高三新数学第一轮复习教案(讲座21)几何概型

2013年高考数学一轮复习精品教学案11.3 几何概型（新课标人教版，教师版）1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．【例题精析】考点一 与长度、角度有关的几何概型例1.（2009年高考山东卷理科11） 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为（ ） A. 31 B.π2 C.21 D. 32 【答案】A【解析】当10cos 22xπ<<时，在区间[]1,1-上，只有223x πππ-<<-或322x πππ<<，即22(1,)(,1)33x ∈--，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13.【名师点睛】本小题主要考查与三角函数结合的有关长度的几何概型的计算，熟练基本概念是解决本类问题的关键.【变式训练】1.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．考点二 与面积、体积有关的几何概型例2. (2012年华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【变式训练】2.(2012年高考北京卷文科3)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【易错专区】问题：综合应用例.(2012年高考陕西卷理科10)右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）（A ） 1000N P =（B ） 41000N P = （C ） 1000M P = （D ） 41000M P =1.（2009年高考山东卷文科第11题）在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为（ ） A.31 B.π2 C.21 D. 32 【答案】A 【解析】当10cos 2x <<时，在区间[,]22ππ-上，只有23x ππ-<<-或32x ππ<<，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13. 2. (湖南省十二校2011届高三第二次联考) 在区间[-3，5]上随机取一个数x ，则[1，3]的概率为（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】本题考查几何概型,所求的概率为2184=,故选C. 3．（2010年高考湖南卷文科11）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。

第3讲几何概型【2015年高考会这样考】以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．【复习指导】本讲复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事件概率的关键，复习时要多反思和多领悟，掌握方法要领．同时要加强与平面区域、空间几何体、平面向量、函数结合等方面的训练．基础梳理1．几何概型事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )．A.12B.13C.14 D ．1解析 点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为13. 答案 B2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．A.15B.25C.35D.45解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.答案 B3．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．解析 P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝13，∴P (A)＞P (C)＝P (D)＞P (B)．答案 A4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( )．A.π3B.334πC.34 D ．以上全错解析 设正三角形边长为a ，则外接圆半径r ＝32a ×23＝33a ，∴所求概率P ＝34a 2π⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝334π. 答案 B5．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.答案 13考向一 与长度有关的几何概型【例1】►点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．[审题视点] 用劣弧AB 的长度与圆周长的比值．解析如右图，设A 、M 、N 为圆周的三等分点，当B 点取在优弧MAN 上时，对劣弧AB来说，其长度小于1，故其概率为23.答案 23将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【训练1】 一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析 如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为P ＝612＝12.答案 12考向二 与面积有关的几何概型【例2】►(2012·华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[审题视点] (1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立ab 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，利用公式可求．【训练2】 (2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )．A.14B.13C.12D.23解析 S △ABE ＝12|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |.故所求概率P ＝S △ABES 矩形ABCD ＝12. 答案 C考向三 与角度、体积有关的几何概型【例3】►在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM |＞|AC |的概率．[审题视点] 如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB 内作射线CM 看做是等可能的，基本事件是射线CM 落在∠ACB 内任一处，使|AM |＞|AC |的概率只与∠BCC ′的大小有关，这符合几何概型的条件．解 设事件D 为“作射线CM ，使|AM |＞|AC |”．在AB 上取点C ′使|AC ′|＝|AC |，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，μA ＝90－75＝15，μΩ＝90，所以P (D )＝1590＝16.几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM 落在∠ACB 内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M 在AB 上的落点不是等可能的．【训练3】 (2011·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 解析 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 答案 1－π12规范解答21——如何解决概率与函数的综合问题【问题研究】 所谓概率，就是某种事件发生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常见的例子，也可以是有关的数学问题，如以函数的基本性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)为背景，设置概型，提出问题，考查考生综合分析问题、解决问题的能力.【解决方案】 首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决.【示例】► (本题满分12分)(2011·潍坊模拟)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎨⎧ x ＋y －8≤0，x ＞0，y ＞0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．本题以“二次函数的单调性”为背景，首先写出事件发生所满足的条件，在第(1)问中，给出了有限个数据，从而判断是古典概型问题，利用列举法写出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个数，再利用公式求之；第(2)问中，a 和b 有无限个数据，所以是几何概型问题，首先计算事件发生的总数与满足条件的事件发生的个数的测度，再利用公式求之．[解答示范] (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且2b a≤1，即2b ≤a .(2分)若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1或1；若a ＝3，则b ＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分)∴所求事件的概率为515＝13.(6分)(2)由(1)，知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ a ＋b －8≤0，a ＞0，b ＞0，构成所求事件的区域为三角形部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，(10分) ∴所求事件的概率为P ＝12 ×8×8312×8×8＝13.(12分)本题中先将f (x )在[1，＋∞)上为增函数转化为满足条件2b ≤a 且a ＞0，然后再联系已知条件，将问题转化为几何概型，实现了知识的逐步迁移，这种转化迁移的思想值得考生注意，另外，对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，在某一区间[m ，＋∞)上单调递增的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，－b 2a ≤m ，切勿漏掉a ＞0.【试一试】 已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．[尝试解答] (1)基本事件(a ，b )共有36个，方程有正根等价于a －2＞0,16－b 2＞0，Δ≥0，即a ＞2，－4＜b ＜4，(a －2)2＋b 2≥16.设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16，设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2＜16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4。

