提分微课(04) 构造辅助圆

浅谈构造辅助圆解决点的问题对于数学中较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目，如果可以根据题干中的基本要素，结合到圆的相应理论，合适地画出辅助圆，一般可以变复杂为简单，变困难为基础，发现答题技巧，添加辅助圆的一般过程是：基于“圆的定义”添加辅助圆、通过“圆周角的性质”添加辅助圆、通过圆周角与圆内外角的联系添加辅助圆、基于“弦切角的模型”添加辅助圆、利用“圆幂定理”添加辅助圆、利用“判定四点共圆的理论”添加辅助圆、利用“两圆相切的定义”添加辅助圆、利用“托勒密理论”添加辅助圆。

标签：数学问题添加辅助圆基础题型从全国高中数学联赛与国际数学奥林匹克中涉及的相关题型来看，可以了解到，数学问题，作为竞赛中最常涉及的内容之一，在数学竞赛中，其地位是数一数二的。

对于一些较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目而言，解题的人哪怕是在灵活运用所学知识与思维逻辑推算方面有着较强的能力，但是难免也会被此绊住脚步。

因此，解题者如果可以通过题干基本框架及特征，从而联系到圆的理论应用，合适地添加辅助圆，通常能够变复杂为简单，变困难为基础，从而发现答题的关键出口。

本篇文章的中心就是介绍如何利用添加辅助圆来达到解题目的。

在日常的教授课程中，老师们常会根据圆的性质来添加辅助圆，由此便将原有问题变成了辅助圆与直线的公共点的相应问题。

一、根据“在同一个圆内，若两弧相等，则两弧对的圆周角相等”添加辅助圆题1 如图所示，平行四边形ABCD中，E在AD，延长CE至F点，使得。

（1）证明：；（2）用做图工具在直线AD上取一点P，使∠CPB=∠PDC（作法不需写，保留作图印记）（1）由题目可知AD//BC，所以。

又，所以可以知道，由此可得。

（2）因为P在直线AD上，又AD//BC，所以。

若要得，就是要使得，从（1）可以知道条件，则只需，也就是和可以视为弧BC对应的圆周角，因此P 点为的外接圆和AD所相交的点。

解（1）省略。

（2）分别在边BF与BC上作垂直平分线，设两垂直平分线交于O点。

《构造辅助圆》教学设计丰台八中赵鹏科目数学课题专题：构造辅助圆教师赵鹏班级初三（6）班时间2012.4.17 学生情况分析本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,掌握了圆的一些有关性质,并对辅助圆有了初步的认识.对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造曲线形辅助线的意识. 设计意图对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件,从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形,而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下,更有利于条件的集中,辅助圆是曲线形辅助线的代表,利用圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特.本节课想以一种学生探究，老师引领学生作归纳总结的形式呈现，通过学生思想的碰撞，最终达成共识.学生探究时，以审条件，审图形，审结论的方式阐述，并说明解题思路.这样其他同学听得也清楚明白.对于程度较好的学生，能够掌握构造辅助圆的基本方法，中等的学生能够在几何题中想到利用辅助圆，基础薄弱学生也能够想得起辅助圆. 教学目标1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质. 教学重点利用辅助圆解决有关问题教学难点建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件教学方法讲练结合、教师引导下的学生自主探究教学用具圆规、几何画板、尺子教学设计教学过程设计说明一、类型一引例（2011北京17）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（-1，n）.（1）求反比例函数的解析式（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标.提问：什么条件让你想到可以以A为圆心，OA为半径作圆？依据是什么？引导：我们经常添加辅助线来解题，并且，以前所做的辅助线都是直线形，而通过这道题，我们发现，所添加的辅助线也可以是曲线形，初中阶段，构造辅助圆就是曲线形辅助线的代表，今天，我们就来探究，构造辅助圆，还可以解决哪些类型的题目？