第三讲多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布在很多随机现象中, 只用一个随机变量来描述往往不够, 而要涉及到多个随机变量. 如炮弹命中点的位置要用一对随机变量(横坐标与纵坐标)来描述, 正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描述等等. 要研究这些随机变量之间的联系, 就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律——多维分布. 本章将介绍有关这方面的内容, 为简明起见, 主要介绍二维情形, 有关内容可以类推到多于二维的情形.第一节 二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量.一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究.首先引入(X , Y )的分布函数的概念.定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y }称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数.分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1)与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1︒ F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2).2︒ 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1. 3︒ F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ).4︒ 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0.注: 二元分布函数具有性质1︒~ 4︒, 其逆也成立(2︒中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1︒~ 4︒, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4︒是必不可少的, 即它不能由1︒~ 3︒推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1).二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记 P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0;111=∑∑∞=∞=i j ij p .我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为=),(y x F ∑∑≤≤==x x yy j i i j y Y x X P },{=∑∑≤≤x x yy ij i j p这里∑∑≤≤x x yy i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和.例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数..解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}=312231=⋅.同理, 有 P {X = 2, Y = 1}=31 , P {X = 2, Y = 2}=31.即(X , Y )的分布律如右表所示.当x < 1, 或y < 1时, F {x , y } = 0;当1 ≤ x < 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } = 0;当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F {x , y } = =+1211p p 31;当x ≥ 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } ==+2111p p 31;当x ≥ 2, y ≥ 2时, F {x , y } = 1.所以, (X , Y )的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⎩⎨⎧<≤≥⎩⎨⎧≥<≤⎩⎨⎧<≤<≤<<=.2,2,1,21,22,21,31,21,2111,0),(y x y x y x y x y x y x F 或或或三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F {x , y }, 若存在非负函数f (x , y ), 使对任意的x 、y 有⎰⎰∞-∞-=y xdudvv u f y x F ),(),(，则称(X , Y )为连续型的二维随机变量, f (x , y )称为二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度, 或称随机变量X 、Y 的联合概率密度.概率密度f (x , y )具有以下性质: 1︒ f (x , y ) ≥ 0;2︒1),(),(=+∞+∞=⎰⎰∞+∞-∞+∞-F dxdy y x f3︒ 若f (x , y )在点(x , y )处连续, 则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂4︒ 设G 是xOy 平面上的一个区域, 则点(X , Y )落在G 内的概率为⎰⎰=∈Gdxdyy x f G Y X P ),(}),{( (2)例2 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,2),()(其它y x Ae y x f y x求: (1) 系数A ; (2) 分布函数F (x , y ); (3) 概率P {(X , Y )∈D }, 其中D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.解: (1) 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ,得21=A .(2) ⎰⎰∞-∞-+-=yxy x dxdy e y x F )(),(=⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰+-,,0,0,0,)(其它y x dxdy ey xy x=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(其它y x e e y x(3) edxdy eedxdxdy y x f Y X P xyxD21),()},{(1010-===⎰⎰⎰⎰---.例3 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=,,0,20,10,3),(2其它y x xy x y x f , 求P {Y ≥ X }.解: P {Y ≥ X }=2417)3(),(2210=+=⎰⎰⎰⎰≤xxy dy xy xdxdxdy y x f .