2017届中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用专题精练

一元二次方程一、选择1. 方程(m2 1)x2 mx 5 0 是关于x的一元二次方程，则m 的值不能是（）A．0 B ．12C ． 1D ．122. 一元二次方程 22x x 1的常数项为（）A．-1 B ．1 C ．0 D ．± 13. 一元二次方程 2(x1) 2 的解是（）A. x1 1 2 ，x2 1 2B. x1 1 2 ，x2 1 2C. x1 3，x2 1D. x1 1，x2 32 x4. 把方程x 6 4 0的左边配成完全平方，正确的变形是（）A．(x 3)2 9 B ．(x3)2 13 C ．(x3)2 5 D ．( x 3)2 55. 方程(3x 1)( x 1)(4x 1)( x1) 的解是（）A．x1 1,x 0 B ．x1 1, x2 2 C ．x1 2, x2 1 D ．无解26. 若关于x 的方程2x2 ax a 2 0 有两个相等的实根，则a的值是（）A．－4 B ．4 C ．4 或－4 D ．27. 方程2x 3 x 1 1的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根C．有两个相等的实数根 D ．有一个实数根8. 某商品原价200 元，连续两次降价a％后售价为148 元，下列所列方程正确的是（）A. 200(1+a%) 2=148B. 200(1 －a%)2=148C. 200(1 －2a%)=148D. 200(1 －a2%)=148二、 填空题29. 一元二次方程 2x 1 6x的一般形式是，其中一次项系数是 ．10. 认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：(1)22 1x + x = - ，应选用法；(2)2 x 2 x 1 x 2 x 4 ，应选用法；(3) 2x 2 3x 7 0 ，应选用 法.1211. xx2配成完全平方式需加上.12. 若关于 x 的方程 2 2x x k的一个根是 1，则另一个根是． 13. 若关于 x 的一元二次方程22xx k没有实数根，则k 的取值范是． 14. 以－3 和 7 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是 ．215. 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm，则原来的正方形铁皮的面积是.16．在实数范围内定义一种运算“＊” ，其规则为2b 2a ＊b a，根据这个规则，方程(x 2 )＊5 0的解为.三、解答题17. 用适当的方法解下列方程：（1）2 2x(x 1)4（2） 3x 64 0（3）(x 2)( x 3) 12 （4）23y 1 2 3y18.22 kx k已知方程(k 1)x 2 3 0．（1）k 取何值时，方程有一个实数根；（2）k 取何值时，方程有两个不相等的实数根；19.若关于x 的方程 2 4 3 0x x a 有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．20.为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100 元下调至64 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？21.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40 元．为3了迎接“六一决定采取适当的降价措售量，增加盈利，减 ：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件．要 想平均种童装盈利 1200 元，那么每件降价多少元？22. 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 2 0 x ax b ， a 0, b 0 . （1）若方数确定a ，b的大小关系；（2）若 a ∶ b =2∶ 3 ，且 2x x 2 ，求 a ，b 的值. 1 2 参考答案一、选择题： 1.C ； 2. A ； 3.B ； 4.C ； 5.B ；6. B ；7.A ；8.B2x二、： 9. 2x 6 1 0 ， 6； 10. （1）配方法；（2）因式分解法； （3）公式法； 11. 1 16； 12. 3； 13. k 1； 14.24 21 0xx ； 15. 64cm2；16.7, 3x 1x.2三、解答题：4317.（1）x 1 1,x 3 ；（2）方根；（ 3） 1, 6 x 1 x；（4）y 1 y. 222318. （1）方程要有数根，是一元一次方程，因此系数是 0，即当 k ，方程是一元一次方程，它有根； （2）方程要有两个不相数根，此是一元二次方程，式0， 所以2 (2k) 4(k 1)(k 3) 0，即当3 k 且 k ，方程有两个不等 2 实根． 19. （1） 24 4(3 a) 4 4a . ∵该方程有实数根， ∴ 4 4a ≥ 0． 解得 a ≥1．（2）当符合条件的最小， a = 1． 2 4 4 0 方x x ，方程x 1 x 2 2 ．2品平均每次降价的百分率是 x ， 2意，得 100 1 x 64 ． 2则1 x 0.64 ． 1 x 0.8． x 0.2， x 2 1.8（意，舍去） ．1 品平均每次降价 20%． x2每件降价x (40 ) 20 8 1200 x，解得 x 120,x 210 .4要尽快存，所以 x =20. 答：每件降价 20 元.22. (1) ∵ 关于 x 的一元二次方程22 2 0xax b 有实数根 ,∴ Δ= 2 2 (2a) 4b 0 ，有22a b ， (a b)( a b) 0 .∵a 0,b 0 , ∴ a b 0， a b 0. ∴ a b .5。

