《应用统计学》第6章：置信区间估计

第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。

6.1以每天每千克体重52 μmol 5－羟色胺处理家兔14天后，对血液中血清素含量的影响如下表[9]：y/（μg · L-1）s/（μg · L-1）n对照组 4.20 0.35 125－羟色胺处理组8.49 0.37 9建立对照组和5－羟色胺处理组平均数差的0.95置信限。

6.2不同年龄的雄岩羊角角基端距如下表[27]：年龄/a y/cm s/cm n4.5 28.92 2.17 135.5 31.81 2.44 11建立平均数差的0.95置信区间，对应于H0：μ1－μ2＝0，H A：μ1－μ2 ≠ 0的假设，推断两者间的差异显著性。

6.3了解我国风险识别、风险评价和风险缓解的现状，对于应对突发事件有重要作用。

以下是关于应对突发公共卫生事件能力调查（共调查了60个单位）的部分数据[28]：项目单位数识别了当地可能发生的突发公共卫生事件35对所识别的突发公共卫生事件进行了风险评价17根据风险评价结果确定了当地突发公共卫生事件的工作重点 6分别计算上述三个项目的0.95置信区间。

6.4乳腺癌患者有着沉重的心理负担，主要表现为：焦虑、怀疑和否认、恐惧、依赖、自私、悲观失望等。

经心理护理后，在很多方面都到改善，护理前和护理后的评分y±）见下表[29]：（s表现心理护理前/评分心理护理后/评分样本含量（n）健康25.71±2.31 28.51±9.04 62抑郁10.54±4.92 4.61±1.63 62恐怖12.10±2.24 10.76±3.08 62强迫15.29±4.53 10.33±4.83 62焦虑14.41±2.47 9.26±3.35 62怀疑16.75±3.69 4.92±2.11 62神经衰弱11.73±2.46 8.84±3.83 62计算上述各种表现平均数差的0.95置信区间。

预测区间与置信区间的对比在统计学中，预测区间和置信区间是两个重要的概念。

它们都是用来描述一个参数的不确定性范围，但在应用场景和计算方法上有所不同。

本文将对预测区间和置信区间进行比较，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、预测区间预测区间是用来估计未来观测值的范围。

在统计学中，我们常常需要根据已有的数据来预测未来的结果。

预测区间就是用来表示这种预测结果的不确定性范围。

预测区间的计算方法通常基于对未来观测值的分布进行建模。

常见的方法包括回归分析、时间序列分析等。

通过这些方法，我们可以得到一个预测模型，并计算出对应的预测区间。

预测区间的特点是包含了未来观测值的不确定性。

它给出了一个范围，表示未来观测值有一定的概率落在这个范围内。

例如，我们可以说某个产品的销售额在未来一年内有95%的概率落在某个预测区间内。

二、置信区间置信区间是用来估计一个参数的范围。

在统计学中，我们常常需要根据已有的样本数据来估计总体参数的取值范围。

置信区间就是用来表示这种估计结果的不确定性范围。

置信区间的计算方法通常基于对总体分布的假设和样本数据的统计量。

常见的方法包括正态分布的置信区间、t分布的置信区间等。

通过这些方法，我们可以得到一个置信区间，表示总体参数有一定的概率落在这个范围内。

置信区间的特点是包含了总体参数的不确定性。

它给出了一个范围，表示总体参数有一定的概率落在这个范围内。

例如，我们可以说某个产品的平均销售额在95%的置信水平下落在某个置信区间内。

三、预测区间与置信区间的对比预测区间和置信区间在应用场景和计算方法上有所不同，可以从以下几个方面进行对比：1. 应用场景：预测区间主要用于预测未来观测值的范围，而置信区间主要用于估计总体参数的范围。

