空间几何体复习资料

第一章 空间几何体一、知识点归纳（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

(三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径）2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积1)3V S S h =++⨯下上（ ④球体的体积343V R π=222r rl Sππ+=二、例题例1下列说法中，正确的是( ) .（A ）有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱 （B ）棱柱的侧棱长一定相等, 侧面是平行四边形（C ）有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体叫棱锥（D ）有两个面是相互平行的相似多边形,其余各面都是梯形的多面体一定是棱台 例2下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④例3如图所示，在长方体////D C B A ABCD -中，用截面截下一个棱锥//DD A C -，求棱锥//DD A C -的体积与剩余部分得体积之比.例4如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.三、练习1下列命题中，正确的是（ ）.（A ）有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 （B ）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 （C ）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 （D ）棱台各侧棱的延长线交于一点2．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A.2倍 B.42倍 C.22倍 D.21倍/AABCD /D /B/C3．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（ ）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．2:3:4D ．1:8:27 4、下列各组几何体中是多面体的一组是（ ） A 三棱柱 四棱台 球 圆锥 B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台 C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 D 圆锥 圆台 球 半球 5．下列说法正确的是（ ）A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 6．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 （ ） （A ） 圆锥 (B)棱柱 （C ）圆柱 (D)棱锥7、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（ ） A 2 B 2.5 C 5 D 10 8．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）C.9．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对11、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。

空间几何体一：棱柱1，定义有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做“棱柱”2，分类斜棱柱棱柱；正棱柱（侧棱垂直于底）其他棱柱面，且底面是正多边形）直棱柱（侧棱与底面垂直3，底面：两个可以重合的多边形4，侧面：平行四边形5，侧面积6，表面积7，体积二：棱锥1，“棱锥”定义有一个面是多边形，锥；2，分类“正棱锥”定义其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱假如一个棱锥的底面是正多边形，棱锥；否就它是斜棱锥；3，底面4，侧面5，侧面积6，表面积7，体积并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正PCOBAD三：棱台1，“棱台”定义用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台；2，分类“正棱台”定义由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；3，底面4，侧面5，侧面积6，表面积7，体积留意：棱台常常补成棱锥讨论四：圆柱1，定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴， 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫“圆柱”；五：圆锥1，定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， “圆锥”；该直角边叫圆锥的轴； 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做六：圆台1，定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做“圆台” 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积；七：空间几何体的体积与表面积 1，多面体的面积和体积公式名称 侧面积 (S 侧 ) 全面积 (S 全)体 积 (V)S 底 ·h=S 直截面 ·h 棱柱直截面周长 ×l棱 柱S 侧+2S 底S 底 ·h直棱柱 ch 棱锥 各侧面积之和棱 锥1 底 ·hS 3S 侧+S 12底正棱锥 ch ′ 棱台 各侧面面积之和1 棱 台上底 +S 下底 + h(S 3)侧+S 上底 +S 下底1 2S S 下S 下正棱台(c+c ′h )′表中 S 表示面积， c ′， c 分别表示上，下底面周长， h 表示高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长；2，旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球2πrl πrl π(r1+r2)lS 侧222 2πr(l+r ) πr(l +r ) π(r1+r 2)l+π(r 1+r 2)4πR S 全1 31343222322πr hπh(r 1+r1r 2+r 2)πR πr h( 即πr l)V表中l ，h 分别表示母线，高，r 表示圆柱，圆锥与球冠的底半径，r 1，r 2 分别表示圆台上，下底面半径，R表示半径；八：空间几何体的三视图与直观图1，正视图光线从几何体的前面对后面正投影，得到投影图；2，侧视图光线从几何体的左面对右面正投影，得到投影图；3，俯视图光线从几何体的左面对右面正投影，得到投影图；九，“斜二测”画法.正六面形的斜二测画法示意图xoy 901：在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，（即取）；o ' x ', o' y' ，取x ' o' y ' 45 (or135 ) ，它们确定的平2：画直观图时，把它画成对应的轴面表示水平平面；x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于3：在坐标系x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半；24结论：一般地，采纳斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.。

