函数与方程思想简单应用

高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法一、数形结合思想应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：(1)集合的运算及韦恩图;(2)函数及其图象;(3)数列通项及求和公式的`函数特征及函数图象;(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线.以形助数常用的有：借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合.二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏.如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见的分类情形有：按数分类;按字母的取值范围分类;按事件的可能情况分类;按图形的位置特征分类等.分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.三、函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。

运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：(1)深刻理解函数f(x)的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换)，熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.(2)密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.四、转化与化归思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中.转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。

函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。

它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。

本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。

关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。

近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。

其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。

学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。

一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。

在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。

用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。

函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。

目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。

函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。

本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。

1 求代数式的值例1 已知22a b ==+求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。

解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。

当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=；当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得∴ 原式=1⨯11=11。

函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。

数学思想方法在中学教学中的应用数学与统计学院张春月全日制普通高级中学数学教学大纲中规定:“高中数学的基础知识主要是高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。

”义务教育数学新大纲指出:“初中数学的基础知识主要是代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。

”把数学知识中的数学思想和方法纳入基础知识范畴,这充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。

这不仅是加强数学素养培养的一项举措,也是数学基础教育现代化进程的必然要求。

一、中学数学思想方法的主要内容中学数学中的基本数学思想如下。

两大“基石”思想:符号化与变元表示思想(换元思想、方程思想、参数思想) 与集合思想(分类思想、交集思想、补集思想) 。

两大“支柱”思想:对应思想(函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想) 与公理化与结构思想(公理化思想、结构思想、极限思想) 。

两大“主梁”思想:系统与统计思想(整体思想、分解组合思想、运动变化思想、最优化思想;随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量化思想) 与化归与辩证思想(纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想, 对立统一、互变、一分为二思想) 。

中学数学中的基本数学方法如下。

五种科学认识方法:观察与实验,比较与分类,归纳与类比,想象、直觉与顿悟。

四种推理方法:综合法与分析法,完全归纳法与数学归纳法,演绎法,反证法与同一法。

三种求解方法:数学模型法,关系映射反演方法,构造法。

二、提高数学思想方法教学的意识性对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍的问题。

主要表现在:制定教学目的时,对具体知识、技能训练的教学要求比较明确,而忽视数学思想方法的教学要求;教学时,往往注重知识的结论,而削弱知识形成过程中思想方法的训练;知识应用时,又偏重于就题论题,忽视数学思想方法的揭示与提炼;小结复习时,只注意知识的系统整理,忽视思想方法的归纳提高等等,致使数学教学停留在较低的层次上。

十大数学思想方法数学思想是数学研究活动中解决问题的根本方法,是数学的灵魂和生命力。

因此,在教学过程中,要重视数学思想的提炼、渗透。

分析近几年的高考试题,高考中重点考察学生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化或化归思想。

在不等式解题中,若能恰当地运用这些思想方法,可使许多复杂问题化难为易,化繁为简,从而达到优化解题过程,提高思维能力的目的。

一、函数与方程思想函数与方程是高中数学内容之重点,应用广泛,是解决数学问题的有力工具,在高考中占据非常重要的地位。

因此,在教学中要培养学生如何建立函数关系或构造函数,运用函数的图像、性质去分析问题,解决问题。

例1已知某∈(0,+∞),求证: 根据不等式的结构特征,恰当地构造辅助函数,此时,若均值不等式取最值时等号不成立,常常考虑利用函数的单调性来解决。

二、分类讨论思想分类讨论是数学能力培养的一个重要组成部分,在解某些数学问题时,当在整个范围内不易解决时,往往可以将这个大范围划分成若干个小范围来讨论研究。

分类讨论只能确定一个标准,必须坚持不重不漏的原则。

例2.设a为实数,函数f(某)=2某2+(某-a)|某-a|。

(1)求f(某)的最小值; (2)设函数h(某)=f(某),某∈(a,+∞)解不等式h(某)≥1评注:分类讨论的关键是要根据问题实际找到分类的标准,本题函数解析式中含有绝对值,所以首先必须分类讨论去绝对值,其次在解不等式中必须对判别式△进行讨论,当△>0时还需讨论根的大小。

