2020-2021学年广东省高考数学二模试卷(理科)及答案解析

第7题 导数的几何意义及应用一、原题呈现【原题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则（ ） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a << D. 0e a b <<【答案】D 【解析】解法一：设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于(),e tP t ,对函数e x y =求导得e x y '=,所以曲线e x y =在点P 处的切线方程为()e e t t y x t -=-,即()e 1e t t y x t =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()e 1et ty x t =+-上,所以()()e 1e 1e tttb a t a t =+-=+-,过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则方程()1etb a t =+-有两个不同实根,令()()1e t f t a t =+-,则()()e tf t a t '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增,且()0f t >,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减,所以,()()max e af t f a ==,如图所示,当直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点时,当0e a b <<时,直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选D.解法二：画出函数曲线e x y =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0e a b <<.故选D.【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(),ett 有2个t −−−−−−→整理出关于的方程关于t 的方程()1e t b a t =+-有2个不同实根→直线y b =与()()1e t f t a t =+-有2个交点.另外由解法二可知：点(),a b 在曲线下方且在x 轴上方时符合条件的切线有2条；点(),a b 在曲线上或在x 轴上或在x 轴下方时符合条件的切线有1条；点(),a b 在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成3y x =,点(),a b 位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下.二、考题揭秘【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数. 【得分秘籍】(1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．(2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. (3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题. 【易错警示】(1) 求导出错,如一下几个函数的导数比较容易出错：()211cos sin ,x x x x ''⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭； (2)混淆在某点处的切线与过某点的切线,注意求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x 0,y 0),解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程． (3)对曲线的切线理解失误,如误认为曲线的切线与曲线只有1个公共点,又如误认为0x =不是曲线3y x =在0x =处的切线方程.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 单选题1．（2021广东省肇庆市高三二模）曲线()1ln f x x x=-在()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y +-=D ．210x y +-=【答案】A 【解析】()211x f x x=+',()11f =-,()12f '=,故切线方程为()()121y x --=-,即230x y --=. 故选A.2．（2021湖南省部分学校高三下学期联考）函数32()71f x x x =-+的图象在点(4,(4))f 处的切线斜率为（ ） A ．8- B ．7- C ．6- D ．5-【答案】A【解析】因为()2314f x x x '=-,所以所求切线的斜率为()43161448f '=⨯-⨯=-.故选A3．（2021山东省滨州市高三二模）设曲线2ax y e =(e =2.718…为自然对数的底数)在点()0,1处的切线及直线210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a =（ ）A ．1-B ．14-C ．14D ．1【答案】B【解析】由题意,函数()2axf x e=,可得()22axf x ae'=,则()02f a '=,即曲线2ax y e =在点()0,1处的切线的斜率为2k a =,所以切线方程为12y ax -=,即21y ax =+,要使得切线与直线210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则满足两直线垂直,即221a ⨯=-,解得14a =-.故选B. 4．（2021江苏省盐城市高三5月第三次模拟）韦达是法国杰出的数学家,其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系,如：设一元三次方程)(3200ax bx cx d a +++=≠的3个实数根为1x ,2x ,3x ,则123b x x x a ++=-,122331c x x x x x x a++=,123d x x x a =-.已知函数)(321f x x x =-+,直线l 与)(f x 的图象相切于点)()(11,P x f x ,且交)(f x 的图象于另一点)()(22,Q x f x ,则（ ） A ．1220x x -= B ．12210x x --= C ．12210x x ++= D ．1220x x +=【答案】D【解析】)(261f x x ='-,211()61k f x x '∴==-,又直线过点)()(22,Q x f x ,332221211221212121()()222()1f x f x x x x x k x x x x x x x x --+-∴===++---222212112()161x x x x x ∴++-=-,化简得22212120x x x x +-=,即2121(2)()0x x x x +-=,12x x ≠,2120x x ∴+=,故选D5．（2021湖南省永州市高三下学期二模）曲线()2ln f x x =在x t =处的切线l 过原点,则l 的方程是（ ） A ．20x ey -= B ．20x ey += C ．20ex y -= D ．20ex y +=【答案】A【解析】曲线()2ln f x x =,2()f x x'=,切点为(),2ln t t ,所以切线l 的斜率(2)k f t t '==,又直线l 过原点,所以0220lnt k t t -==-,得1lnt =,t e =．所以2k e=,故切线l 的方程为()22y x e e -=-即20x ey -=．故选A ．6．（2021广东省肇庆市高三下学期5月模拟）函数1()cos f x x x=-的图像的切线斜率可能为（ ） A ．13-B ．2-C ．53-D ．4-【答案】A【解析】由1()cos f x x x=-,得'21()sin f x x x =-+,因为210x >,sin [1,1]x ∈-,所以'()1f x >-,所以函数1()cos f x x x=-的图像的切线斜率大于1-,故选A7．（2021河北省衡水中学高三第一次联考）已知M 为抛物线2:4C x y =上一点,C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ,过点P 向C 再作另一条切线2l ,则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】设()00,M x y ,由题意知,214y x =,则12y x '=,C 在点M 处的切线11:2l y x a =+,所以001122x x y x =='=,所以01x = ,则11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-,即111:24l y x =-,抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- ,则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ,则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭,解得04x =-或01x =（舍去）, 则(4,4)N -,所以2l 的方程为24y x =--.故选D8．（2021湖南省衡阳市高三下学期联考）若函数()()210f x ax a =->与()1ln g x x =-的图象存在公切线,则实数a 的最小值为（ ） A ．12eB ．21eC ．2eD ．1【解析】法一：设公切线与()f x ,()g x 图象分别切于点()()1122,,A B x y x y ，, 则()f x 图象在A 处的切线方程为：()()211112y ax ax x x --=--,即21121y ax x ax =-++,同理：()g x 图象在B 处的切线方程为：()()22211ln y x x x x --=--, 即2212ln y x x x =-+-,由上述两直线重合,122121212ln ax x ax x⎧=⎪⎨⎪+=-⎩消元1x 可得,()22211ln 4x x a =-,令()()()21ln 0h x x x x =->,则()()12ln h x x '=-,当(x ∈时,()0h x '>,当)x ∈+∞时,()0h x '<,所以()h x 在(单调递增,在)+∞单调递减,则()max 142e h x h a≤==,解得12a e≥, 方法二：在同一坐标系中作出()f x ,()g x 的图象如图所示：由图象知：()f x ,()g x 分别为上凸和下凸函数,要使()f x ,()g x 存在公切线, 只须()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立即可,即2ln xa x≥在()0,∞+上恒成立 令()2ln x h x x =,求导得()312ln xh x x-'=,当(x ∈时,()0h x '>,当)x ∈+∞时,()0h x '<,所以当x =,()h x 取得最大值为12e ,所以12a e≥故选A 9．（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月调研）已知曲线ln y x =在()11,A x y ,()22,B x y ,两点处的切线分别与曲线x y e =相切于()33,C x y ,()44,D x y ,则1234x x y y +的值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．174【答案】B【解析】由题设有33111311ln 1x x e x x e x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩,化简可得111311ln 1x x x x x -=-即31111ln ln x x x x x =+-=-, 整理得到1111ln 1x x x +=-,同理2221ln 1x x x +=-,不妨设12x x <,令12ln ln 111x y x x x x +=-=----,因为当()0,1x ∈时,2ln ,1y x y x ==--均为增函数,故1ln 1x y x x +=--为增函数, 同理当()1,x ∈+∞时,故1ln 1x y x x +=--为增函数,故12,x x 分别为1ln 1x y x x +=--在()0,1、()1,+∞上的唯一解,又1111111111lnln ,111x x x x x x ++=-=---,故111111ln 11x x x +=-, 故11x 为1ln 1x y x x +=--在()1,+∞的解,故211x x =即121=x x . 所以34123412121212x x x x y y x x ex x x x ++=+=+=,故选B. 10．（2021江苏省苏州市常熟市高三抽测）已知两曲线()2sin f x x =,()cos g x a x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭相交于点P ,若两曲线在点P 处的切线互相垂直,则实数a 的值为（ ） A ．2 BC ．2± D．±【答案】B【解析】设切点(P m ,)(0)2n m π<<,由()2sin f x x =的导数()2cos f x x '=,()cos g x a x =的导数()sin g x a x '=-, 可得2cos (sin )1m a m ⋅-=-,所以1sin cos 2m m a=, 又2sin cos m a m =, 即sin tan (0)cos 2m am a m ==>,则2222sin cos tan 12sin cos 1214a m m m m m a sin m cos m tan m a====+++,即为2314a =,解得3a =,故选B11．（2021山东省高考考前热身押题）若x ,y R ∈,0x >,求()()2224ln 21x y x x y -+---的最小值为（ ） ABC ．165D【答案】C【解析】问题可以转化为：()2,4ln A x x x-是函数24ln y x x =-图象上的点,(),21B y y +是函数21y x =+上的点,()()22224ln 21AB x y x x y =-+---.当与直线21y x =+平行且与()f x 的图象相切时,切点到直线21y x =+的距离为AB 的最小值.()2422,20,1f x x x x x x=-=+-==',舍去负值, 又()11f =-,所以()1,1M -到直线21y x =+的距离即为AB 的最小值.min AB =,2min 165AB =.故选C.12．（2021河北省邢台市高考模拟）若曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线,则m 的取值范围为（ ） A ．427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．4271,e ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A【解析】∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线, ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点, 又()()'2101x my x e x =+-=+,即()31xm x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解,设()()()311x f x x e x =+<-,()()()2'14xf x x e x =++,当4x <-时,()'0fx <；当41x -≤<-时,()'0f x >,所以()()4min 274f x f e =-=-, 又当x →-∞时,()0f x →,当1x →-时,()0f x →, 故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.故选A. 13．（2021福建省龙岩市高三三模）若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线,也是曲线1x y e =-的切线,则k b +=（ ）A ．ln22- B ．1ln22- C ．ln212- D ．ln22【答案】D【解析】设曲线2x y e -=上的点11(,)P x y ,2x y e -'=,121x k e -=； 曲线1x y e =-上的点22(,)Q x y ,e x y '=,22xk e =；11122211x x x l y e x e x e ---∴=+-：,222221x x x l y e x e x e ∴=+--：121122222121x x x x x x e e e x e e x e ---⎧=∴⎨-=--⎩,2ln 2x ∴=-, 2222111ln 21(ln 2)2222x x x k b e e x e ∴+=+-+=+--=．故选D ． 二、多选题14．（2021广东省深圳市高三下学期二模）设函数()xf x e ex =-和()()()21ln 122g x x kx k x k =-+-+∈R ,其中e 是自然对数的底数()2.71828e =,则下列结论正确的为（ ）A ．()f x 的图象与x 轴相切B ．存在实数0k <,使得()g x 的图象与x 轴相切C ．若12k =,则方程()()f x g x =有唯一实数解 D ．若()g x 有两个零点,则k 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】()x f x e e '=-,若()f x 的图象与x 轴相切,则()01xf x e e x '=-=⇒=,又(1)0f =,则切点坐标为(1,0),满足条件,故A 正确；()()212(12)1(1)(12)212kx k x x kx g x kx k x x x-+-++-'=-+-==,()0x >, 当0k <时,易知()0g x '>恒成立,不存在为0的解,故不存在实数0k <,使得()g x 的图象与x 轴相切,B 错误； 由上所述,()f x 在(0,1)x ∈上单减,(1,)x ∈+∞上单增,则()(1)0f x f ≥=； 若12k =,()211ln 22g x x x =-+,()(1)(1)x x g x x+-'=,()g x 在(0,1)x ∈上单增,(1,)x ∈+∞上单减,()(1)0g x g ≤=,故方程()()f x g x =有唯一实数解1x =,故C 正确；()(1)(12)x kx g x x+-'=,()0x >,当0k ≤时,()0g x '>恒成立,()g x 单增,不存在2个零点,故舍去； 当0k >时,()g x 在1(0,)2k 上单增,在1(,)2k+∞上单减,且0x →时,()g x →-∞,x →+∞时,()g x →-∞,故若()g x 有两个零点,则应使最大值102g k ⎛⎫>⎪⎝⎭, 即()21111111ln ()12ln 202222242g k k k k k k k k ⎛⎫=-+-+=-->⎪⎝⎭, 令11()ln 242h k k k =--,易知()h k 单调递减,且1()02h =, 因此()0h k >的解集为1(0,)2k ∈,D 正确；故选ACD15．（2021河北省邯郸市高三三模）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法,做法如下：如图,设r 是()0f x =的根,选取0x 作为r 的初始近似值,过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线()()()000:'l y f x f x x x -=-,则l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠,称1x 是r的一次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线,则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2,称x 2是r 的二次近似值；重复以上过程,得r 的近似值序列,其中()()()()1'0'n n n n n f x x x f x f x +=-≠,称1n x +是r 的n +1次近似值,这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x =的近似解,则（ ）A ．若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为1712 B ．若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为1712C ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----D ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =-+-+【答案】ABC【解析】构造函数2()2f x x =-,则'()2f x x =,取初始近似值01x =,则()()01001231'212f x x x f x -=-=-=⨯,()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则A 正确；取初始近似值02x =,则()()0100423222'2f x x x f x -=-=-=⨯,()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则B 正确；根据题意,可知()()0100'f x x x f x =-,()()1211'f x x x f x =-,()()2322'f x x x f x =-,()()3433'f x x x f x =-,上述四式相加,得()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----,则D 不正确,C 正确,故选ABC.16．（2021河北省唐山市高三下学期第二次模拟）若直线y ax =与曲线()x f x e =相交于不同两点()11,A x y ,()22,B x y ,曲线()x f x e =在A ,B 点处切线交于点()00,M x y ,则（ ）A ．a e >B ．1201x x x +-=C ．2AM BM AB k k k +>D ．存在a ,使得135AMB ∠=︒【答案】ABC【解析】对于A ：当0a ≤时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有两个不同交点,所以>0a ,如图1所示, 当直线y ax =与曲线()x f x e =相切时,设切点为()(),P t f t ,则'()x f x e =,所以切线方程为：()t ty e e x t -=-,代入点()00，解得1t =,此时a e =,所以直线y ex =与曲线()x f x e =相切,所以当a e >时直线y ax =与曲线()x f x e =有两个不同的交点, 当0a e <<时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有交点,故A 正确； 对于B ：由已知得11x ax e =,22xax e =,不妨设12x x <,则1201x x <<<,又()x f x e =在点A 处的切线方程为：()111+xxy e x x e =-,在点B 处的切线方程为()222+x xy ex x e =-,两式相减得()()121212+1+0x xx x e e x x ex e --=,将11x ax e =,22x ax e =代入得()()()()121122+1+0x x ax ax x x x a a --⋅⋅=,因为()120a x x -≠,所以121x x x +-=,即1201x x x +-=,故B 正确；对于C ：要证2AM BM AB k k k +>,即证12+>2x x e e a ,即证12+>2a ax x a ,因为>a e ,所以需证12+>2x x .令xax e =,则x e a x =,令()x e g x x =,则点A 、B 是y a =与e xy x=的两个交点,令()()()()201G x g x g x x =--<<,所以()()()2'2212x x e x x x e G x -⎛⎫=-- ⎝-⎪⎪⎭,令()()2>0x e x h x x =,则()()'32x e x h x x -=,所以当()0,2x ∈时,()'0h x <,()h x 单调递减,而01x <<,0122x x <<<-<,所以 ()()>2h x h x -,所以01x <<时,()'0G x <,所以()G x 单调递减,所以()()>10G x G =,即()()112>0g x g x --,又()()12g x g x a ==,所以()()21>2g x g x -, 而()()2'1x x g e xx -=,所以当>1x 时,()'>0g x ,()g x 单调递增,又2>1x ,12>1x -,所以21>2x x -,即12+>2x x ,故C 正确；对于D ：设直线AM 交x 轴于C ,直线BM 交x 轴于点D ,作ME x ⊥轴于点E ．若135AMB ∠=︒,则45AMD ∠=,即45MDE MCD ∠-∠=,所以()tan tan tan 11tan tan 1BM AM AM BMk k MDE MCDMDE MCD +MDE MCD +k k -∠-∠∠-∠===∠⨯∠⨯,化简得1BM AM AM BM k k +k k -=⨯,即21121211x x x x x +x e e e e ++e -=⨯=,所以21121ax ax +ax ax -=⨯,即()21121a x x x x --=,令2112m x x x x =--,则()()211212111m x x x x x x ++=--=--,又1201x x <<<,所以()()2112121111m x x x x x x ++>=--=--,而a e >,所以方程()21121a x x x x --=无解,所以不存在a ,使得135AMB ∠=︒,故D 不正确, 故选ABC ．三、填空题17．（2021山东省百所名校高三下学期4份联考）已知函数()3xf x e mx =-,曲线()y f x =在不同的三点()()11,x f x ,()()22,x f x ,()()33,x f x 处的切线均平行于x 轴,则m 的取值范围是______．【答案】2e ,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()3xf x e mx =-,所以()23xf x e mx '=-,又曲线()y f x =在不同的三点()()11,x f x ,()()22,x f x ,()()33,x f x 处的切线均平行于x 轴,所以230xe mx -=有3个不同的解,即23xe m x=,令()2xe g x x =,则()()32x e x g x x-'=,当()0g x '>时,0x <或2x >；当()0g x '<时,02x <<,所以()g x 在2x =时有极小值为()24xe g =,结合函数()2x e g x x =图象可知,234e m >,即212e m >．18.（2021江苏省南京市高三下学期5月第三次模拟）已知直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切,则2k b π+的最大值为______. 【答案】24π 【解析】由2cos y x x =+得：2sin y x x '=-,设直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切与点()2000,cos x x x +,则002sin k x x =-,又2000cos x x kx b +=+,则20000cos sin b x x x x =-+,()20000002sin cos sin 22k b x x x x x x ππ∴+=-+-+200000sin cos 2x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭,令()2sin cos 2f x x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭,()sin cos sin 22cos 22f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫'∴=++---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos 22x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,1cos 1x -≤≤,cos 20x ∴-<,∴当,2x π⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<；()f x ∴在,2π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,()222maxcos 22244f x f πππππ⎛⎫∴==+-=⎪⎝⎭,即2k b π+的最大值为24π. 四、解答题18．（2021广东省惠州市高三调研）已知实数0a >,函数()22ln f x a x a x x=++,(0,10)x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点,曲线()y f x =在点11(,())P x f x ､22(,())Q x f x (12x x <)处的切线分别为12l l ，,且12l l ，在y 轴上的截距分别为1b ､2b ．若12l l //,求12b b -的取值范围． 【解析】（1）()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<. 0a >,010x <<, 20ax ∴+>.①当110a ≥,即当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x '<, ()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<,即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<； 当1,10x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()f x 在()0,10上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.（2）1x =是()f x 的极值点,()10f '∴=,即()()210a a +-=, 解得：1a =或2a =-（舍）, 此时()2ln f x x x x =++, ()2211f x x x'=-++.1l ∴方程为：()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令0x =,得：1114ln 1b x x =+-； 同理可得：2224ln 1b x x =+-. 12//l l ,221122212111x x x x ∴-++=-++, 整理得：()12122x x x x =+,12122x x x ∴=-, 又12010x x <<<,则1112102x x x <<-, 解得：1542x <<, ()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++.令12x t x =, 则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭, 设()()21ln 1t g t t t-=++, ()()()()222141011t g t t t t t -'∴=-+=>++, ()g t ∴在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又()10g =,16ln 445g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭,即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |x ＞0}，N ={x |x 2-4≥0}，则M ∪N =（ ）A. (−∞,−2]∪(0，+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [3,+∞)D. (0,+∞) 2. 在复平面内，复数z =i(1+i)1−2i所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ ）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差4. 已知等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2a 4=4（a 3-1），则a 5=（ ）A. 8B. 16C. 32D. 645. 已知函数f(x)=ax 2+(1−a)x +2x 是奇函数，则曲线y =f （x ）在x =1处的切线得倾斜角为（ ）A. π4B. 3π4C. π3D. 2π36. 在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则FB⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. −34a⃗ +12b ⃗ B. 12a⃗ +34b ⃗ C. 12a⃗ −34b ⃗ D. 34a⃗ −12b ⃗ 7. 如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. (8+4√2)π B. (9+4√2)π C. (8+8√2)π D. (9+8√2)π 8. 十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ）A. 15B. 14C. 13D. 129. 已知函数f(x)=ax +lnx −1有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,0]∪{1}B. [0,1]C. (−∞,0]∪{2}D. [0,2]10. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点F 1关于直线AB 的对称点为M ．若MF 2⊥F 1F 2，则椭圆C 的离心率为（ ）A. √3−12 B. √3−13 C. √5−12D. √2211. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＞0)在区间[−π4，π3]上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为（ ）A. [83,7)B. [83,4)C. [4,203)D. (203,7)12. