微积分第二章习题参考答案
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第二章习题2-11. 证明:若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a .证:由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有n x a ε-<取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明:若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立.证:lim 0,,.使当时,有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>,,使当时,有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明:lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证:必要性由2题已证,下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=,则lim 0n n x →∞=,由lim 0n n x →∞=知,0ε∀>,N ∃,设当n N >时,有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明:(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0; (2) lim n →∞2!n =0. 证:(1)因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=,2lim0n n→∞=,所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . (2)因为22222240!1231nn n n n<=<- ,而且4lim 0n n →∞=,所以,由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1>0,x n +1=13()2n nx x +,n =1,2,…;(2) x 1x n +1,n =1,2,…;(3) 设x n 单调递增,y n 单调递减,且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证:(1)由10x >及13()2n n nx x x =+知,有0n x >(1,2,n = )即数列{}n x 有下界。
第五章习题5-11.求下列不定积分:125)x -d x ; 2 2⎰x ; 3 3e x x ⎰d x ; 4 2cos2x⎰d x ; 5 23523x x x⋅-⋅⎰d x ; 6 22cos 2d cos sin x x x x ⎰.解 5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰2. 解答下列各题:1 一平面曲线经过点1,0,且曲线上任一点x ,y 处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程;2 设sin x 为fx 的一个原函数,求()f x '⎰d x ;3 已知fx 的导数是sin x ,求fx 的一个原函数;4 某商品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000即P=0时,Q =1000,已知需求量的变化率边际需求为Q ′P =-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 1设所求曲线方程为y =fx ,由题设有f′x =2x -2,又曲线过点1,0,故f 1=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.2由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.3由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. 4由1()1000()ln 33PQ P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3P Q P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立: 1 d x = d ax +ba ≠0; 2 d x = d7x -3; 3 x d x = d52x ; 4 x d x = d1-2x ; 5 3x d x = d3x 4-2; 6 2e x d x = d 2e x; 7 2ex -d x = d1+2ex -; 8d xx= d5ln |x |;= d1-arcsin x = d112d 19x x += darctan3x ; 12 2d 12xx += darctan x ;13 32x -2d x = d2x -3x ; 14 cos 23x -1d x = dsin 23x -1.解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a+=≠∴=+2.求下列不定积分:1 5e d t t ⎰;2 3(32)x -⎰d x ;3d12xx -⎰; 45t ; 6 d ln ln ln x x x x ⎰; 7 102tan sec d x x x ⎰; 8 2ed x x x -⎰;9dsin cos x x x ⎰; 10 ⎰; 11de e x xx-+⎰; 12 x ; 13 343d 1x x x -⎰; 14 3sin d cos x x x ⎰; 15x ⎰; 16 32d 9x x x +⎰; 172d 21xx -⎰; 18 d (1)(2)x x x +-⎰; 19 2cos ()d t t ωϕ+⎰; 20 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;21 sin2cos3d x x x ⎰; 22 cos cosd 2x x x ⎰; 23 sin5sin 7d x x x ⎰; 24 3tan sec d x x x ⎰;25x ; 26 ;27ln tan d cos sin xx x x⎰; 28 21ln d (ln )x x x x +⎰; 292,0x a >; 30 ⎰31x⎰; 32 ;33⎰; 34,0x a >⎰; 352d x x ⎰; 36 2d x x⎰; 372sec ()d 1tan x x x+⎰; 38 (1)d (1e )x x x x x ++⎰提示:令xt e =. 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰ 利用教材§例16及公式20可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin 2222x a x a x a C C a a a --=-. 30令tan ,(,)22ππx t t =∈-,则2sec d d x t t =. 所以2sec cos sin sec d d d d tt t t t t C t ====+⎰⎰tan ,sin 原式x t t C =∴=∴=.31令3sec ,(0,)2πx t t =∈,可求得被积函数在x >3上的不定积分,此时 故223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec d d d d tx t t t t t t t x t=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰ 3tan 3t t C =-+.由3sec ,(0,)2πx t t =∈得tan t =,又由3sec x t =得33sec ,cos ,arccos 3x tt t x x===, 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分. 综上所述有33arccos d x C x x=+⎰. 32令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 33令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =3421(2d d x a x x a =+=⎰arcsin xa C a=⋅. 