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。

其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。

(1)直接开方法。

适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。

(2)配方法。

套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。

(3)公式法。

当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。

这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。

a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。

ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。

定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。

(4)因式分解法。

主要用提公因式法、平方差公式。

3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。

认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。

中考数学一轮复习《一元二次方程的应用》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数．2．一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2296，则这个两位数是多少？3．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？4．随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？5．某公司前年盈利200万元，若该公司今年与去年的年增长率相同，则今年可盈利242万．(1)求这两年中平均每年增长的百分率；(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？6．为建设宜居宜业美丽乡村，某县2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元，现假定2021年到2023年每年投入资金的增长率相同．(1)求该县投入资金的年平均增长率；(2)按照这个增长率，预计该县2024年投入资金为多少万元？7．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a米，时间都各自多走了10a分钟，结果两人又共走了6900米，求a的值．8．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达B地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．9．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时同时A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时求m的值．10．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A点平均每人采样720份，B点平均每人采样700份．(1)求A、B两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B点抽调部分医护人员到A点经调查发现，B点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B点抽调了多少名医护人员到A点？11．阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m．(2)如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．15．学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？16．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．(1)P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；(2)P、Q两点从出发开始到几秒时点P和点Q的距离是10cm．17．如图，在△ABC中∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时则同时停止运动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时△PBQ的面积等于4cm2(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时PQ的长度等于5cm?18．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；(2)当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润为1200元？19．今年入冬以来，支原体和流感病毒肆虐，侵袭着人们的健康．而佩戴口罩在一定程度上可以阻断病毒传播途径，有效防止感染．某药店将购进一批A、B两种类型口罩进行销售，A型口罩进价a元每盒，B型口罩进价30元每盒，若各购进a盒，成本为1375元．(1)求A型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x元（40≤x≤42），当A型口罩售价为30元时可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B型口罩的销量y（盒）与售价x之间的关系为y=300−5x；该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．20．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，作为今年我国举办的最为盛大的赛事，是向世界展示中国形象、传播中国文化的重要窗口．宁夏枸杞作为几千年来备受推崇、药食同源的滋补上品，小小的红果凝聚和传承着宁夏这片土地上，珍贵的历史记忆和宝贵的精神财富，已然成为宁夏独特的地域符号、主导产业和文化象征，不但为宁夏社会经济发展作出了积极贡献，也为助力“健康中国”跑出了“加速度”．在宁夏一特产专卖店销售某种枸杞，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种枸杞要想平均每天获利2240元，请回答：(1)为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克枸杞应降价多少元？(2)根据市场需求，该店将售价定为多少出售，每天可获取最大利润，最大利润是多少？参考答案1.解：设这个数为x由题意得：(x+3)2=2x+5整理得：x2+4x+4=0，即(x+2)2=0解得x=−2即这个数为−2．2.解：设原两位数个位数字为x，则十位数字为10−x根据题意得：[10(10−x)+x][10x+(10−x)]=2296解得：x=8或x=2∴这个两位数是28或82．3．解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x根据题意，可得1+x+x2=73整理得x2+x−72=0解得x1=8，x2=−9（不合题意，舍去）答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8．