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =2，AC =BD =√3，AD =BC =√5，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A. √6B. √62C. 52D. 54二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设实数x ，y 满足{2≤x ≤3，1≤y ≤2，x +y ≤4，则yx−1的最大值为______．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，且圆E ：（x -2）2+y 2=1的圆心是双曲线C 的右焦点．若圆E 与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C 的方程为______．15. 精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作．若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有______种．16. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=3，当n ≥2时，有S n +S n -1-2S n S n -1=2na n ，则使得S 1S 2…S m ≥2019成立的正整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，AB =√2BC ，AC =2√5，点D 在边AC 上，且AD =2CD ，∠ABD =2∠CBD ．（1）求∠ABC 的大小； （2）求△ABC 的面积．18. 在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将△DFG 和△BCE 折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P -AEF ．（1）求证：EF ⊥PC ；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值．19. 某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量y i 和月销售价x i （i =1，2，3，-..10）数据进行了统计分析，得到了下面的散点图（1）根据散点图判断，y =c +d ln x 与y =bx +a 哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额=月销售量x 当月售价） 参考公式、参考数据及说明：①对一组数据（v 1，w 1），（v 2，w 2），…（v n ，w n ），其回归直线w =α+βv 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=∑(n i=1w i −w −)(v i −v −)∑(n i=1v i −v −)2，=w−v −．②参考数据：x −y −u −∑10i=1（x i −x −）2 ∑10i=1（u i −u −）2∑10i=1（x i −x −）（y i −y −）∑10i=1（u i −u −）（y i −y −） 6.506.601.75 82.502.70-143.25-27.54表中u i =ln x i ，u −=110∑10i=1u i ．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.0≈1.40．20. 己知抛物线C ：x 2=4y ，过点（2，3）的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．（l ）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当|PQ |取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程．21. 已知函数f （x ）=e x -ae -x -（a +1）x （a ∈R ）．（其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数）．（1）求函数f （x ）极值点；（2）若对于任意0＜a ＜1，关于x 的不等式[f （x ）]2＜λ（e a -1-a ）在区间（a -1，+∞）上存在实数解，求实数λ的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sinαx=2cosα(α为参数）．圆C 2的方程为（x -2）2+y 2=4，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）．（l ）求曲线C 1和圆C 2的极坐标方程：（2）当0＜θ0＜π2时，射线l 与曲线C 1和圆C 2分别交于异于点O 的M 、N 两点，若|ON |=2|OM |，求△MC 2N 的面积．23. 已知函数f(x)=|x −m|+|x +1m |(m ＞1)．（Ⅰ）当m =2时，求不等式f （x ）＞3的解集； （Ⅱ）证明：f(x)+1m(m−1)≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|x＞0}，N={x|x2-4≥0}={x|x≥2或x≤-2}，∴M∪N={x|x≤-2或x＞0}=（-∞，-2]∪（0，+∞）．故选：A．先分别求出集合M，N，再利用并集定义求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：在复平面内，复数==--i所对应的点（-，-）位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由茎叶图可知：①==84，==84，即=，故选项A错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B正确，③由选项B可知，选项C错误，④因为S甲2=[（75-84）2+（82-84）2+（83-84）2+（87-84）2+（93-84）2]=，S乙2=[（77-84）2+（83-84）2+（84-84）2+（85-84）2+（91-84）2]=，即S甲2＞S乙2，即选项D 正确，故选：D．先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解本题考查了茎叶图及平均数、中位数、方差的运算，属中档题4.【答案】A【解析】解：等比数列{a n}满足，且a2a4=4（a3-1），则×q××q3=4（×q2-1），解得q2=4，∴a5=a1q4=×42=8，故选：A．先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出a5的值本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题5.【答案】B【解析】解：函数是奇函数，可得f（-x）=-f（x），可得a=0，f（x）=x+，f′（x）=1-，即有曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为k=1-2=-1，可得切线的倾斜角为，故选：B．由奇函数的定义可得a=0，求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由斜率公式可得倾斜角．本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线斜率，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由题可知，═=．故选：D．由题可知，∵，可求出．本题考查了平面向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用7.【答案】A【解析】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：S==．故选：A．首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．8.【答案】C【解析】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵函数，∴f′（x）=+=，x＞0，当a≤0时，f′（x）=＞0恒成立，f（x）是增函数，x→+∞时，f（x）→+∞，f（1）=a-1＜0，函数有且仅有一个零点；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故只需f（x）min=f（a）=lna=0，解得：a=1，综上：实数a的取值范围为（-∞，0]∪{1}．故选：A．求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定满足条件的a的范围即可．本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查利用导数研究函数极值点问题、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：F1、F2分别是椭圆C ：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，点F1关于直线AB：bx-ay=ab的对称点M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程为x=c，MF1的方程y=，可得M（c，-），MF1的中点为（0，-），代入直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解MF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：函数，=2sin（ωx+）．令：，所以：f（x）=2sint，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则：函数y=2sint恰有一个最大值点和一个最小值点在区间[]，则：，解得：，即：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】B【解析】解：补成长，寛，高分别为，，1的长方体（如下图）由于EF⊥α，故截面为平行四边形MNKL，可得KL+KN=，设异面直线BC与AD所成的角为θ，则sinθ=sin∠HFB=sin∠LKN，算得sinθ=，∴S四边形MNKL=NK•KL•sin∠NKL≤（）2=，当且仅当NK=KL时取等号．故选：B．补成长，寛，高分别为，，1的长方体，在长方体中可解决．本题考查了平面的基本性质及推论，属中档题．13.【答案】2【解析】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，得A（2，2），由z=，而k DA ==2．∴目标函数的最大值为2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点D（1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14.【答案】x23−y2=1【解析】解：根据题意得：圆E：（x-2）2+y2=1的圆心F（2，0），半径为1，双曲线渐近线方程为y=±x，即±bx-ay=0，∵以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C的渐近线相切，且4=a2+b2，∴圆心F到渐近线的距离d==b=1，可得a=，所以双曲线方程为：=1．故答案为：=1．根据双曲线方程表示出F坐标，以及渐近线方程，由以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C 的渐近线相切，得到圆心F到渐近线距离d=1，整理得到a，b，即可求解双曲线方程．此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．15.【答案】72【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：需要在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的3名男性工作人员分成2组，与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C32×A22×A22=36种派驻方法；②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地：需要在3名男性工作人员中任选1人，在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的2名男性工作人员与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C31×A22×A22=36种派驻方法；则一共有36+36=72种派驻方法；故答案为：72．根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】1009【解析】解：∵S n+S n-1-2S n S n-1=2na n，∴S n+S n-1-2S n S n-1=2n（S n-S n-1），∴2S n S n-1=（2n+1）S n-1-（2n-1）S n，∴．令，则b n-b n-1=2（n≥2）．∴数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列．∴b n=2n-1．即，得．∴S1S2…S m =．由2m+1≥2019，解得m≥1009．即正整数m的最小值为1009．故答案为：1009．把已知数列递推式变形，得到，令，则b n-b n-1=2（n≥2），可知数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，得到S n，再由累积法求得S1S2…S m，求解不等式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵AD=2CD，设∠ABD=2∠CBD=2θ．∴S△BDCS△ABD=CDAD=12，∵S△BDC=12BC⋅BD⋅sinθ，S△BDA =12AB⋅BD⋅sin2θ，AB =√2BC，∴解得：cosθ=√22，可得：θ=π4，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3θ=3π4…8分（2）在△ABC中，由余弦定理，可得：AC2=AB2+AC2-2AB•BC•cos3θ，因为AC=2√5，AB=√2BC，可得（2√5）2=（√2BC）2+BC2-2√2BC•BC•cos3π4，解得BC=2，…10分可得S△ABC=12AB•BC•sin3θ=12×√2BC2×√22=2…12分【解析】（1）由已知设∠ABD=2∠CBD=2θ．利用三角形的面积公式可求==，结合S△BDC=，，AB=BC，可求cosθ=，解得，可求∠ABC=∠ABD+∠CBD=3θ=．（2）在△ABC中，由余弦定理可求得BC=2，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）连接AC ，BD ，EF ，设EF ∩AC =O ，连接OP ． ∵PC ⊥PE ，PC ⊥PF ，PE ∩PF =P ，∴PC ⊥平面PEF ，∴PC ⊥EF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC ，又PC ∩AC =C ，∴EF ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， ∴EF ⊥PC ．（2）由（1）可知EF ⊥平面PAC ，PC ⊥平面PEF ． ∵OC =34AC =3√2，PC =4，∴PO =√OC 2−PC 2=√2，∴sin ∠PCA =PO OC =13，cos ∠PCA =2√23，∴S △PAC =12×4×4√2×13=8√23．PA =√16+32−2×4×4√2×2√23=4√33， 又OE =12EF =√2，∴V E -PAC =13×8√23×√2=169，又S △PCE =12×2×4=4，设A 到平面PCE 的距离为h ， 则V A -PCE =13×4×h =169，解得h =43． ∴直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值为ℎPA =√33．【解析】（1）连接AC ，BD ，EF ，通过证明PC ⊥平面PEF 得出PC ⊥EF ，根据中位线定理得出EF ⊥AC ，故而可得EF ⊥平面PAC ，于是EF ⊥PC ；（2）根据V E-PAC =V A-PCE 计算A 到平面PCE 的距离，再计算线面角的正弦值； 本题考查了线面垂直的判定与性质，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题． 19.【答案】解：（1）y =c +d ln x 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型，令u =ln x ，先建立y 关于u 的线性回归方程，=−27.542.70=-10.20，=6.6+10.20×1.75=24.45，∴y 关于u 的线性回归方程为， 因此y 关于x 的回归方程为．（2）由题意得z =xy =x （24.45-10.20ln x ），则z ′=[x （24.45-10.20ln x ）]′=14.25-10.20ln x ， 令z ′=0得14.25-10.20ln x =0，得ln x ≈1.40， 得x ≈4.06，当x ∈（0，4.06）时，z ′＞0，此时z 单调递增，当x ∈（4.06，+∞）时，z 单调递减， 故当x =4.06时，z 取得最大值，即月销售量y =10.17（千件）时，月销售额预报值最大． 【解析】（1）根据散点图得到y=c+dlnx 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型，结合表格数据进行计算即可．（2）求出z 的表达式，求z 的导数，结合函数的单调性最值之间的关系进行判断即可． 本题主要考查回归方程的应用，结合数据进行计算，求出相应的系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）∵点A 的横坐标为4，∴A （4，4），易知此时直线l 的方程为y =12x +2， 联立{x 2=4yy =12x +2，解得{y =1x=−2，或{y =4x=4，∴B （-2，1）．由y =x 24得y ′=x2，所以k PA =2，直线PA 的方程为y =2x -4，同理可得直线PB 的方程为y =-x -1，联立；{y =−x −1y=2x−4，可得{y =−2x=1，故点P 的坐标为（1，-2）． （2）设A （x 1，x 14），B （x 2，x 24），由y =x 24得y ′=x2，所以k PA =x 12，所以直线PA 的方程为y -x 124=x 12（x -x 1），即y =x12x -x 124，同理PB 的方程为y =x 22x -x 224，联立解得P （x 1+x 22，x 1x 24），依题意直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y -3=k （x -2），由{y −2=k(x −2)x 2=4y得x 2-4kx +8k -12=0，易知△＞0，因此x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -12，∴P （2k ，2k -3），∴点P 在直线x -y -3=0上，当|PQ |取得最小值时，即抛物线C ：x 2=4y 上的点Q 到直线x -y -3=0的距离最小． 设Q （x 0，x 024），Q 到直线x -y -3=0的距离d =|x 0−x 024−3|√2=|(x 02−1)2+1|√2=√2+(x 02−1)2√2，所以当x 0=2时，d 取最小值√2，此时Q （2，1），易知过点Q 且垂直于x -y -3=0的直线方程为y =-x +3，由{x −y −3=0y=−x+3解得P （3，0），k =32，所以直线l 的方程为y =32x ， 综上，点Q 的坐标为（2，1），直线l 的方程为y =32x ． 【解析】（1）通过导数的几何意义求得PA，PB的斜率，再求得PA，PB的方程，再联立解得P的坐标：（2）设出A，B的坐标后利用导数的几何意义求得PA，PB的方程，联立解得P的坐标，得点P 在定直线x-y-3=0上，∴点P在直线x-y-3=0上，当|PQ|取得最小值时，即抛物线C：x2=4y上的点Q到直线x-y-3=0的距离最小．再利用点到直线距离公式求出Q到直线x-y-3=0 的距离及其最小值的条件，可得Q的坐标，从而可得直线l的方程．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.【答案】解：（1）∵函数f（x）=e x-ae-x-（a+1）x（a∈R）．∴f′（x）=e x+ae-x-（a+1）=(e x−1)(e x−a)e x，①当a≤0时，x（-∞，0） 0（0，+∞）f′（x）- 0+f（x）↓极小值↑∴函数f（x）的极小值点为x=0，无极大值点．②当0＜a＜1时，x（-∞，ln a） ln a（ln a，0） 0（0，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x=ln a，极小值点为x=0．③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2e x≥0，∴函数f（x）单调递增，即f（x）无极值点．④当a＞1时，x（-∞，0） 0（0，ln a） ln a（ln a，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x=0，极小值点为x=ln a．综上：当a≤0时，函数f（x）的极小值点为x=0，无极大值点．当0＜a＜1时，函数f（x）的极大值点为x=ln a，极小值点为x=0．当a=1时，函数f（x）无极值点．当a＞1时，函数f（x）的极大值点为x=0，极小值点为x=ln a．（2）e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，∵当0＜a＜1时，ln a＜a-1＜0，∴当0＜a＜1时，e a-1＞1+a-1=a，∴ln a＜a-1＜0，令g（a）=ln a-a+1，则g′(a)=1a−1，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，∴g（a）＜g（1）=0，即a-1＞ln a，∵a-1＜0，∴ln a＜a-1＜0，∴由（1）知0＜a＜1时，f（x）在区间（a-1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，∴f（x）在区间（a-1，+∞）上的最小值为f（0）=1-a，∵关于x的不等式[f（x）]2＜λ（e a-1-a）在区间（a-1，+∞）上存在实数解，∴只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1-a）2＜λ（e a-1-a）恒成立，∴当0＜a＜1时，e a-1-a＞0，∴只需当0＜a＜1时，不等式λ＞(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F（x）=(1−x)2e x−1−x，0≤x＜1，则F′（x）=(1−x)2e x−1−x，∵0≤x＜1，∴F′（x）=(x−1)(3ex−1−x−1)(e x−1−x)2，令函数μ（x）=（3-x）e x-1在点T（1，2）处的切线方程为y-2=x-1，即y=x+1，如图所示，由题意得（3-x）e x-1≥x+1，当且仅当x=1时，取等号，∴当0＜x＜1时，G（x）＞0，∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，∴F（x）＜F（0）=e，即F（x）＜e，∴当0＜a＜1时，不等式λ＞(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e．综上，实数λ的取值范围是[e，+∞）．【解析】（1）求出f′（x）=e x+ae-x-（a+1）=，根据a≤0，0＜a＜1，a=1，a＞1，进行分类讨论，利用导数性质能求出函数f（x）的极值点．（2）令g（a）=lna-a+1，则，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，a-1＞lna，f（x）在区间（a-1，+∞）上的最小值为f（0）=1-a，只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1-a）2＜λ（e a-1-a）恒成立，只需当0＜a＜1时，不等式恒成立即可，令函数F（x）=，0≤x＜1，则F′（x）=，求出F′（x）=，利用导数性质能求出实数λ的取值范围．本题考查利用导数研究函数极值点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用分类讨论思想、数形结合思想求解，是难题．22.【答案】解：（1）由{y=sinαx=2cosα，得C1的普通方程为x24+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得(ρcosθ)24+（ρsinθ）2=1，即ρ2=4cos2θ+4sin2θ=41+3sin2θ，所以C1的极坐标方程为ρ2=41+3sin2θ，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2θ，得ρM 2=41+3sin 2θ0，把θ=θ0代入ρcosθ，得ρN 2=4cosθ0，则|ON |=2|OM |，得ρN =2ρM ，则ρN 2=4ρM 2，即（4cosθ0）2=161+3sin 2θ0，解得sin 2θ0=23，cos 2θ0=13，又0＜θ0＜π2，所以ρM =√41+3sin 2θ0=2√33，ρN =4cosθ0=4√33，所以△MC 2N 的面积S MC 2N =S △OC 2N -S△OC 2M =12|OC 2|（ρN -ρM ）sinθ0=12×2×2√33×√63=2√23．【解析】（1）由，得C 1的普通方程为+y 2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：（Ⅰ）当m =2时，f （x ）=|x -2|+|x +12|；①当x ≤-12时，原不等式等价于（2-x ）-（x +12）＞3，解得x ＜−34； ②当-12＜x ＜2时，原不等式等价于52＞3，不等式无解； ③当x ≥2时，原不等式等价于（x -2）+（x +12）＞3，解得x ＞94， 综上，不等式f （x ）＞3的解集为（-∞，-34）∪（94，+∞）． （Ⅱ）证明：由题f （x ）=|x -m |+|x +1m |， ∵m ＞0，∴|m +1m |=m +1m ，所以f （x ）≥m +1m ，当且仅当x ∈[-1m ，m ]时等号成立， ∴f （x ）+1m(m−1)≥m +1m +1m(m−1)=m +1m−1=（m -1）+1m−1+1， ∵m ＞1，m -1＞0，∴（m -1）+1m−1+1≥2√(m −1)⋅1m−1+1=3，∴f （x ）+1m(m−1)≥3．当m =2，且x ∈[-12，2]时等号成立． 【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，在相并； （Ⅱ）由题f （x ）=|x-m|+|x+|，∵m ＞0，∴|m+|=m+，所以f （x ）≥m+，当且仅当x ∈[-，m]时等号成立，再利用基本不等式可证． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

三湘名校2025届高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e2．已知函数()cos 23sin 21f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 3．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．154．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．5．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．97．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S8．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．710．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21nn S =-D ．121n n S -=-12．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724-B ．524-C ．524D ．724二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·广西模拟) 设复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 若集合，则集合（）A .B .C .D .3. （2分）向量,若与共线（其中),则A .B .C . －2D . 24. （2分） (2016高二下·安吉期中) “a≥4”是“∃x∈[﹣1，2]，使得x2﹣2x+4﹣a≤0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高三上·武汉月考) 若函数满足，则的单调递增区间为（）A . (-∞，2]B . (-∞，1]C . [1，+∞)D . [2，+∞)6. （2分）(2019·泉州模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·普宁月考) 抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·承德期中) 投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·北京) 已知函数f（x）=3x﹣（）x ，则f（x）（）A . 是偶函数，且在R上是增函数B . 是奇函数，且在R上是增函数C . 是偶函数，且在R上是减函数D . 是奇函数，且在R上是减函数10. （2分） (2015高二下·集宁期中) 已知双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，则实数k的值是（）A .B . ﹣C . 1D . ﹣1二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·自贡模拟) 设f（x）= （x＞0），计算观察以下格式：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f（f2（x）），f4（x）=f（f3（x）），…根据以上事实得到当n∈N*时，fn（1）=________．12. （1分） (2016高二下·安徽期中) 小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有________种．13. （1分）(2017·淄博模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．14. （1分） (2018高二上·湖州月考) 设，，表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，是在内的射影，，则；③若是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线，则可能有且；④若，则 .其中正确的序号是________．15. （1分）(2020·郑州模拟) 设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分）(2017·红河模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 asinA=（ b ﹣c）sinB+（ c﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a= ，cosB= ，D为AC的中点，求BD的长．17. （5分）在一次突击检查中，某质检部门对某超市A、B、C、D，共4个品牌的食用油进行了检测，其中A 品牌抽检到2个不合格的批次，另外三个品牌军备抽检到1个批次．（1）若从这这4个品牌共5个批次的食用油中任选3个批次进行某项检测，求抽取的3个批次的食用油至少有一个是A品牌的概率．（2）若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测，其检测结果如下（综合评估满分为10分）：品牌A1A2B C D得分888.89.69.8若检测的这5个批次食用油得分的平均值为a，从这5个批次中随机抽取2个，记这2个批次食用油中得分超过a的个数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．18. （5分）(2017·山东模拟) 在如图所示的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面AA1B1B和面AA1C1C都是边长为1的正方形且互相垂直，D为AA1的中点，E为BC1的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求平面C1BD和平面CBD所成的角（锐角）的余弦值．19. （10分） (2019高二上·温州期中) 已知是递增的等差数列，，是方程x2－5x＋6＝0的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.20. （10分） (2019高二上·寿光月考) 已知椭圆：的左焦点为，为椭圆上一点，交轴于点，且为的中点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，平行于的直线交于，交椭圆于不同的两点，，问是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21. （10分）(2019·四川模拟) 已知函数，其中．（1）若是函数的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的为自然对数的底数，都有成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分) 16-1、16-2、17-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（提升题）一．命题的真假判断与应用（共1小题）（多选）1．（2023•茂名二模）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为B．△ABE的周长最小值为C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为二．函数的最值及其几何意义（共1小题）2．（2023•茂名二模）黎曼函数R（x）是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R（x）在[0，1]上的定义为：当（p＞q，且p，q为互质的正整数）时，；当x＝0或x＝1或x为（0，1）内的无理数时，R（x）＝0，则下列说法错误的是（ ）A．