2. 数据要求：预测区间需要有一定的历史数据来建立预测模型，而置信区间只需要有一个样本数据集。

3. 不确定性范围：预测区间表示未来观测值的不确定性范围，而置信区间表示总体参数的不确定性范围。

统计学中的参数估计和置信区间统计学是研究数据收集、分析、解释和推断的科学领域。

参数估计和置信区间是统计学中重要的概念和方法，用于推断总体特征并给出一定程度上的确定性度量。

本文将介绍参数估计和置信区间的基本概念、计算方法以及在实际应用中的意义。

一、参数估计参数估计是利用样本数据推断总体参数的数值或范围。

总体参数是指代表总体特征和分布的未知数值，如总体均值、总体比例等。

通过对样本数据进行分析，可以估计总体参数的取值。

在参数估计中，最常用的是点估计和区间估计。

点估计是根据样本数据估计总体参数的一个具体值。

常见的点估计方法有最大似然估计法和矩估计法。

例如，在估计总体均值时，最大似然估计法会选择使得样本观测的概率最大化的均值作为估计值。

区间估计是对总体参数的估计给出一个范围，称为置信区间。

置信区间表示估计值落在某一区间中的概率。

一般使用置信度（confidence level）来表示区间估计的确定程度，常见的置信度有90%、95%和99%等。

二、置信区间置信区间是参数估计中常用的一种方法，用于给出总体参数估计的一个范围。

置信区间通常以（下界，上界）的形式表示，包含了真实参数值的概率。

置信区间的计算方法基于抽样分布的性质，并依赖于样本量和置信度。

置信区间的计算可以通过两种方法：基于正态分布和基于t分布。

当样本量较大时（一般大于30），可以使用基于正态分布的方法。

当样本量较小时，则需要使用基于t分布的方法。

以估计总体均值为例，给定样本数据和置信度，可以计算出样本均值、标准差以及临界值。

然后根据临界值和标准差计算置信区间。

例如，假设样本均值为X，标准差为S，置信度为95%，那么置信区间可以表示为（X-S*t, X+S*t），其中t是自由度为n-1的t分布的临界值。

三、参数估计与置信区间的应用参数估计和置信区间在实际应用中具有广泛的应用。

它们能够帮助研究人员对总体特征进行推断，并给出一定程度上的确定性度量。

在医学研究中，可以利用参数估计和置信区间来估计某种药物的疗效。

关于区间估计的课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解区间估计的基本概念，掌握其定义和性质。

2. 学生能够运用区间估计方法，对总体参数进行估计，并解释估计结果的含义。

3. 学生能够掌握区间估计的误差分析，了解影响区间估计精度的因素。

技能目标：1. 学生能够运用统计软件或计算器进行区间估计的计算。

2. 学生能够根据实际问题，选择合适的区间估计方法，并解决实际问题。

3. 学生能够通过实例分析，提高数据处理和分析能力。

情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到统计学在实际生活中的广泛应用，增强学习统计学的兴趣。

2. 学生能够培养严谨的科学态度，注重数据分析的客观性和准确性。

3. 学生能够通过小组合作，培养团队协作能力和沟通表达能力。

课程性质分析：本课程为高中统计学课程，旨在帮助学生掌握区间估计的基本方法，提高数据处理和分析能力。

学生特点分析：高中学生具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于统计学方法的应用还较为陌生，需要通过实例和实际操作来加深理解。

教学要求：1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际问题中感受区间估计的应用价值。

2. 强调计算能力的培养，引导学生熟练使用统计软件或计算器进行计算。

3. 鼓励学生积极参与讨论和分享，提高课堂互动效果。

二、教学内容1. 区间估计基本概念：总体参数、样本统计量、估计量、置信区间。

2. 区间估计的原理与方法：中心极限定理、标准误差、正态分布的性质。

3. 置信区间的计算与应用：- 单个总体均值的区间估计。

- 单个总体比例的区间估计。

- 两个总体均值差的区间估计。

- 两个总体比例差的区间估计。

4. 影响区间估计精度的因素：样本容量、总体标准差、置信水平。

5. 实际问题中的应用：分析实际问题，选择合适的区间估计方法，解决实际问题。

教学大纲安排：第一课时：区间估计基本概念，总体参数与样本统计量。

第二课时：中心极限定理，标准误差，正态分布性质。

第三课时：单个总体均值和比例的区间估计。

《统计分析与SPSS的应用（第五版）》（薛薇）课后练习答案第6章SPSS的方差分析1、入户推销有五种方法。

某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验。

从应聘人员中尚无推销经验的人员中随机挑选一部分人，并随机地将他们分为五个组，每组用一种推销方法培训。

一段时期后得到他们在一个月内的推销额，如下表所示：第一组20.0 16.8 17.9 21.2 23.9 26.8 22.4第二组24.9 21.3 22.6 30.2 29.9 22.5 20.7第三组16.0 20.1 17.3 20.9 22.0 26.8 20.8第四组17.5 18.2 20.2 17.7 19.1 18.4 16.5第五组25.2 26.2 26.9 29.3 30.4 29.7 28.21）请利用单因素方差分析方法分析这五种推销方式是否存在显著差异。

