公式法解一元二次方程导学案

1 / 32.3用公式法求解一元二次方程【学习目标】1．知识与技能：（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程；（2）会用求根公式解简单数字 系数的一元二次方程。

2．能力培养：提高运算能力并养成良好的运算习惯。

3．情感与态度：通过用公式法解一元二次方程，体验成功的喜悦，建立学好数学的自信心。

【学习过程】一、旧知复习1．用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ （2）0311232=+-x x2．用配方解一元二次方程的步骤是什么？二、讲授新知问题1：用配方法解一元二次方程一般式)0(02≠=++a c bx ax总结：1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：___________________________问题2． 这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，2 /3 我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

问题3．根的判别式：三、例题精讲例1．用公式法解下列方程：（1）0232=++x x（2）4722=-x x ；（3） 4x -12 = 5x 2（4）2441018x x x ++=-四、课堂巩固练习1．用公式法解下列方程：（1）2x 2+x-1＝0（2）x(x-6)=6 （3）2x 2-7x+3＝03 / 3（4）3x 2-9x+12＝0 （5） 9x 2+6x+1＝0 （6） x 2-23x+3＝0五、拓展与延伸1．解关于x 的方程),0(0)(22222n m mn mn x n m mnx >≠=++-。

北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案【教学目标】1．理解一元二次方程根的判别式；2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．教学重点：一元二次方程根的判别式教学难点：理解一元二次方程根的判别式【教学过程】[知识回顾：]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)． 这个公式成立的条件是：b 2―4ac ≥0．那么，有没有b 2―4ac ＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？[问题探究：]对于方程x 2－2x ＋3＝0，有a ＝1，b ＝－2，c ＝3，得b 2―4ac ＝(－2) 2―4×1×3＝－8＜0,不满足b 2―4ac ≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．事实上，将方程x 2－2x ＝―3，配方，得x 2－2x ＋1＝―3＋1，即(x －1) 2＝－2．∵x 取任何实数时，总有左边＝(x －1) 2≥0,而右边＝－2＜0,∴x 取任何实数时，都不能使(x －1) 2＝－2成立，即方程(x －1) 2＝－2无实数根．也就是方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．[归纳总结，得出结论：]对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1) 当b 2―4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x ＝－b ±b 2－4ac 2a） (2) 当b 2―4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，（x 1＝x 2＝－b 2a） (3) 当b 2―4ac ＜0时，方程无实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2―4ac 来判定．我们把b 2―4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta ）来表示．[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋5＝7x ； (2) 4x (x －1)＋1＝0； (3) (x ＋1)(4x ＋1)＝2x ．[跟踪练习1]1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 5x 2＋x ＝7； (2) 25x 2＋20x ＋4＝0； (3) x 2－2x ＋3=0．[例2]若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．[跟踪练习2]1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞12．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；[本课知识、方法总结：]1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b―b2－4ac2a；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－b2a．(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．[拓展延伸：]1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？(2) 鸡场的面积能达到200m2吗？(3) 鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x m）答案例1（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；[跟踪练习1]1．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；例2 解：根据题意，得⎩⎨⎧△＝4－4×(－2)×(k －1)＞0k －1≠0 解得k ＞12且k ≠1． [跟踪练习2]1．D2．A3．k ＜－1144．k 的取值范围是k ＞－13且k ≠0． 5．k 的取值范围是k ≥32且k ≠2． [拓展延伸：]1．解：设平行于墙的一边长为x 米，则垂直于墙的一边长为40－x 2米，鸡场的面积为x ·40－x 2平方米． （1）当x ·40－x 2＝180时，解得 x 1＝20－210，x 2＝20＋210（不合题意，舍去）．∴鸡场的面积能达到180m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－210）米，垂直于墙的一边长为（10＋2010）米．（2）当x ·40－x 2＝200时，解得 x 1＝x 2＝20．∴鸡场的面积能达到200m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．（3）当x ·40－x 2＝250时，整理，得 x 2－40x ＋500＝0．∵△＝1600－4×1×500＜0，∴该方程没有实数根．∴鸡场的面积不能达到250m 2．。