第六节几何概型知识点一几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．1．判断正误(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．(√)(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．(×)解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确．(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等． (3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状无关．(4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个． 知识点二 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．(2019·安徽质量检测)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( D )A.23B.58C.13D.38解析：该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P ＝1540＝38，故选D.3．(2019·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( D )A.3π10B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20解析：如图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20.选D.4．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 与点O 的距离大于1的概率为1－π12.解析：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与点O 的距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 的距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3.根据几何概型概率公式，得点P 与点O 的距离大于1的概率P ＝23－2π323＝1－π12.1．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．考向一 与长度、角度有关的几何概型【例1】 (1)(2018·贵阳市监测考试)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为( )A.15B.710C.12D.310(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以点A 为圆心，1为半径作弧，交线段AB 于点E ，在DE 上任取一点P ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【解析】 (1)由几何概型的概率计算公式可知所求概率P ＝10－710＝310，故选D.(2)如图，连接AC ，交圆弧DE 于点P ，则tan ∠CAB ＝13＝33，∴∠CAB ＝30°，∵射线AP 与线段BC 有公共点的条件是射线AP 在∠CAB 内，∴所求概率为30°90°＝13.【答案】 (1)D (2)13(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解.解题的关键是构建事件的区域(长度).(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.(1)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是59.(2)如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为13.解析：(1)由6＋x －x 2≥0解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，故所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59. (2)当AA ′的长度等于半径的长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得所求概率P ＝2π32π＝13. 考向二 与面积有关的几何概型方向1 与平面几何有关的几何概型【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3【解析】 解法1：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×(c 2)2＋12π×(b 2)2－[π×(a 2)22－12bc ]＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A.解法2：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－[π×(2)22－2]＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.【答案】 A方向2 与线性规划有关的几何概型【例3】 两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是( )A.1136B.14C.12D.34【解析】因涉及两人见面时间，故考虑到是几何概型，建立坐标系列出满足条件的式子，计算出最终的概率．因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成，以5：30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系．设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤30,0≤y ≤30}，画成图为一正方形，见面的充要条件为|x －y |≤15，即事件A 可以见面所对应的区域是图中的阴影部分，故由几何概型概率公式知所求概率为面积之比，即P (A )＝302－152302＝34.故选D.【答案】 D方向3 与随机模拟有关的几何概型【例4】 从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m nD.2m n【解析】 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤1，0≤y n≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn .故选C.【答案】 C求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．1．(方向1)(2019·湖南郴州质量检测)如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( C )A.π8B.π16 C ．1－π8D ．1－π16解析：如题图，设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意可知，8r ＝8，即r ＝1.∴图中黑色区域的面积为：S 1＝8×8－π×42＋4×π×12＋π×22＝64－8π，又正方形的面积S ＝64.∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率P ＝S 1S ＝64－8π64＝1－π8.故选C.2．(方向2)设点(a ，b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －4≤0，a >0，b >0表示的平面区域内，则函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数的概率为( A )A.13 B.23 C.12D.14解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．若函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则⎩⎨⎧a >0，－－2b 2a ＝b a ≤12，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －2b ≥0，可得满足条件的平面区域为△OBC .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －4＝0，a －2b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83，b ＝43，即C 83，43，则S △OBC ＝12×4×43＝83，又S △OAB＝12×4×4＝8，故所求概率P ＝S △OBC S △OAB ＝838＝13，故选A.3．(方向3)(2019·河南濮阳一模)如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( B )A.n mB.2n mC.m nD.m 2n解析：长方形的面积为2，图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为n m ，故图中飞鸟图案的面积约为2nm .故选B. 考向三 体积型几何概型【例5】 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为()A.34B.23C.13D.12【解析】 由题图可知V F -AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF -BCE＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.【答案】 D与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为( C )A.913πB.113πC.913169πD.13169π解析：由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为32的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r 为三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的体对角线，即2r ＝42＋(32)2＋(32)2＝213，所以球的体积为5213π3，所以点落在四面体内的概率为125213π3＝913169π.。

