微积分第二章习题参考答案

第二章 一元函数微分学
习题答案
a
1
§2.1导数的概念(19-20)
一.
f ( x0 ), 2 f ( x0 ),
f
(0);
1 4
;
f
(
x0
)
x0 f ( x0 );
5米
秒
;
y
1 2
3 ( x ), y 1
2
3
2
2 ( x );
33
二 .1. y | sin x | 在 x 0处 连 续 但 不 可 导 .
,
.
d u u ( 1 v ) d v v (au 1 )
25
二 .1.B ; 2.A .
(
g
(0
)
lim
x 00
g(x) x
g (0 )
f ( x )(1 x ) f (0 )
lim
x 00
x
f (0 ) f (0 ),
类似地
g
(0
)
f (0 )
f (0),
g ( 0 ) g ( 0 ) , f ( 0 ) 0 .
5 . y e (sin cos ), y 2 e cos ,
y 2 e (cos sin ), y ( 4 ) 4 e sin ,
y (n)
n
2 2 e
sin(
n a );
17
4
6.
dy2t f(t2), dt
d2y dt2
2f
(t2)4t2
f
(t2);
4. csc , earctan
1 ;
2 (1)
a
6
5. sec t;
6.
x ,( 1 x 2 c);
1 x2
7.
1 ,(ln( x 1 x 2 ) c ).
1 x2
d 8. lim f (cos x )
x 0 dx lim f (cos x )( sin
x 0
x ) 1 1. 2x
五、① 0, ② 1, ③ 2.
六、
(1)
d2y dx2
ex
f
(ex)
e2x
f
(ex);
(2)
d2y dx2
f(x)f(x)[ f(x)]2 [ f(x)]2
a
19
§2.5 函数的微分
一.(1) y 0.31,dy o.3;(2) y 0.0301,dy o.03.
二.(1) 2 ( x 1);(2) cos1 (cos1 sin1)x.
一、填空题
§2.4 高阶导数
1 . r cos sin , r 2 sin cos ; 2 . z e t 2 (1 2 t 2 ), z e t 2 ( 6 t 4 t 3 );
3. y 1 , 1 x2
y
(1
x x 2 )3/2
;
4 . y (n ) n! 2 n e 2 x1
a
8
(3)解 .
u
sin 2 1
e v ( 2 sin
1 )cos v
1 v
(
1 v2)
1 v2
sin 2 1
ev
sin
2 v
.
(4)解 .
y th(ln x )
e ln x e ln x e ln x e ln x
x x
1
x 1
x
x2 1
2
x2 1 1 x2 1,
y
2 ( x 2 1)2
6 . d x x t
f ( t )
1;
dy
y
t
f ( t ) f ( t ) t f ( t )
t
d(dy )
d 2y dx2
dx dt
dx
dt
1 f ( t )
7 . u v ln u ln v , 1 d v 1 1 d v , du u v du
d v v (u 1) d u u (1 v )
33 2
三.1. 2 (2sin cos )d;2. tan t;3. 2ln(1 x) dx;
1 x
4.
8tan(1 2x2 )sec2(1 2x2 )xdx;5.
(t)(1 t) (t)
(1 t)2
dt;
f (arctan 1 ) 6. 1 x2 x dx;
1
7,
dx; 8.sec xdx.
a2 x2
a
20
四.(1) 1arctanx c;(2) arcsinxc;(3) 1 x2 c;
a
a
(4)
1e2x c;(5)
ln(1ex)c;(6)
2
3
x2
c;
2
3
(7) ex2 c;(8) 1tan(2x3)c;(9) 1eln2 x c;
2
2
(10) d(sin2 x) (2sinx)dsinx sin2xdx.
h 1
f ( x ).
h
2.
ax 2 ln x 2ax 1
x
,
x2 ln
x
1 2a 1
2
,
x
e ,a 1 . 2e
切线方程为
1 x y 1.
e
2
切点 ( e,1),k 1 2e
a
24
3 . f (0 );
4.dy
y (ln
a
a
b )d x ;
bxx
5 . d (2 x 3 x c ), d ( f (ln x ) c );
a
12
§2.3隐函数的导数(23-24)
一.1.
ey 1xey ;
2.csc2(r );
3.csc2(x y);
4.cost sintcost sint, 32;
5. 2e2; 3
6. t ; 7.y2 2(x 2).
2
2
a
13
二
dy .1.
(
x
)x (ln
x
1 );
dx 1 x 1 x 1 x
7. 200!1
二、求下列函数的二阶导数
1. y 9x2 arcsin x, y 18x arcsin x 9x2 ; 1 x2
2. y x y , x y
y
2( x2 y2 ) ( x y)3
;
3.
y x(arctg x)2,
y
(arctg
x)2
1
2x x2
arctg
x
;
4.
dy sint cost , dx cost sint
](n
1)!.
a
28
4.解 : f (0 0 ) lim (2e x a ) 2 a , x 0 f (0 0) lim ( x 2 bx 1) 1, x 0
a
7
二 .1 .(1 )解 . y ln ( x 1 x 2 ) ln x ,
y
1
(1 x ) 1
x 1 x2
1 x2 x
1
.
x 2 1 x 2 x (1 x 2 )
(2)解 .
y 3 sec2(ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) 1 x
3 sec3(ln x )tan(ln x ). x
2x 2y
b2 x
(3)
a2
dx
b2
dy
0 , d y
a2
dx. y
a
22
五.(4) 2lny2lnxln(ax)ln(ax),
2 y
y
2 x
1 a
x
1 a
x
2 x
2a a2 x2
,
dy
ydx
y(1 x
a2
a
x2
).