用公式法解一元二次方程教案教案标题：用公式法解一元二次方程教案目标：1. 学生能够理解一元二次方程的定义和性质。

2. 学生能够运用公式法解一元二次方程。

3. 学生能够应用所学知识解决实际问题。

教学时长：2个课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）：- 引入一元二次方程的概念，让学生回顾一元一次方程的解法。

- 提问：一元二次方程与一元一次方程有什么区别？2. 理论讲解（15分钟）：- 介绍一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。

- 解释方程中各项的含义，并强调a ≠ 0。

- 解释一元二次方程的解的概念。

3. 公式法解一元二次方程（25分钟）：- 推导一元二次方程的解公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

- 通过示例演示如何运用公式解一元二次方程。

- 强调解方程时需注意判别式（b^2 - 4ac）的正负。

4. 练习（10分钟）：- 分发练习题，让学生独立解决一元二次方程。

- 鼓励学生提问并解答他们的问题。

第二课时：1. 复习（5分钟）：- 回顾上节课所学的内容，让学生回答一些相关问题。

2. 实际问题应用（20分钟）：- 提供一些实际问题，例如：求解抛物线的焦点、求解物体自由落体的时间等。

- 引导学生将实际问题转化为一元二次方程，并运用公式法解决。

3. 拓展（10分钟）：- 提出一些拓展问题，例如：如何解决a = 0的情况、如何解决无理数解的情况等。

- 鼓励学生思考并给予适当的提示。

4. 总结（10分钟）：- 归纳一元二次方程的解法，重点强调公式法的应用。

- 总结学生在本节课学到的知识和技能。

教学资源：1. 教材：包含一元二次方程的教材章节。

2. 练习题：包含一元二次方程的练习题，涵盖不同难度和应用场景。

评估方法：1. 课堂练习：通过学生在课堂上解决练习题的表现来评估他们对公式法解一元二次方程的掌握程度。

2. 实际问题应用：通过学生在解决实际问题时的表现来评估他们将所学知识应用于实际情境的能力。

公式法解一元二次方程一、学情分析：本节是在学生已经掌握了配方法解一元二次方程的基础上，从问题入手，推导求根公式，并能用公式法解简单系数的一元二次方程。

二、教学目标（1）知识目标1.理解求根公式的推导过程和判别公式；2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.（2）能力目标1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。

(3)情感态度让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．三、教学的重、难点及教学设计（1）教学的重点1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤.2.熟练地用求根公式解一元二次方程。

（2）教学的难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。

四.教学方法在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形式展开，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位。

通过比较合理的问题设计、小组讨论形式让学生更好的掌握知识。

五、教具准备彩色粉笔、幻灯片等。

六、教学过程1.复习导入新课在上课之前给出一个一元二次方程2x2-9x+8=0要求用配方法求解，并写出配方法的一般步骤。

（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-9x+8=0二次项系数化为1得x 2-92x+4=0；移项x 2-92x=-4； 配方变形 开方求解定解（1）所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的（2）总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备1. 呈现问题，层层递进，探索新知你能用配方法解般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0)吗?化简、移项、配方、变形由我和学生一起探究完成，到这步时，提出问题:①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？②等号右边的值有可能为负吗？说明什么？让小组交流、讨论达成共识。

2.2 一元二次方程的解法（3）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程。

〖学习重点与难点〗重点：用公式法解一元二次方程。

难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节学习的难点。

一、温故知新（把握时间，看看你的复习情况）1．用配方法解下列一元二次方程：（1） x x 10152=+ （2） 0311232=+-x x2．你能用配方法一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax吗？请写出你的步骤。

3．填一填：⑴03522=+-x x ⑵x x 4142-=+解：=a _____，=b ______，=c _______。

解：=a _____，=b _____，=c _____。

=-ac b 42_______ =-ac b 42_______ ∴=-±-=a ac b b x 242____________ ∴=-±-=aac b b x 242__________ ∴=1x ___________，=2x ___________ ∴=1x =2x ___________二、例题精讲（先思考，然后和老师一起完成）例4 用公式法解下列一元二次方程：⑴03522=+-x x ⑵x x 4142-=+⑶0212432=--x x ⑷0222=++x x例5 解方程： 2)2()121(-=-x x x三、巩固练习1．用公式法解下列方程：⑴0432=-+x x ⑵0432=-x ⑶141212=-x x ⑷0222=+-x x总结1：观察以上你所解的方程，方程根的情况与ac b 42-的值的关系如何？答：当042>-ac b 时，方程有_____________________________；当042=-ac b 时，方程有_____________________________；当042<-ac b 时，方程_____________________________。