2021年高中数学《3.3.1几何概型》教案设计新人教A版必修3教学分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数,是离散型随机变量的一个样本;利用几何概型产生的随机数是取值在一个区间的随机数,是连续型随机变量的一个样本.比如［0,1］区间上的均匀随机数,是服从［0,1］区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率.本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例3中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教科书中均匀分布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果X 落到［0,1］区间内任何一点是等可能的,则称X 为［0,1］区间上的均匀随机数. 三维目标1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课思路1复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型,教师板书本节课题几何概型.思路2下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?为解决这个问题,我们学习几何概型.思路3在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为.(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的, 于是事件A发生的概率P(A)=.第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）,简称几何概型. 几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A发生.由几何概型的求概率公式得P（A）=（60-50）/60=1/6，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.打开收音机的时刻X是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X服从［0,60］上的均匀分布,X称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g)=.点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P（A）=（60-40）/60=1/3.即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/3.点评：在本例中,到站等车的时刻X是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X服从［0,60］上的均匀分布,X为［0,60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如右图中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x（6≤x≤7）时开始,晚报在y（5.5≤y≤6.5）时被送到,这个结果与平面上的点（x,y）对应.于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应.由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图中的阴影区域g就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g的面积为,G的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P（A）=.变式训练在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.所以取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率.解：由几何概型知,所求事件A的概率为P(A)=.2.两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m的概率.解：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)==.3.在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定解析：由于取水样的随机性,所求事件A：“在取出2 mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004.答案：C4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如右图所示,这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P （A ）=.拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.这是一个几何概率问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出（如下图）.所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g .2.（蒲丰(Buffon)投针问题）平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ（见下图左）.样本空间为Ω:{(φ,x),0≤φ≤π,0≤x≤a/2},为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x≤sinφ（见下图右).所求概率是P= ππφφπa l a d l 22/sin )2/(0=••=⎰.注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N次,（或一次投针若干枚,总计N枚）,统计与平行线相交的次数n,则P≈n/N.又因a 与l都可精确测量,故从2l/aπ≈n/N,可解得π≈2lN/an.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位. 设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业课本习题3.3A组1、2、3.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从求概率不能问题引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容高考是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取好成绩.。

