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中考压轴题（典型辅助线用法）一、三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线，得到一对全等直角三角形。
（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一。
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°。
二、四边形中常见辅助线的添加（特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）1.和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形。
（2）利用两组对边平行构造平行四边形。
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形。
2.与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。
3.和菱形有关的辅助线的作法（连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题）（1）作菱形的高。
（2）连结菱形的对角线。
4.与正方形有关辅助线的作法正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。
5. 与梯形有关的辅助线的作法（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形。
（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形。
中考压轴题全解——辅助线及找规律专题
中考压轴题全解——辅助线及找规律专题：
一、三角形中点几何辅助线
我们都知道：三角形是平面几何的核心，而三角形中的“线”又是三角形的核心，几何难题的辅助线常来源于此单独考查出现在选择，填空压轴题；大题中这些“线”常隐藏于复杂图形之中，对解题起关键作用。
二、找规律
找规律有很多类型，比如累加型、周期型、新定义型，有关于图形的规律、也有关于数字的规律，还有几何与代数结合的坐标系找规律等。
一、添辅助线有二种情况:1、按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形:全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法就是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(7)相似三角形:相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形),相交线型,旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可瞧成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
中考压轴题专题几何辅助线精选1.如图;Rt△ABC中;∠ABC=90°;DE垂直平分AC;垂足为O;AD∥BC;且AB=3;BC=4;则AD的长为．精选2．如图;△ABC中;∠C＝60°;∠CAB与∠CBA的平分线AE;BF相交于点D;求证：DE＝DF．精选3.已知：如图;⊙O的直径AB=8cm;P是AB延长线上的一点;过点P作⊙O的切线;切点为C;连接AC．(1)若∠ACP=120°;求阴影部分的面积；2若点P在AB的延长线上运动;∠CPA的平分线交AC于点M;∠CMP的大小是否发生变化若变化;请说明理由；若不变;求出∠CMP的度数..精选4、如图1;Rt△ABC中;∠ACB=90°;AC=3;BC=4;点O是斜边AB上一动点;以OA为半径作⊙O与AC边交于点P;1当OA=时;求点O到BC的距离；2如图1;当OA=时;求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少3若BC边与⊙O有公共点;直接写出OA的取值范围；4若CO平分∠ACB;则线段AP的长是多少．精选5．如图;已知△ABC为等边三角形;∠BDC＝120°;AD平分∠BDC;求证：BD+DC＝AD．精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8;将矩形ABCD折叠;使得顶点B落在CD边上的P点处．EBDEF第6题图1如图1;已知折痕与边BC交于点O;连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4;求边AB的长；2若图1中的点P恰好是CD边的中点;求∠OAB的度数；3如图2;;擦去折痕AO、线段OP;连结BP．动点M在线段AP上点M与点P、A不重合;动点N在线段AB的延长线上;且BN=PM;连结MN交PB于点F;作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中;线段EF的长度是否发生变化若变化;说明理由；若不变;求出线段EF的长度．精选7、如图;四边形ABCD是边长为2;一个锐角等于60°的菱形纸片;小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合;按顺时针方向旋转三角形纸片;使它的两边分别交CB、BA或它们的延长线于点E、F;∠EDF=60°;当CE=AF时;如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．1继续旋转三角形纸片;当CE≠AF时;如图2小芳的结论是否成立若成立;加以证明；若不成立;请说明理由；2再次旋转三角形纸片;当点E、F分别在CB、BA的延长线上时;如图3请直接写出DE与DF的数量关系；3连EF;若△DEF的面积为y;CE=x;求y与x的关系式;并指出当x为何值时;y有最小值;最小值是多少精选8、等腰Rt△ABC 中;∠BAC=90°;点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点;直角边AC 交x 轴于点D;斜边BC 交y 轴于点E ；1如图1;若A0;1;B2;0;求C 点的坐标；2如图2;当等腰Rt △ABC 运动到使点D 恰为AC 中点时;连接DE;求证：∠ADB=∠CDE3如图3;在等腰Rt △ABC 不断运动的过程中;若满足BD 始终是∠ABC 的平分线;试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系;并说明理由．精选9．如图;正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上;这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h 123(000)h h h >>>，，．（1）求证：31h h =；2设正方形ABCD 的面积为S ;求证：22121()S h h h =++； 3若12312h h +=;当1h 变化时;说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．