高考最新-2018高考数学参数方程题 精品

极坐标与参数方程高考真题1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6、（2018天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________．11、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）。

参数方程与极坐标1．设点P 在曲线2sin =θρ上,点Q 在曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上,求|PQ |的最小值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：首先把两曲线化为直角坐标方程：222,(1)1y x y =-+=，数形结合知过x=1的直线与圆相交的较近的两点间的距离就是PQ的最小值．考点：直线与圆的位置关系．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()4x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数.曲线C 的参数方程为2()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，则直线l 和曲线C 的公共点有（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无数个【答案】B 【解析】试题分析：()4x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数即y=x+4，2()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数 即22(2)(2)8x y -+-=，=l 和曲线C 的公共点有1个，选B 。

考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系。

点评：小综合题，将参数方程化为普通方程，实现了“化生为熟”，研究直线与圆的位置关系，两种思路，一是“代数法”，二是“几何法”。

3．坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（ ） A ．)2,1(πB ．)2,1(π- C ．)0,1( D ．(1,)π【答案】B 【解析】试题分析：圆θρsin 2-=即为圆22s i n ρρθ=-化成直角坐标方程为2220x y y ++=，所以圆心的直角坐标为()0,1-，极坐标是)2,1(π-.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化.4．将点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛310π，化成直角坐标是（ ）(A)(5， (B)()5 (C)()5，5 (D)()5-，-5 【答案】A【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛310π，，知10,3πρθ== 极坐标与直角坐标的关系为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以⎪⎭⎫⎝⎛310π，的直角坐标为10cos 5,10sin 33x y ππ====即(5， 故正确答案为A5．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（Ⅰ）ρ=2cosθ，（Ⅱ）2【解析】试题分析：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y 2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程． （II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q ．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．视频6．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【答案】2a = 【解析】试题分析： 由将cos ,sin x y ρθρθ==极坐标方程2cos sin ρθθ=及πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程2x y =，2x y +=，联立方程组解得交点坐标()1,1A ，()2,4B -，根据两点间距离公式求线段AB 的长．试题解析：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；…………………………………4分πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭同样可化为2x y +=，…………………………8分联立方程组，解得()1,1A ，()2,4B -， 所以AB ==所以3222a a -=（0a >），解得2a =（负值已舍）．………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程7．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．（1）写出直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值.【答案】曲线C:02222=+-+y x y x （2）62． 【解析】 试题分析：先将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线l 的参数方程化为普通方程， 根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题.试题解析：（1曲线C:02222=+-+y x y x 4分 （2）因为圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2-=，所以θρθρρs i n 2c o s 22-=，所以圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，圆心为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22,半径为1, 6分因为直线l的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以直线l上的点P+⎝向圆C引切线长是所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是62． 10分考点：参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.8．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线2:sin2cosC aρθθ=(0)a>，过点()2,4P--的直线l的参数方程为（t为参数）。

参数方程与极坐标1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,(1x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数，t R ∈），圆C 的参数方程为cos 1,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，[)0,2θπ∈），则圆心C 到直线l 的距离为（ ）A ．0B ．2C ．2【答案】C【解析】试题分析：直线l 的普通方程为10x y -+=，圆的直角坐标方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，所以圆心C 到直线l 的距离为d == C. 考点：直线的参数方程与圆的极坐标方程. 2．⊙O 1极坐标方程为θρcos 4=，⊙O 2参数方程为θθθ(sin 22cos 2⎩⎨⎧+-==y x 为参数)，则⊙O 1与⊙O 2公共弦的长度为( )A ．2B ．12+C ．22D ．1 【答案】C【解析】因为⊙O 1的普通方程为2240x y x +-=,⊙O 2的普通方程为22(2)4x y ++=,所以两圆作差可得0x y +=,所以圆O 1到直线x+y=0所以公共弦的长度为l ==3．已知点(1,0),M -直线:1l y x =+与曲线2c o s :(sin x C y ααα=⎧⎨=⎩为参数）两点相交于21,P P ，2121)2(;)1(P P MP MP 求求【答案】（1）1.2（2【解析】试题分析：解（1）曲线C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x 的一般方程为：1422=+y x 直线l ：1+=x y 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22221把直线方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22221代入曲线C ：1422=+y x ，得：062252=--t t 设21,t t 是方程的两根,则21MP MP =5621=t t 6分 21)2(P P =528564)522(4)(22122121=⨯+=-+=-t t t t t t . 12分 考点：直线与圆的位置关系点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