以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n (n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E 是一个随机试验, 它的样本空间为S , 设X 1、X 2、…、X n 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个n 维向量(X 1, X 2, …, X n )称为n 维随机向量或n 维随机变量.对任意n 个实数x 1、x 2、…、x n , n 元函数F (x 1, x 2, …, x n ) = P {X 1 ≤ x 1, X 2 ≤ x 2, …, X n ≤ x n }称为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的分布函数或随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.第二节 边 缘 分 布设(X , Y )是二维随机变量, 其分布函数为F (x , y ), 事件{X ≤ x }即为{ X ≤ x , Y < +∞}, 从而由(X , Y )的分布函数可定出X 的分布函数, 记为F X (x ).F X (x ) = P {X ≤ x } = P { X ≤ x , Y < +∞} = F (x , +∞)=),(lim y x F y +∞→.我们称F X (x )为关于X 的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y 的边缘分布函数为F Y (y ) = P {Y ≤ y } = P {X < +∞, Y ≤ y }= F (+∞, y ) = ),(lim y x F x +∞→.一、离散型设(X , Y )为二维离散型随机变量, 其分布律为P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), 则∑∑≤∞==+∞=x x j ijX i p x F x F 1),()(, ∑∑≤∞==+∞=y y i ijY i p y F y F 1),()(.从而X 与Y 的分布律分别为∑∞===1}{j iji p x X P , i = 1, 2, …; ∑∞===1}{i ijj p y Y P , j = 1, 2, …;记=⋅i p ∑∞===1}{j iji p x X P , i = 1, 2, …;=⋅j p ∑∞===1}{i ijj p y Y P , j = 1, 2, ….分别称p i ⋅和p ⋅ j 为(X , Y )关于X 与Y 的边缘分布律.注: 1︒ 边缘分布律具有一维分布律的一般性质. 2︒ 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然.例1 一袋中装有3只黑球和2只白球, 分别采用有放回与不放回摸球两种方式. 若设⎩⎨⎧=;,0,,1第一次摸出黑球第一次摸出白球X⎩⎨⎧=.,0,,1第二次摸出黑球第二次摸出白球Y求(X , Y )的联合分布律及关于X 与Y 的边缘分布律.解: 有放回 不放回边缘分布律经常写在联合分布律的边缘, 这就是为什么称为边缘分布律的缘由.二、连续型设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为f (x , y ), 由⎰⎰∞-∞+∞-=+∞=xX dxdy y x f x F x F ]),([),()(;⎰⎰∞-∞+∞-=+∞=yY dydx y x f y F y F ]),([),()(.知X 与Y 都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(;⎰∞+∞-=dxy x f y f Y ),()(.称f X (x )与f Y (y )分别为(X , Y )关于X 与Y 的边缘概率密度.例2 设D 是平面上的有界区域, 其面积为A , 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0,),(,1),(其它D y x Ay x f则称(X , Y )在D 上服从均匀分布.现(X , Y )在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边缘概率密度.解: 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f , 得A = π.当|x | < 1时, ⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(21112122xdy xx-==⎰---ππ; 当|x | ≥ 1时, f X (x ) = 0, 即⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,0,1,12)(2x x x x f Xπ同理可得,⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,0,1,12)(2y y y y f Y π例3 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------⋅-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 其中μ1、μ2、σ1、σ2、ρ 都是常数, 且σ1 > 0, σ2 > 0, -1 < ρ < 1. 我们称(X , Y )为服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解: 令m = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----222221212121)())((2)(σμσσμμρσμy y x x2121212122121221212222)()()())((2)(σμσμρσμρσσμμρσμ-+---+----=x x x y x y2121221122)()1(σμρσμρσμ--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=x x y .所以, ⎰∞+∞-=dyy x f x f X ),()(=⎰∞+∞----dyem )1(22212121ρρσπσ⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------=dy eex y x 2112222121)1(212)(221121σμρσμρσμρσπσ.令⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1122211σμρσμρx y t , 则dt dy 221σρ⋅-=, 从而,22222)1(211212211222ρσπσρσμρσμρ-=⋅-=⎰⎰∞+∞--∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----dt edy etx y .所以, 21212)(121)(σμσπ--=x X ex f (+∞<<-∞x ). 同理可得, 22222)(221)(σμσπ--=y Y ey f (+∞<<-∞y ).表明, ),(~211σμN X , ),(~222σμN Y .