常微分方程练习试卷
一、
填空题。
1. 方程23
2
10d x
x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程
()x dy
f xy y dx
=经变换_______，可以化为变量分离方程 .
3. 微分方程
3230d y
y x dx
--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程
x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x
y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .
5. 朗斯基行列式
()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的
条件.
6. 方程
22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .
7. 已知
()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .
8. 方程组
20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
x x 的基解矩阵为 ．
9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.
10 .是满足方程
251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.
11.方程
的待定特解可取 的形式:
12. 三阶常系数齐线性方程
20y y y '''''-+=的特征根是
二、
计算题
1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
2．求解方程13
dy x y dx x y +-=-+.
3. 求解方程
222()0d x dx
x dt dt
+= 。
4．用比较系数法解方程. .
5．求方程
sin y y x
'=+的通解.
6．验证微分方程
22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
7．设
3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵
)(t Φ，求
X A dt
dX
=满足初始条件
η=)0(x 的解.
8. 求方程 2213dy
x y dx
=-- 通过点
(1,0) 的第二次近似解.
9.求
的通解
试求方程组
x Ax '=的解
(),t ϕ
12(0),
ηϕηη⎡
⎤
==⎢⎥⎣⎦
并求expAt
10.若
三、证明题
1. 若
(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.
2. 设
),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程
]
,[,,
])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y x
x
的皮卡逐步逼近函数序列
)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.
3. 设 都是区间
上的连续函数, 且
是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:
(i)
和
都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);
(ii)
和
没有共同的零点;
(iii) 和
没有共同的零点.
4.试证：如果
)(t ϕ是
AX dt
dX
=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=
.
答案 一.填空题。
1. 二，非线性
2.
u xy
=，
11
(()1)du dx u f u x
=+ 3.无穷多 4.3,2,1αβγ=-==-
5.必要
6.
3
y
7.1()()t t -'ΦΦ 8. 25 00t At
t e e e ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
9.
10.
11.
2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
32()480dy dy
xy y dx dx
-+=
12. 1,
二、计算题
1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
解: 设曲线方程为 , 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意
可得如下初值问题:
. 分离变量, 积分并整理后可得 .
代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 .
2.求解方程13
dy x y dx x y +-=-+.
解：由10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩
求得1,
2x y =-= 令 1,
2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩
则有
.d d ηξηξξη+=-令z η
ξ
=，解得
2
(1)1z dz d z ξ
ξ-=+,积分得
21
arctan ln(1)ln ||2
z z C ξ-+=+,
故原方程的解为
222
arctan
ln (1)(2)1
y x y C x -=++-++.
3. 求解方程
222()0d x dx
x dt dt
+=
解 令，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，
即
，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。
4.用比较系数法解方程. .
解：特征方程为 , 特征根为 .
对应齐方程的通解为 .
设原方程的特解有形如
代如原方程可得
