最新人教版高考数学考点总复习课时规范练41 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

课时规范练41直线的倾斜角、斜率与直线的方程
基础巩固组
1.把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是()
A.y=-√3x
B.y=√3x
C.x-√3y+2=0
D.x+√3y-2=0
2.(2020上海静安区期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足()
A.-π
4≤α≤π
4
B.π4≤α<π
2
或π
2
<α≤3π
4
C.π4≤α<π
2
D.π
2<α≤3π
4
3.已知直线过A(2,4),B(1,m)两点,且倾斜角为45°,则m=()
A.3
B.-3
C.5
D.-1
4.方程y=ax+b和y=bx+a表示的直线可能是()
5.点(5,2)到直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5的距离的最大值为()
A.√13
B.2√13
C.√15
D.2√15
6.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为()
A.x+2y-6=0
B.2x+y-6=0
C.x-2y+7=0
D.x-2y-7=0
7.过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()
A.2x+y-12=0
B.2x+y-12=0或2x-5y=0
C.x-2y-1=0
D.x-2y-1=0或2x-5y=0
8.已知点(1,-2)和(√3
3
,0)在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是()
A.(π
4,π
3
) B.(π
3
,2π
3
)
C.(2π
3,5π
6
) D.(0,π
3
)∪(3π
4
,π)
9.(2020河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为()
A.2x-4y-3=0
B.2x+4y+3=0
C.4x-2y-3=0
D.2x+4y-3=0
10.(2020山东德州高三模拟)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),则y+3
x+2
的最大值为,最小值为.
11.直线l过点(-2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l的方程为.
12.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.
综合提升组
13.直线x sinπ
5+y cos3π
10
+1=0的倾斜角α是()
A.π
4B.3π
4
C.π
5
D.3π
10
14.若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
15.(2020山东日照高三段考)已知直线l过点P(2,-1),在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为.
16.(2020海南琼州中学模拟)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)求证:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.
创新应用组
17.已知点A(-2,0),点P(x,y)满足x+y=√2sinθ+π
4,x-y=√2sin(θ-π
4
),则直线AP的斜率的取值范围为
()
A.[-√3
3,√3
3
] B.[-√3,√3]
C.[-1
2,1
2
] D.[-2,2]
18.(2020浙江高三月考)已知实数k1<0<k2<k3,若三条直线l1:y=k1x,l2:y=k2x+1,l3:y=k3(x-1)围成的三角
形面积为4,则k2
k3
的最大值是()
A.1
3B.1
2
C.√3
3
D.√2
2
参考答案
课时规范练41直线的倾斜角、
斜率与直线的方程
1.B已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tan α=tan 60°=√3,
∴直线l的方程为y-√3=√3(x-1),即y=√3x.
2.B因为k=tan α,所以当k≤-1时,π
2<α≤3π
4
,当k≥1时,π
4
≤α<π
2
,即直线的倾斜角α满足π
4
≤α<π
2
或
π2<α≤3π
4
.故选B.
3.A∵直线过A(2,4),B(1,m)两点,∴直线的斜率为m-4
1-2
=4-m.又直线的倾斜角为45°,∴直线的斜率为1,即4-m=1,∴m=3.故选A.
4.D根据题意,依次分析选项:对于A,对于y=ax+b,图象经过第一、二、三象限,则
a>0,b>0,y=bx+a也要经过第一、二、三象限,所以A选项错误;
对于B,同理A,可得B 选项错误;
对于C,对于y=ax+b ,图象经过第二、三、四象限,则a<0,b<0,y=bx+a 也要经过第二、三、四象限,所以C 选项错误;
对于D,对于y=ax+b ,图象经过第一、三、四象限,则a>0,b<0,y=bx+a 要经过第一、二、四象限,符合题意;故选D .
5.B 化简(m-1)x+(2m-1)y=m-5可得m (x+2y-1)-(x+y-5)=0, 由{x +2y -1=0,x +y -5=0
⇒{x =9,y =-4,
所以(m-1)x+(2m-1)y=m-5过定点(9,-4),
点(5,2)到直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5的距离的最大值就是点(5,2)与点(9,-4)的距离,即为√(-4)2+62=√52=2√13,故选B .