l l l l 432 1 第题图参考答案精选1解：∵Rt△ABC中;∠ABC=90°;AB=3;BC=4;∴AC ===5;∵DE垂直平分AC;垂足为O;∴OA =AC =;∠AOD=∠B=90°;∵AD∥BC;∴∠A=∠C;∴△AOD∽△CBA;∴=;即=;解得AD =．故答案为：．精选2证明：在AB上截取AG;使AG=AF;易证△ADF≌△ADGSAS．∴DF＝DG．∵∠C＝60°;AD;BD是角平分线;易证∠ADB=120°．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．易证△BDE≌△BDGASA．∴DE＝DG＝DF．精选3、解：1连接OC．∵PC为⊙O的切线;∴PC⊥OC．∴∠PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA;∴∠A=∠ACO=30度．∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC =；2∠CMP的大小不变;∠CMP=45°由1知∠BOC+∠OPC=90°DE FG∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APC∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=∠BOC+∠OPC=45°．精选4、解：1在Rt△ABE中;．1分过点O作OD⊥BC于点D;则OD∥AC;∴△ODB∽△ACB;∴;∴;∴;∴点O到BC的距离为．3分2证明：过点O作OE⊥BC于点E;OF⊥AC于点F;∵△OEB∽△ACB;∴∴;∴．∴直线BC与⊙O相切．5分此时;四边形OECF为矩形;∴AF=AC﹣FC=3﹣=;∵OF⊥AC;∴AP=2AF=．7分3；9分4过点O作OG⊥AC于点G;OH⊥BC于点H;则四边形OGCH是矩形;且AP=2AG;又∵CO平分∠ACB;∴OG=OH;∴矩形OGCH是正方形．10分设正方形OGCH的边长为x;则AG=3﹣x;∵OG∥BC;∵△AOG∽△ABC;∴;∴;∴;∴;∴AP=2AG=．12分精选5、证法1：截长如图;截DF=DB;易证△DBF为等边三角;然后证△BDC≌△BFA即可；证法2：截长如图;截DF=DC;易证△DCF为等边三角;然后证△BDC≌△AFC即可；证法3：补短如图;延长BD至F;使DF=DC;此时BD+DC=BD+DF=BF;易证△DCF为等边△;再证△BCF≌△ACD即可．证法4：四点共圆两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．设AB＝AC＝BC＝a;根据圆内接四边形托勒密定理：精选6、解：1如图1;①∵四边形ABCD是矩形;∴AD=BC;DC=AB;∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB;PO=BO;∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C;∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4;∴====．∴PD=2OC;PA=2OP;DA=2CP．∵AD=8;∴CP=4;BC=8．设OP=x;则OB=x;CO=8﹣x．在Rt△PCO中;∵∠C=90°;CP=4;OP=x;CO=8﹣x;∴x2=8﹣x2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．2如图1;∵P是CD边的中点;∴DP=D C．∵DC=AB;AB=AP;∴DP=AP．∵∠D=90°;∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°;∠PAO=∠BAO;∠DAP=30°; ∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．3作MQ∥AN;交PB于点Q;如图2．∵AP=AB;MQ∥AN;∴∠APB=∠ABP;∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ;ME⊥PQ;∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM;MP=MQ;∴BN=QM．∵MQ∥AN;∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中;．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B．由1中的结论可得：PC=4;BC=8;∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在1的条件下;当点M、N在移动过程中;线段EF的长度不变;长度为2．精选7、解：1DF=DE．理由如下：如答图1;连接BD．∵四边形ABCD是菱形;∴AD=AB．又∵∠A=60°;∴△ABD是等边三角形;∴AD=BD;∠ADB=60°;∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°;∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中;;∴△ADF≌△BDEASA;∴DF=DE；2DF=DE．理由如下：如答图2;连接BD．∵四边形ABCD是菱形;∴AD=AB．又∵∠A=60°;∴△ABD是等边三角形;∴AD=BD;∠ADB=60°;∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°;∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中;;∴△ADF≌△BDEASA;∴DF=DE；3由2知;△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE;AF=BE=x．依题意得：y=S△BEF+S△ABD=2+xxsin60°+×2×2sin60°=x+12+．即y=x+12+．∵＞0;∴该抛物线的开口方向向上;∴当x=0即点E、B重合时;y最小值=．精选8、1解：过点C作CF⊥y轴于点F;∴∠AFC=90°;∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形;∠BAC=90°;∴AC=AB;∠CAF+∠BAO=90°;∠AFC=∠BAC;∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中;;∴△ACF≌△ABOAAS∴CF=OA=1;AF=OB=2∴OF=1∴C﹣1;﹣1；2证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G;∴∠ACG=∠BAC=90°;∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°;∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°;∠DAO+∠BAO=90°;∴∠ADO=∠BAO;∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABDAAS;∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°;∴∠DCE=∠GCE=45°;在△DCE和△GCE中;;∴△DCE ≌△GCESAS; ∴∠CDE=∠G;∴∠ADB=∠CDE ；3解：在OB 上截取OH=OD;连接AH 由对称性得AD=AH;∠ADH=∠AHD ． ∵∠ADH=∠BAO ． ∴∠BAO=∠AHD ．