2016届湖南师范大学附属中学高三月考(三)数学(理)试题

湖南师范大学附属中学2016届高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数103iz a i =+-（a ∈R ），若z 为纯虚数，则2a i -=（ ）A ．B ．2CD ．32．已知集合1,12P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()(){}10Q x x a x a =---<，则使得P Q ≠∅的一个充分不必要条件是（ ） A ．11a -<<B ．0a a -<<C ．112a -<<D ．01a <<3．在22x ⎫⎪⎭（x *∈N ）的展开式中，若只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．454．某中学高三年级理科学生共有1 000名，在某次模拟考试中，该年级的理科数学成绩近似服从正态分布N (110,100)，则在这次模拟考试中，估计该年级理科数学成绩在120分以上的人数约是（参考数据：如果随机变量()2,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=．）（ ） A ．148B ．159C ．317D ．3415．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()50f x f x +-=，且 函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，若()12f -=，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数，且()20162f =- B ．()f x 为奇函数，且()20162f = C ．()f x 为偶函数，且()20162f =-D ．()f x 为偶函数，且()20162f =6．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别与直线l 相交于点A ，B ，若△AFB 为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．C D7．设数列{}n a 的n 项和为n S ，已知()221n n S na n n =--（n *∈N ），且619S a a >，则1a 的取值范围是（ ） A ．()5,3-B ．()3,5-C ．()15,1-D ．()1,15-8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，其中图象是高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y给出下列四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的最大值为2；③14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④6f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．计算机执行如图所示的程序，则输出的S 的值为（ ）A ．30B ．120C ．360D ．72010．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积是（ ） A ．32π B ．20π C ．16π D ．10π11．已知实数x ，y 满足210310x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则2z y x =--的取值范围是（ ）A ．[-3,1]B ．33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．已知函数()23415123415x x x x f x x =+-+-++，()23415123415x x x x g x x =-+-+--，设函数()()()11h x f x g x =+⋅-，若()h x 的零点都在区间(),a b (),,a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为 选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某种活性细胞的存活率()%y 与存放温度x （℃）之间有如下几组样本数据：经测算，6℃时，该种细胞的存活率的预报值为 %．14．已知两个非零向量a ，b 满足：对任意λ∈R ，λ-≥-a b a b 恒成立，且2=b ，则⋅=a b ．15．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，过原点O 作l 的垂线，垂足为M ，当OA OB ⋅取最小值时，点M 的轨迹方程是 ．16．已知又穷数列1a ，2a ，…，11a 满足：10a =，114a =，且()111,2,,10k k a a k +-==．则符合上述条件的不同数列共有 个．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =60°，c =．（1）若△ABC 的面积为a b +的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，求a b +的取值范围． 18．（本小题满分12分）某中学教学教研组共有30位老师，多数人爱好体育锻炼，经体检调查，这30位老师的健康指数（百分制）如右茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望．观测值公式：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++如图1，四边形PBCD 是等腰梯形，BC ∥PD ，PB=BC=CD=2，PD=4，A 为PD 的中点，将△P AB 沿AB 折起，使PC=2，如图2． （1）证明：AB ⊥PC ；（2）求二面角B -PC -D 的余弦值．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）与圆E ：2220x y y +--=在第一象限相交于点P ，椭圆C 的左、右焦点1F ，2F 都在圆E 上，且线段1PF 为圆E 的直径．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且直线l 与y 轴相交于D 点，M 为线段AB 的重大，O 为坐标原点，若1OM OD ⋅=，求OM AB ⋅的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数()21x f x e ax bx =---，其中e 为自然对数的底数，a ，b 为实常数．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y e x =--，求函数()f x 的值域； （2）若()10f =，且存在()12,0,1x x ∈，使得()()120f x f x <成立，求实数a 的取值范围． 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩（α为参数），点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上对应的参数4πα=．（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）过点P (1,0)作斜率为2的直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x =--+，设不等式()20f x -<<的解集为M ． （1）求集合M （用区间表示）；（2）若a M ∈，b M ∈，证明：412ab a b ->-．。

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1。

设复数z 313z i z =+,则z =（ ） A 3 B 6 C 23 D 3【答案】D【解析】 试题分析：由题意得，133133(1)z i z z i -=⇒==++，所以z =33，故选D ． 考点：复数的运算及复数模的计算．2.已知命题:P 在三角形ABC 中，“A B >”成立的充分必要条件是“sin sin A B >"；命题:Q 若随机变量X 服从正态分布2(1,)N a ，且X 在(0,1)内取值的概率为0。

4，则X 在(0,2)内取值的概率为0。

8；下列命题中正确的是（ ）A ．P Q ∧B ．P Q ⌝∧C ．P Q ∧⌝D ．P Q ⌝∧⌝【答案】A考点:命题的真假的判定．3.已知向量001(1,1sin 20),(,)sin 55a b x =+=共线,则实数x 的值为（ ) A ．1 B ．2 C ．02tan 35D ．0tan 35 【答案】B 考点:向量的运算及三角恒等变换．4.某几何体的正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中四边形都是边长为2的正方形，正视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积为（ ）A ．24B ．2042+C ．2442+D．2043+【答案】B【解析】试题分析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个四棱锥得到的,该四棱锥的底为正方体的上底和高都为1，如图所示,所以四棱锥的斜高为2h'=，所以该几何体的表面积为215242220422S=⨯+⨯⨯⨯=+，故选B．考点:几何体的三视图及表面积的计算．5.设集合{}{}22,0,1,6,|,2,2A B k k R k A k A==∈-∈-∉,则集合B中所有元素之积为( ）A．48 B．83C．96D．192【答案】C【解析】试题分析:由题意得，{}2,0,1,6A=且22,2k A k A-∈-∉，令22k-分别等于2,0,1,6，解得2,2,3,22k=-±±±B中所有元素之积为96，故选C．考点:集合的新定义运算．6。

