新课标-最新北师大版九年级数学上学期：巧用根的判别式解图像的公共点问题专题训练及答案

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2一. 教材分析《一元二次方程的根的判别式》是北师大版数学九年级上册的教学内容。

本节内容是在学生已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根的判别式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过引入判别式，让学生了解一元二次方程根的情况，从而更好地掌握解一元二次方程的方法。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基本方法，对一元二次方程有一定的认识。

但学生对判别式的概念、意义和应用可能还不够清晰，因此，在教学过程中需要教师引导学生深入理解判别式的内涵，并通过实际问题让学生体会判别式在解一元二次方程中的作用。

三. 教学目标1.让学生理解判别式的概念，掌握判别式的计算方法。

2.培养学生运用判别式判断一元二次方程根的情况的能力。

3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.判别式的概念和计算方法。

2.运用判别式判断一元二次方程根的情况。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考；通过案例分析，让学生深入了解判别式；通过小组讨论，促进学生互动交流，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。

2.准备教学PPT，包括判别式的定义、计算方法和应用实例。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题：“如何判断一个一元二次方程有几个实数根或无实数根？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍判别式的定义和计算方法，呈现相关的案例和实际问题，让学生在实际问题中体会判别式的作用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用判别式判断一元二次方程的根的情况。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立运用判别式判断一元二次方程的根的情况。

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程的根的判别式》是北师大版数学九年级上册的一节课。

本节课的主要内容是引导学生探究一元二次方程的根与判别式之间的关系，让学生通过自主学习、合作交流的方式，理解并掌握判别式的意义和应用。

教材中，首先是通过引入一元二次方程的解的概念，让学生回顾和复习相关知识。

然后，通过探究判别式的定义和性质，引导学生发现判别式与方程的根之间的关系。

最后，通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本知识，对解方程的方法和步骤有一定的了解。

但是，对于判别式的概念和意义，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过引导和启发，帮助学生理解和掌握判别式的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解判别式的定义，掌握判别式与方程的根之间的关系。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和合作精神。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：判别式的定义和性质，判别式与方程的根之间的关系。

2.教学难点：判别式的应用，如何利用判别式判断方程的根的情况。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流的教学方法，让学生在探究中学习，提高学生的学习兴趣和参与度。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示判别式的定义和性质，引导学生直观地理解判别式与方程的根之间的关系。

六. 说教学过程1.引入：通过回顾一元二次方程的解的概念，引导学生复习相关知识。

2.探究：让学生自主学习判别式的定义和性质，通过合作交流，引导学生发现判别式与方程的根之间的关系。

3.讲解：通过讲解判别式的意义和应用，帮助学生理解和掌握判别式的知识。

4.练习：通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教学设计1一. 教材分析北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》是本学期的重点内容，主要让学生掌握一元二次方程根的判别式的概念，以及如何应用判别式来判断方程的根的情况。

本节课的内容是学生学习一元二次方程的根与系数之间的关系的基础，也是解决一元二次方程实际问题的前提。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。

但是，对于判别式的概念和应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握判别式的概念和应用。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握其计算方法。

2.让学生能够应用判别式来判断一元二次方程的根的情况。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的概念和计算方法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出判别式的概念，以及如何应用判别式来解决问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生从实际问题中抽象出判别式的概念。

2.案例教学法：通过分析具体的案例，让学生掌握判别式的计算方法和应用。

3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。

2.准备PPT，用于呈现和讲解判别式的概念和计算方法。

3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT呈现一个实际问题：某商品打8折后的售价为120元，原价是多少？让学生尝试用一元二次方程来解决这个问题，从而引出一元二次方程的根的判别式。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现判别式的概念和计算方法，结合具体的例子进行讲解。

让学生明确判别式的意义和作用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试用判别式来解决问题。

课题：2.3 用公式法求解一元二次方程（1）根的判别式一、引入（复习引入）同学们，通过前几节课的学习，我们认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；上两节课，我们学习了用直接开平方法、配方法解一元二次方程，但有些方程不能用直接开平方法，而有些用配方法则出现分母，计算较麻烦，有没有一种适合解所有一元二次方程的通用解法，且计算较简便的方法，等待这节课我们共同探究。

