2013年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合{|53,}A a a x x N +==+∈,{|72,}B b b y y N +==+∈,则A B 中的最小的元素是 ( ▲ )A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】D【解析】代入检验或者依次取值.2．已知角α的终边与3π的终边相同，则在[)0,2π内与3α的终边相同的角有 ( ▲ )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】713,,999πππ3．已知()f x x m =-, 当[0,9]x ∈时, ()4f x ≤恒成立, 则实数m 的取值范围 是 ( ▲ )A ．[1,0]-B ．(,1]-∞-C ．(,1]-∞D ．[0,1]【答案】C【解析】t =2()2g t t t m =-+，max (3)34g g m ==+≤ 4．若(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，0αβπ<<<，(0)ka b a kb k +=-≠ ， 则βα-的值为 ( ▲ )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【答案】A 【解析】由(0)ka b a kb k +=-≠ 两边平方展开得到cos()0βα-=5.函数1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x x y x x x x+++-=++-++的最小正周期是 ( ▲ ) A ．2π B ．π C ．32π D ．2π 【答案】D 【解析】2sin y x=(sin 1)x ≠-6．ABC ∆中，tan 21,tan a B a c c C c -==，则角A 为 ( ▲ ) A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π 【答案】B【解析】由tan 2tan B a c C c -=得1cos ,23B B π==，再由sin 1)sin A C =得4A π= 7．在平行四边形ABCD 中，2CAB DBC DBA ∠=∠=∠，则sin CAB ∠的值为 ( ▲ )A ．13B ．12C ．2D ．34 【答案】B【解析】记DBA α∠=，O 为对角线交点，CAB CBO ∆∆ 得到2212BC CO CA CA =⋅=在ABC ∆中，由正弦定理得到sin 3sin 2AC BC αα==，整理得到cos α= 8．已知O ，A ，B 是平面上的三点，向量,OA a OB b == ，设点P 是线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP p = ，若3,2a b == ，则()p a b ⋅- 的值为 ( ▲ ) A ．52 B ．3 C ．72D ． 4 【答案】A【解析】设AB 中垂线与AB 交于点C ，连OC ，1(),2CP p a b BA a b =-+=- ，由CP 与BA 垂直得到()p a b ⋅- =221()2a b - 9．设,82x y z x y z ππ≥≥≥++=，则cos sin cos x y z ⋅⋅的最小值为( ▲ )A ．18B ．8C ．14D ．4【答案】C 【解析】84x ππ≤≤，()21111cos sin cos cos sin()sin()cos sin()cos 2224x y z x y z y z x y z x ⋅⋅=++-≥+=≥ 10．当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x αα--+->恒成立，则α的取值范围是( ▲ )A ．1122,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ B ．522,66k k k Z πππθπ+<<+∈ C ．522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ D ．22,63k k k Z πππθπ+<<+∈ 【答案】C【解析】记22()cos (1)(1)sin f x x x x x αα=--+-，则(0)sin 0,(1)cos 0f f αα=>=>21()))2((1)2f x x x x =-+-+-，即102->，解得522,1212k k k Z πππαπ+<<+∈.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11．函数()|2||1|f x x x =+--的值域为 ▲ ．【答案】[3,3]-12．22sin 13sin 47sin13sin 47︒+︒+︒⋅︒= ▲ ． 【答案】34【解析】构造三角形，内角分别为13,47,120︒︒︒，结合余弦定理即可13．过ABC ∆的重心G 的直线分别交直线AB 、AC 于点P 、Q ，若AC k AQ BP AB ==,，则k 的值是 ▲ ． 【答案】52 【解析】由1()3AG AB AC =+ ，设PG PQ λ= ，则 2(22)AG AP PG AB PQ AB k AC λλλ=+=+=-+ ，于是52,65k λ== 或者取正三角形即可。

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

2013年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。

解得1a ≤-或 3a ≥。

2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+= 是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+= 。