分类时标准的确定须使任何两类交集为空集且并集为全集,这样才能在解题过程中,做到分类合理,并力求最简。

三、数形结合思想数与形是现实世界中客观事物的抽象与具体的反映。

数形结合思想,其实质是将代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机结合起来,通过对图形的处理,实现代数问题几何化,几何问题代数化。

解题时要充分进行数形转换,借助数的逻辑推演与形的直观特性求解,既直观又深刻。

例3.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。

考点透视函数零点的个数问题比较常见，常见的命题形式有两种：（1）求函数零点的个数；（2）已知函数零点的个数，求参数的取值范围.下面结合实例，谈一谈如何巧妙运用数学思想解答函数零点的个数问题.一、利用方程思想函数f (x )的零点即为函数f (x )=0时x 的取值.因此，在解答函数零点的个数问题时，可利用方程思想，令函数f (x )=0，将问题转化为求函数f (x )所对应的方程f (x )=0的解的个数.解该方程，便可确定函数的零点的个数.例1.求函数f (x )=ìíîïïx 2-2,-π<x ≤0,cos(3x +π6),0<x <π.零点的个数.解：当-π<x ≤0时，解方程x 2-2=0，得x =-2；当0<x <π时，解方程cos(3x +π3)=0,得3x +π6=π2+k π，即x =π9+k π3(k ∈Z)，当k =0,1,2时，x =π9，4π9，7π9，满足题意，所以函数f (x )有4个零点.该函数为分段函数，需分-π<x ≤0和0<x <π两种情况讨论f (x )=0的解的个数.运用方程思想求解函数零点的个数问题的思路较为简单，解方程即可求得问题的答案.二、利用数形结合思想函数的图象是解答函数问题的重要工具.由于函数f (x )的零点即为函数f (x )与x 轴交点的横坐标，所以可利用数形结合思想，根据函数的解析式画出函数的图象，通过研究函数的图象与x 轴交点的个数，来求得函数零点的个数.例2.求函数f (x )=ln x +2x -4零点的个数.解：由题意可知函数的定义域是{x |x >0}，令f (x )=ln x +2x -4=0，可得ln x =4-2x ，设g (x )=ln x ,h (x )=4-2x ,分别画出两个函数的图象，如图1所示，由图可知两个函数的图象交于第一象限，而g (x )=ln x 在第一象限单调递增，h (x )=4-2x 在第一象限单调递减，所以两个函数的图象只有1个交点，所以函数f (x )=ln x +2x -4只有1个零点.该函数由两个简单初等函数g (x )、h (x )构成，于是令f (x )=0，将方程变为g (x )=h (x )的形式，构造出两个新函数，然后在同一坐标系中分别画出g (x )和h (x )的图象，利用数形结合思想来解题.通过观察两个函数的图象，即可明确其交点的个数.两个函数的图象有几个交点，方程g (x )=h (x )就有几个解，函数f (x )=0就有几个解，函数f (x )就有几个零点.例3.已知函数f (x )=ax -2ln x (a ∈R)有2个零点，求a 的取值范围.解：令f (x )=0，可得ax -2ln x =0，即a =2ln x x(x >0).设g (x )=2ln x x(x >0),y =a，对g (x )求导可得g ′(x )=2(1-ln x )x 2,则当0<x <e 时，1-ln x >0，g ′(x )>0；当x >e 时，1-ln x <0，g ′(x )<0，所以g (x )在（0,e ）上单调递增，在（e ,+∞）上单调递减，故g (x )在x =e 处取得最大值g (e )=2e.画出函数g (x )=2ln xx的图象，如图2所示，要使直线y =a 与g (x )图象有2个交点，则需使直线y =a 必须在x 轴和直线y =2e 之间，因此，0<a <2e.解答本题的关键在于将f (x )=0进行适当的变形，通过分离参数，构造出两个函数，利用数形结合思想来研究两个函数图象的交点.在画函数的图象时，可利用导数法来判断函数的单调性，求函数的最值，以便确定函数图象的变化情况.总之，解答函数零点的个数问题，可以从方程和图象两个方面入手，利用方程思想和数形结合思想来解答.一般地，若易于求得方程f (x )=0的解，则可利用方程思想，通过解方程来解题；若不易求得方程f (x )=0的解，则需利用数形结合思想，借助函数图象来讨论函数零点的个数.（作者单位：陕西省神木职业技术教育中心）邱香云图2图139Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