a
23
习 题 课 (一 ) (29 30)
f(x 1) f(x)
一 .1. f ( x ); 注 意 : lim h
d2 dx
y
2
a
2 et (cost
sint )3
;
18
三、1.r(n)2n1sin2[(n1)]; 2.y(n)(xn)ex;
2 3. y(n) (1)nn![(t2 1)n1(t1 1)n1];
四、 1 .y (1)0 0 sh 1c 0h ;02 .y (1)0 9 x 0 9 !.8 9
又
f(1)
lim
x1
x2 1 x 1
2,
f(1)
lim
x1
(ax b) 1 x 1
lim
x1
(ax
1 a) x 1
1
a,
a 2,b 1 a 1.
a
3
四.证明. f (x)为偶函数, f (x) f (x).
f (0) lim f (x) f (0) lim f (x) f (0)
x0
a
21
五 .(1)
1 dy dx d arctan y dx 1 y 2 dy,
dy (1
1 y 2 )dx .
( 2 ) y x sin x , ln y sin x ln x , y e sin x ln x ,
dy e sin x ln x (cos x ln x sin x )dx . x
S
1 2
| 2x0
|
| 2 y0
|
2a 2为 常 数 ,与 切 点 无 关 .
a
5
பைடு நூலகம்
§2.2求导法则(21-22)
一.1. 2cos x sec2 x, 3cos x 2sec2 x;
2. cosesin ,
ex 1 e2x ;
2xcos2x sin2x
x 1
3.
x2
, e 2 ( cos3x 3sin3x); 2
s(t) ds x(t) dx 0,
dt
dt
已 知 ds 160, s 5, x 4, dt
d x 2 0 0 , v 2 0 0 1 2 0 8 0 . dt
汽 车 速 度 为 80 km h .
五 .答 : 1 4 4 米 2 秒 . 六 a.答 : 2 .8 公 里 小 时 . 16
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0).
x0
x
f (0) 0.
a
4
五 .证 明.
设 切 点 为( x0, y0 ),
y( x0 )
a2
x
2 0
y0 x0
,
切线方程为
:
y
y0
y0 x0
(x
x0 ),其 截 距 式 为
xy 1,
2 x0 2 y0
切线与两坐标轴构成的三角形面积
2. dy dx
(1
x 2 )sin x2 2 x[co s x 2 ln (1
x2)
sin 1
x2 x2]
;
三
.解
:
x y
x e x s in 3 2 2 0
e x cos
0 ,
x
e x cos 1 e x sin
,
y 3 2 2
dy dx
( 3
2
2)(1 e x sin e x cos
2.当 0时 ,函 数 在 x 0处 连 续 ,
当 0时 ,函 数 在 x 0处 不 连 续 ;
当 1时 ,函 数 在 x 0处 可 导 ,
当 1时 ,函 数 在 x 0处 不 可 导 .
a
2
三.解. f (1) f (1) 1, f (1) a b,
b 1 a;
3.解 .(1)dy e f (x)[e x f (e x ) f (e x ) f ( x )]; dx
(2) dy f (sin2 x)2sin x cos x f (cos2 x)2cos x( sin x) dx [ f (sin2 x) f (cos2 x)]sin 2 x.
a
| x | 1 .
| x | 1
a
27
2.解: x ln y y ln x,ln y x y yln x y ,
y
x
y y( y x ln y) . x( x y ln x)
3.解 : y ln(1 t) ln(1 t),
y(n)
(1)n1 [(1 t)n
1 (1 t)n
),
当
0时
,
x y
1 0
,
k
dy dx
0
2e,
a
14
切线方程为 法线方程为
y 2e( x 1), y 1 ( x 1).
2e
a
15
四 .解 : 设 t时 刻 飞 机 与 汽 车 距 离 s ( t ), 飞 机 与 汽 车 水 平 距 离 x(t)
s2(t) x 2(t) 9,
1 1 0
(二 )
f ( 0 )
lim
x 0
1
ex x
1
lim x 0
1 ,
x (1 e x )
f (0 )不 存 在 .
a
11
三.证明.(1)设f (x)为偶函数,则f (x) f (x), f (x) f (x), f (x) f (x), 即f (x)为奇函数;
(2)设f (x)为奇函数,则f (x) f (x), f (x) f (x), f (x) f (x), 即f (x)为奇函数;
10
3.(3) y
1
1 f2
(
x
)
f ( x );
(4 ) y f (sin x )cos x cos[ f ( x )] f ( x ).
4.解 .(一 )
lim f ( x ) lim
x 0
x 0
1 1 1 f (0),
1 ex
f ( x )在 x 0 处 不 连 续 , f ( 0 )不 存 在 .
2x
4x ( x 2 1)2 .
a
9
2.解 . f ( x )可 导 , f ( x )连 续 , f (0) f (0 )
1 f (0) lim b(1 x 2 ) b. 又 x0
f(0) a ,
f ( 0 )
lim
x 0
b(1
x2) x
1
lim
x 0
(1
x2) x
1
0,
a 0. 综 上 所 述 ,当 a 0,b 1 时 , f ( x)处 处 可 导 .
a
26
三 .1 .解 :
f (1 ) , f (1 ) 1 , f (1 ) f (1 ). 4
f (1) 0, f (1 ) , 4
f ( 1 ) f ( 1 ). f ( x )在 x 1处 不 连 续 ,所 以 不 可 导 ,
1
f
( x )
1
x2 1
2