二次函数压轴题之角度的存在性(讲义及答案)

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。

二次函数与角度有关的问题知识解读【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。

为此，下面将与角度有关的常见压轴题题型及解法做统一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。

如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。

分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP 上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。

当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。

设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。

类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。

这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+−=x x 及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。

在Rt ⊿BDE 中，可知tan ∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。

专题13 二次函数中角度、面积及平行四边形存在性问题题型一、角度及平行四边形存在性问题1. （2019·湖北咸宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线221+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线c bx x y ++-=221经过A ,B 两点且与x 轴的负半轴交于点C . （1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD =2∠BAC 时，求点D 的坐标；（3）已知E ,F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ,O ,E ,F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）在122y x =-+中，y =0时，x =4；x =0时，y =2， 即A (4,0)，B (0,2),将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，得：8402b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：b =32，c =2， 即抛物线解析式为：213222y x x =-++. （2）如图，过点B 作BE ∥x 轴交抛物线于点E ，过D 作DF ⊥BE 于F ，∴∠BAC =∠ABE ，∵∠ABD =2∠BAC ， ∴∠ABD =2∠ABE ， 即∠DBE =∠BAC ，设点D 的坐标为（x ，213222x x -++），则BF =x ，DF =21322x x -+， ∵tan ∠DBE =DF BF , tan ∠BAC =OBOA,∴DF BF =OB OA，即2132224x x x -+=， 解得：x =0（舍）或x =2， 即点D 的坐标为：（2,3）. （3）B （0,2）,O （0,0）设E 点坐标为（m ，122m -+），F 点坐标为（n ，213222n n -++）， ①若四边形BOEF 是平行四边形，则2113222222m n m n n =⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：22m n =⎧⎨=⎩， 即E 点坐标为（2，1）；②若四边形BOFE 是平行四边形时，则2131222222m n n n m =⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=+=-⎪⎪⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩ 即E点坐标为（2+12-1+； ③若四边形BEOF 是平行四边形时，则2=0131222222m n n n m +⎧⎪⎨-++-+=⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=-+=--⎪⎪⎨⎨=-=+⎪⎪⎩⎩， 即E 点坐标为：（2--3）或（2-+3；综上所述，E 点坐标为：（2，1），（2+1，（2-，1，（2--3），（2-+3.题型二、面积、平行四边形存在性问题2. （2019·山西中考）抛物线y =ax 2+bx +6经过点A (－2,0)，B (4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1<m <4）. 连接AC ，BC ，DB ，DC . （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△BCD 的面积是△AOC 面积的34时，求m 的值. （3）在（2）条件下，若M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，请直接写出M 点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析.【解析】解：（1）将A 、B 两点坐标代入y =ax 2+bx +6得： 426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为：233642y x x =-++.（2）过D 作DE ⊥x 轴于E ，交直线BC 与G ，过C 作CF ⊥DE 交ED 的延长线于F ， 如图所示，由题意知A (－2,0)，即OA =2，C (0，6)，即OC =6，∴△AOC 的面积为：1122OA OC ⋅=×2×6=6，∵△BCD 的面积是△AOC 面积的34， ∴△BCD 的面积为：92， 设直线BC 的解析式为：y =kx +n ，由题意知， 4k +n =0，n =6，解得：k =32-，n =6，即直线BC 的解析式为：y =32-x +6，∴点G 的坐标为（m ，32-m +6），∴DG =233366422m m m ⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭=2334m m -+， ∴S △BCD =12DG OB ⋅=2362m m -+， 即2362m m -+=92，解得：m =1（舍）或m =3，即m 的值为3. （3）存在.由（2）知，B (4,0)，D (3，154), 设M (x ，0)，N (n ，y )，其中y =233642n n -++①当四边形BDMN 是平行四边形时，有：43154x ny +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，即21533=6442n n --++，解得：n=1或n=1，x即M0），0）； ②当四边形BDNM 是平行四边形时， 有：43154n xy +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即21533=6442n n -++，解得：n =－1或n =3，x =0或4（舍），即M 点坐标为（0，0）；③当四边形BNDM 是平行四边形时， 有：43154n xy +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即21533=6442n n -++，解得：n =－1或n =3，x =8或4（舍），即M 点坐标为（8，0）；综上所述，点M 的坐标为：0），0），（0，0），（8，0）.3. （2019·黑龙江哈尔滨中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =34x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称；(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ =AP ，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，△PBQ 的面积为S (S ≠0)，求S 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围).【解析】解：（1）在y =34x +4中，x =0时，y =4；y =0时，x =－3， 即B (0，4)，A (－3,0)， ∵点A 与点C 关于y 轴对称， ∴点C 的坐标为（3,0）， 设直线BC 解析式为：y =kx +b ，430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：443b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即直线BC 的解析式为：y =43-x +4.（2）如图，过点P 作PM ∥y 轴交x 轴于M ，过点Q 作QN ⊥AB 于N ，过C 作CH ⊥AB 于H ，由勾股定理得：AB=BC=5，CH=245，∵P点横坐标为t，∴点P的坐标为（t，43t+4），即AM=3+t，∵PM∥OB，∴AP AMAB AO=，即353AP t+=，∴AP=()533t+=553t+，∴PB=53t -,∵BQ=AP=553t +,∴BQ NQBC CH=，即5532455tNQ+=，∴NQ=24855t+，∴S=15248 2355t t ⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭=2433 32t⎛⎫-++⎪⎝⎭；4. （2019·四川达州中考）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0). （1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，01093b cb c=-++⎧⎨=--+⎩，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝－（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）由（1）知：抛物线对称轴为x＝﹣1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝CHOH＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴当∠ACO＝∠CDO时，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如下图所示，当点D在对称轴左侧时，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴AC AOAD AC=，∵AC ＝AO ＝1， ∴AD ＝20，OD ＝19， ∴D （﹣19，0）；当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线x ＝1的对称点D '的坐标为（17，0）， ∴点D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），设直线PA 的解析式为：y =kx +b ， 将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，2230ak b a a k b ⎧+=--+⎨+=⎩， 解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3， ∴y ＝（﹣a ﹣3）x +a +3， 当x ＝0时，y ＝a +3， ∴N （0，a +3）， 如下图所示，∵m =S △BPM ＝S △BPA ﹣S 四边形BMNO ﹣S △AON ，n =S △EMN ＝S △EBO ﹣S 四边形BMNO ， ∴m －n ＝S △BPA ﹣S △EBO ﹣S △AON＝12×4×（﹣a 2﹣2a +3）﹣12×3×3﹣12×1×（a +3） ＝﹣2（a +98）2+8132，∴当a ＝﹣98时，m －n 有最大值8132.题型三、二次函数有关对称性及自定义函数最值研究5.（2019·湖南长沙中考）已知抛物线22(2)(2020)y x b x c =-+-+-(b ，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围. 【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，抛物线的解析式为：()2211y x =--+，=2241x x -+-，∴b －2=4，c －2020=－1， ∴b =6，c =2019.（2）设抛物线上关于原点对称不重合的两点坐标为：（x ，y ）、（－x ，－y ）， 代入解析式有：222(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎨-=---+-⎩， ∴()24220200x c -+-=， 即c =2x 2+2020， ∴c ≥2020.6. （2019·山东临沂中考）一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意得，k +4=-2， 解得k =-2，二次函数顶点为（0,4）， ∴c =4，把（1,2）代入二次函数表达式得：a +c =2， 解得a =-2（2）由（1）得二次函数解析式为y =-2x 2+4，令y =m ，得2x 2+m -4=0即x=±，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则12x x + ∴W =OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（） ∴当m =1时，W 取得最小值7.。

二次函数与角有关的问题整理二次函数与角有关的问题整理二次函数背景下与角有关的存在性问题是各地中考和模拟考试的热点问题。

这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。

为此，我们将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理。

首先，我们将这些题大致分成两大类：相等角问题和半角或倍角问题。

相等角问题又分为三种：第一种是将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。

例如，在例1中，抛物线y=-x2+3x+4与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。

我们可以发现符合条件的点M有两个，一个在OP上方，一个在OP下方。

当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA，则M与C点重合。

当M在OP下方时，这两角组成的三角形是等腰三角形。

设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD2、PD2长，根据OD2=PD2列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。

第二种是将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。

这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例如，在例2中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.1）求抛物线的解析式及点D的坐标；2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标。

通过已知条件易得抛物线表达式为y=x2-2x-6及各定点坐标。

第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。

在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=2，则tan∠FAB=2.过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据XXX∠FAB=AH/FH，列方程求解即可。

角度的存在性（讲义）➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征．②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.角度存在性问题和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，利用三角函数来衡量角的大小，将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解．一般过定点构造直角三角形．当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理．➢精讲精练1.如图，抛物线272 2y x x=-++与直线122y x=+交于C，D两点．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．若存在点P，使∠PCF=45°，则点P的坐标为____________________________．2.已知二次函数：y=ax2+(2a+1)x+2（a＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点．（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）．（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA=75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠P AB=∠DAC，则平移后抛物线的解析式为____________________________________．4.如图，抛物线y=x2-4x-5与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，点A(a，-5)在抛物线上．若点E在y轴上，且∠BEO=∠ABC，则点E的坐标为_____________________．5.如图，抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）若线段BD上有一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标；（2）若抛物线上有一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．6. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过A ，C 两点，连接BC ．（1）求直线l 的解析式；（2）若直线x =m （m ＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E ，与直线l 交于点D ，连接OD ．当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；（3）取点G (0，-1)，连接AG ，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P ，使∠BAP =∠BCO -∠BAG ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式．（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．备用图备用图【参考答案】1. (12，72)或(236，1318)2. （1）证明略；（2）a 的值为-1；二次函数的解析式为y =-x 2-x +2；图象略；（3）点P 的坐标为11)或． 3. 27()43y x =--+或211()43y x =--+4. (0，32)或(0，32-)5. （1）点P 的坐标为(97，247-)；（2）点M 的坐标为(73，209-)或(5，12)．6. （1）直线l 的解析式为122y x =--；（2）线段DE 的长为3225；（3）存在，点P 的坐标为(139，9881)．7. （1）抛物线的解析式为y =-x 2+6x -5；（2）点M 的坐标为(136，176-)或(236，76-)．。