∵BD 是∠ABC 的平分线; ∴∠ABO=∠EBO; ∵∠AOB=∠EOB=90°． 在△AOB 和△EOB 中;;∴△AOB ≌△EOBASA; ∴AB=EB;AO=EO; ∴∠BAO=∠BEO;∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO ． ∴∠AEC=∠BHA ． 在△AEC 和△BHA 中;;∴△ACE ≌△BAHAAS ∴AE=BH=2OA ∵DH=2OD ∴BD=2OA+OD ．精选9、1证：设2AD l 与交于点E ;BC 与3l 交于点F ; 由已知BF ED BE FD ∥，∥;∴四边形BEDF 是平行四边形;BE DF ∴=．又CDF Rt ABE Rt CD AB ∆∆∴=≌，．31h h =∴ 2证：作44BG l DH l ⊥⊥，;垂足分别为G H 、; 在Rt Rt BGC CHD △和△中;1 2 3 l 4h 3h 2 h 11809090BCG DCH BCD CDH DCH ∠+∠=︒-∠=︒∠+∠=︒，． BCG CDH ∴∠=∠．又90BGC CHD BC CD ∠=∠=︒=，;2Rt Rt BGC CHD CG DH h ∴==△≌△，．又22222223232121()()BG h h BC BG CG h h h h h h =+∴=+=++=+，; 222121()S BC h h h ∴==++．3解：1221331122h h h h +=∴=-，; 2222121111355241124455S h h h h h h ⎛⎫⎛⎫∴=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 1211320010023h h h h >>∴->∴<<，，，． ∴当1205h <<时;S 随1h 的增大而减小；当12253h <<时;S 随1h 的增大而增大．l l 4 3 2 1。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角(de)倍半关系也可类似添辅助线.2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应(de)几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形(de)性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循.举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线(de)关键是添与二条平行线都相交(de)等第三条直线（2）等腰三角形是个简单(de)基本图形：当几何问题中出现一点发出(de)二条相等线段时往往要补完整等腰三角形.出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角(de)二边相交得等腰三角形.（3）等腰三角形中(de)重要线段是个重要(de)基本图形：出现等腰三角形底边上(de)中点添底边上(de)中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角(de)二边相交得等腰三角形中(de)重要线段(de)基本图形.（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上(de)中点往往添斜边上(de)中线.出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形(de)斜边则要添直角三角形斜边上(de)中线得直角三角形斜边上中线基本图形.（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点(de)线段带一个中点则可过这中点添倍线段(de)平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段(de)端点是某线段(de)中点,则可过带中点线段(de)端点添半线段(de)平行线得三角形中位线基本图形.（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转.当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线(de)相似三角形）,相交线型,旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形.若平行线过端点添则可以分点或另一端点(de)线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法.（8）特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明（9）半圆上(de)圆周角出现直径与半圆上(de)点,添90度(de)圆周角；出现90度(de)圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样.二、基本图形(de)辅助线(de)画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线(de)题目,常将中线加倍.含有中点(de)题目,常常利用三角形(de)中位线,通过这种方法,把要证(de)结论恰当(de)转移,很容易地解决了问题.方法2：含有平分线(de)题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线(de)性质和题中(de)条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形(de)知识解决问题.方法3：结论是两线段相等(de)题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段(de)一些定理.方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中(de)一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段.2.平行四边形中常用辅助线(de)添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）(de)两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目(de)都是造就线段(de)平行、垂直,构成三角形(de)全等、相似,把平行四边形问题转化成常见(de)三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边(de)垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边(de)平行线,构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点(de)线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形.