35令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.3622d d x x x x ==+⎰⎰ 由被积函数知x ≤-2或x >0,令1x t=, 当x >0时,此时t >0 当x ≤-2时,此时102t -≤<综上所述:原式= ln1C x -++. 37 2222sec sec 11()(1tan )1tan (1tan )(1tan )1tan d d d x x x x x C x x x x==+=-+++++⎰⎰⎰. 38令e x=t ,则x =ln t ,d x =1td t .习题5-31.求下列不定积分:1 sin d x x x ⎰;2 e d xx x -⎰; 3 arcsin d x x ⎰; 4 e cos d xx x -⎰;5 2esin d 2xxx -⎰; 6 2tan d x x x ⎰;7 2e d t t t -⎰; 82(arcsin )d x x ⎰;9 2e sin d x x x ⎰; 10 x ⎰;11cos(ln )d x x ⎰; 122(1)sin 2d x x x -⎰;13ln(1)d x x x -⎰; 1422cosd 2x x x ⎰; 1532ln d xx x⎰; 16sin cos d x x x x ⎰;172cot csc d x x x x ⎰; 18 22(1)e d x x x x +⎰;191(ln ln )d ln x x x+⎰; 20e ln(1e )d x x x +⎰; 21 23sin d cos x x x ⎰; 22x ; 232e d (1)x x x x +⎰; 24arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰10t =,则32,3d d x t x t t ==11令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰.22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x xx x x x =-+=++++=-++⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t d t∴原式C +.于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =+⎰.习题5-4求下列不定积分:1 21d 1x x +⎰; 2 5438d x x x x x +--⎰; 3sin d 1sin x x x +⎰; 4 cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 1令322111(1)(1)11A Bx C x x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是注 本题亦可用万能代换法4令tan 2xt =,则 则。
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n ). 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2.若a x n n =∞→lim ,证明||||lim a x n n =∞→,并举反例说明反之不一定成立.证明: a x n n =∞→lim ,由定义有:N ∃>∀,0ε,当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ,当N n >时,都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ,但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等.证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2.写出下列极限的精确定义:(1)A x f x x =+→)(lim 0,(2)A x f x =-∞→)(lim ,(3)+∞=+→)(lim 0x f x x ,(4)-∞=+∞→)(lim x f x ,(5)A x f x =+∞→)(lim .解:(1)设R x U f →)(:0是一个函数,如果存在一个常数R A ∈,满足关系:0,0>∃>∀δε,使得当δ<-<00x x 时,恒有ε<-|)(|A x f ,则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限,记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . (2)设R f D f →)(:是一函数,其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈,满足关系:0)(,0>∈∃>∀R X ε,使得当X x -<时,恒有ε<-|)(|A x f 成立,则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限,记作:A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .(3)设R x U f →)(:0是任一函数,若0>∀M ,0>∃δ,使得当δ<-<00x x 时,恒有M x f >)(,则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大,记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . (4)设R f D f →)(:是一函数,其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(,若存在常数R A ∈,满足关系:0>∀M ,0)(>∈∃R X ,使得当X x >时,恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大,记作:-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .(5)设R f D f →)(:是一函数,其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(,若存在常数R A ∈,满足关系:0,0>∃>∀X ε,使得当X x >时,恒有ε<-|)(|A x f 成立,则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限,记作:A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim. 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2.求xe e xxx 1arctan11lim110-+→. 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3.设)(lim 1x f x →存在,)(lim 2)(12x f x x x f x →+=,求)(x f . 解:设 )(lim 1x f x →=A ,则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限:A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4.确定a ,b ,c ,使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解:依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10,n n x x +=+61,( ,2,1=n ).试证数列{n x }的极限存在,并求此极限. 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2.证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛,并求其极限.证明:利用准则II ,单调有界必有极限来证明.∴301<<x ,由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证:30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ,… ,1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增,由准则II n n x ∞→lim 存在,设为A ,由递推公式有:AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A (舍去负数)∴ 3lim =∞→n n x .3.