二次函数压轴题之全等三角形的存在性（讲义） 课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，1)，点B坐标为(3，0)，点D为平面直角坐标系中任一点（与点O，A，B不重合）．（1）△AOB和△DOB的公共边为_________．（2）若△DOB与△OAB全等，则点D的坐标为_________．（3）在下图中画出可能的△DOB，并考虑与△AOB之间的联系．知识点睛全等三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2.画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 精讲精练1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）2.如图，抛物线213442y x x =-++与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点B ．若点D 在x 轴上，点P 在抛物线上，使得△PBD ≌△PBC ，则点P 的坐标为_____________________________________．3.如图，抛物线21382y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过原点O ，与抛物线的一个交点为D (6，-8)，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ．若点F 在抛物线上，使△FOE ≌△FCE ，则点F 的坐标为____________．4.如图，抛物线21(2)62y x =--+与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，顶点为M ．设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，使得以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等，则直线QE 的解析式为_______________．5.如图，在平面直角坐标系中，直线l1过点A(1，0)且与y轴平行，直线l2过点B(0，2)且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数ky（k＞0）的图象x过点E且与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值．（2）连接EF．是否存在点E及y轴上的点M，使得以M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】课前预习1.（1）OB（2）(2，-1)，(1，1)，(1，-1)（3）略精讲精练1.（1）y =-x 2+2x +3；（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或a =1，b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4．2.(1418241)-+-+，，(1418241)----，，126(426)2-+-，，126(426)2--+，3.(3174)+-，或(3174)--， 4.122y x =+或71724y x -+=-或y =65.（1）2；（2）3(2)8，或8(2)3，．。

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。

【中考压轴题专题突破】二次函数中的角的存在性问题1．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过点B和点C，与x轴交于另一点A，连接AC．（1）求点A的坐标；（2）若点Q在直线BC上方的抛物线上，连接QC，QB，当△ABC与△QBC的面积比等于2：3时，直接写出点Q的坐标：（3）在（2）的条件下，点H在x轴的负半轴，连接AQ，QH，当∠AQH＝∠ACB时，直接写出点H的坐标．3．如图1，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，连接AC、BC，点D是线段BC上方抛物线上的一个动点，当S△BCD＝S时，求点D的坐标；△ABC（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠CPO＝∠BPO？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点A（﹣1，0），点C（0，2），且∠ACB＝90°（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段ABC一动点，过P作PD∥AC交BC于D，当△PCD面积最大时，求点P的坐标．（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当∠ABC恰好等于△BCM中的某个角时，求点M的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．6．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中的点A（0，4），抛物线y1＝ax2+bx+c经过原点O和点C，并且有最低点G（2，﹣1），点E，F分别在线段OC，BC上，且S△AEF＝S，CF＝1，直线BE的解析式为y2＝kx+b，其图象与抛物线在x轴下方的图象交于矩形OABC点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；（3）在线段BD上是否存在点M，使得∠DMC＝∠EAF，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．二次函数中的角的存在性问题参考答案与试题解析1．【分析】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，即可求解；②（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，即可求解；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，M2、M1关于B对称，即可求解．【解答】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得：a＝，故点M1（，）；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，M2、M1关于B对称，∴M2（﹣，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．【分析】（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），即可求解；（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，即可求解；（3）分点Q（6，5）、点Q（﹣1，12）两种情况，分别求解即可．【解答】（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），则c＝5，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣6，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5；（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，则点N（0，11），则直线m的表达式为：y＝﹣x+11…②，联立①②并解得：x＝﹣1或6，故点Q（﹣1，12）或（6，5）；（3）过点A作AK⊥BC于点K，AB＝4，则AK＝BK＝2，AC＝，则sin∠ABC＝＝＝sinα，则tan；①当点Q（6，5）时，过点H作HR⊥AQ交QA的延长线于点R，由点A、Q的坐标知，tan∠QAB＝1＝tanβ，故β＝45°，AQ＝5，则HR＝AR＝x，tan∠HQR＝tanα＝＝＝，解得：x＝10，AH＝x＝20，故点H（﹣19，0）；②当点Q（﹣1，12）时，同理可得：点H（﹣，0）；综上，点H的坐标为：（﹣19，0）或（﹣，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入得：﹣1﹣b+3＝0，解得：b＝2，即可求解；（2）DH＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，，整理得a2﹣3a+2＝0，即可求解；（3）①如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2，此时∠CPO＝∠BPO，△BOC 是等腰直角三角形，OP垂直平分BC，即可求解；②如图3，作△BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4，过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M，即可求解．【解答】（1）将点A（﹣1，0）代入得：﹣1﹣b+3＝0，解得：b＝2，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）当﹣x2+2x+3＝0时解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∵C（0，3），∴OC＝3∴∵，∴∵B（3，0）、C（0，3），∴y BC＝﹣x+3如图1，设D（a，﹣a2+2a+3），过点D作x轴垂线，交BC于点H，则H（a，﹣a+3）∴DH＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a∴，整理得a2﹣3a+2＝0解得：a1＝1，a2＝2，当a＝1时，y＝4；当a＝2时，y＝3∴D（1，4）或D（2，3）；（3）存在①如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2，此时∠CPO＝∠BPO，∵△BOC是等腰直角三角形，OP垂直平分BC∴y OP＝x，由得x2﹣x﹣3＝0，解得：，∴，；②如图3，作△BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4∵BO＝CO，∴∠BP3O＝∠CP3O∵BC为直径，∴∠BP3C＝90°过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M ∵∠CNP3＝∠P3MB＝∠CP3B＝90°∴∠NP3C+∠MP3B＝90°，∠MP3B+∠MBP3＝90°∴∠NP3C＝∠MBP3，∴tan∠NP3C＝tan∠MBP3，∴设，则∴，整理得：m2﹣m﹣1＝0解得：当时，点P在第二象限，此时∠CPO＞∠BPO，故舍去当时，，∴P3（，）；综上所述：；；．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本性质、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．4．【分析】（1）根据射影定理求出点B（4，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入求出a＝﹣，然后化为一般式即可；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，可表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况求解：当∠BCM＝∠ABC时和当∠CBM＝∠ABC时，由相似三角形的性质可求出点M的坐标．【解答】（1）∵A（﹣1，0），C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可得：OC2＝OA•OB，∴OB＝4，∴点B（4，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入上式得：a×1×（﹣4）＝2解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝；（2）如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（2，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴，同样的方法可求得直线AC的解析式为y＝2x+2，可设直线PD的解析式为y＝2x+b，把P（m，0）代入得b＝﹣2m，联立，解得，．∴．∴＝＝﹣．故当m＝＝时，S最大，此时P（，0）．（3）由题意知，∠BMC≠∠ABC，当∠BCM＝∠ABC时，CM∥AB，如图2，∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称，∴M（3，2）；当∠CBM＝∠ABC时，如图3，过M作MF⊥BC于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，∵∠CBM＝∠ABC，∠BFM＝∠BGF，∴△MFK∽△FGB，同理可证：△MBF∽△MFK∽△FBG∽△CBO，∴，．设G（n，0），则F（n，﹣+2），∴，KF＝﹣，∴M（），代入抛物线解析式可解得，n＝，n＝4（舍去）．∴，）．综合以上可得M点的坐标为（3，2）或（）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式及理解运用分类讨论的思想方法．5．【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，证明△AOB∽△BNP，列比例式可得结论；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明△BOE∽△HPB，得，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），列方程可得结论；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，同理作辅助线，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），根据面积法表示PQ的长，证明△PBQ∽△EOF，可得BQ的长，最后根据勾股定理可得结论．【解答】（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝4，OC＝2，∴BC＝2，∴OE＝BE＝CE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，44t2﹣388t+803＝0，（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．【点评】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．6．【分析】（1）可设顶点式解析式，将原点坐标代入即可求出抛物线的解析式；（2）如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，通过面积法求出点H的坐标，通过求出直线AH的解析式推出点E坐标，再求出直线BE的解析式，最后求出直线BE与抛物线的交点，即可由二次函数与一次函数之间的关系写出结论；（3）先证点A，B，F，E四点共圆，如图2，作BC得垂直平分线交直线EB于点N，连接NC，求出点N坐标，再作NC的垂直平分线交直线BD于点M，设M（n，2n﹣4），由MN ＝MC，可列出关于n的方程，此时∠DMC＝2∠MNC＝4∠EBC＝4∠EAF，即可写出点M 的坐标．【解答】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意可得h＝2，k＝﹣1且抛物线经过原点，∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2，点O与点C关于x＝2对称，∴C（4，0），OC＝4，∵A（0，4），CF＝1，∴OA＝4，S矩形OABC＝OA•OC＝16，F（4，1），∵，∴S△AEF＝5，如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，∴，∴，，设直线AH的解析式为y＝k1x+4，∴，∴k1＝﹣2，∴直线AH的解析式为y＝﹣2x+4，当y＝0时，求得x＝2，∴E（2，0），而B（4，4），∴直线BE：y2＝2x﹣4，∵点D在直线BE上，故D（x，2x﹣4）同时也满足抛物线，故，解得：，（舍去），∴，当0＞y2＞y1时，从图象可得直线在抛物线的上方且都在x轴的下方才满足条件，对应x的取值范围为；（3）∵E（2，0），F（4，1），A（0，4），∴，AF＝5，，∴AE2+EF2＝AF2，而矩形OABC，∴∠AEF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠AEF+∠ABC＝180°，∴点A，B，F，E四点共圆，∴∠EAF＝∠EBC如图2，作BC的垂直平分线交直线EB于点N，连接NC，则NB＝NC，∠NBC＝∠NCB，∴∠ENC＝2∠EBC，设N（x N，2），则2＝2x N﹣4，解得x N＝3，∴N（3，2），作NC的垂直平分线交直线BD于点M（n，2n﹣4），B（4，4），C（4，0），∴，，则MN＝MC，∴∠MNC＝∠MCN，∴∠DMC＝2∠MNC＝4∠EBC＝4∠EAF，∴，解得：n＝，∴，综上所述，点M的坐标为．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，圆的有关性质等，解题关键是能够通过作线段的垂直平分线构造2倍角等．。

