广东省东莞市2020届高三4月模拟自测 数学(文)(含答案)
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2020年东莞市普通高中毕业班模拟自测理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}{}2230,210A x x x B x x =+-<=->,则A I B=A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)22. 设复数z 满足1iz i =+, 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一,镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、 五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形,半 圆的连接点构成正方形ABCD ,在整个图形中随机取一点,此 点取自正方形区域的概率为 A.22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 21π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x ), 当x >0时,2()log xf x =;且f (m )=2,则m =A. 14B.4C.4或14D.4或14- 5. 已知平面向量a r 、b r 的夹角为135°, 且a r为单位向量,(1,1)b =r ,则a b +=r rA.5 B. 32. C.1 D. 326. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 2222+1(0)x y a b a b=>>的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,若∆AF 2B 是边长为4的等边三角形,则椭圆C 的方程为A. 22143x y +=B. 22196x y += C.221164x y += D. 221169x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则(cos)(sin)1212ππ*=A. 32-B. 32C.1D.-1 8。
2020年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知实数集为R,集合M={x|x<3},N={x|x<1},则M∩C R N=()A. ϕB. {x|1<x<3}C. {x|1≤x<3}D. {x|1≤x≤3}2.复数z=3+i1+i的虚部是()A. 1B. iC. −1D. −i3.已知向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,3),则|2a⃗−b⃗ |=()A. √2B. 2C. √10D. 104.谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形几何图形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出,它是一个自相似的例子,其构造方法是:(1)取一个实心的等边三角形(图1);(2)沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形;(3)挖去中间的那一个小三角形(图2);(4)对其余三个小三角形重复(1)(2)(3)(4)(图3).制作出来的图形如图4,….若图1(阴影部分)的面积为1,则图4(阴影部分)的面积为()A. 916B. 419C. 2764D. 8275.设变量x,y满足约束条件{x−y+2≥02x−y−2≤0x+y−2≥0,则z=3x−y的最大值为()A. −2B. 103C. 6D. 146.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a11=a9+7,则S25=()A. 1452B. 175 C. 1752D. 2007.已知角α满足tanα=2,则cos2α+sin2α等于()A. √5−1B. 1C. √5+1D. 28.函数f(x)=(1−2018x1+2018x)cos2x的图象大致为()A. B.C. D.9.已知抛物线x2=4√3y的准线过双曲线x2m2−y2=−1的焦点,则双曲线的离心率为()A. 3√24B. 3√104C. √3D. √3310.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b−c=14a,2sinB=3sinC,则cosA=()A. 1116B. 78C. 14D. −1411.在直三棱柱A1B1C1−ABC中,∠BCA=90°,点E、F分别是A1B1、A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BE与AF所成的角的余弦值是()A. √3010B. 12C. √3015D. √151012.已知关于x的方程e x−2x−k=0有2个不相等的实数根,则k的取值范围是().A. (−∞,2−2ln2]B. (−∞,2−2ln2)C. [2−2ln2,+∞)D. (2−2ln2,+∞)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若直线kx−y−k=0与曲线y=e x(e是自然对数的底数)相切,则实数k=________.14.设等比数列{a n}中,前n项和为S n,已知S3=8,S6=7,则a2=______.15.若函数f(x)=√x,g(x)=x−√x,则f(x)+g(x)=______ .16.已知空间四边形ABCD中,AB=BD=AD=2,BC=1,CD=√3,若平面ABD⊥平面BCD,则该几何体的外接球表面积为______.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研,从该校学生中随机抽取了100名学生,通过调查统计得到2×2列联表的部分数据如下表:(1)补全2×2列联表中的数据;(2)判断是否有99.9%的把握认为学生的成绩与自律性有关.参考公式及数据:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).18.已知数列{a n}的前n项和S n=32n2+32n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记T n=a n⋅a n+12,若对于一切的正整数n,总有T n≤m成立,求实数m的取值范围.19. 已知四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 是菱形,∠ABC =π3,SA ⊥底面ABCD ,E 是SC 上的任意一点. (1)求证:平面EBD ⊥平面SAC ;(2)设SA =AB =2,求点A 到平面SBD 的距离.20. 已知点M(−2,0),N(2,0),动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2.记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程;(2)若A ,B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.21.设函数f(x)=ae x−xln x,其中a∈R,e是自然对数的底数.(Ⅰ)若f(x)是(0,+∞)上的增函数,求a的取值范围;(Ⅱ)若a≥2e2,证明:f(x)>0.22.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=−2,曲线C2的参数方程为{x=t2y=2√2t(t为参数),求C1与C2交点的直角坐标.23.已知函数f(x)=|x−2|−|2x+1|.(1)解不等式f(x)≤2;(2)若∃b∈R,不等式|a+b|−|a−b|≥f(x)对∀x∈R恒成立,求a的取值范围.【答案与解析】1.答案:C解析:本题考查集合的jiaoji交集和补集及其运算.属基础题.解:实数集为R,集合M={x|x<3},N={x|x<1},则C R N={x|x≥1},所以M∩C R N={x|1≤x<3}.故选C.2.答案:C解析:本题主要考查了复数的运算以及复数的概念,属于基础题.利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.解:z=3+i1+i =(3+i)(1−i) (1+i)(1−i)=4−2i2=2−i,∴复数z=3+i1+i的虚部是−1,故选C.3.答案:C解析:解:∵向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,3),∴2a⃗−b⃗ =(−3,1),∴|2a⃗−b⃗ |=√9+1=√10.故选:C.利用平面向量坐标运算法则求出2a⃗−b⃗ =(−3,1),由此能求出|2a⃗−b⃗ |.本题考查向量的模的求法,考查平面向量坐标运算法则、向量的模等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.4.答案:C解析:本题考查了归纳推理的应用,属于基础题.根据每一个三角形按题中方法去掉中间一个三角形后,剩余部分的面积是原图形面积的34倍.求出图4的阴影面积即可.解:由题知,每一个三角形按题中方法去掉中间一个三角形后,剩余部分的面积是原图形面积的34倍. ∵若图1(阴影部分)的面积为1,则图4阴影部分的面积为1×34×34×34=2764. 故选C .5.答案:C解析:解:由约束条件{x −y +2≥02x −y −2≤0x +y −2≥0作出可行域如图,联立{x −y +2=02x −y −2=0,解得A(4,6),化目标函数z =3x −y 为y =3x −z ,由图可知,当直线y =3x −z 过A 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最大值为6. 故选:C .由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.6.答案:B解析:本题考查了等差数列{a n }的前n 项和公式及其性质,属于基础题. 解:由题意得,∴2a 11−a 9=a 1+12d =a 13=7, S 25=(a 1+a 25)×252=25a 13=175,故选B .7.答案:B解析:解:∵tanα=2, 则cos 2α+sin2α=cos 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α =1+2tanαtan 2α+1=1, 故选:B .利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,求得要求式子的值. 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.8.答案:A解析:解:函数m(x)=1−2018x 1+2018x为奇函数,函数n(x)=cos2x 为偶函数,故函数f(x)=(1−2018x 1+2018x)cos2x为奇函数,故f(x)的图象关于原点对称,故排除B 、D . m′(x)=−2018x+1⋅ln2018(1+2018x )2<0,n′(x)=−2sin2x ,f′(0)=m′(0)n(0)+m(0)n′(0)=m′(0)<0,故f(x)在0处的导数为负值,即函数f(x)在0处的切线斜率是负的,故排除C , 故选:A .先根据函数的奇偶性排除部分选项,求处函数在0处的导数,可得函数f(x)在0处的切线斜率,在排除部分选项,得到正确的结论.本题主要考查函数的奇偶性,函数的图象特征,求函数的导数,属于中档题.9.答案:C解析:本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质,属于基础题.算出准线方程得到双曲线的焦距,再带入离心率公式中得到.解:由抛物线x2=4√3y得准线方程为y=−√3,因此双曲线的一个焦点为(0,−√3),∴c=√3.双曲线x2m2−y2=−1化为y2−x2m2=1,∴a=1,∴双曲线的离心率e=ca=√3.故选:C.10.答案:D解析:本题主要考查正余弦定理的应用,属于基础题.根据正弦定理求得b=32c,则a=2c,根据余弦定理即可求解.解:,∴2b=3c,即b=32c,∵b−c=14a,∴a=2c,.故选D.11.答案:A解析:本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、余弦定理、勾股定理等基础知识与基本技能方法,属于基础题建立空间坐标系得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,a 2,a),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a 2,a),运用向量的数量积cosθ=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3010,求解夹角即可.解:建立空间坐标系得出如图:∵BC =CA =CC 1=a ,∴根据题目条件得出:B(a,0,0),A(0,a ,0),B 1(a,0,a),A 1(0,a ,a),C 1(0,0,a) ∵点E 、F 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点,∴E(a 2,a 2,a),F(0,a2,a),∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,a 2,a),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a 2,a) ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a 24,|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62a ,|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52a , ∴cosθ=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3010, 故选:A 12.答案:D解析:本题考查了函数与方程思想,属于中档题.令f(x)=e x −2x ,求得f(x)的值域,即可得k 的取值范围.解:令f(x)=e x −2x ,则f′(x)=e x −2,可得f(x)在(−∞,ln2)递减,在(ln2,+∞)递增,当x →−∞时,f(x)→+∞,当x →+∞时,f(x)→+∞,∴关于x 的方程e x −2x −k =0有2个不相等的实数根,则k 的取值范围是(2−2ln2,+∞). 故选:D .13.答案:e2解析:本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究曲线的切线,属中档题.利用导数研究曲线的切线时,一定要设出切点的坐标.解:直线kx−y−k=0与曲线y=e x(e是自然对数的底数)相切的切点为(m,n),又y′=e x,所以e m=k,n=e m=k,所以m=lnk,n=k,从而切点为(lnk,k),在直线kx−y−k= 0上,所以klnk−k−k=0,所以k=e2.故答案为e2.14.答案:−163解析:根据等比数列的求和公式即可求出答案.本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式,求得q值,是解题的关键.解:由题意可得,公比q≠1,∴a1(1−q 3)1−q =8,a1(1−q6)1−q=7相除可得1+q3=78,∴q=−12,∴a1=323.故a2=a1q=323×(−12)=−163.故答案为−16315.答案:x,x≥0解析:解:函数f(x)=√x,g(x)=x−√x,则f(x)+g(x)=√x+x−√x=x,x≥0,故答案为:x,x≥0.根据f(x),g(x)的解析式求出f(x)+g(x)的解析式即可.本题考查了求函数的解析式问题,考查x 的范围,是一道基础题.16.答案:16π3 解析: 本题考查了棱锥与外接球的位置关系,属于中档题. △ABD 和△BCD 的形状寻找截面圆心位置,从而得出球心位置,计算外接球的半径即可得出面积.解:∵空间四边形ABCD 中,AB =BD =AD =2,∴△ABD 是正三角形;又BC =1,CD =√3,∴△BCD 是直角三角形;取BD 的中点M ,连接CM ,则AM ⊥BD ,又平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD =BD ,AM ⊂平面ABD ,∴AM ⊥平面BCD ,∴棱锥外接球的球心为△ABD 的中心,∵AM =√AB 2−BM 2=√3,∴该四棱锥A −BCD 的外接球的半径为23AM =2√33, ∴几何体外接球的表面积S =4π(2√33)2=16π3. 故答案为:16π3.17.答案:解:(1)因为总人数为100,可填写列联表如下:自律性一般 自律性强 合计成绩优秀 10 3040 成绩一般 40 2060 合计 5050 100 (2)根据表中数据,得K 2=100×(40×30−20×10)240×60×50×50=503≈16.667>10.828,所以有99.9%的把握认为学生的成绩与自律性有关.解析:本题考查了独立性检验的应用问题,是基础题目.(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可;(2)计算K2,对照题目中的表格,得出结论.18.答案:解:(1)由S n=32n2+32n.n≥2时,a n=S n−S n−1=32n2+32n−[32(n−1)2+32(n−1)]=3n.n=1时,a1=S1=3,对于上式也成立.∴a n=3n.(2)T n=a n⋅a n+12n =9n2+12n,T n+1−T n=9(n+1)2+12n+1−9n2+12n=−9n2+82n+1<0,即T n+1<T n,∴数列{T n}单调递减,若对于一切的正整数n,总有T n≤m成立,∴m≥T1=5.∴实数m的取值范围是[5,+∞).解析:(1)由S n=32n2+32n.n≥2时,a n=S n−S n−1.n=1时,a1=S1.(2)T n=a n⋅a n+12n =9n2+12n,作差T n+1−T n<0,可得数列{T n}单调递减,即可得出.本题考查了数列的提高关系、作差法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.