反比例函数技巧及练习题含答案

y k (k 0) 的图象上，AC//BD//y 轴，已知点 A，B 的横坐标分别为 1，2，△OAC 与 x
△ABD 的面积之和为 3 ，则 k 的值为（ ） 2
A．4
【答案】B 【解析】
B．3
C．2
D． 3 2
【分析】
首先根据 A,B 两点的横坐标，求出 A,B 两点的坐标，进而根据 AC//BD// y 轴,及反比例函数 图像上的点的坐标特点得出 C,D 两点的坐标，从而得出 AC,BD 的长，根据三角形的面积公
故应选：C 【点睛】 本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思 想．
2．如图，A，B 是反比例函数 y= 4 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的横坐标 x
分别是 2 和 4，则△OAB 的面积是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及 A，B 两点的横坐标，求出 A（2，2）， B（4，1）．再过 A，B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，根据反比例函数系数 k
接 OP．若 Rt△POM 的面积为 2，则 k 的值为（ ）
A．4 【答案】C 【解析】
B．2
C．4
D．2
【分析】
根据反比例函数的比例系数 k 的几何意义得到 S△POD= 1 |k|=2，然后去绝对值确定满足条件 2
的 k 的值． 【详解】
解：根据题意得 S△POD= 1 |k|， 2
所以 1 |k||=2， 2
握反比例函数 k 的几何意义是解本题的关键.
11．如图，A、C 是函数 y 1 的图象上任意两点，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 B，过点 x
C 作 y 轴的垂线，垂足为 D．记 RtAOB 的面积为 S1 ， RtCOD 的面积为 S2 ，则 S1 和 S2
的大小关系是（ ）
A． S1 S2
5．如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y= 的图象上，对角线 AC 与 BD 的交 点恰好是坐标原点 O，已知点 A（1，1），∠ABC=60°，则 k 的值是（ ）
A．﹣5
B．﹣4
C．﹣3
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点 B 的坐标，从而可以求得 k 的值．
详解：∵四边形 ABCD 是菱形，
数 y 2 符合条件． x
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，反比例函数 y k (k 0) 的图象过 D 点和边 x
BC 的中点 E ，连接 DE ，若 CDE 的面积是 1，则 k 的值是（ ）
反比例函数技巧及练习题含答案
一、选择题
1．如图，若直线 y 2x n 与 y 轴交于点 B ，与双曲线 y 2 x 0 交于点
x
Am,1 ，则 AOB 的面积为（ ）
A．6
B．5
C．3
D．1.5
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意求出 A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出 B 点坐标，则问题可解.
6．下列函数：①y=-x；②y=2x；③ y 1 ；④y=x2 ． 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小 x
的函数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．
【详解】 一次函数 y＝－x 中 k＜0，∴y 随 x 的增大而减小，故本选项正确； ∵正比例函数 y＝2x 中，k＝2，∴当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，故本选项错误；
式表示出 S△OAC,S△ABD 的面积，再根据△OAC 与△ABD 的面积之和为 3 ，列出方程，求解得出 2
答案. 【详解】
把 x=1 代入 y 1 得：y=1, x
∴A(1,1),把 x=2 代入 y 1 得：y= 1 ,
x
2
∴B(2, 1 ), 2
∵AC//BD// y 轴,
∴C(1,K),D(2, k ) 2
A．4
B．3
C． 2 5
D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设 E 的坐标是（m，n），k=mn，则 C 的坐标是（m，2n），求得 D 的坐标，然后根据三
角形的面积公式求得 mn 的值，即 k 的值．
【详解】
解：设 E 的坐标是（m，n），k=mn，
则 C 的坐标是（m，2n），
在 y= mn 中，令 y=2n，解得：x= m ，
x
x
A．逐渐变小 【答案】D 【解析】 【分析】
B．逐渐变大
C．时大时小
D．保持不变
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到 BE OE ；设 B 为（a， 1 ），A 为
OF AF
a
（b， 2 ），得到 OE=-a，EB= 1 ，OF=b，AF= 2 ，进而得到 a2b2 2 ，此为解决问题的关
而 k＜0，
所以 k=-4． 故选：C． 【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= k 图象中任取一点，过 x
这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10．如图，点 A，B 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，点 C，D 在反比例函数 x
B． S1 S2
C． S1 =S2 【答案】C
D．由 A、C 两点的位置确定
【解析】
【分析】
根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角
形面积 S 的关系即 S= 1 k|． 2
【详解】
由题意得：S1=S2= 1 |k|= 1 ． 22
故选：C． 【点睛】
本题主要考查了反比例函数 y＝ k 中 k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐 x
∴AC=k-1,BD= k - 1 ， 22
∴S△OAC= 1 （k-1）×1, 2
1 k1
S△ABD= ( - )×1,
2 22
又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为 3 ， 2
∴1
（k-1）×1＋ 1
k
(
1
-
)×1= 3 ，解得：k=3;
2
2 22 2
故答案为 B.