例1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，?BAC=26?，?CAD=74?，则=________°，=________°什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？条件：__有公共端点的等线段_______________；依据：__同圆半径相等_____________________.小结1：当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.二、类型二引例:若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的外接圆半径为_____________.什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？条件：__直角___________________；依据：__90°的圆周角所对的弦是直径________.小结2：可以利用90°的圆周角所对的弦是直径，以斜边为直径，构造辅助圆.例2、在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（2，?3），点P在y轴上，且△ABP为直角三角形. 请问满足条件的点P有几个？并求出它们的坐标.解：（1）过点A作AP⊥y轴于P∴∠PAB=90°∴P1（0，2）（2）过点B作BP⊥y轴于P∴∠PBA=90°∴P2（0，-3）（3）以AB为直径作圆，交y轴于P，设圆心为D∴∠APB=90°∵D（2，-0.5）∴AD=BD=PD=2.5作DE⊥y轴于E，则E（0，-0.5）∴DE=2，OE=0.5∵∠PED=90°∴∴PE=1.5∴P3（0，1），P4（0，-2）综上所述：共有4个点P.预案：可能有的学生会用相似解决问题，先表示赞同，再引导用圆的知识求线段.四、总结提升1．数学方法：构造辅助圆（1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆. （2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆.2.数学思想：转化思想利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.3.辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.五、课后作业1. 在平面直角坐标系中，A（4，0），O为坐标原点，求直线y=x+3上一点P，使△AOP是等腰三角形，这样的P点有几个？2. 如图所示，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD,则的度数为 .3.已知如图，梯形ABCD中，AB⊥BC于B,CD⊥BC于C（1）当AB=4，CD=1，BC=4时，点P在直线BC上，且，这样的点有个.（2）设AB=a，DC=b，AD=c，点P在直线BC上，且，试确定此时a，b，c满足的关系式.六、板书设计课题例1 小结1 例2小结2七、课后反思这是一道学生熟悉的题目，以此告诉学生构造辅助圆来解决问题是一种常见的解题方法，那么构造辅助圆还可以解决哪些类型的题目呢？带着这样的疑问，学生会主动寻找解决问题的方法，从而提升学生学习新知识的主动性，实现构造圆解决问题的思路.本题可从两个方面入手解决:1.利用等边对等角；2.利用构造辅助圆将问题转化为圆中圆周角与圆心角的关系.想达到的效果是:学生习惯于利用前者，少数人有了引例中的方法意识，开始从圆的定义出发构造辅助圆.初步让学生尝到新方法的甜头.从而强化辅助圆的意识.让学生复习90°的圆周角所对的弦是直径，从而为例题构造辅助圆做铺垫.通过直角顶点的分类，并利用直径所对的圆周角是直角，很快就能找到满足条件的点P；构造辅助圆也可以将问题转化为圆中的计算问题。

精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科） 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____． （-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线 上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所 以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”， 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。