设}{n x 为一单调增加的数列,若它有一个子列收敛于a ,证明a x n n =∞→lim .证明:设}{k n x 为}{n x 的一子列,则}{k n x 也为一单调增加的数列,且a x k k n n =∞→lim对于1=ε,N ∃,当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ,对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界,且原数列}{n x 又为一单调增加的数列,所以,对一切n 有M x n ≤||有界,由准则II ,数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→.解: 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π.解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→. 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解: 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ,1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性,并指出间断点类型. 解. n x =,Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ,求)(x f 的间断点,并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4.讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性.解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续,且0)(lim=∞→xx f x ,证明至少存在一点ξ,使得0)(=+ξξf .证:令x x f x F +=)()(,则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ,从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得,存在01>x 使0)(1>x F ;存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件,所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ,即0)(=+ξξf .6.讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型.解: ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ,显然 1±=x 是第一类跳跃间断点,除此之外均为连续区间.7.证明:方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根,且不超过b a +. 证明:设b x a x x f --=sin )(,考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ,0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ,当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时,b a x +=是方程的根;当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时,由零点定理,至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ,即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时,下面等式成立吗?(1))()(32x o x o x =⋅;(2))()(2x o xx o =;(3) )()(2x o x o =. 解. (1)()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x (2) ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o(3) ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时,若)11(12+=++x o c bx ax ,则求常数c b a ,,.解. 因为当∞→x 时,若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3.写出0→x 时,无穷小量3x x +的等价无穷小量.解: 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ,3x x +~6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导,求下列极限值. (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→;(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→.解.(1) 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→(2) 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2.设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导,且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证:函数f 在),0(+∞内可导,且)1()()(f xx f x f '+='. 解:令1==y x ,由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f .()+∞∈∀,0x ,()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导,且()()()xx f f x f +'='1. 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义,且(0)0f =,(0)1f '=, 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+,其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '.解: ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导,且21arctan lim )(0=-→x f x e x,求)0(f '.解:由已知,必有0]1[lim )(0=-→x f x e,从而0)(lim 0=→x f x ,而0)(=x x f 在连续,故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数,)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解: 令t h 1=,则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'=',dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6.设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数,又假设1)(lim=→xx f x ,求:(1))0(f ;(2))0(f '; (3))(x f '. 解:(1)依题意 R y x ∈∀,,等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f(2)又 1)(lim=→x x f x ,即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→,∴ 1)0(='f(3)xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7.