高等数学进阶第一讲课程资料
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高等数学进阶教材高等数学是大学数学课程中的重要组成部分,是对初等数学知识的深入拓展和扩展。
为了满足学生对高等数学进阶知识的需求,我们编写了一本全新的高等数学进阶教材。
本教材不仅包含了高等数学的基本概念和定理,还重点介绍了一些应用场景和解题方法,旨在帮助学生更好地理解和应用高等数学。
第一章极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 无穷大与无穷小1.3 函数的极限1.4 连续与间断第二章导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 高阶导数2.3 微分的概念与性质2.4 隐函数与参数方程的导数第三章积分与定积分3.1 不定积分与基本积分表3.2 定积分的概念与性质3.3 牛顿-莱布尼茨公式3.4 积分应用第四章微分方程4.1 一阶常微分方程4.2 高阶常微分方程4.3 变量分离与齐次方程4.4 常系数线性齐次方程第五章空间解析几何5.1 空间直线与平面5.2 空间曲线与曲面5.3 空间模型与坐标系5.4 空间几何应用第六章重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 曲线积分与曲面积分第七章线性代数7.1 行列式与矩阵7.2 矩阵的运算与性质7.3 线性方程组的解法7.4 特征值与特征向量第八章傅里叶级数与变换8.1 傅里叶级数的概念与性质8.2 傅里叶级数的计算方法8.3 傅里叶变换的概念与性质8.4 傅里叶变换在信号处理中的应用通过以上章节的学习,学生可以系统地学习和掌握高等数学的核心知识,并且了解到高等数学在各个领域中的应用。
本教材注重理论与实践相结合,通过大量例题和习题的训练,帮助学生巩固和拓展所学知识,并提升解题能力和数学思维能力。
我们相信,这本高等数学进阶教材能够满足学生的学习需求,帮助他们在高等数学领域取得更好的成绩,并为日后的学习和工作打下坚实的数学基础。
希望广大师生能够喜欢和好好利用这本教材,共同进步。
微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.
冯.诺伊曼
高等数学一精讲班讲义(第一讲)
第一章函数、极限与连续
函数是现代数学的基本概念之一,是高等数学的主要研究对象.极限概念是微积分的理论基础,极限方法是微积分的基本分析方法,因此,掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法,为今后的学习打下必要的基础.
第一节函数
一、函数的概念
1、定义:设x ,y 为某变化过程中的两个变量,若x 在允许范围内,每取一个值,y 按规则f ,总有唯一值与之对应,则称y 是x 的函数,记作y=f(x),且称x 为自变量,x 取值范围为定义域,习惯用D 表示定义域。
函数值的全体称为值域,习惯用Z 表示值域。
函数是描述变量y x ,之间相互依赖关系f 的一种数学模型)(x f y =.
12+⨯=x y 2x y =
2、函数的两要素:
函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R 内,因此构成函数的要素是定义域D
f 及对应法则
f .如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.
例下列表示同一函数的是() A 、2ln x 与x ln 2 B 、x e
ln 2
1-与
x
1
(x与2x C、2)
sin(arcsin x D、x与)。
高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学,它是创建于十七世纪的一门数学学科,创始人是英国数学家牛顿(Newton )和德国数学家莱布尼茨(Leibniz )。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析,是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位,使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立,与其说是数学史上,不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日,它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学,显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数,需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量先看几个例子:圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中,g v ,,π0是常量,t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合(不止一个元素)。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ,使得对每一D x ∈,都能对应于唯一的一个数y ,则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数,并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量,y 为函数值或因变量,D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数:}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,6)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,6,2{=Z ,一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,8)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
由函数定义可以得出,函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素,用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的,而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
大一高数第1节重要知识点大学里的高等数学是一门相对较难的学科,对于大部分理工科学生来说,高数通常是他们最难攻克的一关。
而在大一的高数课程中,第一节课通常是介绍一些重要的基础知识点,为学生奠定数学学习的基础。
以下是我总结的大一高数第1节重要知识点。
1. 实数系统实数是我们熟悉的数,包括了整数、有理数和无理数。
实数系统具有完备性和无间断性,可以满足我们在数学推理中的要求。
在高数中,我们将会用到实数的性质,如大小关系、加减乘除等操作。
2. 集合与映射集合是数学中的一个基本概念,可以理解为具有某种特点的对象的总体。
在高数中,我们会用到集合的运算、包含关系、并集和交集等概念。
另外,映射是一个从一个集合到另一个集合的对应关系,我们可以用映射来描述函数关系。
3. 极限与连续性极限是高数中的核心概念之一,它能够描述函数在某点附近的行为。
我们可以通过极限来研究函数的趋势以及函数的连续性。
在大一高数中,我们会学习一些基本的极限运算法则,如极限的四则运算法则和复合函数的极限等。
4. 导数与微分导数是描述函数变化率的重要工具,它可以用来计算函数在某一点的斜率。
微分则是导数的应用,它能够帮助我们研究函数的性质。
在大一高数中,我们会学习导数的定义和性质,以及一些基本的求导法则,如常数乘法法则、求幂法则和求和法则等。
5. 积分与不定积分积分是反导数的概念,它与导数有着密切的关系。
通过积分,我们可以还原出函数的原函数。
不定积分则是对导数的逆运算,在大一高数中,我们会学习一些基本的积分法则,如常数乘法法则、分部积分法和换元积分法等。
6. 常微分方程常微分方程是数学中一个重要的分支,它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
在大一高数中,我们会学习一些基本的常微分方程,如一阶常微分方程和二阶常微分方程等。
还会涉及到一些常微分方程的解法,如分离变量法和常数变易法等。
这些知识点构成了大一高数第一节课的核心内容。
掌握了这些基础知识,同学们就能够为后续的高数学习打下坚实的基础。
第一讲函数极限与连续
一、数列极限的计算(主要计算方法)
(1) 利用数列极限存在准则
准则1(夹逼准则) 准则2(单调有界准则)
(2) 利用定积分的定义
(3) 利用无穷级数求和,级数收敛的必要条件
(4) 利用初等变形
(5) 利用数列极限与函数极限的关系
二、函数极限的计算(主要计算方法)
(1) 利用重要极限
(2) 利用等价无穷小量替换
(3) 利用洛必达法则(L’hospital’s rule)
(4) 利用泰勒(Taylor)展开
(5) 利用导数的定义
三、函数的连续性
1.函数的连续性
2.函数的间断点及其类型
思考题1 设∑=+=n k n k k x 1)!1(,求n n x ∞
→lim 思考题2 求极限])11[(lim e n n n
n -+∞→.
思考题3 计算x x x x cos 11
0)sin (lim -→. 思考题4 求极限x
x e x x x )]1ln(1[)1(lim 220+--+→.
思考题5. 求极限]1)1tan 2[(lim 613
x e x x x x x +--++∞→. 思考题6. 设)(x f 连续,⎰=1
0d )()(t xt f x g ,且A x
x f x =→)(lim 0,A 为常数,求)(x g ',并 讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
数学三一、选择题(8*4分=32分)
1.
2. 高等数学
3.
4.
5.线性代数
6.
7.概率论与数理统计
8.
二、填空题(6*4分=24分)
9.
10. 高等数学
11.
12.
13.线性代数
14.概率论与数理统计
三、解答题(5*10分+2*11分+2*11分=94分)
15.
16.
17. 高等数学
18.
19.
20.线性代数
21.
22.概率论与数理统计
23.
高等数学56% 82分;
线性代数22% 34分;
概率论与数理统计22% 34分.。