专题37 空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。

围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。

几何体不是实实在在的物体。

平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。

例1-1．下列是几何体的是( )。

A 、方砖B 、足球C 、圆锥D 、魔方【答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。

例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面。

(×)(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。

(×)(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。

(×)(4)书桌面是平面。

(×)(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。

(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。

(6)平行四边形是一个平面。

(×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体。

(×)(8)任何一个平面图形都是一个平面。

(×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。

(√)(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。

(×)(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。

(√) 例1-3．下列说法正确的是 。

①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。

【答案】②③【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确。

[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。

A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面B 、一个几何体可以没有顶点C 、一个几何体可以没有棱D 、一个几何体可以没有面【答案】BC【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，故选BC 。

《空间几何体》复习要点一、几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”，注意虚、实线的区别．二、几何体的直观图画几何体的直观图一般采用斜二测画法，步骤清晰易掌握，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z 轴的线段长度不变)来掌握，在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中角度和长度的变化．三、例题讲解例题1：如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．改：把本例中的几何体上下颠倒后如图，试画出它的三视图例题2：如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB=6，DC=4，AD=2，则这个平面图形的实际面积是.【思路点拨】由∠BCx=45°，先计算BC的长度．【解析】由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不变，仍为4和6，高CB为【误区点评】梯形的高容易误认为AD，而实际是BC.四、习题精炼1、用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱，圆锥，球体的组合体2、已知某物体的三视图如图1所示，那么这个物体的形状是()A．六棱柱B．四棱柱C．圆柱D．五棱柱图1 图2 图33、已知一个几何体的三视图如图2所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱4、关于如图3所示几何体的正确说法为()①这是一个六面体②这是一个四棱台③这是一个四棱柱④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱A ．①②③④⑤B ．①③④⑤C ．①④⑤D ．①③④5、右图4为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为 .图4 图56、三视图如图5的几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台 7、如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

知识空间立体几何知识点归纳：1. 空间几何体的类型（ 1）多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。

（ 2） 旋转体： 把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

如圆柱、圆锥、圆台。

2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。

正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。

正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。

正四面体：所有棱都相等的四棱锥。

3. 空间几何体的表面积公式棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ： S 2 rl 2 r2圆锥的表面积： S rlr2圆台的表面积：Srlr2RlR2球的表面积：S4 R 24．空间几何体的体积公式： VS底 h： V1h柱体的体积锥体的体积S 底3台体的体积：1球体的体积： V43V（ S 上下下hR3S 上 SS )35. 空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。

俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

画三视图的原则：长对正、宽相等、高平齐。

即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。

6 . 空间中点、直线、平面之间的位置关系（ 1） 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。

（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。

（3）平面与平面的位置关系：平行；相交。

7.空间中点、直线、平面的位置关系的判断（1）线线平行的判断：①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。

②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。

（2）线线垂直的判断：①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

..DOC版. 立体几何复习资料（1）一、空间几何体1．1棱柱、棱锥和棱台知识点：1、棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

平移的起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面。

底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…2、棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。

3、棱台：棱锥被平行于地面的一个平面所截之后，截面和底面之间的部分叫做棱台。

1．2圆柱、圆锥、圆台和球知识点：1、将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着他的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做地面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线。

2、球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球，半圆弧旋转而成的曲面叫做球面。

3、旋转面旋转体：一般的，一条平面曲线饶它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何称陈为旋转体。

1．3中心投影和平行投影1、投影：投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。

2、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影，按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。

3、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。

4、视图：视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。

光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下地称为俯视图，自左向右地称为左试图，用这三种视图刻画空间物体的结构，我们称之为三视图。

