高三数学第一轮复习导数讲义(小结)

高三数学导数知识点归纳总结导数作为高中数学的一个重要概念，是微积分的基础知识之一。

在高三数学学习的过程中，导数的应用几乎贯穿了整个学期的内容。

为了帮助同学们更好地掌握导数的知识，以下是对高三数学导数知识点的归纳总结。

一、导数的概念和定义导数是刻画函数局部变化率的工具，用来描述函数的瞬时变化速度。

对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数可以用极限表示：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡(f(x+Δx)-f(x))/Δx。

二、导数的计算法则1. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数都有相应的计算公式。

2. 基本运算法则：和差法则、积法则、商法则等，使我们能够对两个或多个函数进行加、减、乘、除的运算，并得到相应的导数。

3. 复合函数的导数：复合函数的导数可以通过链式法则求得，即若y=f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

三、导数的几何意义导数表征了函数图像在某一点处的切线斜率。

具体来说，导数大的正值表示函数在该点处增长快，导数小的正值表示函数在该点处增长慢，而导数为0表示函数在该点处取极值（极大值或极小值），导数为负表示函数在该点处减小。

四、导数的应用1. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数在某个区间上的极大值和极小值，常用的方法是求出临界点，并通过一阶导数的符号进行分类讨论。

2. 函数的单调性：通过一阶导数的正负来判断函数在某个区间上的增减性，从而求出函数的单调区间。

3. 函数的图像：利用导数的几何意义，我们可以绘制函数图像的大致形态，包括切线、拐点以及凹凸性等。

4. 最值问题：通过导数判断函数在某个闭区间上的最大值和最小值，在一阶导数和二阶导数的变号处可以找到极值点。

5. 泰勒展开：利用导数的概念和定义，我们可以将一个函数在某个点附近展开成无穷项的幂级数，从而近似计算函数的值。

总结起来，高三数学导数知识点的归纳总结涉及导数的概念和定义、计算法则、几何意义以及应用。

§3.2导数与函数的单调性课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上单调递增f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上单调递减f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f (x )的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内单调递减．(√)(3)若函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则f (x )在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数．(√)2.(多选)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是()A ．在区间(－2,1)上f (x )单调递增B ．在区间(2,3)上f (x )单调递减C ．在区间(4,5)上f (x )单调递增D ．在区间(3,5)上f (x )单调递减答案BC解析在区间(－2,1)上，当x ∈－2，－32f ′(x )<0，当x ∈－32，1f ′(x )>0，故f (x )在区间－2，－32在区间－32，1A 错误；在区间(3,5)上，当x ∈(3,4)时，f ′(x )<0，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C 正确，D 错误；在区间(2,3)上，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，B 正确．3．已知f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为________．答案(－∞，－1)，13，＋∞解析令f ′(x )＝3x 2＋2x －1>0，解得x >13或x <－1，所以f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为(－∞，－1)13，＋∞4．已知f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，5]解析f ′(x )＝4x －a ＋1x ＝4x 2－ax ＋1x，x ∈(1，＋∞)，故只需4x 2－ax ＋1≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则a ≤4x ＋1x 在x ∈(1，＋∞)上恒成立，令y ＝4x ＋1x，因为y ′＝4－1x 2＝4x 2－1x 2>0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以y ＝4x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增，故4x ＋1x>5，所以a ≤5.题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝x ln x－3x＋2的单调递减区间为________．答案(0，e2)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为()A.0，π2 B.π2，3π2C．(π，2π) D.3π2，2π答案B解析由题意f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f ′(x )＝x cos x ，当x f ′(x )>0，当x f ′(x )<0，故f (x )题型二含参数的函数的单调性例2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性．解g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝(x －a )e x －2(x －a )＝(x －a )(e x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝ln 2，①若a >ln 2，则当x ∈(－∞，ln 2)∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，a )时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；②若a ＝ln 2，则g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在R 上单调递增；③若a <ln 2，则当x ∈(－∞，a )∪(ln 2，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(a ，ln 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．综上，当a >ln 2时，g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；当a ＝ln 2时，g (x )在R 上单调递增；当a <ln 2时，g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝2x －a(x ＋1)2.(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．解(1)当a ＝0时，f (x )＝2x(x ＋1)2(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为f ′(x )＝－2x ＋2(x ＋1)3，所以f ′(0)＝2.所以曲线y ＝f (x )在(0,0)处的切线方程为y ＝2x .(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．f ′(x )＝(－2x ＋2a ＋2)(x ＋1)(x ＋1)4＝－2(x －a －1)(x ＋1)3，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ＋1.①当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，f ′(x )＝－2x －2(x ＋1)3＝－2(x ＋1)(x ＋1)3＝－2(x ＋1)2<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＋1<－1，即a <－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；③当a ＋1>－1，即a >－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．综上所述，当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)(2024·深圳模拟)若0<x 1<x 2<1，则()A ．21e e xx－>ln x 2＋1x 1＋1B ．21e e xx－<ln x 2＋1x 1＋1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <答案AC解析令f (x )＝e x －ln(x ＋1)且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x －1x ＋1>0，故f (x )在区间(0,1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，即1e x－ln(x 1＋1)<2e x－ln(x 2＋1)，故21e e x x －>lnx 2＋1x 1＋1，所以A 正确，B 错误；令f (x )＝e xx 且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，故f (x )在区间(0,1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)>f (x 2)，即1212e e >x x x x ，故1221e e x x x x >，所以C 正确，D错误．常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．典例(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是()A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x答案ACD解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数．对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”；对于B ，g (x )＝x 3在R 上为增函数，故B 中函数为“F 函数”；对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0，当x g ′(x )<0，∴g (x )故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x －π2，g ′(x )<0，∴g (x )－π2，故D 中函数不是“F 函数”．(2)(2023·成都模拟)已知函数f (x )＝e x －e －x－2x ＋1，则不等式f (2x －3)＋f (x )>2的解集为________．答案(1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x ，定义域为R ，且g (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－g (x )，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 为奇函数，f (2x －3)＋f (x )>2变形为f (2x －3)－1>1－f (x )，即g (2x －3)>－g (x )＝g (－x )，g ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时，等号成立，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 在R 上单调递增，所以2x －3>－x ，解得x >1，所以所求不等式的解集为(1，＋∞)．命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)．(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解(1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是－716，(0，＋∞)．(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1,4]＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)(2024·郑州模拟)函数f (x )的图象如图所示，设f (x )的导函数为f ′(x )，则f (x )·f ′(x )>0的解集为()A ．(1,6)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(6，＋∞)D ．(1,4)∪(6，＋∞)答案D解析由图象可得，当x <4时，f ′(x )>0，当x >4时，f ′(x )<0.结合图象可得，当1<x <4时，f ′(x )>0，f (x )>0，即f (x )·f ′(x )>0；当x >6时，f ′(x )<0，f (x )<0，即f (x )·f ′(x )>0，所以f (x )·f ′(x )>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝(1－x )ln x ＋ax 在(1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案A解析依题意f ′(x )＝－ln x ＋1x＋a －1，故f ′(x )在(1，＋∞)上有零点，令g (x )＝－ln x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝0，得a ＝ln x －1x ＋1，令z (x )＝ln x －1x ＋1，则z ′(x )＝1x ＋1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )在(1，＋∞)上单调递增，又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．课时精练一、单项选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递减区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案A解析由已知得，f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x，当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞)．2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合．3．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝13ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，>0，＝4－4a≤0，解得a≥1，故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝a e x－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2B．e C．e－1D．e－2答案C解析依题可知，f′(x)＝a e x－1x≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以x e x≥1a在(1,2)上恒成立，设g(x)＝x e x，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)e x>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥1a，即a≥1e＝e－1，即a的最小值为e－1.5．(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝e x＋sin x，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是()答案D解析当x≥0时，f′(x)＝e x＋cos x，因为e x≥1，cos x∈[－1,1]，所以f′(x)＝e x＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x6．(2023·信阳模拟)已知a＝1100，b＝99100e-，c＝ln101100，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案B解析设函数f(x)＝e x－x－1，x∈R，则f′(x)＝e x－1，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即e x≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，∵e x≥1＋x，∴99100e->1－99100＝1100，∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有e x－1≥x成立，当x＝1时取等号，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，∴ln 101100<101100－1＝1100，∴a>c，故b>a>c.二、多项选择题7．(2023·临汾模拟)若函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[m －1，m ＋1]上单调，则实数m 的值可以是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案BD解析f ′(x )＝x －9x ＝x 2－9x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >3，令f ′(x )<0，得0<x <3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0,3)，因为函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调，－1>0，＋1≤3或m －1≥3，解得1<m ≤2或m ≥4.8．(2024·邯郸模拟)已知函数f (x )x ，且a ＝f b ＝f c ＝12(e )f ，则()A ．a >bB ．b >aC ．c >bD ．c >a答案ACD解析由f (x )x ，得f ′(x )x 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为c ＝f 0<1e <23<45<1，所以f f f c >a >b .三、填空题9．函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________．答案解析f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x当x e －x >0，，则f ′(x )<0；当x e －x >0，，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，π)10．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为________．答案(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1，函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 有两个极值点，即f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1的图象与x 轴有两个交点，则判别式Δ＝4b 2－12>0，解得b >3或b <－ 3.所以实数b 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．11．(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y ＝f (x )的导函数是f ′(x )，当x ≥0时，y ＝f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式f ′(x )x>0的解集为________．答案(－3，－1)∪(0,1)解析依题意f (x )是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f (x )在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f ′(x )<0；f (x )在区间(－1,1)上单调递增，f ′(x )>0.所以f ′(x )x>0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．12．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．答案解析f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上单调，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.因为f (x )在[1,2]上不单调，所以25<a <1.四、解答题13．(2024·毕节模拟)已知函数f (x )＝(a －x )ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (1)＝0，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x，∴f ′(1)＝a －1，∴曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝(a －1)(x －1)．(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x ＝－x ln x －x ＋a x，令g (x )＝－x ln x －x ＋a ，则g ′(x )＝－ln x －2，令g ′(x )＝0，则x ＝1e2，令g ′(x )>0，则0<x <1e2，令g ′(x )<0，则x >1e2，∴g (x )g (x )max ＝＝1e 2＋a ，∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即1e2＋a ≤0，∴a ≤－1e2.14．(2023·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1.(1)若f (x )≤x ＋c ，求c 的取值范围；(2)设a >0，讨论函数g (x )＝f (x )－f (a )x －a的单调性．解(1)f (x )≤x ＋c 等价于ln x －x ≤c －1.令h (x )＝ln x －x ，x >0，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x.当0<x <1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减．故h (x )max ＝h (1)＝－1，所以c －1≥－1，即c ≥0，所以c 的取值范围是[0，＋∞)．(2)g (x )＝ln x ＋1－(ln a ＋1)x －a ＝ln x －ln a x －a(x >0且x ≠a )，因此g ′(x )＝x －a －x ln x ＋x ln a x (x －a )2，令m (x )＝x －a －x ln x ＋x ln a ，则m ′(x )＝ln a －ln x ，当x >a 时，ln x >ln a ，所以m ′(x )<0，m (x )在(a ，＋∞)上单调递减，当0<x <a 时，ln x <ln a ，所以m ′(x )>0，m (x )在(0，a )上单调递增，因此有m (x )<m (a )＝0，即g ′(x )<0在x >0且x ≠a 上恒成立，所以函数g (x )在区间(0，a )和(a ，＋∞)上单调递减．15．已知函数f (x )＝e x x －ax ，当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，e)B ．(－∞，e]－∞，e 2答案D解析因为当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，所以f (x 1)x 2<f (x 2)x 1，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，令g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2，则g (x 1)<g (x 2)，又因为0<x 1<x 2，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＝e x －2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，分离参数得2a ≤e x x恒成立，令h (x )＝e x x(x >0)，则只需2a ≤h (x )min ，而h ′(x )＝e x ·x －1x2，令h ′(x )>0，得x >1，令h ′(x )<0，得0<x <1，所以h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ，故2a ≤e ，即a ≤e 2.16．已知偶函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，当x ＞0时，f (x )x＞－f ′(x )，且f (2)＝1，则不等式(x 2－x )f (x 2－x )＞2的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)答案C 解析令g (x )＝xf (x )，由于f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．因为当x ＞0时，f (x )x ＞－f ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )x＞0，所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，所以g(x)在R上为增函数．因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于g(x2－x)＞g(2)，所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