答案:解:(1)∵SA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴SA⊥BD;∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD;∵AC∩AS=A,∴BD⊥平面SAC;∵BD⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面SAC;(2)设AC∩BD=F,连结SF,则SF⊥BD,∵AB =2,四边形ABCD 是菱形,∠ABC =π3,∴AC =2,BD =2√3; ∴AF =1,∵SA =2,∴SF =√AF 2+AS 2=√5;∴S △BDS =12×BD ×SF =12×2√3×√5=√15;设点A 到平面SBD 的距离为h ,∵SA ⊥平面ABCD ,∴V A−BDS =V S−ABD ,∴13×√15×ℎ=13×2×12×2×2×sin120°,解得ℎ=2√55; 即点A 到平面SBD 的距离为2√55.解析:(1)根据线面垂直的判定定理先证明BD ⊥平面SAC ,即可得出平面EBD ⊥平面SAC ;(2)用等体积法求解,根据V A−BDS =V S−ABD ,结合题中数据即可求出结果.本题主要考查了面面垂直的证明以及点到平面的距离,熟记面面垂直的判定定理以及等体积法求点到面的距离,是常考题型.20.答案:解:(1)据题意M(−2,0),N(2,0),动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2,∴|PM|−|PN|=2√2<4∴动点P 的轨迹为双曲线的右支,且c =2,a =√2,∴曲线方程为x 2−y 2=2(x ≥√2);(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),x 1≥√2,x 2≥√2,则x 1x 2≥2∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2−√x 12−2×√x 22−2≥x 1x 2−√(x 1x 2−2)2=x 1x 2−|x 1x 2−2|=x 1x 2−(x 1x 2−2)=2∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是2.解析:(1)利用双曲线的定义,可求W 的方程;(2)设点的坐标,利用向量的数量积公式,结合基本不等式,可求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值. 本题考查轨迹方程,考查双曲线的定义,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 21.答案:(Ⅰ)解:由题意,函数,所以f′(x)=ae x −(1+lnx), f(x)是(0,+∞)上的增函数等价于f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,令f′(x)≥0,得a≥1+lnxe x,令g(x)=1+lnxe x(x>0),求导得g′(x)=e−x(1x−1−lnx),令ℎ(x)=1x −1−lnx,ℎ′(x)=−1x2−1x<0,所以ℎ(x)是(0,+∞)上的减函数,又ℎ(1)=0,故1是ℎ(x)的唯一零点,当x∈(0,1),ℎ(x)>0,g′(x)>0,g(x)递增;当x∈(1,+∞),ℎ(x)<0,g′(x)<0,g(x)递减;故当x=1时,g(x)取得极大值且为最大值g(1)=1e,所以a≥1e,所以a的取值范围是[1e,+∞);(Ⅱ)证明:f(x)>0⇔ae xx−lnx>0.令F(x)=ae xx−lnx(x>0),以下证明当a≥2e时,F(x)的最小值大于0.求导得F′(x)=a(x−1)e xx2−1x=1x2[a(x−1)e x−x],①当0<x≤1时,F′(x)<0,F(x)≥F(1)=ae>0;②当x>1时,F′(x)=a(x−1)x [e x−xa(x−1)],令G(x)=e x−xa(x−1),则G′(x)=e x+1a(x−1)2>0,又G(2)=e2−2a=ae2−2a≥0,取m∈(1,2)且使ma(m−1)>e2,即1<m<ae2ae2−1,则G(m)=e m−ma(m−1)<e2−e2=0,因为G(m)G(2)<0,故G(x)存在唯一零点x0∈(1,2),即F(x)有唯一的极值点且为极小值点x0∈(1,2),又F(x0)=ae x0x0−lnx0,且G(x 0)=ex 0−x 0a(x 0−1)=0,即e x 0=x 0a(x 0−1), 故F(x 0)=1x 0−1−lnx 0,设Q(x 0)=1x 0−1−lnx 0,因为Q′(x 0)=−1(x 0−1)2−1x 0<0,故Q(x 0)是(1,2)上的减函数.所以F(x 0)=Q(x 0)>Q(2)=1−ln2>0,所以F(x)>0.综上,当a ≥2e 2时,总有f(x)>0.解析:本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类讨论思想,是较难题.(Ⅰ)f′(x)=ae x −(1+lnx),f(x)是(0,+∞)上的增函数等价于f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立.令f′(x)≥0,得a ≥1+lnxe x,令g(x)=1+lnx e x (x >0),求导得g′(x)=e −x (1x −1−lnx),令ℎ(x)=1x −1−lnx ,ℎ′(x)=−1x 2−1x <0,由此能求出a 的取值范围.(Ⅱ)f(x)>0⇔ae x x −lnx >0.令F(x)=ae x x −lnx(x >0),当a ≥2e 2时,F(x)的最小值大于0.由此利用导数性质能证明当a ≥2e 2时,总有f(x)>0.22.答案:解:C 1的直角坐标方程为x +y +2=0,C 2的普通方程为y 2=8x ,解方程组{x +y +2=0y 2=8x得{x =2y =−4, 所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2,−4).解析:本题考查极坐标与直角坐标,参数方程与普通方程之间的互化,根据题意,C 1的直角坐标方程为x +y +2=0,C 2的普通方程为y 2=8x ,解方程组{x +y +2=0y 2=8x,即可求得交点坐标.23.答案:解:(1)f(x)={x +3,x ≤−121−3x,−12<x <2−x −3,x ≥2,原不等式等价于:{x ≤−12x +3≤2或{−12<x <21−3x ≤2或{x ≥2−x −3≤2, 解得:x ≤−1,或−13≤x <2,或x ≥2,综上所述,不等式解集是:{x|x ≤−1或x ≥−13};(2)∃b ∈R ,|a +b|−|a −b|≥f(x)恒成立等价于(|a +b|−|a −b|)max ≥f(x)max . 因为|a +b|−|a −b|≤|(a +b)+(a −b)|=2|a|,所以|a +b|−|a −b|的最大值为2|a|;x ≤−12时,f(x)≤52;−12<x <2时,−5<f(x)<52;x ≥2时,f(x)≤−5, 所以f(x)max =52,所以由原不等式恒成立,得:2|a|≥52,解得:a ≥54或a ≤−54.解析:本题考查绝对值不等式的应用,函数恒成立条件的转化,考查转化思想以及计算能力.(1)化简函数为分段函数,然后转化不等式求解即可.(2))∃b ∈R ,|a +b|−|a −b|≥f(x)恒成立等价于(|a +b|−|a −b|)max ≥f(x)max .利用函数的最值转化求解即可.。
广东省东莞市市东城职业高级中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=(1,λ),=(2,1),若2+与=(1,﹣2)共线,则在方向上的投影是()A.B.﹣C.﹣D.﹣参考答案:D【考点】平面向量数量积的运算.【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用.【分析】根据向量共线求出λ,再代入平面向量的投影公式计算.【解答】解:2+=(4,2λ+1),∵2+与=(1,﹣2)共线,∴﹣8﹣(2λ+1)=0,解得λ=﹣.∴, =2﹣=﹣.∴在方向上的投影为||×==﹣.故选:D.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,向量共线与数量积的关系,属于基础题.2. 已知函数A. B. C. D.参考答案:D略3. 在复平面内,复数(是虚数单位)对应的点位于()A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案:A略4. 执行如图所示的程序框图,若输出的S为4,则输入的x应为().(A)–2 (B)16 111](C)–2或8 (D)–2或16参考答案:D考点:程序框图及分段函数求值5. 已知复数满足,则()A. B. C. D.参考答案:【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】A ∵复数z满足(3+4i)z=25,∴z= 故答案为:A.【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出.6. 从1,2,3,。
,10,这10个号码中任取3个号码,其中至少有两个号码是连续整数的概率是A B C D参考答案:B7. 若且则角是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案:D略8. 已知(i为虚数单位),且,则()A.2i B.-2i C.2+2i D.2参考答案:A9. 设集合,,则=()A. B. C. D.参考答案:C10. 下列结论错误的是( )A.命题“若p,则q”与命题“若?q,则?p”互为逆否命题B.命题p:?x∈,e x≥1,命题q:?x∈R,x2+x+1<0,则p∨q为真C.若p∨q为假命题,则p、q均为假命题D.“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题参考答案:D【考点】特称命题;四种命题.【专题】计算题.【分析】写出A命题的逆否命题,即可判断A的正误;对于B,判断两个命题的真假即可判断正误;对于C直接判断即可;对于D命题的逆命题为“若a<b,则am2<bm2”然后判断即可;【解答】解:对于A:因为命题“若p,则q”的逆否命题是命题“若?q,则?p”,所以).命题“若p,则q”与命题“若?q,则?p”互为逆否命题;故正确.对于B:命题p:?x∈,e x≥1,为真命题,命题q:?x∈R,x2+x+1<0,为假命题,则p∨q为真,故命题B为真命题.对于C:若p∨q为假命题,则p、q均为假命题,正确;对于D:“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为:“若a<b,则am2<bm2”,而当m2=0时,由a<b,得am2=bm2,所以“am2<bm2,则a<b”的逆命题为假,故命题D不正确.故选D.【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,训练了特称命题的否定的格式,同时训练了复合命题真假的判断,有时利用反例判断.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知,则函数的零点的个数为_______个.参考答案:512. 在平面直角坐标系中,不等式组 (a为常数)表示的平面区域的面积是9,那么实数a 的值为参考答案:a=1.13.函数的定义域是 .参考答案:答案:(lg2,+∞)解析:由已知得,即,所以.14. 已知约束条件若目标函数恰好在点处取到最大值,则的取值范围为▲.参考答案:【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】(,+∞)作出不等式对应的平面区域,当a=0时,z=x,即x=z,此时不成立.由z=x+ay得y=-x+要使目标函数z=x+ay(a≥0)仅在点(2,2)处取得最大值,则阴影部分区域在直线y=-x+的下方,即目标函数的斜率k=-,满足k>k AC,即->-3,∵a>0,∴a>,即a的取值范围为(,+∞),故答案为:(,+∞).【思路点拨】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出a的取值范围.15. 已知函数在区间上单调递增,则的最大值是()A.B. C. D.参考答案:A16. 定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y=f(x)是奇是函数②.y=f(x)是周期函数 ,周期为2③..y=f(x)的最小值为0 ,无最大值④. y=f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .参考答案:②③,,则,故①错。
2020年高考(文科)数学(4月份)模拟试卷一、选择题1.已知集合A={x|x2+2x﹣3<0},B={x|2x﹣1>0},则A∩B=()A.B.(﹣3,1)C.D.2.设复数z满足iz=1+i,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.玫瑰花窗(如图)是哥特式建筑的特色之一,镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形,半圆的连接点构成正方形ABCD,在整个图形中随机取一点,此点取自正方形区域的概率为()A.B.C.D.4.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=log2x,且f(m)=2,则m=()A.B.4C.4或D.4或5.已知平面向量、的夹角为135°,且为单位向量,,则=()A.B.C.1D.6.已知F1、F2分别为椭圆C:的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点,若△AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程为()A.B.C.D.7.定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值,则(cos)*(sin)=()A.B.C.1D.﹣18.约公元前600年,几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度.如图,金字塔是正四棱锥,泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米;然后,他站立在沙地上,请人不断测量他的影子,当他的影子和身高相等时,他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离约为22.2米.此时,影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直,则该金字塔的高度约为()A.115米B.137.2米C.230米D.252.2米9.为加强学生音乐素养的培育,东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛,比赛现场有7名评委给选手评分,另外,学校也提前发起了网络评分,学生们可以在网络上给选手评分,场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后,现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示:评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为,网络评分的平均分为,所有评委与场内学生评分的平均数为,那么下列选项正确的是()A.B.C.D.与关系不确定10.已知函数的最小正周期为π,将f(x)的图象向左平移个单位后,所得图象关于原点对称,则函数f(x)的图象()A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点(,0)对称D.关于点(,0)对称11.已知双曲线C:的一条渐近线被圆(x﹣c)2+y2=2a2截得的弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距),则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.212.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为AB和DD1的中点,经过点B1,E,F的平面α交AD于G,则AG=()A.B.C.D.二、填空题13.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a cos B=b sin A,则B=.14.已知在x=0的切线方程为y=x+1,则k=.15.已知三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=BC=2,∠BAC=,则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为.16.已知在x∈(0,1)上恰有一个零点,则正实数a的取值范围为.三、解答题:共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共5小题,每小题12分,共60分.17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S4=16,a3=3a2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设,求{b n}的前2n项的和T2n.18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AB⊥BC,AD∥BC,AD =4,AP=AB=BC=2,E是AD的中点,AC和BE交于点O,且PO⊥平面ABCD.(1)证明:平面PAC⊥平面PCD;(2)求点D到平面PCE的距离.19.已知函数f(x)=e x+3ax.(1)讨论函数f(x)的单调性:(2)若函数f(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy中,已知圆N:(x﹣1)2+y2=1,圆心N(1,0),点E在直线x=﹣1上,点P满足∥,•,点P的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程.(2)过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D(自上而下),若|AC|、|CD|、|DB|成等差数列,求直线l的方程.21.在党中央的正确领导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后,统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数,绘制成如图折线图:(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息,写出你认为最重要的两个统计结论;(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期,此期间为病毒传播的最佳时期,我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者,假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者,10天内所有人不知情且生活照常.