5、三视图要点主视图与左视图高要保持平齐，主视图与俯视图的长应对正，俯视图与左视图的宽度应相等（高平齐，宽相等，长对正）1．4直观图画法斜二测画法(1)在空间图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz=90°,∠y Oz=90°(2) 画直观图时把他们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，他们相交与O′，并使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°. x′轴和y′轴所确定的平面表示水平平面。

空间几何体知识点梳理：一、常见空间几何体定义：1 ．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，(1) 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，直棱柱的侧棱即为棱柱的高．(2) 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱，两底面中心的连线即为棱柱的高．2 ．棱锥：有一个面是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥称为正棱锥．正棱锥具有性质：①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；②正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥的斜高．(2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体．(3) 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形．3 ．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．4 ．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．5 ．圆锥：以直角三角形 的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．6 ．圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．7 ．球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球．二、空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．注：1、球的三视图都是圆，长方体的三视图都是矩形．2、圆柱的正视图、侧视图都是全等矩形，俯视图是圆．3、圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是圆及圆心．4、圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰体性，俯视图是两个同心圆。

表示空间图形的平面图形 ，叫做空间图形的直观图．可用 斜二测画法画空间图形的直观图二、简单几何体的表面积与体积知识点梳理：1．旋转体的表面积(1) 圆柱的表面积S ＝2πr2＋2πrl( 其中r 为底面半径，l 为母线长) ．(2) 圆锥的表面积S ＝πr2＋πrl （其中r 为底面半径，l 为母线长) ．(3) 圆台的表面积公式S ＝'22'r r r l rl +++ 其中r′ 、r 为上、下底面半径，l 为母线长) ．(4) 球的表面积公式S ＝4π2R ( 其中R 为球半径) ．2．几何体的体积公式(1)柱体的体积公式V ＝Sh(其中S 为底面面积，h 为高)．(2)锥体的体积公式V ＝13Sh(其中S 为底面面积，h 为高)． (3)台体的体积公式V ＝13(S ＋SS′＋S′)h(其中S′、S 为上、下底面面积，h 为高)． (4)球的体积公式V ＝43π3R (其中R 为球半径)． 题型总结：一、空间几何体题型精选讲解题型一 空间几何体的基本概念的考察1、下列命题中正确的是 ( )A ．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥B ．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台C ．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面圆的半径题型二 三视图的考察1、(2009·海南、宁夏) 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积( 单位：cm2) 为（ )A ．48＋122B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 22、(2011·辽宁) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23 ，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2D. 3题型三 平面图的直观图（斜二测面法）1、如图所示的直观图，其平面图形的面积为 （ ）A ．3 B.322C ．6D ．3 2 2、如图所示为一平面图形的直观图，则这个平面图形可能是 （ ）题型四 其他类型：展开、投影、截面、旋转体等 1、面积为3的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是________．2、 如图，长方体ABCD －A1B1C1D1 中，交于顶点A 的三条棱长分别为AD ＝3 ，AA1 ＝4 ，AB ＝5 ，则从A 点沿表面到C1 的最短距离为 ( )A ．52 B.74 C ．45 D ．3103、已知半径为5 的球的两个平行截面的周长分别为6π 和8π ，则两平行截面间的距离为 ( )A ．1B ．2C ．1 或7D ．2 或6二、简单几何体的表面积与体积题型精选讲解题型一 与三视图相 结合1、(2010· 天津) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________2、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是：A.4π3 B ．2πC.8π3D.10π3题型二 内接与外接的知识 1、(2008·福建)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________．2、(2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．补充知识：1．平行于棱锥底面的截面的性质棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥，有如下比例性质：S 小锥底S 大锥底＝S 小锥全面积S 大锥全面积＝S 小锥侧S 大锥侧＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 注：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积的比时，会大大简化计算过程；在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．2．有关棱柱直截面的补充知识在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的上、下底面就是直截面．棱柱的侧面积与截面周长有如下关系：S 棱柱侧 ＝c 直截l ( 其中c 直截 、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长) ．3．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算(1) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键．(2) 计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件求出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．。