2）绘制各组的均值对比图，并利用LSD方法进行多重比较检验。

（1）分析→比较均值→单因素ANOVA→因变量：销售额；因子：组别→确定。

ANOVA销售额平方和df 均方 F 显著性组之间405.534 4 101.384 11.276 .000组内269.737 30 8.991总计675.271 34概率P-值接近于0，应拒绝原假设，认为5种推销方法有显著差异。

（2）均值图：在上面步骤基础上，点选项→均值图；事后多重比较→LSD多重比较因变量: 销售额LSD(L)(I) 组别(J) 组别平均差(I-J) 标准错误显著性95% 置信区间下限值上限第一组第二组-3.30000* 1.60279 .048 -6.5733 -.0267 第三组.72857 1.60279 .653 -2.5448 4.0019第四组 3.05714 1.60279 .066 -.2162 6.3305第五组-6.70000* 1.60279 .000 -9.9733 -3.4267第二组第一组 3.30000* 1.60279 .048 .0267 6.5733 第三组 4.02857* 1.60279 .018 .7552 7.3019第四组 6.35714* 1.60279 .000 3.0838 9.6305第五组-3.40000* 1.60279 .042 -6.6733 -.1267第三组第一组-.72857 1.60279 .653 -4.0019 2.5448 第二组-4.02857* 1.60279 .018 -7.3019 -.7552第四组 2.32857 1.60279 .157 -.9448 5.6019第五组-7.42857* 1.60279 .000 -10.7019 -4.1552第四组第一组-3.05714 1.60279 .066 -6.3305 .2162 第二组-6.35714* 1.60279 .000 -9.6305 -3.0838第三组-2.32857 1.60279 .157 -5.6019 .9448第五组-9.75714* 1.60279 .000 -13.0305 -6.4838第五组第一组 6.70000* 1.60279 .000 3.4267 9.9733 第二组 3.40000* 1.60279 .042 .1267 6.6733第三组7.42857* 1.60279 .000 4.1552 10.7019第四组9.75714* 1.60279 .000 6.4838 13.0305*. 均值差的显著性水平为0.05。

一、选择题1、在用样本的估计量估计总体参数时，评价估计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。