高三数学一轮复习导数知识点在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的概念。

导数是微积分的基础，它在计算函数变化率、解析几何、最值问题等方面起着至关重要的作用。

本文将围绕高三数学一轮复习导数知识点展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点上的变化率。

对于函数y=f(x)，在给定点x=a处，函数的导数可以定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim代表极限的概念。

简单来说，导数是通过求函数在某点邻近的两点间的斜率的极限值来描述函数在该点上的变化情况。

二、求导法则在高三数学中，导数的求法十分重要。

掌握了合适的求导法则，可以帮助我们更加便捷地求解复杂的导数函数。

下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则有(d/dx)(c)=0。

2. 幂法则：若y=x^n，则有(d/dx)(x^n)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。

3. 乘法法则：若y=u(x)v(x)，则有(d/dx)(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

4. 除法法则：若y=u(x)/v(x)，则有(d/dx)(u(x)/v(x))=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。

5. 链式法则：若y=f(g(x))，则有(d/dx)(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)。

6. 指数函数和对数函数的导数：若y=a^x，则有(d/dx)(a^x)=a^xln(a)，其中a为常数。

通过掌握这些求导法则，我们可以在计算导数时灵活运用，提高效率。

三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，同时也具有重要的应用价值。

在实际问题中，导数可以帮助我们求解最值问题、判断函数的增减性、描述函数的曲线形状等。

下面是一些常见的导数应用：1. 最值问题：导数可用于求解函数的最大值和最小值。

高中数学导数知识点归纳总结导数是高中数学中的重要内容，它是微积分的基础。

在学习导数的过程中，我们需要掌握一些重要的概念和技巧。

本文将对高中数学导数知识点进行归纳总结，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握导数的相关知识。