【点睛】
:此题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌
标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S= 1 |k|，是经常考查的一个 2
知识点；这里体现了数形结合的思想．
12．当 x 0 时，反比例函数 y 2 的图象（ ） x
A．在第一象限， y 随 x 的增大而减小
B．在第二象限， y 随 x 的增大而增大
C．在第三象限， y 随 x 的增大而减小
【详解】
解：由已知直线 y 2x n 与 y 轴交于点 B ，与双曲线 y 2 x 0 交于点 Am,1
x ∴1 2 则 m=-2
m 把 A（-2,1）代入到 y 2x n ，得
1 22 n
∴n=-3
∴ y 2x 3
则点 B（0，-3）
∴ AOB 的面积为 1 3 2=3 2
7．在函数 y 2 ， y x 3 ， y x2 的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的 x
图象共有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．
【详解】Байду номын сангаас
y=x+3 的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2 图象不是中心对称图形；只有函
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵点 A（1，1），
∴OA= ，
∴BO=
，
∵直线 AC 的解析式为 y=x， ∴直线 BD 的解析式为 y=-x， ∵OB= ， ∴点 B 的坐标为（− ， ），
∵点 B 在反比例函数 y= 的图象上，
D．﹣2
∴
，
解得，k=-3， 故选 C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题 意，利用反比例函数的性质解答．
的几何意义得出 S△AOC=S△BOD= 1 ×4=2．根据 S 四边形 AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S 梯形 ABDC，得出 2
S△AOB=S 梯形 ABDC，利用梯形面积公式求出 S 梯形 ABDC= 1 （BD+AC）•CD= 1 ×（1+2）×2=3，从而
2
2
得出 S△AOB=3．
x
标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴
作垂线所围成的直角三角形面积 S 与 k 的关系为 S= 1 |k|是解题的关键． 2
3．如图，在 x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与
函数 y 1 、 y 2 的图象交于 B、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
a
b
可代入比例式求得 a2b2
2 ，即 a2
2 b2
，
根据勾股定理可得：OB=
OE2 EB2
a2
1 a2
，OA=
OF 2 AF 2
b2
4 b2
，
∴tan∠OAB= OB OA
a2
1 a2
b2
4 b2
2 b2
b2 2
=
b2
4 b2
1 2
(
4 b2
b2)
=
2
b2
4 b2
2
∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.
b
a
b
键性结论；运用三角函数的定义证明知 tan∠OAB= 2 为定值，即可解决问题． 2
【详解】
解：分别过 B 和 A 作 BE⊥x 轴于点 E，AF⊥x 轴于点 F，
则△BEO∽△OFA，
∴ BE OE ， OF AF
设点 B 为（a， 1 ），A 为（b， 2 ），
a
b
则 OE=-a，EB= 1 ，OF=b，AF= 2 ，
∵反比例函数 y＝ 1 中，k＝－1＜0，∴当 x＜0 时函数的图像在第二象限，此时 y 随 x 的 x
增大而增大，故本选项错误； ∵二次函数 y＝x2，中 a＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小， 故本选项正确． 故选 B． 【点睛】 本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函 数的增减性．
D．在第四象限， y 随 x 的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】
反比例函数 y 2 中的 k 2 0，图像分布在第二、四象限；利用 x 0 判断即可． x
【详解】
解： 反比例函数 y 2 中的 k 2 0， x
该反比例函数的图像分布在第二、四象限；
又 x 0， 图象在第二象限且 y 随 x 的增大而增大．
故选 D
【点睛】 该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答．
4．使关于 x 的分式方程 =2 的解为非负数，且使反比例函数 y= 限时满足条件的所有整数 k 的和为（ ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】
【详解】∵A，B 是反比例函数 y= 4 在第一象限内的图象上的两点， x
且 A，B 两点的横坐标分别是 2 和 4，
∴当 x=2 时，y=2，即 A（2，2），
当 x=4 时，y=1，即 B（4，1），
如图，过 A，B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，
则 S△AOC=S△BOD= 1 ×4=2， 2
∵S 四边形 AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S 梯形 ABDC， ∴S△AOB=S 梯形 ABDC，
∵S 梯形 ABDC= 1 （BD+AC）•CD= 1 ×（1+2）×2=3，
2
2
∴S△AOB=3，
故选 B．
【点睛】本题考查了反比例函数 y k k 0 中 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐
x
2
∵S△CDE=1，
∴ 1 |n|•|m- m |=1，即 1 n× m =1，
2
2
22
∴mn=4．
∴k=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用 mn 表示出三角形的面积是关键．
9．如图，点 P 是反比例函数 y k （x0）图象上一点，过 P 向 x 轴作垂线，垂足为 M，连 x
图象过第一、三象
试题分析：分别根据题意确定 k 的值，然后相加即可．∵关于 x 的分式方程 =2 的解为
非负数，∴x= ≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数 y= 图象过第一、三象限，∴3﹣k＞ 0，解得：k＜3，∴-1≤k＜3，整数为-1,0,1，2，∵x≠0 或 1，∴和为-1+2=1，故选，B． 考点：反比例函数的性质．