简单几何图形的面积计算

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第二讲 简单几何图形的面积计算

一.常用的基本公式:

1.正方形的边长为a ,则正方形的面积是S =a 2;

2.长方形的长与宽分别是a 、b ,则长方形的面积是S =a ×b 。

3.平行四边形的底边长为a ,高为h ,则面积是S =a ×h 。

4.三角形的三条边长分别为a 、b 、c ,在它们上的高分别是h a 、h b 、h c ,

则三角形的面积S =a ×h a ÷2= b ×h b ÷2= c ×h c ÷2。

5.梯形的上底为a ,下底为b ,高为h ,则梯形的面积是(a +b )×h ÷2。

6.圆的半径为r ,则圆的面积是S =π×r 2。其中π=3.14159265…。

二.几种常用的求面积的方法:

1.直接利用公式计算;

2.列出方程求图形的面积;

3.添加辅助线计算图形面积;

4.利用割补的办法变化图形,计算图形的面积。

5.用相等面积变换计算图形的面积。(同底等高问题,等底等高问题)

三.例题讲解:

例1.如图,一块长方形耕地,它由四个小长方形拼合而成,其中三个长方形的面积分别是15、18、30公顷,则图中阴影部分的面积是 公顷。

解:由题意知,a ×c =15,b ×c =18,b ×d =30,

所以a ×d =(a ×c )×(b ×d )÷(b ×c )=15×30÷18=25(公顷)。

例2.如图所示,三角形ABC 是直角三角形,ACD 是以A 圆心,AC 为半径的扇形,图中阴影部分的面积是 。(π取3.14)

6cm

6cm D C B

A

解:阴影部分的面积是三角形面积减去扇形的面积,

三角形ABC 的面积=6×6÷2=18,扇形的面积是圆的面积的八分之一,

所以扇形面积是π×6×6÷8=4.5×π=14.13,

所以阴影部分的面积是18–14.13=3.87(平方厘米)。

例3.如图所示,ABCD 是一个长方形,BC =9厘米,CD =6厘米,且三角形ABE 、三角形ADF 和四

边形AECF 的面积彼此相等,则三角形AEF 的面积是 。

C

解:长方形ABCD 的面积是9×6=54(平方厘米),它被分成三个面积相等的图形,

所以三角形ABE 的面积=三角形ADF 的面积=18(平方厘米),

设BE =x 厘米,则6×x ÷2=18,x=6厘米,设DF =y 厘米,则9×y ÷2=18,y =4厘米,

所以CE =9–6=3厘米,CF =6–4=2厘米,所以三角形CEF 的面积是3×2÷2=3(平方厘米)。三角形

AEF 的面积是18–3=15(平方厘米)。

例4.如图所示,三角形ABC 是直角三角形,AB 是圆的直径,且AB =20厘米,如果图中阴影I 的面

积比阴影II 的面积大7平方厘米,那么BC 长多少厘米?(π=3.14)

III

I

II C

B A

解:图形I 加上图形III 的面积是半圆的面积=π×10×10÷2=50π=157(平方厘米),

图形II 加上图形III=三角形ABC 的面积=BC ×20÷2=10×BC ,

又图形I 的面积比图形II 的面积大7平方厘米,

所以157–10×BC =7,BC =(157–7)÷10=15(厘米)。

例5.如图所示,ABCD 是边长为9厘米的正方形,M 、N 分别为AB 和BC 边的中点,AN 、CM 相交

于点O ,则四边形AOCD 的面积是 平方厘米。

O

N M D C

B A

解:连接OB ,

因为M 是AB 的中点,所以三角形AMO 的面积=三角形BMO 的面积,

同理三角形BON 的面积=三角形CON 的面积,

而三角形ABO 的面积等于三角形BCO 的面积,

所以AMO BMO BNO S S S ==V V V ,又三角形ABN 的面积=9×4.5÷2=20.25(平方厘米),

所以AMO BMO BNO S S S ==V V V =20.25÷3=6.75(平方厘米),

四边形ABCD 的面积=6.75×4=27(平方厘米)。

所以四边形AOCD 的面积=9×9–27=54(平方厘米)。

例6.如图所示,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ,且AF =CE ,BG =DE ,当四边形ABCD

的面积是25平方厘米时,三角形EFG 的面积是 平方厘米。

C

解:如图,连接AG 、GC ,因为AF =CE ,

所以三角形AFG 的面积=三角形CEG 的面积(等底等高),

所以三角形EFG 的面积=三角形AGC 的面积。

又BG =DE ,所以三角形ABG 的面积=三角形ADE 的面积,三角形CBG 的面积=三角形CDE 的面积。(等底等高)

于是三角形AGC 的面积=四边形ABCD 的面积。

所以三角形EFG 的面积=四边形ABCD 的面积=25平方厘米。

例7.如图所示,两个边长均为2厘米的正方形,其中一个正方形的某一顶点恰好在另一正方形的中

心,且图中两个阴影三角形的面积相等。则这两个正方形不重合部分的面积和是 平方厘米。

解:不难看出,图中两个阴影部分的形状完全一样,即把其中一个阴影部分绕正方形的中心位置旋转

90度,正好与另一个阴影部分重合。

所以这两个正方形的重合部分是正方形面积的四分之一。

每个正方形的不重合部分的面积是2×2÷4×3=3(平方厘米),

所以两个正方形不重合部分的面积和是6平方厘米。

例8.求图中阴影部分的面积。(π=3.14)