湖南师大附中2016届高三月考试卷（六）数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数221z i i=++，则下列结论中正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．2z = C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+ 【答案】C考点：复数及其运算.2.已知条件:p ()()30x m x m --->；条件:q 2340x x +-<．若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),71,-∞-+∞ B ．(][),71,-∞-+∞ C ．()7,1-D ．[]7,1- 【答案】B 【解析】试题分析：设集合{}3x x m x m P =<>+或，{}Q 41x x =-<<．因为p 是q 的必要不充分条件，则Q 是P 的真子集，所以34m +≤-或1m ≥，即7m ≤-或1m ≥，选B ． 考点：1、充要条件；2、二次不等式.3.已知sin cos 2αα+=，且()0,απ∈，则cos2α的值为（ ）A ．．14- CD ．14【答案】A 【解析】试题分析：由已知，()23sin cos 4αα+=，即31s i n 24α+=，则1s i n 24α=-．因为()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<．因为()25cos sin 1sin 24ααα-=-=，则cos sin αα-=，所以()()cos 2cos sin cos sin ααααα=-+=，选A ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式.【方法点晴】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于中等难题. 本题是考查正余弦和、差、积知一求二的常见题型，要求考生熟练掌握它们之间的互化，即sin cos sin cos sin cos αααααα+⇔⇔-，以正余弦的平方和等于1为工具，以sin cos αα为桥梁实现三者的互化，解决此类题型还应注意根的取舍.4.执行如图所示的程序框图，如果输入6n =，4m =，则输出的p 等于（ ）A ．60B ．240C ．300D ．360【答案】D考点：程序框图.5.用1，2，⋅⋅⋅，9这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ，其中a ，b ，c 三个数字之积能被10整除的三位数共有（ ）A ．96个B ．132个C ．168个D ．180个 【答案】B 【解析】试题分析：据题意，三个数字中有一个数是5，另两个数至少有一个偶数．第一类，分别从1，3，7，9和2，4，6，8中各选一个数，连同5组成三位数，有113443C C 96A =个；第二类，从2，4，6，8中任选两个数，连同5组成三位数，有2343C 36A =个，所以符合条件的三位数共有9636132+=个，选B ． 考点：排列组合.6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．43πB CD ．3π【答案】C考点：1、三视图；2、正方体的外接球.7.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示， 则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．12C ．1-D ．12-【答案】A考点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象．【易错点晴】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解），但计算量稍大，速度较慢.本题可以采用排除法解题速度较快，即先由,T π=可排除A 、C ，再由()06f π-=可排除B ，即可得正确答案D. 故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解）；2、排除法（抓住部分特征进行排除）.8.某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为15万元时，年销售量的预报值为（ ）A ．45万件B ．48万件C ．50万件D ．55万件参考公式：在回归直线方程ˆybx a =+中，1221ni ii nii x y n x yb xn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-．【答案】C考点：回归直线的方程. 9.已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则当0k >时，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：令()10f f x +=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦．设()f x t =，则()1f t =-．由图知，方程()1f t =-有两解1t ，2t ，且11t k=-，201t <<．从而方程()1f x t =有两解，方程()2f x t =也有两解．所以方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦有4个解，选D ．考点：1、分段函数；2、函数的零点.10.如图，边长为2的正方形CD AB 的顶点A ，B 分别在两条互相垂直的射线OP ，Q O 上滑动，则C D O ⋅O 的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D考点：1、向量及其运算；2、函数的最值.11.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线分别为1l ，2l ，左焦点为F ．若点F关于直线1l 的对称点P 在2l 上，在双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD【答案】A 【解析】试题分析：不妨设1:l b y x a =-，2:l b y x a =，点()F ,0c -，00,b x x a ⎛⎫P ⎪⎝⎭．因为1F l P ⊥，则001bx b a x c a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()2200b x a x c =+．因为F P 的中点00,22x c bx a -⎛⎫M ⎪⎝⎭在1l 上，则0022bx x c b a a -=-⋅，即02c x =．所以2222c c b a c ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，即223b a =．所以2e ==，选A ．12.对于区间[],a b 上的函数()f x ，若存在[]0,x a b ∈，使得()()0baf x f x dx =⎰成立，则称0x 为函数()f x 在区间[],a b 上的一个“积分点”．那么函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“积分 点”为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π【答案】B考点：1、定积分；2、三角函数的性质.【方法点晴】本题主要考查定积分、三角函数的性质，题型较新，属于较难题型.解决本题时，要求考生细读题干，弄清“积分点”这个概念，再计算220011cos 2sin 26262x dx x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，然后令()001cos 262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，结合072,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦可得02263x ππ+=，即04x π=．解此类题型关键是紧扣新概念，作为解题的突破口.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若sin 2sin A =B，且a b +=，则角C 的大小为 ． 【答案】60考点：1、正弦定理；2、余弦定理.14.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大 值为1，则113a b+的最小值为 ． 【答案】9 【解析】试题分析：作可行域，得当3x =，4y =时，目标函数z ax by =+取得最大值．由已知，341a b +=，则()11114334559333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当19a =，16b =时取等号，所以min1193a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭．考点：1、线性规划；2、重要不等式.15.设直线:l 20x y m --=与椭圆C:2214x y +=相交于A ，B 两点，M 为椭圆C 的左顶点，若∆ABM 的重心在y 轴右侧，则m 的取值范围是 ．【答案】(2,考点：直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量大、综合性较强，属于较难题型.解决本题时可以采用消去未知数x 得到228440y my m ++-=，降低计算量，再由()22163240m m ∆=-->⇒ 28m <⇒m -<<122my y +=-⇒()121222x x y y m m +=++=．又由∆ABM 的重心在y 轴右侧⇒1220x x +->⇒2m >⇒m 的取值范围是(2,．16.如图，记棱长为1的正方体为1C ，以1C 各个面的中心为顶点的正八面体为2C ，以2C 各面的中心为顶点的正方体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的正八面体为4C ，⋅⋅⋅，以此类推．则正方体9C 的 棱长为 ．【答案】18考点：1、空间几何体的结构特征；2、等比数列及其通项公式.【方法点晴】本题主要考查空间几何体的结构特征、等比数列及其通项公式，涉及合情推理思想，属于较难题型.先计算2122a a ==，在计算3222113233a a =⋅==，同理得46a =，519a =，⋅⋅⋅．由此猜想，数列1a ，3a ，5a ，⋅⋅⋅，21n a -是首项为1，公比为13的等比数列，所以4911381a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，本题的关键是观察出奇次项数列的规律.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有2nnS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”． （1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．【答案】(1)是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-. 【解析】试题分析：（1）已知可得121242n n n a --=⋅= 2log 21n a n ⇒=- ()21212n n S n n +-⇒=⋅= 24nnS S ⇒=；（2）由已知可得前n 项和()122n n n n d -T =+()()()()222148*********n n n n n d n d p n n n d n d-++-T ⇒===-T +-+恒成立()()()4240p dn p d ⇒-+--=恒成立()()()40240p d p d -=⎧⎪⇒⎨--=⎪⎩4p ⇒=，4d = ()24142n b n n ⇒=+-=-．（2）设数列{}n b 的公差为d （0d ≠），前n 项和为n T ，则()122n n n n d -T =+， ()222142n n n n d -T =+，所以()()()()222148*********n n n n n d n d n n n d n d-++-T ==-T +-+．…………………（8分）因为{}n b 是“和比数列”，则存在非零常数p ，使()()822141n dp n d+-=+-恒成立．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．…………………（10分） 所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩．因为0d ≠，则4p =，4d =．所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-．…………………（12分） 考点：1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和公式；3、对数的基本运算. 18.（本小题满分12分）某工厂有120名工人，其年龄都在2060岁之间，各年龄段人数按[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)40,50中各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1) 应抽取的人数分别为12，14，8，6；（2）均年龄约为37岁；（3）分布列见解析，期望()712E X =．试题解析：（1）由频率分布直方图可知，年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15．…………………（1分）因为400.312⨯=，400.3514⨯=，400.28⨯=，400.156⨯=，所以年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60应抽取的人数分别为12，14，8，6．…………………（3分） （2）因为各年龄组的中点值分别为25，35，45，55，对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，则250.3350.35450.2550.1537x =⨯+⨯+⨯+⨯=．由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁…………………（6分）由题设，X 的可能取值为0，1，2．其中()111011342⎛⎫⎛⎫P X ==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()11115111343412⎛⎫⎛⎫P X ==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11123412P X ==⨯=．…………………（10分）所以X 的分布列是…………………（11分） 期望()151701212121212E X =⨯+⨯+⨯=．…………………（12分） 考点：1、频率分布直方图；2、分布列；3、数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111CD C D AB -A B 中，1A A ⊥底面CD AB ，各侧棱长和底边长都为2，D 60∠BA =，E 为侧棱1BB 的延长线上一点，且11B E =． （1）求二面角1D C -A -E 的大小；（2）设点F 在线段1D E 上，若1F//A 面C A E ，求1D F :F E 的值．【答案】(1)45；(2)1D F :F 3:2E =．试题解析：（1）取C A 的中点O ，连结1D O ，OE ．因为1D D D ⊥A ，1D D CD ⊥，D CD A =，则11D CD A =，所以1D C O ⊥A ． 同理C OE ⊥A ，所以1D ∠OE 为二面角1D C -A -E 的平面角．…………………（2分） 由已知，D ∆AB 是边长为2的正三角形，则D 1OB =O =．在1Rt DD ∆O 中，1DD 2=，则1D O ==．…………………（3分）在Rt ∆OBE 中，3BE =，则OE ==4分）连结11D B ，在11Rt D ∆B E 中，11D 2B =，11B E =，则1D E ==……………（5分）显然，22211D D O +E =OE ，则1D ∆O E 为等腰直角三角形，所以1D 45∠OE =，故二面角1D C -A -E 的大小为45．…………………（6分）（2）分别以OA ，OB 为x 轴，y 轴，过点O 与平面CD AB 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0OA =，()0,1,3OE =，()D 0,1,0O =-，()1D 0,1,2O =-．…………………（8分）设(),,n x y z =为平面C A E 的法向量，则00n n ⎧⋅OA =⎪⎨⋅OE =⎪⎩，即030y z =+=⎪⎩．取1z =，则()0,3,1n =-．…………………（9分）设11D F D λ=E ，则()()111111F D D F D D D D λλA =A +=A +E =O -OA +OE -O()()()1,00,2,11,λλλ=-+=-．…………………（10分）因为1F//A 面C A E ，则1F n A ⊥，即1F 0n A ⋅=，所以()3210λλ--+=，解得35λ=．………（11分）所以113D F D 5=E ，故1DF :F 3:2E =．…………………（12分）考点：1、二面角的平面角；2、线面平行.20.（本小题满分12分）如图1，已知抛物线E 的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上，准线与y 轴的交点为T ．过点T 作圆C:()2221x y +-=的两条切线，两切点分别为D ，G ，且DG 3=．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）如图2，过抛物线E 的焦点F 任作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别交抛物线E 于P ，Q 两点和M ，N 两点，A ，B 分别为线段Q P 和MN 的中点，求∆AOB 面积的最小值．【答案】(1) 24x y =；(2)6.试题解析：（1）由对称性知，DG y ⊥轴，设DG 与y 轴的交点为H ，则D 3H =．连CD ，则R t C D ∆H 中， CD 1=，则1C 3H ==．…………………（1分） 因为D T 为圆C 的切线，则CD D ⊥T ．由射影定理，得2C C CD H T =，则C 3T =．…………（3分）因为圆心C 的坐标为()0,2，则C 2O =，所以1OT =，即12p=，得2p =． 所以抛物线E 的标准方程为24x y =．…………………（5分）（2）设直线1l 的斜率为k ，因为1l 过焦点()F 0,1，则直线1l 的方程为1y kx =+．代入24x y =，得2440x kx --=．设点()11,x y P ，()22Q ,x y ，则124x x k +=．因为A 为线段Q P 的中点，则点()22,21k k A +…………………（7分）因为12l l ⊥，则直线2l 的方程为11y x k =-+．同理可得点222,1k k ⎛⎫B -+ ⎪⎝⎭．…………………（8分）直线AB 的方程为2222122222y k x k k k k k---=---，即13y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，显然过定点()D 0,3．…………（10分）设∆AOB 的面积为S ，AB 与y 轴的交点为K ，则11332S S S x x k k ∆AOK ∆BOK A B =+=⨯⨯-=+36≥⨯=，当且仅当1k =±时取等号．所以∆AOB 的面积的最小值为6．…………………（12分考点：1、抛物线的标准方程；2、直线与圆；3、射影定理；4、直线与抛物线；5、三角形的面积；6、重要不等式.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程；、直线与圆、射影定理、直线与抛物线、三角形的面积与重要不等式，综合程度高，属于难题.本题最难点是利用重要不等式求最小值，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，才能灵活应对这类题型.21.（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =+--，其中a 为常数且0a >．（1）若曲线()y f x =与直线2ay =相切，求a 的值； （2）设1x ，2x 为两个不相等的正数，若()()12f x f x =，证明：12x x a +>．【答案】(1) 2a =；（2）证明见解析.（2）不妨设120x x <<，由()()12f x f x =⇒ ()2112x a x +-()21222ln 2ln a x x a x a x -=+--⇒ ()2222112211ln ln 22a x x x x x x x x +--=+--⇒ 222211221122ln ln x x x x a x x x x +--=+--，从而所证不等式化为22221112221122ln ln x x x x x x x x x x +--+>⇒+--()()22122212211ln 22x x x x x x x x x ++->+-- ()()()122121ln ln 2x x x x x x ⇒+->-⇒()2121122ln ln x x x x x x -->+ 21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒>+．令21x t x =（1t >），则只要证()21ln 1t t t ->+，即证()21ln 01t t t -->+．设()()21ln 01t g t t t -=->⇒+()()()()22211411t g t t t t t -'=-=⇒++当1t >时，()0g t '>⇒()g t 在()1,+∞内单调递增()()10g t g ⇒>=⇒原不等式成立．试题解析：（1）()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+---+'=+--==（0x >）．………（1分） 因为0a >，由()0f x '>，得2a x >．则()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以2ax =为()f x 的唯一极值点．…………………（2分） 因为曲线()y f x =与直线2ay =相切，则22a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()22ln 4222a a a a a a -+-=．因为0a >，则1ln 0422a a-+=．…………………（3分） 设()1ln 422a a h a =-+，则()1104h a a'=+>，所以()h a 在()0,+∞内单调递增．因为()20h =，所以2a =．…………………（5分）因为()()22112121ln ln ln ln 0x x x x x x x x +--=-+->，则不等式再化为()()22122212211ln 22x x x x x x x x x ++->+--，即()()()122121ln ln 2x x x x x x +->-，即()2121122ln ln x x x x x x -->+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．…………………（9分）令21x t x =（1t >），则只要证()21ln 1t t t ->+，即证()21ln 01t t t -->+．…………………（10分）设()()21ln 01t g t t t -=->+，则()()()()22211411t g t t t t t -'=-=++．当1t >时，()0g t '>， 则()g t 在()1,+∞内单调递增，所以()()10g t g >=，故原不等式成立．…………………（12分）考点：1、函数的极值；2、函数的最值；3、函数的单调性；4、导数的综合运用.【方法点晴】本题主要考查函数的极值、函数的最值、函数的单调性和导数的综合运用，综合程度高，属于难题. 第一小题要懂得利用22a af ⎛⎫=⎪⎝⎭建立方程进行求解；第二小题由()()12f x f x =⇒()2112x a x +-()21222ln 2ln a x x a x a x -=+--⇒222211221122ln ln x x x x a x x x x +--=+--，从而所证不等式化为21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．再用换元法进一步化为()21ln 1t t t ->+，再利用导数工具进行求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在O 的内接四边形CD AB 中，D C A =B ，过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ．（1）证明：C C D ∠BE =∠A ；（2）若4AB =，C 3A =，CD 1=，求C E 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）C E =试题解析：（1）因为D C A =B ，则劣弧D C A =B ， 所以CD C ∠A =∠BA ．因为C E 是O 的切线，则C C ∠B E =∠BA ，从而C CD ∠BE =∠A ．…（3分）因为C ∠BE 是四边形CD AB 的一个外角，则C DC ∠BE =∠A ． 所以()()C 180C C 180CD DC C D ∠BE =-∠B E+∠BE =-∠A +∠A =∠A ．…………………（5分）（2）由（1）知，C CD ∠EA =∠A ，C C D ∠AE =∠A ，则C∆A E CD ∆A ，所以CC CDAE A =A ． 因为C 3A =，CD 1=，则2C CD 9AE =A ÷=．…………………（8分）因为4AB =，则5B E =A E -A B =．由切割线定理，2C 45E =AE⨯BE =，所以C E = …………………（10分）考点：1、三角形的相似；2、切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为cos 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求直线l 被曲线C 所截得的线段长． 【答案】(1)22123sin ρθ=+；(2)165．【解析】试题分析：（1）由2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩⇒得22143x y +=⇒2222cos sin 143ρθρθ+=，即22223cos 4sin 12ρθρθ+=⇒()223sin 12ρθ+=⇒22123sin ρθ=+；（2）由cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇒cos sin θρθ-=⇒直线l的直角坐标方程为y -=⇒)1y x =-⇒其参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22143x y +=，得223141222t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒254120t t +-=⇒1245t t +=-，12125t t =-⇒12165t t -===．（2）由cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θρθ-=． 所以直线ly -=)1y x =-．…………………（6分）显然，直线l 过点()1,0，倾斜角为60，则其参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．…………………（7分）代入22143x y +=，得22314122t ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即254120t t +-=．设方程的两根为1t ，2t ，则1245t t +=-，12125t t =-，12165t t -===． 故直线l 被曲线C 所截得的线段长为165．…………………（10分） 考点：1、参数方程；2、极坐标方程；3、弦长公式. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =-++-，其中m 为常数． （1）当7m =时，求不等式()0f x >的解集；（2）设实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，若函数()f x 的最小值为2-，证明：222210a b c ++≥．【答案】（1）()(),43,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由7m =⇒()26,11274,2128,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++-=--≤<⎨⎪--<-⎩．再由()0f x >⇒1260x x ≥⎧⎨->⎩或2280x x <-⎧⎨-->⎩⇒3x >或4x <-⇒解集为()(),43,-∞-+∞；（2）由()()12123x x x x -++≥--+=⇒当且仅当()()120x x -+≤，即21x -≤≤时取等号，⇒()min 3f x m =-⇒32m -=-，则5m =．解法一：由题设5a b c ++=⇒5a c b +=-⇒()()2222522a cb ac +-+≥=⇒()()222222255120251052210222b b b b a b c b --+-+++≥+==≥．解法二：由题设，5a b c ++=，⇒()()222212112a b c a b c ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭⇒即()22252252a b c ++≥，⇒222210a b c ++≥．试题解析：（1）当7m =时，()26,11274,2128,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++-=--≤<⎨⎪--<-⎩．…………………（3分） 由()0f x >，得1260x x ≥⎧⎨->⎩或2280x x <-⎧⎨-->⎩，即3x >或4x <-．所以不等式()0f x >的解集为()(),43,-∞-+∞．…………………（5分）考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.。