一元二次方程公式法求根公式导学案
一、新课导入
1.导入课题：
请说说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式及运用公式法解一元二次方程的条件.
2.学习目标
能用公式法解一元二次方程.
3.学习重、难点：
重点：应用求根公式解一元二次方程.
难点：计算时的符号处理.
4.自学指导
（1）自学内容：P11页例2.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：注意解题步骤和格式.
（4）自学参考提纲：
①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因.
x2-4x-7=0；
2x2-2
x+1=0；
5x2-3x=x+1；
x2+17=8x.
②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？
解答本章引言中的问题.
二、自学：学生可参考自学指导进行自学.
三、助学：
（1）师助生：
①明了学情：看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.
②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件.
（2）生助生：同桌之间互相找错，分析错因.
4.强化：
（1）用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.
（2）解下列方程
①
;
;
;
;
⑤x2-
x-
=0; ⑥x2+4x+8=4x+11.
三、评价
1.学生学习的自我评价：总结运用公式法解一元二次方程的一般步骤.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.。

3 用公式法求解一元二次方程第1课时1.会用配方法解一般的字母系数的一元二次方程,掌握ax2+bx+c=0(a≠0)形式的方程的解法.2.知道一元二次方程的求根公式,会用公式法解一元二次方程.3.重点:一元二次方程的求根公式.知识点一阅读教材本课时“例题”前面的内容,完成下列问题.用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0).两边都除以一次项系数a,得x2+x+=0.1.为什么可以两边都除以一次项系数a?a≠0.配方:加上再减去一次项系数一半的平方,x2+x+()2-+=0,即 (x+)2-=0,(x+)2=.2.现在可以两边开平方吗?不可以,因为不能保证≥0.3.什么情况下≥0?并完成后面的解答过程.∵a≠0,∴ 4a2>0,要使≥0,只要使b2-4ac≥0即可.4.用配方法解ax2+bx+c=0(a≠0),两边直接开平方可得x= ,这个式子称为一元二次方程的求根公式.【归纳总结】一般地,对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是知识点二阅读教材本课时“例题”及其后面的内容,完成下列问题.1.在例题第(2)小题中,方程变形为一般形式是为确定a、b、c的值.2.公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)化简:把方程化为一般形式,从而确定a、b、c的值;(2)定根:求出b2-4ac的值,并与0比较大小,判断方程是否有根;(3)代值:在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入求根公式x=,计算后得到方程的根.3.若b2-4ac <0,则求根公式无意义,即一元二次方程无实数根.【归纳总结】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.互动探究一:若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是(A )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断互动探究二:方程x(x+3)=14的解是(B)A.x=B.x=C.x=D.x=互动探究三:已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是(D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不是1的实数互动探究四:关于x的一元二次方程ax2-3x-2=0有实数根,求a的取值范围.解:当a≠0时,Δ=9+8a≥0,有实数根,解得a≥-,又∵ax2-3x-2=0是一元二次方程,∴a≠0.即a≥-且a≠0.第2课时1.通过一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合实际意义,增强用数学的意识,巩固用配方法解一元二次方程.2.判断一元二次方程的根符合代数意义的同时是否符合实际意义.3.重点:一元二次方程的根是否符合实际意义.知识点阅读教材本课时“习题2.6”之前的内容,完成下列问题.1.如图所示的是小明设计的方案,其中花园四周小路的宽度都相等.(1)设花园四周小路的宽度均为x m,可列怎样的一元二次方程?(16-2x)(12-2x)=×16×12.(2)一元二次方程的解是什么?x1=2,x2=12.(3)(16-2x)和(12-2x)分别表示矩形花园的长和宽,则x的取值范围是什么?解得x<6,又x>0,所以x的取值范围是0<x<6.(4)这两个解虽然都符合代数意义,但x= 12不符合实际意义.2.小亮的设计方案如图所示,其中花园每个角上的扇形都相同.(1)设花园四周小路的宽度均为x m,可列怎样的一元二次方程?πx2=×16×12.(2)一元二次方程的解是什么?x1=,x2=-.(3)符合x>0的实际意义的解是多少?x1=.3.小颖设计的方案如下:在矩形的四个角上建造花园,中间用互相垂直且宽度相同的两条通路隔开.请你帮她求出通路的宽.解:设通路的宽为x m.根据题意列方程:(16-x)(12-x)=×16×12,解得x1=4,x2=24.当x= 24时,24-x<0,所以不符合题意,舍去.【归纳总结】对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),若Δ>0,则方程的两根x1、x2都符合代数意义,但在实际的一元二次方程应用中,符合代数意义的根不一定符合实际意义.