大学物理——机械振动

t ? 0 ? x ? 0.05 cos ? ? 0 ? ? ?? ?
v ? ? 2 sin ? ? 0
2
? 振动方程为 x ? 0.05 cos(40t ? ? )
2
二、简谐振动的旋转矢量表示法
1.简谐振动与匀速圆周运动
wk.baidu.com
y
?
匀速圆周运动在x轴上的投影 （或分运动）为简谐振动：
m A
? t +?
x
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
m
?A O
A
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。
K i
?
L
q?
q
6-1 简谐振动（simple harmonic motion)
一、简谐振动的基本特征 弹簧振子
1、简谐振动的定义 动力学定义:
? kF
m
运动学定义:
?A O
A
由题设T= 2 s，则
? ? 2? ? ? ,
由初条件 x0 = 0.06 m，v0 ? 0
T
得
简谐振动的表达式为
A= 0.12 m
? ??? ? ? ?? 3
3
例6-2. 如图所示，倔强系数为 8×103N·m-1的轻质弹簧一端固定于A，另一端 系一质量为M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。 质量 m=0.01kg的子 弹以水平速度v =103 m·s-1 射入木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位 置且向右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、向右为x轴正方向，求其 振动方程。
v(cms?1 ) 31.4 15.7
? vm cos(? t ? ? ? ? 2) vm ? ? A ? 31.4cms?1
0 ? 15.7
? 31.4
1
t(s)
v的旋转矢量与v轴夹
? ? ? 角表示t 时刻相位
t ? ? 由图知
2
? ? ? ? 2?
23
? ??
6
? ?1 ? ? ? ? ? s ? 1
M m
A v
解：mv=(m+M)V 0.01×103=(4.99+0.01)V
V=2m.s-1
1(m? M)V2 ? 1kA2
2
2
1(4.99? 0.01)? 22 ? 1 ? 8?103A2
2
2
A=0.05m
??
k
? 8 ? 10 3 ? 40
m? M
5
x ? 0.05cos(40t ? ? )
cos( ? ?1 ?
?
)
?
0?
?1 ?
?
6
?
7?
6
? ? ? ? 3.14s?1 ? A ? vm ? 31.4 ? 10cm
? 3.14
故振动方程为
x ? 10 cos( ? t ? ? ) cm
6
方法2： 用旋转矢量法辅助求解。
x ? Acos(? t ? ? )
v ? ?? Asin(? t ? ? )
?
v1
?
?? Asin(?
?1?
?)
6
即15.7 ? ?34.1sin(? ?1?
?
)
得 sin(?
?1 ?
? )
?
?
1
6
a ? ?? 2 Acos(?
v(cms ? 1 )
31 .4
15 .7
0
? 15 .7
1
? 31 .4
t??)
t(s)
?
?1 ?
? 6
?
62 7 ?或 11 ? 66
a1 ? 0,则
A ? vm ? 31.4 ? 10cm
x
?? =? 2 ?? 1
两同频率的谐振动的相位 差等于它们的初相差。
?
?
?
?
?
A2
A1
x
O
?
? A1
A2
x
O
?
A1
?
x
A2 O
?
?? ?0, x2超前x1
?? = 0, 同相
?? = ?，反相
4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x, v, a
x, v, a
a v x
?
?A
? A
O?
O
t
?
? 2A
a? F ?? k x mm
令? 2 ? k
m
a ? ?? 2x
又?
a
?
d2x dt 2
?
d2x dt 2
?
?
2x
?
0
其通解为简：谐振动微分方程
x ? Acos(? t ? ? ) 谐振动运动方程
2、描述简谐振动的特征量 运动方程
? kF
m
x ? Acos(? t ? ? )
?A O
A
?振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.
? ? t ? 4? 3 ?t =1s ? ? 4? 3
例6-4.已知某简谐振动的 速度与时间的 关系曲线如图所示，试求其振动方程。
31.4
v(cms ? 1 )
15.7
解：方法1
0
用解析法求解
? 15.7
1
t(s)
设振动方程为
? 31.4
x v0
?
? ?
?
Acos(? t ? ? ) ?? Asin? ? ?15.7cms?1
代入
得
? = arctan
(? v0 )
? x0
k m
?A O
A
例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期 T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。
解 取平衡位置为坐标原点。
设简谐振动的表达式为
T
例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示，求此简谐振动的表达式。
解 设简谐振动方程为
x
t?= 1s
x (cm) 2
x0 = ?A/2，v0 ? 0
?A
?O A t=0
?
? v0
1
?
O ?1
?2
1 t (s)
由旋转矢量表示法
v0 ? 0
角频率的计算：t = 1s 时，对应图示的旋转矢量。 旋转矢量以? 匀角速由t = 0 到t = 1s 转过了4?/3
?周期T 物体完成一次全振动所需时间.
? T ? 2?
?频率? 单位时间内振动的次数.
?角频率?
相位? t ?? 初相位?
决定谐振动物体的运动状态
3.振动速度及加速度
x, v, a
a v x
简谐振动的加速度和位 移成正比而反向.
O
t
T
4.振动初相及振幅由初始条件决定
t 初始条件：当 = 0时, x = x0 ，v = v0
O
P
2.简谐振动的旋转矢量表示法
?
? A
? x
O
3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference）
两个谐振动 相位差
x1 ? A1 cos(? t ? ? 1 ) x2 ? A2 cos(? t ? ? 2 )
? ? ? (? t ? ? 2 ) ? (? t ? ? 1 ) ? ? 2 ? ? 1
A ? vm ? 31.4cms?1 ?
v ? ?? Asin(? t ? ? )
a ? ?? 2Acos(? t ? ?
sin? ? ? v0 ? 15.7 ? 1 ? A 31.4 2
)
?
? ? 或5?
a0 ? ?? 2 Acos?
a0 ? 0,则cos? ? 0
?0
? ??
66
6
t ? 1 v1 ? 15.7cms?1