(i)在不加任何防护措施的前提下,假设每位密切接触者被感染的概率均为p(0<p<1).第一天,若某位感染者产生a(a∈N)名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap;第二天,若每位感染者都产生a名密切接触者,则第三天新增感染者平均人数为ap(1+ap);以此类推,记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为En(2≤n≤10).写出E4,E n;(ii)在(i)的条件下,若所有人都配戴口罩后,假设每位密切接触者被感染的概率均为p',且满足关系p'=ln(1+p),此时,记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为(2≤n≤10).当p'最大,且a=10时,、根据E6和的值说明戴口罩的必要性.(p′精确到0.1)参考公式:函数y=ln(1+x)的导函数,;参考数据:ln3≈1.1,ln2≈0.7,64=1296.(二)选考题:共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2a sinθ(a>0),已知直线l与曲线C有且仅有一个公共点.(l)求a;(2)A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|3x+1|+|3x﹣a|,x∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)<9的解集;(2)对任意x∈R,恒有f(x)>2a﹣1,求实数a的取值范围.参考答案一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知集合A={x|x2+2x﹣3<0},B={x|2x﹣1>0},则A∩B=()A.B.(﹣3,1)C.D.【分析】可以求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.解:,∴.故选:C.2.设复数z满足iz=1+i,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,求出的坐标得答案.解:由iz=1+i,得z=,∴,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限.故选:A.3.玫瑰花窗(如图)是哥特式建筑的特色之一,镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形,半圆的连接点构成正方形ABCD,在整个图形中随机取一点,此点取自正方形区域的概率为()A.B.C.D.【分析】首先这是一个几何概型,整个图形内部的每个点对应一个基本事件.只需要算出整个图形面积即两个圆与正方形的面积和.用正方形面积除以总面积即可.解:由题意可知,整个图形内部的每个点对应一个基本事件,所以这是一个几何概型.设此点取自正方形区域为事件A设正方形的边长为2r,则圆的半径为r.∴S(Ω)=2πr2+(2r)2=2πr2+4r2.正方形面积为S(A)=4r2.故.故选:A.4.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=log2x,且f(m)=2,则m=()A.B.4C.4或D.4或【分析】根据题意,分m>0与m<0两种情况讨论,结合函数的奇偶性与解析式分析,求出m的值,综合即可得答案.解:根据题意,当x>0时,f(x)=log2x,此时若f(m)=2,必有log2m=2,解可得m=4;当x<0,则﹣x>0,此时若f(m)=2,则有f(﹣m)=﹣2,即log2(﹣m)=﹣2,解可得m=﹣;综合可得:m=4或﹣;故选:D.5.已知平面向量、的夹角为135°,且为单位向量,,则=()A.B.C.1D.【分析】根据平面向量的数量积计算模长即可.解:由题意知,平面向量、的夹角为135°,且||=1,,所以||==,•=1××cos135°=﹣1,=+2+=1+2×(﹣1)+2=1,所以=1.故选:C.6.已知F1、F2分别为椭圆C:的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点,若△AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程为()A.B.C.D.【分析】由△AF2B是边长为4的等边三角形,及椭圆的定义可得2a,及2c与2a的关系求出c,再由a,b,c之间的关系求出椭圆的方程.解:因为△AF2B是边长为4的等边三角形,所以∠AF2F1=30°,2a=|AF1|+|AF2|=2+4=6,2c=|F1F2|=|AF1|2,所以b2=a2﹣c2=9﹣3=6,所以椭圆的方程为:+=1,故选:B.7.定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值,则(cos)*(sin)=()A.B.C.1D.﹣1【分析】先判断a=cos和b=sin的大小,然后代入框图的左边执行框计算即可.解:∵,∴,∴=1=1.故选:C.8.约公元前600年,几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度.如图,金字塔是正四棱锥,泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米;然后,他站立在沙地上,请人不断测量他的影子,当他的影子和身高相等时,他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离约为22.2米.此时,影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直,则该金字塔的高度约为()A.115米B.137.2米C.230米D.252.2米【分析】易知,当泰勒斯的身高与影子相等时,身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边,再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似,可知塔底到A的距离即为塔高.解:当泰勒斯的身高与影子相等时,身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边,再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似,可知塔底到A的距离即为塔高.所以由题意得金字塔塔高为OA=OB+BA=115+22.2=137.2米.故选:B.9.为加强学生音乐素养的培育,东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛,比赛现场有7名评委给选手评分,另外,学校也提前发起了网络评分,学生们可以在网络上给选手评分,场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后,现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示:评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为,网络评分的平均分为,所有评委与场内学生评分的平均数为,那么下列选项正确的是()A.B.C.D.与关系不确定【分析】根据题意求出平均数,然后估算求出总平均数.解:==9,=0.1×7+0.1×8+0.2×9+0.6×10=9.3,则=9.15,设场内人数为a(a>100),则.因为a>100,所以>,故选:C.10.已知函数的最小正周期为π,将f(x)的图象向左平移个单位后,所得图象关于原点对称,则函数f(x)的图象()A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点(,0)对称D.关于点(,0)对称【分析】根据条件求出函数的解析式,结合函数的对称性进行求解即可.解:f(x)的最小正周期为π,则=π,得ω=2,则f(x)=cos(2x+φ),将f(x)的图象向左平移个单位后,得到y=cos[2(x+)+φ]=cos(2x++φ),所得图象关于原点对称,则+φ=kπ+,k∈Z,得φ=kπ﹣,k∈Z,∵﹣<φ<,∴当k=0时,φ=﹣,即f(x)=cos(2x﹣),f()=cos(2×﹣)=cos=0,则f(x)关于点(,0)对称,故选:D.11.已知双曲线C:的一条渐近线被圆(x﹣c)2+y2=2a2截得的弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距),则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【分析】由题意画出图形,利用垂径定理可得a与b的关系,得到双曲线为等轴双曲线,则离心率可求.解:如图所示,双曲线的两条渐近线关于x轴对称,取y=与圆相交于点A,B,|AB|=2b,圆心(c,0)到直线bx﹣ay=0的距离d=.结合垂径定理可得2a2=b2+b2,即a=b.∴双曲线为等轴双曲线,其离心率e=.故选:B.12.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为AB和DD1的中点,经过点B1,E,F的平面α交AD于G,则AG=()A.B.C.D.【分析】由面面平行的性质定理可得平面B1EF与平面D1DCC1的交线与B1E平行,过F作B1E的平行线交C1D1于H,连接B1H,过E作EG∥B1H,交AD于G,由比例关系可得所求值.解:由平面A1ABB1∥平面D1DCC1,可得平面B1EF与平面D1DCC1的交线与B1E平行,过F作B1E的平行线交C1D1于H,由F为DD1的中点,可得H为C1D1的四等分点,连接B1H,过E作EG∥B1H,交AD于G,从而G为AD的三等分点,则AG=.故选:D.二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a cos B=b sin A,则B=.【分析】由已知结合正弦定理及同角基本关系进行化简即可求解.解:∵a cos B=b sin A,由正弦定理可得,sin A cos B=sin B sin A,由sin A>0,化简可得tan B=,∵0<B<π,故B=.故答案为:14.已知在x=0的切线方程为y=x+1,则k=2.【分析】先对函数求导数,再将x=0代入,并令f′(0)=1,即可求出k的值.解:由题意得=,∴f′(0)=k﹣1=1.∴k=2.故答案为:2.15.已知三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=BC=2,∠BAC=,则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π.【分析】根据三棱锥的结构特征确定球心位置,从而得出球的半径和表面积.解:将三棱锥还原成直三棱柱,则三棱柱的外接球即为求O,D,D′,为上下底面的外心,O为DD′的中点,AD为底面外接圆的半径,由正弦定理可得:2AD==2;由OD=1,AD=1;得R=AO=,所以球O的表面积为:4πR2=8π.故答案为:8π.16.已知在x∈(0,1)上恰有一个零点,则正实数a的取值范围为(0,1).【分析】原题等价于函数和h(x)=2x2﹣ax的图象在(0,1)上只有一个公共点,作出函数图象,由图象观察可知,只需h(1)>g(1)即符合题意,由此得解.解:依题意,方程在(0,1)上仅有一个解,即在(0,1)上仅有一个实数根,亦即函数和h(x)=2x2﹣ax的图象在(0,1)上只有一个公共点,而h(x)=2x2﹣ax必经过原点,且其对称轴为,由图可得当h(1)>g(1)时符合题意,即2﹣a>1,解得a<1,又∵a>0,∴0<a<1.故答案为:(0,1).三、解答题:共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共5小题,每小题12分,共60分.17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S4=16,a3=3a2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设,求{b n}的前2n项的和T2n.【分析】(1)根据等差数列的通项公式和前n项和公式求解;(2)通过裂项相消法求解数列{b n}的前2n项的和T2n求解.解:(1)因为等差数列{a n}中,设首项为a1公差为d.由题意得,解得,所以a n=﹣2+4(n﹣1)=4n﹣6.(2)===.T2n=b1+b2+b3+…+b2n﹣1+b2n===.所以b n}的前2n项的和T2n为.18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AB⊥BC,AD∥BC,AD =4,AP=AB=BC=2,E是AD的中点,AC和BE交于点O,且PO⊥平面ABCD.(1)证明:平面PAC⊥平面PCD;(2)求点D到平面PCE的距离.【分析】(1)由已知证明四边形ABCE为平行四边形,进一步证得四边形ABCE是正方形,得CE⊥AD.求解三角形证明CD⊥AC.由线面垂直的判定可得PO⊥平面ABCD,得到CD⊥PO.再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面PAC,从而得到平面PAC⊥平面PCD;(2)由(1)知,四棱锥P﹣ABCE为正四棱锥,故PC=PE=PA=2,设点D到平面PCE的距离为h,再由等体积法求点D到平面PCE的距离.【解答】(1)证明:∵AD∥BC,AD=4,BC=2,E是AD的中点,∴四边形ABCE为平行四边形,又∵AB⊥BC,AB=BC,∴四边形ABCE是正方形,得CE⊥AD.又∵CE=AE=ED=2,∴AC=CD=.又∵AD=4,∴AC2+CD2=AD2,故CD⊥AC.∵PO⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PO.又∵AC∩PO=O,AC,PO⊂平面PAC,∴CD⊥平面PAC,而CD⊂平面PCD,∴平面PAC⊥平面PCD;(2)解:由(1)知,四棱锥P﹣ABCE为正四棱锥,故PC=PE=PA=2.又CE=2,∴△PCE是等边三角形,即.设点D到平面PCE的距离为h,得.由PC=PA=2,AC=,得△PAC为等腰直角三角形,故PO=.∵△ECD是直角三角形,且CE=ED=2,∴,得.由V P﹣DCE=V D﹣PCE,得,即h=.∴点D到平面PCE的距离为.19.已知函数f(x)=e x+3ax.(1)讨论函数f(x)的单调性:(2)若函数f(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.【分析】(1)求导,根据导数讨论参数a,根据参数讨论单调性,(2)分离参数,求最值,求出a.解:(1)因为f'(x)=e x+3ax,x∈R,所以f'(x)=e x+3a,①当a≥0时,f'(x)>0,故f(x)在R上单调递增;②当a<0时,f'(x)=e x+3a,令f'(x)=0,解之得x=ln(﹣3a).所以x∈(﹣∞,ln(﹣3a))时,f'(x)<0,f(x)单调递减;x∈(ln(﹣3a),+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;当a<0时,f(x)在(﹣∞,ln(﹣3a))上单调递减,f(x)在(ln(﹣3a),+∞)上单调递增;(2)由题意知,e x+3ax≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,即在x∈(0,+∞)上恒成立,所以,(x>0),设,则,当0<x<1,g'(x)>0,g(x)单调递增;当1<x,g'(x)<0,g(x)单调递减;故,所以a≥.20.在平面直角坐标系xOy中,已知圆N:(x﹣1)2+y2=1,圆心N(1,0),点E在直线x=﹣1上,点P满足∥,•,点P的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程.(2)过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D(自上而下),若|AC|、|CD|、|DB|成等差数列,求直线l的方程.【分析】(1)设p(x,y),由∥,得E(﹣1,y),求出向量的坐标代入•,化简得:y2=4x,所以点P的轨迹曲线M的方程为:y2=4x;(2)由|AC|、|CD|、|DB|成等差数列,得弦长|AB|=|AC|+|CD|+|DB|=6,对直线l的斜率分情况讨论,当斜率不存在时,|AB|=4≠6,不符合题意,当斜率存在时,A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为:y=k(x﹣1),与椭圆方程联立,利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k的值,从而得到直线l的方程.解:(1)设p(x,y),由∥,得E(﹣1,y),则,,,,由•,得(x﹣1,y)•(﹣2,y)=(x+1,0)•(2,﹣y),即﹣2x+2+y2=2x+2,化简得:y2=4x,所以点P的轨迹曲线M的方程为:y2=4x;(2)由|AC|、|CD|、|DB|成等差数列,得|AC|+|DB|=2|CD|=4,所以弦长|AB|=|AC|+|CD|+|DB|=6,①当斜率不存在时,直线l的方程为:x=1,交点A(1,2),B(1,﹣2),此时|AB|=4≠6,不符合题意,②当斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程,消去y得:k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,∴,x1x2=1,显然△=16(k2+1)>0恒成立,由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+2=6,∴,解得:k=,∴直线l的方程为y=.21.在党中央的正确领导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后,统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数,绘制成如图折线图:(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息,写出你认为最重要的两个统计结论;(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期,此期间为病毒传播的最佳时期,我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者,假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者,10天内所有人不知情且生活照常.(i)在不加任何防护措施的前提下,假设每位密切接触者被感染的概率均为p(0<p<1).