R（x）在[0，1]上的最大值为B．若a，b∈[0，1]，则R（a•b）≥R（a）•R（b）C．存在大于1的实数m，使方程有实数根D．∀x∈[0，1]，R（1﹣x）＝R（x）三．抽象函数及其应用（共1小题）（多选）3．（2023•高州市二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1﹣x）＝f（7+x），函数f（x+2）﹣1为奇函数，且对∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）．函数与函数f（x）的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），给出以下结论，其中正确的是（ ）A．f（2022）＝2022B．函数f（x+1）为偶函数C．函数f（x）在区间[4，5]上单调递减D．四．对数值大小的比较（共1小题）4．（2023•广东二模）已知，，，则（参考数据：ln2≈0.7）（ ）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b五．三角函数的周期性（共1小题）（多选）5．（2023•广东二模）已知f（x）＝cos x+tan x，则下列说法正确的是（ ）A．f（x）是周期函数B．f（x）有对称轴C．f（x）有对称中心D．f（x）在上单调递增六．正弦函数的图象（共1小题）6．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜），若存在x1，x2，x3∈（0，），且x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，使f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，则φ的值为（ ）A．B．C．D．七．函数的零点与方程根的关系（共1小题）（多选）7．（2023•茂名二模）已知f（x）＝，若关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（ ）A．B．C．D．八．函数与方程的综合运用（共2小题）8．（2023•韶关二模）定义||x ||（x ∈R ）为与x 距离最近的整数（当x 为两相邻整数算术平均数时，||x ||取较大整数），令函数f （x ）＝||x ||，如：，，，，则＝（ ）A ．17B ．C ．19D ．9．（2023•潮州二模）已知函数f （x ）＝|sin x |，g （x ）＝kx （k ＞0），若f （x ）与g （x ）图像的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，…，x n ，则下列说法正确的是（ ）A ．若n ＝1，则k ＞1B ．若n ＝3，则C ．若n ＝4，则x 1+x 4＞x 2+x 3D ．若，则n ＝2023九．数列递推式（共1小题）（多选）10．（2023•高州市二模）已知数列{p n }和{q n }满足：p 1＝1，q 1＝2，p n +1＝p n +3q n ，q n +1＝2p n +q n ，n ∈N *，则下列结论错误的是（ ）A ．数列是公比为的等比数列B ．仅有有限项使得C ．数列是递增数列D ．数列是递减数列一十．利用导数研究函数的单调性（共3小题）11．（2023•广州二模）已知偶函数f （x ）与其导函数f '（x ）的定义域均为R ，且f '（x ）+e ﹣x +x也是偶函数，若f （2a ﹣1）＜f （a +1），则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）12．（2023•深圳二模）已知ε＞0，，且e x +εsin y ＝e y sin x ，则下列关系式恒成立的为（ ）A ．cos x ≤cos yB ．cos x ≥cos yC ．sin x ≤sin yD ．sin x ≥sin y（多选）13．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝e x﹣﹣1，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（ ）A．若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0B．若a+b＞0，则f（a）﹣f（﹣b）＞0C．若f（a）+f（b）＞0，则a+b＞0D．若f（a）+f（b）＜0，则a+b＜0一十一．利用导数研究函数的最值（共1小题）14．（2023•湛江二模）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t1，t2，则t2﹣t1的最小值为（ ）A．﹣1B．﹣ln2C．1﹣ln3D．1﹣2ln2一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）（多选）15．（2023•潮州二模）设向量，则（ ）A．B．C．D．在上的投影向量为（1，0）一十三．三角形中的几何计算（共1小题）（多选）16．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC 边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）A．B．C．∠MPN的余弦值为D．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）（多选）17．（2023•汕头二模）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（ ）A．当r＝1时，B．V存在最大值C．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小D．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小一十五．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）（多选）18．（2023•广东二模）已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ）A．平面α内存在直线l与直线m平行B．平面α内存在直线l与直线m垂直C．存在平面γ与直线m和平面α都平行D．存在过直线m的平面β与平面α垂直一十六．直线与平面所成的角（共1小题）（多选）19．（2023•潮州二模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）A．当B1P∥平面A1BD时，B1P与CD1可能为B．当λ＝μ时，的最小值为C．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为一十七．二面角的平面角及求法（共1小题）（多选）20．（2023•佛山二模）四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，BD＝2，CD ＝4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的值可能为（ ）A．B．C．D．一十八．点、线、面间的距离计算（共2小题）（多选）21．（2023•梅州二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD 的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则（ ）A．当时，EP∥平面AB1CB．当时，|PE|取得最小值，其值为C．|PA|+|PC|的最小值为D．当C1∈平面CEP时，（多选）22．（2023•广州二模）已知正四面体A﹣BCD的长为2，点M，N分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（ ）A．若AP+BP取得最小值，则CP＝PNB．若CP＝3PN，则DP⊥平面ABCC．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为D．直线MN到平面ACD的距离为一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）23．（2023•潮州二模）已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（ ）A．点（4，0）在圆M内B．若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则a＝9C．直线与圆M相离D．圆M关于4x+3y﹣2＝0对称二十．椭圆的性质（共3小题）24．（2023•高州市二模）若椭圆的离心率为，两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则＝（ ）A．2B．C．4D．25．（2023•韶关二模）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB＝44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．26．（2023•深圳二模）设椭圆C：）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D．二十一．抛物线的性质（共1小题）（多选）27．（2023•深圳二模）设抛物线C：y＝x2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）A．PQ⊥x轴B．PF⊥AB C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|+|BF|＝2|PF|二十二．直线与抛物线的综合（共1小题）（多选）28．（2023•高州市二模）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），M是抛物线C上的动点，焦点，N（4，2），下列说法正确的是（ ）A．C的方程为y2＝x B．C的方程为y2＝2xC．|MF|+|MN|的最小值为D．|MF|+|MN|的最小值为二十三．直线与双曲线的综合（共1小题）（多选）29．（2023•广州二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线Γ的右支交于点B，C，与双曲线Γ的渐近线交于点A，D（A，B在第一象限，C，D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A．若BC⊥x轴，则△BCF1的周长为6aB．若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC∥EF1C．△AOD面积的最小值为4a2D．|AB|+|BF1|的取值范围为（3a，+∞）二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）（多选）30．（2023•湛江二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量M（单位：g）服从正态分布N（165，σ2），且P （M＜162）＝0.15，P（165＜M＜167）＝0.3．下列说法正确的是（ ）A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7 B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g～168g的概率为0.05C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g～168g的个数的方差为136.5广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（提升题）参考答案与试题解析一．命题的真假判断与应用（共1小题）（多选）1．（2023•茂名二模）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为B．△ABE的周长最小值为C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为【答案】ACD【解答】A选项，连接AD，如图所示：在正四面体P﹣ABC中，D是PD的中点，所以PB⊥AD，PB⊥CD，因为AD⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，AD∩CD＝D，所以直线PB⊥平面ACD，因为AE⊆平面ACD，所以PB⊥AE，所以直线AE与PB所成角为；故A选项正确；B选项，把△ACD沿着CD展开与面BCD同一平面内，由AD＝CD＝，AC＝4，，所以cos∠ADB＝cos（）＝﹣sin∠ADC＝﹣，所以×，所以△ABC的周长最小值为不正确，故B选项错误；C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为r，由等体积法可知，，所以半径r＝，故C选项正确；D选项，10个小球分三层，（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为r，四个角小球球心连线M﹣NGF是棱长为4r的正四面体，其高为，由正四面体内切球的半径为高的得，如图正四面体P﹣HIJ，则MP＝3r，正四面体P﹣ABC的高为3r+r+r＝，得r＝，故D选项正确．故选：ACD．二．函数的最值及其几何意义（共1小题）2．（2023•茂名二模）黎曼函数R（x）是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R（x）在[0，1]上的定义为：当（p＞q，且p，q为互质的正整数）时，；当x＝0或x＝1或x为（0，1）内的无理数时，R（x）＝0，则下列说法错误的是（ ）A．R（x）在[0，1]上的最大值为B．若a，b∈[0，1]，则R（a•b）≥R（a）•R（b）C．存在大于1的实数m，使方程有实数根D．∀x∈[0，1]，R（1﹣x）＝R（x）【答案】C【解答】解：对于A，由题意，R（x）的值域为，其中p是大于等于2的正整数，选项A正确；对于B，①若a，b∈（0，1]，设（p，q互质，m，n互质），，则R（a•b）≥R（a）•R（b），②若a，b有一个为0，则R（a•b）≥R（a）•R（b）＝0，选项B正确；对于C，若n为大于1的正数，则，而R（x）的最大值为，所以该方程不可能有实根，选项C错误；对于D，x＝0，1或（0，1）内的无理数，则R（x）＝0，R（1﹣x）＝0，R（x）＝R（1﹣x），若x为（0，1）内的有理数，设（p，q为正整数，为最简真分数），则，选项D正确．故选：C．三．抽象函数及其应用（共1小题）（多选）3．（2023•高州市二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1﹣x）＝f（7+x），函数f（x+2）﹣1为奇函数，且对∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af （b）+bf（a）．函数与函数f（x）的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），给出以下结论，其中正确的是（ ）A．f（2022）＝2022B．函数f（x+1）为偶函数C．函数f（x）在区间[4，5]上单调递减D．【答案】BCD【解答】解：因为f（﹣1﹣x）＝f（7+x），所以f（x）＝f（6﹣x），f（x）的图象关于x＝3对称，因为函数f（x+2）﹣1为奇函数，所以f（x）的图象关于点（2，1）对称，且f（0+2）﹣1＝0⇒f（2）＝1，又f（﹣x+2）﹣1＝1﹣f（x+2）⇒f（x+2）＝2﹣f（2﹣x），所以f（x）＝2﹣f（4﹣x）＝2﹣f[6﹣（2+x）]＝2﹣f（2+x）＝2﹣[2﹣f（2﹣x）]＝f（2﹣x）＝f[6﹣（2﹣x）]＝f（x+4），即f（x）＝f（x+4），所以f（x）的周期为4，所以f（2022）＝f（2）＝1，故A错误；由上可知，f（x）＝f（2﹣x），f（x+1）＝f[2﹣（x+1）]＝f（1﹣x），故B正确；因为∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a），即（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，所以f（x）在区间[2，3]单调递增，因为f（x）的图象关于点（2，1）对称，所以f（x）在区间[1，2]单调递增，又f（x）的图象关于x＝3对称，所以f（x）在区间[4，5]单调递减，C正确；因为，所以g（x）的图象关于点（2，1）对称，所以f（x）与g（x）的交点关于点（2，1）对称，不妨设x1＜x2＜x3＜•＜x m，则x1+x m＝x2+x m﹣1＝x3+x m﹣2＝⋅⋅⋅＝4，y1+y m＝y2+y m﹣1＝y3+y m﹣2＝⋅⋅⋅＝2，所以x1+x2+⋯+x m＝2m，y1+y2+⋯+y m＝m，所以，D正确．故选：BCD．四．对数值大小的比较（共1小题）4．（2023•广东二模）已知，，，则（参考数据：ln2≈0.7）（ ）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【答案】B【解答】解：因为，，考虑构造函数，则，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，因为ln2≈0.7，所以e0.7≈2，即，所以，所以，即，又，所以，故b＞a＞c．故选：B．五．三角函数的周期性（共1小题）（多选）5．（2023•广东二模）已知f（x）＝cos x+tan x，则下列说法正确的是（ ）A．f（x）是周期函数B．f（x）有对称轴C．f（x）有对称中心D．f（x）在上单调递增【答案】ACD【解答】解：因为f（x）＝cos x+tan x，所以f（x+2π）＝cos（x+2π）+tan（x+2π）＝cos x+tan x＝f（x），所以函数f（x）为周期函数，A正确；因为，，所以，所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，所以为函数f（x）的中心对称，C正确；当时，，因为0＜cos x＜1，0＜sin x＜1，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在上单调递增，D正确；由可得，当时，由0＜cos x≤1，﹣1＜sin x＜1，可得f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，当，由﹣1≤cos x＜0，﹣1＜sin x＜1，可得f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，又f（0）＝1，f（π）＝﹣1，作出函数f（x）在的大致图象可得：结合函数f（x）是一个周期为2π的函数可得函数f（x）没有对称轴，B错误．故选：ACD．六．正弦函数的图象（共1小题）6．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜），若存在x1，x2，x3∈（0，），且x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，使f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，则φ的值为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，∴x2＝3x1，x3＝7x1，又f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，且x1，x2，x3∈（0，），∴x3﹣x1＝6x1＝π，，，∴π﹣2x1﹣φ＝2x2+φ，即，∴．故选：A．七．函数的零点与方程根的关系（共1小题）（多选）7．（2023•茂名二模）已知f（x）＝，若关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（ ）A．B．C．D．【答案】AB【解答】解：令g（x）＝，则g'（x）＝，所以g（x）在[0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，所以f（x）的大致图像如下所示：令t＝f（x），所以关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0有6个不同实根等价于关于t方程4et2﹣at+＝0在t∈（0，）内有2个不等实根，即h（t）＝4et+与y＝a在t∈（0，）内有2个不同交点，又因为h′（t）＝4e﹣＝，令h′（t）＝0，则t＝±，所以当t∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；当t∈（，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；所以h（t）＝4et+的大致图像如下所示：又h（）＝4，h（）＝5，所以a∈（4，5）．对照四个选项，AB符合题意．故选：AB．八．函数与方程的综合运用（共2小题）8．（2023•韶关二模）定义||x||（x∈R）为与x距离最近的整数（当x为两相邻整数算术平均数时，||x||取较大整数），令函数f（x）＝||x||，如：，，，，则＝（ ）A．17B．C．19D．【答案】C【解答】解：根据题意，函数f（x）＝||x||，当1≤n≤2时，有0.5＜＜1.5，则f（）＝1，则有＝1，当3≤n≤6，有1.5＜＜2.5，则f（）＝2，则有＝，当7≤n≤12，有2.5＜＜3.5，则f（）＝3，则有＝，……，由此可以将重新分组，各组依次为（1，1）、（、、、）、（、、、、、）、……，第n组为2n个，则每组中各个数之和为2n×＝1，前9组共有＝90个数，则是第10组的第10个数，则＝2×9+10×＝19．故选：C．9．（2023•潮州二模）已知函数f（x）＝|sin x|，g（x）＝kx（k＞0），若f（x）与g（x）图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，x n，则下列说法正确的是（ ）A．若n＝1，则k＞1B．若n＝3，则C．若n＝4，则x1+x4＞x2+x3D．若，则n＝2023【答案】B【解答】解：对于A：当k＝1时，令y＝sin x﹣x，则y′＝cos x﹣1＜0，即函数y＝sin x﹣x在定义域上单调递减，又当x＝0时，y＝0，所以函数y＝sin x﹣x有且仅有一个零点为0，同理易知函数y＝﹣sin x﹣x有且仅有一个零点为0，即f（x）与g（x）也恰有一个公共点，故A错误；对于B：当n＝3时，如下图：2易知在x＝x3，且x3∈（π，2π），f（x）与g（x）图象相切，由当x∈（π，2π）时，f（x）＝﹣sin x，则f′（x）＝﹣cos x，g′（x）＝k，故，从而x3＝tan x3，所以+x3＝tan x3+＝＝＝，故B 正确；对于C：当n＝4时，如下图：则x1＝0，π＜x4＜2π，所以x1+x4＜2π，又f（x）图象关于x＝π对称，结合图象有x3﹣π＞π﹣x2，即有x2+x3＞2π＞x1+x4，故C错误；对于D：当时，由f（）＝g（）＝1可得，f（x）与g（x）的图象在y轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D错误．故选：B．九．数列递推式（共1小题）（多选）10．（2023•高州市二模）已知数列{p n}和{q n}满足：p1＝1，q1＝2，p n+1＝p n+3q n，q n+1＝2p n+q n，n∈N*，则下列结论错误的是（ ）A．数列是公比为的等比数列B．仅有有限项使得C．数列是递增数列D．数列是递减数列【答案】ABD【解答】解：由题意可知，第二个式子乘以λ后与第一和式子相加可得，令，解得，取可得，因为p1＝1，q1＝2，所以，所以，所以数列是公比为的等比数列，选项A说法错误；因为p1＝1，q1＝2，所以，所以当n为正奇数时，，即，当n为正偶数时，，即，选项B说法错误；由p1＝1，q1＝2，p n+1＝p n+3q n，q n+1＝2p n+q n，可知p n＞0，q n＞0，且数列{p n}和{q n}均为递增数列，而，所以数列是递增数列，选项C说法正确；因为，所以数列是递增数列，选项D说法错误．故选：ABD．一十．利用导数研究函数的单调性（共3小题）11．（2023•广州二模）已知偶函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f'（x）+e﹣x+x也是偶函数，若f（2a﹣1）＜f（a+1），则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，2）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【答案】B【解答】解：因为f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x），等式两边求导可得f′（x）＝﹣f′（﹣x），①因为函数f'（x）+e﹣x+x为偶函数，则f′（x）+e﹣x+x＝f′（﹣x）+e x﹣x，②联立①②可得f′（x）＝﹣x，令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣1≥﹣1＝0，且g′（x）不恒为零，所以函数g（x）在R上为增函数，即函数f′（x）在R上为增函数，故当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝0，所以函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，由f（2a﹣1）＜f（a+1），可得f（|2a﹣1|）＜f（|a+1|），所以|2a﹣l|＜|a+1|，整理可得a2﹣2a＜0，解得0＜a＜2．故选：B．12．（2023•深圳二模）已知ε＞0，，且e x+εsin y＝e y sin x，则下列关系式恒成立的为（ ）A．cos x≤cos y B．cos x≥cos y C．sin x≤sin y D．sin x≥sin y【答案】A【解答】解：构造函数f（x）＝，x∈，则f′（x）＝，当x∈时，cos x＞sin x，f′（x）＝＞0，因为0＜e x，0＜e y，当＝，eɛ＞1，0＜sin x＜sin y时，则＞＞0，所以＞x＞y＞0，y＝cos x，x∈（0，）单调递增，所以cos x＜cos y，当＝＜0，eɛ＞1，sin x＜sin y＜0时，则＜＜0，所以﹣＜x＜y＜0，y＝cos x，x∈（﹣，0）单调递减，所以cos x＜cos y．当＝，eɛ＞1，sin x＝sin y＝0时，则x＝y＝0，此时cos x＝cos y，综上，cos x≤cos y．故选：A．（多选）13．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝e x﹣﹣1，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（ ）A．若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0B．若a+b＞0，则f（a）﹣f（﹣b）＞0C．若f（a）+f（b）＞0，则a+b＞0D．若f（a）+f（b）＜0，则a+b＜0【答案】ABD【解答】解：f（x）＝e x﹣﹣1，则f′（x）＝e x﹣x，f″（x）＝e x﹣1，当x∈（0，+∞）时，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，当x∈（﹣∞，0）时，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，所以f′（x）≥f′（0）＝1，所以f（x）在R上单调递增，且f（0）＝0，若a+b＞0，则a＞﹣b，所以f（a）＞f（﹣b），则f（a）﹣f（﹣b）＞0，故B正确；f（b）+f（﹣b）＝e b﹣b2﹣1+（e﹣b﹣b2﹣1）＝e b+e﹣b﹣b2﹣2，令h（b）＝e b+e﹣b﹣b2﹣2，h′（b）＝e b﹣e﹣b﹣2b，令h′（b）＝u（b），u′（b）＝e b+e﹣b﹣2≥0，u（b）在R上单调递增，而h′（0）＝u（0）＝0，故h（b）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，故h（b）≥h（0）＝0，所以f（b）+f（﹣b）≥0⇒f（a）+f（b）≥f（a）﹣f（﹣b）＞0，故A正确；对于D，若f（a）+f（b）＜0⇒f（a）＜﹣f（b）≤f（﹣b）⇒a＜﹣b，即a+b＜0，故D 正确；设f（c）＝﹣f（b），若c＜a＜﹣b，则f（c）＝﹣f（b）＜f（a），满足f（a）+f（b）＞0，但a+b＜0，故C错误．故选：ABD．一十一．利用导数研究函数的最值（共1小题）14．（2023•湛江二模）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t1，t2，则t2﹣t1的最小值为（ ）A．﹣1B．﹣ln2C．1﹣ln3D．1﹣2ln2【答案】B【解答】解：由题意可得＝ln（2t2﹣1）+2，∴t1＝1+ln（ln（2t2﹣1）+2），t1，t2＞，∴t2﹣t1＝t2﹣1﹣ln（ln（2t2﹣1）+2）＝ln（），令h（x）＝，x∈（，+∞），h′（x）＝，令u（x）＝ln（2x﹣1）+2﹣在x∈（，+∞）上单调递增，且u（1）＝0，∴x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝，∴函数y＝ln（）取得最小值ln，即﹣ln2．即t2﹣t1的最小值为﹣ln2，故选：B．一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）（多选）15．（2023•潮州二模）设向量，则（ ）A．B．C．D．在上的投影向量为（1，0）【答案】ACD【解答】解：因为，所以＝（﹣1，﹣1），对A：||＝，||＝，所以||＝||，故A正确；对B：因为1×（﹣1）﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣2≠0，所以与不平行，故B错误；对C：（）•＝﹣1+1＝0，所以（）⊥，故C正确；对D：在上的投影为＝＝1，则在上的投影向量为（1，0），故D正确；故选：ACD．一十三．三角形中的几何计算（共1小题）（多选）16．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC 边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）A．B．C．∠MPN的余弦值为D．【答案】ABD【解答】解：连接PC，并延长交AB于Q，△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则，，，，，，，＝＝＝＝，故A正确；＝＝＝，故B正确；＝＝＝．故C错误；，故D正确．故选：ABD．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）（多选）17．（2023•汕头二模）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（ ）A．当r＝1时，B．V存在最大值C．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小D．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小【答案】BD【解答】解：设圆台的上底面的圆心为O1，下底面的圆心为O，点A为上底面圆周上任意一点，圆台的高为h，球的半径为R，如图所示，则＝，对选项不正确；，设f（r）＝﹣3r3﹣4r2+4r+8，则f'（r）＝﹣9r2﹣8r+4，令f'（r）＝0可得9r2+8r﹣4＝0，解得，，易知r2∈（0，2），且当r∈（0，r2），f'（r）＞0；r∈（r2，2），f'（r）＜0，f（r）在（0，r2）单调递增，在（r2，2）单调递减，由f（0）＝8，f（1）＝5，f（2）＝﹣24，∃r0∈（1，2），使得f（r0）＝0，当r∈（0，r0），f（r）＞0，即V'＞0；当r∈（r0，2），f（r）＜0，即V'＜0，所以V在（0，r0）单调递增，在（r0，2）单调递减，则B，D正确，C错误．故选：BD．一十五．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）（多选）18．（2023•广东二模）已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ）A．平面α内存在直线l与直线m平行B．平面α内存在直线l与直线m垂直C．存在平面γ与直线m和平面α都平行D．存在过直线m的平面β与平面α垂直【答案】BD【解答】解：对于A选项，若直线m与α相交，且平面α内存在直线l与直线m平行，由于m⊄α，则m∥α，这与直线m与α相交矛盾，假设不成立，A错；对于B选项，若m⊂α，则在平面α内必存在l与直线m垂直，若直线m与α相交，设m⋂α＝A，如下图所示：若m⊥α，且l⊂α，则m⊥l，若m与α斜交，过直线m上一点P（异于点A）作PB⊥α，垂足点为B，过点A作直线l，使得l⊥AB，因为PB⊥α，l⊂α，则l⊥PB，又因为l⊥AB，PB∩AB＝B，PB、AB⊂平面PAB，所以l⊥平面PAB，因为m⊂平面PAB，所以l⊥m，综上所述，平面α内存在直线l与直线m垂直，B正确；对于C选项，设直线l与平面α的一个公共点为点A，假设存在平面γ，使得α∥β且m∥β，过直线m作平面γ，使得γ⋂β＝l，因为m∥γ，m⊂β，γ⋂β＝l，则l∥m，因为γ∥α，记β⋂α＝n，又因为γ⋂β＝l，则n∥l，因为在平面β内有且只有一条直线与直线l平行，且A∈n，故m、n重合，所以，m⊂α，但m不一定在平面α内，当m与α相交时，则m与γ也相交，C错误；对于D选项，若m⊥α，则过直线m的任意一个平面都与平面α垂直，若m与α不垂直，设直线m与平面的一个公共点为点A，则过点A有且只有一条直线l与平面α垂直，记直线l、m所确定的平面为γ，则α⊥β，D正确．故选：BD．一十六．直线与平面所成的角（共1小题）（多选）19．（2023•潮州二模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）A．当B1P∥平面A1BD时，B1P与CD1可能为B．当λ＝μ时，的最小值为C．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为【答案】AC【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则根据题意可得：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），B1（1，0，1），∴，，设平面A1BD的一个法向量为，则，取，若B1P∥平面A1BD，则，∴（﹣λ，1，μ﹣1）⋅（1，1，1）＝﹣λ+1+μ﹣1＝0，∴λ＝μ，故，其中，令，解得λ＝0或1，∴B1P与CD1可能是，∴A正确；对B选项，∵λ＝μ，∴P点在棱CD1上，将平面CDD1与平面A1BCD1沿着CD1展成平面图形，如图所示，线段A1D＝≥A1D，由余弦定理可得：，∴，∴B错误；对C选项，∵B1C1⊥平面CC1D1D，连接C1P，则∠B1PC1即为B1P与平面CC1D1D所成角，若B1P与平面CC1D1D所成角为，则，所以C1P＝B1C1＝1，即点P的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，C正确；D选项，当λ＝1时，P点在DD1上，过点A1作A1H∥CP交BB1于点H，连接CH，则CH∥A1P，所以平行四边形CHA1P即为正方体过点A1、P、C的截面，设P（0，1，t），∴，∴，，∴点P到直线A1C的距离为，∴当时，，△PA1C的面积取得最小值，此时截面面积最小为，当t＝0或1时，，△PA1C的面积取得最大值，此时截面面积最大为，故截面面积的取值范围为，D错误．