当60sin sin 1αβαβ==⇒+=> ，但90αβ+≠ 。

3． 已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A. D.答案 B 计算得2733,q a ==4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）A.22z i =+B. 22z i =--C. 22,z i =-+或22z i =-D. 22,z i =+或22z i =--答案 D5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）。

A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =答案 B2()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM ∙=-∙-=-++∙22min min{}CM AM CA CB CM CM l =-⇒∙=⇔⊥。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（4）一、选择题1．岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边．有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍．已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍．那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有（）A．1 072辆次、294辆次B．1 174辆次、193辆次C．973辆次、394辆次D．1 173辆次、254辆次2．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（）A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．16分钟3．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8 000，13 200 B．9 000，10 000C．10 000，13 200 D．13 200，15 400二、填空题4．小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级．5．“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助；九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助．则该学校一共有名学生．6．如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm．7．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图4，AOB∠= ，45cm90OB=，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方OA=，15cm向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC=cm．三、解答题8．（本题15分）2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的．也许你会为它骄傲，为它自豪．可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢？如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用．（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图5（2）和图5（3）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）；（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好些？说说你的看法和理由．也为建设节约型社会做出一点贡献！9．（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风（圣帕）于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？卷参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．B2．C （提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为604146015-=，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了．）3．C （提示：由题设可知A 、B 、C 三市派往D 市的运输车的辆数分别是x 、x 、（182x -）辆，派往E 市的运输车的辆数为10x -，10x -，210x -，则总运费200300400(182)800(10)700(10)500(210)W x x x x x x =++-+-+-+-80017 200x =-+．依题意有01001828x x ⎧⎨-⎩≤≤，≤≤，解之，得59x ≤≤，当5x =时，13 200W =最大元，当9x =时，10 000W =最小元．故选C ．）二、填空题（每小题6分，共30分）4．60（提示：设往下走时，人走一步电梯往下走x 级，则有903030903x x +=-，解得1x =，所以电梯的级数为303060+=（级）．）5．224（提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为13 44060224÷=（人）．）6．52（提示：设Rt ABC △的较长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，依题意有3a b -=，1113124ab -=．又由勾股定理得22222()23112121c a b a b ab =+=-+=+=，所以11cm c =，故徽标的外围周长4(112)52(cm)=⨯+=．）7．25（提示：因为BC AC =，所以可设BC x =，则45OC OA AC x =-=-，在Rt BOC △中，根据勾股定理可得：222(45)15x x -+=，解得25x =．即机器人行走的路程为25cm ）．三、解答题（每小题15分，共60分）8．（1）图1和图2即为所作图．（2）图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少．但焊接处和图2中第二种方案一样长．9．解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图3，过点A 作AD BC ⊥于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt ABD △中，因为30240B AB ∠== ，． 11由题可知，距台风中心在(124)25200-⨯=（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到“圣帕”影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作200AE AF ==；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图4） 由勾股定理得，2222200120160DE AE AD =-=-=（千米）．所以2160320EF =⨯=（千米）．又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市3202016÷=（小时）．（3）该城市受台风影响最大风力7.2级．。