一、导数的定义和性质1. 导数的定义：导数表示函数在某个点上的变化率，可以用极限的概念来进行定义。

如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么函数f(x)在点x0处可导。

2. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某点处的切线斜率。

3. 导数的性质：导数具有唯一性、可加性、线性、乘积法则、商规则等性质，这些性质可以用来简化导数的计算。

二、导数的计算方法1. 基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式是我们计算导数的基础。

2. 导数的四则运算：和、差、积、商的导数计算方法。

3. 复合函数的导数：复合函数的导数计算需要运用链式法则，即外函数的导数乘以内函数的导数。

4. 隐函数的导数：对于隐函数，我们可以通过求偏导数的方法来计算其导数。

5. 参数方程的导数：对于参数方程表示的函数，我们可以通过对x 和y分别求导来计算其导数。

三、导数的应用1. 切线与法线：导数可以帮助我们求函数图像上某点处的切线和法线方程。

2. 函数的单调性与极值：通过导数的正负性可以判断函数的单调性，通过导数的零点可以求得函数的极值点。

3. 函数的凹凸性与拐点：通过导数的增减性可以判断函数的凹凸性，通过导数的拐点可以求得函数的拐点。

4. 曲线的图形描绘：通过导数的一阶导数和二阶导数可以描绘曲线的大致形状。

四、常用函数的导数1. 幂函数的导数：幂函数的导数公式是导数计算中的基本类型，需要熟练掌握。

2. 指数函数的导数：指数函数的导数公式是指数函数求导中的重要内容。

3. 对数函数的导数：对数函数的导数公式是对数函数求导中的重要内容。

4. 三角函数的导数：三角函数的导数公式是三角函数求导中的重要内容，需要特别注意。

高考数学（导数）第一轮复习资料知识小结一.导数的概念与运算⒈导数的概念：⑴曲线的切线；⑵瞬时速度；⑶导数的概念及其几何意义．○1．设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m )(0000/()()000l i m x x x f x f x x --=→ ○2函数)(x f y =的导数)('x f ，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即 xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00． ○3函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率．⒉常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸*x x x 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺x x e e =)'(； ⑻a a a x x ln )'(=； ⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =．⒊导数的运算法则：⑴两个函数四则运算的导数：①'')'(v u v u ±=±； ②'')'(uv v u uv +=； ③)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． ⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=．二.导数的应用1、函数的单调性（1）如果非常数函数y =)(x f 在某个区间内可导，那么若)('x f ≥0)(x f ⇔为增函数；若)('x f ≤0⇔)(x f 为减函数.（2）若)('x f ≡0则)(x f 为常数函数.2、函数的极值（1）极值定义如果函数)(x f 在点0x 附近有定义，而且对0x 附近的点，都有)(x f <)(0x f 我们就说)(0x f 是函数的一个极大值，记作极大值y =)(0x f ；)(x f 在点0x 附近的点，都有)(x f >)(0x f 我们就说)(0x f 函数的一个极小值，记作极小值y =)(0x f ；极大值与极小值统称为极值。

【高中数学】高考数学一轮复习导数知识点总结导数是微积分中的重要基础概念，以下是数学网整理的导数知识点总结，请考生学习。

一、主题概述
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于
导数的学习，主要是以下几个方面:
1.衍生工具的一般问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面
曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于
次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特性的最大值问题很多，因此有必要进行专门讨论。

导数法比初等法更快、更简单。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是
高考
中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

二、知识整合
1.导数概念的理解。

2.利用导数判断可微函数的极值，求一些实际问题的最大值和最小值的方法。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函
数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3.为了正确获得导数，必须达到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数
的求导法则。

（2）对于复合函数，必须澄清中间的复合关系，找出每个分解函数中应该导出的变量。

导数知识点总结的全部内容就是这些，更多优秀的内容希望考生可以学习。

[备考方向要明了]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f?x＋Δx?－f?x?Δx为f(x)的导函数．[探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0?x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．2．几种常见函数的导数3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f?x?g?x?′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x?[g?x?]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4 D．－7 3解析：选B∵f(x)＝13x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为() A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0 解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0. 3．y＝x2cos x的导数是()A．y′＝2x cos x＋x2sin xB．y′＝2x cos x－x2sin xC．y＝2x cos xD．y′＝－x2sin x解析：选B y′＝2x cos x－x2sin x.4．(教材习题改编)曲线y＝sin xx在点M(π，0)处的切线方程是________．解析：∵f(x)＝sin xx，∴f′(x)＝x·cos x－sin xx2，∴f′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y＝－1π(x－π)，即x＋πy－π＝0.答案：x＋πy－π＝05．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] (1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝?ln x ?′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝?sin x ?′cos x －sin x ?cos x ?′cos 2x＝cos x cos x －sin x ?－sin x ?cos 2x ＝1cos 2x .(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”如何求解？解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x∴y ′＝－12cos x ． ———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x 2，∴y ′＝(x32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x . (2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x＋11＋x＝21－x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2?1－x ?′?1－x ?2＝2?1－x ?2. (4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．[自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. ———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1； (3)y ＝1?1－3x ?4；(4)y ＝x1＋x 2.解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.(2)y′＝(ln x2＋1)′＝1x2＋1·( x2＋1)′＝1x2＋1·12(x2＋1)12-·(x2＋1)′＝xx2＋1.(3)设u＝1－3x，y＝u－4.则y x′＝y u′·u x′＝－4u－5·(－3)＝12?1－3x?5.(4)y′＝(x1＋x2)′＝x′·1＋x2＋x⎝⎛⎭⎫1＋x2′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.[例3](1)(2012·P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．(2)已知曲线y＝13x3＋43.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．[自主解答](1)y＝x22，y′＝x，∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即 y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， 且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)， 即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P ?2，4?在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0. ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20?x 0＋1?－4?x 0＋1??x 0－1?＝0.∴?x 0＋1??x 0－2?2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. ———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． 3．已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝x x 0＋1＋x 0＋2x 0＋1.所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0.(2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2.S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·?x 0＋2?＝?x 0＋2?22 x 0＋1， ∴S △AOB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.[例4] 已知a －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0. 综上，a ≥－12.[答案] A ———————————————————导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f ?x 1?－f ?x 0?x 1－x 0求解．4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ.于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2. 答案：π21个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1或214 C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A. [答案] A1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B. 2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． 1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选By ′＝cos x ?sin x ＋cos x ?－?cos x －sin x ?sin x ?sin x ＋cos x ?2＝1?sin x ＋cos x ?2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12. ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是 y ＋2227＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0.答案：27x ＋27y ＋4＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．不确定解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1， ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4， f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.4．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2eD.2e解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(ln x )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1e .6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－48．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解． ∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝?ax －6?′?x 2＋b ?－?ax －6??x 2＋b ?′?x 2＋b ?2＝－ax 2＋12x ＋ab ?x 2＋b ?2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab ?1＋b ?2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4. 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|× |－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx 等于( )A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)解析：选B lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx ＝－lim Δx →0f [x 0＋?－Δx ?]－f ?x 0??－Δx ?＝－f ′(x 0)． 2．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-； (2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：214．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数记作或 .f ′(x 0)0|x x y ＝(2)函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的 ，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______0αx α－1cos x －sin x a x ln a基本初等函数导函数e xf(x)＝e x f′(x)＝____ f (x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝；f ′(x )±g ′(x )[cf (x )]′＝.f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(e －x )′＝－e －x .( )√×××2.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√4.(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 .∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0,1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2a e0＝2a，又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，返回第二部分探究核心题型题型一　导数的运算例1　(1)(多选)下列求导正确的是√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；√思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1　(多选)下列命题正确的是A.若f(x)＝x sin x－cos x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋sin x √B.设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝eC.已知函数f(x)＝3x2e x，则f′(1)＝12e√对于选项A，f′(x)＝sin x＋x cos x＋sin x，故选项A不正确；对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确；对于选项C，f′(x)＝6x e x＋3x2e x，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确；题型二　导数的几何意义命题点1　求切线方程√(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为， .先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是√设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，|x x y ＝又y 0＝ln x 0，又切线方程为y＝kx＋1，(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a(－∞，－4)∪(0，＋∞)的取值范围是.因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝ ，化简，得 ＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，00000()e (1)e |x x x x x a y x a x +'=++=＝000(,()e )x A x x a +所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2　(1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是A.2x－y－2＝0B.4x－y－4＝0√C.2x＋y－2＝0D.4x＋y－4＝0当x<0时，f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(－∞，－2]∴－a≥2，即a≤－2.题型三　两曲线的公切线例4　(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为√A.2B.5C.1D.0根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a，又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是√对于y＝ax2有y′＝2ax，令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈ 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32(0,e )当x ∈ 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32(e ,) 32(e )g思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3　(1)(2023·青岛模拟)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝－34ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ .f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，设公共切点的坐标为(x0，y0)，(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有√A.0条B.1条C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝e x－1，有f′(x)＝e x，则直线l的斜率k＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m)，即y＝e m x＋(1－m)e m－1，。