4．解：设平均一人传染了x人x+1+(x+1)x=81解得x1=8，x2=−10（不符合题意，舍去）经过三轮传染后患上流感的人数为：81+8×81=729（人）答：平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感．5．（1）解：设每年增长率为x，则200(1+x)2=242解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1（舍去）答：每年增长率为10%．（2）解：根据题意，得242×(1+10%)=266.2(万元)答：预计明年可盈利266.2万元．6．（1）解：设该县投入资金的年平均增长率为x依题得：1000(1+x)2=1440解得x1=20%，x2=−220%（不合题意，舍去）故该县投入资金的年平均增长率为20%．（2）解；由(1)得：该县投入资金的年平均增长率为20%∵2023年投入资金1440万元，增长率保持不变∴预计该县2024年投入资金为1440×(1+20%)=1728万元．答：该县2024年投入资金为1728万元．7．（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟x米，得5×1.2x+10x=800解得x=50∴1.2x=60（米）所以，张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米；（2）解：依题意，得60(10a+5)+(50+2a)(10a+10)=6900整理得a2+56a−305=0解得a1=−61（舍）答：a的值为5．8．（1）解：设小齐每分钟跑x米，则小明每分钟跑1.2x米由题意得：12000x −5=120001.2x解得：x=400经检验，x=400既是所列分式方程的解也符合题意则1.2x=1.2×400=480答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟由题意得：10×30+(y−30)(10+y−30)=2300解得：y1=70，y2=−20（不符合题意，舍去）答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．9．（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米根据题意得30x+30(2x+30)=3600解得：x=30则2x+30=90答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得30(30+m +25)+(90−3m )(30+m )=3600+750整理得解得：m 1=10，m 2=0（舍去）∴m 的值为10．10．（1）解：设A 检测队有x 人，B 检测队有y 人依题意得：{x +y =13720x +700y =9200，分解得：{x =6y =7 答：A 检测队有6人，B 检测队有7人；（2）解：设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队，则B 检测队人均采样(700+10m )人 依题意得：720(6+m )+(700+10m )(7−m )=9360解得：m 2−9m +14=0，解得：m 1=2由于从B 对抽调部分人到A 检测队，则m <7故m =2答：从B 检测队中抽调了2人到A 检测队．11．解：设阔为x 步，则长为（x +12）步．根据题意，列方程得：x(x +12)=864解方程，得x 1=24，x 2=−36(不合题意，舍去)．答：矩形的阔为24步，长为36步．12．解：设人行道的宽应是x 米由题意得：(22−x )(17−x )=300解得：x 1=2,x 2=37（舍去）∴人行道的宽应是2米．13．（1）解：∴规定用电x 度∴用电90度超过了规定度数（90－x ）度∴超过部分按每度x 100元交电费∴超过部分应交的电费为1100x （90－x ）元．（2）解∴2月份用电量超过x 度，依题意得1100x （80－x ）＝25－10．整理得x 2－80x ＋1500＝0．解这个方程得x1＝30，x2＝50．根据题意得：3月份用电45度只交电费10元∴电厂规定的x≥45∴x1＝30不合题意，舍去．∴x＝50．答：电厂规定的x度为50度．14．（1）解：设垂直于墙的AB边长为xm，根据题意得BC=(24−2x)m则(24−2x)x=70解得x1=5当x1=5时BC=14；当x2=7时BC=10．墙可利用的最大长度为13m，BC=14舍去答：BC的长为10m．（2）不能围成这样的花圃．理由：依题意可知(24−3x)x=78，即x2−8x+26=0Δ=82−4×1×26=−40<0∴方程无实数根答：不能围成这样的花圃．15．解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为2x米，由题意得3x(2×2x+4)=144解得x=3∴3x=9米，2×2x+4=16米所以，比赛区域的长为16米，宽为9米．16．（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2则PB=(16−3x)cm(16−3x+2x)×6=33根据梯形的面积公式得12解之得x=5（2）设P，Q两点从出发经过t秒时点P，Q间的距离是10cm作QE⊥AB，垂足为E则QE＝AD＝6，PQ＝10∴PA=3t，CQ=BE=2t∴PE=AB−AP−BE=|16−5t|由勾股定理，得(16−5t)2+62=102解得t1=4.8，t2=1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时点P和点Q的距离是10cm．17．（1）解：设经过x秒以后，△PBQ的面积等于4cm2由题意可知：0≤x≤3.5此时AP=xcmBP⋅BQ=4由12(5−x)⋅2x=4得12整理得x2−5x+4=0解得x1=1,x2=4（舍）故经过1秒时△PBQ的面积等于4cm2；（2）解：设经过t秒之后，PQ的长度等于5cm由PQ2=BP2+BQ2得52=(5−t)2+(2t)2解得t1=0，t2=2．故经过2秒时PQ的长度等于5cm．18．解：（1）根据题意得：20+6×2=32（件）答：平均每天销售数量为32件；（2）设每件商品降价x元，则每件盈利(40−x)元，平均每天可售出(20+2x)元，依题意得：(40−x)(20+2x)=1200整理得：x2−30x+200=0解得：x1=10又要让顾客得到更大实惠∴x=20．答：当每件商品降价20元时该商店每天销售利润为1200元．19．（1）解：由题意得：a⋅a+30a=1375整理得：a2+30a=1375解得：a1=25，a2=−55（舍去）∴A型口罩的进价为25元．（2）解：设两种口罩的利润总和为w当A型口罩售价为x元时则销售量为60−5(x−30)盒由题意得：则w=(x−25)[60−5(x−30)]+(x−30)(300−5x)=−10x2+785x−14250∴对称轴为x=−785=39.252×(−10)∵−10<0∴当x>39.25时w随x的增大而减小又∵40≤x≤42∴当x=40时两种口罩的利润总和最高，即定价为40元时利润最高．20．（1）解：设每千克枸杞应降价x元×20)=2240根据题意，得(60−x−40)(100+x2化简，得x2−10x+24=0解得x1=4，x2=6．∵为尽可能让利于顾客，赢得市场∴x=6答：每千克枸杞应降价6元；（2）设每千克枸杞应降价x元，每天获得利润为y元×20)=−10x2+100x+2000=−10(x−5)2+根据题意得：y=(60−x−40)(100+x22250∵−10<0∴当x=5时y有最大值，最大值为2250此时售价为60−5=55(元)∴该店将售价定为55元出售，每天可获取最大利润，最大利润是2250元．。