设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切,试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解:依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8.设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ,证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证:n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1.计算函数baxax xb ab y )()()(= (0,0>>b a )的导数.解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy .解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2,232)(x x u +=,求dudy. 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4.已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=,求=x dx dy .解:22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =. 解 (1)⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ,()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y (2) ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y .解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ,()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'.解 以x 1代x ,原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛,由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312,消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1,求得()x x x f 12-=,且得()212xx f +=',()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5.设()arcsin f x x =,试证明()f x 满足 (1)2(1)()()0x f x xf x '''--= (2) ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n(3)求()(0)n f解 (1)()211x x f -=',()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--='', ()()()012='-''-∴x f x x f x ,(2)上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。
5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。
(A))()(x g x f +;(B))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D ))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有。
(A)α是比β高阶的无穷小; (B)α是比β低阶的无穷小; (C )α与β是同阶无穷小; (D )βα~。
练习2.11.写出下列数列的前五项.()12312+-=n n a n (n=1,2,3,…) ()23)1(1n nn a --= (n =1,2,3, …)()3n n na )11(+= n=1,2,3, …)()4)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …),其中x 是固定的实数.解:()1由2312+-=n n a n (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 51,83,115,147,179. ()2由3)1(1nnn a --= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 2,0,332,0,352. ()3由n n na )11(+= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为2,2)23(,3)34(,4)45(,5)56(.()4由)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …) 得数列的前五项为!1x,!33x -,!55x ,!77x -,!99x .2.做出下面各数列在数轴上的点,并说出哪些数列有极限?哪些没有极限?()1n n a 21=()2n nna )1(-= ()3n n n a 1)1(-= ()41+=n n a n ()5n n a n πsin 1= ()62sin πn n a n =. 解:作图略.()1有极限为0 ()2没有极限 ()3有极限为0 ()4有极限为1 ()5有极限为0 ()6没有极限.3*(略) 4*(略) 5*(略)6.设()⎩⎨⎧≥-<=1,131,x x x x x f ,作()x f 的图形,并讨论当1→x 时()x f 的左右极限,问)(lim 1x f x → 是否存在? 解:图略.因为 2)(lim 1=+→x f x ,1)(lim 1=-→x f x)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠所以)(lim 1x f x →不存在.7.求下列函数在指定点的极限.()1xx x f ||)(=在0=x 处 ()2⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x ,1=x ,2=x 处. 解:()1⎩⎨⎧-==11||)(x x x f Θ00<>x x 11lim )(lim 00==++→→x x x f ,11lim )(lim 0-=-=--→→x x x f所以xx x f ||)(=在0=x 处极限不存在. ()24)4(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ,4)4(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x 处极限为4.1)12(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ,5)4(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在1=x 处极限不存在.3)12(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x ,3)12(lim )(lim 22=-=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在2=x 处极限为3.8.下列函数在什么情况下是无穷大量,什么情况下是无穷小量?()111-=x y ()2x y ln = ()32x y = ()4x e y =.解:()1当1→x 时11-=x y 是无穷大量,当∞→x 时11-=x y 是无穷小量.()2当+∞→x 时x y ln =是无穷大量,当+→0x 时x y ln =是无穷大量,当1→x 时x y ln =是无穷小量.()3当∞→x 时2x y =是无穷大量,当0→x 时2x y =是无穷小量.()4当+∞→x 时x e y =是无穷大量,当-∞→x 时x e y =是无穷小量.9.下列各题中哪些是无穷小,哪些是无穷大?()1221,0xx x +→ ()212,0-→-x x()3x x lg ,0+→ ()4θθθsec 1sin ,0+→.解:()1、()3是无穷大,()2、()4是无穷小. 10.下列说法是否正确?()1无穷大量是极限为无穷大的变量()2无穷大量是无界变量,无界变量也是无穷大量 ()3无极限的数列一定无界.解:()1不正确。
