E
ρ
?
应力分布规律
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ 中性层的曲率半径ρ
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
σ Eε E = = ρ
yc max
M
yt max 和 ycmax
直
接代入公式 z
yt max
y
My σ= Iz
求得相应的最大正应力
( Stresses in Beams)
( Stresses in Beams)
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 的分布规律 变形的分布规律 观察变形 提出假设
假设 假设
ε=
y
ρ
( Stresses in Beams)
3、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law 所以
σ = Eε
Neutral surface Symmetrical axis of Cross Section Fig 5-3 5Neutral axis

材料力学ppt_闫晓鹏第5章_弯曲应力

材料力学ppt_闫晓鹏第5章_弯曲应力

例4 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的许 用拉应力[t]=40MPa、许用压应力[c] =100MPa，许 用切应力[] =20MPa 。试校核该梁的强度。
A B 2m C 3m 1m D 157. 5 200 C 30
q 10kN / m
F 20kN
200
解：求支座反力； z
0 : M D 12kN m
(上面受拉) (拉)
M D 6 M D 6 12 103 a 120 MPa 2 2 W bh 6 10
2 2 b a 120 48MPa (拉) 5 5
c 0
例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。 30 50kN 20kN
a b
c d M c d
a b
⑵横向线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵向线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
纵向对称面 中性层 中性轴
⒉ 基本假设 ⑴平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； ⑵单向受力假设：纵向纤维之间无正应力，即无挤 压。各纵向纤维仅仅承受轴向的拉应力或者压应力。
max
Fs S z I z b0
*
式中b0为工字型腹板的厚度。
Fs S z* 在腹板上距中性轴为y处的切应力： I z b0
*
1 h0 h h0 h0 1 h h0 h0 S z b b0 y y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2 b0 h02 2 (h h0 ) ( y 2 ) 8 2 4 b 2 FS b 2 b h 2 2 0 0 h h y ( ) ( ) 0 I z b0 8 2 4 h0 2 y FS bh 2 h0 腹板 max b b ( ) 0 I z b0 8 8

材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT

材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT

M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a

材料力学I第五章ppt课件

材料力学I第五章ppt课件
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条 件。
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件

材料力学第五章

材料力学第五章
FS FS (x) M M (x) 上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程，为了形象地描述剪力、弯矩 沿梁轴线的变化，常将剪力、弯矩方程用图线表示。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图。
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0