２０２３年９月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀构造辅助圆 在初中数学解题中的灵活运用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀王㊀雪㊀㊀摘要:在数学解题过程中,常规的解题思路并不能应对一些比较复杂的几何问题,这时候就需要转换思路,有时利用 圆 ,就可以有效解答一类问题．借助 辅助圆 将几何问题中分散的条件集中,有助于发现题目中的隐含条件,从而起到化繁为简的作用．本文中通过实例分析,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．关键词:辅助圆;初中数学;几何问题㊀㊀构造辅助圆 是指在原有的几何图形上,构建一个辅助圆,利用圆的特性来完成题目的解答．通过辅助圆的构造,能够将几何题目中较为繁杂的已知条件进行集中处理,同时能够发现几何图形中的隐藏条件,利用对这部分条件的分析,快速解决问题．本文中结合实例,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．１构造辅助圆 解决数学问题的应用现状目前初中生在解题的过程中,较少应用辅助圆,且应用效果不理想．在几何题的解答过程中,辅助线的应用是比较常见的,但是有部分题目通过辅助线来解答依旧存在难度,甚至需要多条辅助线才能完成,如果学生用这种方法应对选择题和填空题,就会浪费大量的时间．而应用辅助圆则可以为相关问题披上圆的外衣,这样就可以依据圆的性质进行解题,从根本上起到化繁为简的作用[１]．２构造辅助圆 解决数学问题的实际案例２．１辅助圆在求线段长度的几何问题中的应用在解决求线段长度的几何问题中,通常是利用相同端点的线段构造辅助圆,以端点作为圆心,选取相等的线段作为半径或直径,完成辅助圆的构建后再利用圆的基本性质求解线段长度[２]．例１㊀在四边形D C B E 中,点A 在B E 上,A E ʊC D ,A B ＝A C ＝A D ＝A E ＝５c m ,且B C ＝１９c m ,求对角线B D 的长度．解析:由A E ʊC D ,得øB D C ＝øD B E ．图１由A B ＝A C ＝A D ＝A E ,将点D ,C ,B ,E 视为圆上的点构建辅助圆,如图１．于是弦D E 与弦B C 的长度相等．又由B C ＝１９c m ,得B C ＝D E ＝１９c m ．因为E B 为辅助圆的直径,所以øE D B ＝９０ʎ．所以在R tәE D B 中,根据勾股定理可知,B D ＝E B ２－E D ２．又A B ＝５c m ,E B 为圆A 的直径,则E B ＝１０c m ．所以B D ＝１０２－(１９)２＝９(c m )．２．２辅助圆在求度数的几何问题中的应用在解决求度数的几何问题中,通常可以将公共点作为顶点,作三角形的外接圆．在构建辅助圆的过程中要将三角形与辅助圆建立明确的关系．图２例２㊀如图２所示,әA B C为等腰三角形,且A B ＝A C ,直线A P 为әA B C 外侧直线,点B 与点D 关于A P 轴对称．求证:ø１＝ø２．证明:ȵ点B ,D 关于直线A P 对称,ʑ直线A P 为线段B D 的垂直平分线．ʑәA D B 为等腰三角形．图３ʑA D ＝A B ＝A C ．故可以A C 为半径,点A 为圆心,构建如图３所示的辅助圆．ȵP 为B D 中点,且A P 为过点E 的直线,ʑәD E B 为等腰三角形．ʑD E ＝B E ．ʑøE D B ＝øE B D ．ʑø２＝２øE D B ．又ø１＝２øC D B (同弧所对的圆心角是圆周角的２倍),ʑø１＝ø２．２．３辅助圆在求图形面积问题中的应用在数学中考题中,涉及面积的题型也很多,当题目条件较多且分散的几何图形很难运用面积公式时,可以尝试构建辅助圆,利用圆的基本性质以及圆的面３７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年９月下半月㊀㊀㊀积公式进行计算[３]．