方程和函数思想1．方程和函数思想的概念。

方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。

(1)方程思想。

含有未知数的等式叫方程。

判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是等式。

如有些小学老师经常有疑问的判断题：χ=0 和χ=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。

方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。

方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。

方程思想体现了已知与未知的对立统一。

(2)函数思想。

设集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系?，如果对于集合Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ的函数，记作y＝f(χ)。

其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围Ｂ叫做值域。

以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。

这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。

实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。

虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：Ｖ＝πr2h。

半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值；也就是说，体积随着半径和高的变化而变化。

高中数学七大数学基本思想方法（一）第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。

（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。

第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。

第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。

（2）从具体出发，选取适当的分类。

（3）划分只是手段，分类研究才是目的。

（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。

（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。

第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。

（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。

（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。

第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。

（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。

（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。

（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题方向。

第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。

（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。

（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。

综合算式函数与方程的关系综合算式、函数和方程是代数学中的重要概念和工具。

它们之间存在着紧密的联系和相互作用。

本文将探讨综合算式、函数和方程之间的关系，以及它们在数学问题中的应用。

一、综合算式综合算式是由数、符号和运算符组成的数学表达式，可以进行各种数值计算。

它是数学运算的基本形式，常见的综合算式包括加减乘除运算、指数运算和根号运算等。

综合算式通常以字母或符号表示未知数，例如：2x + 3y = 7，其中x和y为未知数。

综合算式可以用来表示实际问题中的数学关系，例如用一组算式表示一个简单的数学模型。

通过解析这些算式，我们可以求解未知数的值，从而得到对应的实际问题的解。

综合算式在数学建模、物理、经济等领域中具有广泛的应用。

二、函数函数是一种特殊的综合算式，它描述了自变量和因变量之间的关系。

函数通常用f(x)或y来表示，其中x为自变量，y为因变量。

函数可以看作是一种映射关系，即对于不同的自变量，可以通过函数得到相应的因变量值。

函数可以通过绘制函数图像来表示其数学关系。

函数图像是平面直角坐标系中的曲线，横坐标表示自变量x，纵坐标表示因变量y。

函数图像可以用来分析函数的性质，例如函数的增减性、奇偶性和周期性等。

函数在数学中具有重要的地位和广泛的应用。

它可以描述各种自然现象和规律，如物体的运动规律、经济模型的变化趋势等。

函数也是微积分的基础，用来描述曲线的斜率和曲线下面积等重要概念。

三、方程方程是一种等式，它表达了两个算式相等的关系。

方程通常由字母和数字组成，其中包含一个或多个未知数。

解方程就是求解方程中的未知数，使得等式成立。

方程可以分为线性方程、二次方程、高次方程等多种形式。

解方程的方法也有很多种，如代入法、加减消元法、配方法和因式分解法等。

通过解方程，我们可以求解实际问题中的未知数，并获得问题的解答。

综合算式、函数和方程之间存在着密切的联系。

函数可以用综合算式来表示，而方程则可以用函数来解。

例如，给定一个综合算式2x +3y = 7，我们可以将其看作一个函数f(x, y) = 2x + 3y，并求解该方程来得到函数的解。

初中数学思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂，也是把数学知识转化为数学能力的桥梁。

初中数学中常用的思想方法有：整体思想、分类讨论思想、函数思想、方程思想、转化思想、类比思想、分类讨论思想等。

1、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在等，找出解决问题的途径。

2、分类讨论思想当一个问题因为某种量或条件的改变，而引起演变结果的改变时，我们就需要对问题从各种不同的角度或分类讨论加以解决。

3、函数思想用运动变化的观点去分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系用函数表示出来。

4、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。

5、转化思想转化思想是将要解决的问题转化成一个或几个已经解决的简单问题。

6、类比思想类比是根据两个具有相同或相似性质的事物之间进行比较，从而找到另外一些具有相同或相似性质的事物。

7、分类讨论思想分类讨论是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。

分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。

总之数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是数学知识的精髓，是把数学知识转化为数学能力的桥梁。