.二、认定目标（学习目标）1.能够正确推导出一元二次方程的求根公式；2.能够用公式法解一元二次方程；3.能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况。

学习重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程；能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况。

教学难点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程；能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况。

三、引导自主学习1. 用配方法解一元二次方程的步骤:①化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；②移项:把常数项移到方程的右边；③配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方； ④变形:方程左分解因式，右边合并同类；⑤开方:根据平方根意义，方程两边开平方;⑥求解:解一元一次方程；⑦定解:写出原方程的解。

2. 用配方法解下列方程：（1） x 2–6x+9 = 0 （2） x 2+3x －1=0（3） 2x 2+3=7x （4） 3x 2+2x+1=0四、精讲点拨（一）、自主推导求根公式。

ax 2+bx+c=0 (a ≠0)解：方程两边都除以a ，得 x 2+b a x+c a =0 移项，得： x 2+b a x=－c a 配方，得： x 2+b a x+(b 2a )2=－c a +(b 2a )2 形式：（x+b 2a ）2=b 2－4ac 4a 2∵a ≠0，所以4a 2>0当b 2－4ac ≥0时，得x+b 2a =±b 2－4ac 4a 2 =±b 2－4ac 2a∴x=－b ±b 2－4ac 2a一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，它的根是 x=－b ±b 2－4ac 2a学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：（1）04)2(2222=+-++a c a b a b x a b x 中a c a b +-224运算符号出现错误和通分出现错误（2）不能主动意识到只有当b 2-4ac ≥0时，两边才能开平方（3）两边开平方，忽略取“±”。