故选：AC．一十七．二面角的平面角及求法（共1小题）（多选）20．（2023•佛山二模）四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，BD＝2，CD ＝4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的值可能为（ ）A．B．C．D．【答案】AD【解答】解：由AB⊥BD，CD⊥BD，平面ABD与平面BCD的夹角为，∴与所成角为或，＝++，∴2＝2+2+2+2•+2•+2•，当与所成角为，∴2＝2+2+2+2•+2•+2•＝9+4+16﹣2×3×4×cos＝17，∴AC＝，当与所成角为，∴2＝2+2+2+2•+2•+2•＝9+4+16﹣2×3×4×cos＝41，∴AC＝，综上所述：AC＝或．故选：AD．一十八．点、线、面间的距离计算（共2小题）（多选）21．（2023•梅州二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD 的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则（ ）A．当时，EP∥平面AB1CB．当时，|PE|取得最小值，其值为C．|PA|+|PC|的最小值为D．当C1∈平面CEP时，【答案】BC【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），E（1，0，0），所以，则点P（2λ，2λ，2﹣2λ），对于A，，，，而，显然，即是平面AB1C 的一个法向量，而，因此不平行于平面AB1C，即直线EP 与平面AB1C不平行，A错误；对于B，，则，因此当时，|PE|取得最小值，B正确；对于C，，于是，当且仅当时取等号，C正确；对于D，取A1D1的中点F，连接EF，C1F，CE，如图，因为E为边AD的中点，则EF∥DD1∥CC1，当C1∈平面CEP时，P∈平面CEFC1，连接B1D1∩C1F＝Q，连接BD∩CE＝M，连接MQ，显然平面CEFC1∩平面BDD1B1＝MQ，因此MQ∩D1B＝P，BB1∥CC1，CC1⊂平面CEFC1，BB1⊄平面CEFC1，则BB1∥平面CEFC1，即有MQ∥BB1，而，所以，D错误．故选：BC．（多选）22．（2023•广州二模）已知正四面体A﹣BCD的长为2，点M，N分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（ ）A．若AP+BP取得最小值，则CP＝PNB．若CP＝3PN，则DP⊥平面ABCC．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为D．直线MN到平面ACD的距离为【答案】BCD【解答】解：易得DE⊥AB，CE⊥AB，又DE∩CE＝E，则AB⊥面CDE，又CN⊂面CDE，则AB⊥CN，同理可得CN⊥BD，AB∩BD＝B，则CN⊥平面ABD，又AN，BN⊂平面ABD，所以CN⊥BN，CN⊥AN，则当点P与点N重合时，AP+BP取得最小值，又AN＝BN＝DN＝DE＝×＝，则最小值为AN+BN＝，故A错误；在正四面体ABCD中，因为DP⊥平面ABC，易得P在DM上，所以DM∩CN＝P，又点M，N也是△ABC和△ABD的内心，则点P为正四面体ABCD内切球的球心，CM＝CE＝，DM＝＝，设正四面体ABCD内切球的半径为r，因为V D﹣ABC＝V P﹣ABC+V P﹣ABD+V P﹣BCD+V P﹣ACD，所以S△ABC•DM＝S△ABC•r+S△ABD•r+S△BCD•r+S△ACD•r，解得r＝MP＝DM＝，即DP＝DM，故CP＝3PN，故B正确；设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，半径为R，易得球心O在直线DN上，且ON⊥NC，则R2＝OC2＝CN2+（OP﹣NP）2，解得R＝，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝，故C正确；∵DM＝＝，即D到平面ABC的距离为，则B到平面ACD的距离为，∵E是AB的中点，∴E到平面ACD的距离为×，∵CM＝CE，∴M到平面ACD的距离为××＝，∴直线MN到平面ACD的距离为，故D正确．故选：BCD．一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）23．（2023•潮州二模）已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（ ）A．点（4，0）在圆M内B．若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则a＝9C．直线与圆M相离D．圆M关于4x+3y﹣2＝0对称【答案】B【解答】解：∵圆M：x2+y2﹣4x+3＝0可化为：（x﹣2）2+y2＝1，∴圆心为O1（2，0），半径为r1＝1，对于A：因为（4﹣2）2+02＞1，所以点（4，0）在圆M外，故A错误；对于B：若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则两圆外切，圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13﹣a，圆心为O2（2，3），半径为，因为|O1O2|＝r1+r2，所以，解得a＝9，故B正确；对于C：∵O1（2，0）到直线的距离为，∴直线与圆M相切，故C错误；对于D：显然圆心O1（2，0）不在直线4x+3y﹣2＝0上，则圆M不关于4x+3y﹣2＝0对称，故D错误；故选：B．二十．椭圆的性质（共3小题）24．（2023•高州市二模）若椭圆的离心率为，两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则＝（ ）A．2B．C．4D．【答案】A【解答】解：如图，连接PF1，PF2，设P到x轴距离为d P，M到x轴距离为d M，则设△PF1F2内切圆的半径为r，则，＝＝＝（c+a）r∴不妨设|PQ|＝cm，则|MQ|＝（c+a）m（m＞0），∴|PM|＝|MQ|﹣|PQ|＝am（m＞0），因为椭圆的离心率为，∴，故选：A．25．（2023•韶关二模）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB＝44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，则椭圆方程为，令y＝﹣c，有一个，所以有，所以，所以＝，所以e＝＝．故选：D．。

考点三 复数一、选择题1．(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i2．(2020·云南昆明三模)在复平面内，复数z ＝2i1＋i所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(2020·青海西宁检测(一))已知a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i的共轭复数，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．14．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2D ．25．(2020·陕西咸阳一模)设z ·i＝2i ＋1，则z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋iD ．－2－i6．(2020·浙江宁波二模)已知复数z 是纯虚数，满足z (1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－27．(2020·江西6月大联考)若复数z＝1＋2i1－i，则|z－|＝( )A.10 B． 5C．105D．1028．(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A．1＋2i B．－2＋iC．1－2i D．－2－i9．(2020·湖南师大附中高三摸底考试)满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z 对应点的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线10．(2020·湖南长沙长郡中学高三下学期第一次高考模拟)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．－1－i B．1－iC．1＋i D．－1＋i11．(2020·福建厦门高三毕业班5月质量检查)已知i是虚数单位，复数z 满足(1－i)z＝2i，则复平面内与z对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．(2020·湖南长沙长郡中学二模)下面是关于复数z＝2－1＋i(i为虚数单位)的命题，其中假命题为( )A．|z|＝ 2 B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－113．(2020·陕西西安中学高三下学期仿真考试(一))已知复数z满足z－＋i i＝－1＋i，则复数z＝( )A．－1－2i B．－1＋2iC．1－2i D．1＋2i14．(2020·贵州贵阳高三6月适应性考试二)已知复数z满足z(1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z的共轭复数为( )A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i15．(2020·山西太原五中高三3月模拟)已知复数z＝23－i，则|z|＝( )A．1 B．2C． 3 D． 216．(2020·陕西咸阳三模)设复数z满足|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为( )A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝117．(2020·吉林长春高三质量监测二)若z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，则a＝( )A．0或2 B．0C．1或2 D．118．下面四个命题中，①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z＋1|＝|z－2i|，则z对应的点构成一条直线；③由向量a的性质|a|2＝a2，可类比得到复数z的性质|z|2＝z2；④i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2020＝1.正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3二、填空题19．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．20．(2020·广州高三综合测试一)已知复数z＝22－22i，则z2＋z4＝________.21．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数z1－2i的共轭复数是________．22．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.一、选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝( )A．1－i B．1＋iC．－i D．i2．(2020·吉林东北师大附中第四次模拟)在复平面内，复数z对应的点与3＋i对应的点关于实轴对称，则zi＝( )A．－1－3i B．－3＋iC．－1＋3i D．－3－i3．(2020·山西太原一模)已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－1,2)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2020·河南洛阳第三次统一考试)已知复数z满足|z|＝1，则|z－1＋3 i|的最小值为( )A．2 B．1C． 3 D． 25．(2020·辽宁丹东二模)已知复数z＝a2＋1＋i1－i－ai－1为纯虚数，则实数a＝( )A．0 B．±1C．1 D．－16．(2020·山西大同模拟)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，若z1＝zz2，则z的共轭复数z－＝( )A.12＋32i B．12－32iC．－12＋32i D．－12－32i7．(2020·广州综合测试)若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3＝( )A．±2 2 B．－2 2C．－22i D．±22i8．(2020·吉林长春质量监测四模)设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，下列说法正确的是( )A．z的虚部是y iB．z2＝|z|2C．若x＝0，则复数z为纯虚数D．若z满足|z－i|＝1，则z在复平面内对应点(x，y)的轨迹是圆二、填空题9．(2020·河南开封3月模拟)若z＝1＋2i，则4iz z－－1＝________.10．若2－i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则bc＝________.11．(2020·浙江杭州高三下学期仿真模拟)复数z满足：z1＋i＝a－i(其中a>0，i为虚数单位)，|z|＝10，则a＝________；复数z的共轭复数z－在复平面上对应的点在第________象限．12．定义复数的一种新运算z1@z2＝|z1|＋|z2|2(等式右边为普通运算)．若复数z＝x＋y i，i为虚数单位，且实数x，y满足x＋y＝22，则z－@z的最小值为________．三、解答题13．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝513＋1213i，求cos(α＋β)的值．14．设z＋1为关于x的方程x2＋mx＋n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．考点三复数一、选择题1．(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i＝( )A．1 B．－1 C．i D．－i 答案 D解析2－i1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i 1－2i＝－5i5＝－i ，故选D. 2．(2020·云南昆明三模)在复平面内，复数z ＝2i1＋i所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A 解析 ∵z ＝2i1＋i＝2i 1－i 1＋i 1－i＝1＋i ，∴复数z 所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选A.3．(2020·青海西宁检测(一))已知a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i的共轭复数，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1答案 D 解析 1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i＝－2i2＝－i ，∴a ＋b i ＝－(－i)＝i ，∴a＝0，b ＝1，∴a ＋b ＝1.故选D.4．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．2答案 D解析 z 2＝(1＋i)2＝2i ，则z 2－2z ＝2i －2(1＋i)＝－2，故|z 2－2z |＝|－2|＝2.故选D.5．(2020·陕西咸阳一模)设z ·i＝2i ＋1，则z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋i D ．－2－i 答案 B解析 ∵z ·i＝2i ＋1，∴z ＝2i ＋1i ＝2i －i 2i＝2－i.故选B.6．(2020·浙江宁波二模)已知复数z 是纯虚数，满足z (1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z (1－i)＝b i(1－i)＝b ＋b i ＝a ＋2i ，所以⎩⎨⎧b ＝a ，b ＝2，解得a ＝2.故选C.7．(2020·江西6月大联考)若复数z ＝1＋2i1－i ，则|z －|＝( ) A.10 B ． 5 C ．105D ．102答案 D解析 因为z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i 1＋i 1－i1＋i＝1＋i ＋2i ＋2i 22＝－1＋3i 2，所以z －＝－12－3i 2，则|z －|＝14＋94＝102.故选D. 8．(2020·北京高考)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A ．1＋2iB ．－2＋iC ．1－2iD ．－2－i答案 B解析 由题意得z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i －2.故选B.9．(2020·湖南师大附中高三摸底考试)满足条件|z ＋4i|＝2|z ＋i|的复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2＋y＋42，|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2＋y＋12，结合题意有x2＋(y ＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.即复数z对应点的轨迹是圆．故选B.10．(2020·湖南长沙长郡中学高三下学期第一次高考模拟)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．－1－i B．1－iC．1＋i D．－1＋i 答案 D解析由题意得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝2i＋22＝1＋i，在复平面内对应的点为(1,1)，关于虚轴对称的点为(－1,1)，所以其对应的复数为－1＋i.故选D.11．(2020·福建厦门高三毕业班5月质量检查)已知i是虚数单位，复数z 满足(1－i)z＝2i，则复平面内与z对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵(1－i)z＝2i，∴z＝2i1－i＝2i1＋i2＝－1＋i，∴复平面内与z对应的点在第二象限，故选B.12．(2020·湖南长沙长郡中学二模)下面是关于复数z＝2－1＋i(i为虚数单位)的命题，其中假命题为( )A．|z|＝ 2 B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 答案 C解析因为z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－2－2i2＝－1－i，所以|z|＝2，A为真命题；z2＝2i，B为真命题；z的共轭复数为－1＋i，C为假命题；z的虚部为－1，D为真命题．故选C.13．(2020·陕西西安中学高三下学期仿真考试(一))已知复数z 满足z －＋i i＝－1＋i ，则复数z ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i答案 B解析 已知复数z 满足z －＋i i＝－1＋i ，则z －＝i(－1＋i)－i ＝－1－2i ，故z ＝－1＋2i ，故选B.14．(2020·贵州贵阳高三6月适应性考试二)已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝－12＋32＝2，得z ＝21＋i＝21－i1＋i 1－i＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.15．(2020·山西太原五中高三3月模拟)已知复数z ＝23－i，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 2答案 A 解析 因为z ＝23－i＝23＋i 3－i 3＋i＝3＋i 2＝32＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1.故选A. 16．(2020·陕西咸阳三模)设复数z 满足|z －1＋i|＝1，z 在复平面内对应的点为P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1答案 D解析由题意得z＝x＋y i，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即x－12＋y＋12＝1, 则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.故选D.17．(2020·吉林长春高三质量监测二)若z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，则a＝( )A．0或2 B．0C．1或2 D．1答案 A解析因为z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，所以12＋1－a2＝2，解得a＝0或a＝2.故选A.18．下面四个命题中，①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z＋1|＝|z－2i|，则z对应的点构成一条直线；③由向量a的性质|a|2＝a2，可类比得到复数z的性质|z|2＝z2；④i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2020＝1.正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝a＋b i(a，b∈R)，由|z＋1|＝|z－2i|计算得2a＋4b－3＝0，故正确；③设z＝a ＋b i(a，b∈R)，当b≠0时，|z|2＝z2不成立，故错误；④1＋i＋i2＋…＋i2020＝1，故正确．二、填空题19．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．答案 3解析∵复数z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，∴复数z的实部为3.20．(2020·广州高三综合测试一)已知复数z ＝22－22i ，则z 2＋z 4＝________.答案 －1－i解析 ∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 2＝12－i －12＝－i ，∴z 4＝(z 2)2＝(－i)2＝－1，∴z 2＋z 4＝－1－i.21．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 1－2i的共轭复数是________．答案 －i解析 由题图可得z ＝2＋i ，复数z1－2i ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i＝i ，其共轭复数为－i.22．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 2 3解析 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝2， ∴a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，∵z 1＋z 2＝a ＋b i ＋c ＋d i ＝3＋i ， ∴a ＋c ＝3，b ＋d ＝1，∴(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋2ac ＋b 2＋d 2＋2bd ＝4， ∴2ac ＋2bd ＝－4，∵z 1－z 2＝a ＋b i －(c ＋d i)＝a －c ＋(b －d )i ， ∴|z 1－z 2|＝a －c2＋b －d2＝a 2＋c 2－2ac ＋b 2＋d 2－2bd ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－2ac ＋2bd＝4＋4－－4＝2 3.解法二：∵|z 1|＝|z 2|＝2，可设z 1＝2cos θ＋2sin θ·i，z 2＝2cos α＋2sin α·i， ∴z 1＋z 2＝2(cos θ＋cos α)＋2(sin θ＋sin α)·i＝3＋i ， ∴⎩⎨⎧2cos θ＋cos α＝3，2sin θ＋sin α＝1.两式平方作和，得4(2＋2cos θcos α＋2sin θsin α)＝4， 化简得cos θcos α＋sin θsin α＝－12.∴|z 1－z 2|＝|2(cos θ－cos α)＋2(sin θ－sin α)·i| ＝4cos θ－cos α2＋4sin θ－sin α2＝8－8cos θcos α＋sin θsin α＝8＋4 ＝2 3.一、选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)若z －(1＋i)＝1－i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i答案 D解析 因为z －＝1－i 1＋i＝1－i 21＋i 1－i＝－2i2＝－i ，所以z ＝i.故选D. 2．(2020·吉林东北师大附中第四次模拟)在复平面内，复数z 对应的点与3＋i 对应的点关于实轴对称，则zi＝( )A ．－1－3iB ．－3＋iC ．－1＋3iD ．－3－i答案 A解析 ∵复数3＋i 在复平面内对应的点为(3，1)，复数z 在复平面内对应的点与3＋i 对应的点关于实轴对称，∴复数z 在复平面内对应的点为(3，－1)，∴z ＝3－i ，∴zi ＝3－ii＝3－i·ii 2＝－1－3i.故选A.3．(2020·山西太原一模)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 A解析 因为复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－1)．故选A.4．(2020·河南洛阳第三次统一考试)已知复数z 满足|z |＝1，则|z －1＋3i|的最小值为( )A ．2B ．1C ． 3D ． 2答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ∈R ，y ∈R )，由|z |＝1得x 2＋y 2＝1，又|z －1＋3i|＝x －12＋y ＋32表示定点(1，－3)与圆上任一点(x ，y )间的距离．则由几何意义得|z －1＋3i|min ＝0－12＋[0－－3]2－1＝2－1＝1，故选B.5．(2020·辽宁丹东二模)已知复数z ＝a 2＋1＋i 1－i －ai－1为纯虚数，则实数a ＝( )A ．0B ．±1C ．1D ．－1答案 C解析 ∵z ＝a 2＋1＋i 1－i －ai －1＝a 2＋1＋i 21－i 1＋i－a i i2－1＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.故选C.6．(2020·山西大同模拟)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，若z 1＝zz 2，则z 的共轭复数z －＝( )A.12＋32i B ．12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i答案 A解析 由题图可知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋2i －1＋i＝1＋2i －1－i －1＋i－1－i＝1－3i 2，所以z －＝12＋32i.故选A. 7．(2020·广州综合测试)若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3＝( ) A ．±2 2 B ．－2 2 C ．－22i D ．±22i答案 D解析 z 2＋2＝0，即z 2＝－2，解得z ＝±2i.所以z 3＝z ·z 2＝(±2i)·(－2)＝±22i ，故选D.8．(2020·吉林长春质量监测四模)设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，下列说法正确的是( )A ．z 的虚部是y iB ．z 2＝|z |2C ．若x ＝0，则复数z 为纯虚数D ．若z 满足|z －i|＝1，则z 在复平面内对应点(x ，y )的轨迹是圆 答案 D解析 z 的实部为x ，虚部为y ，所以A 错误；z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，|z |2＝x 2＋y 2，所以B 错误；当x ＝0，y ＝0时，z 为实数，所以C 错误；由|z －i|＝1得|x ＋y i －i|＝1，所以|x ＋(y －1)i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1，所以D 正确．故选D.二、填空题9．(2020·河南开封3月模拟)若z ＝1＋2i ，则4iz z －－1＝________. 答案 i 解析4iz z －－1＝4i1＋2i1－2i－1＝i.10．若2－i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则bc ＝________.答案 －20解析 把复数根2－i 代入方程中，得(2－i)2＋b (2－i)＋c ＝0，即3＋2b ＋c －(4＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧3＋2b ＋c ＝0，4＋b ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝5，故bc ＝－20.11．(2020·浙江杭州高三下学期仿真模拟)复数z 满足：z 1＋i＝a －i(其中a >0，i 为虚数单位)，|z |＝10，则a ＝________；复数z 的共轭复数z －在复平面上对应的点在第________象限．答案 2 四 解析 由z 1＋i＝a －i 可得，z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以|z |＝a ＋12＋a －12＝10，左右同时平方得，a 2＋2a ＋1＋a 2－2a ＋1＝10，所以a 2＝4.又因为a >0，所以a ＝2.所以z ＝3＋i ，z －＝3－i ，所以z －在复平面上对应的点为(3，－1)，位于第四象限．12．定义复数的一种新运算z 1@z 2＝|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)．若复数z ＝x ＋y i ，i 为虚数单位，且实数x ，y 满足x ＋y ＝22，则z －@z 的最小值为________．答案 2解析 z －@z ＝|z －|＋|z |2＝2|z |2＝|z |＝x 2＋y 2.因为x ＋y ＝22，所以z －@z ＝ 2x －22＋4，故当x ＝2时，z －@z 取最小值2. 三、解答题13．已知z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β，且z 1－z 2＝513＋1213i ，求cos(α＋β)的值．解 ∵z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β， ∴z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝513＋1213i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝513， ①sin α＋sin β＝1213. ②由①2＋②2，得2－2cos(α＋β)＝1. ∴cos(α＋β)＝12.14．设z ＋1为关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，m ，n ∈R 的虚根，i 为虚数单位． (1)当z ＝－1＋i 时，求m ，n 的值；(2)若n ＝1，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数2＋4i 所对应的点为Q ，试求|PQ |的取值范围．解 (1)因为z ＝－1＋i ，所以z ＋1＝i ， 则i 2＋m i ＋n ＝0，易得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝1.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋1＋b i)2＋m (a ＋1＋b i)＋1＝0，于是⎩⎨⎧a ＋12－b 2＋m a ＋1＋1＝0， ①2a ＋1b ＋mb ＝0， ②因为z ＋1为虚数根，所以b 不为零，所以由②得m ＝－2(a ＋1)，代入①得，(a ＋1)2＋b 2＝1，则点P 是以(－1,0)为圆心，1为半径的圆(去掉b ＝0对应的两点)上任意一点．又复数2＋4i 对应的点为Q ，所以|PQ |的最大值为2＋12＋42＋1＝6，|PQ |的最小值为4.所以|PQ |的取值范围是[4,6]．。