高三月考试卷（三）理科数学湖南师大附中高三数学备课组组稿命题人：李莉 苏萍 周正安 审题人：贺忠良 邓仁辉时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A ={y ∈R |y =lg x , x ＞1},B ={x |0＜|x |≤2, x ∈Z },则下列结论正确的是 （D ）A ．A ∩B ={-2，-1} B ．（C R A ）∪B =（-∞，0] C ．A ∪B =[0，+∞]D ．（C R A ）∩B ={-2，-1} 2．设a 是实数，且2i 1i 1+++a 是实数，则a = （B ） A ．21B ．1C ．23 D ．23．“ac =b 2”是“a ，b ，c 成等比数列”的 （B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．3)141(-+xx 展开式中的常数项为 （A ） A ．25- B ．25C ．-1D ．15．已知0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是 （C ） A ．ab ＜b 2＜1 B ．21log b ＜21log a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜16．若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (2)=1，f (x +2)=f (x )+f (2)，则f (5)= （C ） A ．0 B ．1 C ．25 D ．5 7．焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （B ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x8．在锐角三角形△ABC 中，tan A =t +1，tan B =t -1，则t 的取值范围是 （A ） A ．（2，+∞） B ．（1，+∞） C ．（1，2） D ．（-1，1）9．一个质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1、2、3、4、5、6，连续掷此骰子3次，正面朝上的点数之和为10的不同抛掷结果有 （A ）A ．27种B ．30种C ．33种D ．36种 10．已知无穷等比数列{a n }的前n 项的积为T n ，且a 1＞1，a 2008a 2009＞1，（a 2008-1）(a 2009-1) ＜0，则这个数列中使T n ＞1成立的最大正整数n 的值等于 （C ）A ．2008B ．2009C ．4016D ．4017选择题答题卡11．已知函数f (x )=log sin1(x 2-6x +5)在（a ，+ ∞）上是减函数，则实数a 的取值范围为 [5，+∞） .12．四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1、6、3，四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的体积为 332π. 13．若动直线x =m 与函数f (x )=2cos(65π-x )、g (x )=4sin x 的图像分别交于点M 、N ，则|MN | 的最大值为 32 .14．已知A （x 1，y 1）是抛物线y 2=4x 上的一个动点，B （x 2，y 2）是椭圆13422=+y x 上的一个动点，N （1，0）是一定点.若AB ∥x 轴，且x 1＜x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是 )4,310(. 15．在平面上，OC 是平行四边形OACB 的对角线，设=a , =b , BH ⊥OC 于点H . （1）若|a |=|b |=1，∠AOB =60°，则|OC |= 3 ；（2）若∠AOB ＜90°，请你用a ，b 表示OH = )(||)(2b a b a bb a ++∙+.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，sin B +sin C =sin(A -C ). （1）求A 的大小；（2）若BC =3，求△ABC 的周长l 的最大值. 解：（1）将sin B +sin C =sin(A -C )变形得sin C (2cos A +1)=0, （2分） 而sin C ≠0，则cos A =21-，又A ∈（0，π），于是A =32π； （6分） （2）记B =θ，则C =3π-θ（0＜θ＜3π），由正弦定理得⎪⎩⎪⎨⎧-π==)3sin(32sin 32θAB θAC ， （8分） 则△ABC 的周长l =23[sin θ+sin(3π-θ)]+3=23sin(θ+3π)+3≤23+3， （10分） 当且仅当θ=6π时，周长l 取最大值23+3. （12分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车每年最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为91、101、111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分布列与期望.解：设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k =1，2，3.由题意知A 1、A 2、A 3相互独立，且P （A 1）=91，P （A 2）=101，P （A 3）=111. （1）该单位一年内获赔的概率为 1-P (1A 2A 3A )=1-P (1A )P (2A )P (3A )=1-113111010998=⨯⨯. （5分） （2）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000. （6分） P (ξ=0)=P (1A 2A 3A )=P (1A )P (2A )P (3A )=118111010998=⨯⨯， （7分） P (ξ=9000)=P (A 12A 3A )+P (1A A 23A )+P (1A 2A A 3) =P (A 1)P (2A )P (3A )+P (1A )P (A 2)P (3A )+P (1A )P (2A )P (A 3) =451199024211110998111010198111010991==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， （8分） P (ξ=18000)=P (A 1A 23A )+P (A 12A A 3)+P (1A A 2A 3) =P (A 1)P (A 2)P (3A )+P (A 1)P (2A )P (A 3)+P (1A )P (A 2)P (A 3) =1103990271111019811110991111010191==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， （9分） P (ξ=27000)=P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=990111110191=⨯⨯. （10分） 综上知，ξ（11分）由ξ的分布列得 E ξ=18.27181129900990127000110318000451190001180≈=⨯+⨯+⨯+⨯(元). （12分）如图，P —ABCD 是正四棱锥，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB =2，P A =6.（1）求证：P A ⊥B 1D 1；（2）求平面P AD 与平面BDD 1B 1所成的锐二面角θ的大小； （3）求B 1到平面P AD 的距离. 解：解法一：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ， 则PO ⊥面ABCD ，又∵AC ⊥BD ，∴P A ⊥BD ，∵BD ∥B 1D 1，∴P A ⊥B 1D 1. （4分） （2）∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ， ∴AO ⊥面PBD ，过点O 作OM ⊥PD 于点M ，连结AM ， 则AM ⊥PD ，∴∠AMO 就是二面角A —PD —O 的平面角， （6分） 又∵AB =2，P A =6， ∴OD =2，PO =226=-， OM =32622=⨯=∙PD OD PO ， ∴tan ∠AMO =26322==OM AO ， 即二面角的大小为arctan26. （8分）（3）分别取AD ，BC 中点E ，F ，作平面PEF ，交底面于两点S ，S 1，交B 1C 1于点B 2，过点B 2作B 2B 3⊥PS 于点B 3，则B 2B 3⊥面P AD ，又B 1C 1∥AD ，∴B 2B 3的长就是点B 1到平面P AD 的距离. （10分） ∵PO =AA 1=2，∴EF =221=SS ，tan ∠PSS 1=224=，sin ∠PSS 1=52， ∴B 2B 3=B 2S sin ∠PSS 1=556523=⨯. （12分 ） 解法二：以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系， （1）设E 是BD 的中点，∵P —ABCD 是正四棱锥， ∴PE ⊥ABCD .又AB =2，P A =6，∴PE =2， ∴P （1，1，4），∴11D B =（-2，2，0），=（1，1，2） （2分）∴11D B ·AP =0，即P A ⊥B 1D 1。