一.解答题(共5小题)例1.(20１3•河南)如图,抛物线y=﹣ｘ2+bx+ｃ与直线ｙ=x＋2交于C、Ｄ两点，其中点C 在y轴上,点D得坐标为(3,）.点P就是ｙ轴右侧得抛物线上一动点,过点Ｐ作PＥ⊥x轴于点E,交CD于点Ｆ.(1）求抛物线得解析式;(２)若点P得横坐标为m,当m为何值时,以Ｏ、C、Ｐ、F为顶点得四边形就是平行四边形？请说明理由.(3)若存在点P,使∠PＣF＝4５°,请直接写出相应得点Ｐ得坐标.例2.(2012•惠山区校级模拟)如图，抛物线y=ax2＋bｘ﹣3a经过A(﹣１，0）、C(0,﹣３）两点，与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线得解析式;(2)已知点D(ｍ,﹣m﹣１)在第四象限得抛物线上,求点D关于直线ＢC对称得点D'得坐标. (3）在（２)得条件下,连接BD,问在x轴上就是否存在点Ｐ,使∠PＣＢ=∠CBD？若存在,请求出Ｐ点得坐标；若不存在,请说明理由.例3.（２０14•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOｙ中,O就是坐标原点,抛物线ｙ＝﹣x2＋ｂx+c(ｃ＞０)得顶点为D,与ｙ轴得交点为Ｃ,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点Ｂ,使BC＝AC，连接ＯA,OB,BD与ＡD.（1)若点A得坐标就是（﹣4,4）.①求b,c得值;②试判断四边形AOＢD得形状,并说明理由;(2）就是否存在这样得点A,使得四边形AOBD就是矩形?若存在,请直接写出一个符合条件得点Ａ得坐标;若不存在,请说明理由．练习1.(20１3•十堰)已知抛物线y=x２﹣2x＋ｃ与ｘ轴交于Ａ.B两点,与y轴交于C点,抛物线得顶点为D点,点A得坐标为（﹣1,０)．（１)求D点得坐标;(2)如图１,连接AC,BD并延长交于点Ｅ,求∠E得度数；（3)如图2，已知点P(﹣4,0)，点Q在x轴下方得抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMＡ＝∠Ｅ时,求点Ｑ得坐标.2.(２012•合川区模拟)如图,二次函数y=﹣ｘ2+bx＋c得图象与x轴交于点Ｂ(﹣3，０),与ｙ轴交于点C(0,﹣３）.(1）求直线BC及二次函数得解析式;(２）设抛物线得顶点为D，与ｘ轴得另一个交点为A.点P在抛物线得对称轴上,且∠AＰD ＝∠AＣB，求点P得坐标;(３）连接ＣD,求∠ＯCA与∠ＯCD两角与得度数.2０15年05月１3日18739５7725得初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题(共５小题)1.（2013•河南)如图,抛物线y=﹣x２+ｂx+ｃ与直线y=x+2交于C、D两点,其中点Ｃ在y轴上，点D得坐标为(3,).点Ｐ就是y轴右侧得抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线得解析式;(2)若点P得横坐标为ｍ,当ｍ为何值时,以Ｏ、C、P、F为顶点得四边形就是平行四边形?请说明理由.(３）若存在点Ｐ,使∠PCF=４５°,请直接写出相应得点Ｐ得坐标.考点: 二次函数综合题.专题：压轴题．分析:(1)首先求出点C得坐标,然后利用待定系数法求出抛物线得解析式;(2）本问采用数形结合得数学思想求解.将直线ｙ＝ｘ+２沿y轴向上或向下平移２个单位之后得到得直线,与抛物线y轴右侧得交点,即为所求之交点．由答图1可以直观地瞧出,这样得交点有3个.联立解析式解方程组,即可求出m得值;(3)本问符合条件得点P有2个,如答图2所示，注意不要漏解.在求点P坐标得时候,需要充分挖掘已知条件,构造直角三角形或相似三角形,解方程求出点P得坐标.解答:解:(１)在直线解析式ｙ=x+２中，令ｘ=0,得y=２,∴C(0,2)．∵点C(0,2)、D（3，)在抛物线y=﹣ｘ２+ｂx＋c上,∴,解得b=,c=2,∴抛物线得解析式为：y=﹣ｘ2+ｘ+2.(２）∵ＰF∥OC,且以O、C、P、F为顶点得四边形就是平行四边形,∴ＰF＝OC=2,∴将直线y=ｘ+2沿y轴向上、下平移２个单位之后得到得直线,与抛物线y轴右侧得交点,即为所求之交点.由答图１可以直观地瞧出，这样得交点有3个.将直线y＝x＋２沿y轴向上平移2个单位,得到直线y=x+4，联立,解得x1＝1,ｘ2＝2,∴m１＝1,m2=2;将直线y=x+２沿y轴向下平移２个单位,得到直线ｙ=x,联立，解得ｘ3=，x4=（在ｙ轴左侧,不合题意,舍去),∴m3=．∴当m为值为１,2或时,以Ｏ、Ｃ、P、Ｆ为顶点得四边形就是平行四边形.（3)存在．理由:设点Ｐ得横坐标为m,则P（ｍ,﹣ｍ2＋ｍ+2),F（m,m+2）.如答图2所示,过点C作CM⊥PＥ于点Ｍ,则CＭ=m,EM=2,∴ＦＭ=yＦ﹣EM=ｍ,∴taｎ∠ＣＦM=2.在Rｔ△ＣFM中，由勾股定理得：CF＝m.过点P作PＮ⊥CD于点N,则PN＝FN•tan∠PFN=ＦN•tan∠ＣFM=２FN.∵∠PCF＝４５°,∴PＮ=CN,而PＮ＝2ＦN,∴FN=ＣF=m,ＰN＝2FN=m,在Ｒt△PFN中,由勾股定理得：PF==m.∵PF＝yＰ﹣y F=(﹣m２+ｍ+２）﹣（m＋2)=﹣ｍ２+３ｍ,∴﹣m2+3m=m,整理得:m2﹣ｍ=0,解得ｍ=０(舍去）或ｍ=,∴P(,)；同理求得,另一点为P(,)．∴符合条件得点P得坐标为(,)或(,)．点评:本题就是二次函数综合题型,考查了二次函数得图象与性质、一次函数得图象与性质、解方程(方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数)、勾股定理等重要知识点．第（2)问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解;第（３)问中,符合条件得点P有两个,注意不要漏解．2.（20１２•惠山区校级模拟)如图,抛物线y=ａx2+ｂx﹣３ａ经过Ａ(﹣1,０)、C(0,﹣３)两点,与x轴交于另一点B.(１)求此抛物线得解析式;(２)已知点Ｄ(ｍ，﹣m﹣1）在第四象限得抛物线上，求点D关于直线BＣ对称得点Ｄ'得坐标.(3)在(2)得条件下，连接BＤ,问在x轴上就是否存在点P,使∠ＰCB=∠CＢD?若存在,请求出Ｐ点得坐标；若不存在,请说明理由.考点: 二次函数综合题.分析:（1)将A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点坐标代入抛物线y＝aｘ２+bx﹣3a中，列方程组求a、b得值即可；(2)将点D（m,﹣ｍ﹣1)代入（1)中得抛物线解析式,求m得值,再根据对称性求点D关于直线ＢＣ对称得点Ｄ'得坐标;(3)当∠PＣB=∠CＢD时,可知CＰ∥ＢD,根据三角形得全等关系确定P点坐标.解答:解:(1）将A（﹣1,0)、C（0,﹣３）代入抛物线y=aｘ2+bx﹣３a中,得，解得,∴y=x２﹣2ｘ﹣3;(2)将点D(m,﹣m﹣1)代入y=x2﹣2x﹣3中,得ｍ2﹣2ｍ﹣3=﹣m﹣1,解得m=2或﹣1，∵点D(ｍ,﹣m﹣1)在第四象限，∴D(２,﹣３)，∵直线ＢＣ解析式为y＝x﹣3，∴∠BCD=∠ＢCO=4５°,CD′=CD＝２,OD′＝３﹣2=1，∴点Ｄ关于直线BC对称得点D'(0，﹣１);（3)存在.过D点作DE⊥x轴,垂足为E,交直线BＣ于F点(如图）,∵∠ＰＣB＝∠CBD，∴CP∥BD,又∵CＤ∥x轴,四边形PCＤB为平行四边形,∴△OCP≌△EDＢ,∴ＯP=BE=1,设CP与BＤ相交于M点(ｍ,3m﹣９）,易求BＤ解析式为:y＝３ｘ﹣9,由BM=CM,得到关于m得方程,解方程后,得m=；于就是,M点坐标为：M(，﹣)；于就是CM解析式为:ｙ=ｘ﹣3，令CM方程中,y=０,则x=9,所以，P点坐标为:P(9,0)，∴Ｐ(１,0),或(9,0).点评:本题考查了二次函数得综合运用．关键就是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线得对称性,直线BC得特殊性求点得坐标.3．(2014•湖州)如图,已知在平面直角坐标系xＯy中，O就是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c （c＞0)得顶点为D,与y轴得交点为Ｃ,过点C作CA∥ｘ轴交抛物线于点A，在AＣ延长线上取点Ｂ，使BC=AＣ,连接ＯA,OB，BD与AD.(1)若点A得坐标就是（﹣4,4)．①求b,c得值；②试判断四边形AＯＢＤ得形状，并说明理由;(2）就是否存在这样得点A，使得四边形AOBD就是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件得点A得坐标；若不存在,请说明理由．考点: 二次函数综合题.专题: 几何综合题;压轴题.分析:(1)①将抛物线上得点得坐标代入抛物线即可求出ｂ、c得值；②求证AＤ=BO与ＡD∥BＯ即可判定四边形为平行四边形;(2)根据矩形得各角为90°可以求得△ＡBO∽△OBC即=,再根据勾股定理可得ＯC=ＢＣ,AC=OC，可求得横坐标为±ｃ,纵坐标为c.解答:解:(1）①∵AＣ∥ｘ轴,A点坐标为(﹣4，4).∴点C得坐标就是(0,4）把A、Ｃ两点得坐标代入y=﹣x2+bx+ｃ得,,解得；②四边形AOBD就是平行四边形；理由如下:由①得抛物线得解析式为y＝﹣x2﹣4ｘ+4,∴顶点Ｄ得坐标为(﹣2,８),过Ｄ点作DE⊥AB于点Ｅ,则DE=ＯＣ=4，ＡE=2,∵AC=4,∴BC=AC=2,∴AE=ＢＣ．∵AC∥x轴,∴∠AED＝∠ＢCO＝90°,∴△ＡEＤ≌△BCO,∴AD=BO．∠DAE=∠ＯBC,∴AD∥ＢＯ,∴四边形AOＢD就是平行四边形.（2)存在，点A得坐标可以就是(﹣2，2)或(2,2)要使四边形AOＢD就是矩形;则需∠AOＢ=∠ＢCO=9０°,∵∠AＢＯ=∠OBC，∴△ＡBO∽△OBC,∴=,又∵ＡB=AC+BＣ=3BC,∴在Ｒｔ△OBC中，根据勾股定理可得:ＯC=BＣ,AC=OC,∵Ｃ点就是抛物线与y轴交点,∴OC=c,∴A点坐标为(﹣ｃ,c),∴顶点横坐标=c,b=c，∵将A点代入可得c＝﹣(﹣ｃ）２＋c•ｃ+c,∴横坐标为±c，纵坐标为ｃ即可,令ｃ＝２,∴A点坐标可以为(2,2）或者（﹣2,2)．点评:本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标得公式,以及函数与坐标轴交点坐标得求解方法.4.(20１３•十堰)已知抛物线ｙ=x2﹣2ｘ+c与x轴交于Ａ.Ｂ两点,与ｙ轴交于C点,抛物线得顶点为D点,点A得坐标为(﹣１,０)．（１)求D点得坐标；(2)如图１,连接ＡC，BD并延长交于点E,求∠E得度数;(３)如图２,已知点P（﹣4，0）,点Q在x轴下方得抛物线上,直线ＰQ交线段AC于点M,当∠PMＡ=∠E时,求点Q得坐标.考点: 二次函数综合题.专题：压轴题.分析:(1）将点A得坐标代入到抛物线得解析式求得ｃ值,然后配方后即可确定顶点D得坐标;（2）连接ＣD、CB,过点D作ＤF⊥y轴于点Ｆ,首先求得点C得坐标,然后证得△DCB∽△AOC得到∠ＣBD=∠ＯCA，根据∠ACB=∠CＢD+∠Ｅ=∠OＣA+∠OCB,得到∠E=∠OＣB=４5°;(３)设直线PQ交y轴于N点,交BＤ于H点,作DＧ⊥x轴于Ｇ点，得到△ＤGB∽△PO Ｎ后利用相似三角形得性质求得ON得长,从而求得点N得坐标，进而求得直线PQ 得解析式，设Ｑ(m,n）,根据点Ｑ在y＝x2﹣２x﹣3上,得到﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3,求得m、n得值后即可求得点Q得坐标.解答:解：（1)把x＝﹣1,y=0代入y＝ｘ2﹣２x+ｃ得：1+2+c=0∴ｙ=x2﹣2ｘ﹣3=y=(ｘ﹣1)2﹣4∴顶点坐标为(1,﹣4）;（2)如图１,连接CＤ、CB，过点D作DF⊥y轴于点F,由x2﹣2x﹣３=０得x=﹣１或x=3∴B（3，０)当ｘ=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3∴C（０，﹣３)∴OＢ=OC＝3∵∠BOＣ=9０°,∴∠OCB=45°,BC=3又∵DＦ=CF=1,∠ＣFD＝90°,∴∠FCD=4５°，CD=，∴∠ＢCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCＤ=90°．∴∠BCＤ=∠ＣＯA又∵∴△DCB∽△AOＣ,∴∠CBD＝∠OCA又∵∠AＣＢ=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCＢ∴∠E＝∠ＯCB＝45°，(3）如图２，设直线ＰQ交y轴于N点，交BD于H点,作DG⊥x轴于G点∵∠PMＡ=4５°,∴∠EMH=45°，∴∠MＨE=９0°,∴∠PHB=90°,∴∠DBG+∠OPＮ＝9０°又∴∠ONP+∠ＯPN=90°,∴∠DBG=∠ONP∴∠ＤＧB=∠PON=90°,∴△ＤGB∽△POＮ∴=,即:=∴ON=２，∴N(０,﹣2）设直线ＰQ得解析式为y=kx+b则解得:∴y＝﹣x﹣２设Q(m，n)且n<0,∴ｎ=﹣m﹣2又∵Q(m,n)在y=ｘ2﹣2x﹣3上,∴n=m2﹣２m﹣3∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3解得：m=2或m=﹣∴ｎ＝﹣3或n=﹣∴点Q得坐标为（2,﹣3)或(﹣,﹣）.点评：本题考查了二次函数得综合知识,难度较大，题目中渗透了许多得知识点，特别就是二次函数与相似三角形得结合,更就是一个难点，同时也就是中考中得常考题型之一．５.（２012•合川区模拟)如图，二次函数y=﹣x２+bx＋c得图象与x轴交于点B（﹣3，０),与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求直线BC及二次函数得解析式;(2)设抛物线得顶点为D,与x轴得另一个交点为Ａ.点Ｐ在抛物线得对称轴上,且∠AＰD=∠ACＢ,求点P得坐标;(3)连接ＣD,求∠OCA与∠OCＤ两角与得度数.考点: 二次函数综合题.专题: 代数几何综合题.分析：(1)根据待定系数法求直线BC得解析式即可;把点Ｂ、C得坐标代入二次函数,利用待定系数法求函数解析式解答;(２)根据抛物线解析式求出顶点Ｄ得坐标，再根据二次函数得对称性求出点A得坐标，连接AＤ,然后求出∠ADP＝∠AＢC=４５°,然后证明△AＤＰ与△ABＣ相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PD得长度,从而得解;（3）连接BＤ,利用勾股定理求出BD、BＣ得长度,再求出∠CBD＝90°，然后根据∠B ＣD与∠ACO得正切值相等可得∠BCD=∠ACO,从而得到∠OCA与∠OCD得与等于∠BＣＯ,就是４5°.解答:解:(1)设直线BC得解析式为ｙ＝kx+m,∵点B(﹣3，0),点C(０,﹣3）,∴，解得,所以,直线BC得解析式为y=﹣ｘ﹣3,∵二次函数ｙ＝﹣x２＋bx+c得图象经过点B(﹣3，０),点C(0,﹣３), ∴，解得,∴二次函数得解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3;(2)∵ｙ=﹣x２﹣４x﹣3=﹣(x＋2)2+１，∴抛物线得顶点D（﹣2,1),对称轴为x=﹣２,∵Ａ、Ｂ关于对称轴对称，点B（﹣3,0）,∴点A得坐标为(﹣1,0),AB=﹣１﹣(﹣３）＝﹣1+3＝２,BC==3,连接AD,则AＤ＝=,ｔaｎ∠ＡDＰ==１,∴∠ＡDP＝４5°,又∵B(﹣３，0)，C(0,﹣3)，∴△ＯＢC就是等腰直角三角形,∴∠AＢC=45°,∴∠ＡDP＝∠ABC=45°,又∵∠ＡＰD＝∠ＡＣB,∴△ADP∽△ABC,∴＝，即=,解得DP＝3，点Ｐ到ｘ轴得距离为3﹣1=２,点P得坐标为（﹣2,﹣2);(３)连接BD,∵B（﹣３,0)，D（﹣２,1),∴ｔan∠DBA=＝1，∴∠ＤBＡ=45°,根据勾股定理,BD==，又∵∠ABC=４5°,∴∠ＤBC=4５°×2=９0°,∴tan∠BCＤ===,又∵ｔaｎ∠OCA==，∴∠BCD=∠OCA,∴∠OＣA+∠OCD＝∠BＣD+∠ＯＣＤ=∠OＣB,∵B(﹣３，0)，C(0,﹣３),∴△ＯAC就是等腰直角三角形,∴∠OＣB=4５°,即∠OCＡ与∠OCD两角与就是４５°.点评:本题就是对二次函数得综合考查,主要利用了待定系数法求函数解析式,二次函数得对称性,解直角三角形,勾股定理,以及相似三角形得判定与性质，利用数据得特殊性求出等腰直角三角形得到45°角，然后找出相等得角就是解题得关键.。

