空间曲线的切线与法平面

考察割线趋近于极限位置一一切线的过程
上式分母同除以At,
- 。_ _ _ x
x
y
yo _z
zo
Ax Ay Az
At At At
当M' T M，即& T 0时，
曲线在M 处的切线方程
X _ 乂0 = y ~ yo _ 乙 _ Zo 欢 (t o) y'( t
o) z'( ").
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
一、空间曲线的切线与法平面
x — x (t)
设空间曲线的方1程y = y(t)
g = Z(t)
(1)式中的三个函数均可导. 设 M (Xo, y0, Zo),对应于 t —
10； M'(Xo + Ax, yo + Ay, Z°+
AZ ) 对应于t = t° + At.
⑴
—>
割线MM9的方程为
Ax Ay Az
特殊地: Jx=x(y)
2.空间曲线方程为 1 七=z ( y)
在M(x°,y°,z°)处，切向量釈=(x'(yo)丄z'(yo))
特殊地:
3.空间曲线方程为
Jx=x(z) 1 y = y(z)
在M(x°,y°,Zo)处，切向量 f = (X(Zo),y'(Zo),1)
4.空间曲线方程为
F （x，y，z） = 0
dx y 一 z
dy
n
=0,
dx (1,-2,1)
dz dx (1,-2,1)
由此得切向量 T = (1, 0,-1},
所求切线方程为 x — 1 y + 2 z — 1 = o =n
法平面方程为(x — 1) + 0 - (y + 2) — (z — 1) = 0,
nx 一 z=0
空间曲线的切线与法平面
特殊地:
1.空间曲线方程为
[y = y (x) = z (x)
I
z
在归(xo,yo,zo)处'切向量 P = (1,y (xo),z (xo))
切线方程为
_ _ x
xo = y
yo
_ 法平面方程为=(x X_ xo)+yz'o(xo)(y _ yo)+z'(xo)(z _ z°) = o.
1 y'(xo)z'(xo)'
F
Gv 丿
y
y
Gy
F
z
Gz （x。，yo，z。）
例
2 求曲线乂2 +
y2
+
2
z
=
6,
x
+wenku.baidu.com
y+
z
=
0
在
点(1,-2,1)处的切线及法平面方程.
解1直接利用公式；
解2将所给方程的两边对x求导并移项，得
=-xdyy—dz+ z — —
dx dx
n
=d-y1ddzx/d—x + ——
d^ _z 一 x dx y 一 zdz x — y
程. 解当 t = 0 时，x = 0, y = 1, z = 2,
X = e cos t, y = 2cos t 一 sin t, Z = 3e33, n x'(0)
= 1, y'(0) = 2, z'(0) = 3,
切线方程日=上1 =
123
法平面方程 x + 2( y -1) + 3( z - 2) = 0, 即 x + 2 y + 3 z 一 8 = 0.
-T
p =(x'((o)，y'((o)，Z ((o))
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x'((o)( x - xo)+y ((o)( y - y°)+Z ((o)( Z - Zo) = o
I 例 1 求曲线「:x = eu cos udu, y = 2sint
JO
+ cos t必=1 + e 33在t = 0处的切线和法平面方
（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）
，在M（xo,y。，z°）处，切向量 G （x，yF，x z）Fz= 0 F Fx
了
=
(1，y
， ( )xo
z (xo)) =
(1，—Gx
F
G
， Gs
Fz ， F
G )x (乂0,7o，Zo)
Fz
F =K ( y
Gv y
F
z
z
G ，G
z
z
F F Gy
xx
G ，Gx
xx
F Gz
Gy
KGz= - 1
y （乂0,，0必0）