高中数学《几何概型》教案、教学设计
一、教学目标
【知识与技能】
理解几何概型的特点，掌握几何概型的概率计算公式，并能应用公式解决实际问题。

【过程与方法】
经历归纳几何概型的特点以及推导几何概型的概率计算公式的过程，提升抽象概括能力与逻辑推理能力。

【情感、态度与价值观】
体会数学与生活的联系，养成良好的数学思维习惯。

二、教学重难点
【重点】几何概型的特点以及概率计算公式。

【难点】几何概型特点的归纳以及概率计算公式的推导。

三、教学过程
(一)导入新课
回顾古典概型。

出示问题情境：往一方格中投一个石子。

请学生思考石子可能落在哪里，如何求概率。

在学生明确事件所有的可能结果是无限个，无法用古典概型求解的情况下，说明今天这节课将解决这样的问题。

引出课题。

(二)讲解新知
出示问题情境：如图有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向
区域时，甲获胜，否则乙获胜。

请学生在两种情况下分别求出甲获胜的概率是多少。

(四)小结作业
小结：今天有什么收获?回顾几何概型的特点以及概率计算公式。

作业：从几何概型的角度思考，是否概率为0的事件都是不可能事件，概率为1的事件都是必然事件?
四、板书设计。

几何概型教学设计【教材分析】1、“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。

几何概型概念的引入过程就是问题解决的过程，以此为载体，提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

2．学习几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。

这充分体现了数学与实际生活的紧密关系：来源于生活，而又高于生活；同时说明了它在概率论中的重要作用，为高校的进一步学习奠定了基础。

【教学目标】知识与技能：1、初步体会几何概型的意义；2、会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3、让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型，并进行分析、解决。

过程和方法：1、问题和设问，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，并理解几何概型的概念。

2、通过将一些实际问题转化为几何概型的解题过程，学会应用几何概型的概率计算公式解决问题，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识。

情感态度与价值观：1、通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用；2、培养严谨的思维习惯。

【教学重点】理解几何概型的特点，利用几何概型的计算公式解决问题。

【教学难点】几何概型的判断和具有实际背景的随机事件与几何区域联系的建立；解题中准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度【教学过程】一、回顾复习1、古典概型的特征（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等2、公式基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P )(二、提出问题： 问题1：取1根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1m 的概率有多大？（1）试验中的基本事件是什么？从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题2：下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm ，黑心半径为1cm,现一人随机射箭，假设每靶都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，请问射中黑心的概率是多少？(1)试验中的基本事件是什么？射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为10cm 的大圆内的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题3：在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是多少？(1)试验中的基本事件是什么？微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是500ml水中的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？设计意图：1、引导学生发现试验的结果是等可能的和无限的，归纳几何概型的特征；2、激励学生寻求解决问题的方法.三、几何概型1、归纳共同特征：(1)一次试验可能出现的结果有无限多个；(2) 每个结果的发生都具有等可能性．老师：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.老师：如何求解上述三个问题？同学们有好的解决方吗？问题1：1m1m3m学生分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，机会是均等的，基本事件形成的集合是一线段，设事件A:剪得的两段长都不小于1m.则31)(=A P )(长度全部结果所构成的区域的区域长度构成事件A设计意图：让学生体会解决问题的实质就是将原来具有无限性的基本事件集合进行了度量，即一维空间时用长度度量．问题2：学生分析：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为10cm 的大圆内的任意一点，基本事件发生的可能性相等，基本事件形成的集合是整个靶面，设事件B ：射中黑心01.0101)(22=⨯⨯=ππB P)(面积全部结果所构成的区域的区域面积构成事件B问题3:学生分析：草履虫出现的每一个位置都是一个基本事件,草履虫出现位置可以是500ml水中的任意一点，基本事件发生的可能性相等，基本事件形成的集合为500ml 的水，设事件C:2ml 的水样中发现草履虫25015002)(==C P)(体积全部结果所构成的区域的区域体积构成事件C设计意图：让学生意识到试验的结果均匀分布在几何区域内的任意一点，事件A 的概率只与事件A 构成的区域的面积或体积有关，与所在区域的位置、形状无关.让学生明确具有无限性基本事件集合,二维时用面积度量,三维时用体积度量.2、建构概念（1）定义如果每个事件发生的概率只与构成该区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