第二章 极限与连续 练习题参考答案一、判断题1-5:××√√√ 6-10:××××√ 11-15:×××√√ 16-20:×××√√二、单项选择题1-5:DABCD 6-10:DDDCB 11-15:ADDAB 16-20:CCDAC 21-25:BBADB 26-30:BBBCC三、填空题 1.x21 ; 2. 7 ; 3.53; 4. 0 ; 5. 1 ; 6. 0 ; 7.31 ; 8. 2-e ; 9. 2 ; 10. 1 ; 11. 4 ; 12. 高 ; 13. 2 ; 14. 同阶 ; 15. 3±=x ; 16. 是 ; 17. 2 ; 18. 0 ; 19. 4 ; 20. 0 .四、解答题 1. (1) 11lim 22-++∞→n n n n 2211111lim n n n -++=∞→.21=(2).5432lim )3)(2()2)(2(lim 64lim 22222=++=+-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x x (3).41)1)(1(1lim )1)(1)(1(1lim 11lim 1121=++=++--=--→→→x x x x x x x x x x x (4) .22sin 24)2(lim 2sin 2lim cos 1lim cos 1sin lim cos 1sin lim 22022020200=∙==-=-⋅=-→→→→→x x x x xx x x x x x x x x x x x x (5).051121lim 512lim 44343=-+-=-+-∞→∞→xx x x x x x x x(6).211111lim1lim22=++=+++∞→+∞→xxx x x x (7) )1)(1)(1(12lim ])1)(1(3)1)(1(2lim[)1312(lim 22121321+++---=++--+-=---→→→x x x x x x x x x x x x x x x x.21)1)(1(12lim )1)(1)(1()12)(1(lim2121=++++=+++-+-=→→x x x x x x x x x x x x(8) .1])121(lim [)121(lim )121(lim )11(lim 0lim 2112211222==-+=-+=-+=-+-∞→-∞→-∙-∞→∞→∞→e xxxx x x x x x x x x xx xx x x x x x x x2、1x → )13)(1)(1()1(2lim )13)(1)(1()13)(13(lim 11x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++-+-++-+--=→→ .221)13)(1(2lim1-=++-+-=→x x x x3、)312)(4()22)(4(2lim)312)(22)(22()22)(312)(312(lim22312lim444++-+--=+++---+-++-+=---+→→→x x x x x x x x x x x x x x x.322312)22(2lim4=+++-=→x x x 4、2121lim()11x x x →---.2111lim )1)(1(1lim 11-=+-=+--=→→x x x x x x5.lim x →-)31)(8()24)(8(lim )31)(24)(2()24)(31)(31(lim 323832333238+-++-+-=+-+-++-+---=-→-→x x x x x x x x x x x x x x x.26)444(31)24(lim3238-=++-=+-+--=-→x x x x注意:第5题应用了公式:.8)(2)24)(2(),)((33332332233x x x x x b ab a b a b a +=+=+-+--+=+所以6.2111lim()222n n →∞+++ .121121=-= 注意:首项为.-1,11q a S q a =公式的无穷项等比数列求和公比为7、20cos 1lim2x x x→-.414)2(2sin lim 2sin lim 22sin 2lim 220220220-=∙-=-=-=→→→x xx x x x x x x8、0sin(sin )limx x x →.1]sin sin )sin(sin [lim 0=∙=→xxx x x 注意:此题只要将x sin 看成一个整体就可以了。
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习:1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时,10xy +→,因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时,2230x y →+,因此222233sin ~x y x y++, ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时,0xy →,因此sin ~xy xy ,()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→,因此,(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2.证明:当()(,)0,0x y →时,()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠,则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关,因此当()(,)0,0x y →时,()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(A))()(x g x f +;(B))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(A)α就是比β高阶的无穷小; (B)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。
微积分习题解答(第二章)1写出下列数列的一般项,并通过观察指出其中收敛数列的极限值。
()()11120,,0,,0,,2461112nn u n ⎡⎤=+-⎣⎦解:一般项该数列收敛,其极限为零。
()()11113,,,,26122011n u n n =+ 解:一般项该数列收敛,其极限为零。
()2510172642,,,,,23451n n u n+=解:一般项该数列发散。
3.利用定义证明下列极限;()nnnnn -11lim 060-110661ln ln 61ln 1,ln 6-106-1lim 06n n n N n N εεεεε→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭>⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>⎡⎤⎢⎥=+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫-< ⎪⎝⎭⎛⎫∴= ⎪⎝⎭证明:对于任给,要使只要取正整数当时总有不等式成立()223lim010111,0limn n n N n N εεεεε→∞→∞=>-=<>⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦-<∴=证明:对于任给,要使只要取正整数当时总有不等式成立4.试判断下列论点断是否正确。