第一天,若某位感染者产生a(a∈N)名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap;第二天,若每位感染者都产生a名密切接触者,则第三天新增感染者平均人数为ap(1+ap);以此类推,记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为En(2≤n≤10).写出E4,E n;(ii)在(i)的条件下,若所有人都配戴口罩后,假设每位密切接触者被感染的概率均为p',且满足关系p'=ln(1+p),此时,记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为(2≤n≤10).当p'最大,且a=10时,、根据E6和的值说明戴口罩的必要性.(p′精确到0.1)参考公式:函数y=ln(1+x)的导函数,;参考数据:ln3≈1.1,ln2≈0.7,64=1296.【分析】(1)根据图表得到结论,正确即可,(2)根据题意求E4,E n(3)先求f(p),求导求最值,求出p,然后求出E6,.解:(1)甲地区比乙地区新增人数的平均数低,甲地区比乙地区的方差大,(2)(i),,2≤n≤10,n∈N+,(ii)令,则f'(p)=,当f'(p)>0时,0<p<,f(p)单调递增;当f'(p)<0时,<p<1,f(p)单调递减;故=ln3﹣ln2﹣≈1.1﹣0.7﹣0.3=0.1,所以当p=0.5时,p'取得最大值0.1,此时,E′=10×0.1(1+10×0.1)4=16,∵E6>,∴戴口罩很有必要.(二)选考题:共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2a sinθ(a>0),已知直线l与曲线C有且仅有一个公共点.(l)求a;(2)A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.【分析】(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换.(2)利用点到直线的距离和极径的应用及三角函数关系式的变换的应用及正弦型函数的性质的应用求出结果.解:(1)直线l的参数方程为为参数),转换为直角坐标方程为.曲线C的极坐标方程为ρ=2a sinθ(a>0),转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2ay=0,整理得x2+(y﹣a)2=a2,由于直线l与曲线C有且仅有一个公共点,所以圆心(0,a)到直线的距离d=,解得a=1或﹣3(负值舍去).(2)A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,设点A为曲线上靠右的点,所以A(ρ1,α),B(),(),所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2==,当时,|OA|+|OB|的最大值为2.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|3x+1|+|3x﹣a|,x∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)<9的解集;(2)对任意x∈R,恒有f(x)>2a﹣1,求实数a的取值范围.【分析】(1)将a=1代入,并化为分段函数的形式,再分类讨论解不等式,最后取各解集的并集即可;(2)先利用绝对值不等式的性质可得f(x)≥|a+1|,问题转化为|a+1|≥2a+1恒成立,再分类讨论即可得解.解:(1)当a=1时,,当时,﹣6x<9,解得,所以;当时,2<9恒成立,所以;当时,6x<9,解得,所以;∴所求不等式的解集为;(2)由绝对值不等式性质得f(x)=|3x+1|+|3x﹣a|≥|3x+1﹣(3x﹣a)|=|a+1|,由f(x)≥2a+1恒成立,可知|a+1|≥2a+1恒成立,当a≥﹣1时,a+1≥2a+1,解得a≤0,所以﹣1≤a≤0;当a<﹣1时,﹣1﹣a≥2a+1,解得,所以a<﹣1;综上,实数a的取值范围为(﹣∞,0].。
2020届河南广东等省高三下学期4月联考数学(文)试卷★祝考试顺利★(解析版本试卷共5页,23小题(含选考题),满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答题信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}20A x x x =-=,则集合A 的真子集的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 可用列举法列出所有真子集即可.【详解】由题可解集合{}0,1A =,则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1.故选:C .2.如图,复数1z ,2z 在复平面上分别对应点A ,B ,则12z z ⋅=( )A. 0B. 2i +C. 2i --D. 12i -+【答案】C【解析】 由图可得点A ,B ,即可得复数1z ,2z 的代数形式,进行复数相乘即可.【详解】由图可得:112z i =-+,2z i =,∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--.故选:C .3.若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行,则a =( ). A. 2B. 2 2 D. 8 【答案】A【解析】由a b ,可解得2x =,所以可得()2,2a =-,即可求得a .【详解】由a b ,可得()()41210x -⨯--⨯=,解得2x =,所以()2,2a =-, 可得()22222a =-+=故选:A . 4.若函数()221x x a f x -=+的图像关于y 轴对称,则常数a =( ) A. 1-B. 1C. 1或1-D. 0 【答案】A【解析】方法一:可知()f x 是偶函数,则()()f x f x -=,可解出a ;方法二:可知()f x 是偶函数,利用特。
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考文科数学本试卷共5页,23小题(含选考题),满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答题信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}20A x x x =-=,则集合A 的真子集的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】可用列举法列出所有真子集即可.【详解】由题可解集合{}0,1A =,则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1.故选:C .【点睛】本题考查集合的真子集,可用列举法或公式计算即可,易错点为列举法容易忽略空集,属于基础题.2.如图,复数1z ,2z 在复平面上分别对应点A ,B ,则12z z ⋅=( )A. 0B. 2i +C. 2i --D. 12i -+【答案】C【解析】【分析】 由图可得点A ,B ,即可得复数1z ,2z 的代数形式,进行复数相乘即可.【详解】由图可得:112z i =-+,2z i =,∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--.故选:C .【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的运算,解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数,运用乘法法则进行复数运算即可,属于基础题.3.若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行,则a =( ). A. 2 B. 2 2 D. 8 【答案】A【解析】【分析】由a b ,可解得2x =,所以可得()2,2a =-,即可求得a .【详解】由a b ,可得()()41210x -⨯--⨯=,解得2x =,所以()2,2a =-, 可得()22222a =-+=故选:A .【点睛】本题考查向量的共线定理及向量模的运算,属于基础题.4.若函数()221x x a f x -=+的图像关于y 轴对称,则常数a =( ) A. 1-B. 1C. 1或1-D. 0【答案】A【解析】【分析】方法一:可知()f x 是偶函数,则()()f x f x -=,可解出a ;方法二:可知()f x 是偶函数,利用特殊值,令()()11f f -=,可解出a .【详解】方法一:可知()f x 是偶函数,则()()f x f x -=, 即222121x x x x a a ----=++, 解得1a =-.方法二:可知()f x 是偶函数,令()()11f f -=, 即1111222121a a ----=++, 解得1a =-.此时()1f x =偶函数,故选:A .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,由函数是偶函数求参数值,常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解,属于基础题.5.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,判断下列结论:(1)月接待游客量逐月增加;(2)年接待游客量逐年增加;(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月;(4)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳. 其中正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题图可知逐一分析即可,这三年8月到9月的月接待游客量在减少,则结论(1)错误,(2)(3)(4)正确.【详解】由题图可知,这三年8月到9月的月接待游客量在减少,则结论(1)错误; 年接待游客数量逐年增加,故(2)正确;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故(3)正确;各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小,而7月至12月则变化较大,故(4)正确; 故选:C .【点睛】本题考查折线统计图,考查统计思想与分析数据能力,属于简单题. 6.若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p 的一个焦点,则p =( ) A. 2B. 4C. 8D. 16 【答案】D【解析】【分析】 分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点,由条件得2162p p p =⇒=. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,, 双曲线2213-=x y p p 的一个焦点是()20p ,, 由条件得22p p =,解得16p =. 故选:D .【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质,属于综合题,但是难度不大,注重基础知识点考查,属于简单题.7.函数()32xy x x =-⋅的图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】排除法:根据函数()32x y x x =-⋅为奇函数,故图象关于原点对称;函数有1-,0,1三个零点;当2x =时,函数值为正数,进行选项排除即可.【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数,故图象关于原点对称,故排除D ;函数有1-,0,1三个零点,故排除A ;当2x =时,函数值为正数,故排除B .故选:C .【点睛】本题考查函数的图象,根据解析式求图像通常利用排除法,依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等,属于中等题.8.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的体积为( )A. 13B. 23C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】 由三视图及条件可知:此直三棱柱的底面是等腰直角三角形,得出底面上的高和边长,再由直三棱柱的高为2,利用体积公式可求体积.【详解】由三视图可知:此直三棱柱的底面是等腰直角三角形,底面上的高为1221+12=,斜边为2. 直三棱柱的高为2,故121222V Sh ==⋅⋅⋅=, 故选:D .【点睛】本题考查几何体三视图及体积公式,考查转化和空间想象能力,属于基础题.9.已知4log 7x =,3log 2y =,32z =,则( ) A. x y z << B. y x z <<C. z y x <<D. y z x <<【解析】【分析】由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭,()3log 20,1y =∈,可得y x z <<. 【详解】∵443log 7log 82x =<=,∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∵()3log 20,1y =∈,∴y x z <<.故选:B .【点睛】本题考查对数的大小比较,若同底采用对数函数的单调性比较,不同底则引入中间值进行比较,属于基础题.10.在ABC 中有,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,6A π=,sin a A =,则角C 为( ) A. 12πB. 712πC. 12π或712πD. 4π 【答案】C【解析】【分析】 根据题意,由正弦定理得:4B π=或34π,即可求角C . 【详解】∵6A π=,∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由正弦定理得:sin a A =,即sin sin A B A =,sin 0,A ≠可得()sin 0,24πB B B π=∈∴=或34π, ∴()712πC πA B =-+=或12π,【点睛】本题考查正弦定理的应用,易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况,本题属于简单题.11.如图长方体中,过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6,A 点为长方体的一个顶点,B 点为其所在棱的中点,则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为( )29B. 3541 D. 213【答案】C【解析】【分析】 由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下:①当B 点所在的棱长为2;②当B 点所在的棱长为4;③当B 点所在的棱长为6,分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离.【详解】由长方体的侧面展开图可得:(1)当B 点所在的棱长为2,则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22461101++=()2241661++=()2246165++=. (2)当B 点所在的棱长为4,则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22226213++=()22262217++=()22262217++=(3)当B 点所在的棱长为6,则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()2223441++=()2224335++=()2223453++=综上所述,沿着长方体的表面从A 点到B 41故选:C .【点睛】本题考查长方体的展开图,考查空间想象与推理能力,属于中等题.12.倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ,且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的焦距为( )A. 2B. 2 1 1【答案】B【解析】【分析】 方法一;由双曲线的对称性可知直线过原点,可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒,根据勾股定理及双曲线的定义可得:1c =.方法二:等腰2Rt QOF △中,可得22b QF a =,且2b c a=.又根据222b a c =-,联立可解得1c =. 【详解】方法一;由双曲线的对称性可知直线过原点,在等腰2Rt QOF △中,245QOF ∠=︒,则122F F c =,2QF c =,1QF =. 由双曲线的定义可得:122QF QF a-=,41c c -==,,故22c =.方法二:等腰2Rt QOF △中,22b QF a=, ∴2b c a=. 又222b a c =-,∴2240c c --=,得1c =.∴22c =.故选:B .【点睛】本题考查双曲线的性质,解题关键是将题目条件进行转化,建立等量关系求解,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数列{}n a 满足1n n a ta +=,*n N ∈,t 为常数,12a =,8256a =,则t =__________.【答案】2【解析】【分析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列,根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可.【详解】数列{}n a 是公比为t 的等比数列,且12a =,8256a =,则782256a t ==,可得2t =.故答案为:2.【点睛】本题考查等比数列的通项公式,根据通项公式求公比,通常借助方程求解,属于基础题.14.曲线()cos x x f x e=在点()()0,0f 处的切线方程为__________. 【答案】10x y +-=【解析】【分析】 由题意可得切点()0,1,对()cos x x f x e =求导可得()01f '=-,即为切线斜率,由此可求其切线方程.【详解】由()0cos00=1f e=,可得切点()0,1, ()sin cos x x x f x e--'=,()01f '=-, 其切线方程为1y x -=-,即10x y +-=.故答案为:10x y +-=.【点睛】本题考查应用导数求切线方程,求出函数的导数即可得到切线斜率,再根据点斜式即可求出切线方程,属于简单题.15.