炎德 英才大联考 湖南师大附中2016届高三月考试卷（三）数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{1,2,3,5,7},{|26}A B x N x ==∈<≤，全集U A B =，则()U A C B =A ．{1,2,7}B ．{1,7}C ．{2,3,7}D ．{2,7}2、已知复数(cos sin )(1)z i i θθ=-+，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是A ．4πθ= B ．2πθ= C ．34πθ= D ．54πθ= 3、已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4、为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示，例如：明文()1,2,3,4对应的密文是()5,7,18,16，则当接受方收到密文()14,9,23,28时，解密得到的明文是A ．()4,6,1,7B ．(7,6,1,4)C ．(6,4,1,7)D ．(1,6,4,7)5、已知实数,x y 满足余数条件00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y z x -=+的取值范围是 A ．1[1,]3- B ．11[,]23- C ．1[,)2-+∞ D ．1[,1)2-6、已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)0f x f x ++=，且当[)0,2x ∈时，()31x f x =-，则(2015)f 的值为A ．-2B ．0C ．2D ．87、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个交点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为A ．6B ．4C ．3D ．28、现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生有且仅有两人相邻，在不同的站法种数是A ．12B ．24C ．36D ．489、已知函数()22f x x x m =-+，在区间[]2,4-上随机取一个实数x ，若事件“()0f x <”发生的概率为23，则m 的值为 A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-310、已知数列{}n a 的首项12a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n n a b a +=，若10112b b =，则21a = A ．92 B ．102 C ．112 D ．12211、设点,,A B C 为球O 的球面上三点，O 为球心，若球O 的表面积为100π，且ABC ∆是边长为O ABC -的体积为A ．12 B．．．12、已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点，设向量,OA OBa b OA OB ==，2OP a b =+，则PA PB ⋅的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