这种评价标准称为（B）A、无偏性B、有效性C、一致性D、充分性2、根据一个具体的样本求出的总体均值95%的置信区间（D）A、以95%的概率包含总体均值B、有5%的可能性包含总体均值C、绝对包含总体均值D、绝对包含总体均值或绝对不包含总体均值3、估计量的无偏性是指（B）A、样本估计量的值恰好等于待估的总体参数B、所有可能样本估计值的期望值等于待估总体参数C、估计量与总体参数之间的误差最小D、样本量足够大时估计量等于总体参数4、下面的陈述中正确的是（C）A、95%的置信区间将以95%的概率包含总体参数B、当样本量不变时，置信水平越大得到的置信区间就越窄C、当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越窄D、当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越宽5、总体均值的置信区间等于样本均值加减估计误差，其中的估计误差等于所求置信水平的临界值乘以（A）A、样本均值的标准误差B、样本标准差C、样本方差D、总体标准差6、95%的置信水平是指（B）A、总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为95%B、用同样的方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间的比例为95%C、总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为5%D、用同样的方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间的比例为5%7、一个估计量的有效性是指（D）A、该估计量的期望值等于被估计的总体参数B、该估计量的一个具体数值等于被估计的总体参数C、该估计量的方差比其他估计量大D、该估计量的方差比其他估计量小8、一个估计量的一致性是指（C）A、该估计量的期望指等于被估计的总体参数B、该估计量的方差比其他估计量小C、随着样本量的增大该估计量的值越来越接近被估计的总体参数D、该估计量的方差比其他估计量大9、支出下面的说法哪一个是正确的（A）A、一个大样本给出的估计量比一个小样本给出的估计量更接近总体参数B、一个小样本给出的估计量比一个大样本给出的估计量更接近总体参数C 、一个大样本给出的总体参数的估计区间一定包含总体参数D 、一个小样本给出的总体参数的估计区间一定不包含总体参数10、用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值，这一估计方法称为（A ）A 、点估计B 、区间估计C 、无偏估计D 、有效估计11、将构造置信区间的步骤重复多次，其中包含总体参数真值的次数所占的比例称为（C ）A 、置信区间B 、显著性水平C 、置信水平D 、临界值12、在总体均值和总体比例的区间估计中，估计误差由（C ）A 、置信水平确定B 、统计量的抽样标准差确定C 、置信水平和统计量的抽样标准差确定D 、统计量的抽样方差确定13、在置信水平不变的条件下，要缩小置信区间，则（A ）A 、需要增加样本量B 、需要减少样本量C 、需要保持样本量不变D 、需要改变统计量的抽样标准差14、估计一个正态总体的方差使用的分布是（C ）A 、正态分布B 、t 分布C 、卡方分布D 、F 分布15、当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（B ）A 、正态分布B 、t 分布C 、卡方分布D 、F 分布16、当正态总体的方差未知，在大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（A ）A 、正态分布B 、t 分布C 、卡方分布D 、F 分布17、在其他条件不变的条件下，要使估计时所需的样本量小，则应该（A ）A 、提高置信水平B 、降低置信水平C 、使置信水平不变D 、使置信水平等于118、使用t 分布估计一个总体均值时，要求（D ）A 、总体为正态分布且方差已知B 、总体为非正态分布C 、总体为非正态分布但方差已知D 、正态总体方差未知，且为小样本19、在大样本条件下，总体均值在（1-α）置信水平下的置信区间可以些为（C ）A 、n t x σα2±B 、n s t x 2α±C 、n s z x 2α±D 、n s z x 22α±20、正态总体方差已知时，在小样本条件下，总体均值在α-1置信水平下的置信区间可以写为（C ）A 、n z x 22σα±B 、n s t x 2α±C 、n z x σα2±D 、n t x σα2±21、正态总体方差未知时，在小样本条件下，总体均值在α-1置信水平下的置信区间可以写为（B ）A 、n s z x 2α±B 、n s t x 2α±C 、n z x σα2±D 、n s z x 22α±22、指出下面的说法哪一个是正确的（A ）A 、样本量越大，样本均值的抽样标准差就越小B 、样本量越大，样本均值的抽样标准差就越大C 、样本量越小，样本均值的抽样标准差就越小D 、样本均值的抽样标准差与样本量无关23、抽取一个样本量为100的随机样本，其均值为81=x ，标准差12=s 。

第六章 总体均数的估计【思考与练习】一、思考题1．什么是均数的抽样误差？决定均数的抽样误差大小的因素有哪些？ 2．样本均数的抽样分布有何特点？ 3．阐述标准差与标准误的区别与联系。

4．如何运用抽样分布规律估计总体均数？5．阐述总体均数的置信区间与医学参考值范围的区别。

二、案例辨析题2005年随机抽取某市400名7岁男孩作为研究对象, 计算得其平均身高为122.5 cm, 标准差为5.0 cm 。

请估计该市7岁男孩身高的总体均数。

某学生的回答如下：“该市2005年7岁男孩平均身高的点估计值为122.5 cm ，按公式),(2/2/S Z X S Z X αα+-计算得到其总体均数的95％置信区间为(112.7, 132.3) cm ”。