【中考压轴题专题突破】二次函数中的角的存在性问题1．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过点B和点C，与x轴交于另一点A，连接AC．（1）求点A的坐标；（2）若点Q在直线BC上方的抛物线上，连接QC，QB，当△ABC与△QBC的面积比等于2：3时，直接写出点Q的坐标：（3）在（2）的条件下，点H在x轴的负半轴，连接AQ，QH，当∠AQH＝∠ACB时，直接写出点H的坐标．3．如图1，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，连接AC、BC，点D是线段BC上方抛物线上的一个动点，当S△BCD＝S时，求点D的坐标；△ABC（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠CPO＝∠BPO？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点A（﹣1，0），点C（0，2），且∠ACB＝90°（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段ABC一动点，过P作PD∥AC交BC于D，当△PCD面积最大时，求点P的坐标．（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当∠ABC恰好等于△BCM中的某个角时，求点M的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．6．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中的点A（0，4），抛物线y1＝ax2+bx+c经过原点O和点C，并且有最低点G（2，﹣1），点E，F分别在线段OC，BC上，且S△AEF＝S，CF＝1，直线BE的解析式为y2＝kx+b，其图象与抛物线在x轴下方的图象交于矩形OABC点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；（3）在线段BD上是否存在点M，使得∠DMC＝∠EAF，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．二次函数中的角的存在性问题参考答案与试题解析1．【分析】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，即可求解；②（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，即可求解；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，M2、M1关于B对称，即可求解．【解答】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得：a＝，故点M1（，）；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，M2、M1关于B对称，∴M2（﹣，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．【分析】（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），即可求解；（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，即可求解；（3）分点Q（6，5）、点Q（﹣1，12）两种情况，分别求解即可．【解答】（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），则c＝5，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣6，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5；（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，则点N（0，11），则直线m的表达式为：y＝﹣x+11…②，联立①②并解得：x＝﹣1或6，故点Q（﹣1，12）或（6，5）；（3）过点A作AK⊥BC于点K，AB＝4，则AK＝BK＝2，AC＝，则sin∠ABC＝＝＝sinα，则tan；①当点Q（6，5）时，过点H作HR⊥AQ交QA的延长线于点R，由点A、Q的坐标知，tan∠QAB＝1＝tanβ，故β＝45°，AQ＝5，则HR＝AR＝x，tan∠HQR＝tanα＝＝＝，解得：x＝10，AH＝x＝20，故点H（﹣19，0）；②当点Q（﹣1，12）时，同理可得：点H（﹣，0）；综上，点H的坐标为：（﹣19，0）或（﹣，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入得：﹣1﹣b+3＝0，解得：b＝2，即可求解；（2）DH＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，，整理得a2﹣3a+2＝0，即可求解；（3）①如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2，此时∠CPO＝∠BPO，△BOC 是等腰直角三角形，OP垂直平分BC，即可求解；②如图3，作△BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4，过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M，即可求解．【解答】（1）将点A（﹣1，0）代入得：﹣1﹣b+3＝0，解得：b＝2，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）当﹣x2+2x+3＝0时解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∵C（0，3），∴OC＝3∴∵，∴∵B（3，0）、C（0，3），∴y BC＝﹣x+3如图1，设D（a，﹣a2+2a+3），过点D作x轴垂线，交BC于点H，则H（a，﹣a+3）∴DH＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a∴，整理得a2﹣3a+2＝0解得：a1＝1，a2＝2，当a＝1时，y＝4；当a＝2时，y＝3∴D（1，4）或D（2，3）；（3）存在①如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2，此时∠CPO＝∠BPO，∵△BOC是等腰直角三角形，OP垂直平分BC∴y OP＝x，由得x2﹣x﹣3＝0，解得：，∴，；②如图3，作△BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4∵BO＝CO，∴∠BP3O＝∠CP3O∵BC为直径，∴∠BP3C＝90°过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M ∵∠CNP3＝∠P3MB＝∠CP3B＝90°∴∠NP3C+∠MP3B＝90°，∠MP3B+∠MBP3＝90°∴∠NP3C＝∠MBP3，∴tan∠NP3C＝tan∠MBP3，∴设，则∴，整理得：m2﹣m﹣1＝0解得：当时，点P在第二象限，此时∠CPO＞∠BPO，故舍去当时，，∴P3（，）；综上所述：；；．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本性质、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．4．【分析】（1）根据射影定理求出点B（4，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入求出a＝﹣，然后化为一般式即可；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，可表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况求解：当∠BCM＝∠ABC时和当∠CBM＝∠ABC时，由相似三角形的性质可求出点M的坐标．【解答】（1）∵A（﹣1，0），C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可得：OC2＝OA•OB，∴OB＝4，∴点B（4，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入上式得：a×1×（﹣4）＝2解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝；（2）如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（2，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴，同样的方法可求得直线AC的解析式为y＝2x+2，可设直线PD的解析式为y＝2x+b，把P（m，0）代入得b＝﹣2m，联立，解得，．∴．∴＝＝﹣．故当m＝＝时，S最大，此时P（，0）．（3）由题意知，∠BMC≠∠ABC，当∠BCM＝∠ABC时，CM∥AB，如图2，∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称，∴M（3，2）；当∠CBM＝∠ABC时，如图3，过M作MF⊥BC于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，∵∠CBM＝∠ABC，∠BFM＝∠BGF，∴△MFK∽△FGB，同理可证：△MBF∽△MFK∽△FBG∽△CBO，∴，．设G（n，0），则F（n，﹣+2），∴，KF＝﹣，∴M（），代入抛物线解析式可解得，n＝，n＝4（舍去）．∴，）．综合以上可得M点的坐标为（3，2）或（）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式及理解运用分类讨论的思想方法．5．【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，证明△AOB∽△BNP，列比例式可得结论；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明△BOE∽△HPB，得，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），列方程可得结论；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，同理作辅助线，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），根据面积法表示PQ的长，证明△PBQ∽△EOF，可得BQ的长，最后根据勾股定理可得结论．【解答】（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝4，OC＝2，∴BC＝2，∴OE＝BE＝CE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，44t2﹣388t+803＝0，（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．【点评】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．6．【分析】（1）可设顶点式解析式，将原点坐标代入即可求出抛物线的解析式；（2）如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，通过面积法求出点H的坐标，通过求出直线AH的解析式推出点E坐标，再求出直线BE的解析式，最后求出直线BE与抛物线的交点，即可由二次函数与一次函数之间的关系写出结论；（3）先证点A，B，F，E四点共圆，如图2，作BC得垂直平分线交直线EB于点N，连接NC，求出点N坐标，再作NC的垂直平分线交直线BD于点M，设M（n，2n﹣4），由MN ＝MC，可列出关于n的方程，此时∠DMC＝2∠MNC＝4∠EBC＝4∠EAF，即可写出点M 的坐标．【解答】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意可得h＝2，k＝﹣1且抛物线经过原点，∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2，点O与点C关于x＝2对称，∴C（4，0），OC＝4，∵A（0，4），CF＝1，∴OA＝4，S矩形OABC＝OA•OC＝16，F（4，1），∵，∴S△AEF＝5，如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，∴，∴，，设直线AH的解析式为y＝k1x+4，∴，∴k1＝﹣2，∴直线AH的解析式为y＝﹣2x+4，当y＝0时，求得x＝2，∴E（2，0），而B（4，4），∴直线BE：y2＝2x﹣4，∵点D在直线BE上，故D（x，2x﹣4）同时也满足抛物线，故，解得：，（舍去），∴，当0＞y2＞y1时，从图象可得直线在抛物线的上方且都在x轴的下方才满足条件，对应x的取值范围为；（3）∵E（2，0），F（4，1），A（0，4），∴，AF＝5，，∴AE2+EF2＝AF2，而矩形OABC，∴∠AEF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠AEF+∠ABC＝180°，∴点A，B，F，E四点共圆，∴∠EAF＝∠EBC如图2，作BC的垂直平分线交直线EB于点N，连接NC，则NB＝NC，∠NBC＝∠NCB，∴∠ENC＝2∠EBC，设N（x N，2），则2＝2x N﹣4，解得x N＝3，∴N（3，2），作NC的垂直平分线交直线BD于点M（n，2n﹣4），B（4，4），C（4，0），∴，，则MN＝MC，∴∠MNC＝∠MCN，∴∠DMC＝2∠MNC＝4∠EBC＝4∠EAF，∴，解得：n＝，∴，综上所述，点M的坐标为．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，圆的有关性质等，解题关键是能够通过作线段的垂直平分线构造2倍角等．。