一．基础题组1. 【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考数学理试题】若复数()21+ai（为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A.1B.1-C.0D. 1±【答案】D【解析】考点：复数的运算.2.【河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试数学（理）试题】复数()1z i i =+在复平面内所对应点的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()1,1--C ．()1,1-D ．()1,1-【答案】D【解析】试题分析：因为()11z i i i =+=-+，故复数()1z i i =+在复平面内所对应点的坐标为()1,1-.考点：复数的几何意义.3.【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试数学（理）试题】设i 是虚数单位，复数i i a -+2是纯虚数，则实数=a （ ）A ．2B ．21 C ．21- D ．2- 【答案】B【解析】 试题分析：i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==-是纯虚数，210a -=∴且20a +≠，12a =∴，故选B ． 考点：1、复数的概念；2、复数的四则运算.4.【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考数学（理）试题】设复数2()1a i i ω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2，则ω的虚部为( )A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】A【解析】考点：复数的运算.5.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】在复平面内，复数z 满足()11z i +=+则z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】试题分析：由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i -==-++-，1z i =+，对应点为(1,1)，在第一象限，故选A ．考点：复数的运算，复数的几何意义．6.【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考数学（理）试题】i 是虚数单位，若21i a bi i +=++(,)a b R ∈，则lg()a b +的值是( ) A ．2-B ．1-C ．0D ．12【答案】C【解析】 试题分析：因为2(2)(1)31222i i i i i ++-==-+，所以31,,1,lg()0.22a b a b a b ==-+=+=选Ｃ． 考点：复数运算7.【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考数学（理）】复数z 满足i z i 2)1(=+，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】考点：复数的运算8.【湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）理科数学试题】已知复数(cos sin )(1)z i i θθ=-+，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是（ ）A ．4πθ= B ．2πθ= C ．34πθ= D ．54πθ= 【答案】C【解析】试题分析：因为(cos sin )(cos sin )z i θθθθ=++-，则当34πθ=时，z =为纯虚数，选C ． 考点：1、纯虚数的概念；2、三角函数运算．9.【河北省冀州市中学2016届高三上学期一轮复习检测一数学（理）试题】i 是虚数单位，若21i a bi i+=++(,)a b R ∈，则lg()a b +的值是( ) A 、2- B 、1- C 、0 D 、12【答案】C .【解析】 试题分析：因为2(2)(1)3311(1)(1)222i i i i i i i i ++--===-++-，所以由复数相等的定义可知31,22a b ==-，所以lg()a b +31lg()lg1022=-==，故应选C .考点：1、复数及其四则运算.10.【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试数学（理）试题】复数z 满足1)43(=-⋅i z （i 是虚数单位），则z = ( )A ．51B ．255C ．251D ．55 【答案】A【解析】考点：复数的模.：。

湖南师大附中2016届高三月考试卷（二）数学（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.已知复数，则｜z ｜＝（ ）A. 4B.2 C. 2 D. 1【答案】C【解析】因为z ＝－2i ，所以｜z ｜＝2，故选C 2.已知向量,则向量b 可以为A.（1，2） B ．（1，一2) C.（2，1） D.（2，一1） 【答案】A 【解析】设3.某大学共有学生5 400人，其中专科生有1 500人，本科生有3 000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取A. 55人，80人,45人B. 40人，100人，40人C. 60人，60人，60人D. 50人，100人,30人【答案】D【解析】专科生：本科生：研究生＝1500：3000：900＝5：10：3抽取专科生人数：518018⨯＝50人，抽取本科生人数：1018018⨯＝100人， 抽取研究生人数：318018⨯＝30人，故选D 。

4.设S n 为等比数列｛a n ｝的前n 项和，8a 2+ a 5=0，则52S S ＝ A. 11 B. 5 C.一8 D.一11 【答案】D 【解析】5.当n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为A、30B、14C、8D、6【答案】B【解析】当k＝1时，1≤3，是，进入循环S=2，k＝,2时，2≤3，是，进入循环S＝6，k＝3时6.函数2lnxyx=的图象大致为：【答案】D【解析】7.若，且，则sin 2α的值为（）8.已知,αβ是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，现给出下列命题：①若，则；②若③若④若.其中正确命题的个数是A. 0B.1C. 2D. 39.如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个纸巢，将体积为43π的球放在纸巢上方，则球的最高点与纸巢底面的距离为10．对于使f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若且的上确界为11、已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若｜PF｜＝5，则双曲线的离心率e为12、已知函数的两个极值点分别为，且点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13.设集合14.直线y＝x+ 2被圆M：所截得的弦长为15一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213,134等）．若，且a,b,c互不相同，任取一个三位自然数，则它为“有缘数”的概率是16．如图，椭圆,椭圆C的左、右焦点分别为F1, F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若｜PF1｜·｜PF2｜=6，则｜PM｜·｜PN｜的值为三、解答题：（70分）17、（本是满分10分）在△ABC中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，且(1)求cosB；(2)若AB＝2，点D是线段AC中点，且，若角B大于600，求△DBC的面积。

数学（文科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。

若复数()()1,z i bi b R =-∈对应的点在直线y x =上，则实数b 的值为( )A ．0B ．1C ．—1D ．32.若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1b a< B ．22ab > C ．2211a bc c >++ D ．a c b c >3。

0002sin 45cos15sin 30-的值等于（ ）A ．12B ．22C ．32D ．14。

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ )A ．83B ．8C ．453D ．455。

已知点(),P x y 的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数()2,0z x ay a =->取得最小值的最优解有无数个，则a 的取值为(）A ．1B ．2C ．6D ．86.如图12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点，若121F FF A =，则2C 的离心率是（)A ．13B ．23C ．15D ．257。

直线()11y k x =-+与椭圆2219x y m+=恒有交点，则m 的取值范围是（)A ．9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()9,99,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．()9,99,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.如图,位于A 处的海面观测站获悉,在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A 处南偏西30°且相距20海里的C 处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B 处求助，则sin ACB ∠=（ ）A ．217B ．2114C ．32114D ．21289.设命题0:p xR ∃∈，使()20020x x a a R ++=∈，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a >-B ．2a <C ．1a ≤D ．0a <10。