专题2.3根的判别式【十大题型】【北师大版】【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】【题型2判断含参数的一元二次方程的根的情况】【题型3由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】【题型4证明一元二次方程的根的情况】【题型5由根的判别式求代数式的取值范围】【题型6根的判别式与三角形的综合运用】【题型7根的判别式与四边形的综合运用】【题型8根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【题型9一元二次方程中的新定义问题】【题型10 一元二次方程中的多结论问题】知识点1：一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b acn．=-①当240n时，原方程有两个不等的实数根；=->b ac②当240=-=n时，原方程有两个相等的实数根；b ac③当240n时，原方程没有实数根．b ac=-<【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）1．关于一元二次方程2320+-=根的情况，下列说法正确的是（）x xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）2．方程240x-=的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）3．设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的三组条件中选择其中一组b ，c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①2b =，1c =；②5b =，6c =；③4b =，2c =-．【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．220x x -=B ．2440x x +-=C ．()2230x --=D ．2320x +=【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）5．关于x 的方程2(2)0x k x k +--=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）6．已知一元二次方程20x bx c ++=．(1)当2b =时，若方程的一个根为3-，求c 的值以及方程的另一个根；(2)当2114c b +=时，请判别方程根的情况．【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）7．一元二次方程2470x x +-=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一个实根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）8．对于一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，下列说法不正确的是（ ）A ．若=1x -是方程的解，则0a b c -+=B ．若0c =，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根C ．若0ac <，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根D ．若0a c +=，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（23-24·四川广安·中考真题）9．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ¹-B ．0m ³C ．0m £且1m ¹-D ．0m <【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）10．若方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）11．关于x 的一元二次方程2240x x m ++=的根的判别式的值为24，则m = ．【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）12．关于x 的方程()21104k x x --+=有两个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ）A ．2k ³B ．2k £且1k ¹C ．2k >D ．2k <且1k ¹【题型4 证明一元二次方程的根的情况】【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）13．已知：关于x 的一元二次方程()()2120x x m ---=．求证：无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）14．关于x 的一元二次方程210x mx m ++-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一个根小于2-，求m 的取值范围．【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）15．已知关于x 的一元二次方程223210x mx m m -++-=．(1)当2m =时，解这个方程；(2)试判断方程根的情况，并说明理由．【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）16．已知关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0m >，且该方程的两个实数根的积为12，求m 的值．【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（23-24九年级·安徽·期末）17．若实数a ，b 满足22240a ab ab -++=，则a 的取值范围是 ．【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）18．已知实数,m n 满足223m mn n -+=，设22P m mn n =+-，则P 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）19．已知关于x 的一元二次方程2230x x m -+=有实数根，设此方程的一个实数根为t ，令2241y t t m =-++，则y 的取值范围为．【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）20．设实数,,x y z 满足22227x y z xy yz zx ++---=，则y z -的最大值为 .【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）21．已知关于x 的一元二次方程()2232220x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，这个方程总有实数根；(2)若ABC V 的两边,AB AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为3，当ABC V 是等腰三角形时，求m 的值．【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）22．关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，若a ，b ，c 是ABC V 的三边长，则这个三角形一定是（ ）．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）23．已知关于x 的方程，()2220x k x k -++=．(1)求证：无论k 为任意实数值方程，总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边1a =，另两边b 、c 恰是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长．【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +2k ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）记该方程的两个实数根为x 1和x 2若以x 1，x 2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k 的值．【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）25．已知关于x 的一元二次方程()2350x k x k --+-=．(1)求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当11k =时，该方程的两个根分别是菱形ABCD 的两条对角线的长，求菱形ABCD 的面积．【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）26．已知ABCD Y 的两对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．(1)若AC 的长为1，求m 的值；(2)当m 为何值时，ABCD Y 是矩形．【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）27．已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程202mx mx -+=的两个实数根．（1）求m 的值；（2）求正方形的面积．【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）28．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 ．【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）29．