例３㊀如图４,әA B C 为等边三角形,且A B ＝A D ,AH ʅC D 于点H ,且P C ʅBC ,C P 与AH 交于点P ,求证:S әA B C ＝３４A PB D ．图４㊀㊀㊀图５解析:依题意可知A B ＝A C ＝B C ＝A D ,构建以点A 为圆心,A B 为半径的圆,得到如图５所示的辅助圆．ȵәA B C 为等边三角形,ʑøB A C ＝øA C B ＝øA B C ＝６０ʎ．ʑøB D C ＝１２øB A C ＝３０ʎ．又øB C P ＝９０ʎ,øB C A ＝６０ʎ,ʑøP C A ＝øC D B ＝３０ʎ．ȵøC B D ＝１２øC A D ＝øP A C ,ʑәB C D ʐәA P C ．ʑB C ʒA P ＝B D ʒA C ．又B C ＝A C ,ʑB C ２＝A P ˑB D ．ʑS әA B C ＝３４A PB D ．２．４辅助圆在求线段比或面积比问题中的应用图形中的某两条线段成比例或图形面积成比例这类题型是中考的难点和重点．利用辅助圆则可以结合圆的性质,通过圆中的线与角的关系进行求解．构建辅助圆时,要将有关线段置于辅助圆的关键位置,例如,可作为直径㊁半径或弧所对的弦．这样容易发现线段之间的关系,从而更加简便地进行解答[４]．例４㊀在R t әA B C 中,A C ＝B C ,øA C B ＝９０ʎ,P是C B 延长线上的一点,B P ʒB C ＝k ,已知０ɤk ɤ１,过点B 作A B 的垂线,过点P 作A P 的垂线,使两条垂线相交于点Q ,且A P ＝P Q ,连接A Q ,求әA B C 与әA P Q 的面积比．分析:根据已知条件分析,әA P Q 的面积较难求解,所以可以根据әA P Q 来构建辅助圆．解析:以A Q 为直径,A Q 的中点O 为圆心,构建如图６所示的辅助圆．ȵA P ＝P Q ,且øA P Q ＝９０ʎ,ʑәA P Q 为等腰直角三角形．设B C ＝A C ＝m ．图６ȵB P ʒB C ＝k ,ʑB P ＝k m ,P C ＝(k ＋１)m ．ʑP A ＝m ２＋[(k ＋１)m ]２＝m k ２＋２k ＋２．ʑS әA B C ʒS әA P Q＝１２A C ２１２P A ２＝１２m ２１２(k ２＋２k ＋２)m ２＝１ʒ(k ２＋２k ＋２)．２．５辅助圆在求线段极值问题中的应用辅助圆在求线段极值问题中有着广泛的应用,特别是在数学竞赛中经常遇到．例５㊀在边长为４的正方形A B C D 中,P 为对角线B D 上的一个动点,且与点B ,D 不重合,连接A P ,过B 作A P 的垂线,垂足为H ,连接DH ,求线段DH 的最小值．图７分析:由于无论点P 如何运动,A B 的长度都不会改变,因此可以A B 为直径,A B 的中点E 为圆心构建辅助圆,通过圆确定点H 的运动轨迹．解析:取A B 中点E ,连接D E ,构建如图７所示的几何图形,可得D E ＝(１２A B )２＋A D ２＝４２＋２２＝２５．当点H 与点M 重合时,线段DH 的长度最短,此时DH ＝DM ＝D E －M E ＝２５－２．综上所述, 构造辅助圆 在初中数学解题中的广泛应用,不仅包含大量的几何问题,而且部分代数问题中也可使用．构建辅助圆时,要结合题目的具体情况,根据四点共圆的条件确定辅助圆．通过辅助圆在不同类型几何问题中的应用,明确构建辅助圆在初中数学解题中的可行性与实用性,通过辅助圆的灵活应用,提升学生的实际解题能力．参考文献:[１]刘怀权． 构造辅助圆 在初中数学解题中的应用[J ]．数理天地(初中版),２０２２(１２):２１Ｇ２２．[２]蒋天林．从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用[J ]．中学生数理化(高考使用),２０２０(５):１１Ｇ１２．[３]黄磊． 圆 来如此简单 辅助圆 构造的解题探究[J ]．数理化解题研究,２０２１(１４):１０Ｇ１１．[４]徐勤．辅助圆在中考数学试题中的应用[J ]．科学大众:科学中考,２０２２(４):１３Ｇ１５．Z４７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