互动探究一:如图①,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为 1 米.图①图②互动探究二:在一幅长80 cm,宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条宽度均匀的金色纸边,制成一幅长方形挂图(如图②),若整幅挂图的面积为5400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是(80+2x)(50+2x)=5400.互动探究三:如图,利用一面长25 m的墙,用50 m长的篱笆,围成一个长方形的养鸡场.怎样才能围成一个面积为300 m2的长方形养鸡场?解:(1)设养鸡场的宽为x m,则长为(50-2x)m.由题意列方程,得x(50-2x)=300,解得x1=10,x2=15.当x1=10时,50-2x=30>25不合题意,舍去;当x2=15时,50-2x=20<25符合题意.答:当宽为15 m,长为20 m时可围成面积为300 m2的长方形养鸡场.互动探究四:小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2,他的说法对吗?请说明理由.解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm ,则另一个正方形的边长为(10-x ) cm.由题意得x2+( 10-x )2=58 .解得x1=3,x2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把绳子剪成 12 cm和28 cm的两段.( 2 )假设能围成.由(1)得,x2+( 10-x )2=48 .化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0 ,所以此方程没有实数根,所以小峰的说法是对的.2 用配方法求解一元二次方程1.会用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.会用配方法解一元二次方程,知道配方法的解题步骤.3.重点:会用配方法解一元二次方程.【旧知回顾】若一个数的平方等于4,则这个数是±2 ,若一个数的平方等于7,则这个数阅读教材本课时“议一议”,完成下列问题.1.根据平方根的定义填空:如果方程能够化成x2=n(n≥0)或(x+m)2=n(n≥0)的形式,那么x=±或x+m= ±.2.你会解下列一元二次方程吗?试一试.(1)x2=5;(2)2x2+3=5;(3)x2+2x+1=5;(4)(x+6)2+72=102.(1)x1=,x2=-;(2)x1=1,x2=-1;(3)x1=-1,x2=--1;(4)x1=-6,x2=--6.【归纳总结】在解上面方程的过程中,都可以将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是阅读教材本课时第一个“做一做”与“例1”,完成下列问题.1.填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2+12x+ 36=(x+6)2;(2)x2-2x+ 1=(x- 1)2;(3)x2+8x+ 16=(x+ 4)2.2.上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?常数项等于一次项系数的一半的平方.3.用配方法解一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式;(2)将常数项移到等号的右阅读教材本课时“例2”,完成下列问题.1.在“例2”中,第一步的作用是什么?把二次项的系数化为1.2.如果第二步移项,第三步配方,能得到方程(x+)2=吗?试一试.可以.第一步:两边都除以3,得x2+x-1=0,第二步:移项,得x2+x=1,第三步:配方,得x2+x+()2=1+()2,(x+)2=.3.完成教材本课时第二个“做一做”.当h=10时,10=15t-5t2,解这个方程,得t1=1,t2=2.因此在1秒或2秒时,小球才能达到10 m高.【归纳总结】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式,化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;(2)配方;(3)移项,使方程变形为(x+m)2=n的形式;(4)利用直接开平方解方程即可.互动探究一:关于x的方程x2=m的解为(D)A.B.-C.±D.当m≥0时,x=±,当m<0时,方程没有实数根互动探究二:运用直接开平方法解方程:(2x-3)2=(x+2)2.解:2x-3=x+2或2x-3=-(x+2)∴x1=5,x2=.【方法归纳交流】原方程可看作(x+m)2=n的形式,运用直接开平方就可将原方程转化为两个一元一次方程,即可求解.互动探究三:用配方法证明x2-4x+5的值不小于1.证明:x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1,∵无论x取何值,(x-2)2≥0,∴(x-2)2+1≥1,即x2-4x+5的值不小于1.互动探究四:如图,在一块长92 m,宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽?解:设水渠的宽度为x m.(92-2x)(60-x)=885×6.解得x1=105(不合题意,舍去),x2=1,∴x=1.答:水渠的宽度为1 m.*互动探究五:如果多项式P=2a2-8ab+17b2-16a+4b+1999,那么P可以等于800吗?解:P=2a2-8ab+17b2-16a+4b+1999=(a2-16a+64)+(b2+4b+4)+(a2-8ab+16b2)+1931=(a-8)2+(b+2)2+(a-4b)2+1931.∵(a-8)2和(b+2)2和(a-4b)2均为非负数,∴P不能等于800.【方法归纳交流】最值问题在下册将会细讲,此处带星号稍作了解.求代数式的最值问题,需要先配方,然后再利用平方数的非负性去判断最值的情况.见《导学测评》P12。