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，并且使得关于y 的分式 方程32133ay yy y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）30．一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）31．已知不等式组01312x a x ->ìïí-<ïî有且仅有4个整数解，则关于x 的方程()2210ax a x a +-+=的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）32．已知关于x y 、的方程组2223,234x y m n xy n m n -=-ìí=-++î对每一个实数n 都有实数解，那么正整数m 的值为．【题型9 一元二次方程中的新定义问题】【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）33．新定义：《a ，b ，c 》为一元二次方程20ax bx c ++=(其中0,,,a a b c ¹为实数)的“共同体数”，如：2210x x +-=的“共同体数”为《1，2，1-》，以下“共同体数”中能让一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根的是( )A ．《3，2，1》B ．《3，4，5》C ．《1n +，2n ，1n -》D ．1,,+《》m m m m【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）34．对于实数a ，b 定义新运算：2a b b ab =-△，若关于x 的方程6x k =△有两个相等实数根，则k 的值为.【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）35．定义一种新运算“a b V ”，对于任意实数a ，b ，231a b ba a =+-△，如23443331=´+´-△，若0x k =△（k 为实数）是关于x 的一元二次方程，并且该方程有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．94k £-B ．94k £-且0k ¹C ．94k ³-D ．94k ³-且0k ¹【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）36．阅读下列材料：我们发现，关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，如果24b acD =-的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，D 的值一定是一个完全平方数．定义：两根都为整数的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹称为“全整根方程”，代数式244ac b a-的值为该“全整根方程”的“最值码”，用(),,Q a b c 表示，即()24,,4ac b Q a b c a -=；若另一关于x 的一元二次方程()200px qx r p ++=¹也为“全整根方程”，其“最值码”记为(),,Q p q r ，当满足()(),,,,Q a b c Q p q r c -=时，则称一元二次方程()200ax bx c a ++=¹是一元二次方程()200px qx r p ++=¹的“全整根伴侣方程”．(1)“全整根方程”2320x x -+=的“最值码”是______；(2)关于x 的一元二次方程()2221230x m x m m --+--=（m 为整数、且415m <<）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；(3)若关于x 的一元二次方程()2120x m x m +-+-=是()210x n x n +--=（m ，n 均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m n -的值．【题型10 一元二次方程中的多结论问题】【例10】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）37．已知()1a a >是关于x 的方程20x bx b a -+-=的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当1a t =＋时，一定有1b t =-；③b 是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）38．关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 0a ¹（） ，下列说法：①若420a b c -+=，则关于x 的方程20ax bx c ++=必有一个根为2x =；②当22c b +£（a ） （时，则关于x 的方程20ax bx c ++=必有实数根；③若260b ac ->，则方程一定有两个不相等的实数根；④若200ax bx c a ++=¹（）和200cx bx a c +=+¹（）有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中正确的是（填序号）【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）39．已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，下列说法正确的有（ ）①若0ac ＞，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；②若0a b c ++=，则240b ac -³；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4 个【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）40．对于一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c ，有下列说法：①若方程20ax c +=有两个不相等的实数根，则方程20(a 0)++=¹ax bx c 必有两个不相等的实数根；②若方程20(a 0)++=¹ax bx c 有两个实数根，则方程20cx bx a ++=一定有两个实数根；③若c 是方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的根，则2204(2)b ac ax b -=-其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1．A【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）0D >，方程有两个不相等的实数根；（2）0D =，方程有两个相等的实数根；（3）0D <，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：由△2(3)41(2)170D =--´´-=>，\一元二次方程2320x x --=有两个不相等的实数根．故选：A 2．C【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵()240414160b ac D =-=-´´-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C3．选②，方程的解为12x =-，23x =-；选③，方程的解为12x =，22x =-【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握当方程有两个不相等的实数根时，判别式0D >．先根据判别式得出可选择的组，然后解方程即可．【详解】解：Q 使这个方程有两个不相等的实数根，240b ac \->，即24b ac>\②③均可，当选②解方程时：2560x x ++=，()()230x x ++=，20x +=或30x +=，12x \=-，23x =-；当选③解方程时：2420x x +-=，24424x x ++=+，()226x +=，2x +=，12x \=，22x =．4．D【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式D 与实数根的情况之间的关系如下：0D >，一元二次方程有两个不相等的实数根；=0D ，一元二次方程有两个相等的实数根；0D <，一元二次方程无实数根．【详解】解：A 选项()2Δ241040=--´´=>，则A 选项有两个不等实数根，不符合题意；B 选项1616320D =+=>，则B 选项有两个不等实数根，不符合题意；C 选项方程的一般式为：2410x x -+=，则164120D =-=>，则C 选项有两个不等实数根，不符合题意；D 选项方程=0432240D -´´=-<，则D 选项没有实数根，符合题意．故选：D ．5．A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况．【详解】解：关于x 的方程2(2)0x k x k +--=，∵1a =，2b k =-，=-c k ，∴2224(2)41()40b ac k k k -=--´´-=+>，所以关于x 的一元二次方程2(2)0x k x k +--=有两个不相等的实数根，故选：A ．6．(1)3c =-，方程另外一个根为1x =(2)原方程有两个不相等的实数根【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将2b =和方程的一个根为3-代入方程求出c 值，再解方程即可；（2）根据2114c b +=判断出D 的取值范围，进而进行判断即可；熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．【详解】（1）2b =Q 时，若方程的一个根为3-，()()23230c \-+´-+=解得：3c =-，\得到方程为2230x x +-=，解得13x =-或21x =，3c \=-，方程另外一个根为1x =；（2）2114c b +=Q ，∴2114c b =-222221Δ4414404b c b b b b æö\=-=--=-+=>ç÷èø，\原方程有两个不相等的实数根．