此例说明, 二维正态随机变量(X , Y )中的X 、Y 都服从正态分布, 并且与参数ρ 无关. 所以对于确定的μ1、μ2、σ1、σ2而取不同的ρ, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X 和Y 的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X 和Y 的联合概率密度(分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道, 两事件A 、B 相互独立的充要条件是 P (AB ) = P (A )P (B ) 由此我们引进随机变量相互独立的定义. 定义 设F (x , y )及F X (x )、F Y (y )分别是二维随机变量(X , Y )的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x 、y , 有 P {X ≤ x , Y ≤ y } = P {X ≤ x } P {Y ≤ y }, 即F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) (1) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的.可见, 在随机变量X 和Y 相互独立的情况下, 由关于X 和Y 的边缘分布函数就唯一地确定(X , Y )的联合分布函数, 而且还可推得}{},{}/{x X P x X y Y P x X y Y P ==≤==≤}{},{limx x X x P x x X x y Y P x ∆+≤≤∆+≤≤≤=→∆),(),(),(),(lim+∞-+∞∆+-∆+=→∆x F x x F y x F y x x F x)()()()()()()()(lim+∞-+∞∆+-∆+=→∆Y X Y X Y X Y X x F x F F x x F y F x F y F x x F )()()()]()([limx F x x F y F x F x x F X X Y X X x -∆+-∆+=→∆= F Y (y ) = P {Y ≤ y }.这就是说在X 和Y 相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布.一、离散型设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为 P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), (X , Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为=⋅i p ∑∞===1}{j iji p x X P , i = 1, 2, …;=⋅j p ∑∞===1}{i ijj p y Y P , j = 1, 2, ….则X 和Y 相互独立的充要条件是P {X = x i , Y = y j } = P {X = x i } P {Y = y j }, 即p ij =⋅i p j p ⋅ (2)例1 设(X , Y )的联合分布律为证明: X 和Y 相互独立.二、连续型设二维连续型随机变量(X , Y )的联合概率密度为f (x , y ), 关于X 和Y 的边缘概率密度为f X (x )和f Y (y ), 则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (3) 几乎处处成立.例3 设(X , Y )服从二维正态分布, 即其联合概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------⋅-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 证明: X 和Y 相互独立的充要条件是ρ = 0. 例4 若(X , Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-,,0,0,0,),()(其它y x e y x f y x则X 和Y 相互独立. 证: 显然⎩⎨⎧≥=-,,0,0,)(其它x e x f x X⎩⎨⎧≥=-,,0,0,)(其它y e y f y Y 故有f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ). 从而X 和Y 相互独立.例5 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X 在[0, 0.2]上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎩⎨⎧≥=-,,0,0,5)(5其它y e x f y Y试求: (1) X 与Y 的联合概率密度;(2) P {Y ≤ X }.解: (1) 由已知条件, 得⎩⎨⎧≤≤=,,0,2.00,5)(其它x x f X 从而得X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≤≤=-.,00,2.00,25),(5其它y x e y x f y(2) P {Y ≤ X }= P {Y - X }⎰⎰≥-=),(y x dxdyy x f ,积分区域如图, 化成二次积分后得⎰⎰≈=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤-2.0013679.0),(}{e dx dy y x f X Y P x .以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n 维随机变量的情形.设n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ), 若存在非负函数f (x 1, x 2, …, x n ), 使得对于任意实数x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞--n n x x x nn dx dx dx x x x f 112121),,,(,则称f (x 1, x 2, …, x n )为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合概率密度.称),,,()(111+∞+∞= x F x F X , ),,,,(),(2121,21+∞+∞= x x F x x F X X , …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘分布函数, ⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=n n X dx dx dx x x x f x f32211),,,()(1,⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=nn X Xdx dx dx x x x f x x f432121,),,,(),(21, …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘概率密度.