6.B 解法1:直线过点P (1,4),代入选项,排除A,D,又在两坐标轴上的截距均为正,排除C .故选B . 解法2:设所求直线方程为x
a +y
b =1(a>0,b>0),将(1,4)代入得1
a +4
b =1,a+b=(a+b )
1a +4b
=5+
b
a
+4a
b
≥9,当且仅当b=2a ,即a=3,b=6时等号成立,此时截距之和最小,所以直线方程为x
3+y
6=1,即
2x+y-6=0.
7.B 设所求直线在x 轴上的截距为a ,则在y 轴上的截距为2a ,
①当a=0时,所求直线经过点(5,2)和(0,0),所以该直线方程为y=2
5x ,即2x-5y=0;②当a ≠0时,设所求直线方程为x
a
+
y 2a =1,又直线过点(5,2),所以5a +2
2a
=1,解得a=6,所以该直线方程为x
6+
y
12
=1,即2x+y-12=0.故选B.
8.D 设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π),点A (1,-2),B
√3
3
,0.
直线l :ax-y-1=0(a ≠0)经过定点P (0,-1).k PA =-1-(-2)0-1
=-1,k PB =-1-0
0-
√33
=√3.∵点(1,-2)和
√3
3
,0在直线
l :ax-y-1=0(a ≠0)的两侧,
∴k PA <a<k PB ,∴-1<tan θ<√3,tan θ≠0. 解得0<θ<π
3或
3π
4
<θ<π.故选D .
9.D∵B(-1,0),C(0,2),∴线段BC的中点的坐标为(-1
2
,1),线段BC所在直线的斜率k BC=2,∴线段
BC的垂直平分线的方程为y-1=-1
2(x+1
2
),即2x+4y-3=0.∵AB=AC,∴△ABC的外心、重心、垂
心都在线段BC的垂直平分线上,
∴△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D.
10.84
3
如图,作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象,即曲线段AB,则y+3
x+2
表示定点P(-2,-3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的连线的斜率k.连接PA,PB,由图可知k PA≤k≤k PB.
易得A(1,1),B(-1,5),则k PA=1-(-3)
1-(-2)=4
3
,k PB=5-(-3)
-1-(-2)
=8,所以4
3
≤k≤8.故y+3
x+2
的最大值为8,最小值为4
3
.
11.x+y=0或x-y+4=0若a=b=0,则直线l过(0,0)与(-2,2)两点,直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.
若a≠0,b≠0,则直线l的方程为x
a +y
b
=1,由题意知{
-2
a
+2
b
=1,
|a|=|b|,
解得{
a=-4,
b=4,此时,直线l的方程为x-
y+4=0.故直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0.
12.16根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为x
a +y
b
=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2
a
+-2
b
=1,
所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.
根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4√ab,从而√ab≤0(舍去)或√ab≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16.
13.B x sinπ
5+y cos3π
10
+1=0,则tan α=-
sin
π
5
cos
3π
10
=-
sin
π
5
cos(
π
2-
π
5)
=-1.
因为直线倾斜角的范围为[0°,180°),
∴α=3π
4
,故选B.
14.C设直线l的截距式为x
a +y
b
=1,∵直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为
2,
∴1
a +1
b
=1,1
2
|ab|=2,解得{
a=2,
b=2,或{
a=-2+2√2,
b=-2-2√2,
或{
a=-2-2√2,
b=-2+2√2.
∴直线l的条数为3.
15.x+2y=0或x+3y+1=0 若a=0,则直线l 过原点(0,0), 此时直线l 的斜率k=-1
2,故直线l 的方程为x+2y=0. 若a ≠0,则设直线l 的方程为x a
+y b
=1,即
x 3b +y
b
=1. 因为点P (2,-1)在直线l 上,所以2
3b +-1
b =1,解得b=-1
3. 从而直线l 的方程为x+3y+1=0.
综上可知,直线l 的方程为x+2y=0或x+3y+1=0. 16.(1)证明直线l 的方程可化为k (x+2)+(1-y )=0.