7．D【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵2470x x +-=，∴1,4,7a b c ===-，()24164171628440b ac D =-=-´´-=+=>，故选：D ．8．B【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式D 的关系：Δ0Û＞方程有两个不相等的实数根；Δ0=Û方程有两个相等的实数根，Δ0Û＜方程没有实数根．根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、将x =―1代入方程20(a 0)++=¹ax bx c 可得：0a b c -+=，∴本选项说法正确，不符合题意；B 、若0c =，则方程为20ax bx +=，∴2240b ac b D =-=³，∴程20ax bx c ++=必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；C 、∵0ac ＜，∴240b ac D =-＞，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；D 、∵方程20ax bx c ++=中，0a c +=，∵222440b ac b a D ==+->，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；故选：B ．9．A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，若240b ac D =->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac D =-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac D =-，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=两个不相等的实数根，可得0D >且10m +¹，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，∴()()22410m D =--+>，解得：0m <，10m +¹Q ，1m \¹-，m \的取值范围是：0m <且1m ¹-．故选：A ．10．C【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即240b ac D =-=，代入数值计算求解即可．【详解】解：∵该方程有两个相等实根，∴()2440c D =--=，解得4c =；故答案为：C ．11．1-【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根的判别式为24b ac D =-是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2240x x m ++=的根的判别式的值为24，∴22444224b ac m D =-=-´=，解得：1m =-．故答案为：1-．12．D【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当0D >时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式0D >，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程()21104k x x --+=有两个不相等的实根，∴()()210114104k k -¹ìïí=--´->ïîV ，解得：2k <且1k ¹．故选：D ．13．见解析【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当0D =时，方程有两个相等的实数根；当0D <时，方程无实数根．根据根的判别式得出()()22234241m m D =---=+，然后说明0D >即可．【详解】证明：由()()2120x x m ---=得22320x x m -+-=，则()()22234241m m D =---=+，∵无论m 取何值，都有20m ³，∴24110m +³>，即0D >，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．14．(1)见解析(2)3m >【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟练掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解题的关键．（1）根据()()222414420m m m m m D =--=-+=-³，证明即可；（2）由210x mx m ++-=，可得()()110x m x +-+=，解得，1x m =-或1x =-，由方程的一个根小于2-，可得12m -<-，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵210x mx m ++-=，∴()()222414420m m m m m D =--=-+=-³，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x mx m ++-=，∴()()110x m x +-+=，解得，1x m =-或1x =-，∵方程的一个根小于2-，∴12m -<-，解得，3m >．15．(1)123x x ==(2)有两个实数根，理由见解析【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的根的判别式为24b ac D =-，且当0D >时，该方程有两个不相等的实数根；当0D =时，该方程有两个相等的实数根；当0D <时，该方程没有实数根是解题关键．（1）当2m =时，原方程为2690x x -+=，即()230x -=，再直接解方程即可；（2）根据方程可求出()()()2223412120m m m m D =--´´+-=-³，即可得出原方程有两个实数根．【详解】（1）解：当2m =时，原方程为223222210x x -´+´+-=，即为2690x x -+=，∴()230x -=，∴123x x ==；（2）解：由题意可知1a =，3b m =-，221c m m =+-，∴()()()222243412120b ac m m m m D =-=--´´+-=-³，∴原方程有两个实数根．16．(1)见解析(2)2m =【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键．（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）利用因式分解法可得12,3x m x m ==，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得2312m =，计算即可求出m 的值．【详解】（1）证明：21,4,3a b m c m ==-=Q ，22224(4)4134b ac m m m \D =-=--´´=，Q 无论m 取何值时，240m ³，即0D ³，\原方程总有两个实数根；（2）解：22430x mx m -+=Q ，即：()()30x m x m --=，12,3x m x m \==，Q 该方程的两个实数根的积为122312m \=，2m \=±，0m >Q ，2m \=．17．80a -£<【分析】由实数a ，b 满足22240a ab ab -++=得到关于b 的一元二次方程22240ab ab a -++=，由根的判别式24320a a D =--³且20a ¹，得到不等式组，解不等式组即可得到a 的取值范围．【详解】解：∵实数a ，b 满足22240a ab ab -++=，∴关于b 的一元二次方程22240ab ab a -++=中，()()2224244320a a a a a D =--´+=--³且20a ¹，即()80a a +£且0a ¹，∴080a a >ìí+£î或080a a <ìí+³î，解得80a -£<，即a 的取值范围是80a -£<．故答案为：80a -£<【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式24320a a D =--³且20a ¹得到不等式组是解题的关键．18．C【分析】由原式得，223P m =-．将223m mn n -+=看成关于n 的一元二次方程，根据方程有实数解，所以()22Δ430m m =--³，可得24m £，进而得出结论．【详解】解：将两个等式相加得：232P m +=，则223P m =-．要求P 的最大值，只需求出2m 的最大值．将223m mn n -+=看成关于n 的一元二次方程，整理得：2230n mn m -+-=．根据方程有实数解，所以()22Δ430m m =--³．可得24m £，即2m 的最大值为4．所以当24m =时，P 的最大值为5．故选：C【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．19．4y £【分析】由一元二次方程根的判别式先求解3m £，根据一元二次方程的解的定义得出223t t m -=代入代数式，进而即可求解．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2230x x m -+=有实数根，244120b ac m \=-=-³V ，解得：3m £，设此方程的一个实数根为t ，223t t m\-=-\2241y t t m =-++341m m =-++1m =+3m £Q14m \+£ 即4y £故答案为：4y £．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．20．6【分析】先将已知等式配成一个完全平方的形式，再令x y a y z b -=ìí-=î，将完全平方式转化为一个只含a 和b 的等式，然后将问题转化为已知一元二次方程的根的情况，求未知参数问题，最后利用根的判别式求解即可.