徐闻县和安中学◆九年级数学导学案◆◆我们的约定：我的课堂我作主！执笔：林朝清7.3用公式法解一元二次方程导学案（二）1.不解一元二次方程，判断一元二次方程根的情况。

2.通过一元二次方程根的情况，求字母系数的值.3.通对一元二次方程根情况的探究，培养学生从一般到特殊数学思想.1．用公式法解一元二次方程（1）．2x2－x－1=0（2）．x2－6x+9=0(3)．3x2－x+1=02.通过上面三个方程的求解，你们观察到b2－4ac的值有何不同？它的根又有什么特点？二、新课导学※学习探究1.在一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac①．若△＞0，则____________________。

②．若△=0，则_____________________。

③．若△＞0，则____________________。

2.在一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac()22004ax bx c a b ac++=≠-在一元二次方程中，△＝①．若方程有两个不相等的实数根，则_______________________________。

②．若方程有两个不相等的实数根，则_______________________________。

③．若方程有两个不相等的实数根，则_______________________________。

3.定理与逆定理的用途不同①．定理的用途是：不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。

②．逆定理的用途是：用逆定理确定△值的符号，进而求出系数中某些字母的取值范围。

③．注意运用定理和逆定理时，方程必须为______________ （a ）。

※例题剖析例1：不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2x2－x－1 =0 （2）2x2＋1= 7x （3）3x2－43x =－4 （4）x2－x+41=0例2：求证关于x的方程（m2+1）x2-2x＋（m2+4）= 0没有实数根例3：已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0．k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?。

一、预习引领1．用配方法解下列方程（1）6x 2-7x +1=0 （2）4x 2-3x =52请总结用配方法解一元二次方程的步骤： 2.如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+b x+c =0（a ≠0），请用上面配方法的步骤求出它的两根．小结:一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：()042422≥--±-=ac b aac b b x二、课堂练习：用公式法解下列方程：（1）0542=--x x （2）01322=-+x x （3）07232=-+x x(4）01842=+--x x （5）0222=-+n mx x （6）01722=++x x三、一元二次方程的根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是： 性质：（1）当b 2－4ac ＞0时， ；（2）当b 2－4ac ＝0时， ； （3）当b 2－4ac ＜0时，练习：1.不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。

2．若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

四、达标检测：用适当的方法解下列方程： (1) 01522=+-x x(2) 1842-=--x x(3) 02322=--x x(4)()()()0112=-++-y y y y（5）1252+=y y（6）()()213=-+y y （7）03)13(2)13(2=----x x（8）020122=+-x x（9）02452=--x x（10）0101732=++x x（11）035442=--x x（12）05)4(3)4(22=----x x五、拓展提高已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？。