2021年高考数学一轮复习几何概型教学案一、考点要求：学习目标：了解几何概型的特点，会进行简单的几何概型的运算，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。

二、知识要点：2．几何概率计算公式：一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率，把这种概率模型称为几何概型。

三、基础回顾：1. 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为_________2. 如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为________3. 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为。

4．如图所示，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'，它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________四、例题探究：例1：如图，单位正方形ABCD，在正方形内（包括边界）任取一点M，求：（1）△AMB面积大于等于1/4的概率；（2）求AM长度不小于1的概率。

内容要求A B C概率几何概型√例2：在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率。

变式：在等腰直角三角形中，过直角顶点在内部任作一条射线，与线段交于点，求的概率。

例3：已知三个正数.(1)若是从中任取的三个数，且，求能构成三角形三边长的概率；(2)若是从中任取的三个数，且，求能构成三角形三边长的概率.★★★例4：(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。

求二人能会面的概率。

五、课堂小结：六、感悟反思：1. 向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S/2的概率是_____2．A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'，它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________3．在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为4. 已知右图所示的矩形其长为12，宽为5，在矩形内随机微下1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________七、千思百练：1．如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机撒一粒豆子，则它落在阴影部分的概率为________2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为 。

第81课 几 何 概 型1. 了解几何概型的基本概念、特点和意义，了解测度的简单含义.2. 了解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的问题.1. 阅读：必修3第106～111页.2. 解悟：①读懂几何概型的定义；②归纳出古典概型的特征；③重解课本例题，体会方法.3. 践习：在教材空白处，完成本节习题.基础诊断1. 两根相距为8m 的木杆上系一根绳子，拉直并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m 的概率为14.解析：灯可以挂在绳子上的任何地方，且可能性是一样的，故选用几何概型.先找出等于3m 的临界点，再寻求大于3m 的长度，故所求概率为14.2. 小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于14，则周末打篮球；否则就在家看书，那么小明周末在家看书的概率是316. 解析：圆的面积设为π，则点到圆心的距离大于12的面积为π－π4＝3π4，点到圆心的距离小于14的面积为π16.由几何概型得小明周末在家看书的概率为P ＝1－ 3π4＋π16π＝316.3. 在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率为 34 .解析：设在△ABC 中，AB 边上的高为h ，则S ＝12AB·h ，S △PBC ＝12PB·h ，要使△PBC的面积大于S 4，即PB 大于AB 4，由几何概型知△PBC 的面积大于S 4的概率为P ＝1－14＝34.4. 在棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为 π6.解析：由题意可得正方体的体积为a 3，与点A 距离小于等于a 的轨迹是一个八分之一的球，体积为V ＝18×43πa 3＝πa 36.由几何概型知识点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为P ＝πa 36a 3＝π6.范例导航考向❶ 与长度、角度有关的几何概型例1 某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是多少？解析：如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 13.解析：因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域M 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.【注】 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解. 要特别注意“长度型”与“角度型”的不同. 解题的关键是随机对象的不同决定了构建事件的区域(长度或角度)不同.考向❷ 与面积有关的几何概型例2 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是多少？解析：不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为 78Ｗ.解析：如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知点C ⎝⎛⎭⎫－12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝S △OAB －S △BCDS △OAB＝2－142＝78.【注】 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.考向❸ 与体积有关的几何概型例3 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥MABCD 的体积小于16的概率为 12.解析：过点M 作平面α∥平面ABCD ，则两平面间的距离是四棱锥MABCD 的高，显然点M 在平面α上任意位置时，四棱锥MABCD 的体积都相等. 若此时四棱锥MABCD 的体积等于16，只要M 在截面以下即可小于16，当V MABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.在一杯10升的清水中，有一条小鱼，现任意取出1升清水，则小鱼被取到的概率是110. 【注】 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.自测反馈1. 在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为 34 .解析：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y|<12，作出平面区域，可得P ＝1－2×12×12×121＝34.2. 在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠MAC<30°的概率是33. 解析：因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度. 设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.3. 已知正三棱锥SABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V PABC <12V SABC 的概率是 78.解析：设三棱锥PABC 的高为h ，则13S △ABC ·h<12×13S △ABC ·3，即h<32，所以当点P 在大三棱锥的中截面以下时，满足题意，故P ＝1－小三棱锥大三棱锥＝1－ 13×34×12×3213×34×22×3＝78.4. 在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是 34.解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A为“y 0<2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.1. 有些几何概型可用长度作为测度，比如，把时刻抽象为点，则时间就是长度；转动瞬时角抽象为点，则转过角度就抽象为长度等等；有些问题直接与面积有关，也有一些实际问题，当涉及两个变量时，要利用平面直角坐标系来讨论，这也要采用面积为测度；有些问题需用体积、质量等作为测度.2. 背景相似的问题，当等可能的视角不同时，其概率往往不同，应注意分析测度的差异.3. 你还有那些体悟，写下来：。