【详解】22227x y z xy yz zx ++---=两边同乘以2得：2222()54x y z xy yz zx ++---=整理得：222()()()54x y y z x z -+-+-=①令x y ay z b -=ìí-=î，则x z a b-=+代入①得：222()54a b a b +++=化简得：22270a bab ++-=由题意可知，关于a 的一元二次方程22270a ba b ++-=有实数根则方程的根的判别式224(27)0b b D =--³解得：6b £，即6y z -£所以y z -的最大值为6故答案为：6.【点睛】本题是一道难题，考查了求代数式的极值的知识，在已知条件转换变形后，将其看成一个一元二次方程的实数根的情况来分析是解题关键.21．(1)见解析(2)m 的值为12【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）利用因式分解法求出方程的两根，1x m =，222x m =+，再根据等腰三角形的定义，即可求解．【详解】（1）解：()()22324122m m m D =-+-´´+éùëû22912488m m m m =++--244m m =++()220m =+³，∴无论m 取何值时，这个方程总有实数根．（2）解：()2232220x m x m m -+++=()()220x m x m ---=∴1x m =，222x m =+，当3m =时，三边为3，3，8（舍），当223m +=时， 12m =，三边为12，3，3，∴m 的值为12．22．B【分析】由关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，可得()()222240c a b =--+=V ，整理得222c a b =+，根据勾股定理逆定理判断ABC V 的形状即可．【详解】解：∵关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，∴()()222240c a b =--+=V ，整理得222c a b =+，∴ABC V 是直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．23．(1)证明见解析(2)5【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件：（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）分当等腰三角形的腰长为1时，则1x =是方程()2220x k x k -++=的一个根，当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，两种情况求出k 的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即可．【详解】（1）证明：由题意得，()228k k D =-+-éùëû 2448k k k =++-244k k =-+()220k =-³，∴无论k 为任意实数值方程，总有实数根；（2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则1x =是方程()2220x k x k -++=的一个根，∴()1220k k -++=，∴1k =，∴原方程为2320x x -+=，解得1x =或2x =，∴底边长为2，∵112+=，∴此时不能构成三角形，不符合题意；当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，∴()220k D =-=，∴2k =，∴原方程为2440x x -+=，解得122x x ==，∵122+>，∴此时能构成三角形，∴ABC V 的周长为2215++=．24．（1）见详解；（2）k 【分析】（1）先把方程变为一元二次方程一般式，然后确定()1212a b k c k ==-+=，，，再计算()22=4210b ac k D -=-³即可；（2）将方程因式分解得()()210x k x --=，得出方程的解1221x k x ==，，然后分两种情况2k ＜3与2k ＞3，分别根据勾股定理建构方程求解即可．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +2k ＝0．∴()1212a b k c k ==-+=，，，∴()()2222=4=-21412441210b ac k k k k k D -+-´´=-+=-³éùëû，∴方程总有两个实数根；（2）将方程因式分解得()()210x k x --=，解得1221x k x ==，，∵以2k ，1，3为三边长的三角形是直角三角形，∴当2k ＜3时，则()2221+23k =，解得k k ==舍去)；当2k ＞3时，则()2221+32k =，解得k k ==舍去)；以1，2k ，3为三边长的三角形是直角三角形，k 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理是解题关键．25．(1)详见解析(2)3ABCD S =菱形【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明；（2）求出一元二次方程的两个根，根据菱形的面积公式进行解答即可；此题考查菱形的性质、一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）证明：()()()222Δ3415102954k k k k k éù=---´´-=-+=-+ëû，0\D >，\无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）当11k =时，原方程为2860x x -+=，1,8,6a b c ==-=，()2Δ841640=--´´=，∴4==x∴1244x x =+=-14432ABCD S \=´+´-=菱形((26．(1)32m =(2)1【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定．（1）将1x =代入方程，求出m 的值即可；（2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到0D =，进行求解即可．【详解】（1）解：∵ABCD Y 的两对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根，∴当AC 的长为1时，211024m m -+-=，解得：32m =；（2）∵ABCD Y 的两对角线AC ，BD ，∴当AC BD =时，ABCD Y 是矩形，\方程21024m x mx -+-=有两个相等的实数根，214024m m æö\D =--=ç÷èø，解得121m m ==，即m 的值为1．27．（1）2；（2）12．【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC BD =，再利用一元二次方程根的判别式即可得；（2）先解一元二次方程可得1AC BD ==，再利用正方形的面积公式即可得．【详解】解：（1）在正方形ABCD 中，AC BD =，由题意得：关于x 的方程202m x mx -+=的根的判别式等于0，即220m m -=，解得122,0m m ==，0AC BD =>Q ，20m \=舍去，故m 的值为2；（2）由（1）得：方程为2210x x -+=，解得121x x ==，1AC BD \==，则正方形的面积为11111222AC BD ×=´´=．【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．28．22+10a b ab³【分析】因为矩形的长和宽分别为a 、b ，所以其周长和面积分别为2(a +b )和ab ，设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．【详解】解：设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，即()211-++=033x a b x ab ，∵存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一∴方程有解，∴△=21()1433ab a b éù-ú´+êëû=221214++-9993a ab b ab =221101-+999a ab b ≥0∴22-10+0a ab b ³∴22+10a b ab³故答案为：22+10a b ab ³．【点睛】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．29．B【分析】对于关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a 为：-1，0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a 的个数．【详解】解：∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，∴a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，∴31122a -££且a≠2，∴整数a 为：-1，0，1，3，4，5；去分母得3-ay+3-y=-2y ，解得y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3，当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，∴符合条件的所有a 的个数是3．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．30．D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．C【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到34a £<，再结合一元二次方程的判别式，由不等式的性质确定0D <即可得到答案，熟练掌握含参数的一元一次不等式组的解法及判别式与一元二次方程根的情况是解决问题的关键．【详解】解：01312x a x ->ìïí-<ïî①②由①得x a >；由②得8x <；Q 不等式组01312x a x ->ìïí-<ïî有且仅有4个整数解，\34a £<；Q 关于x 的方程()2210ax a x a +-+=中，()2221441a a a D =--=-+，1511\-<D £-，即0D <，。