《用公式法解一元二次方程》导学案（1）实验中学 郐丽芳一．学习目标：1．会运用求根公式解一元二次方程。

2．能说出b 2-4ac 的值对一元二次方程根的意义． 二．知识链接：你能用配方法解关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）吗？ 三．学习内容：ax 2+bx+c=0（a ≠0）；二次项系数化为1得( ) 移项( )• 配方( )即（ ）2=( )． 因为a ≠0，所以4a 2( ),当b 2-4ac( )时， 直接开平方得x+2ba=( )， 所以x=( )．上面这个式子称为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式，即（ ）（b 2-4ac ≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，•直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．当b 2-4ac<0时，此方程（ ）． 例1：解下列方程： （1） x 2―7x ―18=0（2）2x2+5x=―2解：（1）这里a= ____,b=___,c=____,b2―4ac=(_________________________),x=( )x1=( ),x2=( )(2)参照上面过程自己解答。

四．学法指导：运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）•把方程化为一般形式，•确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解．五．试试你的身手，你最行！解下列方程：①2x2+x-6=0；②x2+4x=2；③5x2-4x-12=0；④4x2+4x+10=1-8x．六．比比看，哪个小组做得既对又快！①用公式法解下列方程⑴6x 2-13x-5=0； ⑵x （x+8）=16； ⑶2-4x ⑷-12x 2-3x+6=0； ⑸x 2=2（x+1）； ⑹3x 2=54； （7）(1)(2)5x x -+=七．学习小结：小组为单位交流一下你本节课有哪些收获？ 八．做一做，你一定能过关。

山东教育出版社小学信息技术第一册第五课用几何图形组成作品教学设计青州市宋池学校张海苓山东教育出版社小学信息技术第一册第五课用几何图形组成作品教学设计青州市宋池学校张海苓知识目标：1、掌握直线、曲线、矩形、多边形、椭圆、圆角矩形等工具的使用方法。

2、可以运用直线、曲线、矩形、多边形、椭圆、圆角矩形等工具画出来的几何图形组成作品。

情感目标：1、培养学生的创新意识、创新能力和实践能力。

2、培养学生自主、合作学习，乐于帮与他人的的好习惯。

学习过程：1、故事导入故事情景：《新三只小猪盖房子》三只小猪长大了，猪妈妈说：“你们自己独立过日子吧。

”老大、老二、老三每人都想盖一间自己的房子。

“怎样设计我们的房子呢？”小猪们遇到了问题.“同学们,请你们当小小计师，帮助我们设计房子好吗?”[课件演示]（故事导入，创设问题情景，激发学生探究欲望，使学生以最佳的学习状态投入到课程中去获取知识，引导学生分析图形及画图工具的使用，尝试使用画图软件画出图形。

）2、新课学习（1）自主学习：让学生把自己会画的图形画出来（其间学生可以通过同桌讨论、小组讨论、发送消息、个别电子举手提问进行协作式学习，教师通过网络教室监看、个别辅导功能对学生进行辅导）。

（2）对普遍存在的问题，教师做准确的讲解。

（3）对绘制多边形工具的使用，用简短准确的语言点明，让学生学的明白准确。

3、反馈收集学生作品，根据作品存在的不足进行辅导，对色彩美观、有创新的优秀作品进行展示。

4、临摹及创新。

师：给房子图上美丽的颜色，在周围画上优美的环境衬托，小猪们一定更加喜欢。

老师这里有几幅作品供大家参考，看能不能给你们一些启示。

[课件演示]5、修改作品，自由创作学生可以通过同桌讨论、个别提问进行协作式学习，教师通过网络教室监看、个别辅导功能对学生进行辅导6、作品展示选取学生作品进行自己评、同学评。

指导学生填写小小设计师证书，并给自己打上相应的星级。

课堂小结同学们的想象真丰富，运用画图工具帮助小猪设计了各式各样的房子。

公式法解一元二次方程导学案主备人： 组长： 包科领导：学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程学习重点：求根公式的推导，公式的正确使用学习难点：求根公式的推导预 习 案1、用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=522、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解： 移项，得： ，二次项系数化为1，得配方，得： 即∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：（1） b 2-4ac ＞0，则2244b ac a -＞0直接开平方，得： 即x=2b a-± ∴x 1= ，x 2=（2） b 2-4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。

（3） b 2-4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。

探 究 案一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。

（2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。

当b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有 的实数根；当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根；当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。