【母题原题1】【2018新课标1，文22】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.【母题原题2】【2017新课标1，文22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【母题原题3】【2016新课标1，文23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题．2．理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题. 【基础知识与解题技巧】 1．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数．（2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x =f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y =g （t ），那么x f t y g t =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性． （2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．几种常见曲线的参数方程 （1）圆以O ′（a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在（0，0）时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．（2）椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．（3）直线经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．1．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程;(2)若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.整理得.因为直线与曲线有两个不同的交点，所以,化简得.又,所以，且. 设方程的两根为,则，，所以,所以 .由，得，所以,从而，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线的极坐标方程是.直线的参数方程为（为参数，）.设，直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.由，得化简得（其中），∴∴。

《2018年高考数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,232⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题1.21+2.21 二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2221k =+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． (02，αl O ⊙A B ，αAB P当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，221k =+，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 2απ≠tan k α=l 2y kx =-l O 22||11k <+1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 222sin 10t t α-+=22sin A B t t α+=2sin P t α=P (,)x y cos ,2sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩P 2sin 2,22cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB==因此，直线l被曲线C截得的弦长为23。

2018年全国高考理科数学分类汇编——参数方程极坐标1.（江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．2.（全国1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．3. （全国2卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．4.（全国3卷）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．5.（天津）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．。

参数方程与极坐标1．曲线的参数方程为()2232{051x t t y t =+≤≤=-，则曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线 【答案】A【解析】由21t y =+代入232x t =+消去参数t 得()312350x y x y =++--=即 又05277,124t x y ≤≤∴≤≤-≤≤所以表示线段。