高三导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的定义导数的定义是函数在某一点的变化率，用数学上的极限来表达。

设函数y=f(x)，在点x0处的导数记为f'(x0)，其定义为：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h当这个极限存在时，称函数在点x0处可导。

导数的存在意味着函数在该点处有切线，导数值即为该点处切线的斜率。

2. 几何意义导数在几何上的意义是函数在某一点的切线的斜率。

切线的斜率表示了函数在该点处的变化率，也就是导数的定义中所说的变化率。

导数的绝对值表示了函数曲线在该点处的陡峭程度，导数为正表示函数在该点处增加，导数为负表示函数在该点处减小。

3. 导数和函数上的应用导数在几何上的意义提供了函数曲线的局部信息，通过导数可以求得函数在某一点的切线方程，从而计算曲线在该点的切线的斜率等信息。

这在物理、经济学等领域有广泛的应用。

二、导数的性质1. 导数的性质导数具有一系列重要的性质，如导数的四则运算、导数与原函数的关系等。

导数的四则运算表示了导数在加减乘除等运算中的性质，其具体表达如下：(1) 同一函数的和、差的导数等于函数的导数的和、差(2) 常数与函数的乘积的导数等于常数与函数的导数的乘积(3) 函数的积的导数等于函数的导数的积加上函数与导数的乘积(4) 函数的商的导数等于函数的导数的商减去函数与导数的商的导数导数与原函数的关系是指函数的导数与原函数的关系，其具体表达如下：(1) 如果函数在x点可导，则函数在x点连续(2) 如果函数在区间[a,b]上连续且可导，则函数在区间上一定有最大值和最小值，且这些极值点一定在区间内2.常见函数导数1) 基本函数的导数常见函数的导数可以通过定义和四则运算的性质来求得。