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）一．抽象函数及其应用（共1小题）1．（2023•深圳二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）﹣2为奇函数，且f（1﹣x）＝f（3+x），则f（2023）＝ ．二．正弦函数的单调性（共1小题）2．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递 （填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 ．三．函数的零点与方程根的关系（共1小题）3．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是 ；的值为 ．四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）4．（2023•茂名二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米．五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）5．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝ ．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f （x）相切，且这两条切线关于直线x＝m对称，则m的一个可能值为 ．六．平面向量的基本定理（共1小题）7．（2023•广州二模）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝　时，则有最小值为 ．七．解三角形（共1小题）8．（2023•深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽AB ＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA＝AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球 码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置．八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）9．（2023•广东二模）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ．九．球的体积和表面积（共1小题）10．（2023•韶关二模）将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ．一十．点、线、面间的距离计算（共1小题）11．（2023•高州市二模）已知球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB ＝1，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为 ．一十一．轨迹方程（共1小题）12．（2023•广州二模）在平面直角坐标系xOy中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A （x1，y1），B（x2，y2）两点之间的“折线距离”．已知点Q（1，0），动点P满足d（Q，P）＝，点M是曲线y＝上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，d（P，M）的最小值为 ．一十二．椭圆的性质（共3小题）13．（2023•梅州二模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 ．14．（2023•汕头二模）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝ ．15．（2023•佛山二模）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为 ．一十三．抛物线的性质（共1小题）16．（2023•韶关二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为﹣1的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）上存在一点M，使得∠PMQ ＝90°，则实数a的取值范围为 ．一十四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）17．（2023•佛山二模）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 ．一十五．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）18．（2023•汕头二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验 次．（结果保留四位有效数字）（0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983）．一十六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）19．（2023•佛山二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N（800，σ2），且P（X＜801）＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X＜801的瓷砖片数，则E（Y）＝ ．一十七．归纳推理（共1小题）20．（2023•广州二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝ ．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）参考答案与试题解析一．抽象函数及其应用（共1小题）1．（2023•深圳二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）﹣2为奇函数，且f（1﹣x）＝f（3+x），则f（2023）＝　2　．【答案】2．【解答】解：由于f（x+1）﹣2为奇函数，则f（x+1）﹣2＝﹣[f（﹣x+1）﹣2]，即f（x+1）+f（1﹣x）＝4，所以函数f（x）关于点（1，2）对称，则f（1）＝2，又f（1﹣x）＝f（3+x），则f（x+1）+f（x+3）＝4，则f（x）+f（x+2）＝4，则f（x+2）+f（x+4）＝4，所以f（x）＝f（x+4），则函数f（x）的周期为4，所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝f（1）＝2．故答案为：2．二．正弦函数的单调性（共1小题）2．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递　增　（填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为　9个　．【答案】增；9个．【解答】解：∵函数在上具有单调性，∴﹣（﹣）≤T，即≤，∴0＜ω≤，又∵f（）＝sin（ω+）＝0，∴ω+＝kπ（k∈Z），即ω＝﹣，k∈Z，只有k＝1时，ω＝3符合要求，此时f（x）＝sin（3x+），当x∈时，3x+∈（﹣，），∴f（x）在上单调递增，作出函数y＝f（x）与y＝lgx的图象，由图可知，这两个函数的图象共有9个交点，∴函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为9个．故答案为：增；9个．三．函数的零点与方程根的关系（共1小题）3．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是　（2，+∞）　；的值为　2　．【答案】（2，+∞）；2．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，，当且仅当即x＝﹣1时取等号，且根据对勾函数可得f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，当x∈（0，e﹣a]时，lnx∈（﹣∞，﹣a]，|lnx|＝﹣lnx∈[a，+∞），则|lnx|﹣a＝﹣lnx﹣a∈[0，+∞），所以f（x）＝﹣lnx﹣a∈[0，+∞）；当x∈（e﹣a，1]时，lnx∈（﹣a，0]，|lnx|＝﹣lnx∈[0，a），则|lnx|﹣a＝﹣lnx﹣a∈[﹣a，0），所以f（x）＝lnx+a∈（0，a]；当x∈（1，e a]时，lnx∈（0，a]，|lnx|＝lnx∈（0，a]，则|lnx|﹣a＝lnx﹣a∈（﹣a，0]，所以f（x）＝a﹣lnx∈[0，a）；当x∈（e a，+∞）时，lnx∈（a，+∞），|lnx|＝lnx∈（a，+∞），则|lnx|﹣a＝lnx﹣a∈（0，+∞），所以f（x）＝lnx﹣a∈（0，+∞），所以f（x）的大致图象如图所示，当a＞2时，存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根，故a的取值范围是（2，+∞），由题意得x1，x2是方程的两个根，即方程x2+kx+1＝0的两个根，所以x1x2＝1，x1x2＝1，﹣lnx3﹣a＝lnx6﹣a＝k，所以lnx3+lnx6＝ln（x3x6）＝0，解得x3x6＝1，lnx4+a＝a﹣lnx5＝k，lnx4+lnx5＝ln（x4x5）＝0，解得x4x5＝1所以，故答案为：（2，+∞）；2．四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）4．（2023•茂名二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为　+5　百米．【答案】+5．【解答】解：连接CD，CE，由半圆半径为1得：CD＝CE＝1，由对称性，设∠CBE＝∠CBD＝θ，又CD⊥BD，CE⊥BE，所以BE＝BD＝＝，BC＝＝，易知∠MCE＝∠NCD＝θ，所以，的长为θ，又AC＝3，故AB＝AC﹣BC＝3﹣∈（0，2），故sinθ∈（，1），令sinθ0＝，且θ0∈（0，），则f（θ）＝5﹣++2θ，θ∈（θ0，），所以f′（θ）＝，θ（θ0，）（，）f′（θ）﹣0+f（θ）单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值f（θ）min＝f（）＝+5．故答案为：+5．五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）5．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝　﹣3　．【答案】﹣3．【解答】解：由f（x）＝x2+alnx，得f′（x）＝2x+，则f′（1）＝2+a，又f（1）＝1，∴函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线方程为y﹣1＝（2+a）（x﹣1），取x＝0，可得y＝﹣2﹣a+1＝﹣a﹣1＝2，可得a＝﹣3．故答案为：﹣3．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f （x）相切，且这两条切线关于直线x＝m对称，则m的一个可能值为　（或或或）　．【答案】（或或或）．【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣t），因为f（x）＝x3﹣x，则f'（x）＝3x2﹣1，切线斜率为f'（t）＝3t2﹣1，所以，曲线y＝f（x）在x＝t处的切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），将点P的坐标代入切线方程可得2t3﹣3mt2+m+n＝0，设过点P且与曲线y＝f（x）相切的切线的切点的横坐标分别为x1、x2，且x1≠x2，因为这两条切线关于直线x＝m对称，则，所以，易知x1、x2关于t的方程2t3﹣3mt2+m+n＝0的两个根，设该方程的第三个根为x3，则2t3﹣3mt2+m+n＝2（t﹣x1）（t﹣x2）（t﹣x3），则，所以，因为过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，则关于t的方程2t3﹣3mt2+m+n＝0只有两个不等的实根，不妨设x3＝x1，则，若x1＝0，则，可得，解得；若2x2+x1＝0，则x1＝﹣2x2，所以，，可得，x1＝m，所以，解得．综上所述，或．故答案为：（或或或）．六．平面向量的基本定理（共1小题）7．（2023•广州二模）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝ 时，则有最小值为 ．【答案】；．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则，又，则＝＝＝（1﹣），，则＝+4λ+4（）＝，又＝，当且仅当，即时取等号，即当λ＝时，则有最小值为，故答案为：；．七．解三角形（共1小题）8．（2023•深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽AB ＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA＝AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球　72﹣16　码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球　72﹣16　码时，到达最佳射门位置．【答案】72﹣16；72﹣16．【解答】解：若选择线路，设AP＝t，其中0＜t≤72，AE＝32，AF＝32+8＝40，则tan∠APE＝＝，tan∠APF＝＝，所以，tan∠EPF＝tan（∠APF﹣∠APE）＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝时，即当t＝16时，等号成立，此时OP＝OA﹣AP＝72﹣16，所以，若选择线路，则甲带球72﹣16码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，以线段EF的中点N为坐标原点，、的方向分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则B（﹣36，0）、O（36，72）、F（﹣4，0）、E（4，0），k OB＝＝1，直线OB的方程为y＝x+36，设点P（x，x+36），其中﹣36＜x≤36，tan∠AFP＝k PF＝，tan∠AEP＝k PE＝，所以，tan∠EPF＝tan（∠AEP﹣∠AFP）＝＝＝＝，令m＝x+36∈（0，72]，则x＝m﹣36，所以x+36+＝m+＝2m+﹣72≥2﹣72＝32﹣72，当且仅当2m＝时，即当m＝8，即当x＝8﹣36时，等号成立，所以，tan∠EPF＝≤＝，当且仅当x＝8﹣36时，等号成立，此时，|OP|＝|36﹣（8﹣36）|＝72﹣16，所以，若选择线路，则甲带球72﹣16码时，到达最佳射门位置，故答案为：72﹣16；72﹣16．八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）9．（2023•广东二模）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ．【答案】．【解答】解：连接AC，BD，由题意可得，分别过E，F，G，H作底面ABCD的垂线，垂足分别为E1，F1，G1，H1，可得E1，F1，G1，H1分别为AB，BC，CD，AD的中点，连接E1F1，F1G1，G1H1，H1E1，可得，由题意可得：EFGH﹣E1F1G1H1为四棱柱，则，四棱锥的高为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高的一半，即为1，所以四棱锥的体积．故答案为：．九．球的体积和表面积（共1小题）10．（2023•韶关二模）将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为　π　．【答案】π．【解答】解：设圆锥底面半径为R，母线长为L，则，解得R＝，L＝，易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于，故S△ABC＝××＝，设内切圆半径为r，则：S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB•r×2+BC•r，解得：，其表面积：．故答案为：π．一十．点、线、面间的距离计算（共1小题）11．（2023•高州市二模）已知球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB ＝1，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为 ．【答案】．【解答】解：将正四面体A﹣BCD补形成正方体，因为球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，所以球O即为正方体的内切球，易知，球心O为正方体体对角线的中点，记正四面体A﹣BCD表面上的点到球心O的距离为d，球的半径为r，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值即为d+r的最大值，设正方体棱长为a，则a2+a2＝1，解得，所以，易知，，所以正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为．故答案为：．一十一．轨迹方程（共1小题）12．（2023•广州二模）在平面直角坐标系xOy中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A （x1，y1），B（x2，y2）两点之间的“折线距离”．已知点Q（1，0），动点P满足d（Q，P）＝，点M是曲线y＝上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，d（P，M）的最小值为　（﹣1）　．【答案】；（﹣1）．【解答】解：设P（x，y），d（Q，P）＝|x﹣1|+|y|＝，当x≥1，y≥0时，则x﹣1+y＝，即x+y﹣＝0，当x≥1，y＜0时，则x﹣1﹣y＝，即x﹣y﹣＝0，当x＜1，y＜0时，则1﹣x﹣y＝，即x+y﹣＝0，当x＜1，y≥0时，则1﹣x+y＝，即x﹣y﹣＝0，故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形ABCD的面积：则S＝×××4＝，如下图，设P（x0，y0），M（x1，y1），又求d（P，M）的最小值，显然x1＞x0，y1＞y0，d（P，M）＝|x1﹣x0|+|y1﹣y0|＝x1﹣x0+y1﹣y0＝x1+y1﹣（x0+y0），求d（P，M）的最小值，即x1+y1的最小值，x0+y0的最大值，又（x0+y0）＝，下面求x1+y1的最小值，令y＝x1+y1＝x1+，y'＝1﹣＝0，即x1＝，令y'＞0，解得：x1＞，令y'＜0，解得：x1＜，所以y在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以x1＝时，y有最小值，且y min＝，所以d（P，M）min＝﹣＝（﹣1）．故答案为：；（﹣1）．一十二．椭圆的性质（共3小题）13．（2023•梅州二模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 ．【答案】．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则2b＝2r，，即，因此该椭圆的离心率为．故答案为：．14．（2023•汕头二模）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝　4　．【答案】4．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），由中点坐标公式可得、、，∵O为△ABC的重心，∴，，，∴x1y3﹣x3y1＝x3y2﹣x2y3＝x2y1﹣x1y2，由题意可知，过A，B，C切线分别为，，，∴，，，∴，同理，即O也是△DEF的重心，又∵，，，∴，，，∴，同理可得k OE＝k OB，k OF＝k OA，∴D，O，C、E，O，B、F，O，A共线，综上，C，B，A分别是EF，DF，DE的中点，则．故答案为：4．15．（2023•佛山二模）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为 ．【答案】．【解答】解：由椭圆的方程可知右顶点为M（2，0），左右焦点F1、F2的坐标为（﹣1，0），（1，0），设P（2，t）为过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，（不妨设t＞0），tan∠F1PF2＝tan（∠F1PM﹣∠F2PM）＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝，即t＝时取等号，∵0≤∠F1PF2＜，∴0≤∠F1PF2≤，∴sin∠F1PF2的最大值为．故答案为：．一十三．抛物线的性质（共1小题）16．（2023•韶关二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为﹣1的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为　（x﹣3）2+（y+2）2＝16　；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则实数a的取值范围为　[，9]　．【答案】（x﹣3）²+（y+2）²＝16，[，9]．【解答】解：过抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0）且斜率为﹣1的直线l为y＝﹣x+1，由消去x，得x2﹣6x+1＝0，所以AB的中点为D（3，﹣2），|AB|＝x1+x2+p，所以以线段AB为直径的圆D的半径r＝4，方程为（x﹣3）²+（y+2）²＝16，对圆D内任意一点M，必可作相互垂直的两直线相交，故存在圆D上两点P，Q，使∠PMQ＝90°；对圆D外任意一点M，P，Q是圆D上两点．当MP，MQ与圆D相切时，∠PMQ最大，此时DPMQ为柜形，T：（x﹣a）2+y2＝1上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，等价于以D为因心以为半径的圆与圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）在公共点，所以，解得，所以实数a的取值范围为[，9]．故答案为：（x﹣3）²+（y+2）²＝16，[，9]．一十四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）17．（2023•佛山二模）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 ．【答案】；．【解答】解：记事件A i表示从第i（i＝1，2，•，n）个盒子里取出白球，则P（A1）＝，P（）＝，P（A2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）＝＝，P（A 3）＝P（A2）P（A3|A2）+P（）P（A3|）＝＝，P（A 4）＝P（A3）P（A4|A3）+P（）P（A4|）＝，进而得P（A n）＝，P（A n）﹣＝[P（A n﹣1）﹣]，又P（A1）﹣＝，P（A2）﹣＝，P（A2）﹣＝[P（A1）﹣]，∴{P（A n）﹣}是首项为，公比为的等比数列，∴P（A n）﹣＝＝，∴P（A n）＝．故答案为：；．一十五．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）18．（2023•汕头二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验　0.4262　次．（结果保留四位有效数字）（0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983）．【答案】0.4262．【解答】解：设每个人需要的化验次数为X，若混合血样呈阴性，则X＝；若混合血样呈阳性，则X＝；因此，X的分布列为P（X＝）＝0.955，P（X＝）＝1﹣0.955，所以E（X）＝≈0.4262，说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次．故答案为：0.4262．一十六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）19．（2023•佛山二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N（800，σ2），且P（X＜801）＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X＜801的瓷砖片数，则E（Y）＝　1　．【答案】1．【解答】解：由题意，X～N（800，σ2），所以正态曲线关于直线X＝800对称，所以P（X＜800）＝0.5，因为P（X＜801）＝P（X＜800）+P（800≤X＜801）＝0.6，所以P（800≤X＜801）＝0.6﹣0.5＝0.1，由题意，Y～B（10，0.1），所以E（Y）＝10×0.1＝1．故答案为：1．一十七．归纳推理（共1小题）20．（2023•广州二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝ ．【答案】．【解答】解：观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列{∁n}，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，因此数列{∁n}是首项C1＝3，公比为的等比数列，所以，，故答案为：．。

2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．23．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．56．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．3010．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．212．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出+z，再求出其模即可．【解答】解：∵z=1+i，∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A．3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的X围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]= +，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解答】解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．10．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的X围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据分段函数，分别讨论x的X围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x=0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选D．12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab的值．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的X围，进而可求M的X围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得b n=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴b n=a•2n．∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．∴b n=2n﹣1．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n=（9﹣2n）•2n﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x+y，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），=+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设=x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），，其k=0、1、2、3．所以变ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E 的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：则有∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tc osα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0由韦达定理得，，==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：x （0，x0）x0（x0，a）g'（x）+ 0 ﹣g（x）↗↘∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可某某数a的取值X围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…。

2022年广东省梅州市高考数学二模试卷1.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为( )A.B. C. D.2.复数z 满足，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为( )A. B.C.D. 3.设函数，则( )A. 2B. 6C. 8D. 104.下面四个条件中，使成立的充分不必要的条件是( )A. B.C.D.5.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x 轴向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则实数m 的最小值为( )A.B. C.D.6.已知直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点，若为等边三角形，则k 的值为( )A.B. C. D.7.两不共线的向量，，满足，且，，则，( )A. B.C. D.8.已知是定义在R 上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是( )A. B.C.D.9.已知双曲线C：，则( )A. 双曲线C的焦距为B. 双曲线C的两条渐近线方程为：C. 双曲线C的离心率为D. 双曲线C有且仅有两条过点的切线10.如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比．注：同比增长率，环比增长率下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是( )A. 2020年10月，全国居民消费价格同比下降B. 2020年11月，全国居民消费价格环比下降C. 2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高D. 2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格11.一球筐中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓1个球，最多抓2个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，则以下推断中正确的有( )A. 若，则甲有必赢的策略B. 若，则甲有必赢的策略C. 若，则乙有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略12.在长方体中，，，动点P在体对角线上含端点，则下列结论正确的有( )A. 当P为中点时，为锐角B. 存在点P，使得平面APCC. 的最小值D. 顶点B到平面APC的最大距离为13.已知，，则______.14.已知某班数学建模兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选3人参加该校的数学建模比赛，则恰有1名女生被选到的概率是______.15.已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为2的球面上，上、下底面正方形的外按圆半径分别为1和2，则此正四棱台的体积为______.16.分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是______取，17.在中，点D在AB上，CD平分，已知，，求BC的长；求的值．18.已知是数列的前n项和，，_______.①，；②数列为等差数列，且的前3项和为从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：求；设，求数列的前n项和19.已知求的单调区间；证明：方程在上无实数解20.如图①，在直角梯形ABCD中，，，，，E、F分别是AD，BC的中点，将四边形ABFE沿EF折起，如图②，连结AD，BC，求证：；当翻折至时，设Q是EF的中点，P是线段AC上的动点，求线段PQ长的最小值．21.已知动点P到点和直线l：的距离相等．求动点P的轨迹方程；设点P的轨迹为曲线C，点Q在直线l上，过Q的两条直线QA，QB与曲线C相切，切点分别为A，B，以AB为直径作圆M，判断直线l和圆M的位置关系，并证明你的结论．22.2022年，我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我国专家突破难关，使得“10合1混采检测”情况下依然有效，即：每10人的咽拭子合进一个采样管一起检测．如果该采样管中检测出来的结果是阴性，就表示这10个人都是安全的．否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人当中的阳性者．采用“10合1混采检测”模式，是为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，降低新冠肺炎疫情在本地扩散风险．设感染率为p，10个人的咽拭子混合在一起检测时，求随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数；某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数．并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？注：感染率，即为每个人受感染的概率；答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集，集合，，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，，故选2.【答案】D【解析】解：复数z满足，，复数z的虚部为故选：根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设函数，则故选：由分段函数和对数的运算性质以及对数恒等式，计算即可得到所求和．本题考查分段函数值的求法，注意各段的解析式的运用，考查对数运算法则和对数恒等式的运用，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：对于A，，则，故充分性成立，不妨令，，满足，但，故必要性不成立，故A正确，对于B，令，，满足，但，故充分性不成立，故B错误，对于C，令，，满足，但，故充分性不成立，故C错误，对于D，，则，充分性成立，当时，在R上单调递增，故，故必要性也成立，故D错误．故选：根据已知条件，结合函数的单调性，以及特殊值法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握函数的单调性以及特殊值法是解本题的关键，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：的最小正周期为，，，若将其图象沿x轴向左平移个单位长度，所得图象对应函数为，所得图象关于直线对称，，，解得，，，实数m的最小值为故选：利用周期公式可求的值，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，再利用函数的最值的性质求出m 的最小值．