江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析）的全部内容。

第二章方程(组）与不等式（组)第7课时一元二次方程及其应用江苏近4年中考真题精选(2013～2016)命题点1 一元二次方程及其解法（2015年3次，2014年4次，2013年5次)1. (2016泰州14题3分)方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m 的值为________．2. （2015徐州20（1）题5分)解方程：x2－2x－3＝0。

3。

（2014泰州17(2）题6分)解方程:2x2－4x－1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2016年5次，2015年7次，2014年6次，2013年3次）4。

(2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是( )A。

x2－x＋1＝0 B. x2＋x＋1＝0C. (x－1）(x＋2)＝0 D。

（x－1)2＋1＝05. （2016淮安14题3分)若关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝________．6. (2016宿迁12题3分)若一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．7。

2017届中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用教案编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2０17届中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用教案)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为２01７届中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用教案的全部内容。

第７讲一元二次方程及其应用一、复习目标１。

了解一元二次方程的定义及一般形式.2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．4.了解一元二次方程的根与系数的关系(不要求应用这个关系解决其他问题)．5.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．二、课时安排1课时三、复习重难点1.熟练配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．2.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．四、教学过程(一)、知识梳理一元二次方程的概念及一般形式1。

－元二次方程的定义:只含有＿_____＿个未知数,并且未知数的最高次数是__＿__＿_的______＿式方程叫做一元二次方程．２.一元二次方程的一般形式是_＿_＿____(a_______0）,其中ａx2叫做＿＿___＿_项，a是____＿__，ｂx叫做______＿，b是___＿__＿，ｃ叫做__＿____项.一元二次方程的四种解法1.一元二次方程的解法：(1）直接开平方法:形如(ｍx+n)２=p(p≥0）的方程的根为_＿＿___＿＿.（２)配方法的步骤：移项，二次项的系数化为1(该步有时可省略)，配方，直接开平方．(3）求根公式法:方程aｘ2＋bx＋c＝０（ａ≠0),当b2-4ac＿____＿_0时，x＝_＿_＿＿_＿＿.（4)因式分解法:如果一元二次方程可化为a（x－x１）(ｘ－ｘ2）=0的形式,那么方程的解为_______＿．一元二次方程的根的判别式１.一元二次方程ax2+bx＋ｃ＝0(a≠0)的根的判别式△＝___＿＿___．(1)当△〉0时, 方程有两个___＿＿__的实数根.(2)当△＝０时，方程有两个_______的实数根.(3)当△<0时，方程没有实数根.２.若一元二次方程ax2+bｘ＋c=０（a≠0)的两根为x1、x2，则ｘ1+ｘ２＝________,x１•ｘ2=__＿_＿_＿＿.一元二次方程的应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量（２)设a为原来的量,m为平均增长率，n为增长次数,b为增长后的量,则ａ(１＋m)ｎ＝b,当ｍ为平均下降率时,则ａ（１－m)n=ｂ利率问题(1)本息和=本金＋利息(2)利息=本金×利率×期数销售利润问题（１)毛利润＝售出价－进货价（2)纯利润=售出价-进货价－其他费用(3)利润率=利润÷进货价（二)题型、方法归纳考点1一元二次方程的概念及一般形式技巧归纳：运用1.一元二次方程的概念；2.一元二次方程的一般式；３.一元二次方程的解的概念，解决此问题。

一元二次方程知识归纳＋真题解析【知识归纳】1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①；②，③ ，④ ，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①；②；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为.（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .【知识归纳答案】1．一元二次方程：两、2、()02≠=++a o c bx ax .、2ax 、bx 、c 、a 、b .2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：)0(2≥=a a x 、)0()(2≥=-a a b x（2）配方法：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：21,240)x b ac =-≥. （4）因式分解法：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3. 一元二次方程根的判别式：ac b 42-.（1）不等、（2）两个、2b a-. （3）没有4． 一元二次方程根与系数的关系b a -，c a. 真题解析1．若1﹣是方程x 2﹣2x +c=0的一个根，则c 的值为（ ）A ．﹣2B ．4﹣2 C ．3﹣D ．1+【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】把x=1﹣代入已知方程，可以列出关于c 的新方程，通过解新方程即可求得c 的值．【解答】解：∵关于x 的方程x 2﹣2x +c=0的一个根是1﹣，∴（1﹣）2﹣2（1﹣）+c=0，解得，c=﹣2． 故选：A ．学科网2．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣3，所以x1=﹣1，x2=﹣3．故选D．3．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根．【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+=0，所以|x2﹣4x+4|=0，=0，即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．4．三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3x+4=0，则第三边的长是（）A．B．2 C．2 D．3【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；T7：解直角三角形．【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3x+4=0得到a=2，b=，如图，△ABC中，a=2，b=，∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=，AH=，则BH=，然后在Rt △ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．【解答】解：x2﹣3x+4=0，（x﹣2）（x﹣）=0，所以x1=2，x2=，即a=2，b=，如图，△ABC中，a=2，b=，∠C=60°，作AH⊥BC于H，在Rt△ACH中，∵∠C=60°，∴CH=AC=，AH=CH=，∴BH=2﹣=，在Rt△ABH中，AB==，即三角形的第三边的长是．故选A．5．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【考点】AA：根的判别式；D1：点的坐标．【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．6．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0【考点】AA：根的判别式．【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．【解答】解：A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选D．二．填空题（共5小题）7．已知x=1是关于x的方程ax2﹣2x+3=0的一个根，则a=﹣1．【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：把x=1代入方程，得a﹣2+3=0，解得a=﹣1．故答案为﹣1．8．关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c＜1．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，解得：c＜1．故答案为：c＜1．9．在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2．【考点】AA：根的判别式；KP：直角三角形斜边上的中线；KS：勾股定理的逆定理．【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，∴△=16﹣4b=0，∴AC=b=4，∵BC=2，AB=2，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长=AC=2；故答案为：2．学科网10．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是50（1﹣x）2=32．【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．【解答】解：由题意可得，50（1﹣x）2=32，故答案为：50（1﹣x）2=32．11．原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为10%．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，再根据题意列出方程解答即可．【解答】解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．答：这两次的百分率是10%．故答案为：10%．三．解答题（共8小题）12．根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；13．由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+ 2）（x+ 4）；（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．【解答】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x=2×4=（x+2）（x+4），故答案为：2，4；（2）∵x2﹣3x﹣4=0，∴（x+1）（x﹣4）=0，则x+1=0或x﹣4=0，解得：x=﹣1或x=4．学科网14．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；L8：菱形的性质．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，解得：m＞﹣．∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，求m的值．【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，∴，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．16．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400﹣x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，整理可得：8y2﹣y=0解得：y1=0，y2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m2=12.5，答：m的值为12.5．17．一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）=180，解得x1=10（舍去），x2=18，28﹣x=28﹣18=10．故长为18厘米，宽为10厘米；（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）=200，即x2﹣28x+200=0，则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无解，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．18．今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×=≈90.91（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×=14580（元）．14742＞14580．答：去B商场购买足球更优惠．19．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意2013年创造利润250（1+x）万元人民币，2014年创造利润250（1+x）2 万元人民币．根据题意得方程求解；（2）根据该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率来解答．【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解得x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＞3.4答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．。