若对于所有的x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ))()()(2121n X X X x F x F x F n=, 则称X 1, X 2, …, X n 是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x 1、x 2、…、x m ; y 1、y 2、…、y n , 有F (x 1, x 2, …, x m ; y 1, y 2, …, y n ) = F 1 (x 1, x 2, …, x m ) F 2 (y 1, y 2, …, y n )其中F 1、F 2和F 依次为(X 1, X 2, …, X m )、(Y 1, Y 2, …, Y n )和(X 1, X 2, …, X m ; Y 1, Y 2, …, Y n )的分布函数, 则称随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )是相互独立的.定理 设随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )相互独立, 则X i (i = 1, 2, …, m )与Y j (j = 1, 2, …, n )相互独立. 又若h 、g 是连续函数, 则h (X 1, X 2, …, X m )和g (Y 1, Y 2, …, Y n )也相互独立.。

第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。

简记为（X1,X2,…,X n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal3．X与Y的相互关系；4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布一．离散型随机变量1．联合分布律定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i, j=1,2,…——(3.1)称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：性质：(1) p ij ≥ 0，i, j=1,2,… (2) ∑ji ij p ,=12．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,∑(Y=y j )}=j∑P{X=x i ,Y=y j }=j∑p ij (3.4) 同理可得 p .j =i∑p ij(3.5)例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。

第三讲 多维随机变量及其分布【考试要求】1.理解多维随机变量的概念（仅数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布（数一理解；数三掌握），理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的独立性与不相关性的关系.3.掌握二维均匀分布，（数一了解；数三掌握）二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.考点：多维随机变量及其分布1.二维随机变量设，是定义在样本空间上的两个随机变量，称向量为二维随机变量.2.联合分布函数的定义设是二维随机变量，对于任意的实数，二元函数称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数.【注】如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数在处的函数值就是随机点落在如图所示的，以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内（含右边界和上边界）的概率.()X X ω=()Y Y ω=Ω),(Y X ()X ,Y x,y ()(){}{}(,),F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤∆≤≤()X ,Y X Y ()X ,Y (,)F x y ()x,y ()X ,Y ()x,y3. 联合分布函数的性质（1）分别对于变量和是单调不减的.（2）,,,,.（3）分别关于和右连续，即，.（4）随机点落在矩形域上的概率为.【例1】 设二维随机变量()Y X ,的分布函数为(),F x y ，边缘分布函数为()X F x ，()Y F y ，则{},P X x Y y >>等于（ ）（A ）()1,F x y − （B ）()()1X Y F x F y −− （C ）()()(),1X Y F x y F x F y −−+ （D ）()()(),1X Y F x y F x F y ++−),(y x F x y 1),(0≤≤y x F (,)0F y −∞=(,)0F x −∞=(,)0F −∞−∞=(,)1F +∞+∞=),(y x F x y (0,)(,)F x y F x y +=(,0)(,)F x y F x y +=(){}1212,|,x y xx x y y y <≤<≤{}121222211211,(,)(,)(,)(,)0P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=−−+≥考点：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布1. 二维离散型随机变量若二维随机变量全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称是二维离散型随机变量.2. 联合分布律（1）定义 设二维离散型随机变量所有可能取的值为，称 为二维离散型随机变量的分布律或随机变量和的联合分布律.也可以用表格来表示和的联合分布律，如下表所示：（2）性质①； ②.【例1】 袋中有6个球，其中1个红球，2个白球，3个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数，求的分布律.【例2】 已知的分布律为),(Y X ),(Y X ),(Y X (),,,1,2,ijx y i j ={,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====),(Y X X Y X Y 0ij p ≥111iji j p∞∞===∑∑Y X ,),(Y X ),(Y X的分布函数为，则，. 3. 边缘分布律若二维离散型随机变量的概率分布为，则分别称， ，为关于和关于的边缘分布律.【例3】 袋中有6个球，其中1个红球，2个白球，3个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数. 求的边缘分布律.【例4】 设随机变量101~(1,2)111424i X i −⎛⎫ ⎪=⎪⎝⎭，且12(0)1P X X +==，则12()P X X ==（ ）（A ）0 （B ）14 （C ）12（D ）1 4. 条件分布律设二维离散型随机变量的分布律为，(),X Y (),F x y 1,1____2F ⎛⎫= ⎪⎝⎭10,_____2P X Y ⎧⎫≥>=⎨⎬⎩⎭),(Y X (){,},1,2,i j ij P X x Y y p i j ===={}{,}i i ij i jP X x P X x Y p p •===<+∞==∑1,2,i={}{,}j j ij j iP Y y P X Y y p p •==<+∞===∑1,2,j=),(Y X X Y Y X ,),(Y X ),(Y X {,}i j ij P X x Y y p ===(),1,2,i j =对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律.