函数()3cos 4cos 2πf x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在0x x =处取得极大值,则0tan x =__________. 【答案】43【解析】【分析】根据诱导公式及辅助角公式化简()()5cos f x x α=-,由题意可得()f x 取得极大值时02x k πα=+,代入0tan x 结合同角三角函数商数关系可得结果.【详解】()343cos 4cos 3cos 4sin 5cos sin 255f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 令3cos 5α=,4sin 5α,则()()5cos f x x α=-. 由题意得:()0cos 1x α-=,∴02x k πα=+. ∴04sin 45tan tan 3cos 35x ααα====. 故答案为:43. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换及同角三角函数关系,解题的关键是利用诱导公式及辅助角公式化简,再根据三角函数性质及同角三角函数关系可得结论,属于中等题. 16.若函数()2121x x f x -=+,则不等式()719f x +<的解集为__________. 【答案】{}42x x -<<【解析】【分析】根据绝对值的性质,结合函数的解析式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为()1121121x x f x ++-+=+,所以 ()11177217112842992198x x x f x x +++-+<⇒-<<⇒<<⇒-<<+. 故答案为:{}42x x -<<【点睛】本题考查了指数函数的单调性的应用,考查了指数不等式的解法,考查了绝对值不等式,考查了数学运算能力.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分17.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示:(1)根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大?并描述该地人口数量的变化趋势;(2)研究人员用函数()0.65444502000 4.48781t P t e -=++拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年年初对应时刻0t =,()P t 的单位是千人,经计算可得()6.52450P ≈,请解释()6.52450P ≈的实际意义.【答案】(1)2016年到2017年的人口的增长数量最大,2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势(或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势);(2)到2020年中,该地的总人数大约可增长到2450千人(或到2020年6月末或7月初,该地的总人数大约可增长到2450千人)【解析】【分析】(1)根据表中的数据,逐年作差,可得从2014年到2019年每年增加的数量,逐年增多,从2017后,增加的人数逐年减少;(2)根据函数的表达式及题意,可得()P t 表示2014+t 年的人口数量,不难得到()6.52450P ≈的实际意义.【详解】(1)从2014年到2015年该地的人口增长数量:2135208253-=;从2015年到2016年该地的人口增长数量:2203213568-=;从2016年到2017年该地的人口增长数量:2276220373-=;从2017年到2018年该地的人口增长数量:2339227663-=;从2018年到2019年该地的人口增长数量:2385233946-=;故2016年到2017年的人口的增长数量最大.2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势.(或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势).(2)由题意,2014年年初对应时刻0t =,()P t 表示2014+t 年的人口数量,6.5t =,()P t 表示2014+6.5=2020.5年的人口数量,故()6.52450P ≈其实际意义为:到2020年中,该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初,该地的总人数大约可增长到2450千人.【点睛】本题考查统计表及函数模型的应用,考查运算求解及数学分析能力,属于简单题.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n S 满足36S =,33a =,数列{}n b满足210n n b b +-=,且0n b >,数列{}n b 的前n 项和为n T .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求99T .【答案】(1)n a n =;(2)9【解析】【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由36S =,33a =列方程解得首项与公差,由此可得通项;(2)将{}n a通项代入210n n b b +-=,由一元二次方程求根公式可得n b ,再利用裂项相消求出99T .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d .由36S =,33a =得:1336a d +=,123a d +=.解得:11a =,1d =.∴n a n =.(2)由(1)得:210n n b +-=.由一元二次方程的求根公式得:2n b -==∵0n b >,∴n b =.∴)991299119T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==. 【点睛】本题考查等差数列通项及裂项相消求和,等差数列通项一般根据条件列方程解出首项与公差即可,本题求解99T 的关键是求n b ,考查一元二次方程与数列的综合应用,属于中等题.19.已知椭圆C 的中心为O ,左、右焦点分别为1F 、2F ,上顶点为A ,右顶点为B ,且OB 、OA 、2OF 成等比数列.(1)求椭圆C 的离心率;(2)判断1F AB 的形状,并说明理由.【答案】(1)e =;(2)直角三角形,理由见解析 【解析】【分析】 (1)设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ,由题设可得2b ac =及222b a c =-,消b 得a 、c 齐次式,解得离心率;(2)设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>,则()0,A b ,(),0B a ,()1,0F c -,2b ac =.方法一:利用向量10AF AB ⋅=,方法二:利用斜率11AF AB k k ⋅=-,方法三:利用勾股定理22211F A AB F B +=,可得到1F AB 是直角三角形.【详解】(1)设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c , 则OB a =、OA b =、2OF c =由题设2b ac =及222b a c =-,消b 得:22ac a c =-即210e e +-=.解得:e =e =又01e <<,则e =.(2)方法一:设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>, 则()0,A b ,(),0B a ,()1,0F c -,2b ac =.∴()1,AF c b =--,(),AB a b =-,∴210AF AB ac b ⋅=-+=,∴1AF AB ⊥, 故190F AB ∠=︒,∴1F AB 是直角三角形.方法二:设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>, 则()0,A b ,(),0B a ,()1,0F c -,2b ac =. ∴1AF b k c =,AB b k a=-, ∴121AF ABb k k ac ⋅=-=-,∴1AF AB ⊥, 故190F AB ∠=︒,∴1F AB 是直角三角形.方法三:由条件得:在1F AB 中,1F A a ==,1F B c a =+,AB =. 222212F A AB a b +=+,()22222222221222F B c a c ac a a b b a a b =+=++=-++=+, ∴22211F A AB F B +=,故190F AB ∠=︒,∴1F AB 是直角三角形.【点睛】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断,离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,a c ,从而求出e ;②构造,a c 的齐次式,求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解,本题属于简单题.20.如图,在四棱锥C ABEF -中,底而ABEF 为菱形,且菱形ABEF 所在的平面与ABC 所在的平面相互垂直,4AB =,2BC =,BC BE ⊥,60ABE ∠=︒.(1)求证://AB 平面CEF ;(2)求四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长.【答案】(1)证明见解析;(2)13【解析】【分析】(1)在菱形ABEF 中,AB EF ,AB ⊄平面CEF ,EF ⊂平面CEF ,由此可证.(2)取AB 中点O ,连结OE ,BF ,由已知易得:ABE △是正三角形,OE AB ⊥,进一步可证BC ⊥平面ABEF ,由勾股定理可求出侧棱CB ,CE ,CF ,CA 的长度,得到最长的是CF ,或可先判断CF 最长,求解出长度即可.【详解】(1)在菱形ABEF 中,AB EF ,AB ⊄平面CEF ,EF ⊂平面CEF . ∴AB ∥平面CEF .(2)方法一:取AB 中点O ,连结OE ,BF ,由已知易得:ABE △是正三角形,∴OE AB ⊥.又∴平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ,∴OE ⊥平面ABC ,又BC ⊂平面ABC ,∴OE BC ⊥,又∵BC BE ⊥,OEBE E =, ∴BC ⊥平面ABEF ,又AB ,BF ⊂平面ABEF ,∴BC AB ⊥,BC BF ⊥,在菱形ABEF 中,4AB BE EF FA ====,60ABE ∠=︒,120BEF ∠=︒, BC BE ⊥,2BC =.在Rt ABC △中,2225AC AB BC =+=在Rt EBC 中,2225EC EB BC +=.在RtFBC △中,2222cos 48BF BE EF BE EF BEF =+-⋅∠=,∴22213CF CB BF =+=.显然在侧棱CB ,CE ,CF ,CA 中最长的是CF .∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213.方法二:取AB 中点O ,连结OE ,BF ,由已知易得:ABE △是正三角形,∴OE AB ⊥,又∵平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ,∴OE ⊥平面ABC ,又BC ⊂平面ABC ,∴OE BC ⊥,又∵BC BE ⊥,OE BE E =,∴BC ⊥平面ABEF .又AB ,BF ⊂平面ABEF ∴BC AB ⊥,BC BF ⊥.在菱形ABEF 中,BF AB >,BF BE >,∴CF 最长.在Rt BCF 中,22213CF CB BF =+=∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213【点睛】本题考查线面平行的证明及棱长求解,考查棱长的关键是垂直判定定理及性质定理的应用,在借助勾股定理求解即可,考查空间思维及推理能力,属于中等题.21.已知函数()ln f x x x =-+,()f x 的最大值为a .(1)求a 的值;(2)试推断方程()2ln 2ln x x a x x x +=+是否有实数解?若有实数解,请求出它的解集.【答案】(1)1-;(2)无实数解【解析】【分析】(1)由题意,对函数f (x )=-x +lnx 求导数,研究出函数在定义域上的单调性,判断出最大值,即可求出;(2)由于函数的定义域是正实数集,故方程|2x (x -lnx )|=2lnx +x 可变为12lnx x lnx x -=+,再分别研究方程两边对应函数的值域,即可作出判断.【详解】(1)已知函数()ln f x x x =-+,则0x >,可得()111f x x x x-=-+=', 令()0f x '=,x =1,当0<x <1时,f ′(x )>0;当x >1时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,∴()()11max x a f f ==-=;(2)|2x (x −lnx )|=2lnx +x 可得12lnx x lnx x -=+, 由(1)知f (x )max =f (1)=−1,即−x +lnx ≤−1,∴|x −lnx |≥1,又令()12lnx g x x =+,()21lnx g x x -'=, 令g ′(x )>0,得0<x <e ;令g ′(x )<0,得x >e ,∴g (x )的增区间为(0,e ),减区间为(e ,+∞),∴()()1112max g x g e e ==+<,∴g (x )<1, ∴|x −lnx |>g (x ),即12lnx x lnx x ->+恒成立, ∴方程12lnx x lnx x -=+即方程|2x (x −lnx )|=2lnx +x 没有实数解. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,根的存在性及根的个数判断,根的存在性及根的个数判断稍难,此类问题通常是利用转化思想和方程思想将问题进行转化为求新函数值域问题,属于中等题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.曲线1C 的极坐标方程为r ρ=(常数0r >),曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数).(1)求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程;(2)若曲线1C ,2C 有两个不同的公共点,求实数r 的取值范围.【答案】(1)1C :222x y r +=,2C :()2100x y y +-=≠;(2)11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】(1)根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程,利用消元法消去t 可得2C 的普通方程;(2)若曲线1C ,2C 有两个不同的公共点,法一:方程联立利用根与系数关系,利用判别式解出即可求实数r 的取值范围;法二:数形结合可得圆心到直线距离小于半径,解出即可求实数r 的取值范围.【详解】(1)方法一:由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得:222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得:21x y +=,即()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为:222x y r +=,2C 的普通方程为:()2100x y y +-=≠. 方法二:由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得:222x y r +=. 由()221t x t -=+得:2212x t x +=-;由31y t =+得:3y t y -=. ∴22312x y x y+-=-.整理得2C 的普通方程为:()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为:222x y r +=,2C 的普通方程为:()2100x y y +-=≠. (2)方法一:由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得:225410x x r -+-=.由曲线1C ,2C 有两个不同的公共点得:22040r ∆=->,0r >解得:r >. 又当圆1C :222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时,有12r =,且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,522⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.方法二:圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为:5d =.由曲线1C ,2C 有两个不同的公共点得:d r <,即5r >. 又当圆1C :222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时,有12r =,且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系,解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系,直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解,属于中等题.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()|1,(0)f x m x m =--,且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-.(Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=,求证:233a b c ++≥. 【答案】(1)3m =(2)见解析【解析】试题分析:(1)求解绝对值不等式可得3m = ;(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论,注意等号成立的条件.试题解析:解:(Ⅰ)因为()1f x m x -=-,所以()10f x -≥等价于x m ≤, 由x m ≤,得解集为[],,(0)m m m ->又由()10f x -≥的解集为[]3,3-,故3m =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知111323a b c++=, 又∵,,a b c 是正实数,∴23a b c ++= ()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 2133≥=. 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立, 所以233a b c ++≥.点睛:根据柯西不等式的结构特征,利用柯西不等式对有关不等式进行证明,证明时,需要对不等式变形,使之与柯西不等式有相似的结构,从而应用柯西不等式.。