二次函数存在性问题，角度问题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在直角坐标系中，二次函数经过A（﹣2，0），B（2，2），C（0，2）三个点．（1）求该二次函数的解析式．（2）若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小．（3）在直线y＝x上是否存在一点E，使得△ACE为直角三角形？有，请求出E点坐标；没有，说明理由．3．如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．4．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度；最大时，求点E的坐标及S△ABF（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC 的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设动点P的横坐标为m，△PAC的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．8．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．（1）求抛物线解析式；（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请直接写出m的值．9．如图在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+c与两坐标轴分别交于A，B，C三点，且OC＝OB，点G是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M为第四象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，四边形OCMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、A、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点P的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣2，0），D（10，﹣12），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式．（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF 的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y ＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，①当△PAD的面积最大时，P点的坐标是；②当AB平分∠DAP时，求线段PA的长．（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；（3）在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是顶点，过：S△CEB＝3：5．点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE（1）求抛物线的解析式及直线CE的解析式；（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使AF+FH的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c过A（4，0），B（2，3）两点，交y轴于点C．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线CA运动，设运动的时间为t秒．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q．当t＝时，求PQ的长；（3）若在平面内存在一点M，使得以A，B，P，M为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．16．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n 过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个．18．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当∠PCB＝∠BCO时，求点P的横坐标．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．22．如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图②，若点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD，BD，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，CO＝3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点，点Q在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，求线段PD长度的最大值；（3）如图2，当BQ交y轴于点M，∠QBC＝∠PBC，∠BCP＝45°，求点M的坐标．。