如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等的导数。

2) 复合函数的导数复合函数的导数求解可以通过链式法则来进行。

三、导数的计算方法1. 函数导数的计算方法函数导数的计算方法是求得函数在某一点处的导数值。

专题4.1 导数的概念与运算1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算,凸显数学运算的核心素养；2.与曲线方程相结合考查导数的几何意义,凸显数学运算、直观想象的核心素养.1.导数的概念 1.平均变化率函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为()()2121f x f x x x --，若21x x x ∆=-，21y y y ∆=-，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2.函数()y f x =在0x x =处的导数定义：称函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0y x '=，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆.3.函数()f x 的导函数设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，且()0,x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作()0f x '．若函数()y f x =在区间(),a b 内任意一点都可导，则()f x 在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作()f x 的导函数，记作()f x '． 即()()()=limx f x x f x f x x∆→+∆-'∆.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；（2）()()()()()()+f x g x f x g x f x g x '''⋅=⎡⎤⎣⎦； （3）()()2()'()()'()()'0()()f x f x g x g x f x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=≠⎢⎥⎣⎦. （4）复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()(),y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 3.函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线()y f x =上点()()00,x f x 处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数).相应地，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.导数的概念及计算【方法储备】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.步骤为：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导公式和法则进行求导；③整理结果.2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量； ③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程. 3.对于比较复杂的函数求导时, 先化简再求导, 技巧为: ①连乘积形式, 先展开化为多项式的形式再求导； ②分式形式的先化为整式函数或者简单的分式函数再求导； ③对数形式的先化为和、差的形式, 再求导； ④根式形式先化为分数指数幂的形式, 再求导；⑤三角形式先利用三角函数公式转化为和或者差的形式再求导； ⑥抽象函数求导, 恰当赋值是关键, 然后活用方程思想求解.|【精研题型】2.下列函数求导运算正确的个数为 ①()21log ln 2x x '=；②()33ln 3x x'=；③sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭ ；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭． A. 1 B. 2 C. 3 D.43.函数()=sin cos f x x x 的导函数()f x '在[]0π，上的图象大致为A. B.C. D.4.设()f x '是()f x 的导函数，写出一个满足()()f x f x '>在定义域R 上恒成立的函数(f x 【思维升华】C.等边三角形D.等腰钝角三角形【特别提醒】()f x '与()0f x '区别：()f x '是()f x 的导函数，而()0f x '是导函数在0x x =处的导函数值，导数值是常数.求曲线的切线方程及切点坐标【方法储备】利用导数研究曲线的切线问题：（1）函数在切点处的导数值．．．是切线的斜率．．，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标；（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点；（3）曲线()y f x = “在”点()00,P x y 处的切线与“过”点()00,P x y 的切线的区别： 在点()()00,P x f x 出的切线方程式()()()000y f x f x x x '-=-，切线只有一条； 过点(),P m n 的切线方程，需要先设出切点坐标()()00,x f x ，切线方程为()()0y n f x x m '-=-,在依据切点()()00,x f x 在直线上，将切点坐标带入方程求解，即可得切线条数.【精研题型】7.已知函数()221f x x ax a =+++为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为A. 20x y -=B. 210x y -+=C. 220x y -+=D. 210x y --=8.请写出与曲线()31f x x =+在点()0,1处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为()g x 【思维升华】9.已知函数()()()2ln 110h x a x a x a =+-+< ，在函数()h x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是A. (),0-∞B. 2,4⎛--∞ ⎝⎭C. 2,4⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭D. 24⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【特别提醒】导数运算及切线的理解应注意的问题：（1）注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.（2）直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有其它交点.与切线有关的参数问题【方法储备】1．利用导数的几何意义求参数的基本方法（1）利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．【精研题型】11.已知函数()1xf x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 上存在与直线12y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是 ．12.若直线y kx b =+是曲线()ln 2f x x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b13.已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切于点(00,x y【思维升华】14.已知函数()ln f x x x =+，曲线()y f x =在0x x =处的切线l 的方程为1y kx =-，则切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为 A.12 B. 14C.2D.4 15.若函数()ln f x x =与函数()()220g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是 A.1ln,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()1,-+∞C. ()1,+∞D. ()ln 2,-+∞ 16.已知函数()272,121ln ,12x x x f x x x ⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．专题4.1导数的概念与运算答案和解析 考点一1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题． 由导数的定义分析可得答案．解：函数()y f x =在0x x =处可导，00h 0()()limf x h f x h h→+--0000h 0h 0()()()()lim limf x h f x f x h f x h h→→+---=+- 02()f x ='，故选.B2.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运算，属容易题. 根据导数运算法则逐个计算.【解答】解：()21log ln 2x x '=，(3)3ln 3x x '=，sin 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，211ln (ln )x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，正确的为①②，共2个． 故选.B3.【答案】B【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 先根据角的范围去绝对值，然后利用乘积函数的导数公式进行求导得到导函数()f x '，结合余弦函数的图象可得结论． 【解答】解：当[0,]x π∈时，sin 0x ，则()|sin |cos sin cos f x x x x x ==，22()cos sin cos 2f x x x x ∴'=-=，结合余弦函数的图象可知选项B 正确， 故选：.B4.【答案】()1(x f x e =-答案不唯一)【解析】根据()()f x f x '>可知()()0f x f x '->，据情况写出即可.【解答】解：由题意，设函数()1xf x e =-，可得()xf x e '=，令()()()()110x x F x f x f x e e ='-=--=>恒成立，即函数()1xf x e =-，符合题意.故答案为：() 1.(xf x e =-答案不唯一)5.【答案】A【解析】 【分析】本题考查的知识点是直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中利用基本不等式构造关于a 的不等式是解答本题的关键，属于基础题． 由已知中M 是曲线()21ln 12y x x a x =++-上的任一点，曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角，则曲线在M 点处的切线的不小于1，即曲线在M 点处的导函数值不小于1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，构造关于a 的不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】 解：()21ln 12y x x a x =++-， 1(1)3y x a a x∴'=++--， 若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角， 则31a -， 解得 2.a 故选.A6.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()f x '的解析式是解决本题的关键，属于拔高题．求函数的导数，先求出()16f π'=，然后利用辅助角公式进行化简，求出,A B 的大小即可判断三角形的形状． 【解答】解：函数的导数()()cos sin 6f x x x π'='-，则131()()cossin()()666662262f f f ππππππ'='-='-='-， 则11()262f π'=，则()16f π'=，则()sin 2cos()6f x x x x π'=-=+，()cos 2cos()3f x x x x π=+=-，()()1f A f B ='=，()2cos()16f B B π∴'=+=，即1cos()62B π+=，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos()13f A A π=-=，即1cos()32A π-=，则33A ππ-=，则23A π=，则2366C ππππ=--=，则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选：.D考点二7.【答案】A【解析】【分析】本题考查求曲线上一点的切线方程，属于基础题.根据函数()f x 是偶函数可得(1)(1)f f -=，可求出a ，求出函数在1x =处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程.【解答】 解：函数22()1f x x ax a =+++为偶函数， (1)(1)f f ∴-=，即2222a a a a -+=++，解得0a =，2()1f x x ∴=+，则()2f x x '=，(1)2k f ∴='=切，且(1)2f =，∴切线方程为22(1)y x -=-，整理得20.x y -=故选.A8.【答案】21x +(答案不唯一)【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义及求函数在一点处的切线方程，属于中档题．先求出曲线()31f x x =+在点()0,1处的切线方程，进而得出答案． 【解答】解：()()23,00f x x f ''==，即()31f x x =+在点()0,1处切线的斜率为0， 曲线()31f x x =+在点()0,1处的切线方程为y =1，所有在点()0,1处的切线方程为y =1的函数都是正确答案，如()21g x x =+或()21g x x =-+或()cos g x x =等. 故答案为：21x +答案不唯一)9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式的应用及一元二次不等式的解法，属中档题.故选B .10.【答案】(1)证明：若0a =，则321()13f x x x =-+， 令321()()(38)393g x f x x x x x =--=--+， 则2()23(3)(1)g x x x x x '=--=-+， 当(3,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 为增函数，所以()(3)0g x g >=，即()38f x x >-，得证．(2)解：易知曲线的切线斜率都存在， 设切点为321(,1)3N x x x ax -++，又(1,1)M -， 则32213()21MN x x ax k f x x x a x -+='=-+=+， 整理得32203x x a -+=，由题意可知此方程有三个解， 令32()23h x x x a =-+， 2()222(1)(1)h x x x x ∴'=-=+-，由()0h x '>，解得1x >或1x <-，由()0h x '<解得11x -<<，即函数()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，在(1,1)-上单调递减．要使得()0h x =有3个根，则(1)0h ->，且(1)0h <，解得4433a -<<，即a 的取值范围为44,.33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想．(1)若0a =，则321()13f x x x =-+，令()()(38)g x f x x =--，求导，利用单调性求得()0g x >，即可得证；(2)设切点为321(,1)3N x x x ax -++，由()MN k f x ='，可得关于x 的方程32203x x a -+=，由过点(1,1)M -可作曲线()y f x =的3条切线，可得方程有三个解，令32()23h x x x a =-+，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 考点三11.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和两条直线垂直的充要条件，考查推理能力和计算能力，属于中档题.利用()2x f x e m '=-=-即可求得,2x m e =+从而解出m 的范围.【解答】解：()1x f x e mx =-+，()x f x e m ∴'=-，曲线C 存在与直线12y x =垂直的切线， ()2x f x e m ∴'=-=-成立，22x m e ∴=+>，故实数m 的取值范围是(2,).+∞故答案为(2,).+∞12.【答案】1ln2-【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，两条切线重合的问题，属于中档题.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率．相应地，切线方程为000()().y y f x x x -='-分别求出曲线ln 2y x =+的切线，曲线ln(1)y x =+的切线，根据两条直线表示同一条直线即可求解.【解答】解：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+， 设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-， 由点222(,)P x y 在切线上得2221ln (1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线， 所以12221211121ln (1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩， 解得11111,2,ln 211ln 2.2x k b x x =∴===+-=- 13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得01x b =-、00y =，进而可得1b a +=，再利用()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【解答】解：对()ln y x b =+求导得1y x b'=+， 因为直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切于点00(,)x y ， 所以011x b=+即01x b =-， 所以00ln ()ln (1)0y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -，由切点()1,0b -在切线y x a =-上可得10b a --=即1b a +=， 所以1111()()2224b a b a b a b a b a b a +=++=+++⋅=， 当且仅当12b a ==时，等号成立. 所以11a b+的最小值是4. 故答案为：4.14.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得k ，0x 的方程组，解方程可得切线的方程，求得切线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：由()ln f x x x =+，得1()1f x x '=+， 则001()1f x k x '=+=，得011x k =-， 由111ln 11111k f k k k k ⎛⎫=+=-⎪----⎝⎭， 得1ln 01k =-，即2k =， 所以切线l 的方程为21y x =-，令0x =，得到1y =-，令0y =，得到12x =， 所求三角形面积为111|1|224⨯⨯-=， 故选.B15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，属于较难题.由切线方程可得，分离参数，得到关于1x 的函数，求出2211111111ln (1)1ln (2)124a x x x x =+--=-+--的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.【解答】解：设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >， 则切线方程为1111ln ()y x x x x -=-， 设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-， 所以有2121212(1)ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，210x x <<，1102x ∴<<， 又2211111111ln (1)1ln (2)124a x x x x =+--=-+--， 令11t x =，2102,ln 4t a t t t ∴<<=--， 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<， 则211(1)3()1022t h t t t t'--=--=<， ()h t ∴在(0,2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln 2h t h e>=--=， 1(ln,)2a e∴∈+∞， 故选.A 16.【答案】1(2 【解析】【分析】 本题主要考查了分段函数性质，函数图像的运用，导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于拔高题.由题意根据关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根可得函数()f x 与y kx =的图象有四个不同的交点，作出函数()f x 与y kx =在同一坐标系中的图象，结合函数图象找到k 的上限和下限求解即可.【解答】解：由题意，关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根，等价于函数()f x 与y kx =的图象有四个不同的交点，作出作出函数()f x 与y kx =在同一坐标系中的图象如下：结合函数图象可得当直线y kx =过1(1,)2A 点时k 取得下限，即1012102k -==-， 当直线y kx =与1ln 2y x =+相切时k 取得上限， 由1ln 2y x =+，则1y x'=， 设切点00(,)B x y ，则切线方程为()0001y y x x x -=-， 又点B 在1ln 2y x =+上，即001ln 2y x =+， ∴切线方程为()00011ln 2y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即001ln 2x y x x =+-， 根据原点(0,0)在切线方程001ln 2x y x x =+-上， 00010ln 2x x ∴=+-，解得120x e =， ∴此时直线y kx =的斜率10211e k x e e ===， 综上可得实数k 的取值范围为1,2e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故答案为1,.2e ⎛ ⎝⎭17.【答案】解：()I 当14a =时，21()cos 14f x x x =+-，1()sin 2f x x x '=-， 所以()f x 的图象在点(,())(0)t f t t π<<处的切线方程为：221(sint)()+cos 1(sint)+sin cos 12424t t t y x t t t x t t t =--+-=--+-， 其在y 轴上截距设为2()+sin cos 14t g t t t t =-+-，则1()(cos ).2g t t t '=- 当(0,)3t π∈时，()0g t '>，()g t 为增函数； 当(,)3t ππ∈时，()0g t '<，()g t 为减函数.所以()g t 在3t π=时取最大值. 故3t π=时，直线l 在y 轴上的截距有最大值；()II 已知()2sin f x ax x '=-，设()()f x h x '=，则()2cos .h x a x '=-(1)当21a 即12a 时，()0h x '， 所以()f x '在R 上为增函数.又(0)0f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 为减函数；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()(0)0f x f =，所以12a 时符合题意； (2)当21a -即12a -时，()0h x '，所以()f x '在R 上为减函数. 又(0)0f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 为增函数；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数.所以()(0)0f x f =，所以12a -时不符合题意； (3)当121a -<<，即1122a -<<时， 当(0,2)x arccos a ∈时，()0h x '<，()f x '为减函数.又(0)0f '=，所以当(0,2)x arccos a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数.所以当(0,2)x arccos a ∈时，()(0)0f x f <=，所以1122a -<<时不符合题意. 综上，a 的取值范围为1[,).2+∞【解析】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性与最值，是较难题. ()I 求出14a =时，()f x 的图象在点(,())(0)t f t t π<<处的切线方程，即可求得在y 轴上截距设为2()+sin cos 14t g t t t t =-+-，求导，即可求得当3t π=时，直线l 在y 轴上的截距有最大值；()II 求导()2sin f x ax x '=-，设()()f x h x '=，则()2cos .h x a x '=-分类讨论，(1)当21a 即12a时，可判断出函数()f x 的单调性，求得其当0x =时函数有最小值，则本题可解； (2)当21a -即12a -时，求得其当0x =时函数有最大值，经检验该种情况不符合题意； (3)当121a -<<，即1122a -<<时，同样该情况不符合题意.。