河南广东等省2020届高三4月联考试题数学(文)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02=-=x x x A ,则集合A 的真子集的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,复数21,z z 在复平面上分别对应点A,B,则21z z ⋅=( ) A.0 B.2+i C.-2-i D.-1+2i3.若向量a =(x-4,2)与向量b =(1,-1)平行,则|a |=( )A.22.B.2C.2D.84.若函数f(x)=122+-x x a的图像关于y 轴对称, 则常数a=( )A.-1B.1C. 1或-1D.05.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,判断下列结论: (1)月接待游客量逐月增加;(2)年接待游客量逐年增加;(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月;(4)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳. 其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.46.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是双曲线1322=-py p x 的一个焦点,则p=( ) A.2 B.4 C.8 D.16 7.函数xx x y 2)(3⋅-=的图象大致是( )8.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。
已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的体积为( )A.31 B.32C.1D.2 9.已知23,2log ,7log 34===z y x ,则( )A.x<y<zB.y<x<zC.z<y<xD.y<z<x 10.在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,A b a A sin 26==,π,则角C 为( ) A.12π B.127π C.12π或 127π D.4π 11. 如图长方体中,过同一个顶点的三条棱的长分别为2.4.6,A 点为长方体的一一个顶点,B 点为其所在棱的中点,则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为( )A.29 B.53 C.41 D.13212倾斜角为45°的直线与双曲线14222=-by x 交于不同的两点P ,Q,且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的焦距为( )A.23+2B.25+2C.3+1D.5+1 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数列{n a }满足t N n ta a n n ,,*1∈=+为常数,256,281==a a ,则t= .14.曲线xe xx f cos )(=在点(0,f(0))处的切线方程为 . 15.函数)2cos(4cos 3)(π+-=x x x f 在0x x =处取得极大值,则0tan x = .16.若函数1212)(+-=x x x f ,则不等式97)1(<+x f 的解集为 .三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60分 17.(12分)某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示: 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 人数(单位:千人) 208221352203227623392385(1) 根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大?并描述该地人只数量的变化趋势;(2)研究人员用函数14878.44502000)(6544.0++=-te t P 拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年年初对应时刻t=0,P(t)的单位是千人,经计算可得P(6.5)≈2450,请解释P(6.5)≈2450的实际意义.18. (12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .满足3633==a S ,,数列{}n b 满足0122=-⋅+n n n b a b ,且0>n b ,数列{}n b 的前n 项和为T. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求99T 。
数学答案评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题题号123456789101112答案D B C C D A B B A D C A二.填空题13.314.221或(答对一个2分)15.3π16.π338三、解答题17.(本小题满分12分)(1)由1211+=++n n n n b b a ,取1=n ,得121122+=b b a ,解得42=a (1分)取2=n ,得122233+=b b a ,解得83=a (2分)∵数列}{n a 是等比数列∴2,22123====qa a a a q (4分)(算对一个1分)∴求数列{}n a 的通项公式为n n n qa a 211==-(5分)(2)由(1)得n n n qa a 211==-,则12211+=++n n n nb b ,即12211=-++n n n n b b (6分)∴数列}2{n n b 是首项为21,公差为1的等差数列(7分)(评分细则:一定要详细写是怎样的数列,若只下“数列为等差数列”的结论该步不得分)∴数列n n b b n n=⨯-+=1)1(221,n n n b 2=(8分)设}{n b 的前n 项和为n S 则n n n S 2...23222132++++=,14322...2322212++++=n n n S (9分)则111322212211)21(121221...2121212++++-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+++=n n n n n n n n n S (11分)(评分细则:写对两式相减之后的结果或相减之后的求和公式即给1分,不重复给分)∴nn n S 222+-=(12分)18.(本小题满分12分)(1)证明:由已知可得BD BC ==BC BD CD BC BD ⊥∴=+∴,222(1分)//FC EA ,且AE ⊥面ABCD ,ABCD ⊥面(2分)BC ABCD ⊂面,BD FC ∴⊥(3分)FC BC C = ,BC BCF ⊂面,FC BCF ⊂面(4分)(步骤不全,本得分点不给分)∴BD BCF ⊥面(5分)BD BDF ⊂且面,所以BDF BCF ⊥面面(6分)(2)解法一:EA AD EA CD⊥⊥,AD CD AB AD CD AB ⊥∴⊥,,// 又EA ⊂平面EAD ,AD ⊂平面EAD ,EA AD A = EAD CD 平面⊥∴(7分)(步骤不全,本得分点不给分)又ED ⊂平面EAD ,CD DE∴⊥即三角形ECD 为直角三角形(8分)设点B 到平面ECD 的距离为h ,BCD E CDE B V V --=∴,即BCD CDE S AE S h ∆∆⋅⋅=⋅3131(9分)1212BCD CDE AE CD AD AE S h S CD DE ∆∆⋅⋅⋅⋅∴===⋅⋅分)(算式对结果错得1分)∴点B 到平面ECD 的距离为 2.(12分)解法二://AB CD ,AB ⊄面ECD ,CD ⊂面ECD ,所以//AB 面ECD则点B 到平面ECD 的距离等于点A 到平面ECD 的距离,(7分)过A 作DE AM ⊥,垂足为M ,EA ⊥ 面ABCD ,AD ⊂面ABCD ,CD ⊂面ABCDCDEA AD EA ⊥⊥∴,AD CD AB AD CD AB ⊥∴⊥,,// 又EA ⊂面EAD ,AD ⊂面EAD ,EA AD A = CD ∴⊥面EAD (8分)又AM ⊂面EAD ,CD AM ∴⊥又DE AM ⊥,ED ⊂平面ECD ,CD ⊂平面ECD ,ED CD D = ECD AM 平面⊥∴,则AM 为点A 到平面ECD 的距离(9分)(上述证明过程可适当简化)2AD AE == ,EA AD ⊥2=∴AM ,即A 到平面ECD 的距离为2,(11分)∴点B 到平面ECD 的距离为 2.(12分)(解法二的给分要点为:写出距离的平行转移得1分,作出并证明AM 为点面距离得2分,计算出AM 得2分,回答所求结果1分)19.(本小题满分12分)(1)估计新设备所生产的产品优质率为%70%100100152530=⨯++(1分)估计旧设备所生产的产品优质率为%55%100)02.003.006.0(5=⨯++⨯(2分)(评分细则:上面两步如果都没有换成百分比数过程对扣1分)(2)(评分细则:只要发现1个错误扣1分,扣完即止)(4分)由列联表可得,841.38.410010012575)70455530(20022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k (6分)非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200(评分细则:每一部分各1分,若没有具体代入数据计算过程答案算对给1分,观测值比较错误且前面过程无错误给1分;观测值算错过程对也给1分)∴有95%的把握认为产品质量高低与新设备有关。
2019-2020学年度第一学期高三调研测试文科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.复数z 满足(1i)2i z -=,则z =A. 1i -B. 1i -+C. 1i --D. 1i + 【答案】B【解析】因为()1i 2i z -=,所以()2i 111iz i i i ==+=-+-,选B. 2.已知集合{}230|A x x x =-<,{0,1,2,3}B =,则A B I 等于( )A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {0,3} 【答案】C【解析】【分析】先由二次不等式的解法得{}|03A x x =<<,再结合交集的运算即可得解.【详解】解:因为{}{}230||03A x x x x x =-<=<<, 又{0,1,2,3}B =,所以A B I {1,2}=,故选:C.【点睛】本题考查了二次不等式的解法,重点考查了集合交集的运算,属基础题.3.已知向量,a r b r 满足||1,a =r ||2b =r ,且a r 与b r 的夹角为60︒,则||=a b +r r ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】 先由向量数量积的运算可得cos 601a b a b ⋅==o r r r r ,再结合向量模的运算即可得解.【详解】解:因为向量,a r b r 满足||1,a =r ||2b =r ,且a r 与b r 的夹角为60︒, 所以1cos 601212a b a b ⋅==⨯⨯=o r r r r ,所以||a b +==r r ,故选:A.【点睛】本题考查了向量数量积的运算,重点考查了向量模的运算,属基础题.4.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,6353a a a +-=,则7S =( )A. 42B. 21C. 7D. 3【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值.【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=, ()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选:B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用,同时也考查了等差数列求和,考查计算能力,属于基础题. 5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生),则下列结论中不一定正确的是( )整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【答案】B【解析】【分析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项【详解】对于选项A,由饼状图可得90后占56%50%>,故A正确;对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的56%39.6%22.176%41%⨯=<,故B错误;对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的56%12.3% 6.888%3%⨯=>,故C正确;对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的56%13.2%7.392%10%⨯=<,故D正确,故选:B【点睛】本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题6.已知P在双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的渐近线上,则该双曲线的离心率为( )B. 2【答案】D【解析】【分析】先由双曲线方程求出双曲线的渐近线方程,再结合双曲线离心率的求法求解即可.【详解】解:由双曲线方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>, 则双曲线的渐近线方程为b y x a=±,又P 在双曲线的渐近线上,b =,即22222a b c a ==-,即223a c =,即==c e a, 故选:D.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法,重点考查了双曲线离心率的求法,属基础题.7.函数()()311x x e f x x e +=-(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( ) A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x x x e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ; 又因为()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →, 故选:D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象8.为了纪念中华人民共和国成立70周年,某单位计划印制纪念图案.为了测算纪念图案的面积,如图所示,作一个面积约为212cm 的正六边形将其包含在内,并向正六边形内随机投掷300个点,已知有124个点落在纪念图案部分,据此可以估计纪念图案的面积约为( )A. 23cmB. 24cmC. 25cmD. 26cm【答案】C【解析】【分析】 先阅读题意,再结合随机模拟实验的结果求解即可.【详解】解:设纪念图案的面积为S , 由随机模拟实验可得12412300S =,则 4.965S =≈, 故选:C.【点睛】本题考查了随机模拟实验,重点考查了利用随机模拟实验求几何图形的面积,属基础题. 9.已知函数1()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,把函数()f x 的图象上每个点向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的一条对称轴方程为( ) A. 34x π= B. x π= C. 2x π= D. 73x π= 【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换可得()g x 1cos 2x =-,然后由三角函数图像的对称轴方程的求法求解即可. 【详解】解:把函数()f x 的图象上每个点向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象, 则()g x 111sin[()]sin()cos 233222x x x πππ=--=-=-, 令12x k π=,即2,x k k Z π=∈, 即函数()g x 的对称轴方程为2,x k k Z π=∈,即函数()g x 的一条对称轴方程为2x π=,故选:C.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,重点考查了三角函数图像的对称轴方程的求法,属基础题. 10.设α是给定的平面,A B ,是不在α内的任意两点.有下列四个命题:①在α内存在直线与直线AB 异面;②在α内存在直线与直线AB 相交;③存在过直线AB 的平面与α垂直;④存在过直线AB 的平面与α平行.其中,一定正确的是( )A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④【答案】B【解析】【分析】根据直线和平面位置关系,找到反例,即可判断选项【详解】由题,对于②,当直线//AB 平面α时,②不成立;对于④,当直线AB ⊥平面α时,④不成立; 对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立,故选:B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判定,熟练掌握直线与平面位置关系的判定定理与定义及推论是解题关键11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左焦点为F ,直线y =与椭圆C 相交于A ,B 两点,且的AF BF ⊥,则椭圆C 的离心率为( )A. 1211【答案】D【解析】【分析】可解得点A 、B 坐标,由AF BF ⊥,得0AF BF =u u u r u u u r g ,把222b a c =-代入该式整理后两边同除以4a ,得e方程,解出即可,注意e 的取值范围【详解】解:由22221x y a b y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消y 可得得22222(3)a b x a b +=,解得x =分别代入y =,A ∴,(B,,∴AF c =+u u u r,(BF c =-u u u r,AF BF ⊥Q ∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++u u u r u u u r g , 2222243a b c a b ∴=+,(*) 把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-,两边同除以4a 并整理得42840e e -+=,解得24e =-1e ∴=, 故选D .