本题考查学生对余弦型三角函数的图象与性质对称性、周期性、单调性的掌握情况，考查考学生对三角函数三种表征零点、对称轴、单调性的理解与转换，考查了方程思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：圆C的标准方程为，圆心为，半径为2，由题意可知，圆心C到直线l的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得故选：分析可知C到直线l的距离为，再利用点到直线的距离公式可得出关于k的等式，即可解得实数k的值．本题主要考查直线与圆的位置关系，由三角形的性质求参数值的方法等知识，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由恒成立，即恒成立，即，即，，即，又，则，，故选：由恒成立，得，即，再结合，求解即可．本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题．8.【答案】B【解析】解：令，因为当时，，且，则，所以在上单调递增，且，所以当时，，，当时，，，所以当时，，当时，，因为为奇函数，所以时，，，当时，，所以不等式可转化为或，解得故选：由已知不等式可考虑构造函数，结合已知及导数与单调性关系研究单调性，然后结合奇函数的性质可求出满足及的范围，从而可求．本题主要考查了利用奇函数的性质及单调性求解不等式，导数的应用是求解问题的关键，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：双曲线C：，焦距为：4，所以A不正确；渐近线方程为：，所以B正确；离心率为：，所以C不正确；因为在双曲线实轴上，并且在x轴正半轴，顶点左侧，所以双曲线C有且仅有两条过点的切线，所以D正确；故选：利用双曲线方程，求解焦距，渐近线方程，离心率，判断直线与双曲线的位置关系即可得到选项．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：对于选项A：从图中可以看出2020年10月，全国居民消费价格同比为，故全国居民消费价格同比上升，A错误；对于选项B：2020年11月，全国居民消费价格环比为，故全国居民消费价格环比下降，B正确；对于选项C：2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为，最高，C正确；对于选项D：设2019年4月的全国居民消费价格为a，则2020年4月的全国居民消费价格为，则2020年5月的全国居民消费价格为，故2019年5月的全国居民消费价格为，而，故2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格，D 正确故选：A选项，由于，故可判断2020年10月，全国居民消费价格同比上升；B选项，，故2020年11月全国居民消费价格环比下降；C选项，2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为，最高，C正确；设2019年4月的全国居民消费价格为a，表达出2020年4月的全国居民消费价格为，及2019年5月的全国居民消费价格，比较大小，从而作出判断．本题主要考查了统计图表的实际应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A选项，若，只要甲第一次抓1个球，乙抓1个或2个球，剌余的球甲可以抓完，即甲有必赢的策略，A对；对于B选项，若，只要甲第一次抓2个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完，即甲有必赢的策略，B对；对于C选项，若，若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余5个球，由乙先抓，结合B选项可知，乙有必赢的策略，若甲第一次抓2个球，则问题转化为剩余4个球，由乙先抓，结合A选项可知，乙有必赢的策略，综上，若，则乙有必赢的策略，C对；对于D选项，若，若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余6个球，由乙先抓，结合C选项可知，甲有必赢的策略，若甲第一次抓2个球，则问题转化为剌余5个球，由乙先抓，结合B选项可知，乙有必赢的策略，D错．故选：对甲第一抓球的个数进行分析，结合题意进行推理，可判断各选项的正误．本题考查合情推理，考查学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，，则，，对于A，当P为中点时，，，则，，，是锐角，故A正确；当平面APC时，，，则，解得，存在点P，使得平面APC，故B正确；对于C，当，时，到得最小值，由B得此时，则，，，的最小值，故C错误；对于D，，，设平面APC的法向量，则，取，得，则点B到平面APC的距离为，当时，点B到平面APC的距离为0，当时，，当且仅当时取等号，顶点B到平面APC的最大距离为，故D正确．故选：建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：因为，，所以，则故答案为：由已知利用诱导公式可得的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解，的值．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】【解析】解：从4名男生3名女生中选3人的所有选法共有种选法，恰有1名女生被选到的情况有种选法，所以恰有1名女生被选到的概率，故答案为：求出从4名男生3名女生中选3人的所有选法，然后求出恰有1名女生被选到的选法，结合等可能事件概率公式即可求解．本颞主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式是关键，属于基础题．15.【答案】【解析】解：在正四棱台中，由正四棱台的几何性质可知，该四棱台的外接球球心在等腰梯形所在平面内，由题设，设，，设球心为O，如下图所示：连接OA、OC，因为，则为等腰梯形的外接圆的一条直径，且点O为的中点，由题意可得，所以，为等边三角形，所以，正四棱台的高为，正方形ABCD的边长为，其面积为2，正方形的边长为，其面积为8，因此，正四棱台故答案为：分析可知，正四棱台的外接球球心在等腰梯形所在平面内，作出梯形及其外接圆，求出梯形的高以及正四棱台的上、下底面面积，利用台体的体积公式可求得结果．本题主要考查空间几何体的体积，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．16.【答案】12【解析】解：由题意得“n次分形”后线段之和是“次分形后所得线段之和的”，一次分形后线段之和为，每次分形后所得线段之和是首项为，公比为的等比数列，次分形后线段之和为，，两边取对数得：，，解得的最小整数值为故答案为：根据题意得到每次分形后所得线段之和是首项为，公比为的等比数列，求出n次分形后线段之和为，列出不等式，结合，能求出n的最小整数值．本题考查简单的归纳推理，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：在中，由余弦定理得，解得；在中，由正弦定理得，所以，因为，所以为锐角，所以因为，所以，所以【解析】在中，运用余弦定理计算可得所求值；在中，运用正弦定理求得，进而得到，再由三角形的内角与外角的性质，结合两角差的正弦公式，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，以及三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：选条件①：，，得，所以，，即数列、均为公差为4的等差数列，于是，又，，，所以；选条件②：因为数列为等差数列，且的前3项和为6，得，所以，所以的公差为，得到，则，当，又满足，所以，对任意的，因为，所以【解析】选①，分析可知数列、均为公差为4的等差数列，求出的值，可求得、的表达式，可得出数列的通项公式；选②，求得的值，可得出数列的公差，即可求得，再由可求得数列的通项公式；求得，利用裂项相消法可求得本题考查了数列的递推公式和裂项相消求和，属于中档题．19.【答案】解：的定义域为R，，令，即，解得，令，即，解得，综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为证明：令，，，因为当时，，所以在单调递减，所以，所以函数在上无零点，即方程在上无实根．【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；令，，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．20.【答案】证明：因为四边形ABCD是直角梯形，E，F分别是的AD，BC中点，所以，，，又，所以平面AED，又因平面AED，所以；解：由可知平面AED，因为平面AED，所以，在中，，又，所以，即，所以，，，以E为原点，建立如图的空间直角坐标系，则，，，设，，，所以，得：，，，，则当时，有最小值，所以线段PQ长的最小值为【解析】证明平面AED，再根据线面垂直得性质即可得证；证明平面AED，可得，利用勾股定理求出AD，再利用勾股定理证明，以E为原点，建立如图的空间直角坐标系，设，，，求出P点得坐标，从而可得出答案．本题主要考查空间中的垂直关系，立体几何中的最值问题，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．21.【答案】解：设动点，由抛物线定义可知点P的轨迹是以为焦点，直线l：为准线的抛物线，所以动点P的轨迹方程为直线l和圆M的位置关系是相切．证明：依题可设，，由，即：，求导得：，所以切线QA，QB的斜率分别是，所以QA的方程是，点的坐标代入，得：，即同理可得于是，是方程的两根．所以，，由，得，即：由，可得，所以，即：点Q在圆M上．所以直线l和圆M相切．【解析】设动点，由抛物线定义可知点P的轨迹是以为焦点，直线l：为准线的抛物线，即可得出动点P的轨迹方程．依题可设，，利用导数的几何意义可得切线斜率，进而得出切线方程，利用根与系数的关系、相互垂直与斜率之间的关系、直线与圆相切的判定方法即可得出结论．本题考查了抛物线的等于、直线与抛物线相切的应用、直线与圆相切的判定、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：设感染率为p，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量X表示这10个人一共所需的检验次数，若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，；若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时，且，，于是平均检测次数是，这10个人一共所需平均检测次数是病毒感染率为万分之一，即，于是采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：，即进行“10合l混采检测”方案，10万人估计需要的检测次数为10100，比“一人一检”方案少使用约份检测试剂．【解析】设随机变量X表示这10个人一共所需的检验次数，求出X所有取值和相应的概率，再求出X 的期望即可．根据题意得，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．。

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A.（-∞，5）B.（0，5）C.{1，2，3，4}D.{0，1，2，3，4}2.（单选题，5分）已知复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则z的模为（）A. √2B. √3C.2D.33.（单选题，5分）安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有（）A.16种B.18种C.36种D.81种4.（单选题，5分）半径为√2的球O中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为（）A.πB.2πC.4πD.8π5.（单选题，5分）某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为（）A.0.1B.0.15C.0.2D.0.256.（单选题，5分）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮．1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5（lgE 2-lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）．已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x 2，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.227.（单选题，5分）已知直角梯形ABCD ，A=90°，AB || CD ，AD=DC= 12 AB=1，P 是BC 边上的一点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为（ ） A.[-1，1] B.[0，2] C.[-2，2] D.[-2，0]8.（单选题，5分）设函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ，则不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为（ ） A. (−25，0) B.（0，2） C. (25，2)D. (−∞，−2)∪(25，+∞)9.（多选题，5分）已知圆锥曲线C 的一个焦点为F （0，1），则C 的方程可以为（ ） A.y 2=4x B. y =14x 2C. x 2m−1+y 2m =1(0＜m ＜1)D. x 21−m+y 2m =1(0＜m ＜1)10.（多选题，5分）已知函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴B.f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC.f（x）在区间[−π3，π6]上单调递增D.将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象11.（多选题，5分）已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A.若a＞b，则a3+b3＞a2b+ab2B.若a+b2=1，则2a−b≥12C.若log a2020＞log b2020＞0，则e a−b＜abD.若a＞1，则a+1a−1≥312.（多选题，5分）如图，正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的所有棱长均为1，点M为对角线A'D上的动点，设过M且与A'D垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ，则下列说法正确的有（）A.σ可以为△AB'F'B.σ可以为四边形C.σ可以为五边形D.σ的面积最大值为√15213.（填空题，5分）已知等差数列{a n}，a1+a5=a2+3，则S7=___ ．14.（填空题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点是圆M：（x-3）2+y2=1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于___ ．15.（填空题，5分）据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风．台风中心位于A东偏南45°方向、距离城市200√3km的海面P处，并以25km/h的速度向西偏北15°方向移动，则台风中心___ 小时后距离城市A最近．如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150km，台风移动的方向与速度不变，那么该城市___ （填“会”或“不会”）受台风侵袭．16.（填空题，5分）3σ准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除．对于正态分布的随机误差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则．为估计某精密仪器的测量误差，取其n次结果的平均值得εn～N(0，1n2)，为误差使εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要测量___ 次．17.（问答题，10分）在① sinA=√2sinB；② tanB=13；③ −√2cosC(acosB+ bcosA)=c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，b 2+c2−a2bccosB=4√23，且____．（1）求tanA；（2）若△ABC的最大边长为4，求△ABC的面积．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1-S n=2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求数列{1d n}前n+1项的和T n+1．19.（问答题，12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”．为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示．老年50 125 105 （1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？低消费高消费合计年轻人中老年人合计附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.05 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.82820.（问答题，12分）如图，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，点M，N分别为棱BD，CD的中点，且AD=AM=BM．（1）证明：AN⊥BD；（2）若二面角A-BD-C的大小为2π3，求二面角A-MN-D的余弦值．21.（问答题，12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），动直线l经过C的焦点F，且与C交于A、B两点．当F为线段AB中点时，|AB|=4．（1）求抛物线方程；（2）问：在x轴上是否存在点Q（异于点F），满足|QB||QA|=|BF||AF|？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22.（问答题，12分）设函数f(x)=sin(x−π4 )√2e x −x，x∈[−π4，π4]．（1）求f（x）的极大值点；（2）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2，求证：x1+x2＜0．2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A.（-∞，5）B.（0，5）C.{1，2，3，4}D.{0，1，2，3，4}【正确答案】：C【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}={y|y＞0}，∴A∩B={1，2，3，4}．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，5分）已知复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则z的模为（）A. √2B. √3C.2D.3【正确答案】：A【解析】：利用复数模的运算性质求解即可．【解答】：解：因为z（1+i）=2i，则|z||1+i|=|2i|，即|z|• √2 =2，=√2．所以|z|=√2故选：A．【点评】：本题考查了复数模的求解，解题的关键是掌握复数模的运算性质，属于基础题．3.（单选题，5分）安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有（）A.16种B.18种C.36种D.81种【正确答案】：C【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将4名记者分为3组，② 将分好后的三组全排列，安排到三家公司，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将4名记者分为3组，有C42=6种分组方法，② 将分好后的三组全排列，安排到三家公司，有A33=6种安排方法，则有6×6=36种安排方法，故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）半径为√2的球O中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为（）A.πB.2πC.4πD.8π【正确答案】：B【解析】：根据圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质得出圆柱的高h、底面半径r与球的半径R之间的关系，用h和r表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值，再计算对应圆柱的体积．【解答】：解：画出球内接圆柱的轴截面，如图所示：设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，）2+r2=R2，则（ℎ2解得h=2 √R2−r2．=2πR2，所以圆柱的侧面积为S=2πrh=4πr• √R2−r2=4π √r2(R2−r2)≤4π• √(r2+R2−r2)24R=1，高为h= √2 R=2．当且仅当r2=R2-r2时取等号，此时球内接圆柱底面半径为r= √22圆柱的体积为：V=πr2h=π•12•2=2π．故选：B．【点评】：本题考查了球与圆柱的组合体应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是中档题．5.（单选题，5分）某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为（）A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25【正确答案】：C【解析】：由集合原理先求出报名插花艺术且瑜伽的学员，即可求得答案．【解答】：解：由题意根据集合原理可知，报名插花艺术且瑜伽的学员有15+25-30=10名，10÷50=0.2，所以报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为0.2．故选：C．【点评】：本题考查了用样本数字特征估计总体的数字特征的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（单选题，5分）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮．1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5（lgE 2-lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）．已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x 2，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.22【正确答案】：B【解析】：把已知数据代入公式计算 E1E 2．【解答】：解：由题意2.02-1.77=2.5（lgE 2-lgE 1），可得 lg E1E 2=0.1 ，∴ E1E 2=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×0.12=1.257≈1.26 ．故选：B ．【点评】：本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．7.（单选题，5分）已知直角梯形ABCD ，A=90°，AB || CD ，AD=DC= 12 AB=1，P 是BC 边上的一点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为（ ） A.[-1，1] B.[0，2] C.[-2，2] D.[-2，0] 【正确答案】：D【解析】：P 在BC 上，不妨设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中0≤λ≤1），把 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于λ的函数求解即可．【解答】：解：因为P 在BC 上，不妨设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中0≤λ≤1） 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）• PC⃗⃗⃗⃗⃗= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • PC ⃗⃗⃗⃗⃗ + BP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（1-λ） BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ）×2× √2 ×cos135°+λ（1-λ）×（ √2 ）² =-2（1-λ）+2λ（1-λ） =-2λ2+4λ-2=-2（λ-1）²，因为0≤λ≤1，所以-2（λ-1）²∈[-2，0]， 故选：D ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想，是中档题．8.（单选题，5分）设函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ，则不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为（ ） A. (−25，0) B.（0，2） C. (25，2)D. (−∞，−2)∪(25，+∞) 【正确答案】：C【解析】：先判断函数f （x ）为偶函数，然后利用导数判断函数f （x ）的单调性，利用奇偶性以及单调性将不等式等价转化为|2x|＞|3x-2|，求解即可．【解答】：解：因为函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ， 则f （-x ）= (−x )ln [(−x )+√1+(−x )2]=−xln 1√x 2+1+x= xln(x +√1+x 2)=f (x ) ，故函数f （x ）为偶函数，当x ＞0时，f'（x ）= ln(x +√1+x 2)+x •1+2x 2√x 2+1x+√x 2+1＞0 ，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0，即f （2x ）＞f （3x-2）， 等价于f （|2x|）＞f （|3x-2|）， 所以|2x|＞|3x-2|，解得 25＜x ＜2 ．，所以不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为 (25，2) ．故选：C．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性的判断与应用，函数单调性的判断与应用，含有绝对值的不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）已知圆锥曲线C的一个焦点为F（0，1），则C的方程可以为（）A.y2=4xB. y=14x2C. x2m−1+y2m=1(0＜m＜1)D. x21−m +y2m=1(0＜m＜1)【正确答案】：BC【解析】：由题意可得焦点在y轴上，可得A不正确，将B中的方程写成标准形式可得B正确，由m的范围，将C中的方程写成标准形式，可得C正确，D中由m的范围，如果分母相等时可得曲线为圆，所以D不正确．【解答】：解：由焦点坐标在y轴，而A中焦点在x轴上，可得A不正确，B中标准形式为x2=4y，所以可得焦点坐标为（0，1），所以B正确；C中，因为m∈（0，1），所以m-1＜0，所以双曲线的标准形式为y 2m - x21−m=1，且c2=m+1-m=1，所以可得C正确；D中，因为m∈（0，1），所以当m=1-m时，即m= 12，此时曲线为圆，所以D不正确；故选：BC．【点评】：本题考查圆锥曲线的标准方程的写法及焦点坐标的求法和命题真假的判断，属于基础题．10.（多选题，5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴B.f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC.f（x）在区间[−π3，π6]上单调递增D.将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象【正确答案】：ABC【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】：解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象，可得A=2，14• 2πω= 5π12- π6，∴ω=2．结合五点法作图，可得2× π6+φ= π2，∴φ= π6，即 f（x）=2sin（2x+ π6）．令x= 2π3，求得f（x）=-2，为最小值，故直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；令x=- π12+kπ，求得f（x）=0，f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈Z，故B正确；在区间[−π3，π6]上，2x+ π6∈[- π2，π2']，函数f（x）单调递增，故C正确；将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到y=2sin（2x+ π3）的图象，故D错误，故选：ABC．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.（多选题，5分）已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A.若a＞b，则a3+b3＞a2b+ab2B.若a+b2=1，则2a−b≥12C.若log a2020＞log b2020＞0，则e a−b＜abD.若a＞1，则a+1a−1≥3【正确答案】：ACD【解析】：利用作差法判断A ，利用二次函数的性质判断B ，利用构造函数的单调性判断C ，利用基本不等式判断D ．【解答】：解：A ：∵a ＞b ，∴（a 3+b 3）-（a 2b+ab 2）=（a-b ）2（a+b ）＞0，∴A 正确， B ：∵a+b 2=1，a ＞0，b ＞0，∴0＜b ＜1，∴a -b=-b 2-b+1∈（-1，1），∴2a-b ∈（ 12 ，2），∴B 错误， C ：由log a 2020＞log b 2020＞0，则1＜a ＜b ， 设函数f （x ）= e x x ，f′（x ）= e x (x−1)x 2 ，则f （x ）在（1，+∞）单调递增，所以f （a ）＜f （b ），即 e a a ＜ e bb ，则有e a-b ＜ab ，∴C 正确，D ：若a ＞1，则a+ 1a−1 =a-1+ 1a−1 +1≥2 √1 +1=3，当且仅当a-1= 1a−1 ，即a=2时取等号，∴a+ 1a−1 ≥3，∴D 正确． 故选：ACD ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，涉及到不等式的性质、函数单调性，属于中档题． 12.（多选题，5分）如图，正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的所有棱长均为1，点M 为对角线A'D 上的动点，设过M 且与A'D 垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ，则下列说法正确的有（ ）A.σ可以为△AB'F'B.σ可以为四边形C.σ可以为五边形D.σ的面积最大值为√152【正确答案】：ABD【解析】：利用线面垂直的判定定理即可判断选项A ，将平面AB'F'沿直线A'D 方向平移，分析变化过程中σ的形状，即可判断选项B ，C ，当截面σ为矩形时，其投影面积最大，截面σ的面积最大，求解即可判断选项D ．【解答】：解：∵四边形A'ABB'为正方形，∴AB'⊥BA'，连接BD，在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中，∠ABC=∠BCD=120°，则∠DBC=30°，∴∠ABD=90°，∴AB⊥BD，∵B'B⊥BD，AB∩B'B=B，∴BD⊥平面ABB'A'，∵AB'⊂平面ABB'A'，∴AB'⊥BD，∵BD∩BA'=B，∴AB'⊥平面A'BD，∴A'D⊥AB'，∵B'F'⊥A'D，∴A'D⊥平面AB'F'，故选项A正确；由题意可知，截面σ与平面AB'F'平行或重合，亦可视为将平面AB'F'沿直线A'D方向平移，若将平面AB'F'向点A'平移，则σ为三角形；若将平面AB'F'向点D平移，则σ的形状变化过程为：等腰三角形→六边形→矩形（四边形）→六边形→等腰三角形，故选项B正确，选项C错误；因为截面σ与底面ABCDEF所成的角相等，欲使截面σ的面积最大，只需考虑其在底面ABCDEF的投影面积最大，故当截面σ为矩形时，其投影面积最大，设B'C'和E'F'的中点分别为P，Q，则矩形BPQF面积为√152，即σ的面积最大值为√152，故选项D正确．故选：ABD．【点评】：本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．13.（填空题，5分）已知等差数列{a n}，a1+a5=a2+3，则S7=___ ．【正确答案】：[1]21【解析】：根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的等差中项，即可求解．【解答】：解：∵{a n}为等差数列，∴2a1+4d=a1+d+3，化简可得，a1+3d=3，即a4=3，∴S7=7a4=7×3=21．故答案为：21．【点评】：本题考查了等差数列的性质，以及等差数列的等差中项，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.（填空题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点是圆M：（x-3）2+y2=1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于___ ．【正确答案】：[1] 35【解析】：由圆M的方程可得圆心M的坐标，由题意可得椭圆中的c的值，再由长轴长可得a的值，进而求出椭圆的离心率．