2017届中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用专题精练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用专题精练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017届中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用专题精练的全部内容。

第7讲：一元二次方程及其应用单元检测一、夯实基础1、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81C．100(1﹣x%)2=81 D．100x2=812．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）A．1或4 B﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D． 1或﹣43。

若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根,则α2+β2（)A.-8B.32C.16D.404. 已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是( ）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C． 1。

5＜α＜2 D．2＜α＜3二、能力提升5.方程x2﹣2x=0的解为x1= ，x2= ．6.某小区2015年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2017年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是．x x的两个实数根，则22_______。

7.若,是方程22308。

若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为．三、课外拓展9.若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ．10.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行,其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2,那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为xm，由题意列得方程．11.某商品连续两次降价10％后价格为a元，则该商品原价为__________．12.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边是10cm的直角三角形，则两条直角边分别是__________,__________．13。

第二单元 方程与不等式 第7讲 一元二次方程1．（2019•山西）用配方法解方程2410x x --=时，配方后得到的方程为( ) A ．2(2)3x +=B ．( 22)5x +=C ．2(2)3x -=D ．( 22)5x -=【答案】D【解析】2410x x --=，241x x -=， 24414x x -+=+，2(2)5x -=，故选：D ．2．（2018•宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x ．应列方程是( ) A ．300(1)507x += B ．2300(1)507x +=C ．2300(1)300(1)507x x +++=D ．2300300(1)300(1)507x x ++++= 【答案】B【解析】设这两年的年利润平均增长率为x ， 根据题意得：2300(1)507x +=． 故选：B ．3．（2019•宜宾）一元二次方程220x x b -+=的两根分别为1x 和2x ，则12x x +为( ) A ．2- B ．bC ．2D ．b -【答案】C【解析】根据题意得：12221x x -+=-=， 故选：C ．4．（2018•贵港）已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则αβαβ+-的值是( ) A ．3 B ．1 C ．1- D ．3-【答案】B【解析】αQ ，β是方程220x x +-=的两个实数根， 1αβ∴+=-，2αβ=-， 121αβαβ∴+-=-+=，故选：B ．5．（2019•宿迁三模）已知一元二次方程22360x x --=有两个实数根a ，b ，直线经过点(,0)A a b +和点(0,)B ab ，则直线l 的函数表达式为( )A ．23y x =-B ．23y x =+C ．23y x =-+D ．23y x =--【答案】A【解析】a Q ，b 是一元二次方程22360x x --=的两个实数根，32a b ∴+=，3ab =-， ∴点A 的坐标为3(2，0)，点B 的坐标为(0,3)-．设直线l 的函数表达式为(0)y mx n m =+≠，将3(2A ，0)，(0,3)B -代入y mx n =+，得：3023m n n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23m n =⎧⎨=-⎩，∴直线l 的函数表达式为23y x =-．故选：A ．6．（2019•兴化市模拟）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( ) A ．20% B ．11%C ．22%D ．44%【答案】A【解析】设这两年平均每年的绿地增长率为x ，根据题意得，2(1)144%x +=+，解得1 2.2x =-（舍去），20.2x =．答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选：A ．7．（2019•镇江）若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 【答案】1【解析】根据题意得△2(2)40m =--=， 解得1m =． 故答案为1．8．（2019•本溪）如果关于x 的一元二次方程240x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】4k „．【解析】根据题意得：△1640k =-…， 解得：4k „． 故答案为：4k „．9．（2019•徐州）方程240x -=的解是 ． 【答案】2±． 【解析】240x -=， 移项得：24x =，两边直接开平方得：2x =±， 故答案为：2±．10．（2019•济宁）已知1x =是方程220x bx +-=的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答案】2-．【解析】1x =Q 是方程220x bx +-=的一个根，122cx x a∴==-， 212x ∴⨯=-，则方程的另一个根是：2-， 故答案为2-．11．（2018•无锡）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x ，由题意可列得方程： ． 【答案】50(1)(12)36x x --=．【解析】设第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x ， 依题意，得：50(1)(12)36x x --=．故答案为：50(1)(12)36x x --=．12．（2018•南通）若关于x 的一元二次方程2124102x mx m --+=有两个相等的实数根，则2(2)2(1)m m m ---的值为 ．【答案】72【解析】由题意可知：△2242(14)4820m m m m =--=+-=，2122m m ∴+=2(2)2(1)m m m ∴---224m m =--+ 142=-+72= 故答案为：7213．（2019•常德）解方程：2320x x --=．【答案】1x =2x =． 【解析】1a =Q ，3b =-，2c =-；224(3)41(2)9817b ac ∴-=--⨯⨯-=+=；x ∴==，1x ∴，2x =． 14．（2018•玉林）已知关于x 的一元二次方程：2220x x k ---=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）给k 取一个负整数值，解这个方程． 【答案】10x =，22x =．【解析】（1）根据题意得△2(2)4(2)0k =---->，解得3k >-；（2）取2k =-，则方程变形为220x x -=，解得10x =，22x =．15．（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm ，宽20cm ．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm ？【答案】当剪去正方形的边长为52cm 时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm ．【解析】设剪去正方形的边长为xcm ，则做成无盖长方体盒子的底面长为(302)x cm -，宽为(202)x cm -，高为xcm ，依题意，得：2[(302)(202)]200x x x ⨯-+-=， 整理，得：2225500x x -+=， 解得：152x =，210x =． 当10x =时，2020x -=，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为52cm 时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm ．16．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m ，宽40m ，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【答案】扩充后广场的长为90m ，宽为60m ． 【解析】设扩充后广场的长为3xm ，宽为2xm ， 依题意得：3210030(325040)642000x x x x +-⨯=g g g 解得130x =，230x =-（舍去）．所以390x=，260x=，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．17．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为26 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为202326+⨯=件．故答案为26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得(40)(202)1200x x-+=，整理，得2302000x x-+=，解得：110x=，220x=．