【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系,考查学生的运算能力,属中档题.12.己知函数()f x ()x R ∈满足()(2)f x f x =--,函数()11()x x g x a e e --=-,若方程()()f x g x =有2019个解,记为(1,2,,2019)i x i =⋅⋅⋅,则20191i i x ==∑( ) A. 2019 B. 4038 C. 2020 D. 4040的【答案】A【解析】【分析】由已知有函数()f x 与函数()g x 的图像都关于点()1,0对称,又方程()()f x g x =的解等价于函数()f x 的图像与函数()g x 的图像交点的横坐标,再结合函数图像的对称性求解即可.【详解】解:因为函数()f x ()x R ∈满足()(2)f x f x =--,则函数()f x 的图像关于点()1,0对称,又函数()11()x x g x a e e --=-,则(1)(1)0g x g x -++=,即函数()g x 的图像也关于点()1,0对称, 又方程()()f x g x =的解等价于函数()f x 的图像与函数()g x 的图像交点的横坐标,由题意可得函数()f x 的图像与函数()g x 的图像交点关于点()1,0对称,且每组对称点的横坐标之和为212⨯=,又()()f x g x =有2019个解,则201912201920192i i x=⨯==∑, 故选:A.【点睛】本题考查了函数图像的对称性,重点考查了方程的解与函数图像交点的关系,属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.已知函数1,0,()2019,0,x e x f x x x +⎧<=⎨-≥⎩满足(1)()0f f a -+=,则a 的值为________. 【答案】2018【解析】【分析】先由分段函数解析式可得()1f a =-,再分类讨论得不等式组101a a e +<⎧⎨=-⎩或020191a a ≥⎧⎨-=-⎩,然后求解即可. 【详解】解:由分段函数解析式可得11(1)1f e-+-==,又(1)()0f f a -+=,则()1f a =-, 则101a a e +<⎧⎨=-⎩或020191a a ≥⎧⎨-=-⎩,解得:2018a =,故答案为:2018.【点睛】本题考查了分段函数求值问题,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属基础题.14.已知2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 【答案】25【解析】【分析】 由()442πππαα-=+-,然后求解即可. 【详解】解:因为2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 所以2cos cos[()]sin()44245ππππααα⎛⎫-=+-=+= ⎪⎝⎭, 故答案为:25. 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式,重点考查了角与角之间的关系,属基础题.15.已知ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足cos cos 2cos ,b A a B c B +=b =则ABC V 外接圆的面积为________.【答案】4π.【解析】【分析】 先由正弦定理sin sin sin a b c A B C==可得sin cos sin cos 2sin cos ,B A A B C B +=然后结合两角和的正弦公式求出sin 2B =,再求出ABC V 外接圆的半径为2,再结合圆的面积公式求解即可. 【详解】解:因为cos cos 2cos ,b A a B c B += 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==可得:sin cos sin cos 2sin cos ,B A A B C B +=即sin()2sin cos ,A B C B +=即 sin 2sin cos ,C C B =又sin 0C >, 即1cos 2B =, 又()0,B π∈,所以sin B =, 设ABC V 外接圆的半径为R ,则24sin b R B === , 即2R =,则ABC V 外接圆的面积为2224R πππ=⨯=,故答案为:4π.【点睛】本题考查了正弦定理及两角和的正弦公式,重点考查了圆的面积公式,属中档题.16.如图所示,六氟化硫()6SF 的分子是一个正八面体结构,其中6个氟原子()F 恰好在正八面体的顶点上,而硫原子()S 恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内,则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________.【答案】π.【解析】【分析】当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时,此时这个球为正八面体的外接球,由正八面体的性质可得球心为点S ,再结合锥体及球体的体积公式求解即可. 【详解】解:由正八面体的性质可得:当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时,此时这个球为正八面体的外接球,且球心为点S , 设外接球的半径为R,则正八面体的体积为32142)33R R ⨯⨯⨯=,又正八面体的外接球的体积为343R π,则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为334343R R ππ=, 故答案为:π.【点睛】本题考查了正八面体的外接球的有关问题,重点考查了锥体及球体的体积公式,属中档题.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:本大题共5小题,每小题12分,共60分.17.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足11,a =2312,a a +=*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设{}n n b a -是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)13-=n n a ;(2)23122n n =+-【解析】 【分析】(1)由已知条件求出等比数列的公比q ,再求通项即可;(2)先由等差数列通项公式的求法求出数列{}n b 的通项,然后由分组求和法及公式法求数列{}n b 的前n 项和n T 即可.【详解】解:(1)因为{}n a 是正数等比数列,且11,a =2312a a +=所以1211112a a q a q =⎧⎨+=⎩,即2120q q +-=分解得(4)(3)0q q +-=, 又因为0n a >,所以3q =,所以数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ;(2)因为{}n n b a -是首项为1,公差为2的等差数列, 所以1(1)221n n b a n n -=+-⨯=-,所以121321n n n b n a n -=-+=+-,所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+()()()0113133321n n -=++++⋅⋅⋅++- ()011333(1321)n n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-13(121)132n n n-+-=+- 23122n n =+-. 【点睛】本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法,重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n 项和,属中档题.18.某农科所对冬季昼夜温差(最高温度与最低温度的差)大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究,他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度(如图甲),以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况(如图乙),得到如下资料:最高温度最低温度甲乙(1)请画出发芽数y 与温差x 的散点图;(2)若建立发芽数y 与温差x 之间的线性回归模型,请用相关系数说明建立模型的合理性;(3)①求出发芽数y 与温差x 之间的回归方程ˆˆˆy a bx =+(系数精确到0.01);②若12月7日的昼夜温差为8C ︒,通过建立的y 关于x 的回归方程,估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数.参考数据:6175,ii x==∑6611162,2051,ii i i i yx y ====∑∑ 4.2,≈6.5≈.参考公式:相关系数:ni ix y nx yr -⋅=∑||0.75r >时,具有较强的相关关系).回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距计算公式:1221ˆ,ni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx=-. 【答案】(1)见解析;(2)y 与x 的线性相关程度较强;(3)①ˆ 1.478.63yx =+;②20颗. 【解析】 【分析】(1)结合题设所给数据作出散点图即可;(2)结合题设所给数据,求出相关系数r 的值,再作出判断即可;(3)结合题设所给数据,由最小二乘估计公式求出发芽数y 与温差x 之间的回归方程,从而运算即可得解. 【详解】解:(1)散点图如图所示(2)66i ix y x yr -⋅=∑7516220516664.2 6.5-⨯⨯≈⨯ 44.2=0.9520.75≈> 因为y 与x 的相关系数近似为0.9520.75>,说明y 与x 的线性相关程度较强, 从而建立发芽数y 与温差x 之间的线性回归模型是合理的; (3)由最小二乘估计公式,得6162216ˆ6i ii ii x y x ybxx ==-⋅=-∑∑27516220516664.2-⨯⨯≈2264.2=1.47≈, ˆˆay bx =-162751.4766=-⨯8.63≈, 所以ˆ 1.478.63yx =+,当8x =时,ˆ 1.4788.6320y =⨯+≈(颗),所以,估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗.【点睛】本题考查了散点图的作法,主要考查了回归方程的求法,重点考查了运算能力,属中档题. 19.如图甲,AD ,BC 是等腰梯形CDEF 的两条高,2AD AE CD ===,点M 是线段AE 的中点,将该等腰梯形沿着两条高AD ,BC 折叠成如图乙所示的四棱锥P -ABCD (E ,F 重合,记为点P ).甲 乙(1)求证:BM DP ⊥; (2)求点M 到平面BDP 距离h .【答案】(1)证明见解析 (2)7【解析】 【分析】(1)先证明BM ⊥平面ADP ,再证明BM DP ⊥即可;(2)利用等体积法,由M BDP D BMP V V --=,然后结合锥体体积公式求解即可. 【详解】解:(1)因为AD EF ⊥,所以,AD AP ⊥AD AB ⊥, 又AP AB A =I ,AP ,AB Ì平面ABP , 所以AD ⊥平面ABP ,因为BM ⊂平面ABP ,所以AD BM ⊥; 由已知得,2AB AP BP ===, 所以ABP △是等边三角形,又因为点M 是AP 的中点,所以BM AP ⊥;因为,AD BM ⊥,AP BM ⊥,AD AP A =I ,AD AP ⊂平面ADP , 所以BM ⊥平面ADP , 因为DP ⊂平面ADP ,所以BM DP ⊥.(2)取BP 中点N ,连结DN ,因为AD ⊥平面ABP ,2AB AP AD ===,所以DP BD ==DN BP ∠⊥, 所以,在Rt DPN V 中,DN ===所以12DBP S BP DN =⨯⨯V 122=⨯因为AD ⊥平面ABP , 所以13D BMP BMP V AD S -=⨯⨯V , 因为M BDP D BMP V V --=, 所以1133BDP BMP h S AD S ⨯⨯=⨯⨯V V , 又12BMP ABP S S =V 212AB =22==,所以7BMP BDP AD S h S ⨯===V V ,即点M 到平面BDP.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理,重点考查了利用等体积法求点到面的距离,属中档题. 20.已知函数()2()xf x e ax a R =-∈. (1)若()f x 的极值为0,求实数a 的值;(2)若()2ln 2f x x x x ≥-对于(2,4)x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)2e a =;(2)2ln 214e a ≤-+.【解析】 【分析】(1)先求函数的导函数,再讨论函数的单调性,从而确定函数的极值,然后求参数的值即可;(2)先将命题转化为222ln xe a x x ≤+-对于(2,4)x ∈恒成立,再构造函数()22ln x e H x x x=+-,(2,4)x ∈,则原问题转化为min 2(),a H x ≤(2,4)x ∈,再结合导数的应用求解即可.【详解】(1)由题得()2xf x e a '=-, ①当0a ≤时,()0f x '>恒成立,()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递增,没有极值.②当0a >时,由()0f x '=,得ln2x a =,当(,ln 2)x a ∈-∞时,()0f x '<,()f x 在(,ln 2)a -∞上单调递减, 当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 在(ln 2,)a +∞上单调递增,()f x ∴在ln2x a =时取到极小值, ()f x Q 的极值为0,(ln 2)0f a ∴=,ln22ln 20a e a a ∴-=即2(1ln 2)0a a -=,2ea ∴=; (2)由题得22ln 2x e ax x x x -≥-对于(2,4)x ∈恒成立,222ln xe a x x∴≤+-对于(2,4)x ∈恒成立,令()22ln xe H x x x =+-,原问题转化为min 2(),a H x ≤(2,4)x ∈,又22()x x e x e xH x x--'=,令()2x xG x e x e x =--,则()20xG x e x '=->在(2,4)x ∈上恒成立,()G x ∴在(2,4)上单调递增,()(2)G x G ∴>2224e e =--240e =->,()0H x '∴>()22ln x eH x xx∴=+-(2,4)上单调递增,2()(2)22ln 22e H x H ∴≥=+-,2ln 214e a ∴≤-+.【点睛】本题考查了导数的综合应用,重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题,属综合性较强的题型. 21.已知抛物线2:4C y x =,在x 轴正半轴上任意选定一点(,0)M m (0)m >,过点M 作与x 轴垂直的直线交C 于P ,O 两点.(1)设1m =,证明:抛物线2:4C y x =在点P ,Q 处的切线方程的交点N 与点M 关于原点O 对称;(2)通过解答(1),猜想求过抛物线2:2C y px =(0)p >上一点()00,G x y (不为原点)的切线方程的一种做法,并加以证明.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)先求函数=±y 的导函数,再求抛物线在点P 、Q 处的切线方程,然后求两直线的交点坐标即可得证;(2)先由(1)猜想切线方程为直线()000:2y GM y x x x '=+,再利用导数求曲线在某点处的切线方程即可得证.【详解】(1)当1m =时,点(1,0),M (1,2),P (1,2)Q -,由24y x =得=±y ,故y '=或y '=, 所以在点P 处的切线方程为21y x -=-, 即1y x =+,在点Q 处的切线方程为2(1)y x +=--, 即1y x =--,由11y x y x =+⎧⎨=--⎩得交点(1,0)N -,所以交点N 与M 关于原点O 对称.(2)过点()00,,G x y ()00x ≠作与x 轴垂直的直线交x 轴于点()0,0M x , 作点M 关于原点对称的点()0,0M x '-, 猜想切线方程为直线()000:2y GM y x x x '=+, 即()00y y p x x =+,其中2002y px =,由22y px =得y =y '∴=或y '=所以在点()00,G x y处的切线斜率为1k =或2k =,故点()00,G x y 处的切线方程为:)00y y x x -=-或)00y y x x -=-, 由2002y px =0y =0y =-,所以在点()00,G x y 处切线方程为()000py y x x y -=-,整理得2000y y y px px -=-,即()00y y p x x =+.【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程,主要考查了两直线交点坐标的求法,重点考查了运算能力,属综合性较强的题型.(二)选考题:共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,圆C 的普通方程为224650x y x y +--+=.