材料力学第五章 梁的内力

材料力学第五章 梁的内力

（+）
Q图
1.67kNm
RA＝0.89 kN RB＝1.11 kN
2．建立坐标系.
3．确定控制面为A、B 、
及 C、D两侧截面。 4．从A截面右开始
(-) 0.335kNm
画剪力图。
M图
5．从A右侧截面开
始画弯矩图。
43
例2 试画出梁剪力图和弯矩图。
q
C D 解：1．确定约束力
A
B
RA
4a
a qa RB
24
qL 2--2截面处截取的分离体如图（c）
FY 0 qL Q2 0
a
Q2 qL
mB (Fi ) 0 ,
qL
qLa M 2 0 M2 qLa
3--3截面处截取的分离体如图（d） a
Q3 0 M3 qLa M2
B M2 图（c）
Q2
B M3 图（d）
Q3 qL
结论：紧邻集中力作用的左、右截面上，剪力发生突变，变化
1
§5–1 工程实际中的受弯杆 §5–2 梁的内力——剪力和弯矩 §5–3 剪力图和弯矩图 §5–4 荷载集度、剪力和弯矩间的关系 §5–5 按叠加原理作剪力图和弯矩图
2
§5–1工程实际中的受弯杆
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 P — 集中力
2
x q x
Q
M
q
l
M x
Qx
ql
x
x
ql 2 / 8
ql 2 / 2
[例3] 悬臂梁受均布载荷作用。
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
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M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
FN1
FN2
'=
A*
FN1
A* x1dA
M y1 dA I A*
z
M
Iz
b2h23 ) 6
2
b2 b1
23
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
y z
z
y dA
d
Wz
Iz d
d 4
64
2 d
d 3
32
2
y
Wz
Iz D
D4 (1 4 )
64
2 D
2
z
D3 (1 4 )
32
D d
24
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
M Iz
y
适用条件:
y
dA
z
y
1.平面弯曲； 2.纯弯曲；
3. p , Et = Ec；
4.等截面直梁；
5.截面形状任意.
18
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
一.横力弯曲
M — —
FQ — — 横截面翘曲 当FQ=C¸各横截面翘曲相同
结论
FQ
x
用公式 M y
IZ
二.变形协调方程-几何方程 1.实验观察
6
5.1 纯弯曲及其变形
变弯 偏转
横向线—偏转—夹角d
缩短 < 0
纵向线—弯曲 中性层 = 0
伸长 > 0
7
5.1 纯弯曲及其变形
中性层曲率—1/
中性轴—中性层与
横截面的交线(z轴)
y
y轴—纵向对称轴
纵向 对称
面
z 中性轴
中性层 8
5.1 纯弯曲及其变形
h2b23 12
16
h2
h1
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
2.圆形
z
由定义知：
y o z
y dA
d
z
IP
2 d A
A
(y2 z2)d A
A
Iz Iy
Iz
Iy
IP 2
d 4
64
D d
y
Iz
Iy
D 4
64
d 4
64
D4 (1 4 )
64
d
D
17
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
MM z
例3 可动载荷F作用于18号I钢梁，[]= 160
MPa, a,b多长时梁的强度最好？并确定许可载荷。
F
A
B
a
12m
b
M
M Fa
Fb
F（ 12 a b）
M
4
解: •画弯矩图
c No.18
z当Fa=Fb=F（ 12
4
a
b）时
Mmax最合理 得 a=b=2m
x
Mmax= 2F
x
•用 max
M max Wz
结 论 z轴（中性轴）过横截面形心。
13
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Ey
MM
yz
y
FN
dA0
A
将 E y 代入（b)
E
E
z
M y
z ydA
A
yz d A 0
A
令
Iyz
yz d A
A
dA I yz为A对y,z 轴的惯性积
显然若y,z 轴中有一个为 (a) 对称轴则 Iyz = 0
2.推理假设
z 中性轴
1）平面假设---变形前为平 面的横截面变形后仍为平 面,且垂直于变形后的轴线
γ=0 得 =0
2）纵向纤维互不挤压(纵向纤维间无)
结论
等截面直梁在纯弯时,横截面上只
产生正应力.
9
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
一.变形几何关系（应变-位移）
M m
o b m
F
m
o b
ma
求（1)实，空（2)(空- 实)/实
q
d2 D2
A l
Mq
ql 2
8
B
D1 2 8
2 103 22 8
1kN m
x 2.应力计算
实心圆截面
实max
M max Wz
32 M max
D3
159
MPa
33
q
d2 D2
A l
B
D1
空心圆截面
A空
A实 ,且
d2 D2
,
即
π 4
[D22
(3 5
D2 )2 ]
π 4
D12
得D2
5 4
D1
50 mm
空max
M max Wz
32 M max
D3(1 4 )
93.6
MPa
（ 实max 空max）/ 实max 100 % 41.2 %
空心圆截面梁更合理
34
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
一.矩形截面
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
例2 已知[t]=30MPa, [c]=160MPa, Iz=763cm4 ,
y1=52mm. 试校核梁的强度.
F1=9kN
F2=4kN
80
y2
y2 120 20
A FAy 1m
C 1m
M 2.5kN.m
B
D
FBy 1m
4kN.m
C
B
z
y
解:1. 求内力（画M 图）
M y
z d A 0
A
(b)
结论
M z
y d A M
A
(c)
My
z d A 0 自然满足。
A
14
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
M
M
将
E
y代入（c)
z
M z
y E yd A E
A
y2 d A M
A
y
Ey
M
dA
z y
令 Iz
y2 d A
A
Iz 为A 对z 轴的惯性矩
C d
M
n
o b n
x
F
y n
dx
dx
y
o b
an
(d x) bb bb bb oo
dx
bb
oo
( y)d d y
d
y
结 论 纵向纤维的线应变与它
到中性轴的距离成正比,沿y轴
线性分布。
10
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
二.物理关系( )
MM z
设 p Et=Ec=E
y2=120+2052=88mm
y
B截面
4kN.m
C
B
tmax [ t ] , cmax [ c ]
tmax
MB Iz
y1
4103 52 103 763 108
27.2MPa
cmax
M B y2 Iz
46.7 MPa
C截面:
tmax
M C y2 Iz
28.8 MPa
故此梁满足强度条件 29
FQ
纯弯曲
M
m
FQ0 m
M=m=C
3
5.1 纯弯曲及其变形
F
FQ 0
横力弯曲
M C
a
FQ F
M
Fa
F
a
F
4
5.1 纯弯曲及其变形
首先研究纯弯曲时横截面上的应力问题 已知是横截面上的正应力组成了M（切应力组 成FQ），但如何分布、大小都是未知，所以求 解应力的问题属超静定问题。
5
5.1 纯弯曲及其变形
F+G1
解：•先按F+G1选截面
q
•查表 •检验

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