【解答】：解：由圆M的方程可得圆心M（3，0），所以由题意可得c=3，由题意2a=10，所以a=5，所以椭圆的离心率e= ca = 35，故答案为：35．【点评】：本题考查椭圆的离心率的求法及由圆的方程可得圆心坐标的方法，属于基础题．15.（填空题，5分）据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风．台风中心位于A东偏南45°方向、距离城市200√3km的海面P处，并以25km/h的速度向西偏北15°方向移动，则台风中心___ 小时后距离城市A最近．如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150km，台风移动的方向与速度不变，那么该城市___ （填“会”或“不会”）受台风侵袭．【正确答案】：[1]12; [2]不会【解析】：由题意画出图形，求解三角形可得台风中心距A最近时，台风中心B距A与P的距离，可得台风中心距离城市A最近的时间；进一步判断城市A是否受到台风影响．【解答】：解：如图，台风中心沿PB由P向B行驶，当台风中心距A最近时，AB⊥PB，由题意可知，∠APB=30°，又AP=200 √3 km，∴AB=200 √3 ×sin30°=100 √3 km，PB= 200√3 ×cos30°=300km，=12 h．而风速为25km/h，∴ 30025即台风中心12小时后距离城市A最近；∵台风侵袭范围为圆形区域的半径150km，且100√3＞150，∴该城市不会受到台风侵袭．故答案为：12；不会．【点评】：本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查运算求解能力，是基础题．16.（填空题，5分）3σ准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除．对于正态分布的随机误差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则．为估计某精密仪器的测量误差，取其n次结果)，为误差使εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要测量的平均值得εn～N(0，1n2___ 次．【正确答案】：[1]10【解析】：利用正态分布的意义以及正态分布曲线的对称性进行分析求解即可．【解答】：解：由题意，正态分布的随机误差落在±3σ之外的概率只有0.27%，所以落在（-3σ，3σ）的概率为0.9973，根据正态曲线的对称性，要使误差εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，则3n≤0.3，解得n≥10．故答案为：10．【点评】：本题考查了正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义，解题的关键是利用正态分布曲线的对称性，属于基础题．17.（问答题，10分）在① sinA=√2sinB；② tanB=13；③ −√2cosC(acosB+ bcosA)=c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，b 2+c2−a2bccosB=4√23，且____．（1）求tanA；（2）若△ABC的最大边长为4，求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理消去边，得到A、B两角余弦值的关系；联立条件① 或② 或③ 、内角和公式，利用三角恒等变换解出tanA；（2）利用“大角对大边“得c=4，利用正弦定理得a，b的值，再求面积．【解答】：解：（1）由b 2+c2−a2bccosB=2bccosAbccosB=4√23有3cosA=2√2cosB（*），则A、B都是锐角.........（2分）若选① sinA=√2sinB，则sinB=√2*）有cosB=2√2由1=cos2B+sin2B=(√2)2+(2√2)2 = 12sin2A+98cos2A又sin2A+cos2A=1且A是锐角，可得sinA=√55，cosA=2√55，所以tanA=12．.....................（6分）若选② tanB=13，则cosB=3√1010，又由（*）有cosA=2√55，又sin2A+cos2A=1，可得sinA=√55，所以tanA=12......................（6分）若选③ −√2cosC(acosB+bcosA)=c，由正弦定理有−√2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=−√2cosCsinC=sinC，则cosC=−√22，则C=135°，由（*）有3cosA=2√2cosB=2√2cos(180°−135°−A)=2cosA+2sinA，故tanA=12．.....................（6分）（2）由① ② ③ 都可得sinA=√55，cosA=2√55，sinB=√1010，cosB=3√1010，sinC=√22，................................（8分）因为sinA＜sinB＜sinC，所以a＜b＜c，所以最长边c=4，由正弦定理有asinA =bsinB=csinC，则a=4√105，b=4√55，......................（10分）所以△ABC的面积为12absinC=12×4√105×4√55×√22=85．..................（12分）【点评】：本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，渗透数形结合、转化与化归、方程等思想，意在考查学生的逻辑推理，数学运算等核心素养．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1-S n=2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求数列{1d n}前n+1项的和T n+1．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）（解法一）设等比数列{a n}的公比为q，已知a n+1-S n=2，当n≥2时，a n-S n-1=2，两式相减可得a n+1-a n-（S n-S n-1）=0，即a n+1=2a n，则q=2，当n=1时，得a2-a1=2，即a1q-a1=2，解得a1=2，故等比数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N∗．（解法二）设等比数列{a n}的公比为q，已知a n+1-S n=2，当n=1时，得a2-a1=2，即a1q-a1=2，当n=2时，得a3-s2=2，即a1q2−a1q−a1=2，两式相除可得q2-2q=0，因为q≠0，所以q=2，a1=2，故等比数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N∗．（2）若在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，则a n+1=a n+（n+2-1）d n，即为2n+1-2n=（n+1）d n，整理得d n=2nn+1，所以1d n=n+12n，（解法一）T n+1=1d1+1d2+1d3+⋅⋅⋅+1d n+1d n+1，即T n+1=221+322+423+⋅⋅⋅+n+12n+n+22n+1，1 2T n+1=222+323+424+⋅⋅⋅+n+12n+1+n+22n+2，两式相减，得12T n+1=1+122(1−12n)1−12−n+22n+2=32−12n+1−n+22n+2，故数列{1d n }前n+1项的和T n+1=3−n+42n+1．（解法二）T n=1d1+1d2+1d3+⋅⋅⋅+1d n−1+1d n，即T n=221+322+423+⋅⋅⋅+n2n−1+n+12n，1 2T n=222+323+424+⋅⋅⋅+n2n+n+12n+1，两式相减得：12T n=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−12n−n+12n+1，所以T n=3−n+32n，故数列{1d n }前n+1项的和T n+1=3−n+42n+1．【点评】：本题主要考查数列通项a n与前n项和S n的关系、等比数列的定义、等比等差数列的通项公式、错位相减法求和，考察了学生的运算、逻辑推理等核心素养．19.（问答题，12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”．为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示．（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？附表及公式：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．【正确答案】：【解析】：（1）求出ξ的可能取值，求出概率，再求解期望即可．（2）利用已知条件求解联列表，然后求解K2，即可判断结果．【解答】：解：（1）随机选一人，设该客户的消费额为ξ千元，则ξ的可能取值为：2，6，10，依题意可得，p(ξ=2)=3001000=310，p(ξ=6)=4001000=25，p(ξ=10)=3001000=310，所以该客户的消费期望是：E(ξ)=2×310+6×25+10×310=6千元．（2）2×2列联表如下：K2=1000×(300×200−100×400)2400×600×700×300≈7.937，因为7.937＞6.635，所以有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关．【点评】：该题在国内经济“双循环”的大背景下，选取学生熟知的服装消费分析消费者的消费现状，并以此提供决策依据．本题试图考察随机变量的分布列与数学期望，2×2列联表以及独立性检验．并以此检验学生的数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．20.（问答题，12分）如图，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，点M，N分别为棱BD，CD的中点，且AD=AM=BM．（1）证明：AN⊥BD；（2）若二面角A-BD-C的大小为2π3，求二面角A-MN-D的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）不妨设O为MD的中点，且OD=a，则BD=4a，AD=BM=2a，连接AO，NO，MC，通过△AOD∽△BAD，证明AO⊥BD，MC⊥BD，推出ON || MC，证明ON⊥BD，证明BD⊥平面AON，然后证明AN⊥BD．（2）建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，说明∠AON为二面角A-BD-C的平面角，求出平面AMN的一个法向量，平面DMN的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A-MN-D的余弦值即可．【解答】：（1）证明：如图1，不妨设O为MD的中点，且OD=a，则BD=4a，AD=BM=2a，连接AO，NO，MC，∵点M为棱BD的中点，且AM=BM，∴BA⊥AD，即∠BAD=π2，………………（1分）∵ AD BD =12=ODAD，且∠ADO=∠BDA，∴△AOD∽△BAD，∴ ∠AOD=∠BAD=π2，即AO⊥BD，………………（2分）又∵△BCD 为等边三角形，点M 为棱BD 的中点， ∴MC⊥BD ，……………………………………………（3分） ∵点O ，N 分别为MD ，CD 的中点， ∴ON || MC ，∴ON⊥BD ，…………………………………（4分） ∵AO ，ON⊂平面AON ，且AO∩ON=O ， ∴BD⊥平面AON ，…………………………（5分） 又∵AN⊂平面AON ，∴AN⊥BD ． …………………………………（6分） （2）解：建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ，由（1）可知，∠AON 为二面角A-BD-C 的平面角，且 AO =NO =√3a ， 若二面角A-BD-C 的大小为 2π3 ，则 ∠AON =2π3，……………………（7分）∴ A (0，−√3a2，3a 2) ，M （a ，0，0）， N(0，√3a ，0) ，……………………（8分）∴ MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ，−√3a 2，3a 2) ， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ，√3a ，0) ， 不妨设平面AMN 的一个法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，则 {−x −√3y 2+3z 2=0，−x +√3y =0，解得 {x =√3y ，z =√3y ， 令y=1，则 n ⃗ =(√3，1，√3) ，……………………（10分）显然 m ⃗⃗ =(0，0，1) 为平面DMN 的一个法向量， ∴ cos ＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n|⃗⃗⃗⃗ =√31×√7=√217，……………………（11分）二面角A-MN-D 的大小即为 ＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞ ， ∴二面角A-MN-D 的余弦值为 √217．【点评】：本题以空间四面体为载体，主要涉及到线面垂直的位置关系和二面角的求法，重点考查学生的直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是中档题．21.（问答题，12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），动直线l经过C的焦点F，且与C交于A、B两点．当F为线段AB中点时，|AB|=4．（1）求抛物线方程；（2）问：在x轴上是否存在点Q（异于点F），满足|QB||QA|=|BF||AF|？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得AB与x轴垂直，可得A的横坐标与焦点F的相同，纵坐标为2，代入抛物线的方程可得参数p的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，|QB||QA|=|BF||AF|，可得k QA+k QB=0，进而求出存在这样的点Q满足条件．【解答】：解：（1）∵|AB|=4且F为线段AB中点，∴AB⊥x轴，不妨设点A在x轴上方，设A（p2，2），代入C：y2=2px（p＞0），有p2=4且p＞0，∴p=2；抛物线方程为y2=4x；（2）假设存在点Q（t，0）满足题意，设直线l AB：x=my+1，A(y124，y1)，B(y224，y2)，由{y2=4x，x=my+1，可得y2-4my-4=0，所以{y1+y2=4m，y1y2=−4．由 |QB||QA|=|BF||FA| ，得 |BF||QB|=|FA||QA| ，由抛物线定义可知∠AQF=∠BQF ，即k QA +k QB =0， k QA +k QB =y 1y 124−t +y2y 224−t =4(y 1+y 2)(y 1y 2−4t )(y 12−4t)(y 22−4t)=0 ，y 1y 2=4t=-4，t=-1，∴Q （-1，0）， 综上所述，存在Q （-1，0）满足题意．【点评】：本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，探究性问题，考查了学生的运算能力，逻辑推理等核心素养．属于中档题． 22.（问答题，12分）设函数 f (x )=sin(x−π4)√2ex −x ， x ∈[−π4，π4] ．（1）求f （x ）的极大值点；（2）若f （x 1）=f （x 2），且x 1≠x 2，求证：x 1+x 2＜0．【正确答案】：【解析】：（1）根据导数符号与函数单调性之间的关系求出函数f （x ）的单调性，进而可求得f （x ）的极大值点；（2）不妨设x 1＜x 2，则 −π4≤x 1＜0＜x 2≤π4 ，要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜-x 2，即证f （x 2）=f （x 1）＜f （-x 2），构造性函数作差证明即可．【解答】：解：（1）因为 f′(x )=cosx e x−1 ， f″(x )=−√2sin(x+π4)e x，由 x ∈[−π4，π4] ，得 sin (x +π4)≥0 ，故f''（x ）≤0， 所以f'（x ）在 x ∈(−π4，π4) 单调递减，又f'（0）=0， 所以f （x ）在 [−π4，0] 单调递增，f （x ）在 (0，π4) 单调递减， 所以x=0是f （x ）的极大值点，（2）证明：不妨设x 1＜x 2，则 −π4≤x 1＜0＜x 2≤π4， 要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜-x 2，又f （x 1）=f （x 2），且x 1≠x 2，f （x ）在 (−π4，0) 单调递增，]，即证f（x2）＜f（-x2），x2∈(0，π4令函数g（x）=f（x）-f（-x），则g'（x）=f'（x）+f'（-x）=cosx（e x+e-x）-2，记h（x）=cosx（e x+e-x）-2，则h'（x）=-sinx（e x+e-x）+cosx（e x-e-x），设m（x）=h'（x），因为m′（x）=-2sinx（e x-e-x）＜0，)上单调递减，且h'（0）=0，h'（x）在(0，π4)上单调递减，且h（0）=0，所以h'（x）＜0，h（x）在(0，π4)上单调递减，且g（0）=0，即g'（x）＜0，g'（x）在(0，π4所以g（x）＜0，即f（x）-f（-x）＜0，命题得证．【点评】：本题以基本初等函数的极值、单调性问题和不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，化归转化思想和逻辑推理、数学运算等核心素养，具有较强的综合性．。

2021年高考数学二模试卷（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若a为实数，=﹣i，则a等于（）A．B．﹣ C． 2 D．﹣23．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是（）A．1B． 2 C． 3 D．44．（5分）某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N*，数列的前n项之积n2，则当n≥2时，有（）A．a n=2n﹣1 B．a n=n2C．a n= D．an=5．（5分）若集合A={x|lg（x﹣2）＜1}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，12）C．（2，12）D．（2，3）6．（5分）设a=log3π，b=log2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）等于（）A．x（1+）B．﹣x（1+）C．﹣x（1﹣）D．x（1﹣）8．（5分）设x、y是满足2x+y=20的正数，则lgx+lgy的最大值是（）A．50 B．2 C．1+lg5 D．19．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+ln n B．2+（n﹣1）ln n C．2+n ln n D．1+n+ln n10．（5分）函数y=g（x）的图象与函数f（x）=a x﹣1的图象关于y=x对称，并且g（4）=2，则g（2）的值是（）A．B．C．2 D．411．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2] D．[﹣2，﹣1]12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）设函数为奇函数，则a=．14．（5分）已知复数z0=3+2i，复数z满足z•z0=3z+z0，则复数z的共轭复数是．15．（5分）在复数范围内解方程x2+2x+5=0，解为．16．（5分）设f（x）以（x﹣1）除之，余式为8，以（x+1）除之的余式为1，求（x2﹣1）除之的余式为．17．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．18．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．三、解答题（共4小题，满分60分）19．（15分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．20．（15分）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．21．（15分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．22．（15分）已知a1=2，点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…（1）证明数列{lg（1+a n）}是等比数列；（2）设T n=（1+a1）（1+a2）…（1+a n），求T n及数列{a n}的通项；（3）记，求数列{b n}的前n项S n，并证明．广东省深圳东方英文书院港台校xx届高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简可得z=﹣i，由复数的几何意义可得．解答：解：化简可得z=====﹣i，∴复数对应的点为（，），在第三象限，故选：C点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的几何意义，属基础题．2．（5分）若a为实数，=﹣i，则a等于（）A．B．﹣C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，进行复数的乘法运算，化成最简形式，根据复数相等的充要条件写出关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵=﹣i，∴∴∴2+=0，∴a=﹣故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，这种题目经常出现在xx届高考题目的前三个题目中．3．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：交集及其运算；子集与真子集．专题：计算题．分析：首先根据M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}可知a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素，由子集的定义即可得出答案．解答：解：∵M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}∴a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素∵M⊆{a1，a2，a3，a4}∴M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}，故选B点评：此题考查了交集的运算，属于基础题．4．（5分）某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N*，数列的前n项之积n2，则当n≥2时，有（）A．a n=2n﹣1 B．a n=n2C．a n= D．an=考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题意得，进一步得到，两式作比得答案．解答：解：由题意知，a1=1；当n≥2时，，，两式作比得（n≥2）．∴当n≥2，．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，考查了作商法求数列的通项公式，是基础题．5．（5分）若集合A={x|lg（x﹣2）＜1}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，12）C．（2，12）D．（2，3）考点：对数函数的定义域；交集及其运算；指数函数单调性的应用．专题：计算题．分析：根据对数的运算性质和指数的运算性质化简集合A和集合B，然后根据交集的定义可求出所求．解答：解：A={x|lg（x﹣2）＜1}={x|lg（x﹣2）＜lg10}={x|2＜x＜12}，B={x|＜2x＜8}={x|2﹣1＜2x＜23}={x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}故选D．点评：本题主要考查了集合的运算，注意指数函数性质的灵活运用，同时考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）设a=log3π，b=log2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．分析：利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．解答：解：∵∵，故选A点评：本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．7．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）等于（）A．x（1+）B．﹣x（1+）C．﹣x（1﹣）D．x（1﹣）考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令x＜0，则﹣x＞0，运用偶函数的定义和已知解析式，即可得到所求的解析式．解答：解：令x＜0，则﹣x＞0，由于f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则f（﹣x）=﹣x（1﹣）=f（x），即有f（x）=﹣x（1﹣）（x＜0）故选C．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求解析式，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）设x、y是满足2x+y=20的正数，则lgx+lgy的最大值是（）A．50 B．2 C．1+lg5 D．1考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用基本不等式先求出xy的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值．解答：解：∵x，y是满足2x+y=20的正数，∴2x+y=20≥2，即xy≤50．当且仅当2x=y，即x=5，y=10时，取等号．∴lgx+lgy=lgxy≤lg50=1+lg5，即最大值为1+lg5．故选C．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，最值问题是函数常考的知识点，属于基础题．9．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+ln n B．2+（n﹣1）ln n C．2+n ln n D．1+n+ln n考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a n+1﹣a n=ln（1+）=ln，由此利用累加法能求出a n．解答：解：∵在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），∴a n+1﹣a n=ln（1+）=ln，∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=2+ln2+ln+…+ln=2+ln（）=2+lnn．故选：A．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．10．（5分）函数y=g（x）的图象与函数f（x）=a x﹣1的图象关于y=x对称，并且g（4）=2，则g（2）的值是（）A．B．C．2 D．4考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=g（x）的图象与函数f（x）=a x﹣1的图象关于y=x对称，说明g（x）是f （x）的反函数，进一步说明f（x）的图象过（2，4），代入求出a的值后再由函数f（x）的函数值为2求得x的值得答案．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与函数f（x）=a x﹣1的图象关于y=x对称，∴g（x）是f（x）的反函数，由g（4）=2，得f（2）=4，∴a2﹣1=4，即a=4．∴f（x）=4x﹣1，由4x﹣1=2，解得：x=．∴g（2）=．故选：B．点评：本题考查了函数的反函数，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题．11．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2] D．[﹣2，﹣1]考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f （x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．解答：解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1）=，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选B．点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个考点：对数函数的图像与性质；函数的周期性．专题：压轴题；数形结合．分析：根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案．解答：解：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象共有4个交点，即函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是4个，故选B点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）设函数为奇函数，则a=﹣1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）=0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）=0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值．解答：解：∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（1）+f（﹣1）=0，即2（1+a）+0=0，∴a=﹣1．故应填﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求a而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．14．（5分）已知复数z0=3+2i，复数z满足z•z0=3z+z0，则复数z的共轭复数是1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：变形并化简可得z=﹣1﹣i，由共轭复数的定义可得．解答：解：∵复数z0=3+2i，复数z满足z•z0=3z+z0，∴z=====1﹣i，∴复数z的共轭复数=1+i故答案为：1+i点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数的求解，属基础题．15．（5分）在复数范围内解方程x2+2x+5=0，解为﹣1±2i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用求根公式即可得出．解答：解：=﹣1±2i，故答案为：﹣1±2i．点评：本题实系数一元二次的求根公式，属于基础题．16．（5分）设f（x）以（x﹣1）除之，余式为8，以（x+1）除之的余式为1，求（x2﹣1）除之的余式为﹣7x﹣9．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先根据题意列出函数关系式f（x）=g（x）（x﹣1）+8①，f（x）=h（x）（x+1）+1②，②×（x﹣1）﹣①×（x+1）化简即可确定余式．解答：解：根据题意得：∵f（x）=g（x）（x﹣1）+8①，f（x）=h（x）（x+1）+1②，∴②×（x﹣1）﹣①×（x+1）得：[（x﹣1）﹣（x+1）]f（x）=[h（x）﹣g（x）]（x2﹣1）+（x﹣1）﹣8（x+1）=[h（x）﹣g（x）]（x2﹣1）﹣7x﹣9∴f（x）除以（x2﹣1）的余式为﹣7x﹣9．故答案为：﹣7x﹣9．点评：本题考查了函数的性质，解题的关键是正确的变形，难度不大．17．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．考点：对数函数的值域与最值；对数的运算性质．专题：计算题．分析：画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b 化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可解答：解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）点评：本题主要考查了对数函数的图象和性质，利用“对勾”函数求函数值域的方法，数形结合的思想方法，转化化归的思想方法，属基础题18．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：由于二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．解答：解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以⇒ac=4⇒c=，所以===1+由于a+≥12（当且仅当a=6时取等号）所以1+≤1+=．故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．三、解答题（共4小题，满分60分）19．（15分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．考点：绝对值不等式．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）当a=﹣1，原不等式变为：|x﹣1|+|x+1|≥3，下面利用对值几何意义求解，利用数轴上表示实数﹣左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数﹣1与1的点距离之和不小3，从而得到不等式解集．（2）欲求当x∈R，f（x）≥2，a的取值范围，先对a进行分类讨论：a=1；a＜1；a＞1．对后两种情形，只须求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2即可求得结果．