同理，对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律.j()1,2,j ={}0j P Y y =>{}{}{}12•========i j ij i j jj P X x ,Y y p P X x Y y ,i ,,p P Y y j Y y =X i ()1,2,i ={}0i P X x =>{}{}{}12•========i j ij j i i i P X x ,Y y p P Y y X x ,j ,,P X x p i X x =Y考点：二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度1. 二维连续型随机变量设二维随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数()f x,y ，使得对于任意,x y ，有(,)(,)d d xyF x y f u v u v −∞−∞=⎰⎰，则称()X ,Y 为二维连续型随机变量，称函数()f x,y 为二维随机变量()X ,Y 的概率密度或随机变量X 和Y 的联合概率密度.2. 联合概率密度的性质 （1）. （2）.（3）若在点处连续，则. （4）设是平面上的区域，点落在内的概率为.【例1】 设的概率密度为，求：（1）常数的值；（2）. 3. 边缘概率密度若二维连续型随机变量的概率密度为，则分别称，为关于和关于的边缘概率密度.4. 条件概率密度设二维连续型随机变量的概率密度为，关于的边缘概()0f x,y ≥()(,),1f x y dxdy F +∞+∞−∞−∞=+∞+∞=⎰⎰(,)f x y ()x,y 2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂G xoy ()X ,Y G {}(,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰()X ,Y (),01,0,Cx x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他C 1,12P X Y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭),(Y X (),f x y ()(),X f x f x y dy +∞−∞=⎰()(),Y f y f x y dx +∞−∞=⎰),(Y X X Y ),(Y X (),f x y ),(Y X Y率密度为. 若对于固定的，，则称为在的条件下的条件概率密度，记为.类似地，若对于固定的，，则称为在条件下的条件概率密度.【例2】 设的概率密度函数为，求：（1）；（2），.【例3】 设随机变量，当给定时，随机变量的条件概率密度为， （1）求和的联合概率密度； （2）求边缘概率密度.()Y f y y ()0Y f y >()(),Y f x y f y Y y =X ()()()X|Y Y f x,y f x |y f y =x ()0X f x >()()()Y|X X f x,y f y |x f x =x X =Y ),(Y X (),0,0,y e x yf x y −⎧<<=⎨⎩其他()(),X Y f x f y ()Y|X f y |x ()X|Y f x|y ()~0,1X U X x =Y ()100Y|Xx,y f y |x x ,⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他X Y (),f x y ()Y f y考点：随机变量的独立性1.定义 设及，分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数. 若对于任意实数，有，则称随机变量和相互独立.当是离散型随机变量时，和相互独立的充要条件是.当是连续型随机变量时，和相互独立的充要条件是.【注】证明两个随机变量不独立的方法：若存在00,y x ，使得{}{}{}0000,y Y P x X P y Y x X P ≤≤≠≤≤，则与不相互独立.2.性质 若和相互独立，是连续函数，则相互独立.【例1】 设随机变量与独立同分布，且，则下列等式成立的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【例2】 设的密度函数为，问和是否独立？(,)F x y ()X F x ()Y F y ),(Y X ,x y (,)()()X Y F x y F x F y =X Y ),(Y X X Y ()12ij i j p p p i,j ,••=⋅=),(Y X X Y ()()()()X Y f x,y f x f y x R,y R =∈∈X Y X Y ()(),g t h t ()(),g X h Y X Y {}{}2111===−=X P X P {}41==Y X P {}21==Y X P {}410==+Y X P {}411==XY P ),(Y X (),0,0,y e x yf x y −⎧<<=⎨⎩其他X Y考点：常见二维随机变量的分布1.二维均匀分布 若二维随机变量具有概率密度，其中为平面上的有界区域，的面积为，则称在上服从均匀分布.2.二维正态分布（1）定义 若二维随机变量的概率密度（数一了解；数三掌握）为，其中均为常数，且，则称服从二维正态分布，记为.（2）性质 若()()221212X ,Y ~N ,;,;μμσσρ，则 ①()211X ~N ,μσ，()222Y ~N ,μσ；②和相互独立的充分必要条件是；③仍服从正态分布；④令⎩⎨⎧+=+=Y b X a V Yb X a U 2211，当02211≠b a b a 时，()V U ,服从二维正态分布.【注】若()211X ~N ,μσ，()222Y ~N ,μσ且独立，则服从二维正态分布，且仍服从正态分布.【例1】 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，求.),(Y X ()()1,,,0,x y Gf x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他G G A ),(Y X G ),(Y X ()()()()()()22112222211221221x x y y f x,y μμμμρσσσσρ⎧⎫⎡⎤−−−−⎪⎪=−−+⎢⎥⎨⎬−⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,x y R ∈1212,,,,μμσσρ120011,,σσρ>>−<<),(Y X ()()221212X ,Y ~N ,;,;μμσσρX Y 0ρ=()220aX bY a b ++≠,X Y (),X Y ()220aX bY a b ++≠),(Y X {}01,D x y x =<<<()x y f X Y ||【例2】 设二维随机变量，则. 【例3】（课后作业）设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布()0;1,1;0,1N ，则{0}____.P XY Y −<=()()00110X ,Y ~N ,;,;0_____X P Y ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭考点：二维随机变量函数的分布1.Y X ,均为离散型随机变量情形一：二维离散型→一维离散型 即：()=,Z g X Y . 