图 2 图 1 图3构造辅助圆 巧解中考压轴题—以2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例柯贤华 (陕西省洋县教研室)关于动点对定线段所张的角为定值问题，从表面上看似与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆,再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果,还考查了学生创造性思维，有利于培养学生分析问题的能力。

这里，构造辅助圆实则成了解题的关键。

为此，下面遴选2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例,对辅助圆的构造策略与方法作一介绍，以飨读者。

1 案例1及解法简析1.1 题目展示 （2014年陕西中考数学第25题)问题探究（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4,如果BC 边上存在点P ，使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD ,并求出此时BP 的长；（2）如图2,在△ABC 中，∠ABC=60°,BC=12，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点．当AD=6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF=90°，求此时BQ 的长. 问题解决(3）有一山庄，它的平面图为如图3的五边形ABCDE ,山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使∠AMB 大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m ，ED=285m ，CD=340m ，问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长；若不存在，请说明理由。

1.2 解法简析本题第（1）问相对简单，这里分析第（2）（3）问。

（2）由条件“当AD=6时，BC 边上存在一点Q,使∠E Q F=90°”，动点Q 对定线段EF 所张的角为直角，因此联想到“直径所对的圆周角是直角”，以EF 为直径作⊙O ，易证⊙O 与BC 相切，从而得到符合条件的点Q 唯一，然后通过添加辅助线,借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ 长；（3)要满足动点M 对定线段AB 所张的角∠AMB=60°，由此联想到“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，于是可构造以AB 为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD 的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可求出符合条件的DM 的长。

中考数学答题技巧：构造辅助圆对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题，如果能根据题目的题设和结论，构造出符合题意特征的辅助圆，即把题目中的固定角转化为圆的圆周角问题，就能使问题得以顺利解决，这种方法利用数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力。

请看下面的两个例题：例1：(06东营)如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)不存在分析：要在直线l上找点P使∠APB=30°，可以构造以AB 为边作等边三角形ABO，则∠AOB=60°，然后以O为圆心，AB为半径，作圆O，如图，∵△ABO为等边三角形∴OB∥l，∴点O到l的距离d解：此题如果以AB为边作等边△ABO,再以点O为圆心，AB 为半径作圆交直线l与点P1、P2，∵∠AOB=60°∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°所以满足条件的点P的个数是两个，分别为P1、P2。

例2：(06陕西)如图，矩形ABCG()与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，的顶点P在线段BD上移动，使为直角的点P的个数是【 C 】A.0B.1C.2D.3分析：要使∠APE=90°，则需要以AE为直径作圆，如果此圆与线段BD相交，有几个交点，则使∠APE为直角的点P的个数就有几个，通过作图及圆心到直线的距离可知，以AE 为直径的圆与BD只有两个交点，所以使∠APE为直角的点P 的个数是两个。

解：此题连接AE、AC、CE，因为矩形ABCG与矩形CDEF全等，所以Rt△ACG≌Rt△CEF则∠ACE=90°，所以点C为满足条件的P点之一。

取AE的中点O，然后以点O为圆心，以OA为半径作圆O，因为点O到BC的距离小于OC，所以圆O 与BD有两个交点C、P，∵AE为直径，∴∠ACE=90°，∠APE=90°。