高一数学竞赛试题一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1、设集合Ａ＝{}43.21,,,a a a a ，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成集合{}8,5,3,1-=B ，则A ＝（ ）A ．{}6,2,1,3-B ．{}6,2,0,3-C ．{}6,2,1,1-D ．{}6,1,0,3- 2、等差数列{}n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则前n 项和S n 中最小的是（ ） A ．S 7或S 8 B ．S 12 C ．S 13 D ．S 15 3、已知函数x a x f 3sin)(π=，a等于抛一骰子得到的点数，则)(x f y =在[0，4]上至少有5个零点的概率为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．654、若方程 04)1(2=++-x m x 在（0，3]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．（3，310） B ．[3，310） C ．[3，310] D ．（3，310]5、已知在半径为2的圆Ｏ上有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝2，ＡＢ、ＣＤ中点分别为O 1,Ｏ2，则△Ｏ2AB 的面积最大值为（ ） A ．32 B ．22 C ．3 D ．336、函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对于任意的x ∈（0，1]恒有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0且a ≠1 B ．a ≥21且a ≠1 C ．a ＞21且a ≠1 D ．a ＞17、已知0＜α2＜090＜β＜0180，a ＝βαcos )(sin ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b8、已知数列}{n a 满足1a ＝1，1321113121--+⋯⋯+++=n n a n a a a a ,2(≥n )*N n ∈，若100=k a ，则k 为（ ）A ．100B ．300C ．200D ．4009、设Ｐ为△AB Ｃ内一点，且ACAB AP 5152+=,则△ＰB Ｃ与△AB Ｃ的面积之比为（ ） A ．51 B ．53C ．54 D ．5210、若任意满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x 的实数x ，y ，不等式222)()(y x y x a +≤+恒成立，则实数a 的最大值为（ ） Ａ.1322 B.1325 C. 2 D.2513二、填空题（每小题5分，共25分）11、如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝60°, AD ⊥CD ，ＤＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝32，ＢＤ＝4，则BC 的长为 。

温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案 一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分 （2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分 第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分 由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）． 设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。