二次函数压轴之角度问题1．如图，抛物线y＝(x﹣h)2+k与x轴交于A、B两点，且A(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）若抛物线与y轴的交点为D，Q为抛物线上一点，若∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．（4）Q为x轴上方抛物线上一点．当∠APB＝45°时，求点P的坐标；2．如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)，抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝12∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．3.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝5 2（1）求抛物线的解析式；（2）点N坐标为（0，2），点M在抛物线上，且∠NBM＝45°，直接写出点M坐标；4.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0),B(4,0)两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA=75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图1所示，直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（﹣4，0），B （2，0），在y轴上有点E(0，﹣3)．（1）求二次函数的表达式．（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点，连接AE和DE．①当tan∠AED＝67，求出点D坐标；②如图，若点P是直线CA上的动点，连接OP和PE，当∠OPE最大时，则点P的坐标为．6．如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、点C（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E（m，0）是x轴上一动点，过点E作EP⊥x 轴于点E，交抛物线于点P．（1）求抛物线解析式．（2）如图，直线EP交直线AB于点D，连接PB．点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请求出m的值．7．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式：（2）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．8.如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．（1）求抛物线解析式；（2）连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标；9．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝49x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；10.平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+(1+m)x-m(m为常数)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.(1)若m=4,求点A、B、C的坐标;(2)在(1)的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB=90°，求点D的坐标;参考答案1.解：(1)由抛物线y=(x-2)2-9(2)易知A(-1，0)，B(5，0),C(0，-5）AC：y=x+1，与抛物线联立得(x-2)2-9=x+1 x1=6,x2=-1(舍)，故C(6,7)(3)∠ADQ=45°,∠ODB=45°,故∠ADO=∠HDB，过点H作DG∠BD于点G,tan∠ADO=15，故tan∠HDG=15，设GH=x,则DG=5x，BG=x，故6x2,x5253，故OH=103，DQ解析式为y=32x-5,y=(x-2)2-9联立得(x-2)2-9=32x-5，x1=112,x2=0(舍去)故Q(112，134)(4)以AB为斜边作等腰直角三角形AMB，以M为圆心，MA为半径作圆，与抛物线的交点即为所求的P点易知：M(2，3)，半径2,MP=MA，设P(m，m2-4m-5),(m-2)2+(m2-4m-5-3)2=18即有(m-2)2+[(m-2)2-12]2=18得(m-2)2-23(m-2)+126=0,m1=2+√(14)，m2=214m3=-1，m4=5故Q点的坐标为145)，(2142.解：(1)y=-34(x-1)(x-4)(2)①.CM在∠BCO之间时，CM与x轴相交于点D，作DF⟂BC，设OD=m，则DF=m，DB=4-m，BF=2，由勾股定理得m2+22=(4-m)2，m=32，D(32,0)，直线CM的解析式为：y=2x-3②CM在∠BCO外部时，CM与x轴交于点E，作EG⟂BC于点G，设EG=3t，则BG=4t，而∠BCM=12∠BCO=∠OCD，而tan∠OCD=12，故tan∠BCM=12，即EG3t15,CG5422tt===+，BE=252，E(332，0)，直线CM的解析式为y=23 11x-3.解：方法一：①作∠NBM=45°，并作NG∠NB交于点G，过点N作EF||x轴，过点B、G作BF∠EF，GE∠EF，易知∠ENG≅∠FBN，故EN=BF=2，EG=NF=4，故G(-2，-2)，而B(4，0)，故直线BG解析式为y=13x-43，与抛物线y=x2-5x+4联立得x1=4，x2=43故M(43，-89)②作∠NBM=45°，连接作NP∠BN交BM于点P，作PQ∠y轴，易知∠PQN≅∠NAB，故PQ=AN=2，NQ=AB=4，故P(2，6)直线BM的解析式：y=-3x+12与抛物线y=x2-5x+4联立得x1=4，x2=-2故M(-2，18)方法二：①由已知可得tan∠NBO=12，∠NBE=45°，故tan∠OBE=13，故OE=43，故直线BE的解析式为y=13x-43，后与前面过程一样.②∠BFN+∠OBN=45°，tan∠NBO=12，故tan∠BFN=13，故OF=12，BF的解析式为y=-3x+12后面与前面的方法相同.4.解：(1)y=-x2+x+12(2)如图，Q在第一象限时，在QH上取一点E使EQ=EB，QBA=75，故∠BQE=∠QBE=15，故∠BEH=30°，BH=72，BE=EQ=7，73，故Q(12，737+)；由对称性可知Q在第二象限时，Q(12，737--)，所以Q点的坐标为(12，372+)和(12，372--)5. 解：(1)y =-233642x x -++ (2)①当点D 在x 轴上方时，过点A 作AP ⟂DE ，过点P 作GH||x 轴，作AG ⟂GH ，易知∆PAG~∆EPH,67GP AG PA EH PH PE ===设P(m,n)则PH=-m ，EH=n+3,得GP=EH=n+3，AG=PH=m ，故6(3)()47n m ++-=，6()7m n -=得n =1217，m =1417-，直线DE 的解析式为y =-932x -，联立抛物线y =-233642x x -++得x 1=-2，x 2=6(舍)，故D(-2，6)∠作过OE 的圆与AC 相切于点P ，易知∠OPE=12OME ∠=∠OMN ，sin∠OPE=sin∠OMN=32r,当r 取最小值时，∠OPE 最大，由HPM~AOC 知，MN=5，在∠OMN 中易得(5-3)2+(32)2=r 2得r=4，PH=2，P 78(,)1313--6. 解：(1)由已知可得x 1=3,x 2=-1,b =-2，c =3,故抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3(3) 方法1：易知∠OBA=45°，故∠CBP=90°，过点B 作MN||x 轴交DE 于点N ，作CM ⟂MN 于点M ，易知∠BCM~∠PBN ，P(m ,-m 2-2m +3)得PN=3-(-m 2-2m +3)=m 2+2m,BN=m ，故有2213m m m -=，m =73方法2：易知∠PBC=90°，直线BC 的解析式为y =3x +3，故BP 的解析式为y =-13x +3，与抛物线y =-x 2-2x +3联立得x =73，故m =737. (1)y =x 2-2x -3(2)1.点Q 在AB 左侧时，AQ 与x 轴交于点E ，过点E 作MN||y 轴，作PM ⟂MN ，AN ⟂MN ，易知∠PME ≅∠ENA ，PM=EN=4，设点M 的横坐标为m ，则AN=1-m =ME ，P 点的横坐标为4+m ，纵坐标为1-m ，代入抛物线解析式得(4+m )2-2(4+m )-3=1-m 得m=-13，得直线AQ 的解析式为y =-3x -1,与抛物线联立可得x 1=1,x 2=-2；同理可得直线AF 的解析式为y =13x -133，与抛物线联立可得x 3=1,x 4=43；所以Q 点的横坐标为-2或438. (1)抛物线的解析式为y=-x 2-3x +4 (2)1.tan∠BNO=14，故tan∠MAN=14，AM1与y 轴交于点E ，作EGAN 于点G ，设EG=m,则AG=4m ，而OA=ON ，故GN=m ，故5m ,m ,EN=85,故E(0,125)，直线AE 的解析式为y=31255x +,与抛物线y=-x 2-3x +4联立得x 1=25，x 2=-4(舍)，故M(25，6625)2.AM 在上方时，过点F 作FHAN 于点H ，设FH=n ,则NH=n ,AH=4n ，故3n ，n FN=83,直角AM 的解析式为y =53x +203，联立得x 3=-23,x 4=-4(舍),故M(-23，509)9. (1)抛物线的解析式为y =241393x x --(2) 易知A(94-,0)，B(3，0)，C(0，-3),∠当E 在上方时，注意到∠OCB=45°，故CE 与x 轴的交点D 与A 关于原点对称，即有D(94,0)此时CE 解析式为y =433x -与抛物线联立可得x 1=154,x 2=0(舍)，故E 1点的横坐标为154，E 1(154，2)；∠当E 在x 轴下方时，此时∠BCF+∠BFC=45°，得∠FCO~∠CAO ，可得F(4,0),直线CF 的解析式为y =334x -，与抛物线联立得x 3=3916,x 4=0(舍)，故E 2的横坐标为3916，E 2(3916，7564-)10. 解：(1)A(1,0),B(4,0),C(0,-4)(2)作AE∠CB 于点E ，作DF∠x 轴于点F ，易知∠ACE~∠BDF ，设D(m ，-m 2+5m -4)，BF=4-m ，DF=-m 2+5m -4，AE=2，CE=2，由此可知m=83，D(83，209)。