构造辅助圆探求最值问题最值问题是中考舞台上的常青树，涉及知识面广，解决的方法活，且富有一定的技巧，所以倍受命题老师的青睐.下面就谈谈辅助圆在求最值时的精彩，供学习时借鉴.1.构造辅助圆直接求线段的最小值例1 如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A.32B. 2C.813D.1213分析：如图1，根据已知条件，我们不难发现，动点P在以AB为直径的圆上运动，而点C 在辅助圆的外部，根据点与圆的关系，知道，当O,P，C三点共线时，CP最短.解：因为∠PBA+∠PBC=90°，∠PAB=∠PBC，所以∠PBA+∠PAB=90°，所以∠APB=90°，所以点P在以AB为直径的圆上，当O,P，C三点共线时，CP最短，因为AB=6,所以OB=3,因为BC=4，所以OC=5，所以CP=OC-OP=5-3=2,所以CP的最小值为2，所以选B.点评：构造辅助圆，把不容易确定的线段的最小值问题转化为点与圆的关系是解题的关键，要学会这门技巧.2.构造辅助圆间接求线段的最小值例2 如图2，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A. 5B. 7C. 8D.13 2分析：如图2，当点Q在运动时，不难发现点A的对称点A'在以P为圆心，PA为半径的圆上，由BP=3，知道PA=5，连接PC与圆交于点F，由点C是圆P外的一点，根据点与圆的关系知道，当A'与点F重合时，CF=C A'最短，找到了最短位置，接下来就是求CQ的数值了. 根据图形的对称性知道：∠QPA=∠CPQ，根据菱形的性质，知道：AB∥CD，所以∠QPA=∠CQP，所以∠CPQ=∠CQP，，所以CQ=CP.过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据三角形ABC 是等边三角形，且AB=8，所以3,因为BP=3，所以EP=1，在直角三角形CEP中，2222(43)1CE EP+=+所以CQ=7.解：选B.点评：巧妙把线段的最小值转化成圆外一点与圆的关系是解题的关键，也是一种常用的方法，希望平时学习时多加练习.3.直接应用给定的半圆，探求最值例3 如图3，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值和最小值的和是（）1332 3分析：要想求最值的和，首先要结合条件，确定PQ的最大值在什么位置上取的，最小值在什么位置上取的，并能求得，和自然就得到.解：如图3，当点Q与点E重合，点P与点B重合时，线段PQ有最大值，设半圆与AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，因为AB=10,AC=8,BC=6,所以BC⊥AC，所以OD∥BC，因为OA=OB，所以OD是三角形ABC的中位线，所以AD=DC=4,OD=OE=OF=3,所以AE=OA-OE=5-3=2,所以线段PQ的最大值为PQ=10-2=8；过点O作ON⊥BC，交半圆于点M，过点M作GH∥BC,所以当点Q与点M重合，点P与点N重合时，线段PQ有最小值，PQ=MN=CH=DC-DH=4-3=1,,所以线段PQ的最小值为PQ=1；所以PQ的最大值与最小值的和为8+1=9，所以选C.点评：能顺利找到PQ取的最大值与最小值时，线段所对应的位置和条件，是解题的关键.4.构造辅助圆，借助弦心距的最大值求解例4 如图4，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．分析：如图4-3，我们不难发现，点N在以A为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A作AH ⊥BF，垂足为H，在整个运动过程中，直线BF与圆A的关系，从相交逐步演绎到相切，直到相离，此时圆心到弦的弦心距AH，遵循着从小到大，再到无得变化规律，当弦心距最大时，BN是圆的切线，在直角三角形ABN中，AB长度不变，AH（AN）最大，此时BN取得最小值，且满足点F和点M重合，如图4-4，这种条件下，三角形ABN和三角形BFC是全等三角形，也就是说此时CF 恰好取到最小值，由于DC 的长度是一个定值，从而DF 取到最大. 解：（1）因为△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM ，根据折叠的性质，得∠DAM=∠NAM ，因为AN 平分∠MAB 时，所以∠NAM=∠NAB ，所以∠DAM=∠NAM=∠NAB ，因为∠DAB=90°，所以∠DAM=30°，所以DM=ADtan30°=3×33=3； （2）如图4-2，延长MN 交AB 延长线于点Q ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，∠DMA=∠MAQ, 由折叠的性质，知 ∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,所以∠MAQ=∠AMQ,所以QM=QA,设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在直角三角形ANQ 中，222AQ QN AN =+,所以222(1)3x x +=+，解得x=4，所以NQ=4,AQ=5,设点N 到AB 的距离为h ，所以AQ ×h=3×4，所以h=125，因为三角形ABN 和三角形ANQ 同高，所以三角形ABN 的面积为：11124225AB h ⨯⨯=⨯⨯=245； （3）因为点N 在以A 为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A 作AH ⊥BF ，垂足为H ，当弦心距AH 最大时，BN 是圆的切线，在直角三角形ABN 中，AB 长度不变，AH （AN ）最大，此时BN 取得最小值，且满足点F 和点M 重合，如图4-4，所以BN=2243-=7,因为AN=BC, ∠ABN=∠BNC,∠ANB=∠BCN,所以△ABN ≌△BNC ，所以CF=2243-=7,所以DF=CD-CF=4-7，所以DF 的最大值为4-7.点评：灵活把线段的最大值，先转化为弦心距的最大值，再把弦心距的最大值转化为线段的最小值，最后借助线段的差把最小值再转化为所求线段的最大值，这是平时解题不常见的方法，需要加强训练.5.构造辅助圆，借助同圆的半径相等求解例5 如图5是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.分析：根据对称性，知道覆盖圆的圆心一定在直线l 上，且圆心到点B ，点A 的距离一定相等，这样我们就可以利用半径相等，借助勾股定理建立起等式，求最小的半径.解：设圆心为O ，OD=x ，则OC=70-x ，根据勾股定理，得 22223040(70)x x +=+-，解得x=40,所以圆的半径为50mm.点评：根据对称性，假定圆心，利用勾股定理建立等式求解是解题的关键.。