故选A2．直线34x t y t =-⎧⎨=+⎩，（t 为参数)上与点(3,4)P）A ．)3,4(B ．)5,4(-或)1,0(C ．)5,2(D ．)3,4(或)5,2( 【答案】D【解析】试题分析： 设直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩ ，（t 为参数)上与点(3,4)P是(3,4)t t -+，则有=即211t t =⇒=±，所以所求点的坐标为)3,4(或)5,2(．故选D ．考点：两点间的距离公式及直线的参数方程． 3．若直线的参数方程为()12{23x tt y t=+=-为参数，则直线的斜率为（ ）． A.23 B. 23- C. 32 D. 32- 【答案】D【解析】将直线消去参数化为普通方程为3270x y +-=，因此斜率为32-，故选D. 4．在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''23.A y y x x ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 23.B ''⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 213.C '' ⎪⎩⎪⎨⎧==''213.D y y x x 【答案】C【解析】试题分析：曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =需将横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标缩小为原来的12因此''312x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 考点：图像伸缩变化5．A 在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2{2x cos y sin αα=+=+,(α为参数),直线2C的方程为,y =以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11.OA OB+ B 已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n .（1）求,m n 的值；（2）若0,0,0x y nx y m >>++=，求证： 16.x y xy +≥【答案】A （1）见解析；（2B （1）1,9m n =-=;（2）证明见解析. 【解析】试题分析：A （1）先消参转化为普通方程，再利用普通方程与极坐标的转化公式转化为极坐标；（2）根据极坐标中ρ的几何意义， 12=OA OB ρρ=，证明即可.B （1）分区间去绝对值号解不等式即可；（2）利用均值不等式证明.试题解析： A （1）曲线1C 的普通方程为()()22221x y -+-=,则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=,由于直线2C 过原点,且倾斜角为3π,故其极坐标为()3R πθρ=∈ (或tan θ=（2）由24470{3c o s s i n ρρθρθπθ--+==,得()2270ρρ-+=,故12121212112,7,OA OB OA OB OA OB ρρρρρρρρ+++==∴+===⋅B （1）由36x x x +-<+,得3{36x x x x ≥+-<+或0{36x x x x ≤-+-<+,解得19,1,9x m n -<<∴=-=（2）由（1）知0,0,91,x y x y >>+=()1199101016,y x x y x y x y ⎛⎫∴++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =即11,124x y ==时取等号, 1116x y∴+≥,即16.x y xy +≥ 6．若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1，0)、B(1，0)的距离差的绝对值为定值2a,求点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.【答案】当a=1时两射线，当0<a<1时双曲线112222=--a y a x 【解析】略7．求过点A(3,)且和极轴成角的直线.【答案】ρ(sin θ+cos θ)=+【解析】设M(ρ,θ)为直线上一点,B 为直线与极轴的交点,A(3,),OA=3,∠AOB=, 由已知∠MBx=, 所以∠OAB=-=, 所以∠OAM=π-=. 又∠OMA=∠MBx-θ=-θ, 在△MOA 中,根据正弦定理得=.又sin =sin(+)=,将sin(-θ)展开化简可得ρ(sin θ+cos θ)=+,所以过A(3,)且和极轴成角的直线为:ρ(sin θ+cos θ)=+.8．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x=22ty=22t+42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】(1))22,22(--；(2)62． 【解析】 试题分析：(1))4cos(2πθρ+=⇒ρθθ=⇒2cos sin ρθθ=⇒圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ⇒圆心C 的直角坐标为)22,22(--； (2)法一： 由直线l 上的点向圆C 引切线长为=-+++-1)242222()2222(22t t 6224)4(2≥++t ； 法二：直线l 的普通方程为024=+-y x ⇒圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++⇒直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-．试题解析：解： (1) )4cos(2πθρ+=∴ϑθρsin 2cos 2-=,∴ϑρθρρsin 2cos 22-= ∴圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ∴圆心C 的直角坐标为)22,22(--(2)法一： 由直线l上的点向圆C引切线长为1)242222()2222(22-+++-t t6224)4(40822≥++=++=t t t∴直线l 上的点向圆C 引切线长的最小值为62法二：直线l 的普通方程为024=+-y x ,圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-考点：1、极坐标；2、直线与圆的位置关系.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．9．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为： 1,{2,x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数，0a π≤<），以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点()1,2P ，设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求11PA PB+最小值. 【答案】（1）()2239x y +-=;（2【解析】试题分析：（1）曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=，两边同乘以ρ ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得结果；（2）直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数的几何意义及三角函数的有界性，求11PA PB+最小值.试题解析：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=.（2）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--=，因为()24cos sin 470αα∆=-+⨯>故可设12,t t 是方程的两根， 所以()121227t t cos sin t t αα⎧+=--⎨=-⎩.又直线l 过点()1,2P ，结合t 的几何意义得：1212PA PB t t t t +=+=-==≥=.∴11PA PB PA PB PA PB ++==≥⋅10．已知曲线C 的方程22332y x x =-，设y tx =，t 为参数，求曲线C 的参数方程． 【答案】233232t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 【解析】解：将y tx =代入22332y x x =-， 得222332t x x x =-，即32223x t x =-()． 当 x =0时，y =0；当0x ≠时， 232t x -=． 从而332t t y -=．∵原点(0,0)也满足233232t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,， ∴曲线C 的参数方程为233232t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,（t 为参数）．11．极坐标系中,B A ,分别是直线07sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是 【答案】1 【解析】试题分析：把极坐标方程化为直角坐标方程得，直线的方程为3470x y -+=，圆方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1r =，圆心C 到已知直线的距离为2d ==在，所以AB 的最小值为211d r -=-=.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离.12．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，点A 的极坐标是(2,)6π，点B 是曲线32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）上的任意点，则线段AB 长度的最小值是 ．1 【解析】试题分析：点A 的直角坐标为,1)，曲线32c o s 12s i n x y αα=+⎧⎨=+⎩的普通方程为22(3)(1)4x y -+-=，故曲线是一个以(3,1)为圆心，2为半径的圆，∴A 到圆心的距离为32=<，故点A 在圆内，∴线段AB 长度的最小值是2(31-．考点：参数方程与普通方程的互换、两点间距离公式．13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 在曲线2sin()4πρθ=+上，点B 在直线cos 1ρθ=-上，则||AB 的最小值是 ** ．【解析】略14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数和截圆22cos 30ρρθ+-=的弦长等于_______________.４ 【答案】4【解析】直角坐标系中，直线21x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的方程为10x y ++=，圆22cos 30ρρθ+-=方程为22230x y x ++-=即22(1)4x y ++=，则圆心(1,0)-在直线10x y ++=上，所以从而可知直线10x y ++=截圆22(1)4x y ++=的弦长为圆直径长4。