（5）过顶点作对角线(de)垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线(de)添法梯形是一种特殊(de)四边形.它是平行四边形、三角形知识(de)综合,通过添加适当(de)辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决.辅助线(de)添加成为问题解决(de)桥梁,梯形中常用到(de)辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰.（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底(de)两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰(de)中点.（8）过一腰(de)中点作另一腰(de)平行线.（9）作中位线当然在梯形(de)有关证明和计算中,添加(de)辅助线并不一定是固定不变(de)、单一(de).通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题(de)关键.4.圆中常用辅助线(de)添法在平面几何中,解决与圆有关(de)问题时,常常需要添加适当(de)辅助线,架起题设和结论间(de)桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线(de)一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题(de)能力是大有帮助(de).（1）见弦作弦心距有关弦(de)问题,常作其弦心距（有时还须作出相应(de)半径）,通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间(de)联系.（2）见直径作圆周角在题目中若已知圆(de)直径,一般是作直径所对(de)圆周角,利用"直径所对(de)圆周角是直角"这一特征来证明问题.（3）见切线作半径命题(de)条件中含有圆(de)切线,往往是连结过切点(de)半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题.（4）两圆相切作公切线对两圆相切(de)问题,一般是经过切点作两圆(de)公切线或作它们(de)连心线,通过公切线可以找到与圆有关(de)角(de)关系.（5）两圆相交作公共弦对两圆相交(de)问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆(de)弦联系起来,又可以把两圆中(de)圆周角或圆心角联系起来.三、作辅助线(de)方法1、中点、中位线,延线,平行线.如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长(de)某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段(de)平行线,以达到应用某个定理或造成全等(de)目(de).2、垂线、分角线,翻转全等连.如遇条件中,有垂线或角(de)平分线,可以把图形按轴对称(de)方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线(de)做法就会应运而生.其对称轴往往是垂线或角(de)平分线.3、边边若相等,旋转做实验.如遇条件中有多边形(de)两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定(de)角度,就可以得到全等形,这时辅助线(de)做法仍会应运而生.其对称中心,因题而异,有时没有中心.故可分“有心”和“无心”旋转两种.4、造角、平、相似,和、差、积、商见.如遇条件中有多边形(de)两边相等或两角相等,欲证线段或角(de)和差积商,往往与相似形有关.在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法：第一,造一个辅助角等于已知角；第二,是把三角形中(de)某一线段进行平移.故作歌诀：“造角、平、相似,和差积商见.”托列米定理和梅叶劳定理(de)证明辅助线分别是造角和平移(de)代表）5、两圆若相交,连心公共弦.如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦.6、两圆相切、离,连心,公切线.如条件中出现两圆相切（外切,内切）,或相离（内含、外离）,那么,辅助线往往是连心线或内外公切线.7、切线连直径,直角与半圆.如果条件中出现圆(de)切线,那么辅助线是过切点(de)直径或半径使出现直角；相反,条件中是圆(de)直径,半径,那么辅助线是过直径（或半径）端点(de)切线.即切线与直径互为辅助线.如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆；相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线.即直角与半圆互为辅助线.8、弧、弦、弦心距；平行、等距、弦.如遇弧,则弧上(de)弦是辅助线；如遇弦,则弦心距为辅助线.如遇平行线,则平行线间(de)距离相等,距离为辅助线；反之,亦成立.如遇平行弦,则平行线间(de)距离相等,所夹(de)弦亦相等,距离和所夹(de)弦都可视为辅助线,反之,亦成立.有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线.9、面积找底高,多边变三边.如遇求面积,（在条件和结论中出现线段(de)平方、乘积,仍可视为求面积）,往往作底或高为辅助线,而两三角形(de)等底或等高是思考(de)关键.如遇多边形,想法割补成三角形；反之,亦成立.另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线(de)做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”.。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
中考压轴题专题几何（辅助线）精选1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．精选2．如图，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB与∠CBA的平分线AE，BF相交于点D，求证：DE＝DF．精选3.已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC．(1)若∠ACP=120°，求阴影部分的面积；(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数。