数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log 1A x x =<，{}|2,0x B y y x ==≥，则A B =（ ）A ．∅B ．{}|12x x <<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3.已知命题p ：(,0)x ∃∈-∞，23xx<；命题q ：(0,)2x π∀∈，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4.某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：x3 4 5 6 y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ） A ．0.7 2.05y x =+ B ．0.71y x =+C ．0.70.35y x =+D ．0.70.45y x =+5.已知3sin()25πα-=，则cos(2)πα-的值为（ ） A ．2425B ．725C ．725-D ．2425-6.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6B ．5C ．4D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知a 与b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡-+⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点(1,0)A -和(1,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<11.定义{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知实数x ，y 满足||2x ≤，||2y ≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是（ ）A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k （k n ≤）个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某国的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．14.若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++= ．15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”．设2122n n tn nb t --=-，若数列5b ，6b ，7b ，…，n b （5n ≥，*n N ∈）是“减差数列”，则实数t 的取值范围是 ．16.如图，一块均匀的正三角形的钢板的质量为kg ，在它的顶点处分别受力1F ，2F ，3F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60︒，且123||||||F F F ==．要提起这块钢板，123||,||,||F F F 均要大于x kg ，则x 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c =，60C =︒． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积．18.为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班期的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1（单位：米）．（1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值．19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60︒？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．20.如图，抛物线1C ：28y x =与双曲线2C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）有公共焦点2F ，点A 是曲线1C ，2C 在在第一象限的交点，且2||5AF =． （1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐进线相切，圆22:(2)1N x y -+=．已知点P ，过点P 作互相垂直分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 解得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由．21.设函数3211()32f x ax bx cx =++（a ，b ，c R ∈，0a ≠）的图象在点(,())x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式； （2）设函数212()()ln (23)f x h x x m x x=-++（0x >）的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点．当m ≥时，求1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2,,x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）在同一坐标系下，曲线1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．湖南师大附中2017届高三月考试卷（三）数学（理科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CACCBCDBADAC二、填空题 13.512 14.122 15.3(,)5+∞ 16.10 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin sin sin 603a b c A B C ====︒，所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= 18.解：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5．2631()5P A C ==，所以14()1()155P A P A =-=-=， 故所求的概率为45． （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a ，10a +，20，其中2611(2)15P a C ξ===，1124268(10)15C C P a C ξ=+==，24266(20)15C P C ξ===， 所以1862402(10)201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=． 令240183a +=，得7a =． 19.（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．因为1:1:2AE EA =，2AB =，1AA =3AE =，1AD =， 所以在Rt ADE ∆中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC ∆中，160C DC ∠=︒，所以190EDC ∠=︒，即1DE DC ⊥， 又1BDDC D =，所以DE ⊥平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1DE BC ⊥． （2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点D 1，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA ，DB ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则(1,0,0)A，B ，(1,0,)E m ，所以DB =，(1,0,)DE m =，(AB =-，(0,0,)AE m =， 设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1110,0,x mz =+=⎪⎩令11z =，得1(,0,1)n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则220,0,n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,0,x mz ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取21y =，得2(3,1,0)n =，所以121|cos ,|cos602n n <>==︒=，解得m =<，故存在点E ，当AE =时，二面角D BE A --等于60︒．20.解：（1）∵抛物线1C ：28y x =的焦点为2(2,0)F ， ∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，设00(,)A x y 在抛物线1C ：28y x =上，且2||5AF =， 由抛物线的定义得025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±1||7AF ==，又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得2|75|2a =-=，所以1a =，∴双曲线的方程为：2213y x -=． （2）st为定值.下面给出说明：设圆M 的方程为222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为y =．∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r ==故圆M ：22(2)3x y ++=． 依题意1l 、2l 的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为(1)y k x =-，即0kx y k -+=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，∴点M 到直线1l的距离1d =，点N 到直线2l的距离2d =，∴直线1l 被圆M截得的弦长s = 直线2l 被圆N截得的弦长t ==∴s t =st21.解：由已知可得2()'()k x f x ax bx c ==++，∵函数1()()2g x k x x =-为偶函数， ∴11()()()()22g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，所以12b =．又(1)0k -=，∴102a c -+=，12a c +=，又∵对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立，∴2111()0222a x x c -++-≤恒成立，∴10,21114()()0,422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩∴14a c ==，∴2111()424k x x x =++． （2）由（1）得，32111()1244f x x x x =++， ∴2()2ln 32h x x x mx =++-（0x >），222(1)'()22x m x h x x m xx-+=+-=，由题意得2121240,,1,m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪⋅=⎩又m ≥， ∴221212()92x x m x x +=≥，解得12102x x <≤， ∵1x ，2x （12x x <）为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点，∴21111()ln x x sx tx ϕ=--0=，22222()ln 0x x sx tx ϕ=--=， 两式相减得，11212122ln ()()()x s x x x x t x x x --+--0=， 又1'()2x sx t xϕ=--，从而12121212122()'()()()2x x y x x x x s x x t x x ϕ⎡⎤+=-=--+-⎢⎥+⎣⎦1211222()ln x x x x x x -=-+1211222(1)ln 1x x x x x x -=-+， 设12x n x =（102n <≤）， 则1212()'()2x x y x x ϕ+=-2(1)ln 1n n n -=-+（102n <≤）记为()M n ， 222(1)(1)1(1)'()20(1)(1)n n n M n n n n n +----=-=<++， ∴()M n 在1(0,]2上单调递减， ∴min 12()()ln 223M n M ==-， 故1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值为2ln 23-． 22.解：（1）由2,x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得22(2)10x y ++=， 曲线1C 的普通方程为22(2)10x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6s in ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+，即22(1)(3)10x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程．（2）∵圆1C 的圆心坐标(2,0)-，圆2C 的圆心坐标为(1,3)，∴12||C C ==<设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12C C ，∴222()2d+=，∴d =．23.解：（1）|7||1|x x ++-可以看做数轴上的点x 到点7-和点1的距离之和， ∴min (|7||1|)8x x ++-=，∴8m ≤．（2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于|3|24x x --≤，∴有3,324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3,324,x x x <⎧⎨--≤⎩从而3x ≥或133x -≤<， ∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知i为虚数单位，若复数i z i ⋅=，则||z =（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【解析】试题分析：根据复数的运算，可知1iz i ==-，所以||z =C ．考点：复数的运算． 2.已知下面四个命题：①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“0x ≠且1x ≠，则20x x -≠” ②“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件③命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则:p ⌝任意x R ∈，都有210x x ++≥④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 其中真命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C考点：1、命题的真假；2、逻辑关系．3.在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a ⋅=，465a a +=，则46a a 等于 （ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】D 【解析】试题分析：由已知：465a a +=，466a a ⋅=，即4a ，6a 为方程2560x x -+=的两解．由于1n n a a +<，所以43a =，62a =，∴4632a a =．故选D ． 考点：1、等比数列的性质；2、方程的解．4.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k > 【答案】A考点：1、程序流程图；2、循环结构．5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】试题分析：根据定理：sin cos sin c C A b B =<，那么sin sin cos C B A <，根据A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以sin()sin cos A B B A +<，整理为：sin cos 0A B <，三角形中sin 0A >，所以cos 0B <，那么2B ππ<<．考点：．1、正弦定理；2、三角形形状的判定.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ） A．8+ B．11+ C．14+ D ．15【答案】A考点：1、空间几何体的三视图；2、柱体体积的计算．7.已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=，且0A B A C mA P ++=，那么实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3-C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，根据向量的减法有，AB PB PA =-，AC PC PA =-，于是有()()PB PA PC PA mPA -+-=，故(2)0m PA PB PC --++=，又因为0PA PB PC ++=，所以21m --=，即3m =-．故选B ． 考点：向量的线性运算．8.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A ．964B ．12C ．164D ．18【答案】D 【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．考点：几何概型．9.．关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A考点：1、不等式的解集； 2、函数的单调性．10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PA ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题意，两个向量2122,F B B A 的夹为角钝角；21(,)F B c b =--，22(,)B A a b =-，则20ac b -+<，即220a ac c --<，即210e e +->，解得12e>，即112e <<．故选D ．考点：1、向量的运算；2、椭圆的离心率．11.已知函数()ln(||1)f x x =++()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A考点：1、函数的性质；2、不等式的解法．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题目；先根据函数的解析式里面有绝对值和平方，得出该函数是偶函数，再根据函数在[)0,+∞上是增函数，得()(21)f x f x >-等价于()()21f x f x >-，解不等式即可求出x 的取值范围．12.定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】试题分析：构造函数()()1f x g x x =-，当(1,)x ∈+∞时2()(1)()()0(1)f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，∴(2)(2)(2)21f a f g ===-，1(3)(3)(3)231f b f g ===-，1)c f g ===，∴(2)(3)g g g <<，即c a b <<，故选A ． 考点：1、导函数；2、不等式的解法．【易错点晴】本题考查的是导函数的应用、函数比大小的方法，属于难题；该类题目是考试中综合性较强的题，也是易错题；比较几个数的大小，常用的方法有：1、作差比大小；2、作商比大小；3、找中间量法；4、函数的单调性；利用导函数大于零，得到函数是单调递增的，利用函数的单调性可以比较出几个数的大小，做题时要仔细．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.对于实数a 和b ，定义运算(1),(1),a b a b a b b a a b+≥⎧*=⎨+<⎩，则式子1221ln ()9e -*的值为 ．【答案】9 【解析】试题分析：因为(1),(1),a b a b a b b a b a +≥⎧*=⎨+>⎩，而1221ln 239e -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以1221ln 3(21)99e -⎛⎫*=⨯+= ⎪⎝⎭.考点：1、对数运算；2、新定义问题．14.已知函数()f x x α=的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，n N *∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S = ．1考点：1、函数的性质；2、数列的性质．15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，在犯错误的概率不超过 （填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ． 【答案】5% 【解析】试题分析：22100(10302040) 4.762 3.84130705050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”. 考点：1、独立性检验；2、概率．【易错点晴】本题考查的是独立性检验问题，属于简单题；本题给出了2⨯2列联表，按照题目中给出的观测值，根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K 的值，计算过程是本题最容易出错的地方，记得先约分，一定约到最简再进行运算，很多同学一上来就进行计算，每步都出现估算值，到最后导致误差过大． 16.已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ．【答案】考点：1、函数的性质；2、参数的取值范围．【思路点晴】本题考查的是函数的图象和性质、函数的零点、函数的单调性、函数的极限等综合知识，属于中档题；由题意知存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，根据函数单调性的定义法得出函数1()ln()2x h x e x a =---+是增函数，所以最大值要大于0，得到0a <<a 的取值范围．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）已知函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求使1()2g x >成立的x 的取值集合．【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π；（2）使1()2g x >成立的x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．考点：1、函数的周期性；2、三角函数的单调性．18.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3(1)2n n S a =-． （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且35148,20b b b b +=-+=．设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ．证明：对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．【答案】（1）1a 的值为3，数列{}n a 的通项公式3nn a =；（2）证明过程详见试题解析.（2）因为354+28b b b ==-，则44b =-．又1420b b +=，则12b =．………………………………（7分）设{}n b 的公差为d ，则413b b d -=，所以2d =-，所以2(1)(2)42n b n n =+-⨯-=-．………………………………………………………………………（8分）由题设，(42)3nn c n =-⋅，则1232303(2)3(42)3n n T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅．………………………（9分）23132303(62)3(42)3n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减，得23223(2)3(2)3(2)3(42)3n n n T n -=⋅+-⋅+-⋅++-⋅--⋅．23162(333)(42)3n n n +=-+++--⋅．………………………………………………………………（10分） 所以1119(13)1553(2)3()31322n n n n T n n -++-=-++-⋅=-+-⋅-．…………………………………………（11分）故1515()322n n T n ++-⋅=-为常数．………………………………………………………………………（12分） 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的通项公式；3、错位相减法．19.（本小题12分）如图1，在Rt ABC ∆中，60ABC ∠=,90BAC ∠=，AD 是BC 上的高，沿AD 将ABC ∆折成60的二面角B AD C --，如图2．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）设E 为BC 的中点，2BD =，求异面直线AE 与BD 所成的角的大小．【答案】（I ）证明过程详见试题解析；（II ）异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角．…（6分）考点：1、面面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角． 20.（本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的右焦点1F 与抛物线C 的焦点重合，且离心率为12． （1）求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）若过椭圆E 的右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求三角形OAB （O 为坐标原点）的面积OAB S ∆的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =；椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）三角形OAB 的面积OAB S ∆的最大值为32．【解析】试题分析：（1）设0(,4)Q x ，代入抛物线方程，得08x p =，根据焦点弦公式得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴22,3a b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，且11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=，122634my y m +=+，122934y y m =-+………………（8分）2121211||||||22OABS OF y y y y ∆=⋅-=-==…………………（10分）令21m t +=，则1t ≥，OAB S ∆==1()9g t t t =+在[1,)+∞上单调递增， ∴()(1)10g t g ≥=．∴OS ∆的最大值为32．……………………………………………………………（12分）考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的性质；3、最值问题．【思路点睛】本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出p 的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于x 的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值. 21.已知函数()2x f x e ax =+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值． （3）若对于任意0x ≥，()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≥时， ()f x 在R 上单调递增，当0a <时，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增；（2）a 的值为2e -；（3）a的取值范围为[1,)-+∞．①当ln(2)1a -≤，即02ea -≤<时，()f x 最小值为(1)2f a e =+．解20a e +=，得2ea =-，符合题意．……………………………………………………………………（6分）考点：1、函数的单调性；2、最值问题；3、分类讨论的数学思想．【技巧点晴】本题考查的是函数的单调性、最值问题、恒成立问题等，属于难题；此类问题一般分两到三问，前面一问到两问相对简单，利用导函数大于等于0等价于原函数单调递增（导函数小于等于0等价于原函数单调递减）得到单调性；最后一问一般都需要构造新函数，研究新函数的性质，再利用分类讨论的数学思想，从而求出实数a 的取值范围．选做题（请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分，作答时请写清题号）22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：|||||OB OC OA +=； （2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）m 的值为2，α的值为23π．（2）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(1(3,B C ，2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==． ……………………………………………………………………………………（10分）考点：1、极坐标与直角坐标；2、参数方程．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()|2|g x af x x =--，a R ∈．（1）当0a =时，若()|1|g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围；（2）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．【答案】（1）实数b 的取值范围为[1,)-+∞；（2）函数()y g x =的最小值为0． 【解析】考点：1、绝对值不等式的解法；2、分段函数；3、最值问题．。

