材料力学第五章弯曲应力-正应力

b y P m m1
q(x)
m B x h
m
m1 O
Fs z q1 y
A n x n1 dx
p n
p1 n1 dx
x
关于切应力的分布作两点假设：
y
1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs )
2、切应力沿截面宽度均匀分布
目录
(2)分析方法(Analysis method)
F1
F2 m
I Z y 2 dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
矩形截面
4
空心圆截面
空心矩形截面
IZ Wz
d
64
bh IZ 12 Wz bh 6
3
IZ
D
3
4
64
(1 4 )
b0 h0 bh3 IZ 12 12
3
d
3
2
32
b0 h03 bh3 D ) /(h0 / 2) Wz (1 4 ) Wz ( 12 12 32
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－ －中性层
中性轴
中间层与横截面的交线－ －中性轴 中性层 横截面对称轴
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标
m a o b m
n a o by
dx
n
？
胡克定理
二、物理关系
E
E
目录
y

§5-2 纯弯曲时的正应力
4kN.m
4 10 3 88 10 3 c ,max 7.64 10 6 46 .110 6 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
(3)公式推导(Derivation of the formula) z 假设m-m,n-n上的弯矩为M和 y y M+dM.两截面上距中性轴 y1 处的 正应力为1 和2. A1
x
1
FN1 * 1dA
A
FN1
dFS’
A
B1 B FN2
My1 M * dA A* y1dA A I Iz z M * Sz Iz M dM * FN 2 * 2dA Sz A Iz
A*为距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积
1dA
y
m’ m
n
式中：S z *
A
*
y1dA
为面积A*对中性轴的静矩.
FN1 FN 2
M * Sz Iz M dM * Sz Iz
' '
z
y A1 x
dFS bdx
由平衡方程
FN1
dFS’
A
B1 B FN2
Fx 0
FN1
y
m’ FN2
y
b m
n
dx
m
n
z z
m’ m
y
A1 B x A1 h
’
n x
B
y
B1
o
B1
FN1
dFS
A
m’
y
FN2
τ’
A
m’ τ y
m
n
b m
n
dx
(c)在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力dFs’.故在此面上就有切 应力τ 根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等.各点 的剪应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.
q=60kN/m
180 A C B 120 3. 全梁最大正应力 30 z y
最大弯矩
x l = 3m
FBY
K
M max 67.5kN m
截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I z 5.832 10 5 m 4

M x 90kN
max
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
FN1
q(x) n
FN2
(a)用横截面m-m , n-n从梁中截
取dx一段.两横截面上的弯矩不 等.所以两截面同一y处的正应力 也不等. (b)假想地从梁段上截出体积元 素mB1在两端面mA1,nB1上两个
z x
m
n dx
m’ m
y
n xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
法向内力不等.
z y A1 x
h
o
A1 B1 A
B1
A m’ B
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz

M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
三、静力学关系
FN、My、Mz
σ
σ
M EI Z
目录
1
§5-2 纯弯曲时的正应力
变形几何关系
物理关系
E
M EI Z 1

y
E
y

静力学关系

正应力公式
为曲率半径，
1
为梁弯曲变形后的曲率
IZ Wz y max
My IZ
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
M C 60 kN m
C 截面惯性矩
FS 90kN
I Z 5.832 10 5 m 4

M x 90kN
M EI
EI Z 200 10 9 5.832 10 5 C MC 60 10 3 194 .4m
1
ql 2 / 8 67.5kN m
FS
90kN
解：1. 求支反力

FAy 90 kN FBy 90 kN

ql 2 / 8 67.5kN m
M C 90 1 60 1 0.5 60 kN m
M

bh3 0.12 0.183 x IZ 5.832 10 5 m 4 12 12 90kN 180 60 10 3 ( 30) 10 3 M y 2 K C K IZ 5.832 10 5
正应力分布
M
My IZ
• 正应力大小与其到中性轴距离 成正比； • 与中性轴距离相等的点， 正应 力相等； • 中性轴上,正应力等于零
max
M
Mymax IZ
M WZ
目录
WZ
IZ ymax
max
min
M WZ
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
ql 2 / 8 67.5kN m

x
67 .5 10 3

104 .17 10 6 Pa 104 .17 MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C
4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩
A
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
'
1dA
y
m’ m
FN 2 FN1 dFS 0
化简后得
n
dM S * z dx I z b dM FS dx
FS S z Izb
*
FS S z I zb
*
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
y
A
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z
解：
（1）求截面形心
yc 80 20 10 120 20 80 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
y
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4 10 3 52 10 3 t ,max 7.64 10 6 27.2 10 6 Pa 27.2MPa t
3 36c工字钢 Wz 962 cm
（5）讨论
q 67.6kg/m
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
I z 7.64 106 m4 试校核梁的强度。
例题5-4
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 t 30 MPa, c 60 MPa,
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 t ,max t , c ,max c

M x 90kN
Cmax
M C ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
ql 2 / 8 67.5kN m

x
60 10 3

92 .55 10 6 Pa 92 .55 MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n

a
b
m´ n´
a´
b´ m´ 平面假设：
m x n
a´ b´
n´
横截面变形后保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。
§5-2 纯弯曲时的正应力
ymax
Iz
max
Wz

（2）弯矩 M 最大的截面 （3）抗弯截面系数 Wz 最
小的截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（1）计算简图 解： （2）绘弯矩图 （3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
max
Fa
C截面：
max
MC WzC
Fb
Fa 62 .5 267 32 3 WzB d1 0.16 3 32 41 .5 10 6 Pa 41 .5MPa MB
x
（压应力） 61.7 10 6 Pa 61.7MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 2.C 截面最大正应力
120
x l = 3m
FBY
K
y
30 z
C 截面弯矩
M C 60 kN m
C 截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I Z 5.832 10 5 m 4

x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-2
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
d1 160mm d2 130mm, a 0.267m,b 0.16m, F 62.5kN, 材料的许用应力 60MPa .
分析（1）
max
max
M
M
max
t ,max t
c ,max c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B
例题5-1
120
30
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 3.全梁上最大正应力 z
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
Fb 62.5 160 32 46.4 10 6 Pa 46.4MPa 3 d 2 0.133 32
目录
（5）结论 轴满足强度要求
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-3
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 6.7kN,起重量 F2 50 kN , 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力 140MPa, 试选择工字钢的型号。 分析 （1）确定危险截面 （2） max M max Wz （3）计算 M max （4）计算 Wz ，选择工 字钢型号
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M
FS
目录
? ?
§5-1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
c,max 46.1MPa c
4kN.m
（5）C截面要不要校核？
2.5 10 3 88 10 3 t ,max 7.64 10 6 28.8 10 6 Pa 28.8MPa t
梁满足强度要求
目录
§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解： （1）计算简图 （2）绘弯矩图
（3）根据 max
Wz M max
M max 计算 Wz

(6.7 50 ) 10 3 9.5 4 140 10 6
962 10 6 m 3 962 cm3
（4）选择工字钢型号