Q要求每件盈利不少于25元，220x∴=应舍去，解得：10x=．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．18．（2017•眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【答案】该烘焙店生产的是第五档次的产品．【解析】（1）(1410)213-÷+=（档次）．答：此批次蛋糕属第三档次产品．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：(28)(7644)1080x x+⨯+-=，整理得：216550x x -+=，解得：15x =，211x =（不合题意，舍去）． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．一、一元二次的有关概念1． 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2． 一般形式： 20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中2ax 、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．问题：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0．因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 二、一元二次方程的解法1．直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b ＜0时，方程没有实数根．2．配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3．公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4．因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解； （2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解． 三、一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）： （1）24b ac -＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）24b ac -＝0⇔方程有两个的实数根； （3）24b ac -＜0⇔方程没有实数根． 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根分别为1x ，2x ，则有12b x x a +=-，12cx x a=． 注意：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a ≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根． 四、一元二次方程的应用1． 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2． 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容： （1）增长率等量关系： A ．增长率＝增长量基数×100%；B ．设a 为原来量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则(1)na xb +=；当x 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量时，则有(1)n a x b -=．（2）利润等量关系：A．利润＝售价-成本；B．利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3．解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．方法：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．问题：找对等量关系最后一定要检验．考点一、一元二次方程的有关概念例1．（2019•潮南区一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（）A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2【分析】根据常数项为0可得m2﹣4＝0，同时还要保证m﹣2≠0，再解即可．【解析】根据题意知，解得m＝﹣2，故选：D．点睛：此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【变式训练】1．（2019•封开县一模）方程2x2﹣3x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解析】2x2﹣3x﹣5＝0的二次项系数和一次项系数分别为2、﹣3、﹣5，故选：C．2．（2019•津南区校级模拟）把方程（x）（x）+（2x﹣1）2＝0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣5＝0 C．5x2﹣2x+1＝0 D．5x2﹣4x+6＝0【分析】先把（x）（x）转化为x22＝x2﹣5；然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x2﹣4x+1．再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．【解析】（x）（x）+（2x﹣1）2＝0即x22+4x2﹣4x+1＝0移项合并同类项得：5x2﹣4x﹣4＝0故选：A．3．（2019•硚口区模拟）关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m﹣1≠0，即可求得m的值．【解析】根据一元二次方程的定义得：m﹣1≠0，即m≠1，故选：B．考点二、一元二次方程的解例2．（2019•青白江区模拟）若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m﹣2019的值为．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解析】把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得2m2+3m﹣1＝0，则2m2+3m＝1．所以4m2+6m﹣2019＝2（2m2+3m）﹣2019＝2﹣2019＝﹣2017．故答案为：﹣2017．点睛：本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【变式训练】1．（2019•洪泽区二模）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则2﹣m﹣n的值为．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．【解析】∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，∴1+m+n＝0，∴m+n＝﹣1，∴2﹣m﹣n＝2﹣（m+n）＝2+1＝3．故答案是：3．2．（2019•兰州模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是x＝1，则2019﹣a﹣b的值是．【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a+b＝﹣3，再把2019﹣a﹣b变形为2019﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解析】x＝1代入一元二次方程ax2+bx+3＝0得a+b+3＝0，∴a+b＝﹣3，∴2019﹣a﹣b＝2019﹣（a+b）＝2019﹣（﹣3）＝2022．故答案为2022．3．（2019•宜春二模）如果α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则α2+4α+β+2019的值是．【分析】因为α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，所以a2+3a﹣2＝0即a2+3a＝2，a+β＝﹣3，利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系即可解决问题．【解析】∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，∴a2+3a﹣2＝0即a2+3a＝2，a+β＝﹣3∵α2+4α+β+2019＝（α2+3α）+（α+β）+2019＝2+（﹣3）+2019∴α2+4α+β+2019＝2018故答案为：2018考点三、配方法例3（2019•荆州一模）用配方法解方程x2+x0时，可配方为，其中k＝．【分析】把方程x2+x0左边配成完全平方，与比较即可．【解析】∵x2+x0∴（x2+2x﹣5）＝0，∴[（x+1）2﹣6]＝0，∵可配方为，∴k＝﹣6故答案为：﹣6．【变式训练】1．（2019•台安县一模）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（m﹣n）2018＝【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．【解析】由（x+m）2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，∴2m＝4，m2﹣3＝n，∴m＝2，n＝1，∴（m﹣n）2018＝1，故答案为：1．2．（2019•乐陵市模拟）把方程x2﹣3＝2x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝﹣，n＝．【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2﹣2x＝3，再配方得（x﹣1）2＝4，故可以得出结果．【解析】∵x2﹣3＝2x，∴x2﹣2x＝3，则x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，∴m＝﹣1、n＝4，故答案为：﹣1、4．3．（2018•怀柔区二模）把方程x2﹣2x﹣4＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝﹣，n＝．【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2﹣2x＝4，再配方得（x﹣1）2＝5，故可以得出结果．