2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．从n 名男生和2名女生中，任选2人参加英语口语比赛，若2人中至少有1名男生的概率为1415，则n 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B【解析】2222141415n C n C +-=⇒=.2．将向量(3,4)a =r 按向量(1,2)b =r 平移得到向量c r ，则||c =r( ▲ )A．．．5 D．【答案】C【解析】由向量平移的不变性可知(3,4)c =r ，||5c ∴=r.3．对任意0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,下列不等式正确的是( ▲ )A ．()tan cos tan θθ>B ．()tan tan tan θθ>C ．()cos tan cos θθ<D ．()cos tan cos θθ> 【答案】C【解析】取=3πθ，由1cos323ππ=<知A 错误；取tan 2θ=，由tan 202<<知B 错误；取=4πθ，由tan144ππ=>知D 错误；由tan 02πθθθ⎛⎫><<⎪⎝⎭知C 正确. 4．在ABC ∆中，(1,2),(34),(2,)A B C k ，，若B ∠为锐角，则实数k 的取值范围是( ▲ ) A ．5k > B ．5k <C ．35k <<D ．335k k <<<或【答案】D【解析】B ∠Q 为锐角，0AB BC ∴⋅<u u u r u u u r且A 、B 、C 三点不共线，解得335k k <<<或.5．已知函数()f x 满足(1)2f =，1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ⋅⋅⋅⋅L 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．6- 【答案】C【解析】1()111()(2),(4)(),1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x ++-+==-∴+=+--Q ()f x ∴的周期4T = 由已知条件，可求得(2)3f =-，1(3)2f =-，1(4)3f =， (1)(2)(3)(4)1f f f f ∴⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅=L ．【另解】由1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，联想到两角和的正切公式，设(1)2tan f θ==，则有(2)tan 4f πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(3)tan 2f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 3(4)tan 4f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1(5)tan f a πθ=+=，…则(1)(2)(3)(4)1f f f f ⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅=L ．6．已知a R ∈，则函数1()421(0)xx f x a x +=+⋅+≥的最小值是 ( ▲ )A ．22a +B ．21a - C ．222(1)1(1)a a a a +≤-⎧⎨->-⎩ D ．21(1)22(1)a a a a ⎧-≤-⎨+>-⎩ 【答案】D【解析】122()421(2)1xx x f x a a a +=+⋅+=+-+，0x ≥Q ，21x ∴≥，∴当1a ≤-时，2min ()1f x a =-，当1a >-时，min ()22f x a =+.7．已知A 为ABC ∆的最小内角，若向量(cos ,1),2sin(),16a A b A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭r r ，则a b ⋅r r 的取值范围是 ( ▲ ) A ．15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．15,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】22sin()cos 1cos cos 16a b A A A A A π⋅=++=++r r1cos 23sin 21sin(2)2262A A A π+=++=++， 55(0,]2(,][2,]36662A A a b ππππ∈∴+∈∴⋅∈r r Q .8．已知函数3()f x x x =+，2()sin (2cos )g x x x =⋅-，则()()f x g x 、的图像的交点个数为 ( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个【答案】A【解析】323()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+ 22(sin )(sin sin 1)0x x x x x x ⇒-+++=223(sin )[(sin )1]0sin 24x x x x x x x ⇒-+++=⇒=0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.【另解】323()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+，构造函数3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调递增，从而sin x x =，0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.9．定义1231nkn k xx x x x ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏ ，则891891(1cos 2)sin 2k k k k ==-︒︒∏∏的值为 ( ▲ )A ．1-B ．1C ．89-D ．89【答案】B【解析】898989189111(1cos 2)1cos 2tan 1sin 2sin 2k k k k k k k k k ====-︒-︒==︒=︒︒∏∏∏∏.10．若函数()f x 在定义域内满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，有以下命题：①函数()f x 可以为一次函数； ②函数()f x 的最小正周期一定为6；③若函数()f x 为奇函数且(1)0f =，则在区间[5,5]-上至少有11个零点； ④若R ωϕ∈、且0ω≠，则当且仅当2()3k k Z πωπ=+∈时，函数()cos()f x x ωϕ=+满足已知条件. 其中错误．．的是 ( ▲ ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】由(2)(1)()f x f x f x +=+-，可得(3)(2)(1)()f x f x f x f x +=+-+=-， (6)()f x f x ∴+=，()f x ∴的周期6T =.而一次函数没有周期，从而①错误；若()0f x ≡，则()f x 的周期为任意非零实数，从而②错误；对于③，(0)0,(1)0(2)0(3)0(4)0(5)0f f f f f f ==⇒=⇒=⇒=⇒=， 又()f x 为奇函数，所以()f x 在区间[5,5]-上至少有11个解，从而③正确； 对于④，当2()3k k Z πωπ=-∈时，函数也符合已知条件，从而④错误.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共11．如图执行右面的程序框图，那么输出的s 【答案】99100【解析】111112233499100s =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 1111199122399100100=-+-+⋅⋅⋅+-=12．函数()|sin |cos sin |cos |f x x x x x =⋅+⋅是 ▲ ． 【答案】[1,1]-【解析】由函数()|sin |cos sin |cos f x x x x =⋅+⋅当x 的终边落在第一象限时,有f (x )=sin2x ∈(0,1]； 当x 的终边落在第二象限时,有f (x )=0；当x 的终边落在第三象限时,有f (x )=-sin2x ∈[-1,0)； 当x 的终边落在第四象限时,有f (x )=0；(11题图)3 2 18 8 3 0 7 6 8 0(13题图)当x 的终边落在两个坐标轴上时,有f (x )=0. 综上所述, f (x )的值域是[1,1]-.13．美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的NBA 篮球明星， 下图是他在职业生涯前8场首发得分的茎叶统计图， 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ ． 【答案】25，2234【解析】平均值3828232027262810258x +++++++==，方差2222221(3825)(2825)(2325)(2025)(2725)8s ⎡=-+-+-+-+-⎣ 222223(2625)(2825)(1025)4⎤+-+-+-=⎦. 