专题37空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。

围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。

几何体不是实实在在的物体。

平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。

例1-1．下列是几何体的是()。

A 、方砖B 、足球C 、圆锥D 、魔方【答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。

例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面。

(×)(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。

(×)(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。

(×)(4)书桌面是平面。

(×)(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。

(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。

(6)平行四边形是一个平面。

(×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体。

(×)(8)任何一个平面图形都是一个平面。

(×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。

(√)(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。

(×)(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。

(√)例1-3．下列说法正确的是。

①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。

【答案】②③【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确。

例1-4．如图所示的是平行四边形ABCD 所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD ；②平面BD ；③平面AD ；④平面ABC ；⑤AC ；⑥平面α。

1.1柱、锥、台、球的结构特征（1） 棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A 'B 'C 'D 'E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD ' 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形； 侧面、对角面都是平行四边形； 侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2） 棱锥定义：有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A 'B 'C 'D 'E ' 几何特征:侧面、对角面都是三角形； 平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。

3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 PA 'B 'C 'D 'E ' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4） 圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ，其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体几何特征:①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5） 圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6） 圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。

空间几何体单元复习【重要知识点】1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________．4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥．5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．6、以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．7．由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．8．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是____________，而中心投影的投影线________________．9．三视图包括____________、____________和____________，其中几何体的____________和____________高度一样，____________与____________长度一样，____________与____________宽度一样．10．空几何体的直观图：掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的基本步骤11．旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________ 表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________ 表面积：S＝________圆台上底面面积：S上底＝____________ 下底面面积：S下底＝____________ 侧面积：S侧＝__________表面积：S＝________________12．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ．13．球的表面积公式S= ，体积公式V= ，其中R 为球的半径．题型一：空间几何体的结构1、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( ) A 、至多有一个是直角三角形 B 、至多有两个是直角三角形 C 、可能都是直角三角形 D 、必然都是非直角三角形2、下列判断中正确的个数是（ ） ①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做球面 ③球面和球是同一个概念④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积分别为π4 2cm 和25π 2cm 求 （1）圆台的高（2）截得此圆台的圆锥的母线长4、已知棱锥V-ABC 的底面积是642cm ，平行于底面的截面111C B A 的面积是42cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过O O 1的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积题型二、空间几何体的三视图和直观图【例1】用斜二测法画直观图1、画出如图水平放置的等腰梯形的直观图2、如图为一个平面图形的直观图，画出它的实际形状3、已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图4、一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图。

本重点包括柱、锥、台、球的概念、性质、表面积与体积，直观图与三视图，这些是立体几何的基础，也是研究空间问题的基本载体，所以是高考考查的热点。

知识框架1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积和体积一、考查形式与特点1、本章内容多以客观题出现，考查基本知识，对空间几何体的特征与性质的理解，三视图和直观图，几何体表面积与体积的计算等。

三视图考查特点：一是给出空间图形，选择其三视图；二是已知其中两种三视图，画出另外一种视图；三是三视图与面积体积计算结合在一起考查。

2、球体在近几年的高考中出现频率较高，特别是棱柱、棱锥中球的内切、外接问题，在复习时更要注意多练习相关的题目。

对球中的体积、表面积、球面距离等问题也要进行重点掌握。

3、培养与发展考生的空间想象能力、推理证明能力、运用图形语言进行交流的能力。

考查空间想象能力及空间模型的构造能力。

二、方法策略1、“化整为零”是本章的基本思想。

将一个复杂的几何体分割成若干个常见的熟悉的几何体，或者把几个简单的几何体组合成一个新的几何体，目的在于化繁为简，寻求解题的捷径。

立体几何和平面几何有着密切的联系，空间图形的局部性往往可以透过平面图形的性质去研究，利用截面可以把锥体中的元素关系转化为三角形中的元素关系。

2、“以直代曲”的思想方法即通过空间图形的展开将立体几何问题转化为平面几何问题，曲面问题转化为平面问题，如在推导圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式时，就是将其侧面展开，转化为长方形、扇形、圆环来解决。