《一元二次方程的解法》导学案一、学习目标1、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式。

2、熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。

3、能根据方程的特点，灵活选择合适的解法，提高解题能力。

二、学习重难点1、重点（1）一元二次方程的四种解法。

（2）选择合适的方法解一元二次方程。

2、难点（1）配方法的理解和运用。

（2）公式法中求根公式的推导和应用。

三、知识回顾1、什么是方程？含有未知数的等式叫做方程。

2、我们学过哪些方程？一元一次方程、二元一次方程等。

四、一元二次方程的概念1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

2、一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$），其中$ax^2$是二次项，＄a$是二次项系数；＄bx$是一次项，＄b$是一次项系数；＄c$是常数项。

五、一元二次方程的解法1、直接开平方法（1）适用条件：方程形如$x^2 ＝ p$（＄p≥0$）或$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n≥0$）。

（2）解法：对于$x^2 ＝ p$，直接开平方得$x ＝ ±＼sqrt{p}＄；对于$（x ＋ m)＾2 ＝ n$，开平方得$x ＋ m ＝ ±＼sqrt{n}＄，即$x ＝ m ±＼sqrt{n}＄。

例如：解方程$x^2 ＝ 9$，解得$x ＝ ±3$；解方程$（x 2)＾2 ＝16$，＄x 2 ＝ ±4$，＄x ＝ 2 ± 4$，即$x_1 ＝ 6$，＄x_2 ＝－2$。

2、配方法（1）步骤：①移项：把常数项移到方程右边；②二次项系数化为 1：方程两边同时除以二次项系数；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成完全平方式：＄（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式；⑤直接开平方求解。

例如：解方程$x^2 ＋ 4x 5 ＝ 0$移项得：＄x^2 ＋ 4x ＝ 5$二次项系数化为 1 得：＄x^2 ＋ 4x ＋ 4 ＝ 5 ＋ 4$配方得：＄（x ＋ 2)＾2 ＝ 9$开平方得：＄x ＋ 2 ＝ ±3$解得：＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝－5$3、公式法（1）求根公式：对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a≠0$），其求根公式为$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。

利用公式法求解一元二次方程的教案。

公式法是解一元二次方程的一种方法，它的基本思想是根据已知的参数，套用一定的公式求解。

下面就是一份利用公式法求解一元二次方程的教案，帮助初学者更好地理解和掌握这一方法。

一、教学目标：通过本课的学习，学生应该能够：1、了解一元二次方程的概念和基本形式。

2、掌握利用公式法求解一元二次方程的步骤和方法。

3、能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学重点：掌握利用公式法求解一元二次方程的步骤和方法。

三、教学难点：如何将实际问题转化为一元二次方程，并根据公式求解。

四、教学过程1、引入老师出一道例题，让学生思考如何解决下列问题：小明买了一些苹果，花费了10元。

如果苹果的单价是1元，小明应该买多少个苹果？2、概念讲解引导学生理解一元二次方程的概念和基本形式，即a×x^2 + b×x + c = 0。

3、公式推导利用代数学知识，推导一元二次方程求根公式，即x1 = (-b + √(b^2-4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2-4ac)) / 2a4、公式应用结合具体的例题，引导学生利用公式法解决一元二次方程问题。

例1：求解 x^2 + 3x + 2 = 0。

解：a = 1, b = 3, c = 2，带入求根公式，得到x1 = (-3 + √(3^2 - 4×1×2)) / 2×1 = -1x2 = (-3 - √(3^2 - 4×1×2)) / 2×1 = -2因此，方程的解为 x1 = -1, x2 = -2。

例2：小明买了一些苹果，花费了10元。

如果苹果的单价是1元，小明应该买多少个苹果？解：设小明买了 x 个苹果，根据题意可得出一元二次方程：x^2 + x - 10 = 0根据求根公式，得到x1 = (-1 + √(1^2+4×1×10)) / (2×1) = 2x2 = (-1 - √(1^2+4×1×10)) / (2×1) = -5因此，小明应该买2个苹果。