第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知复数z 满足i z i +=⋅+1)2321(（其中i 为虚数单位），则z 为 （ )A.2B.2 C.)13(2+ D.)13(2- 【答案】B 考点：复数的运算,复数的模。

2.“23cos =α”是“212cos =α"的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当23cos =α时,21cos 22cos 12αα=-=,当212cos =α时,可以求得3cos 2α=±，所以“23cos =α”是“212cos =α"的充分不必要条件，故选A.考点：充分必要条件的判断.3.已知函数y=f （x)对任意自变量x 都有f （x+1)=f （1-x ）,且函数f(x ）在),1[+∞上单调。

若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且)()(206a f a f =，则{}na 的前25项之和为 （ ） A 。

0 B.225 C.25 D 。

50 【答案】C考点:函数图像的对称性，等差数列的性质.4.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生,学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （ )101 B 。

253 C 。

151 D.301【答案】C【解析】试题分析:在连续的10天中随机选择3天一共有310120C=种选法,而连续3天一共有8种选法，所以对应的概率为8112015=,故选C.考点：随机时间发生的概率.5。

如图，若Ω是长方体1111D C B A ABCD -被平面EFGH 截去几何体11C EFGHB后得到的几何体,其中E 为线段11B A 上异于1B 的点,F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11D A EH ∥，则下列结论中不正确的是 ( ) A 。

