一元二次函数解析式的8种求法

求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础;熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证;二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c a ≠0;2、顶点式：y=ax －h 2+k a ≠0,其中点h,k 为顶点,对称轴为x=h;3、交点式：y=ax －x 1x －x 2 a ≠0,其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标;4.对称点式： y=ax －x 1x －x 2+m a ≠0求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式;2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式;3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离,通常可设交点式;4.若已知二次函数图象上的两个对称点x 1、mx 2、m,则设成： y=ax －x 1x －x 2+m a ≠0,再将另一个坐标代入式子中,求出a 的值,再化成一般形式即可;探究问题,典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+bx+c a ≠0;解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c a ≠0 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4;例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(,求这条抛物线的解析式;分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2,重新设顶点式y=ax －h 2+k a ≠0,其中点h,k 为顶点;解：依题意,设这个二次函数的解析式为y=ax －42－1 a ≠0又抛物线与y 轴交于点)3,0(;∴a0－42－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41x －42－1,即y=41x 2－2x+3; 例3、如图,已知两点A －8,0,2,0,以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C0、4;求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;分析：A 、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点,所以可设交点式y=ax －x 1x －x a ≠0,其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标;2解：依题意,设这个二次函数的解析式为y=ax+8x －2例4、 已知函数y=x 2+kx －3k>0,图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4 1求实数k 的值；2若P 为上述抛物线上的一个动点除点C 外,求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标;变式练习,创新发现1、已知抛物线过A －2,0、B1,0、C0,2三点;求这条抛物线的解析式;2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(,与y 轴交于点)5,0(,求这条抛物线的解析式;2、已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为1,-92,且经过点－2,0,求该二次函数的函数关系式;3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3,且函数有最大值为2,图象与x 轴的一个交点是-1,0,求这个二次函数的解析式;4、已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示,则这个二次函数的关系式是________;5、已知：抛物线在x 轴上所截线段为4,顶点坐标为2,4,求这个函数的关系式6、已知二次函数y m x mx m m =-++-()()()123212≠的最大值是零,求此函数的解析式; 7. 已知某抛物线是由抛物线y=x 2-x-2经过平移而得到的,且该抛物线经过点A1,1,B2,4,求其函数关系式;9、已知四点A1,2,B0,6,C －2,20,D －1,12,试问是否存在一个二次函数,使它的图象同时经过这四个点 如果存在,请求出它的关系式；如果不存在,说明理由;5、。

求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。

下面将详细介绍这四种方法。

方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。

对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。

1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。

其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。

所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。

方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。

1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。

一元二次公式解法一元二次方程的解法是数学中的一个重要概念，它涉及到一元二次方程的根的求解。

一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的方法有多种，其中最常用的方法是公式法。

公式法是通过一元二次方程的根的公式来求解方程的根。

一元二次方程的根的公式是：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)其中，b^2 - 4ac 叫做判别式，√(b^2 - 4ac) 叫做根号下的判别式。

使用公式法解一元二次方程的步骤如下：1. 将方程化为一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

2. 计算判别式 b^2 - 4ac。

3. 根据判别式的值判断方程的根的情况：当判别式 b^2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根；当判别式 b^2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根（重根）；当判别式 b^2 - 4ac < 0 时，方程没有实根（虚根）。

4. 将判别式的值代入根的公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出方程的根。

下面是一个使用公式法解一元二次方程的示例：解方程：x^2 - 6x + 9 = 01. 将方程化为一般形式：x^2 - 6x + 9 = 0，其中 a = 1, b = -6, c = 9。

2. 计算判别式 b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0。

3. 因为判别式 b^2 - 4ac = 0，所以方程有两个相等的实根。

4. 将判别式的值代入根的公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，得到 x = [-(-6) ± 0] / (2 × 1) = (6 ± 0) / 2 = 3。

所以，方程 x^2 - 6x + 9 = 0 的解为 x1 = x2 = 3。

一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。

等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。

左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。

化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。

确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。

若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。

二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。

本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。

每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。

一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。

二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。

一个常见的二次函数的例子为y = x²。

1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。

通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。

如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。

可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。

可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。

具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。

如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。

在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。

求二次函数解析式的四种方法一、根据函数的顶点坐标和开口方向求解析式方法：设二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，已知顶点坐标为 (h, k)。

1.根据开口方向求a的取值：-若二次函数开口向上，则a>0；-若二次函数开口向下，则a<0。

2.根据已知点求解a、b、c的值：将已知顶点坐标代入解析式，得到方程 k = ah^2 + bh + c。

由此，可得到关系式：- 若 a = 0，则b ≠ 0，方程为 kh + c = k；- 若a ≠ 0，则方程为 ah^2 + bh + c = k。

解方程组，得到a、b、c的值。

3.根据a、b、c的值写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入解析式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。

二、根据已知的三个点求解析式方法：设已知的三个点为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。

1.求解a的值：通过使用待定系数法，假设解析式为 y = ax^2 + bx + c，将三个点代入解析式得到一个方程组：{a(x₁)² + bx₁ + c = y₁{a(x₂)² + bx₂ + c = y₂{a(x₃)² + bx₃ + c = y₃解方程组，得到a的值。