做法：找出Z 全部可能的取值，求出相应的概率.情形二：二维离散型→二维离散型 即：()()12=,,,U g X Y V g X Y =，(),U V 为二维离散型随机变量. 做法：找出U 和V 的全部可能取值，画出表格，求出相应的概率.【例1】 设二维随机变量的分布律为求的分布.【例2】 设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为1(),(1,2,3)3P i i ξ===，又设max{,}X ξη=，min{,}Y ξη=.求(,)X Y 的联合分布律.2.X 和Y ，一个离散型随机变量，一个连续型随机变量做法：有限可加性或全概率公式【例3】 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从标准正态分布，且Y 的分布律为1(0)(1)2P Y P Y ====. 求的概率密度. 3.Y X ,均为连续型随机变量设二维连续型随机变量的概率密度为.（1）若()=,Z g X Y 为离散型随机变量，求Z 的分布律. 做法：找出Z 全部可能的取值，求出相应的概率.),(Y X Z X Y =+Z X Y =+),(Y X (,)f x y（2）若为连续型随机变量，则随机变量的分布函数为，. 进而的概率密度为.（3）四类重要的二维随机变量函数的分布（均是“推广的卷积公式”的特例） ①=Z X Y +的分布（和的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z X Y +的概率密度为：()()(),,Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞−∞−∞=−=−⎰⎰. 若和相互独立，则有卷积公式：()()()()()Z X Y X Y f z f x f z x dx f z y f y dy +∞+∞−∞−∞=−=−⎰⎰.②=Z X Y −的分布（差的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z X Y −的概率密度为：()()(),,Z f z f x x z dx f y z y dy +∞+∞−∞−∞=−=+⎰⎰若和相互独立，则有：()()()()()Z X Y X Y f z f x f x z dx f y z f y dy +∞+∞−∞−∞=−=+⎰⎰.③=Z XY 的分布（积的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z XY 的概率密度为：()11,,||||Z z z f z f x dx f y dy x x y y +∞+∞−∞−∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 若和相互独立，则有：()()()11||||Z X Y X Y z z f z f x f dx f f y dy x x y y +∞+∞−∞−∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.④=XZ Y的分布（商的分布） 设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=XZ Y的概率密度为： ()()||,Z f z y f yz y dy +∞−∞=⎰.若和相互独立，则有：()()()||Z X Y f z y f yz f y dy +∞−∞=⎰.【注】推广的卷积公式：设随机变量()Y X ,的概率密度为()y x f ,，()Y X g Z ,=.(,)Z g X Y =(,)Z g X Y =()()(),,Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰z R ∈Z ()()Z Z f z F z '=X Y X Y X Y X Y【例4】 设二维随机变量服从上的均匀分布，令，求的概率密度.【例5】 设二维随机变量的概率密度为，求的概率密度. 4.最值的分布设相互独立，它们的分布函数分别是(),1,2,,i X F x i n =，则及的分布函数分别为： ，.特别地，当相互独立且具有相同分布函数时，有，.【例6】 设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则(),X Y {}10,10≤≤≤≤=y x D ||Y X Z −=Z (),X Y ()2,01,01,0,x y x y f x y −−<<<<⎧=⎨⎩其他Z X Y =+12,,,n X X X {}12max ,,,n M X X X ={}12min ,,,n N X X X =()12max ()()()n X X X F z F z F z F z =()12min 11()1()1()n X X X F z F z F z F z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦12,,,n X X X ()F x ()[]max ()nF z F z =()[]min 11()nF z F z =−−max{,}Z X Y =的分布函数为（ ）（A ）2()F x （B ）()()F x F y （C ）21[1()]F x −− （D ）[1()][1()]F x F y −−.【例7】 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，),min(Y X V =. 求V 的概率密度()v f V .。

第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、 各种分布与随机变量的独立性1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （−∞, +∞）, y ∈ （−∞, +∞）的性质F （x , y ）为联合分布函数 ⇔ 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ∀x ∈ （−∞, +∞）,, y ∈ （−∞, +∞）;2） F （−∞, y ）= F （x , −∞）=0, F （+∞,+∞）=1;3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续.（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p i j0,1=∑∑ijji p.边缘分布律 p i= P {X = x i }=∑jji p, i =1, 2 ,⋅⋅⋅ , pj = P { Y = y j }=∑iji p, j =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,条件分布律 P {X = x i |Y = y j } =jj i p p •, P { Y = y j | X = x i } =•i j i p p .二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f （x , y ）为联合概率密度 ⇔ 1︒ f （x , y ）≥0,2︒1=⎰⎰∞+∞-∞+∞- ),(dxdy y x f .