()()()1,,lim 11111lim01n n n n n u A u A nnn n→∞→∞-=⨯--=+=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如随着越大,而越加接近零,但()(){}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u Au u u Aεεεε→∞→∞>-=∠>-=<∴=如果对于任给,在数列中除有限项外,都满足不等式<,则有 正确设N 为题中的‘有限项’中的最大下标,由题意 对于任给,只要取正整数+1,当时, 总有不等式满足()(){}5s in s in n n n u nu n u ⨯==≤有界数列必定收敛错误 例如显然1,但发散6.利用定义证明下列极限:()()()()()()111lim 3120312311,3312lim 312x x x x x x x x εεεδδε→→-=>--=-<=<-<--<-=证明:对于任意给定的,要使只需取,则当0时总有 成立,于是,由极限定义可知()3lim ln 0ln 0,ln lim ln x MMx x M x M x eex x Mx δδ++→--→=-∞>∴<-⇒<<=<<<-=-∞证明:对于任意给定的,y =l n x 单调增加,要使只需取,则当0时总有成立,于是,由极限定义可知()14lim2120111212211,12121lim212x x x x x x x x X x xx x x εεεε→∞→∞=+>-=<<++=-<+=+证明:对于任意给定的,要使只需取,则当>X 时总有成立,于是,由极限定义可知()()()5lim 00010ln 01,ln 0,lim 0xx xxxxxx ee ee x x X eeεεεεεεεε→-∞→-∞=><<-==<=<<∴<<-<= 证明:对于任意给定的不妨设,要使只需取,取正数X =-l n ,则当>X 时总有成立,于是,由极限定义可知7。
微积分2习题答案⼀、填空题 1.2. 设P(x)是x 的多项式,且lim 凡门⼆6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X7Tlim (arcsin(vx 2+x ⼀ x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t3. lim 1 ⼀ — .V —4. x )设lim ⼀ "" ⼀ * + 4= A ,则有"=5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d -----X X ? 3.1L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3*函数v = ⼀上]⼀的间断点是(x-l)(x + 2)为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续,应补充左义/(0)= x 3设函数y = ^-x )xK则 lim f (x)=X->X%⼯°在兀=0处连续,则参数K =x = 0 x + ae x +\⼆、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续,则“=x>0④<03. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②": Jx 3 4, -2③ €+1: ④』+ly =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2)①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1,T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②[3,T④ co ⼚i)u(_l,+oo)函数『⼆⼆2X-l .Y+1 ①2个②3个 6.下列函数中,?当XT0时,与⽆穷⼩量x 相⽐是髙阶⽆穷⼩咼的是. 价⽆穷⼩量的是 ______________ ① l-cosxx + X 25. ④4个以上④ sin 2x__ ■⽦有①,②=24.7. 8. 9. 当x->0-时,sin 仮与Ixl 相⽐是_ ①髙阶⽆穷⼩咼③同阶但不等价的⽆穷⼩量当XT O 时,l —cos2x 与/相⽐是①髙阶⽆穷⼩量③低阶⽆穷⼩量(sin 3x 设 f(x) = ] x x = 0 ②⼀3 ②低阶⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量②同阶但不等价的⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量为连续函数,则k = ①1 10?函数/(x)在点勺处有⽴义是f(x)当x ->⼼时极限存在的. ①充分但⾮必要条件③充分必要条件 11?当JVT 0时,① x + sinx12.当XT0时, ?x + sin — x 13?当XT 8时,①x + sin 丄 x ②必要但⾮充分条件④既⾮充分⼜⾮必要条件下列函数中⽐x 髙阶的⽆穷⼩量是 ________ ② x-siiix ③ ln(l + x)下列函数中为⽆穷⼩量的是 ________②x ?sin 丄③丄+ sinx X X 下列函数中为⽆穷⼩量的是 _____ _ ② x-sin — ③—+ sinxX X14. 15. 16. ②④ hi(l-x)②④—?sin x x ③④—-siiix x 设在某个极限过程中函数/(X )与g(x)均是⽆穷⼤量,则下列函数中哪⼀个也必是⽆穷⼤量___________ ③④爲设/(x (J = c lim f(x) = b t lim f(x) = c ,则函数/(x)在点⼈)处连续的充分必要 .v —>.rj XfY :① /(Q+g(x) ② /(x)-g(x) ③/(Q ?g ⑴②a = c v 2 -1 4------ C E X-l 0 ④a=b=c②跳跃间断点①连续点三、求下列极限 lim (Jx 2 +1 - x) = lim ________ ⼀⼀⼛? + 1lim (Jx 2 +1 - x) = +xlini (J+ 2x + 2 - J③可去间断点④⽆穷间断点1.2. 3. =lim ,( ?— = = lim ⼀ y/x 2+2x + 2 + J ,—2x + 2 —1 lim arctanx-arcsin — =0 x)L r (x + l)2 +(2x + l)2 +(3x + l)2 + …+ (10x + l)2 z 7、 5. lim -- ----------- ------------- ---------------------------- -- (=—) — (10x-l)(lLv-l) 2 n n 、tr +n [解]记⽿=G+t+…+⽃ ir +1 ir +2 n +ne .. n n n n n n 因为——+ —— + …+ —n +n ir +n n +n n ir即—< x /2 < 1,由于lim — = 1,所以由夹逼定理,得lim 兀=1 n +1〃―30n +1“a7?设辄⼚2叽求〃由于极限存在,故a = {3 — \°—=2006p = —, a : P 2006四、分析题1 .讨论极限lim " "[解]因为lim 1!巴丄1 = 1, Um ⼔巴⼝ = ⼀1,故原极限不存在。
第二章习题解答 习 题 2—11. 用定义求函数2y x =在1x =处的导数。
解:(1)22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆;(2)22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆; (3)00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.2. 已知一物体的运动方程为38s t =+ ()m ,求该物体在2()t s =时的瞬时速度。
解:(1)323(2)(2)(2)816126()()s s t s t t x t ∆=+∆-=+∆+-=∆+∆+∆;(2)230[126()()](2)lim12t s t x t v t t∆→∆∆+∆+∆===∆∆。
3. 求在抛物线22y x =+上点1x =处的切线方程与法线方程. 解:因为2(2)2y x x ''=+=,12,x y ='= 故所求的切线方程为 32(1)y x -=- 即 210x y -+-=所求的法线方程为 13(1)2y x -=--即 15022x y +-=。
4. 设0()f x '存在,试利用导数的定义求下列极限:(1)000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆; (2)000()()lim h f x h f x h h →+--;(3)000()(2)lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆.解:(1) 0000000()()[()]()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆;(2)原式0000000()()()()lim lim 2()h h f x h f x f x h f x f x h h→→+---'=+=-;(3)原式0000000()()(2)()3lim lim ()222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'=+=∆-∆。