高三数学第一轮复习讲义（小结） 2005.1.14一．课前预习： 导 数1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 21 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 （ A ）()A 22()()032p q += ()B 23()()023p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，则a = 1 ． 5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．四．例题分析：例1．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ，解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，∴0)1()1(='=-'f f ，当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数；当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数，所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f ．（2）由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ．例3．设函数321()532a b f x x x x -=+++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，取得极大值；当2x x =时取得极小值，1||2x <且12||4x x -=．（1）求证：120x x >；（2）求证：22(1)164b a a -=+；（3）求实数b 的取值范围．（1）证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴1210x x a =>．（2）12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+． （3）①若102x <<，则10(2)4210b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩，∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，得13b <． ②若120x -<<，则10(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，∴53b >， 综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)33-∞+∞U ．小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） ()A 5、15- ()B 5、4 ()C 4-、15- ()D 5、16-2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ） ()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内，)(x f 为增函数 ()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞U 内，)(x f 为增函数3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()lim 1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则)(0x f '等于 （ ） ()A 1 ()B 13- ()C 3- ()D 31 4．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '= （ ）()A k ()B k - ()C k 1 ()D k1- 5．一物体运动方程是)/8.9(3120022s m g gt s =+=，则3=t 时物体的瞬时速度为 ． 6．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）8．已知1,0b c >->，函数()f x x b =+的图象与函数2()g x x bx c =++的图象相切，（1）求,b c 的关系式（用c 表示b ）；（2）设函数()()()F x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点，求c 的取值范围．。

高三数学第一轮复习讲义（小结） 2005.1.14一．课前预习： 导 数1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 21 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 （ A ）()A 22()()032p q += ()B 23()()023p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，则a = 1 ． 5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．四．例题分析：例1．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ， 解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，∴0)1()1(='=-'f f ，当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数；当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数，所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f ．（2）由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ． 例3．设函数321()532a b f x x x x -=+++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，取得极大值；当2x x =时取得极小值，1||2x <且12||4x x -=．（1）求证：120x x >；（2）求证：22(1)164b a a -=+；（3）求实数b 的取值范围．（1）证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴1210x x a =>．（2）12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+． （3）①若102x <<，则10(2)4210b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩，∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，得13b <． ②若120x -<<，则10(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，∴53b >， 综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)33-∞+∞． 小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）()A 5、15- ()B 5、4 ()C 4-、15- ()D 5、16-2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内，)(x f 为增函数 ()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞内，)(x f 为增函数3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()lim 1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则)(0x f '等于 （ ） ()A 1 ()B 13- ()C 3- ()D 31 4．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '= （ ）()A k ()B k - ()C k 1 ()D k1- 5．一物体运动方程是)/8.9(3120022s m g gt s =+=，则3=t 时物体的瞬时速度为 ． 6．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）8．已知1,0b c >->，函数()f x x b =+的图象与函数2()g x x bx c =++的图象相切，（1）求,b c 的关系式（用c 表示b ）；（2）设函数()()()F x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点，求c 的取值范围．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

城东蜊市阳光实验学校高三数学第一轮复习讲义〔小结一．课前预习：导数 1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，那么0()f x '=〔C 〕()A 1()B 0()C 2()D 21 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如以下列图〔1〕所示，那么()y f x =的图象4．函数23()2f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，那么a =1．5．假设对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，那么()f x =42x -．四．例题分析： 例1．假设函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试务实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或者者1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 获得极值2-，〔1〕求()f x 的单调区间和极大值；〔2〕证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：〔1〕由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax---=+--33，∴0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ， 解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，∴0)1()1(='=-'f f ，当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数；当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数，所以，)(x f 在1-=x 处获得极大值，极大值为2)1(=-f ．〔2〕由〔1〕知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ．例3．设函数321()532a b f x x x x -=+++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，获得极大值；当2xx =时获得极小值，1||2x <且12||4x x -=．〔1〕求证：120x x >；〔2〕求证：22(1)164b a a -=+；〔3〕务实数b 的取值范围． 〔1〕证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴1210x x a=>．〔2〕12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+． 〔3〕①假设102x <<，那么10(2)4210b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩，∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+，解得112a>或者者14a <-〔舍〕 ∴42(1)3b ->，得13b <．②假设120x -<<，那么10(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+，解得112a>或者者14a <-〔舍〕 ∴42(1)3b ->，∴53b >，综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)33-∞+∞．小结：此题主要考察导数、函数、不等式等根底知识，综合分析问题和解决问题的才能．五．课后作业：班级学号姓名1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是〔〕()A 5、15-()B 5、4()C 4-、15- ()D 5、16-2．关于函数762)(23+-=x x x f ，以下说法不正确的选项是〔〕()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内，)(x f 为增函数()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞内，)(x f 为增函数3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()lim1x f x x f x x∆→-∆-=∆，那么)(0x f '等于〔〕()A 1()B 13-()C 3-()D 31 4．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，那么0()f x '=〔〕5．一物体运动方程是)/8.9(3120022s m g gt s=+=，那么3=t 时物体的瞬时速度为． 6．函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处获得极值．〔1〕讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；〔2〕过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．7．某工厂消费某种产品，该产品的月产量x 〔吨〕与每吨的价格P 〔元/吨〕之间的关系为21242005P x =-，且消费x 吨的本钱为50000200Rx =+元，问：该厂每月消费多少吨产品才能使利润到达最大？最大利润是多少？〔利润=收入-本钱〕 8．1,0bc >->，函数()f x x b =+的图象与函数2()g x x bx c =++的图象相切，〔1〕求,b c 的关系式〔用c 表示b 〕； 〔2〕设函数()()()F x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点，求c 的取值范围．。