在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为42sin πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. (1)写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程; (2)设点P 在C 上,点Q 在l 上,求PQ最小值及此时点P 的直角坐标.【答案】(1)圆C 的参数方程:23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩,直线l :30x y ++=;(2)min PQ =点P 的坐标为()01,【解析】 【分析】(1)整理圆C 的方程为()()22238x y -+-=,即可写出参数方程,利用cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩将直线方程写为直角坐标方程即可;(2)法一:利用参数方程设曲线C 上的点()2,3P αα++,利用点到直线距离公式可得24d πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则根据三角函数的性质求处最值,并将α代回求得坐标;法二:min PQ 为圆心到直线距离减去半径,再利用弦与直线垂直的性质得PQ 所在直线为1y x =+,联立直线与圆的方程即可求得交点P 的坐标【详解】(1)圆C 的方程可化为()()22238x y -+-=,圆心为()2,3C ,半径为的∴圆C的参数方程为23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数),直线l 的极坐标方程可化为sin cos 3ρθρθ+=-,∵cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩,∴直线l 的直角坐标方程为30x y ++= (2)法一:设曲线C上的点()2,3P αα++,点P 到直线l :30x y ++=的距离:24d πα⎛⎫===++ ⎪⎝⎭, 当54πα=时,)min 12PQ =-+=此时点P 的坐标为()0,1,所以min PQ =此时点P 的坐标为()0,1 法二:曲线C 是以()2,3C 为圆心,半径为,圆心()2,3C 到直线:30l x y ++=的距离d ==所以min PQ ==此时直线PQ 经过圆心()2,3C ,且与直线:30l x y ++=垂直,1PQ l k k ⋅=-,所以1PQ k =,PQ 所在直线方程为32y x -=-,即1y x =+, 联立直线和圆的方程2214650y x x y x y =+⎧⎨+--+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=⎩, 当PQ 取得最小值时,点P 的坐标为()0,1,所以min PQ =此时点P 的坐标为()0,1【点睛】本题考查圆的普通方程与参数方程的转化,考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查直线上一点到圆的距离最小值问题 选修4-5:不等式选讲23.已知函数()12f x x x =+--.(1)解不等式()1f x ≤;(2)记函数()f x 的最大值为s()0s a b c =>,,3+≥. 【答案】(1)(]1-∞,;(2)证明见解析【解析】【分析】(1)将函数整理为分段函数形式可得()3,121,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可;(2)先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可【详解】(1)由题,()3,121,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩, ①当1x ≤-时,31-≤恒成立,所以1x ≤-;②当12x -<<时,211x -≤即1x ≤,所以11x -<≤;③当2x ≥时,31≤显然不成立,所以不合题意:综上所述,不等式的解集为(],1-∞(2)由(1)知()max 123f x x x s =+-+==,3=,6+=, 当且仅当1a b c ===时取等,3+≥ 【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用。
2020年广东省东莞市高考文科数学模拟试卷
一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)
1.设集合A=[1,2],B={x∈Z|x2﹣2x﹣3<0},则A∩B=()
A.[1,2]B.(﹣1,3)C.{1}D.{1,2}
2.若复数满足i•z=﹣1﹣i,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统,分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义,如图,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形.
若在图④中随机选取一点,则此点取自阴影部分的概率为()
A .
B .
C .
D .
4.已知向量,,且两向量夹120°,则=()A.1B .C .D .
5.已知椭圆的左顶点为A,上顶点为B ,且(O为坐标原点),则该椭圆的离心率为()
A .
B .
C .
D .
6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,,且时,f (x)=log2(﹣3x+1),则f(2020)=()
A.4B.log27C.2D.﹣2
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绝密★启用前广东省东莞市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟考试(在线自测)数学(文)试题(解析版)2020年3月一、选择题1.已知集合2{|40},{2,1,0,1,2}A x x B =-<=--,则A B =( )A. {2,1,0,1,2}--B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {0,1}【答案】C【解析】【分析】首先求出集合A ,再根据交集的定义计算可得;【详解】解:由240x -<,得22x -<<, {}|22A x x ∴=-<<,又{2,1,0,1,2}B =--,由集合的交集运算,得{1,0,1}.=-A B 故选:C .【点睛】本题考查集合的运算,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.设21i x yi i=++(,,x y R i ∈为虚数单位),则||x yi -=( )A. 1B. 12 D. 2【答案】C【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边,再由复数相等的条件求得x ,y 值,最后代入复数模的公式求得答案.【详解】解:∵ 22(1)11(1)(1)i i i i x yi i i i -==+=+++-, ∴ 1x y ==, ∴ 1x yi i -=-=.故选:C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,属于基础题.3.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( )A. yB. 33y x =-C. 1y x x =-D. y x x = 【答案】D【解析】【分析】 根据基本初等函数的单调性奇偶性,逐一分析答案四个函数在定义域上的单调性和奇偶性,逐一比照后可得答案.【详解】解:因为函数y ,所以选项A 不合题意; 函数33y x =-在定义域上为减函数,所以选项B 不合题意; 函数1y x x =-在定义域内不单调,所以选项C 不合题意; 函数y x x =为奇函数,且22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩,因为2y x 在[0,)+∞上单调递增,2y x =-在(,0)-∞上单调递增,且2y x 与2y x =-在0x =处函数值都为0,所以y x x =在定义域内是增函数. 故选:D . 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性,熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键.属于基础题. 4.若等比数列{}n a 满足19n n n a a +=+,则其公比为( ) A. 9 B. 9± C. 92 D. 92±。
东莞市2020届普通高中毕业班模拟自测
文科数学
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合{}{
}2
230,210A x x x B x x =+-<=->,则A I B=
A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)2
2. 设复数z 满足1iz i =+, 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一,镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、
五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形,半 圆的连接点构成正方形ABCD ,在整个图形中随机取一点,此 点取自正方形区域的概率为 A.
22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 2
1
π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x ), 当x >0时,2()log x
f x =;且f (m )=2,则m =
A.
14 B.4 C.4或14 D.4或14
- 5. 已知平面向量a r 、b r 的夹角为135°, 且a r
为单位向量,(1,1)b =r ,则a b +=r r
532. C.1 D. 32
6. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 22
22+1(0)x y a b a b
=>>的左、右焦
点,过F 1且垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,若∆AF 2B 是边长为4的等边三角形,则椭圆C 的方程为
A. 22143x y +=
B. 22
196x y += C.
221164x y += D. 22
1169
x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则
(cos
)(sin
)12
12
π
π
*=
A. 3-
B. 3
C.1
D.-1 8.约公元前600年,几何学家泰勒斯第一个测出了金 字塔的高度.如图,金字塔是正四棱锥,泰勒斯先测 量出某个金字塔的底棱长约为230米;然后,他站立 在沙地上,请人不断测量他的影子,当他的影子和身高 相等时,他立刻测量出该金字塔影子的顶点A 与相 应底棱中点B 的距离约为22.2米.此时,影子的顶点 A 和底面中心O 的连线恰好与相应的底棱垂直,则 该金字塔的高度约为
A. 115米
B.137.2米
C.230米.
D.252.2米
9. 为加强学生音乐素养的培育,东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛,比赛现场有7名评委给选手评分,另外,学校也提前发起了网络评分,学生们可以在网络上给选手评分,场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后,现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示:
记现场评委评分的平均分为1x ,网络评分的平均分为2x ,所有评委与场内学生评分的平均数为x ,那么下列选项正确的是 A. 122x x x +<
B. 122x x x +=
C. 122x x x +>
D. x 与12
2
x x +关系不确定 10.已知函数()cos()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的最小正周期为π,将f (x )的图象向左平移
3
π
个单位后,所得图象关于原点对称,则函数f (x )的图象 A.关于直线2x π=-对称 B.关于直线3x π
=-对称
C.关于点(2π,0)对称
D. 关于点(3
π
,0)对称
11. 已知双曲线 C : 22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线被圆222
()2x c y a -+=截得的弦长为
2b (其中c 为双曲线的半焦距),则双曲线C 的离心率为 A.
2
2
23 D. 2 12.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为AB 和DD 1的中点,经过点B 1,E ,F 的平面α交AD 于G ,则AG= A.
13 B. 14 C. 34 D. 23
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13.∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若3
cos sin a B A =
,则 _____B =
14. 已知21
()x
x kx f x e ++=在0x =的切线方程为1y x =+, 则k =___________.
15. 已知三棱锥P- ABC 中,PA⊥平面ABC ,PA=BC=2,∠BAC=2
π
,则三棱锥P- ABC 的外 接球的表面积为_______。
16.已知sin()
2()2ax x f x x x
π
+=
-在(0,1)x ∈上恰有一个零点,则正实数a 的取值范围为_______________。
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:本大题共5小题,每小题12分,共60分. 17. (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ,43216,3S a a == (1)求{}n a 的通项公式; (2)设1
1
n n n b a a +=⋅,求{}n b 的前2n 项的和2n T .
18. (本小题满分 12分),
如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,其中AB⊥BC,AD// BC, AD=4, AP= AB=BC=2, E 是AD 的中点,AC 和BE 交于点O,且PO⊥平面ABCD. (1)证明:平面PAC⊥平面PCD; (2)求点D 到平面PCE 的距离.
19. . (本小题满分 12分) 已知函数()3x
f x e ax =+. (1)讨论函数f (x )的单调性:
(2)若函数()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立,求a 的取值范围.
20.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆N :2
2
(1)1x y -+=,圆心N(1,0),点E 在直线1x =-上,点
P 满足,PE ON NP NE EP EN ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
P ,点P 的轨迹为曲线M 。
(1)求曲线M 的方程.
(2)过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D (自上而下),若AC 、CD 、DB 成等差数列,求直线l 的方程。
21. (本小题满分 12分)
在党中央的正确领导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后,统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数,绘制成如下折线图:
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息,写出你认为最重要的两个统计结论;
(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期,此期间为病毒传播的最佳时期,我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者,假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者,10天内所有人不知情且生活照常.
( i )在不加任何防护措施的前提下,假设每位密切接触者被感染的概率均为p(0<p<1).第一天,若某位感染者产生()a a N ∈名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为a p;第二天,若每位感染者都产生a 名密切接触者,则第三天新增感染者平均人数为ap (1+ap );以此类推,记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为E n (2≤n ≤10).写出E 4,E n ;
(ii)在(i )的条件下,若所有人都配戴口罩后,假设每位密切接触者被感染的概率均为p',且满足关系p'=ln(1+p ) 23
p -
,此时,记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为'
n E (2≤n ≤10).当p'最大,且a =10时, 、根据E 6和'
6E 的值说明戴口罩的必要性. ('
p 精确到0.1)
参考公式:函数y =ln(1+ x )的导函数'11
y x =
+,;参考数据: ln3≈1.1, ln2≈0.7, 64
= 1296.
(二)选考题:共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为(3x t
t y =⎧⎪⎨
=+⎪⎩为参数), 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=2sin (0)a a ρθ>,己知直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点.
(l)求a ;
(2) A, B 为曲线C 上的两点,且∠AOB=
2
π
,求OA OB +的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数()313,f x x x a x R =++-∈ (1) 当a =1时,求不等式()9f x <的解集; .
(2)对任意x R ∈,恒有()21f x a >-,求实数a 的取值范围.
11/ 11。