第2 讲：角度的存在性问题【例1】如图，在平面直角坐标系两点，与y 轴交于点C（0, 2）；1）求抛物线的表达式；2）求证：CAO BCO ；3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ，求直线CP的表达式．1 2 5 4参考答案】（1）y x2x 2 ；（ 2）证明略；（ 3）y x 2或y 2 ．2 2 3思路点拨1．设求抛物线的交点式比较简便．2．第（ 2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等．3．第（ 3）题先把 3个角的关系，转化为∠ PCB＝∠ 2，再按点 P与 CB的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为抛物线与 x轴交于 A（1, 0）、 B（4, 0）两点，所以 y＝a（x－1）（x－4）．代入点 C（0, 2），得a 1．2所以抛物线的表达式为y 1（x 1）（x 4）＝1 x2 5x 2．2 2 22）如图 2，tan∠CAO＝OC＝2．如图 3，tan∠BCO＝OB＝4＝2，所以∠ CAO ＝∠ BCO ．xOy 中，抛物线y ax2bx c与x 轴交于A(1,0) 、B(4,0)（3）如图 2，图 3，由于∠ CAO ＝∠ BCO ，根据等角的余角相等，得∠ 1＝∠2． 因为∠ PCB ＋∠ ACB ＝∠ BCO ，所以∠ PCB ＝∠ BCO －∠ ACB ＝∠ 1＝∠2． ∠PCB 存在两种情况：7 10P （73,190） ． 例 2】已知在直角坐标系中，抛物线 y ax交 x 轴于点 B ，点 P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧； 1）当 AB BD 时（如图），求抛物线的表达式；2）在第（ 1）小题的条件下，当 DP ∥ AB 时，求点 P 的坐标；13）点 G 在对称轴 BD 上，且 AGB ABD ，求△ ABG 的面积．2①如图 4，当点 P 在CB 的右侧时，由∠ PCB ＝＝∠ 2，得 CP//x 轴． 此时直线 CP 的解析式为 y ＝ 2．②如图 5，当点 P 在 CB 的左侧时，设 CP 与x 轴交于点 D ． 由∠ PCB ＝∠ 2，得 DC ＝DB ．33x 3．所以 D (3,0) ．22考点伸展如果第（ 3）题的条件不变，求点 P 的坐标．第一种情形，如图 4，当 CP//x 轴时，点 C 关于抛物线的对称轴 5x 5对称，所以 P(5,2) ．第二种情形，如图 6，设 P （x,1x 2 5x 2）．22 3 2作 PE⊥y 轴于 E ，那么ODCO CO ．所以CE21 25 2 (2 x 22x 2)解得 x ＝ 0，或 x 7．所以228ax 3 （a 0） 与 y 轴交于点 A ，顶点为 D ，其参考答案】 1) y1x 2 x 3 ；(2) (10, 1) ；(3)82设 D （x, 0），根据 DC 2＝DB 2，列方程 x 2＋22＝ （4－ x ）2．解得思路点拨1．抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B）和点 A 的坐标，根据 AB＝ BD 求出点 D 的坐标，再代入解析式求待定系数 a ．2．看着 1∠ ABD ，结合 BA ＝ BD ，不由得让人联想起“三线合一” ．23．以∠ ABD 为外角，构造等腰三角形 BAG ，BG ＝BA ，这样就满足∠ ABD ＝2∠ AGB ． 4．根据对称性，∠ AGB 的顶点 G 存在两种情况．满分解答由 y ＝ax 2－8ax ＋3，可得 A(0, 3)，抛物线的对称轴为直线 x ＝4． B(4, 0)， AB ＝ 5．当 BD ＝ AB ＝ 5时， D(4, 5)．考点伸展(1) 所以 将点 D (4, 5)代入 y ＝ax 2－8ax ＋3，得1a 1 ．所以8y 1 x 2x 3 ． 82) 如图 2，作 PE ⊥ BD 于 E ． 设点 P 的坐标为 (x, 1x 28OA OB当 DP //AB 时， ED EP 所以 ED3EP ．x 3) ．解方程 5 ( 1x 2x 3) 3(x 4)， 84整理，得 x 2－14x ＋ 40＝0． 所以 x ＝10，或 x ＝4(与点 D 重合，舍去) ．所以 P (10,1) ．2(3)如图 3，在 DB 的延长线上截取 BG ＝BA ＝ 5，那么∠ AGB＝∠1 又因为∠ABD ＝∠ AGB ＋∠ BAG ，所以此时∠ AGB ＝ ∠ABD ．2BAG ． 此时 如S △ABG ＝ 10．4，作 AH⊥BD 于H ，点 G 关于直线 AH 的对称点为G′， BG′＝BH＋ G′H＝11．此时 S △那么 G ′H ＝GH ＝8． 图5图3图4第( 3)题也可以从∠ ABD 的平分线开始思考： 如图 5，作∠ ABD 的平分线与 y 轴交于点 C ．因为∠ 1＝∠ 2，∠ 1＝∠ C ，所以∠ 2＝∠ C ．所以 AC ＝ AB ＝ 5．过点 A 作 BC 的平行线交抛物线的对称轴于点 G ，那么四边形 CAGB 是平行四边形．1所以∠ 1＝∠ G ，BG ＝ AC ＝ 5．所以∠ AGB ＝ ∠ ABD ．此时 S △ABG ＝10．2求点 G ′的过程同上．【例 3】在平面直角坐标系中，抛物线 y 3x 2bx c 与y 轴角于点 A(0,3) ，与 x 轴的正半轴交于点5B(5,0) ，点 D 在线段 OB 上，且 OD 1，联结 AD 、将线段 AD 绕着点 D 顺时针旋转 90 得到线段 DE过点 E 作直线 l x 轴，垂足为 H ，交抛物线于点 F ． ( 1)求这条抛物线的解析式； ( 2)联结 DF ，求 cot EDF 的值；( 3)点 G 在直线 l 上，且 EDG 45 ，求点 G 的坐标．满分解答由 D(1, 0)、 F(4, 3)、E(4, 1)，可得∠ DFE ＝45°，DF ＝3 2 ，EF ＝2．参考答案： 1)32 x 5 12x32) cot EDF3) E (4,6)或(4, 3)．3x 轴交于点 B(5, 0)，设 y (x 5)(x m) ，53 3 2 121．所以 y (x 5)(x 1) x 2 x 3 ．5 5 5(2)如图 2，由△ AOD ≌△ DHE ，得 DH ＝AO ＝3，EH ＝DO ＝1．所以 E(4,1)．1) 因为抛物线与代入点 A(0, 3)， 得－ 3m ＝ 3 ．所以 m ＝－如图 3，作 EM⊥DF 于 M，那么 EM＝FM＝2 ．在 Rt△DEM 中，EM＝2，DM＝DF－FM＝2 2 ，所以 DE＝10．所以cos∠EDF ＝DM＝ 2 2＝ 2 5DE 10 52图(3)符合条件的点 G 有两个：①如图 4，当点 G在 DE 上方时，所以 ED2＝EF·EG．所以 10＝2EG．②如图 5，当 G′在DE下方时，△ GDG ′是直角三角形．此时 DH2＝HG·HG′．所以9＝ 6HG ′．所以 HG′＝3．此时G′(4, 3)．由∠EDG＝∠ EFD ＝ 45°，∠ DEG是公共角，可得△ EDG ∽△EFG ．所以 EG＝5．此时 G(4, 6)．x例4】已知顶点为A（2, 1）的抛物线经过点B（0,3），与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）； 1）求这条抛物线的表达式；2）联结AB 、BD 、DA ，求△ ABD 的面积；3）点P在x轴正半轴上，如果A PB 45 ，求点P的坐标．参考答案：（ 1）y x24x 3 ；（2）3；（3）（3 6,0）．满分解答（1）设抛物线的顶点式为 y＝a（x－2）2－1，代入点 B（0, 3），得 a＝1．所以这条抛物线的解析式为 y＝（x－2）2－1＝ x2－ 4x＋3．（2）由 y＝ x2－ 4x＋ 3＝（x－ 1）（x－ 3），得 C（1, 0）， D（3, 0）．如图 2，由 A（2,－1）、B（0, 3）、D（3, 0），可得∠ BDO ＝ 45°，∠ ADO＝45°， BD＝3 2，AD＝2．所以 S△ABD ＝1AD BD ＝12 3 2 ＝ 3．22（3）如图 3，以 AB 为斜边构造等腰直角三角形 GAB，以 G 为圆心、 GB 为半径画圆，与 x 轴交于点 P（圆与 x 轴右侧的一个交点），根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠APB＝ 45°．如图 4，由△ BMG≌△ GNA，得 BM＝GN，MG＝NA．设 G（m, n），那么 m＝n＋1，3－n＝m－2．解得 m＝3，n＝2．所以 G（3, 2）．设 P（x, 0）．根据 GB2＝GP2，列方程 32＋12＝（x－3）2＋ 22．解得（3 6,0），或（3 6,0）（这是圆与 x 轴左侧的交点的横坐标，此时∠ APB＝135°）．所以点P 的坐标为（3 6,0）．【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】 因为∠ BDO ＝ 45°＝∠ 1＋∠ 3，∠ APB ＝45°＝∠ 2＋∠ 3，∠ ADO ＝45°＝∠ 2＋∠4， 所以∠ 1＝∠2，∠3＝∠ 4．所以△ PBD ∽△ APD ．所以 DP DA．于是DP 2＝DA ·DB ＝ 2 3 2 ＝6．DB DP所以DP ＝ 6，OP ＝3 6 ．所以P （36,0） ．【例 5】已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y x 2 mx n 的图像经过点 A（3,0） ， 且与 y 轴相交于点 C ；（ 1）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点 D 的坐标； （ 2）求 CAD 的正弦值；（3）设点 P 在线段 DC 的延长线上，且 PAO CAD ，求点 P 的坐标．图2 图3 图4B(m,m 1) ，图2图3Ox2 9 3m n 0 1）将 A （3,0）、B （m, m ＋1）两点分别代入 y ＝－ x 2＋ mx ＋ n ，得n m 1.解得m ＝2，n ＝3．所以y ＝－ x 2＋2x ＋3＝－（x －1）2＋4．所以C （0, 3），顶点 D （1, 4）． （2）如图 2，作 DE ⊥y 轴于 E ．由A(3, 0)、C(0, 3)、 D(1, 4)，可得∠ ACO ＝∠DCE ＝45°，AC ＝ 3 2，DC＝ 2．所以∠ ACD ＝ 90°．所以 AD 2＝AC 2＋DC 2＝18＋2＝20．所以 AD ＝2 5． 所以tan ∠CAD ＝ DC＝ 2＝1，sin ∠CAD ＝ DC＝ 2＝ 10．AC 3 2 3 AD 2 5 10（3）直线 CD 的解析式为 y ＝ x ＋ 3，于是可设 P （x, x ＋ 3）． 作PH ⊥x 轴于H ，当∠ PAO ＝∠ CAD 时，由 tan ∠PAO ＝tan ∠CAD ，得 PH 1．AH 3①当P 在x 轴上方时，x 3 1．解得 x 3．此时 P （ 3,3）（如图 2所示）．3 x 3 2 2 2 ②当P 在x 轴下方时， （x 3） 1．解得x ＝－ 6．此时 P （－6,－3）（如图3所示）．参考答案：（1） y x 22x 3，顶点 （1,4） ；满分解答2) 10 ；10333)( 23,32)，( 6, 3)．图2图3【例 6】 如图，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴相交于点 A （-1,0） 和点 B ，与 y 轴相交于点 C （0,3），抛物线的顶点为点 D ，联结 AC 、BC 、DB 、DC ． （ 1）求这条抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （ 2）求证： △ACO ∽△DBC ；（ 3）如果点 E 在 x 轴上，且在点 B 的右侧，∠ BCE= ∠ ACO，求点 E 的坐标 ．满分解答（1）由抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 与 x 轴相交于点 A （－1, 0），设 y ＝－（x ＋1）（x －m ）． 代入点 C （0, 3） ，得 m ＝ 3．所以 y ＝－ （x ＋1）（x －3）＝－（x 2－2x －3）＝－x 2＋2x ＋3＝－ （x －1）2＋4． 所以点 B 的坐标为 （3, 0），顶点 D 的坐标为 （1, 4） ．（2）如图 2，由 B （3, 0）、C （0, 3）、D （1, 4），可知 B 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是3，C 、D两点间的水平距离、竖直距离都是 1．因此 BC 、DC 与 y 轴的夹角都是 45°．tan ∠DBC ＝ DC＝ 2＝ 1． BC 3 2 3由 A(－1, 0)、 C(0, 3)，得 OA ＝1， OC ＝ 3，所以 tan ∠ACO ＝ OC 所以∠ ACO ＝∠ DBC ．所以△ ACO ∽△ DBC ．（3）设 CE 与 BD 交于点 G ．由∠ BCE ＝∠ ACO ＝∠ DBC ，得 GB ＝ GC ． 于是可得 CG 是 Rt △DBC 斜边上的中线，点 G 是 BD 的中点．所以 G （2, 2）．所以∠ BCD ＝ 90°，2）略；x3)E(6,0) ．2达标检测【 1】如图，抛物线y ax2bx 5( a 0)经过点A(4, 5) ，与x轴的负半轴交于点B，与y 轴交于点C ，且OC 5OB ，抛物线的顶点为D ．( 1)求这条抛物线的表达式；(2)联结AB、BC、CD、DA ，求四边形ABCD的面积；( 3)如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO A BC ，求点E 的坐标．参考答案】解： ( 1)∵抛物线y ax2bx 5与y 轴交于点C，∴C(0, 5)，∴ OC5．∵OC 5OB，∴OB 1．又点B在x轴的负半轴上，∴B( 1,0)．∵抛物线经过点A(4, 5)和点B( 1,0) ，16a 4b 5 5 a 1 2∴ ，解得．∴这条抛物线的表达式为y x24x 5 ．a b 5 0 b 4(2)由y x24x 5，得顶点D 的坐标是(2, 9)．联结AC ．∵点A的坐标是(4, 5) ，点C的坐标是(0, 5)，11又S ABC 2 4 5 10，S ACD 2 4 4 8，∴ S四边形ABCD S ABC S ACD 18．3)过点C作CH AB ，垂足为点H ．15216∵S ABC 1AB CH 10， AB 5 2， ∴CH 2 2．2在 Rt BCH 中， BHC 90 ， BC 26 ， BH BC 2 CH 2 3 2 ；∴ tan CBHC B H H23．在 Rt BOE 中， BOE 90 ， tan BEOBO，EO，∵ BEO ABC ，BO EO 2，得 EO 3∴点 E 的坐标为 (0, 3)．2】如图，抛物线 y=x 2+bx+5与x 轴交于点 A 与 B （5,0） 点，与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点为点 P ． 1）求抛物线的表达式并写出顶点 P 的坐标；2）在 x 轴上方的抛物线上有一点 D ，若 ?ABD ? ABP ，试求点 D 的坐标； 3）设在直线 BC 下方的抛物线上有一点 Q ，若S DBCQ = 15 ，试写出点 Q 坐标．满分解答（1）将点 B （5, 0）代入 y ＝x 2＋bx ＋5，得．解得 b ＝－ 6． 所以 y ＝x 2－6x ＋5＝－（x －3）2－4，顶点 P 的坐标为 （3,－4）．2）如图 2，作 DN ⊥x 轴于 N ．设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ． 由 tan ∠ABD ＝ tan∠ ABP，得DN PMBN BM2x 26x 5 4参考答案： （ 1） y x 26x 5 ， P （3, 4） ； 2) D( 1,12) ； (3) Q(2, 3)或(3, 4)．2．5 x 23）由 B （5, 0）、C （0, 5），可知 BC ＝5 2，直线 BC 与 x 轴负半轴的夹角为 45°设点 D 的坐标为 （x, x 2－ 6x ＋ 5），那么图3设BC 边上的高为 h ，那么 S △BCQ＝ 15 2h ＝15．解得 h 3 2 ．2如图3，设y 轴上点 C 下方的点 G 到直线BC 的距离GH ＝ 3 2，那么 CG ＝6，G （0,－1）．练习 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax 2 bx 1经过点 A （2, 1） ，它的对称轴与 x 轴 相交于点 B ；（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）如果直线 y x 1与此抛物线的 对称轴交于点 C 、与抛物 线在对称轴右 侧交于点 D ，且 BDC ACB ，求此抛物线的表达式．过点 G 作BC 的平行线与抛物线的交点就是要求的点 Q ，这条直线为 y ＝－ x － 1．解方程组y2x 1, 得x 2,或x 3,y x 26x 5, y3, y4.所以 Q （2,－3）或（3,－4）．5 10参考答案】(1)B(1,0)；(2) y 53x2 130x 1．满分解答1)将点 A(2,－1)代入 y＝ax2＋bx－1，得 1－＝ 4a＋ 2b－1．所以 b＝－ 2a．抛物线的对称轴 x＝b＝2a＝1．所以点 B 的坐标为 (1, 0)．2a 2a(2)如图 2，由 y＝x＋ 1，得 C(1, 2)．所以 BC＝2．由A(2,－1)、B(1, 0)，得BA 2 ，∠ 2＝45°因为直线 y＝x＋1 与坐标轴的夹角为 45°，由此可知∠ 1＝ 45°．所以∠ 1＝∠ 2．根据等角的邻补角相等，可知∠ DCB＝∠ CBA．当∠ BDC＝∠ ACB时，△ DCB ∽△ CBA．所以DC CB，即CB BA 所以DC 2 2 ．因此 D、C 两点间的水平距离、竖直距离都是将点 D(3, 4)代入 y＝ax2－2ax－1，得 4＝9a－6a－1．解得所以抛物线的表达式是y 5x2 10 x 1．33DC 2．2 2．2．所以 D(3, 4)．。