一、引言在现今的初中数学教学中，培养学生的数学思想方法已经成为了一个重要的目标。

《初中数学思想方法导引》这本书，以其独特的视角和深入的剖析，成为了初中数学教师的重要参考书籍。

本书主要介绍了初中数学中的各类思想方法，如方程思想、函数思想、化归思想等，对于提高学生的数学素养，增强他们的解题能力，具有极大的指导意义。

二、数学思想方法的重要性数学思想方法是一种对数学规律和数学本质的深刻认识和理解，是对数学知识进行高度概括和抽象的结果。

在初中数学教学中，培养学生的数学思想方法不仅可以提高学生的数学成绩，更重要的是可以培养他们的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力。

数学中的四大思想
1.函数与方程的思想
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想;函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括;是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础;运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程;得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去.
2．数形结合思想
在中学数学里;我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开;也就是说;代数问题可以几何化;几何问题也可以代数化;“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.
3．分类讨论思想
在数学中;我们常常需要根据研究对象性质的差异.分各种不同情况予以考察;这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ;引起分类讨论的因素较多;归纳起来主要有以下几个方面：1由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；2由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；3由于图形的不确定性引起的讨论；4由于题目含有字母而引起的讨论.
分类讨论的解题步骤一般是：1确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；2合理分类;统一标准;做到既无遗漏又无重复；3逐步讨论;分级进行；4归纳总结作出整个题目的结论.
4.等价转化思想
等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论;或通过适当的代换转化问题的形式;或利用互为逆否命题的等价关系来实现.
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化.。

函数思想在高中数学解题中的应用在高中数学教学中，函数是一个非常重要的概念。

函数的思想贯穿于数学的各个领域，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在解题中也有着广泛的应用。

函数思想在高中数学解题中的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题的效率和准确性。

本文将从函数的定义和特点、函数在高中数学解题中的应用以及相关解题技巧等方面展开探讨，希望能帮助学生更好地理解和应用函数思想。

一、函数的定义和特点在高中数学中，函数是一个非常基础的概念。

函数通常可以用一个数学表达式来表示，它包括自变量和因变量两部分。

自变量是函数中的输入值，而因变量是函数中的输出值。

函数的定义通常是这样的：如果对于每一个属于定义域的自变量x，函数f(x)都有唯一的对应值y，则称函数f是定义在定义域上的。

函数有着许多特点，其中包括单调性、奇偶性、周期性等。

这些特点在解题中都有着非常重要的应用。

通过函数的单调性可以确定函数的增减性，从而帮助我们分析函数的变化趋势；通过函数的奇偶性可以简化函数的运算，减少解题的复杂度；通过函数的周期性可以确定函数的周期，从而帮助我们分析函数的周期性变化规律。

函数思想在高中数学解题中有着广泛的应用，涉及到数学的各个分支，比如代数、几何、概率等。

下面我们就来具体看一下函数在高中数学解题中的应用。

1. 代数方程的解法函数思想在代数方程的解题中有着非常重要的应用。

通过定义函数并建立函数关系，可以将一个复杂的代数方程转化为一个简单的函数关系，从而简化问题的求解过程。

这种方法在解决线性方程组、二次方程、高次方程等代数方程时都有着广泛的应用。

对于一个二次方程ax²+bx+c=0，我们可以定义一个函数f(x)=ax²+bx+c，然后通过函数的性质和特点来确定方程的解的存在性、唯一性和具体的解法。

这种方法不仅可以简化问题的求解过程，而且可以帮助学生更好地理解代数方程的本质和求解方法。

2. 函数图像的分析在高中数学中，函数图像的分析是一个非常重要的内容。

二元一次方程与一次函数结合应用题二元一次方程和一次函数是数学中重要的概念和工具，它们在实际生活中的应用非常广泛。

本文将通过一系列的例子，详细介绍这两个数学概念与实际应用的关系。

首先，让我们来看一个简单的例子。

假设小明去工地搬砖，每小时搬运的砖头数为x个，他一共工作了y个小时。

我们知道，小明每小时搬运的砖头数是固定的，这可以表示为一个一次函数的形式：y = kx + b，其中k表示每小时的搬运数量，b表示小明一开始已经搬运的砖头数。

同时，我们可以将小明的总工作时间表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：x + y = t，其中t表示小明的总工作时间。