高三数学第一轮复习讲义（小结） 2005.1.14一．课前预习： 导 数1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0()C 2 ()D 212．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 （ A ）()A 22()()032p q += ()B 23()()023p q+= ()C 2230p q -= ()D 2230q p -=4．已知函数23()2f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，则a = 1 ．5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．四．例题分析：例1．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---， 令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-， （1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立． 解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ，解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，∴0)1()1(='=-'f f ，当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数； 当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数； 当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数， 所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f ． （2）由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ．例3．设函数321()532a b f x x x x -=+++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，取得极大值；当2x x =时取得极小值，1||2x <且12||4x x -=．（1）求证：120x x >；（2）求证：22(1)164b a a -=+；（3）求实数b 的取值范围．（1）证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴1210x x a=>．（2）12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+．（3）①若102x <<，则10(2)4210b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩，∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+，解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，得13b <．②若120x -<<，则10(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩，∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+，解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，∴53b >，综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)33-∞+∞U ．小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） ()A 5、15-()B 5、4()C 4-、15- ()D 5、16-2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内，)(x f 为增函数 ()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞U 内，)(x f 为增函数3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()lim 1x f x x f x x ∆→-∆-=∆，则)(0x f '等于 （ ）()A 1 ()B 13- ()C 3- ()D 314．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '= （ ）()A k ()B k - ()C k 1 ()D k1-5．一物体运动方程是)/8.9(3120022s m g gt s =+=，则3=t 时物体的瞬时速度为 ．6．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值． （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）8．已知1,0b c >->，函数()f x x b =+的图象与函数2()g x x bx c =++的图象相切， （1）求,b c 的关系式（用c 表示b ）；（2）设函数()()()F x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点，求c 的取值范围．。