【解析】∵x2﹣2x﹣4＝0，∴x2﹣2x＝4，则x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，∴m＝﹣1、n＝5，故答案为：﹣1、5．考点四、解一元二次方程例4．（2019•中山市三模）解方程：3x2+x﹣4＝0【分析】利用因式分解法解方程即可．【解析】（3x+4）（x﹣1）＝0，3x+4＝0或x﹣1＝0，所以x1，x2＝1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．【变式训练】1．（2019•高淳区二模）解方程：（2x﹣1）2＝3﹣6x．【分析】先变形得到（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】（2x﹣1）2＝﹣3（2x﹣1），（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）[（2x﹣1）+3]＝0，2x﹣1＝0或2x+2＝0所以x1，x2＝﹣1．2．（2019•成武县一模）解方程：（3x﹣1）2＝4（x+3）2．【分析】先移项，再利用平方差公式分解、整理，进一步求解可得．【解析】∵（3x﹣1）2＝4（x+3）2，∴（3x﹣1）2﹣4（x+3）2＝0，则[3x﹣1+2（x+3）][3x﹣1﹣2（x+3）]＝0，整理，得：（5x+5）（x﹣7）＝0，则5x+5＝0或x﹣7＝0，解得：x＝﹣1或x＝7．3.（2019•天宁区校级模拟）解下列一元二次方程；（1）x2﹣4x﹣5＝0（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】（1）（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1；（2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，所以x1＝3，x2＝5．考点五、一元二次方程的判别式及根与系数的关系例5．（2019•海淀区校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程的两个根都不为0，写出一个满足条件的m值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式即可求出m的范围；（2）根据题意写一个m的值，然后代入方程求出方程的根即可．【解析】（1）由题意可知：△＝4m2﹣4（m﹣1）2＝4m2﹣4（m2﹣2m+1）＝8m﹣4＞0，∴m；（2）令m＝2，∴方程为：x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x+4＝3，∴（x﹣2）2＝3，∴x＝2±；点睛：本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式以及熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式训练】1．（2019•海淀区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．【分析】（1）求出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2，再判断即可；（2）求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．）【解答】（1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，∴此根是±1，当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，即0＝0，此时m为任何数；当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，解得：m＝﹣3．2．（2019•晋江市二模）已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m时，此时方程是一元一次方程，其根为x，符合题意；②当2m﹣1≠0即m时，△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（2m﹣1）＝（2m﹣1）2+4＞0，∴当m时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m，②2m﹣1＝0时，m（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．3．（2019•十堰模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+m＝0有实数根，（1）求m的取值范围．（2）若此方程的两实数根为x1，x2满足且4，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据方程的系数结合4，可得出关于m的方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+m＝0有实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]﹣4×1×（m2+m）≥0，解得：m≥﹣1．（2）∵x1，x2是方程x2﹣2（m+1）x+m2+m＝0的解，∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+m，∴4，解得：m，经检验，m是原方程的解，且符合题意，∴当4时，m．点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据方程的系数结合4，找出关于m的方程．考点六、一元二次方程的应用例6．（2019•杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元/件，设一次性购买x万件（x＞10）（1）若x＝15，则售价应是元/件；（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；【分析】（1）由一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），据此将x＝15代入计算可得；（2）根据总利润＝单件利润×销售量求解可得．【解析】（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），当x＝15时，100﹣2x＝70（元/件），故答案为：70；（2）根据题意知，（100﹣2x﹣20）x＝728，整理，得﹣2x2+80x＝728．解得x1＝26，x2＝14．因为100﹣2x≥50，所以10＜x≤25．所以x＝14符合题意．答：一次性购买14万件产品时，该公司的销售总利润为728万元．【变式训练】1．（2019•红河州二模）今年是“五四”运动100周年，为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，引领广大团员青年坚定理想信念，争当全市创新启动发展的主力军，展现团员青年的风采，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，学校团委准备组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，学校团委体育部应该邀请多少个队参赛？【分析】设学校团委体育部应该邀请x个队参赛，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解析】设学校团委体育部应该邀请x个队参赛，根据题意得：9×4，整理得：x2﹣x﹣72＝0，即（x﹣9）（x+8）＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去），则学校团委体育部应该邀请9个队参赛．点睛：此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．2．（2019•临清市一模）某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解析】（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，三人间的房间数为100﹣3m，设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300∵y随m的增大而减小∴当m＝12时，y的最大值为252．当m＝15时，y的最小值为240．答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．3．（2019•渝中区校级模拟）因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天可多售30碗．（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元．【分析】（1）设每碗小面的售价为x元，根据该小面店每天至少卖出360碗，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据总利润＝每碗利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其不超过20的值即可得出结论．【解析】（1）设每碗小面的售价为x元，依题意，得：300+30（25﹣x）≥360，解得：x≤23．答：每碗小面的售价不超过23元．（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意，得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，整理，得：y2﹣41y+420＝0，解得：y1＝20，y2＝21．∵店家规定每碗售价不得超过20元，∴y＝20．答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．4．（2019•邵阳县模拟）建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．【解析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．5．（2019•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．【解析】（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×622，解得，此方程无解；当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×622，解得，b1＝1，b2＝14（舍去），即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能等于22cm2．。