14．方程444sin 5sin x x+=的解集为 ▲ ．【答案】|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】令4sin [0,1]t x =∈，则2540(1)(4)0t t t t -+=⇒--=，1t ∴=，4sin 1x ∴=，()2x k k Z ππ∴=+∈，∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【另解】444sin 5sin x x +≥Q ，取等条件是2sin 1x =，()2x k k Z ππ∴=+∈， ∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.15．设集合[](){}22124log 24x A x B x x x ⎧⎫=<<=-=⎨⎬⎩⎭和，其中符号[]x 表示不大于x的最大整数，则A B =I ▲ ．【答案】{ 【解析】∵1244x <<，22x ∴-<<，[]x ∴的值可取2,1,0,1--. 当[x ]=2-，则22x =，∴x=； 当[x ]=1-，则23x =，无解；当[x ]=0，则24x =，无解. 当[x ]=1，则25x =，无解；综上{A B =I .16．函数()f x =的最小值为 ▲ ．【答案】1【解析】先求定义域(,){0}-∞+∞U U ，易得()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，从而只需考虑()f x在){0}+∞U 上的最小值，注意到两个根号内的函数在)+∞上都递增，故()f x在)+∞上递增，故min min{(0),1y f f ==．当0x =时取到最小值．17．对于一切实数x ，不等式222cos 2cos 2xxx x θθ⋅-⋅≥-恒成立，则θ的取值范围是 ▲ ． 【答案】2422,33k k k Z πππθπ+≤≤+∈ 【解析】222cos 2cos 2x xx x θθ⋅-⋅≥-恒成立22(cos 1)(2cos 1)xx θθ⇔+≥+恒成立，当cos 1θ=-时，显然符合题意；当cos 1θ≠-时，若0x =，显然成立；当cos 1θ≠-时，若0x ≠，则原命题222cos 1cos 1x x θθ+⇔≥+恒成立，而220x x >，且当x →-∞时，220x x →，2cos 10cos 1θθ+∴≤+，11cos 2θ∴-<≤-，从而11cos 2θ-≤≤-，解得2422,33k k k Z πππθπ+≤≤+∈. 三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分16分）已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为θsin 和3cos ,(,)44ππθθ∈. （Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求sin 1cos 1cos sin θθθθ++-的值. 解：（Ⅰ）sin θQ ，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有：220(1)sin cos (2)21sin cos (3)8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩L L L ， ---------------------4分 由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=---------------------8分（Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-Q ---------------------12分且sin cos )04πθθθ-=->， sin cos 2θθ∴-=，sin 1cos 1sin cos281cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅==+-+-.--------------------16分19．（本题满分17分）设实数19a >，函数()f x =（Ⅰ）当1a =时，判断()f x 的单调性；（Ⅱ）求实数a 的范围，使得对于区间55⎡-⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.（Ⅰ）当1a =时，()f x =，令t ==， 则关于x 的函数t 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，---------------------3分又定义域为(1,1)-，(0,1]t ∴∈，而1y t t=+在(0,1]上单调递减，由复合函数的单调性可知，()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,1)上单调递增；---------------------7分（Ⅱ）令t =1,[,1]3x t ⎡∈∴∈⎢⎣⎦Q ，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1[,1]3上，恒有min max 2y y >.----------10分（1）当1193a <≤时，a y t t =+在1[3上单调递减，在上单调递增，min max 1max{3,1}13y y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >得77a -<<+1193a <≤；.----------12分（2）当113a <<时，a y t t =+在1[3上单调递减，在上单调递增，min max 11max{3,1}333y y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >a <<，从而113a <<；.----------14分 （3）当1a ≥时，a y t t =+在1[,1]3上单调递减， min max 11,3,3y a y a ∴=+=+由min max 2y y >得53a <，从而513a ≤<；.----------16分综上，1593a <<..----------17分20．（本题满分18分）函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对于任意的,x y R ∈，(1)()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -+=+--； ②()f x 在区间[0,1]上单调递增. 求（Ⅰ）)0(f ；（Ⅱ）不等式2(1)10f x +-≥的解集.解：（Ⅰ）令0,1x y ==，则(0)2(0)(1)f f f =，所以(0)0f =或1(1)2f =，----------2分令0,0x y ==，则22(1)[(0)][(1)]f f f =+，令12x y ==，则21(1)2[()]2f f =，-------------------------------------------------------4分若1(1)2f =，则1(0)2f =±，11()22f =±，因为()f x 在[0,1]上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<，矛盾！因此(0)0f =，-----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）2(1)[(1)]f f =，(1)1f =.令0y =，则(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f x f f x +=+-=-，所以()f x 的图像关于直线1x =对称.---------------------------------------------8分再证()f x 的图像关于原点对称.令12x =，32y =，所以1311(0)()()()()2222f f f f f =+-，因为1()(0)02f f >=，所以131()()()222f f f -=-=-，令2y =，有(1)()(2)(1)(1)f x f x f f x f -=+--， 对上式令12x =，则11()()(1)22f f f -=-，所以(1)1f -=-.----------------------10分又因为(2)(0)0f f ==，所以对任意的x R ∈，恒有(1)(1)f x f x -=--， 所以()f x 的图像关于原点对称. ----------------------12分所以对于任意x R ∈，()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-， 从而()f x 的最小正周期为4.----------------------14分这样可以大致描述()f x 的图像（如右）令12,33x y ==，212()2()()333f f f =， 因为2()(0)03f f >=，所以11()32f =，所以51()32f =.----------------------16分由2(1)10f x +-≥，可得1(1)2f x +≥. 根据图像，可知1541433k x k +≤+≤+，k Z ∈， 所以不等式的解集是22{|44,}33x k x k k Z -≤≤+∈.----------------------18分。