2016-2017学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考（三）数学（理）一、选择题：共12题1．已知集合,,则A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算、指数函数与对数函数的性质.由指数函数与对数函数的性质可得,,则2．将直线绕原点逆时针旋转,再向右平移1个单位,所得到的直线为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查函数的图象的变换. 将直线绕原点逆时针旋转,得到图像的解析式为,再向右平移1个单位,所得到的直线为3．已知命题;命题,则下列命题为真命题的是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的真假判断、逻辑联结词、指数函数与三角函数、导数与函数的性质,考查了转化思想与逻辑推理能力.因为函数在上是减函数,所以命题是假命题,则是真命题;令,所以函数在上是减函数,又x=0时,y=0,所以,则命题是真命题,故答案为C.4．某工厂生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据:据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为0.7,则这组样本数据的回归直线方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查回归分析及其回归直线方程.由题意,设回归直线方程为,又,代入回归方程可得,则5．已知,则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式的应用.由可得,则==6．等比数列中,,则数列的前8项和等于A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】本题主要考查等比数列的应用、对数的运算性质,考查了运算能力.由题意可得==,所以⋯==7．已知,则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查基本不等式的应用,考查了转化思想与逻辑思维能力.因为,所以=≥=,当且仅当,即时,等号成立.【备注】将化为是解决本题的关键8．已知与为单位向量,且,向量满足,则的范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与模,考查了逻辑推理能力与计算能力.根据题意,设,则,所以=可化为,即向量终点在以(1,1)圆心、以2为半径的圆上,又圆心到原点的距离为,又原点在圆内,所以的范围为9．已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的定义与性质、两条直线的位置关系、中点坐标公式与对称性质,考查了转化思想与计算能力.由题意可知,c=1,2a=|PA|+|PB|,要使椭圆的离心率最大,即可求出a的最小值,设点B关于直线l的对称点为C(x,y),则|PB|=|PC|,所以当A、P、C三点共线时,2a=|PA|+|PB|取得最小值,由题意可得,求解可得C(-3,4),所以2a最小值等于, 则椭圆的离心率的最大值为10．已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式中成立的是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化思想与计算能力.设,,即函数在上是增函数,因为,所以>,所以,化简可得.11．定义,已知实数满足,设,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查函数的解析式、线性规划的应用,考查了数形结合思想与逻辑推理能力.由题意可知,=,且,胜出可行域,如图所示,易知目标函数在点B(2,2)处取得最大值10,在点C(-2,1)处取得最小值-7;目标函数在点D(2,-2)处取得最大值8,在点F(-2,1)处取得最小值-7,所以的取值范围是12．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色,从任意一点开始,按逆时针方向依次记录)个点的颜色,称为该圆的一个“阶色序”,当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时,称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“阶色序”均不相同,则称该圆为“阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】本题主要考查自定义问题、分类加法计数原理与分步乘法计数原理,考查了逻辑推理能力.如图所示“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为8二、填空题：共4题13．如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.【答案】【解析】本题考查几何概型、定积分等基础知识,意在考查考生的转化与化归能力、运算求解能力.依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=4-=4-x3|=4-,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.14．若=,则= ．【答案】122【解析】本题主要考查二项式定理、赋值法求值,考查了计算能力.令x=1可得=,令x=-1可得=,两式相减可得15．对于数列,若对任意,都有成立,则称数列为“减差数列”．设,若数列,…,)是“减差数列”,则实数的取值范围是．【答案】【解析】本题主要考查自定义问题、等差数列与等比数列的统合应用、函数的性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可得2<,>,由于,化简可得,令,易知函数在是增函数,当x=3时,取得最小值,所以最大值是,由题意可得实数的取值范围是16．如图,一块均匀的正三角形的钢板的质量为 kg,在它的顶点处分别受力,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是,且．要提起这块钢板,均要大于kg,则的最小值为．【答案】10【解析】本题主要考查线面所成的角,考查了空间想象能力、分析问题与解决问题的能力.因为每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是,所以每个与三角形所在平面所成的角的正弦值为,因为钢板的质量为 kg,所以≥,所以,由题意可得,则x的最小值为10.三、解答题：共7题17．在中,角所对的边分别为,且．(1)求的值;(2)若,求的面积．【答案】(1)由正弦定理可得:,所以,,=.(2) 由余弦定理得,即,又,所以,解得或(舍去).所以．【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式,考查了转化思想与计算能力.(1)根据题意,利用正弦定理不解即可;(2) 由余弦定理得,结合条件,求出的值,再利用三角形的面积公式求解即可.18．为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式,高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿,作为班级的旗杆之用,它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(单位:米)．(1)若从中随机抽取两根竹竿,求长度之差不超过0.5米的概率;(2)若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元,长度小于4米的竹竿价格为每根元．从这6根竹竿中随机抽取两根,若期望这两根竹竿的价格之和为18元,求的值．【答案】(1)因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5,其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5．,所以,故所求的概率为．(2)设任取两根竹竿的价格之和为,则的可能取值为,20,其中,,,所以．令,得．【解析】本题主要考查对立事件的概率、古典概型、离散型随机变量的分布列与期望,考查了分析问题与解决问题的能力.(1)求出抽取两根竹竿的所有结果,再从中找出所有的可能值,利用古典概型的概率公式求出长度之差超过0.5米的概率,再由对立事件的概率公式求解即可;(2) 设任取两根竹竿的价格之和为,则的可能取值为,20,求出每一个变量的概率,由期望值为18元求解可得结果.19．已知正三棱柱中,,点为的中点,点在线段上．(1)当时,求证:;(2)是否存在点,使二面角等于?若存在,求的长;若不存在,请说明理由．【答案】(1)证明:连接,因为为正三棱柱,所以为正三角形,又因为为的中点,所以,又平面平面,平面平面,所以平面,所以．因为,所以,所以在中,,在中,,所以,即,又,所以平面平面,所以．(2)假设存在点满足条件,设,取的中点,连接,则平面,所以,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系, 则,所以,,设平面的一个法向量为,则即令,得,同理,平面的一个法向量为,则即取,得,所以==,解得,故存在点,当时,二面角等于．【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用,考查了空间想象能力与计算能力.(1)连接,利用线面与面面垂直的性质定理可得, 再证明,即可得到结论;(2) 假设存在点满足条件,设,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,分别求出平面的一个法向量,平面的一个法向量,再利用向量的夹角公式求解即可.20．如图,抛物线与双曲线)有公共焦点,点是曲线在在第一象限的交点,且．(1)求双曲线的方程;(2)以为圆心的圆与双曲线的一条渐进线相切,圆．已知点,过点作互相垂直分别与圆、圆相交的直线和,设被圆截得的弦长为被圆截得的弦长为．试探索是否为定值?请说明理由．【答案】(1)∵抛物线的焦点为,∴双曲线的焦点为,设在抛物线上,且,由抛物线的定义得,∴,∴,∴,,又∵点在双曲线上,由双曲线定义得,所以,∴双曲线的方程为:．(2)为定值.下面给出说明:设圆的方程为,双曲线的渐近线方程为．∵圆与渐近线相切,∴圆的半径为,故圆．依题意的斜率存在且均不为零,所以设的方程为,即,设的方程为,即,∴点到直线的距离,点到直线的距离,∴直线被圆截得的弦长,直线被圆截得的弦长,∴,故为定值．【解析】本题主要考查双曲线、抛物线的定义、方程与性质、直线方程、点到直线的距离公式与弦长公式、直线与圆的位置关系,考查了转化思想与方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由已知可得c=2,再由,利用抛物线的定义,求出点A的坐标,代入双曲线方程,求解即可;(2)由以为圆心的圆与双曲线的一条渐进线相切,即可求出圆SM的方程,依题意的斜率存在且均不为零,根据题意,设出两条直线的方程,利用点到直线的距离公式与圆的性质,求出s、t的表达式,再化简即可.21．设函数)的图象在点处的切线的斜率为,且函数为偶函数．若函数满足下列条件:①;②对一切实数,不等式恒成立．(1)求函数的表达式;(2)设函数)的两个极值点)恰为的零点．当时,求的最小值．【答案】(1)由已知可得,∵函数为偶函数,∴,即恒成立,所以．又,∴,又∵对一切实数,不等式恒成立,∴恒成立,∴∴,∴．(2)由(1)得,,∴),,由题意得又,∴,解得,∵)为的零点,∴,两式相减得,,又,从而,设),则)记为,,∴在上单调递减,∴,故的最小值为．【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质与极值,考查了恒成立问题、转化思想与方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1) 由已知可得,求出b的值,再由,得,易得对一切实数,不等式恒成立,得再求解即可;(2)),,根据题意,可得再由求出的取值范围,由题意可得,相减,化简,以为自变量,利用导数求出最小值即可.22．已知曲线的参数方程为为参数),曲线的极坐标方程为．(1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)在同一坐标系下,曲线是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由．【答案】(1)由为参数)得,曲线的普通方程为,∵,∴,∴有,即为所求曲线的直角坐标方程．(2)∵圆的圆心坐标,圆的圆心坐标为,∴,所以两圆相交．设相交弦长为,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段,∴,∴,即所求公共弦的长为．【解析】本题主要考查参数方程与极坐标,考查了参直与极直互化、两个圆的位置关系.(1)消去参数可得曲线的普通方程;由已知可得,再由公式,化简可得曲线的直角坐标方程;(2)求出两个圆的圆心与半径,判断圆心之间的距离与两个半径之和的大小关系可得两个圆的位置关系,进而可得结论.23．设对于任意实数,不等式恒成立．(1)求实数的取值范围;(2)当取最大值时,解关于的不等式:．【答案】(1)可以看做数轴上的点到点和点的距离之和,∴,∴．(2)由(1)得的最大值为8,原不等式等价于,∴有或从而或,∴原不等式的解集为．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用,考查了分类讨论思想与计算能力.(1)利用绝对值三角不等式求出最小值即可;(2)可得,再去绝对值求解即可.。