高中数学竞赛模拟试题一
一 试
（考试时间：80分钟 满分100分）
一、填空题（共8小题，5678=⨯分）
1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。
2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如
()22212312314
f =++=。记
1()()
f n f n =，
1()(())
k k f n f f n +=，
1,2,3...
k =，则
=)2010(2010f
。
3、如图，正方体1
111D C B A ABCD -中，二面角
1
1A BD A --的度数
是 。
4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。
5、若正数c b a ,,满足
b
a c
c a b c b a +-
+=+，则c a b +的最大值是 。
6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。
7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n
i i
a 01
的值是 。
8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x
x x
x x
x x
++++=+++++++在(,)2
x o π∈时的最
小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++）
9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n )
求证：对于任何正整数n ，都有：n n
n n a a 111+≥+
10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。
（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ∆的面积为定值；
（2）若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的3
1，求证：||||||CD BC AB ==
11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f
1
22
+-x t
x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于)
2
,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则
64
3
)(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试
（考试时间：150分钟 总分：200分）
一、（本题50分）如图，
1O 和2
O 与
ABC ∆的三边所在的三条直线都相
切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的
延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满
足
1≥xyz 。证明：
E F
A
B C G
H P
O 1。
。
O 2
三、（本题50分）对每个正整数n ，
定义函数
0()n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩
（当
为平方数）不为平方数）
（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，])[}{x x x -=。试求：∑=240
1
)(k k f 的值。
四、（本题50分）在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察
1234567,,,,,,A A A A A A A 这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛
90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且1234,,,A A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，567,,A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？ 答案与解析 一、填空题 1、4
53
。y x 42+
≥=33
,24
x y ==时取最小值,
。
2、4。 解： 将5)2010(=f 记做52010→，于是有 从89开始，n f 是周期为8的周期数列。故
4)89()89()89()2010(58250520052010====⨯+f f f f 。
3、60。 解：连结1D C ,作⊥1CE BD ，垂足为E ，延长CE 交1A B 于F ，则1FE BD ⊥，连结AE ，由对称性知1,AE BD FEA ⊥∴∠是二面角11A BD A --的平面角。
连结AC ，设1AB =
，则11AC AD BD ==
=
1Rt ABD ∆在
中，11AB AD AE BD ⋅=
=