温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛1. 明明和同学做游戏，用9条牙签，能摆出n等边三角形，则n的最大值为 ( c )A．3 B．4 C．5 D．62. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（ B ）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折3. 同学们购买的一副三角板里面会含有两种不同形状的三角形，那么利用这样一副三角板进行拼角，不可能拼出的角的度数为（ C ）A.75°B.120°C.145°D.165.°4. 某商场为了迎接元旦的到来，特意推出原价为a元的商品按9折出售，但是商家在活动前事先把所有的商品的标价提高了10%，这样一来，消费者去商场购买商品，购买价格与原价相比（ A ）A. 便宜了1% aB. 贵了1% aC.不贵也不便宜D.无法确定，与a有关5. 我们城市的道路上都有窨井盖存在，窨井盖通常都做成圆形，其主要原因是（ C ）A. 便于制作B. 便于安放C. 节省材料D. 美观6. 在手表6点至12点之间，时针和分针有几次呈现直角的位置（ B ）A. 10次B. 11次C. 12次D. 14次7. 小明和哥哥之间有这么一段对话.小明对哥哥说：等我长到你这么大年纪的时候，你就28岁了；哥哥也对小明说：我还是你这个年龄的时候，你才7岁。

根据以上对话，判断小明和哥哥今年分别几岁( D )A. 9 ,15B. 11 ,17C. 12 ,20D. 14 ,218. 有一次，一只猫抓了20只老鼠，排成一列，然后猫宣布它的决定，首先将站在奇数位上的老鼠吃掉，接着将剩下的老鼠重新按1,2,3,4,……编号，再吃掉所有站在奇数位上的老鼠，如此重复。

最后剩下的一只老鼠将被放生，一只聪明的老鼠听了，马上选了一个位置，最后剩下的果然是它，这只老鼠站的是第几个位置（ C ）A. 8B. 12C. 16D. 209. 如图，位于温州人民路AB段上有四处居民小区A、B、C、D，其中AC=CD=BD.现在要在AB段建一家超市，要求各居民区到超市的路程和最小，请你确定超市的位置在（ D ）A. C点B. 线段AB上的任意一点AC. 线段CD的中点D. 线段CD上的任意一点10. 贝贝、晶晶、欢欢三个人参加温州市的数学小论文比赛，他们是来自鹿城、永嘉、瑞安、的选手，并分别获得一、二、三等奖。

13届数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a和b是两个非零实数，且a + b = 5，求a² + b²的最小值。

A. 5B. 10C. 25D. 502. 一个圆的半径为r，其面积与半径平方的比值是多少？A. πB. 2πrC. πrD. r²3. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第10项是多少？A. 23B. 29C. 32D. 354. 如果一个函数f(x) = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，且f(0) = 1，f(1) = 2，f(-1) = 0，求a的值。

A. -1B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共30分）5. 若一个多项式P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6可以被分解为(x -1)(x - 2)(x - 3)，那么P(4)的值是______。