由{x +2=0,1-y =0,解得{x =-2,
y =1.故无论k 取何值,直线l 恒过定点(-2,1). (2)解直线l 的方程可化为y=kx+1+2k. 当k ≠0时,要使直线l 不经过第四象限, 则有{
k >0,
1+2k ≥0,
解得k>0.
当k=0时,直线l 的方程为y=1,显然符合题意. 综上,k 的取值范围是[0,+∞).
(3)解依题意,A (-1+2k k ,0),B (0,1+2k ),且{
-1+2k
k
<0,
1+2k >0,
解得k>0.
所以
S=12|OA|·|OB|=12·|-1+2k k |·|1+2k|=12·(1+2k )2k
=1
2(4k +1
k +4)≥1
2×(2×2+4)=4,
当且仅当4k=1
k ,即k=1
2时,等号成立.所以S min =4, 此时直线l 的方程为x-2y+4=0. 17.A 由{
x +y =√2sin (θ+π
4),x -y =√2sin (θ-π
4),
得{
x =sinθ,
y =cosθ,
故x 2+y 2=1,即点P (x ,y )的轨迹方程是x 2+y 2=1.过
点A 向圆作切线,两切线的斜率分别为√33,-√3
3,由图(图略)可知,k ∈[-
√33
,
√3
3
],故选A .
18.B 设l 1与l 2相交于点A ,l 1与l 3相交于点B ,l 2与l 3相交于点C ,如图所示.
由{y =k 2x +1,y =k 3(x -1),
解得{
x =k 3+1
k 3
-k 2
,y =
k 3(k 2+1)
k 3-k 2
,
即C
k 3+1k 3-k 2,k 3(k 2+1)
k 3-k 2
; 由{y =k 1x ,
y =k 2x +1,解得{x =
1
k 1-k 2
,y =
k 1k 1-k 2,即A 1k 1-k 2,k 1
k 1-k 2
;
由{y =k 1x ,y =k 3(x -1),解得{x =k
3k 3-k 1,y =k 1k 3k 3
-k 1
,
即B
k 3k 3-k 1,k 1k 3
k 3-k 1
,
因此点C
k 3+1k 3-k 2,k 3(k 2+1)
k 3-k 2
到直线l 1:y=k 1x 的距离为d=
|k 1·k 3+1k 3-k 2
-k 3(k 2+1)
k 3-k 2
|
√k 12+1
,
又这三条直线围成的三角形面积为4,所以4=S △ABC =12|AB|·d=1
2√k 12
+1
1
k 1-k 2
−k 3k
3-k 1
·
|k 1·k 3+1k 3-k 2-k 3(k 2+1)
k 3-k 2
|
√k 12+1
=1
2|1k 1-k 2-k 3k 3-k 1
|·k 1k 3+k 1
k 3-k 2−
k 3(k 2+1)
k 3-k 2
=12|(k 3-k 1)+k 3(k 2-k 1)(k 1-k 2)(k 3-k 1)|·|-k 3(k 2-k 1)-(k 3-k 1)
k 3-k 2| =12|
(k 3-k 1)+k 3(k 2-k 1)(k 1-k 2)(k 3-k 1)|·|k 3(k 2-k 1)+(k 3-k 1)k 3-k 2
| =[(k 3-k 1)+k 3(k 2-k 1)]2
2|(k 1-k 2)(k 3-k 1)(k 3-k 2
)|,
因为k 1<0<k 2<k 3,
所以[(k 3-k 1)+k 3(k 2-k 1)]2
2|(k 1-k 2)(k 3-k 1)(k 3-k 2)|
=[(k 3-k 1)+k 3(k 2-k 1)]2
2(k 2-k 1)(k 3-k 1)(k 3-k 2)
≥[2√(k 3-k 1)·k 3(k 2-k 1)]22(k 2-k 1)(k 3-k 1)(k 3-k 2
)
=4(k 3-k 1)·k 3(k 2-k 1)
2(k
2-k 1)(k 3-k 1)(k 3-k 2)
=2k 3
k
3-k 2
, 当且仅当(k 3-k 1)=k 3(k 2-k 1)时,等号成立;
所以4≥2k3
k3-k2
,即4k3-4k2≥2k3,
即2k3-4k2≥0,即k2
k3≤1
2
,
即k2
k3的最大值是1
2
.故选B.。