3、三视图之间的投影规律为：正、俯视图――长对正；正、侧视图――高平齐；俯、侧视图――宽相等。

三视图是新增内容，是高考考查重点，它能极大培养学生的空间想象能力与感知能力，熟悉常见简单几何体三视图在数量上的关系，善于将三视图中的数量关系与原几何体的数量关系联系起来，进行相关的计算。

4、球的表面积与体积的计算的关键是求出球的半径，然后再利用表面积公式及体积公式求解.球的表面积与体积问题常置于多面体的组合体中，解答时要充分利用切、接点正确作出过球心截面，从而使空间问题转化为平面问题，再利用球的半径与多面体的元素的关系求解.特别要注意的题型是球与长方体、正方体的组合体.5、解决问题的重要手段：截、展、拆、拼（1）“截”是指截面，平行于柱、锥、台底面的截面，旋转体的轴截面是帮助我们解题的有力“工具”。

空间的几何体一、知识清单1、棱柱的结构特征（1）棱柱的结构特征（2）棱柱的分类：底面是正多边形的_______称为正棱柱。

2、棱椎的结构特征（1）棱锥的定义______________,（2）正棱锥的定义：__________________ （3）正棱锥的性质：3、圆柱、圆锥、棱台、圆台的结构特征4、球（1）球的定义（2）球截面的性质：5、几何体的三视图是指：____________ , _____________ , ____________.6、水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的步骤：7、侧面积公式：圆柱的面积公式___________ ,圆锥的面积公_____________ , 表面积公式：圆柱的表面积公式_________ , 圆锥的表面积公式___________，球的表面积公式___________正棱(圆)台的侧面积_________________8、体积公式：长方体的体积公式__________ , 正方体的体积公式_________ , 圆柱的体积公式___________ , 圆锥、棱锥的长方体的体积公式____________ , 球的体积公式___________正棱(圆)台的_______________二、例题讲解例1（2011•江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A、B、C、D、23正视图图1侧视图 图22 俯视图 2图3变式：（2008•广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 （ ）A 、B 、C 、、D 、例2（2011广东文）9．如图1 ~ 3，某几何体的 正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图 分别是等边三角形，等腰三角形和菱形， 则该几何体的体积为 （ ）A ．43B ．4C ．23D ．2变式1：（2011安徽文）（8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )（A ） 48 （B ）32+817 （C ）48+817（D ）80【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242⨯+⨯=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+.故选 c变式2：（2011陕西文）5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A.283π- B.83π-C.8-2πD.23π 【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算． .三、高考题组训练 A 组1、（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是_______ , _______ , ______.2、（2011广东文）7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( ) A ．20 B ．15 C ．12 D ．10 3 、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A 、B 、C 、D 、4、（2010•上海）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_______5、（2011湖南文4）设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为_________A ．942π+ Ｂ．3618π+Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+6、（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π， 则该圆锥的体积为 _______7、（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）A 、B 、C 、D 、8、（2010•上海）若球O 1、O 2表示面积之比，则它们的半径之比= ______9、（2009•江西）体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于_______答案：例1 D A 例2 C C A A 组 1、三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）2、 D 3、D 4、 5、D 6、 7、C 8、3 9、32正视图侧视图俯视图 图1B组1、（2010•辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_________2、（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是_______3、（2008•浙江）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于______4、（2011•福建）三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于________5、（2008•重庆）如图，模块①-⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（）A、模块①，②，⑤B、模块①，③，⑤C、模块②，④，⑥D、模块③，④，⑤答案：1、2、3、π4、5、A。