6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。

7. 一个正六边形的内角是______度。

8. 如果一个数列的前三项分别为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，那么第5项的值是______。

三、解答题（每题25分，共50分）9. 证明：对于任意正整数n，n³ - n 总是能被6整除。

10. 解不等式：|x - 1| + |x - 4| ≥ 5。

答案一、选择题1. B（根据平方和公式a² + b² = (a + b)² - 2ab，代入得25 -10 = 15）2. A（圆的面积公式为πr²，所以面积与半径平方的比值为π）3. C（等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入得2 + 9*3= 29）4. B（根据函数值代入求得a = 1）二、填空题5. 10（将x=4代入多项式P(x)中计算）6. 5（根据勾股定理3² + 4² = 5²）7. 120（正六边形的内角和为(n-2)*180°，代入n=6得720°，除以6得120°）8. 5（根据数列规律1, 1, 2, 3, 5...）三、解答题9. 证明：n³ - n = n(n² - 1) = n(n + 1)(n - 1)，因为n, n+1, n-1是三个连续的整数，根据连续整数的性质，其中必有一个是6的倍数，所以n³ - n能被6整除。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

高一数学竞赛试题注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.1.（本小题满分15分）设集合{}()(){}222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈， （1）若{}2AB =求a 的值； （2）若A B A =,求a 的取值范围；（3）若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围.2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ====（1）求证：;N M ⊆（2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =？请说明理由.已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011, 2 011]上根的个数，并证明你的结论．已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。

（1） 证明：BC DC ⊥1；（2） 求二面角11C BD A --的大小。

AB C D 1A 1B 1C7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．8．（本小题满分20分） 设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0，21]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f （1）=a ＞0． （Ⅰ）);41(),21(f f 求 （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数；（Ⅲ）记),212(nn f a n +=求).(ln lim n n a ∞→9．（本小题满分20分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式；（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f x x 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围.高一数学竞赛试题参考答案1、解：{}2,1=A（1）∵{}2A B = ∴B ∈2即，0)5(2)12222=-+⋅+⋅+a a （，解得13-=-=a a 或① 当3-=a 时， {}{}2044|2==+-=x x x B② 当1-=a 时， {}{}2,204|2-==-=x x B综上{}3,1--∈a（2）∵A B A =∴A B ⊆① 当φ=B 时，则该一元二次方程无解，即△<0，∴()[]0)5(41222<-⋅-+a a ，即3-<a ② 当φ≠B 时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即3-≥a1. 当3-=a 时，{}2=B2. 当3->a 时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2∴ )1(221+-=+a ，即25-=a 5212-=⋅a ，即7±=a （舍） ,∴综上(]3,-∞-∈a（3）∵(),U U R A C B A == ∴φ=B A① 当△<0时，即3-<a ，φ=B ，满足要求② 当△=0时，即3-=a ，{}2=B ，φ≠B A ，舍③ 当△>0时，即3->a ，所以只需B B ∉∉21且将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或所以3113±-≠-≠-≠a a a 和、综上，a 的取值范围为()()()()()+∞+-+---------∞-,3131,11,3131,33 ，2、3、解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ， 则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5. 当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； 当01>-m 时，5122)2()(max =+⨯>≥g u g ，矛盾！当01<-m 时，512)(≤+<u u g ，矛盾！综上所述，所求的实数1=m ．4、解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上，证明：（1）若M φ=，显然有;M N ⊆若M φ≠，则存在0x M ∈，满足()00f x x =， 所以()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，故0x N ∈，所以;M N ⊆ （2）.M N =用反证法证明 假设M N ≠，由于M N ⊆，必存在1,x N ∈ 但1x M ∉，因此()11f x x ≠，① 若()11f x x >，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x >⎡⎤⎣⎦，即()11x f x >，矛盾； ②若()11f x x <，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x <⎡⎤⎣⎦，即()11x f x <，矛盾。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。