设（ X , Y ）~ f （x , y ）则 分布函数:⎰⎰∞-∞-=xydxdy y x f y x F ),(),(;边缘概率密度: ⎰∞+∞-=),()(dy y x f x f X , ⎰∞+∞-= ),()(dx y x f x f Y .条件概率密度: )(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =, )(),()|(|x f y x f x y f X X Y =.⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{(.),(),(yx y x F y x f ∂∂∂=22. 随机变量的独立性和相关性X 和Y 相互独立 ⇔ F （x , y ）= F X （x ）F Y （y ）;⇔ p i j = p ip j （离散型）⇔ f （x , y ）= f X （x ）f Y （y ） （连续型）【注】 1 X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 f （X ）与g （Y ）也独立.2 若X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m , Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数 f （X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m ）与g （Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n ）也独立.3 常数与任何随机变量独立. 3. 常见的二维分布（1）二维均匀分布 （X , Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,.),(,)(),(其他01D y x D S y x f （2）二维正态分布 （X , Y ）~ N （μ1 , μ2, σ12 ,σ22,）, −∞ <μ1, μ2 < +∞, σ1>0, σ2 > 0,| | <1. 联合概率密度为221121ρσπσϕ-=),(y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e性质:（ a ） X ~ N （μ1, σ12 ）, Y ~ N （μ2, σ22 ） （ b ） X 与Y 相互独立ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关.（ c ） C 1X +C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12 σ12 + C 22σ22 +2C 1C 2 σ1 σ2 ）.（ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122111ρσμσσρμ--+y N 【 例1 】 设A ，B 为事件，且P （A ）＝41, P （B |A ）＝21, P （A |B ）＝12令 X ＝⎩⎨⎧否则发生若,0,1A , Y ＝⎩⎨⎧否则发生若,0B ,1（1） 试求（X , Y ）的联合分布律； （2）计算Cov （ X , Y ）； （3） 计算 22(2,43)Cov X Y +.【 例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X , Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.【 例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U ,m in ,,m ax ==.（I ）求（U , V ）的概率分布;（II ）求（U , V ）的协方差C ov （U , V ）. 【详解】（I ）易知U , V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,m in ,1,(m ax )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P , {}{}0})2,m in ,1,(m ax )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,m in ,2,(m ax )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P)2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 94=, {}{}})2,m in ,2,(m ax )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 91=, 故（U , V ）的概率分布为:（II ） 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=, 而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E .故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov .【 例4】 设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度;（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y X P .二、 二维（或两个）随机变量函数的分布1．分布的可加性（1）若X ~B （m, p ）, Y ~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X +Y ~ B （m +n , p ）. （2）若X ~P （λ1）, Y ~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.（3）若X ~N （211,μσ）, Y ~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （221212,μμσσ++）.一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n , 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y =C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),n ni i i i i i N C C Cμσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】 设X与Y相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠={min(,)0}__________.P X Y ≠=【 例6】 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:1,01,()X x f x <<⎧=⎨⎩0,其他. ,0,()y Y e y f x -⎧>=⎨⎩0,其他.