在实际应用中，我们会遇到类似这样的问题，需要使用二元一次方程和一次函数来解决。

比如说，小明每天去参加美术培训班，他每小时学习的艺术知识量为x个，他一共学习了y个小时。

我们知道小明学习的艺术知识量是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：y = kx + b，其中k表示每小时学习的艺术知识量，b表示小明一开始已经学习的艺术知识量。

同时，我们可以将小明的总学习时间表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：x + y = t，其中t表示小明的总学习时间。

另一个应用二元一次方程和一次函数的例子是解决物理问题。

假设小明在距离地面10米高的楼顶上抛掷一个物体，小明抛掷物体的初速度为v米/秒，物体下落的时间为t秒。

我们知道物体下落的时间是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：t = kv + b，其中k表示物体下落的时间，b表示小明抛掷物体的初始时间。

同时，我们可以将物体下落的距离表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：y = 10 - 0.5gt^2，其中g表示物体下落的加速度。

在生活中，我们还会遇到一些利用二元一次方程和一次函数解决的实际问题。

比如说，小明每天去超市购买水果，他购买的苹果数量为x个，每个苹果的价格为p元。

他一共花费了y元。

我们知道小明购买水果的总花费是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：y =kx + b，其中k表示每个苹果的价格，b表示小明一开始的花费。

函数与方程的思想方法在解题中的应用何登文数列、解析几何、立体几何、不等式及实际应用问题是高中数学的几个重要内容，在高考试题中占了较大的比例，能否顺利的解答这几类问题，直接影响到学生的高考成绩。

函数与方程思想从某些方面来说，给我们指出了解决这些问题的思路和方法。

将这些问题转化为相应的函数或方程，我们就可以应用函数和方程的性质来解决问题了。

下面，我们通过例题来说明它们的应用。

一、利用函数与方程的思想解答数列问题例1、已知数列的通项公式n a =-2n +6n+2,这个数列的最大项的值是多少？从第几项起以后的项均为负值？分析：数列是以自然数n 为变量的点列函数，因此，我们在处理数列问题是，往往将其转化函数问题，利用相应函数的性质来求解。

解：∵ n a =-2n +6n+2，∴n a 可以看作是关于n 的二次函数，利用二次函数的性质，当n=-62--=3时，n a 有最大值11。

令-2n +6n+2≤0 解得 n ≥7∴从第七项起以后的项均为负值。

此题利用了数列的函数特性求解，使得问题简单化，使用了化未知为已知的思维方法。

例2、已知数列﹛n a ﹜是等差数列，若n s =10，2n s =50，求3n s 。

分析：本题我们可以用“等差数列中，依次取每k 项作和，其和仍成等差数列”的性质来求解，即ns、2ns-ns、3ns-2ns成等差数列，此时公差d=50-20=30,所以3ns=2ns-ns+2ns+d=50-10+50+30=120.这样很直接。

另外，在等差数列中211()22()22n d dn d d n n n n a s a +-==+-是关于n 的一次函数，因此，我们可以利用一次函数的点共线的性质求解。

解：∵﹛n a ﹜是等差数列，∴n n s ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭也是等差数列，是关于n 的一次函数，∴ 23,,2,,3,23n n n n n n n n n s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三点共线，∴35010102323n n n n n n n n n s --=-- 解得3n s =120。

高中数学6种数学思想1.函数与方程思想函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。

所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。

而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2.数形结合思想数与形在一定的条件下可以转化。

如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

解题类型：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

3.分类讨论思想分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。

原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。

常见的类型：类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

类型5：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。