A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。

A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。

6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。

7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。

答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。

温州市摇篮杯数学竞赛试卷第一部分：选择题1. 小明有5本数学书和3本英语书，他想从这些书中选出2本数学书和1本英语书，问他有多少种选法？A) 20种B) 30种C) 40种D) 50种2. 某学校有800名学生，其中男生占60%。

如果女生人数比男生人数少160人，那么女生有多少人？A) 320人B) 360人C) 400人D) 440人3. 一个三角形的三个内角分别是60°、70°和50°，那么这个三角形的外角之和是多少？A) 70°B) 120°C) 180°D) 360°4. 一只老虎每天走一步，第一天走1米，第二天走2米，第三天走3米，以此类推。

请问第20天老虎一共走了多少米？A) 100米B) 190米C) 200米D) 210米5. 一辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度向B地行驶，另一辆汽车从B地出发，以每小时80公里的速度向A地行驶。

两辆车同时出发，中间相距480公里。

请问两辆车相遇需要多少时间？A) 4小时B) 5小时C) 6小时D) 8小时第二部分：填空题6. 若x^2 + 6x - 7 = 0，求x的值。

（填写一个整数或分数）7. 一个数的百分之40是8，这个数是多少？（填写一个整数）8. 一个长方形的长是宽的2倍，周长是36米，求长和宽的值。

（填写一个整数）9. 一个扇形的半径是4厘米，圆心角的度数是60°，求扇形的面积。

（填写一个带π的数）10. 甲乙两人同时从相距60公里的A、B两地相向而行，甲的速度是乙的2倍，若乙的速度是每小时20公里，求甲的速度。

（填写一个整数）第三部分：解答题11. 请用两个方程式表示以下的问题，并求出解：某数的四倍与三次该数的和等于91，求这个数。

12. 某商店打折出售商品，原价是200元，打7折后卖出，求打折后的价格。

13. 一瓶饮料的容量是500毫升，小明喝了一半后，还剩250毫升，问他喝了多少毫升的饮料？14. 一支铅笔和一支橡皮的总重量是10克，两支铅笔的总重量是5克，那么一支橡皮的重量是多少克？15. 一辆汽车从A地到B地的距离是360公里，如果以每小时60公里的速度行驶，需要多长时间到达？以上就是本次温州市摇篮杯数学竞赛试卷的内容，希望大家认真思考，仔细解答每一道题目。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。

A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。

A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。

7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。

8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。

9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。

三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。

11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。

12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。

求点P的坐标。

13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。

14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。

高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。

年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题年4月16日本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号 一 二 三总分 15 16 17 得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人 答案1、设Ａ到Ｂ的映射f ：x →y=(x －1)2,若集合2,1,0=A ，则集合B 不可能．．．是（▲） A 、{}1,0 B 、{}2,1,0 C 、{}2,1,0- D 、{}1,1,0-2、若命题Ｐ：4)21(1<-x ；Ｑ：04log )1(<-x ，则命题⌝Ｐ是⌝Ｑ成立的（▲）条件Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设a =-)2sin(π，则)22tan(-π的值为（▲）A 、21a a- B 、21aa-- C 、a a 21- D 、a a 21--4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（▲）A 、1:1B 、4:πC 、π:4D 、π:2 5、设正整数集N *，已知集合{}*∈==Nm m x x A ,3|，{}*∈-==N m m x x B ,13|，{}*∈-==N m m x x C ,23|，若,,B b A a ∈∈C c ∈，则下列结论中可能成立的是（▲）A 、c b a ++=2006B 、abc =2006C 、bc a +=2006D 、)(2006c b a +=6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。

若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J ，Q ，K ；则在“十四进制”中的三位数JQK 化成“二进制”数时应为（▲）位数。

A 、13B 、12C 、11D 、107、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，若)()(x g x xf ≤对于一切R x ∈都成立，则函数)(x g 可以是（▲）A 、x x g sin )(=B 、x x g =)(C 、2)(x x g = D 、xx g =)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n 项和为n S ,则2006200520042S S S +-等于（▲） A 、502501 B 、520502 C 、502503 D 、以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。