公式法解一元二次方程学案学习目标：1.经历求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.重点：运用公式法解一元二次方程.难点：一元二次方程求根公式的推导.一、知识链接如何用配方法解方程2x 2+4x -1=0?二、要点探究探究点1：求根公式的推导合作探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？ 问题1 用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).解：移项，得ax 2+bx =－c ，二次项系数化为1，得x 2+ x =c a配方，得x 2+ x +( )2=( )2c a即(x +2b a)2=2244b ac a ①问题2 对于方程①接下来能直接开平方解吗？要点归纳：∵a ≠0，∴4a 2>0.要注意式子b 2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式 22= b 2－4ac .0 0按要求完成下列表格33x 的值例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)3x2+4x－3=0；(2) 4x2=12x－9；(3) 7y=5(y2+1).方法总结：现将方程变形为一般形式ax2+bx+c=0，再根据根的判别式求解即可.例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )A.q≤4B.q≥4C.q<16D.q>16【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A.k>－1B.k>－1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是( )A.k≥－1B.k≥－1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0探究点3：用公式法解方程由上可知，当≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为242b b acxa的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.p11例2)用公式法解下列方程：(1)x2－4x－7=0；(2) 2x2－+1=0；(2)5x2－3x=x+1；(4) x2+17=8x.要点归纳：公式法解方程的步骤：1.变形：化已知方程为一般形式；2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2－4ac的值；4.判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.课堂检测1.不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 2x2+3x－4=0；(2) x2－x+14=0；(3) x2－x+1=0.2.解方程：x2 +7x–18 = 0.3.解方程：(x－2) (1－3x) = 6.4.解方程：2x2－ + 3 = 0.5.（1）关于x的一元二次方程220x x m有两个实根，则m的取值范围是；（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.6.不解方程，判别关于x的方程22220x kx k的根的情况.能力提升：在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.参考答案自主学习一、知识链接解：方程整理得212.2x x 配方，得23+12x .直接开平方，得6+1x ，∴126611x x ，.课堂探究二、要点探究 探究点1：求根公式的推导问题1 b a b a 2b a 2b a问题2 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根练一练 从上往下，从左到右依次为0，13，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实数解析：原方程变形为x 2+x －1=0.∵b 2－4ac =1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.例2 解：（1）3x 2+4x －3=0，a =3，b =4，c =－3，∴b 2－4ac =42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x 2－12x +9=0，∴b 2－4ac =(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．（3）方程化为：5y 2－7y +5=0，∴b 2－4ac =(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．例3 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即82－4q >0.解得q ＜16，故选C.【变式题】B 解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即(－2)2+4k >0.又二次项系数不为0，可得k >－1且k ≠0，故选B.【变式题】A 思路分析：分k =0或k ≠0两种情况进行分类讨论.探究点3：用公式法解方程例4 解：(1)a =1，b =－4，c =－7，b 2－4ac =(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)44211.221b b acx a 即12211211x x ，.(2)a =2，b =22，c =1，b 2－4ac =(22)2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即212422022222b b ac x x a . (3)方程化为5x 2－4x －1=0，a =5，b =－4，c =－1，b 2－4ac =(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)3646.22510b b acx a 即12115x x ，. (4)方程化为x 2－8x +17=0，a =1，b =－8，c =17，b 2－4ac =(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根.当堂检测1.解：(1)a =2，b =3，c =－4，b 2－4ac =32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.(2)a =1，b =－1，c =14，b 2－4ac =(－1)2－4×1×14=0.方程有两个相等的实数根.(3)a=1，b=－1，c=1，b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.2.解：这里a=1，b=7，c=－18，b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.∴247121711.2212b b acxa1292x x，.3.解：去括号，得x－2－3x2 + 6x = 6，化为一般式为3x2－7x + 8 = 0，这里a=3，b=－7，c=8，b2－4ac= (－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根.4.这里a=2，b=33，c=3，b2－4ac=(33)2－4×2×3=3＞0.∴24333.24b b acxa1233x x，.5.(1)m≤1(2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m－1≠0，解得23m且m≠1.6.解：222222241844k k k k k，∵20k，∴240k，∴0.∴方程有两个实数根. 能力提升解：关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=(b－2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.所以b=－10或b=2.将b=－10代入原方程得x2－8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=－2（舍去）；所以△ABC的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.。