2019高三数学第一轮复习教学支配高三数学第一轮复习支配一、指导思想：依据本校学生的实际，立足基础，构建学问网络，形成完整的学问体系。

面对低、中档题抓训练，提高学生运用学问的实力，要突出抓思维教学，强化数学思想的运用，要探讨高考题，分析相应的应试对策，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益。

二、复习进度：结合本校实际，第一轮复习从8月1日起先，在3月初或中旬结束。

复习资料以学校下发材料为主，难题删去。

三、复习措施：(1)首先要加强集体探讨，仔细备课。

集体备课要做到：“一结合两发挥”。

一结合就是集体备课和个人备课相结合，集体探讨，同时要发挥每个老师的特长和优势，相互补充、完善。

两发挥就是，充分发挥备课组长和业务骨干的作用，充分发挥集体的才智和优势、集思广益。

(2)其次精选习题，留意综合。

复习中要选“题型小、方法巧、运用活、覆盖宽”的题目训练学生的应变实力。

选有确定的代表性、层次性和变式性的题目取训练学生综合分析问题的实力。

(3)再次上好复习课和讲评课。

复习课，既讲题也讲法，留意学问的梳理，形成条理、系统的结构框架，章节过后学生头脑中要清楚。

要讲学问的重、难点和学生简洁错的地方，要引导学生对学问横向推广，纵向申。

复习不等于重复也不等于单纯的解题，应温故知新，温故求新，以题论法，变式探究，深化提高。

讲出题目的价值，讲出思维的过程，甚至是学生在解题中的失败的教训和走过的弯路。

功夫花在如何提高学生的分析问题和解决问题的实力上(4) 每章(每周)进行一次单元(150分)过关考试或一次100分答卷。

(5)通过课堂提问、学生探讨沟通、批改作业、评阅试卷、课堂板书以及课堂上学生情态的改变等途径，深化的了解学生的状况，刚好的视察、发觉、捕获有关学生的信息调整教法，让老师的教最大程度上服务于学生。

(6)数学复习要稳扎稳打，不要盲目的去做题，每次练习后都必需刚好进行反思总结(改错) 。

反思总结(改错)解题过程的来龙去脉;反思总结(改错)此题和哪些题类似或有联系及解决这类问题有何规律可循;反思总结此题还有无其它解法，养成多角度多方位的思维习惯;反思总结做错题的缘由：是学问驾驭不精确，还是解题方法上的缘由，是审题不清还是计算错误等等。

几何概型一轮复习教学设计一、教学设计背景与目标几何学作为数学的重要分支之一，是培养学生空间想象力和逻辑思维的关键。

然而，由于内容较为抽象和复杂，学生在学习过程中常常遇到困难。

因此，为了帮助学生夯实几何概型的复习内容，本教学设计旨在通过一轮复习来加深学生对几何概型知识的理解和应用能力。

本教学设计的目标如下：1. 复习几何概型的基本概念和定理，加深学生对几何学的理解。

2. 提升学生的几何概型解题能力，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

3. 培养学生复习和总结的能力，为后续学习打下坚实的基础。

二、教学内容与方法1. 复习内容：（1）基本几何概念：点、线、面、角等；（2）方向与位置关系：平行、垂直、相交等；（3）三角形的性质与分类：等边三角形、等腰三角形、直角三角形等；（4）四边形的性质与分类：矩形、正方形、菱形等；（5）圆的性质与计算：半径、直径、弧长、扇形面积等。