《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程 解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案 解答题xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =l O |1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t αP (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α44απ3π<<)则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．。

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+ 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为49．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．210．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8B．6C．8D．811．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．112．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018届高考数学大题狂练第七篇 坐标系与参数方程 专题03 极坐标与参数方程综合1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{ 12x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P 的直角坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ， B ，求P A P B ⋅的取值范围. 【答案】(1) 22143x y +=;(2) 82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∴283sin PA PB α⋅=+，结合正弦函数的有界性，即可得到PA PB ⋅的取值范围. 试题解析：（Ⅰ） 222222224sin 3cos 124312143x y y x ρθρθ+=⇒+=⇒+=; （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R α∈，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得()22131cos 4sin 122t t αα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理得()()223sin 4sin +6cos 80t t ααα++-=，则2882,3sin 3PA PB α⎡⎤⋅=∈⎢⎥+⎣⎦.2．在平面直角坐标系中，直线l0y --=以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()22cos =1cos θρθ-(1)写出直线l 的一个参数方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A B ，两点，试求AB 中点N 的坐标. 【答案】（1）2{x t y =+=， 22y x =；（2）73⎛ ⎝⎭.(2)将2,{.x t y =+=代入22y x =得23240t t --=.设,A B 对应的参数为12122,,3t t t t ∴+=.由此可求AB 中点N 的坐标. 试题解析：(1)直线的方程0y --=,)2x y -=.∴令2,x t y =+=.∴y 0--=的一个参数方程为2,{( .x t t y =+-=参数)由题意可得2212cos cos ρθρθ-=,即22sin 2cos ρθρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为22y x =.(2)将2,{.x t y =+=代入22y x =得23240t t --=.设,A B 对应的参数为12122,,3t t t t ∴+=. 设点()()()112200A ,,,,,x y B x y N x y ,则)121212120072,22322t t x x t t y y x y ++++==+====. 故AB 中点N的坐标为73⎛ ⎝⎭.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）若曲线与曲线交于两点，求. 【答案】（1），；（2）曲线的方程可化为：，显然，所以化为直角坐标方程为，化简得. （2）由（1），将两曲线方程联立，得，消去y ，得，整理得.设、，则由根与系数的关系可得，.所以. 4．椭圆C 的参数方程为2{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数），以直角坐标系的原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的方程为102cos sin ρθθ=+.（1）求出直角坐标系中l 的方程和椭圆C 的普通方程；（2）椭圆C 上有一个动点M ，求M 到l 的最小距离及此时M 的坐标.【答案】(1)见解析;(2) 5M ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）根据cos x sin y ρθρθ==，，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；根据平方关系，把椭圆的参数方程转化为普通方程；（2）利用点到直线公式得10d θβ+=利用正弦型函数的有界性求最值即可. 试题解析：（1）:2100,x y +-= 22:14x C y +=. （2）设()2cos ,sin ,M M θθ到的距离为105d θβ+==≥， ∴当()sin 1θβ+=时，M 到的距离最小，最小值为此时sin cos sin θβθβ====, M ⎝⎭. 5．在直角坐标系xOy中，直线1:{ 12x l y t=+=+（t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:4sin 02C πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 被直线l 截得的弦长；（2）与直线l 垂直的直线MN 与曲线C 相切于点M ，求点M 的直线坐标.【答案】(1)2；(2)).试题解析：（1）将直线1:{ 12x l y t=+=+（t 为参数）化为直角坐标方程为3y x =，经过坐标原点，所以其极坐标方程为(),6R πθρ=∈，将(),6R πθρ=∈代入4sin 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭解得2ρ=，即曲线C 被直线l 截得的弦长为2.（2）如图所示，因为直线ON 的倾斜角为6π，所以3C O B π∠=，又因为//CM ON ，所以2,36OCM COM ππ∠=∠=，所以得直线OM 的倾斜角为3π，所以其极坐标方程为(),3R πθρ=∈，将(),3R πθρ=∈代入4sin 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭计算得OM =，设点M 的直角坐标为(),x y ，则cos ,sin 333x OM y OM ππ=====.6．在平面直角坐标系中，直线： （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程； （2） 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.【答案】（1）. .（2）.所以其极坐标方程为：.由得：，所以， 所以曲线的直角坐标方程为：. （2）由题意，，所以，由于，所以当时，取得最大值：.。