求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.【 例7】设二维随机变量（X , Y ）的概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.（I ）求{}Y X P 2>；（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】（I ）{}Y X P 2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=1221)2(ydx y x dy 247=. （II ）方法一： 先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(当z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=yz zdx y x dy 0)2(3231z z -=； 当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=；当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z方法二： ⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ; 当01z <<时, ⎰-=zZ dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z【例8】 设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为()i i P Y a p ==,　i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.。

第三章多维随机变量及其分布................................................................................................ - 1 - 第一节多维随机变量及其概率分布................................................................................ - 2 - 一多维维随机变量及其分布函数.......................................................................... - 2 -二二维离散型随机变量及其概率分布.................................................................... - 4 -三二维连续型随机变量及其概率分布.................................................................... - 8 -基础练习3.1............................................................................................................. - 12 - 第二节条件分布与随机变量的独立性.......................................................................... - 12 - 一条件分布与独立性的概念.................................................................................. - 12 -二二维离散型随机变量的条件分布与独立性...................................................... - 13 -三二维连续型随机变量的条件分布及其独立性.................................................. - 16 -四*多维随机变量的概率分布及其独立性............................................................... - 20 -基础训练3.2............................................................................................................. - 21 - 第三节二维随机变量函数的分布.................................................................................. - 22 - 一离散型随机变量的函数分布.............................................................................. - 22 -二连续型随机变量的函数分布.............................................................................. - 24 -基础训练3.3 .............................................................................................................. - 31 - 综合训练三........................................................................................................................ - 31 - 内容小结及题型分析三.................................................................................................... - 31 - 拓展提高三........................................................................................................................ - 31 - 阅读材料三........................................................................................................................ - 31 - 数学实验三........................................................................................................................ - 31 -第三章多维随机变量及其分布【本章导读】本章是在一维随机变量基础上，进一步讨论多维随机变量，以二维随机变量为重点，讨论了基本概念性质、边际分布、联合分布等问题及应用，随机变量的独立性及函数的分布. 【本章用到的先修知识】二重积分，混合偏导.【本章要点】二维离散型、连续型随机变量的概念、性质、联合分布与边际分布，独立性，函数的分布.在第二章中，我们主要讨论了一维随机变量及其概率分布。