2.求解b、c的值：将求得的a的值带入上述方程组中，并解方程组，得到b、c的值。

3.写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。

三、根据已知的顶点坐标和另一点求解析式方法：设已知的顶点坐标为(h,k)，另一点坐标为(x,y)。

1.求解a的值：代入已知顶点坐标 (h, k)，得到方程 k = ah^2 + bh + c。

再代入另一点坐标 (x, y)，得到方程 y = ax^2 + bx + c。

消去c，并利用两个方程，可以解得a的值。

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0 (或ax^2 + bx + c < 0)的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

要解一元二次不等式，需要通过一系列的步骤来确定其解集。

步骤一：将一元二次不等式的左边转化为一个二次函数f(x)。

根据一元二次不等式的形式，我们可以将其左边的项看作是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。

这个二次函数的图像可能是一个抛物线开口向上，也可能是开口向下。

步骤二：求出二次函数f(x)的零点。

为了求出二次函数f(x)的零点，我们需要将其转化为标准形式。

标准形式是指f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

步骤三：根据二次函数f(x)的开口方向，确定一元二次不等式的解集。

如果二次函数f(x)开口向上，即a > 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线上方的区域。

如果二次函数f(x)开口向下，即a < 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线下方的区域。

步骤四：根据一元二次不等式的形式，找出它的解集。

通过分析图像和零点，我们可以进一步确定一元二次不等式的解集。

例如，考虑不等式x^2 - 3x + 2 > 0。

首先，我们将不等式左边的项转化为二次函数f(x) = x^2 - 3x + 2，然后求出其零点。

将f(x)转化为标准形式可以得到f(x) = (x - 1)(x - 2)，则它的零点是x = 1和x = 2。

这意味着抛物线与x轴相交于点(1, 0)和(2, 0)。

由于a = 1 > 0，我们知道抛物线开口向上。

因此，不等式的解集是抛物线上方的区域。

我们可以通过测试f(x)在零点以及零点左右的取值来进一步确定解集。

当x < 1时，抛物线在x轴上方，因此f(x) > 0；当1 < x < 2时，抛物线在x轴下方，因此f(x) < 0；当x > 2时，抛物线再次在x轴上方，因此f(x) > 0。

七 种 求 法函 数 解 析 式一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的解法有四种主要方法：公式法、配方法、直接开平方法和因式分解法。

- 配方法的具体步骤如下：首先，将原方程化为一般形式；然后，方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；接着，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；之后，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；最后，通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

- 公式法是基于一元二次方程的求根公式：对于形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程来说，其解为x=[-b±sqrt(b^2-4ac)]/(2a)。

- 直接开平方法是用直接开平方求解一元二次方程的方法，例如对于形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± √n。

- 因式分解法则是把方程的左边进行因式分解，转化为两个因式乘积的形式，然后令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根。

函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。

【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。

分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。

分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。

二次函数解析式的8种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、经过点A （1，3）的抛物线的解析式是 ．三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，a 的值不变，口诀为：左加右减，上加下减．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．以上三类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）4．已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

求二次函数解析式的常用方法求二次函数解析式，就是确定其中的某些常数值。

但由于所用的解析式可因题设条件相异而选取不同的形式，就产生有多种求法，现举例说明如下，供同学们在学习时参考。

一、用一般式y = ax2+b+c如果题设是图象经过某三点，常选用一般式来求解。

例1、已知二次函数的图象经过点（－2，－15）、（0，5）、（1，9）三点，求这个二次函数的解析式。

解：设二次函数的解析式为y = ax2+b+c，由题意得：4a－2b+c=－15c=5a+b+c=9解之得，a =－1， b =－4， c=5 故所求得二次函数的解析式为：y =－x2－4x+5二、用顶点式y =a（x－h）2+k当题设条件与函数图象的顶点或对称轴或函数的最大（小）值有关时，选顶点式求解较好。

例2、已知抛物线的顶点坐标为（－1，－2），且图象经过（1，10）点，求抛物线的解析式。

解：设抛物线的解析式为：y =a（x－h）2+k由题意可得，y =a（x+1）2－2又抛物线经过点（1，10）∴10= a（1+1）2－2解得：a = 3 故抛物线的解析式为：y =3（x+1）2－2或y =3x2 +6x+1三、用两根式y = a（x－x1）（x－x2）当题设给出图象与x轴两交点坐标时，选用两根式求解为宜（在只交于一点，即切于点（x，0）时，两根式变为y = a（x－x1）2）例3、函数y = ax2+bx+c（a≠0）有最大值8，且方程ax2+bx+c=0的两根为x1=6，x2=2，求二次函数的解析式解：方程ax2+bx+c = 0的两根为x1=6，x2=2，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标为x1=6，x2=2，故设所求的解析式为y = a（x－6）（x－2）化成一般式为：y=ax2－8ax+12a4ac－b2又因函数的最大值为8，∴———— =84a48a2－64 a2即：————— =8 解得：a=－24a故函数解析式为y = －2（x－6）（x－2）或y =－2 x2+16x－24四、综合运用除上述三种常见方法外，有些题目需要综合运用各种表达式。

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式．解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3），∴(01)(03)3a +-=-．解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。