极坐标与参数方程典型题专项训练 第一卷1、（2018全国III 卷高考）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． ⑴求α的取值范围；⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2、（2017全国III 卷高考）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，xM 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3、（2016全国III 卷高考）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.4、（成都市2018届高三第二次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线的距离的最大值5、（成都市2018届高三第三次诊断）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，直线l 的在直线l 上.以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，且两坐标系取相同的单位长度. （I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求QA QB +的值.6、（达州市2017届高三第一次诊断）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4ρ=. （1）若l的参数方程中的t =M 点，求M 的极坐标和曲线C 直角坐标方程； （2）若点(0,2)P ，l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+.7、（德阳市2018届高三二诊考试）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：22x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：2sin ρθ=. （1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （2） 记射线0,02πθαρα⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭与直线l 和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求ON OM的最大值.8、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2(4sin x a a y a =+⎧⎨=⎩为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值.9、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线lcos sin 0θρθ+，C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-．（I ）求直线l 和C 的普通方程；（II ）直线l 与C 有两个公共点A 、B ，定点P (2,，求||||||PA PB -的值．10、（绵阳市2018届高三第一次诊断）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos ,45sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设1:6l πθ=，2:3l πθ=，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB ∆的面积.11、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧α=α=sin cos 3y x （其中α为参数），曲线()11:222=+-y x C ，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若射线）（06>ρπ=θ与曲线1C ，2C 分别交于B A ,两点，求AB .12、（仁寿县2018届高三上学期零诊）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧θ+=θ+-=sin 42y cos 41x （θ为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin （θ+43π）=7． （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）A ，B 分别是圆C 和直线l 上的动点，求|AB|的最小值．13、（遂宁市2018届高三第一次诊断）已知直线l 的参数方程为t ty t x (213231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)32cos(4πθρ-=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是直线l 与圆面24cos()3πρθ≤-的公共点，求y x +3的取值范围.14、（遂宁市2018届高三三诊考试）点P 是曲线2ρ=（0θπ≤≤）上的动点，()2,0A ，AP 的中点为Q .（1）求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程；（2）若C 上点M处的切线斜率的取值范围是⎡⎢⎣⎦，求点M 横坐标的取值范围.15、（雅安市2018届高三下学期三诊）在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）点P 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值.16、（宜宾市2018届高三第一次诊断）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 5cos 53y x(其中参数R ∈θ).（1）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (其中参数R t ∈,α是常数)，直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且32=AB ，求直线l 的斜率．17、（资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊））在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点(10)M ，且与直线l 平行的直线l '交C 于A ，B 两点，求||AB .18、（成都市石室中学高2018届高三下期二诊）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为222242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)若2PA PB AB ⋅=,求a 的值.坐标系与参数方程 第二卷一、解答题【2018,22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。

参数方程1、【2018，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =4sinθ （为参数），直线的参数方程为{x =1+tcosα,y =2+tsinα（为参数）. （1）求C 和的直角坐标方程； （2）若曲线C 截直线所得线段的中点坐标为(1, 2)，求的斜率．2、【2017，22】 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．3、【2016，23】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是cossinx ty tαα=⎧⎨=⎩（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率.22(+6)+=25x y10AB4、【2015，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:2sin ρθ=，C 3:ρθ=.（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.5、【2014，23】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2πθ∈.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.6、【2013，23】已知动点，都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点. （Ⅰ）求的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.P Q 2cos ,:2sin x t C y t=⎧⎨=⎩t t α=2(02)t ααπ=<<M PQ M M d αM7、【2020.22】已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224cos4sinxyθθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C2：1,1x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.。

2018最新题库大全2018-2018年数学（理）高考试题分项专题17 坐标系与参数方程（选修4系列）一、填空题:1. (2018年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为1:x t C t y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）和2:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为______.2．(2018年高考北京卷理科9)直线t ty t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。

3. (2018年高考湖北卷理科16)（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相较于A ，B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________. 【答案】错误！未找到引用源。