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3据绝对值几何意义求解，|x﹣1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，﹣1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数﹣左侧的点与数右侧的点与数﹣1与1的距离之和不小3，所以所求不等式解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）点评：本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．20．（15分）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得a n和b n的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出a k和b k的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{a n}，{b n}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．解答：解：（1）由条件得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n b n+1由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．猜测a n=n（n+1），b n=（n+1）2．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k（k+1），b k=（k+1）2，那么当n=k+1时，a k+1=2b k﹣a k=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），b k+1==（k+2）2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知a n=n（n+1），b n=（n+1）2对一切正整数都成立．（2）证明：．n≥2时，由（1）知a n+b n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．故==综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．21．（15分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据条件构造等差数列，利用等差数列的通项公式即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），λ＞0，可得=+1，所以[]﹣[]=1，故{}是以为首项，公差d=1的等差数列，故=n﹣1，则a n=（n﹣1）λn+2n．故数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．（Ⅱ）设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+（n﹣2）λn﹣1+（n﹣1）λn①λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+（n﹣2）λn+（n﹣1）λn+1．②当λ≠1时，①式减去②式，得（1﹣λ）T n=λ2+λ3+…+λn﹣（n﹣1）λn+1=，则T n==，则数列{a n}的前n项和S n=+2n+1﹣2，当λ=1时，T n=．则数列{a n}的前n项和S n=．+2n+1﹣2．点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和，要求熟练掌握构造法以及错位相减法在求解数列中的应用．22．（15分）已知a1=2，点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…（1）证明数列{lg（1+a n）}是等比数列；（2）设T n=（1+a1）（1+a2）…（1+a n），求T n及数列{a n}的通项；（3）记，求数列{b n}的前n项S n，并证明．考点：等比关系的确定；数列的求和；数列递推式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）把点（a n，a n+1）代入函数式，整理得a n+1+1=（a n+1）2，两边取对数整理得，进而判断{lg（1+a n）}是公比为2的等比数列．（2）根据等比数列的通项公式求的数列{lg（1+a n）}的通项公式，进而求的a n代入到T n=（1+a1）（1+a2）（1+a n）求的T n．（3）把（2）求的a n代入到，用裂项法求和求得项，又，原式得证．解答：解：（Ⅰ）由已知a n+1=a n2+2a n，∴a n+1+1=（a n+1）2∵a1=2∴a n+1＞1，两边取对数得lg（1+a n+1）=2lg（1+a n），即∴{lg（1+a n）}是公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+a n）=2n﹣1•lg（1+a1）=∴∴∴T n=（1+a1）（1+a2）（1+a n）==31+2+22+…+2n﹣1=（Ⅲ）∵a n+1=a n2+2a n∴a n+1=a n（a n+2）∴∴又∴∴S n=b1+b2+…+b n==∵∴又∴．点评：本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题．考查了学生对数列知识的综合掌握．26780 689C 梜22762 58EA 壪•-<28120 6DD8 淘537943 9437 鐷n33478 82C6 苆25887 651F 攟t 38836 97B4 鞴37858 93E2 鏢。

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·天津月考) 设集合，，且，则满足条件的实数x的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个.2. （2分） (2017高二下·怀仁期末) 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）已知函数,且.则（）A . f(1)<c<f(-1)B . f(1)>c>f(-1)C . f(1)<f(-1)<cD . f(1)>f(-1)>c4. （2分） (2017高二下·石家庄期末) 已知回归方程为： =3﹣2x，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（）A . 增加2个单位B . 减少2个单位C . 增加3个单位D . 减少3个单位5. （2分）已知有相同两焦点的椭圆和双曲线， P是它们的一个交点，则的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝有三角形D . 等腰三角形6. （2分） (2017高一上·武汉期末) 若 = ，则tanθ=（）A . 1B . ﹣1C . 3D . ﹣37. （2分） (2019高二下·昭通月考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·孝感期中) 运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内可以填（）A . k＞98？B . k≥99？C . k≥100？D . k＞101？9. （2分） (2016高二上·平原期中) 三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球D的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=3，AB=BC=2，则球O的表面积为（）A . 13πB . 17πC . 52πD . 68π10. （2分）下列函数中，以π为周期且在区间（0，）上为增函数的是（）A . y=sinB . y=sin xC . y=﹣tan xD . y=﹣cos 2x11. （2分）(2017·六安模拟) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2 ，短轴的一个端点为P，直线l：x+2y=0与椭圆E的一个交点为A，若|AF1|+|AF2|=10，点P到直线l的距离不大于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ，1）C . [ ，1）D . （0， ]12. （2分） (2019高二下·汕头月考) 函数在上单调递增，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，则|+|=________14. （1分） (2019高三上·衡水月考) 设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为________.15. （1分） (2016高二下·信宜期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若p（ξ＞3）=0.023，则p（﹣1≤ξ≤3）等于________．16. （1分） (2016高二下·右玉期中) 在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比= ．将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2018高二上·大港期中) 设各项均为正数的数列满足．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，，求的前n项和．18. （5分）(2017·漳州模拟) 如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．19. （5分）(2017·河南模拟) 某省组织了一次高考模拟考试，该省教育部门抽取了1000名考生的数学考试成绩，并绘制成频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数；（Ⅱ）已知本次模拟考试全省考生的数学成绩X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数，σ2近似为样本方差，试估计该省的所有考生中数学成绩介于100～138.2分的概率；（Ⅲ）以频率估计概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在[105，125）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考数据：≈18.9，≈19.1，≈19.4．若Z∽N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.9826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9976．20. （10分） (2020高二上·南昌月考) 某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙面高，为，弧顶高为．（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．21. （10分）(2017·潮州模拟) 已知函数g（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a∈R．（1）求g（x）的单调区间；（2）若函数f（x）=g（x）+（a+1）x2﹣2x，x1 ， x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（）＜0．22. （10分） (2017高二下·新乡期末) 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．23. （10分）已知函数f（x）=3x+λ•3﹣x（λ∈R）．（1）当λ=1时，试判断函数f（x）=3x+λ•3﹣x的奇偶性，并证明你的结论；（2）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共55分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

广东省2020版高考数学二模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设为虚数单位，则复数的虚部为（）A . －4B . －4iC . 4D . 4i2. （2分）设集合，则等于（）A . RB .C . {0}D .3. （2分）已知单位向量满足，其中k>0，记函数f（）=，，当f（）取得最小值时，与向量垂直的向量可以是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高三上·汕头模拟) 下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A .B .C .D .5. （2分）如果执行框图，输入N=12，则输出的数等于（）A . 156B . 182C . 132D . 786. （2分）设锐角α终边上一点P的坐标是（3cosθ，sinθ），则函数y=θ﹣α（0＜θ＜）的最大值是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·诸暨模拟) 二项式（x+ ）8展开式的常数项等于（）A . CB . CC . 24CD . 22C8. （2分） (2016高三上·安徽期中) 设x，y满足约束条件，若z= 的最小值为，则a的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2017高三下·上高开学考) 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A . 2cm2B . cm3C . 3 cm3D . 3cm310. （2分）已知双曲线方程:的离心率为，其实轴与虚轴的四个顶点和椭圆G的四个顶点重合，椭圆G的离心率为，一定有（）A .B .C .D . e1+e2=e1e2+211. （2分）(2017·上饶模拟) 老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生的回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．成绩出来后发现，四名学生中有且只有两人说对了，他们是（）A . 甲、丙B . 乙、丁C . 丙、丁D . 乙、丙12. （2分） (2017高二下·西安期中) 已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A . y=2x﹣1B . y=xC . y=3x﹣2D . y=﹣2x+3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·贵阳期末) 图中阴影部分的面积等于________．14. （1分） (2018高三上·长春期中) 在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________15. （1分） (2016高一下·和平期末) 如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C 与点D在函数f（x）= 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．16. （1分）(2019·榆林模拟) 已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共7题；共65分)17. （10分） (2018高二上·莆田月考) 在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和18. （5分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；19. （10分） (2015高三上·大庆期末) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2，．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．20. （10分）(2017·上海模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0 ， y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1 ， k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r= ，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．21. （10分）(2020·海南模拟) 已知函数 .（1）讨论函数的极值；（2）当时，记函数的最小值为，求的最大值.22. （10分）(2018·银川模拟) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数）.（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知，圆C上任意一点，求面积的最大值.23. （10分）(2017·万载模拟) 设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2022年广东省佛山市高考数学质检试卷（二）（二模）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则( )A. B. C. D.3.设x，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，DNA的数量与扩增次数n 满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为( )参考数据：，A. B. C. D.5.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为( )A.B.C.D.6.已知双曲线E：以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为( )A. B. C. D.7.设a，b，且，函数，，若，则下列判断正确的是( )A. 的最大值为B. 的最小值为C. D.8.中，，，O是外接圆圆心，则的最大值为( )A. 0B. 1C. 3D. 59.关于复数为虚数单位，下列说法正确的是( )A. B. 在复平面上对应的点位于第二象限C. D.10.时代青年李华同学既读圣贤书，也闻窗外事．他关注时政，养成了良好的摘抄习惯，以下内容来自他的摘抄笔记：过去一年，我们统筹推进疫情防控和经济社会发展，主要做了以下工作：全年国内生产总值增长；城镇新增就业1186万人，全国城镇调查失业率降到；年初剩余的551万农村贫困人口全部脱贫；……今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长以上；城镇新增就业1100万人以上，城镇调查失业率左右：居民收入稳步增长：生态环境质量进一步改善，主要污染物排放量继续下降；粮食产量保持在万亿斤以上；……---摘自李克强总理2021年3月5日政府工作报告全国总人口为1443497378人，其中：普查登记的大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1411778724人：香港特别行政区人口为7474200人：澳门特别行政区人口为683218人；台湾地区人口为23561236人；……摘自2021年5月11日第七次人口普查公报过去一年全年主要目标任务较好完成，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就：国内生产总值达到114万亿元，增长；城镇新增就业1269万人，城镇调查失业率平均为；居民人均可支配收入实际增长；污染防治攻坚战深入开展，主要污染物排放量继续下降，地级及以上城市细颗粒物平均浓度下降；粮食产量万亿斤，比上一年增长，创历史新高：落实常态化防控举措，疫苗全程接种覆盖率超过；……----摘自李克强总理2022年3月5日政府工作报告根据以上信息，下列结论正确的有( )A. 2020年国内生产总值不足100万亿元B. 2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅超C. 2020年、2021年粮食产量都超万亿斤D. 2021年完成新冠疫苗全程接种人数约12亿11.在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是( )A. 存在点N，使得B. 三棱锥的体积等于C. 有且仅有两个点N，使得平面D. 有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为12.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是( )A. B. C. D.13.若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是______.14.已知，则______.15.冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛．北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名．该项目每队由4人组成男2女，每人随身携带枪支和16发子弹其中6发是备用弹，如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数每圈150米以接力队的最后-名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩．根据赛前成绩统计分析，某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：X0123456P0则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为______米．16.公比为q的等比数列满足：，记…，则当q最小时，使成立的最小n值是______.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且求证：；若的面积为，求18.男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞．2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组每组4个队正赛分小组赛阶段与决赛阶段：小组赛阶段各组采用单循环赛制小组内任两队需且仅需比赛一次；决赛阶段均采用淘汰制每场比赛胜者才晋级，先将12支球队按照小组赛成绩进行种子排名排名前四的球队晋级四分之一决赛且不在四分之一决赛中遭遇，其余8支球队按规则进行附加赛每队比赛一次，胜者晋级，争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队甲乙丙丁队实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．19.已知数列的前n项和为，且满足，，求、的值及数列的通项公式；设，求数列的前n项和20.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，，，平面平面PAB，求证：为直角三角形；若，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．21.已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴、y轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线Г.求曲线Г的方程：过点的直线l与曲线Г交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆F：的另一交点分别为M，其中O为坐标原点，求与的面积之比的最大值．22.已知函数，其中e为自然对数的底数．当时，求的单调区间；当时，若有两个极值点，，且恒成立，求k的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，又，，故选：先求出B中不等式的解集确定出B，再求并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属基础题．2.【答案】C【解析】解：函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，，，故选：由三角函数的性质判断即可．本题考查了三角函数的性质的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：则由推不出，比如时，不是充分条件，由，得，则，是必要条件，故“”是“”的必要不充分条件，故选：根据充分必要条件的定义分别判断即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意知，，即，所以，解得故选：由题意，代入，解方程即可．本题考查了对数函数模型的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：依题意作球的剖面如下：其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知：，解得，圆柱的高为2，，，，母线，圆锥的侧面积为故选：分析图中的几何关系，分别求出圆锥的底面半径和母线长即可．本题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥、圆柱的性质、侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：双曲线E：以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，不妨，，则，，所以，解得，所以所以双曲线的实轴长为：故选：利用已知条件列出方程组，求解a，b，即可得到选项．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：因为函数，所以，又因为，所以为定义域R上的奇函数；所以，即，由，得，所以，解得；所以，且；对于A，时，有最小值，所以选项A错误；对于B，时，有最大值，所以选项B错误；对于C，的对称轴是，不是，所以不成立，选项C错误；对于C，由，得，所以关于对称，选项D正确．故选：根据求出的解析式，利用判断为奇函数，求出a、b、c的关系，写出函数，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了函数的基本性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：中，，O是外接圆圆心，如图所示：则，又因为，所以，即外接圆的半径；所以，因为A、C不重合，所以向量与的夹角范围是所以，所以，即O为AC的中点时，取得最大值为故选：根据题意画出图形，结合图形，求出外接圆的半径，用表示半径的向量求平面向量的数量积，从而求出最大值．本题主要考查了平面向量的线性运算、数量积运算应用问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是中档题．9.【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．【解答】解：，对于A，，故A正确，对于B，，在复平面上对应的点，位于第三象限，故B错误，对于C，，，，故C正确，对于D，，故D正确．故选：10.【答案】BCD【解析】解：结合材料知2020年国内生产总值为万亿元，超过100万亿元，故选项A错误；2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅为，则为，故选项B 正确；由题意知2021年粮食产量为万亿斤，比上一年增长，则2020年为万亿斤，则选项C 正确；由题意知疫苗全程接种覆盖率超过，则人数为亿，故D正确．故选：结合材料分析2020年国内生产总值为万亿元，可判断A；2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅约为，可判断B；2021年粮食产量为万亿斤，2020年为万亿斤，可判断C；新冠疫苗全程接种人数约亿，可判断本题考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，显然无法找到点N，使得，故A错；对于B，，故B正确；对于C，如图所示，分别为，中点，有平面，平面，故C 正确；对于D，易证平面，平面，且，所以有点，A，C，，四点到平面的距缡为，故D错．故选：根据点M的位置容易判断A；求解可判断B；当，分别为，中点时，可判断C；易证平面，平面，且，可判断本题考查了三棱锥的体积计算和点到平面的距离，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：，，，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增；，，，，又，①，故A正确，B错误，由①得：，，即，故C正确，D错误；故选：依题意得，令，可得且，从而可得到答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：椭圆的焦点在y轴上，，解得故答案为：由题意可得：，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以，两边平方，可得，则故答案为：由已知利用两角差的正弦公式化简可得，两边平方利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解的值．本题主要考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】390【解析】解：，在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为故答案为：先求出，再用，即可求出答案．本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】17【解析】解：，令，此问题相当于方程有解．构造函数，，，函数在时单调递增，时单调递减，时，函数取得极小值即最小值．，若有解，则，解得，解得，取q的最小值为e，，，，解得…，，解得，当q最小时，使成立的最小n值是故答案为：，令，此问题相当于方程有解．构造函数，，利用导数研究其单调性与极值即可得出函数的最小值，进而得出等比数列的通项公式，结合二次函数的单调性即可得出结论．本题考查了利用导数研究其单调性与极值、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：证明：，即为，由正弦定理可得，即，又，即有，化为，即；若的面积为，则，即，由，解得舍去【解析】由二倍角的余弦公式和正弦定理、余弦定理，化简可得证明；由三角形的面积公式和的结论，解方程可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．18.【答案】解：根据赛制，小组赛共安排比赛场比赛，附加赛共安排场比赛，四分之一决赛共安排场比赛，铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排：场比赛．设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件A，B，C，D，都没有获得冠军为事件E，晋级后每场比赛相互独立，，四队实力相当，，，B，C，D互斥，甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为：【解析】分别求出小组赛、附加赛、四分之一决赛、铜牌赛、金牌赛各自的比赛场次，加起来能求出组委会共要安排多少场比赛．先求出甲、乙、丙、丁队获得冠军的概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．本题考查比赛场次、概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：因，取和得：，即，解得，，由得：，数列是首项为，公差的等差数列，则，即，当时，，而满足上式，因此，，所以，，数列的通项公式；由知，当时，，因此，，则满足上式，所以【解析】利用给定条件建立方程组求解得、，再变形递推公式求出即可计算；由的结论，对裂项，利用裂项相消法计算作答．本题考查了数列递推式和裂项相消求和，属于中档题．20.【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，作于H，连BD，如图，则，且，则，即，而，因此，，即，因平面平面PAB，平面平面，平面PAB，而，则平面PAD，又平面PAD，于是有，，PB，平面PBD，则有平面PBD，平面PBD，因此，，所以为直角三角形；解：在平面PAD内过点P作，因平面平面PAB，平面平面，则平面PAB，因此，PB，PA，Pz两两垂直，以点P为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，有，从而得，设平面PBC的一个法向量，则，令，得，，设直线PD与平面PBC所成角为，则有，所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为【解析】作于H，连BD，证明，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质、判定推理作答；在平面PAD内过点P作，以P为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答．本题考查了空间中的垂直关系和线面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：设动圆的圆心为，因为经过，且与x轴、y轴分别交于点，两个动点，则，半径为，圆的方程为，与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为，即，，，即Г的方程为；由作下图：设过F点的直线方程为，显然m是存在的，联立方程：，得，…①，…②，设，，代入①②得，…③则直线OP的方程为，直线OQ的方程为，联立方程：，解得，同理，，同理可得：，，，④，由③得，代入④得：，显然当时最大，最大值为【解析】根据所给条件，得D点的参数方程，消去参数即可；作图，联立方程，分别求出OP，OQ，OM，ON的长度即可求解．本题考查了抛物线方程及直线与抛物线的综合问题、也考查了学生的计算能力，关键在于先作图，设点P，Q的坐标，求出M，N点的坐标，由于与顶角相同，只要计算边长乘积之比即可，属于中档题．22.【答案】解：对求导得，当时，，当，即，；当，即，；故当时，的递增区间为，递减区间为当时，由知，令，则的两个不等实数解为，故，，，故不等式恒成立恒成立，由于，故，故恒成立，令，则，是上的增函数，，，即k最大值为【解析】对函数求导，把代入导函数中对导函数进行化简，即可求出函数的单调区间．有两个极值点，即为导函数的零点，令导函数等于零和，即可得方程，利用与韦达定理得到或，再把，代入原函数中进行化简即可得到，要使恒成立，代入化简即可得，求出的最小值，即可得到答案．本题考查导数的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题．。