中考一轮复习导学案及专题精练目录➢第1讲实数概念与运算➢第2讲整式与因式分解➢第3讲分式➢第4讲二次根式➢第5讲一元一次方程及其应用➢第6讲一次方程组及其应用➢第7讲一元二次方程及其应用➢第8讲分式方程及其应用➢第9讲一元一次不等式组及其应用➢第10讲平面直角坐标系与函数➢第11讲一次函数的图象与性质➢第12讲一次函数的应用➢第13讲反比例函数➢第14讲二次函数的图象及其性质➢第15讲二次函数与一元二次方程➢第16讲二次函数的应用➢第17讲几何初步及平行线相交线➢第18讲三角形与多边形➢第19讲全等三角形➢第20讲等腰三角形➢第21讲直角三角形与勾股定理➢第22讲相似三角形及其应用第1讲 实数概念与运算一、知识梳理实数的概念1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。

(1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。

(2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。

实数a 的相反数是______0的相反数是________②性质： 若a+b=0 则a 与b 互为______, 反之，若a 与b 互为相反数，则a+b= _______(3)倒数：①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。

②a 的倒数是________(a ≠0)(4)绝对值：① 定义：一般地数轴上表示数a 的点到原点的_______, 叫数a 的绝对值。

②2、平方根、算术平方根、立方根(1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a 的平方根，a 的平方根表示为_________.（a ≥0）(2)算术平方根：正数a 的____的平方根叫做a 的算术平方根，数a 的算术平方根表示为为_____（a ≥0）(3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a 的立方根，数a 的立方根表示为______。