第1讲导数的概念及其意义、导数的运算1.导数的概念及其几何意义（1）函数f（x）在x＝x0处的导数：假如当Δx→0时，平均变更率①ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变更率），记作f'（x0）或y'x＝x，即f'（x0）＝lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.（2）函数f（x）的导函数：当x变更时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数）. y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝②lim Δx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.说明函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的变更趋势，其大小｜f'（x）｜反映了变更的快慢，在某一范围内｜f'（x）｜越大，函数在相应范围内变更得越快，函数的图象越“陡峭”（向上或向下）.辨析比较f'（x）与f'（x0），[f（x0）]'的区分与联系：f'（x）是一个函数，f'（x0）是函数f'（x）在x＝x0时的函数值（常数），不愿定为0，[f（x0）]'是函数值f（x0）的导数，且[f（x0）]'＝0.（3）导数的几何意义：f'（x0）的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k＝③f'（x0），相应的切线方程为④y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.说明函数y＝f（x）在某点处的导数、曲线y＝f（x）在该点处切线的斜率和倾斜角，这三者之间是可以相互转化的.2.导数的运算（1）基本初等函数的导数公式特殊地，若f（x）＝e x，则f'（x）＝e x；若f（x）＝ln x，则f'（x）＝1x ；若f（x）＝1x，则f'（x）＝－1x2.（2）导数的四则运算法则若f'（x），g'（x）存在，则a.[f（x）±g（x）]'＝⑧f'（x）±g'（x）；b.[f （x ）·g （x ）]'＝⑨ f'（x ）g （x ）＋f （x ）g'（x ） ；c.[f （x ）g （x ）]'＝⑩f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）[g (x )]2（g （x ）≠0）； d.[cf （x ）]'＝⑪ cf'（x ） . 规律总结奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. （3）复合函数的导数复合函数y ＝f （g （x ））的导数和函数y ＝f （u ），u ＝g （x ）的导数间的关系为y'x ＝⑫ y'u ·u'x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 留意 （1）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.（2）对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零.1.下列说法正确的是（ C ）A.f'（x 0）是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0旁边的平均变更率B.f'（x ）与f'（x 0）（x 0为常数）表示的意义相同C.曲线的切线与曲线不愿定只有一个公共点D.奇函数的导数还是奇函数解析 对于A ，f'（x 0）是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的瞬时变更率；对于B ，f'（x ）是一个函数，而f'（x 0）（x 0为常数）是函数f'（x ）在x ＝x 0时的函数值；对于C ，例如曲线y ＝cos x 在点（0，1）处的切线与曲线y ＝cos x 有多数个公共点；对于D ，奇函数的导数是偶函数.故C 正确.2.[教材改编]下列式子不正确的是（ C ） A.（3x 2＋cos x ）'＝6x －sin x B.（ln x －2x ）'＝1x －2x ln 2C.（2sin 2x ）'＝2cos 2xD.（sinx x）'＝xcosx －sinxx 2解析 由导数公式和运算法则可知A ，B ，D 正确.（2sin 2x ）'＝4cos 2x ≠2cos 2x ，故C 不正确.3.[全国卷Ⅰ]函数f （x ）＝x 4－2x 3的图象在点（1，f （1））处的切线方程为（ B ） A.y ＝－2x －1 B.y ＝－2x ＋1 C.y ＝2x －3D.y ＝2x ＋1解析 ∵f （x ）＝x 4－2x 3，∴f'（x ）＝4x 3－6x 2，∴f'（1）＝－2，又f （1）＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y ＋1＝－2（x －1），即y ＝－2x ＋1.故选B.4.[2024河北省邢台市月考]在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系：h （t ）＝－4t 2＋4t ＋11.该运动员在t ＝1 s 时的瞬时速度（单位：m/s ）为（ A ） A.－4B.4C.11D.－11解析 由h （t ）＝－4t 2＋4t ＋11可得h'（t ）＝－8t ＋4，故h'（1）＝－4，即该运动员在t ＝1 s 时的瞬时速度为－4 m/s .故选A.研透高考 明确方向 命题点1 导数的运算例1 （1）[2024河南省商丘市部分学校质检]下列求导正确的是（ D ） A.[（2x －1）2]'＝2（2x －1） B.（2x ＋x 2）'＝2x ＋2xC.（sin x －cos π3）'＝cos x ＋13sin π3 D.（log 2x ）'＝log 2e x解析 [（2x －1）2]'＝2（2x －1）·2＝4（2x －1），故A 错误；（2x ＋x 2）'＝2x ln 2＋2x ，故B 错误；（sin x －cos π3）'＝cos x ，故C 错误；（log 2x ）'＝1xln2＝log 2e x，故D 正确.故选D.（2）[全国卷Ⅲ]设函数f （x ）＝e xx ＋a.若f'（1）＝e4，则a ＝ 1 .解析 由于f'（x ）＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，故f'（1）＝ea（1+a ）2＝e4，解得a ＝1.方法技巧（1）求导之前，先把函数简化成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. （2）复合函数求导，要正确分析函数的复合层次，由外到内逐层求导，必要时要进行换元.留意 （1）牢记导数公式和导数的四则运算法则；（2）若函数解析式中含有待定系数（如f'（x 0），a ，b 等），则求导时把待定系数看成常数，再依据题意求解即可. 训练1 （1）[多选/2024湖北省黄冈市黄州中学质检]下列求导运算正确的是（ BD ） A.[cos （－2x ）]'＝2sin xB.（lnx x）'＝1－lnx x 2C.（e 3）'＝3e 2D.（lg 2x ）'＝1xln10解析 [cos （－2x ）]'＝－sin （－2x ）·（－2x ）'＝2sin （－2x ），故A 错误；（lnx x）'＝x （lnx ）′−x ’lnxx 2＝1－lnx x 2，故B 正确；（e 3）'＝0，故C 错误；（lg 2x ）'＝12xln10×（2x ）'＝1xln10，故D 正确.故选BD.（2）已知函数f （x ）的导函数为f'（x ），且满意f （x ）＝3xf'（1）＋2ln x ，则f'（2）＝（ B ） A.－e －1B.－2C.0D.e －1解析 设f'（1）＝a ，则f （x ）＝3ax ＋2ln x ，f'（x ）＝3a ＋2x，所以f'（1）＝3a ＋2＝a ，解得a ＝－1，所以f'（2）＝3×（－1）＋1＝－2.故选B. 命题点2 导数的几何意义 角度1 求切线方程例2 （1）[2024全国卷甲]曲线y ＝e xx+1在点（1，e2）处的切线方程为（ C ） A.y ＝e4xB.y ＝e2xC.y ＝e4x ＋e4D.y ＝e 2x ＋3e4 解析 由题可得y'＝e x （x+1）－e x（x+1）2＝xe x （x+1）2，则曲线y ＝e xx+1在点（1，e2）处的切线斜率k ＝y'x ＝1＝e4，所以曲线y ＝e xx+1在点（1，e2）处的切线方程为y －e2＝e4（x －1），即y ＝e4x ＋e4，故选C.（2）[2024新高考卷Ⅱ]曲线y ＝ln ｜x ｜过坐标原点的两条切线的方程为 y ＝1e x ， y ＝－1ex .解析 先求当x ＞0时，曲线y ＝ln x 过坐标原点的切线方程，设切点为（x 0，y 0），则由y'＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ，所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x ＜0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1ex ，y ＝－1ex .方法技巧求切线方程的方法（1）已知切点A（x0，f（x0）），则切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）. （2）已知过点P（x0，y0）（非切点），可设切点为（x1，y1），由{y1＝f（x1）,y0－y1＝f‘(x1)(x0－x1)求出x1，y1后即可得切线方程.留意曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区分：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不愿定为切点.角度2求参数的值或取值范围例3 （1）[全国卷Ⅲ]已知曲线y＝a e x＋x ln x在点（1，a e）处的切线方程为y＝2x＋b，则（D）A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1解析因为y'＝a e x＋ln x＋1，所以y'x＝1＝a e＋1，所以曲线在点（1，a e）处的切线方程为y－a e＝（a e＋1）（x－1），即y＝（a e＋1）x－1，所以{ae+1=2，b＝－1，解得{a＝e－1，b＝－1.故选D.（2）[2024新高考卷Ⅰ]若曲线y＝（x＋a）e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.解析因为y＝（x＋a）e x，所以y'＝（x＋a＋1）e x.设切点为A（x0，（x0＋a）e x0），O为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA＝y'x＝x0＝（x0＋a＋1）e x0＝（x0＋a）e x0x0，化简得x02＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）e x有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.方法技巧利用导数的几何意义求参数的方法利用切点处的导数等于切线的斜率、切点在切线上、切点在曲线上列方程（组）求解.训练2 （1）[2024广州市中山高校附中月考]过点（3，0）作曲线f（x）＝x e x的两条切线，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1＋x2＝（D）A.－3B.－√3C.√3D.3解析因为f（x）＝x e x，所以f'（x）＝（x＋1）e x，设切点为（x0，x0e x0），所以f'（x 0）＝（x 0＋1）e x 0，所以切线方程为y －x 0e x 0＝（x 0＋1）e x 0（x －x 0），代入（3，0）得－x 0e x 0＝（x 0＋1）e x 0（3－x 0），即（－x 02＋3x 0＋3）e x 0＝0，依题意关于x 0的方程 （－x 02＋3x 0＋3）e x 0＝0有两个不同的根x 1，x 2，即关于x 0的方程－x 02＋3x 0＋3＝0有两个不同的根x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3.故选D.（2）[2024江苏省常州市调考]已知直线2ax －2y －a ＝0与曲线y ＝ln （2x －1）相切，则实数a ＝（ A ） A.2eB.√e2eC.2eD.√e 2解析 设切点为（x 0，y 0），则y'＝22x －1，故切线方程为y ＝22x 0－1（x －x 0）＋ln （2x 0－1），即y ＝22x 0－1x －2x 02x 0－1＋ln （2x 0－1），由y ＝ax －a2是切线方程，得{22x 0－1＝a ，－2x 02x 0－1＋ln （2x 0－1）＝－a 2，故－4x2x 0－1＋2ln （2x 0－1）＋22x 0－1＝0，化简得－1＋ ln （2x 0－1）＝0，解得x 0＝e+12，所以a ＝22x 0－1＝2e，故选A.命题点3 与公切线有关的问题例4 （1）已知曲线y ＝e x 在点（x 1，e x 1）处与曲线y ＝ln x 在点（x 2，ln x 2）处的切线相同，则（x 1＋1）（x 2－1）＝ －2 .解析 易知曲线y ＝e x 在点（x 1，e x 1）处的切线方程为y －e x 1＝e x 1（x －x 1），即y ＝e x 1x －e x 1x 1＋e x 1，曲线y ＝ln x 在点（x 2，ln x 2）处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2（x －x 2），即y＝1x 2x －1＋ln x 2，于是{e x 1＝1x 2 ①，e x 1－e x 1x 1＝－1+lnx 2 ②，由①得x 2＝1ex 1，代入②得e x 1－e x 1x 1＝－1＋ln1e x 1＝－1－x 1，即e x 1＝x 1+1x 1－1，所以x 2＝x 1－1x 1+1，所以x 2－1＝x 1－1x 1+1－1＝－2x 1+1，得（x 1＋1）·（x 2－1）＝－2.（2）[全国卷Ⅱ]若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln （x ＋1）的切线，则b ＝ 1－ln2 .解析 设y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln （x ＋1）分别相切于点（x 1，y 1），（x 2，y 2），则k ＝y 1－y 2x 1－x 2，即k ＝1x 1＝1x2+1＝lnx 1+2－ln （x 2+1）x 1－x 2，解得k ＝2，（另解：y ＝ln （x ＋1）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到y ＝ln x ＋2的图象，故k ＝2）x 1＝12，y 1＝2－ln 2，因为点（12，2－ln 2）在直线y ＝kx ＋b 上，所以2－ln 2＝2×12＋b ，解得b ＝1－ln 2. 方法技巧曲线的公切线问题的求解方法（1）求出两曲线各自的切线方程，利用两曲线的切线重合列方程组求解.（2）设公切线与两曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）的切点分别为（x 1，f （x 1）），（x 2， g （x 2）），则有f'（x 1）＝g'（x 2）＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，依据此列式求解.训练3 （1）已知函数f （x ）＝ax 2与g （x ）＝ln x 的图象在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为12e.解析 设公共点为P （x 0，y 0）（x 0＞0），则a x 02＝ln x 0 ①.由f （x ）＝ax 2，得f'（x ）＝2ax ，由g （x ）＝ln x ，得g'（x ）＝1x .因为函数f （x ）与g （x ）的图象在公共点P （x 0，y 0）处有共同的切线，所以f'（x 0）＝ g'（x 0），即2ax 0＝1x 0，得a ＝12x 02，代入①得12x2·x 02＝ln x 0，即ln x 0＝12，得x 0＝e 12，所以a＝12x 02＝12·（e 12）2＝12e .（2）曲线y ＝－1x （x ＜0）与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为 1 .解析 设（x 1，y 1）是公切线与曲线y ＝－1x （x ＜0）的切点，x 1＜0，则切线斜率k 1＝（－1x）' x ＝x 1＝1x 12，切线方程为y ＋1x 1＝1x 12（x －x 1），整理得y ＝1x 12·x －2x 1①.设（x 2，y 2）是公切线与曲线y ＝ln x 的切点，则切线斜率k 2＝（ln x ）' x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2（x －x 2），整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1 ②.由①②得1x 12＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 12－1＝2ln （－x 1）－1.设t ＝－x 1＞0，则2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f（x）＝2ln x－2x －1在（0，＋∞）上单调递增，f（1）＝－3＜0，f（e）＝1－2e＞0，所以f（x）＝0有唯一解，即2ln t－2t－1＝0有唯一解，所以两曲线的公切线的条数为1.。