2. 教学方法：（1）总结与分析法：通过教师讲解，引导学生总结几何概型知识点，并分析其应用场景和解题方法。

（2）示范与练习法：教师通过示范解题，引导学生进行相关题目的练习，巩固知识点的理解和应用能力。

（3）互动与合作法：组织学生进行小组合作学习，通过互动交流和合作解题，促进学生的思维发展和团队意识。

三、教学过程安排1. 教学引入（10分钟）教师通过提问和教学课件等方式，引导学生回顾几何概型的基本概念，并与现实生活中的物体进行联系。

例如，提问：你身边有哪些物体涉及到几何概型？2. 概念与定理复习（30分钟）教师通过讲解的方式复习几何概型的基本概念和定理，引导学生思考其应用场景和解题方法。

例如，讲解角的概念时可用手势示范，并引导学生找出周围环境中涉及到角的例子。

3. 解题示范与练习（40分钟）教师通过解题示范，引导学生分析解题步骤和思考方法。

然后，组织学生进行相关题目的练习，并在过程中及时给予指导和反馈。

4. 小组合作学习（30分钟）教师组织学生分组进行小组合作学习，通过互动交流和合作解题，促进学生的思维发展和团队意识。

几_何_概_型[知识能否忆起]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[小题能否全取]1．(教材习题改编)设A(0,0)，B(4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|PA|＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|PA|＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2．(2018·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2 B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05. 答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16. 答案：161.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．典题导入[例1] (2018·湖南高考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c|5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 516本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN.”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD.则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P(A)＝π×232π×23＝12.由题悟法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1)(2018·福建四校联考)已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB≥90°的概率为________． 解析：(1)如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P ＝2π32π＝13.＝12，且点M 在BD (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD 上时，满足∠AMB≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14.答案：(1)13 (2)14典题导入[例2] (1)(2018·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋y≥0，＞表示平面区域M ，若点P(x ，y)在所给的平面区域M 内，则点P 落在M的内切圆内的概率为( )A.2－4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π[自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC.不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a)r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a.所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S ＝(3－22)π.[答案] (1)A(2)B由题悟法求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2．(2018·湖南联考)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA|≤1的概率为( )A.14 B.12 C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|PA|≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA|≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.典题导入[例3] (1)(2018·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C由题悟法与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3．(2018·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________．解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PMBN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231．(2018·北京模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( )A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.2．(2018·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x)cm,0<x<12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x(12－x)<32⇒0<x<4或8<x<12，故所求概率为812＝23.3．(2018·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0， 即(a ＋2b)(a －2b)＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点4．(2018·北京西城二模)已知函数f(x)＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f(x)≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f(x)≥0得⎩⎪⎨⎪⎧，，有－1≤k≤1，所以所求概率为1－－1－－＝23. 5．(2018·盐城摸底)在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长率P ＝15.为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概6．(2018·沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7．(2018·郑州模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，y≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128．(2018·孝感统考)如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h ＋＋＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)， 故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39.(2018·宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P(A)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率． 解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈B}，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y)．(1)求以(x ，y)为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y)为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y|2≤22即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12．(2018·长沙模拟)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y)． (1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个； 由a·b＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个． 故满足a·b＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}； 满足a·b＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x＋3cos x≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x≤1得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12.由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，因此当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x＋3cos x≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233．(2018·晋中模拟)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD×AB，S 矩形ABCD ＝AD×AB，所以P(A)＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________． 解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0，∵a ，b ∈[0,1]，∴a≥b. ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123．(2018·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y)，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4. 为( )A.14B.34C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x)3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964.。