请指出学生回答中的不恰当之处。

三、最佳选择题1．表示均数抽样误差大小的统计指标是 A ．R B ．S C ．X SD ．CVE ．四分位数间距2．关于t 分布，下列叙述错误的是A ．t 分布是以0为中心，左右对称的一簇单峰曲线B ．自由度越小，曲线越低平C ．当自由度为∞时，t 分布就是标准正态分布D ．自由度相同时，||t 越大，概率P 值越小E ．自由度越大，相同概率的t 界值越大3．从同一总体中随机抽取多个样本，分别估计总体均数的95%置信区间，则精确度高的是 A ．均数大的样本 B ．均数小的样本 C ．标准差小的样本 D ．标准误大的样本 E ．标准误小的样本4．关于置信区间，下列叙述中错误的是 A ．99%置信区间优于95%置信区间 B ．置信区间的精确度反映在区间的长度C ．当样本含量确定时，准确度与精确度是矛盾的D ．置信区间的准确度反映在置信度(1)α-的大小上E ．当置信度(1)α-确定时，增加样本含量可提高精确度 5．总体均数的95%置信区间的含义是 A ．总体95%的个体值在该区间内 B ．样本95%的个体值在该区间内C ．平均每100个总体均数，有95个在该区间内D ．平均每100个样本(样本含量相同)均数，有95个在该区间内E ．平均每100个样本(样本含量相同)，有95个样本所得的区间包含总体均数 6．假设某地35岁以上正常成年男性的收缩压的总体均数120.2mmHg ，标准差为11.2 mmHg ，后者反映的是 A ．个体变异的大小 B ．抽样误差的大小 C ．系统误差的大小 D ．总体的平均水平 E ．样本的平均水平7．上述第6题中，从该地随机抽取20名35岁以上正常成年男性，测得其平均收缩压为112.8 mmHg ，又从该地随机抽取10名7岁正常男孩，测得其平均收缩压为90.5mmHg ，标准差为10.4 mmHg ，则下列说法正确的是 A ．112.8mmHg 与120.2mmHg 不同是由于系统误差B ．112.8mmHg 与120.2mmHg 不同是由于两总体均数不同C ．90.5mmHg 与112.8mmHg 不同是由于抽样误差D ．90.5mmHg 与120.2mmHg 不同是由于抽样误差E ．90.5mmHg 与112.8mmHg 不同是因为两总体均数不同8．上述第7题中，7岁正常男孩收缩压的总体均数的95%置信区间为 A ．90.5 1.9610.4±⨯B ．0.05/2,990.5t ±⨯C ．120.2 1.9610.4±⨯D ．0.05/2,9120.210.4t ±⨯E ．0.05/2,9120.2t ±⨯四、综合分析题1．从某疾病患者中随机抽取25例，其红细胞沉降率(mm/h)的均数为9.15，标准差为 2.13。

统计学中的假设检验与置信区间统计学中最常用的方法就是假设检验和置信区间，它们是常见的统计推断方法，常用于判断总体参数是否满足某种假设或估计总体参数。

在不同的场景下，假设检验和置信区间都有非常重要的应用，本文将深入探讨它们的原理和应用。

假设检验假设检验是一种通过样本推断总体参数是否满足某种假设的方法，我们通常会根据样本推断总体参数的值，然后尝试去证伪原来的假设。

其中，假设又分为零假设和备择假设，我们通常来验证零假设是否成立。

在进行假设检验之前，我们需要先确定显著性水平，通常设定为5%或1%。

在假设检验的过程中，如果得到的P值小于设定的显著性水平，则可以拒绝原来的零假设。

例如，对于一组数据，我们要验证其均值是否等于30，其中零假设为均值等于30，备择假设为均值不等于30。

如果得到的P值小于设定的显著性水平，即P < 0.05，我们可以拒绝零假设，认为该数据的均值不等于30。

置信区间置信区间是指在一定置信水平下，总体参数的估计范围。

一般情况下，我们希望用样本数据去推断总体参数，但因为样本的局限性，我们无法确定总体参数的真实值，只能给出一个范围，这个范围就是置信区间。

置信区间的计算方法通常分为两种：参数法和非参数法。

参数法通常用于正态总体或样本量大于30的情况，非参数法则适用于小样本或未知总体分布的情况。

例如，我们要估计某城市成年人的平均收入，样本数据总共100个人，根据样本数据可以得到平均收入为5000元/月，标准差为1000元/月。

如果我们希望在95%的置信水平下估计总体平均收入，那么置信区间的计算公式为：置信区间 = 样本平均数 ± Z值 ×标准误差其中，Z值为95%置信水平下的标准正态分布的分位数，一般为1.96；标准误差是指样本平均数的标准误差，可以通过标准差除以样本量的平方根来计算。

通过计算，置信区间为：5000 ± 1.96 × (1000 / 10) = (4679, 5321)也就是说，在95%的置信水平下，我们可以估计该城市成年人的平均收入范围为4679元/月到5321元/月之间。