2020-2021学年专训2 巧用根的判别式解图象的公共点问题名师点金：解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况 ，用判别式来辅助计算．判别式大于0，则有两个公共点；判别式等于0，则有一个公共点；判别式小于0，则没有公共点．无公共点(Δ＜0)1．反比例函数y ＝a ＋4x 的图象如图所示，A ，P 为该图象上的点，(第1题)且关于原点成中心对称．在△PAB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B.若△PAB的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋14＝0的根的情况是________________． 2．若反比例函数y ＝k x与一次函数y ＝x ＋2的图象没有公共点，则k 的取值范围是________．有唯一公共点(Δ＝0)3．若反比例函数y ＝k x的图象经过点P(a ，b)，且a ，b 为一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两根，那么点P 的坐标是________，到原点的距离为________．4．如图，将直线y ＝x 沿x 轴负方向平移4个单位长度后，恰好与双曲线y ＝m x(x ＜0)有唯一公共点A ，并交双曲线y ＝n x(x ＞0)于B 点，若y 轴平分△AOB 的面积，求n 的值． (第4题)有两个公共点(Δ＞0)5．【2020·龙岩】若⎩⎪⎨⎪⎧－3a ≥4－a a ＋1<0，则在同一直角坐标系中，直线y ＝14x －a 与双曲线y ＝2a ＋1x 的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3有公共点(Δ≥0)6．【2020·玉林】若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝n x在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤07．【2020·绍兴】在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，(第7题)A 点的坐标为(a ，a)．如图，若双曲线y ＝3x(x ＞0)与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是____________．8．如图，过点C(1，2)分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于点A ，B ，若反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象与△ABC 有公共点，求k 的取值范围．。