精选4、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，（1）当OA=时，求点O到BC的距离；（2）如图1，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少（3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围；（4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少．精选5．如图，已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，AD平分∠BDC，求证：BD+DC＝AD．精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少精选8、等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ； （1）如图（1），若A （0，1），B （2，0），求C 点的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt△ABC 运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC 不断运动的过程中，若满足BD 始终是∠ABC 的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．精选9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h 123(000)h h h >>>，，． （1）求证：31h h =；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：22121()S h h h =++；（3）若12312h h +=，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．l 1 l 2 l 3 l 4321第题图参考答案精选1解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，∵DE垂直平分AC，垂足为O，∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=，即=，解得AD=．故答案为：．精选2证明：在AB上截取AG，使AG=AF，易证△ADF≌△ADG（SAS）．∴DF＝DG．∵∠C＝60°，AD，BD是角平分线，易证∠ADB=120°．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．易证△BDE≌△BDG（ASA）．G ∴DE＝DG＝DF．精选3、解：（1）连接OC．∵PC为⊙O的切线，∴PC⊥OC．∴∠PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=30度．∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC=；（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°由（1）知∠BOC+∠OPC=90°∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APC∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．精选4、解：（1）在Rt△ABE中，．（1分）过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，∴点O到BC的距离为．（3分）（2）证明：过点O作O E⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．∴直线BC与⊙O相切．（5分）此时，四边形OECF为矩形，∴AF=AC﹣FC=3﹣=，∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）（3）；（9分）（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）设正方形OGCH的边长为x，则AG=3﹣x，∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，∴，∴，∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）精选5、证法1：（截长）如图，截DF=DB，易证△DBF为等边三角，然后证△BDC≌△BFA即可；证法2：（截长）如图，截DF=DC，易证△DCF为等边三角，然后证△BDC≌△AFC即可；证法3：（补短）如图，延长BD至F，使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF，易证△DCF为等边△，再证△BCF≌△ACD即可．证法4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．设AB＝AC＝BC＝a，根据（圆内接四边形）托勒密定理：CD·a＋BD·a＝AD·a，得证．精选7、解：（1）DF=DE．理由如下：如答图1，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴该抛物线的开口方向向上，∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．精选8、（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO． ∴∠BAO=∠AHD．∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°． 在△AOB 和△EOB 中， ，∴△AOB≌△EOB（ASA ）， ∴AB=EB，AO=EO ， ∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO． ∴∠AEC=∠BHA． 在△AEC 和△BHA 中， ，∴△ACE≌△BAH（AAS ） ∴AE=BH=2OA ∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD ）．精选9、（1）证：设2AD l 与交于点E ，BC 与3l 交于点F ， 由已知BF ED BE FD ∥，∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF ∴=．又CDF Rt ABE Rt CD AB ∆∆∴=≌，．31h h =∴ （2）证：作44BG l DH l ⊥⊥，，垂足分别为G H 、， 在Rt Rt BGC CHD △和△中，1809090BCG DCH BCD CDH DCH ∠+∠=︒-∠=︒∠+∠=︒Q ，． BCG CDH ∴∠=∠．又90BGC CHD BC CD ∠=∠=︒=，，2Rt Rt BGC CHD CG DH h ∴==△≌△，．又22222223232121()()BG h h BC BG CG h h h h h h =+∴=+=++=+，， 222121()S BC h h h ∴==++．（3）解：1221331122h h h h +=∴=-Q，， 2222121111355241124455S h h h h h h ⎛⎫⎛⎫∴=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1211320010023h h h h >>∴->∴<<Q ，，，．ll l l321l l l l 321∴当1205h <<时，S 随1h 的增大而减小；当12253h <<时，S 随1h 的增大而增大．。