【解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=，将参数方程21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y 有0452=+-x x ，设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、，则有韦达定理2520=+=B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上，因此AB 的中点)25,25(P ..【考点定位】本小题考查坐标系与参数方程,属选学内容之一,熟练掌握基础知识是解决好本题目的关键.4. (2018年高考湖南卷理科9)在直角坐标系xOy 中，已知曲线错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

(t 为参数)与曲线错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析1、（2018年高考数学全国卷I理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．2、（2018年高考数学全国卷II理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．3、（2018年高考数学全国卷III理科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=ta nα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．4、（2018年高考数学天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．5、（2018年高考数学北京卷理科10）（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=1+．【解答】解：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．6、（2018年高考数学江苏卷理科23）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．6、（2018年高考数学全国卷I文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．7、（2018年高考数学全国卷II文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．8、（2018年高考数学全国卷III文科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）。

2018届高考数学大题狂练第七篇坐标系与参数方程专题03 极坐标与参数方程综合1．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，求．【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.2．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求.【答案】（1），；（2）【解析】分析：解法一：（1）消去参数可得的普通方程为，则极坐标方程为．极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为．（2）设的极坐标分别为，则，联立极坐标方程可得，则，结合三角函数的性质计算可得．解法二：（1）同解法一（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得，结合参数的几何意义知，则解法三：（1）同解法一（2）设的极坐标分别为，则由消去得，化为，即，因为，即，所以，或，即或所以．解法二：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，整理得，，解得或．设对应的参数分别为，则．所以，又因为是圆上的点，所以解法三：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．又由①得的普通方程为，则点到直线的距离为，所以，所以是等边三角形，所以，又因为是圆上的点，所以 .点睛：本题主要考查直线的参数方程，圆的参数方程，参数方程与普通方程、极坐标方程之间的转化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线与曲线交点的一个极坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）在的方程两边同乘以，然后利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）直接把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程解得后可得交点坐标，再化为极坐标.试题解析：（Ⅰ），，即；（Ⅱ）将，代入得，，即，从而，交点坐标为，所以，交点的一个极坐标为 .4．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，直线（为参数）与曲线相交于两点.（1）求曲线与直线的普通方程；（2）点，若成等比数列，求实数的值.【答案】(1)见解析;(2).（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到，.设点分别对应参数，恰为上述方程的根，则有，，则.又，，.因为，所以，得，或.因为时，所以.点睛：本题主要考查极坐标直角坐标和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查这些基础知识的掌握能力和运算能力.5．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（I）写出直线的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程；（II）若，且直线与曲线C交于两点，求的值.【答案】（I）直线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（II）. 【解析】（I）依题意，曲线C：，即，故曲线C的极坐标方程为；因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）易知点在直线上，设直线的参数方程为（t为参数），代入C：中，整理得，由根与系数的关系得，故.6．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线：（）.（1）求和的极坐标方程；（2）设点是与的一个交点（异于原点），点是与的交点，求的最大值.【答案】（1），；（2）见解析.（2）设，则，，由射线与相交，则不妨设，则，所以当即时，取最大值，此时.点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生参数方程极坐标和三角基础知识的掌握能力及基本的运算推理能力.(2)求三角函数的值域时，要注意的范围，由射线与相交，则不妨设.如果不考虑的范围，解答就会出错.始终注意一个原则，函数的问题，定义域优先.。

高考达标检测（五十八） 参数方程1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则|AP |＝θ－2＋3sin θ2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得： (8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴|PM 1|·|PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64. 4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0.(2)把直线l 的参数方程代入到圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝33. 点P (－2，－3)显然在直线l 上， 由直线标准参数方程下t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝33， 所以|PA |·|PB |＝33.5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |； (2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值． 解：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ， |OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， |OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4 ＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B ()1，3，C ()3，－3，所以经过点B ，C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.6．(2017·唐山模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，点A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2. 又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3， 故|AC |－|BD |＝|AC |－()|AD |－|AB | ＝|AC |－|AD |＋|AB | ＝t 1＋t 2＋3＝35. 7．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0， 即(x －2)2＋(y －23)2＝16，其表示一个圆． (2)将C 1的参数方程代入C 2的方程可得，t 2－23sin α·t －13＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝23sin α，t 1t 2＝－13. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝()23sin α2－－＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最大值为8，最小值为213.8．(2017·云南一模)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. (2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3， 即x 2＋y 23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)． ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22， d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522， 即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.。