中考数学复习考点知识讲解与练习 专题27 二次函数-存在性问题存在性问题是判断事物是否存在的问题，其知识点较广，综合性强，解题方法较灵活，对学生解决问题能力要求高，中考题中往往出现在压轴题中，其解题的一般思路是：假设存在--推理论证--得出结论---合理就存在在，反之不存在。

存在性的问题有点、面、线段、图形的存在等等。

解题方法多以设参数--表示点坐标--表示线段长--表示面积---建立方程等方法解决问题。

1．如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．2．如图,二次函数 2 2y ax bx =++经过点()1,0A -和点()4,0B ,与y 轴交于点C ．()1求抛物线的解析式;()2D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D ,使若存在23ABC ABD S S ∆∆=,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0，4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52？如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且A 点坐标为(60)-，． （1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE . 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．6．关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根.()1求k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？若存在，求k ；若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.8．如图是二次函数()2y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．（1）直接写出m 、k 的值；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于,A D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是()2,0，B 点坐标是()8,6． （1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得CBD ∆的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标，若C 点不存在，请说明理由．10．如图是二次函数c bx x y ++=2的图象，其顶点坐标为M （1，－4）． （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；11．如图，二次函数y＝﹣14x2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO平分∠BAC；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P使得AP＝BP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（本题满分10分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与轴的交点A，B的坐标；（2）（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；13．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积． （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.14．如图，二次函数2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于c 顶点，已知(1,0)A ，(0,3)C -.（1）求此二次函数的解析式及B 点坐标.（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P 的坐标.（3）根据图象直接写出33x -<<时，y 的取值范围.15．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴相交于C D 、两点（点C 在点D 的左边），与y 轴交于点B ，点A 在二次函数的图像上，且AB ∥x 轴．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知二次函数：2(21)2(0)y ax a x a =+++<． （1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使75PCA ︒∠=？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，与x 轴的另一个交点为A (－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△AOP 的面积为3，若存在请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．18．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （3，0），B （2，﹣3），并且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式； （2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x=1上是否存在一点P ，使△PAB 中PA=PB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于AB 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）写出AB 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ．①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．20．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点． （1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan ∠ABQ ＝3，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得△QBP ∽△COA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝12x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得△CBD 的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标；若C 点不存在，请说明理由．22．已知：如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，0）和C （0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，求线段AB 的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P ，使△ABP 的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数22y x 2mx m 1=-+-.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．24．如图，二次函数214y x bx c =-++的图象经过点()4,0A ，()4,4B --，且与y 轴交于点C ．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．25．如图，二次函数24y ax x c =-+的图象经过坐标原点，与x 轴交于点()4,0A -．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P ，满足6AOP S =，试求出点P 的坐标．26．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()2,0且与直线334y x =-+相交于B 、C 两点，点B 在x 轴上，点C 在y 轴上．()1求二次函数的解析式．()2如果(),P x y 是线段BC 上的动点，O 为坐标原点，试求POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． ()3是否存在这样的点P ，使PO AO =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象过点E （2，3），对称轴为1x =，它的图象与x 轴交于两点（1x ，0），B （2x ，0），且12x x <，221210x x +=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知二次函数y ＝﹣x 2+x +m ．（1）如图，二次函数的图象过点A （3，0），与y 轴交于点B ，求直线AB 和二次函数图象的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与A ，B 两点重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点D ，是否存在一点P 使线段PD 的长有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．29．下图是二次函数2()y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．()1求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；()2在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； ()3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线(1)y x b b =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．30．如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B ．(1)求m 的值与一次函数的解析式；(2)抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △ABC ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．31．二次函数2y ax bx c =++过()1,0A -、()3,0B 两点，与y 轴正半轴交于C ，OC OB =（1）求二次函数解析式；（2）抛物线对称轴上是否存在点D ，使得三角形ACD 为等腰三角形，若存在，直接写出D 坐标，若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上有点P ，作PQ BC ⊥于点Q ，求PQ 最大值．32．如图，二次函数与一次函数交于顶点(4,1)A --和点(2,3)B -两点，一次函数与y 轴交于点C .（1）求二次函数1y 和一次函数2y 的解析式；（2）y 轴上存在点P 使PAB ∆的面积为9，求点P 的坐标.33．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．34．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1，0)，B(0，3)，(1)求该函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由．。

中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题（一）试卷简介:考查平行四边形存在性问题，从分析平行四边形的顶点开始，确定定点、动点，挖掘不变特征，借助平行四边形的性质以及函数特征建等式解决问题。

一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，已知抛物线经过点A（2，0）．设抛物线与x轴的另一交点为B，抛物线的顶点为P．若在直线上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形，则点D的坐标为( )A.B.C.或D.，或答案：A解题思路：要使得四边形OPBD为平行四边形，分析定点、动点，O，P，B为定点，D为直线上的动点，四边形四个顶点的位置关系确定．将点A的坐标代入抛物线表达式得，，解得，∴抛物线的表达式为，∴B（6，0），．易求得直线PB的表达式为，与直线平行．要使得四边形OPBD为平行四边形，需OP∥BD．如图，过点B作OP的平行线，与直线的交点即为点D．由O（0，0），可得直线OP的表达式为，由OP∥BD得直线BD的斜率为，结合点B的坐标（6，0），得直线BD的表达式为．由得，，∴点D的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，E是直线AB上一动点．若以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．O，A为定点，D，E分别为直线AC和直线AB上的动点，OA为定线段，把OA当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程由得，，即点的坐标为．①当OA为边时，把OA进行平移，有两种情况．如图，当四边形OAED是平行四边形时，∵AB∥OD，∴直线OD的表达式为y=x，∵，∴．如图，当四边形OEDA为平行四边形时，∵OE∥AD，∴直线OE的表达式为，由得，，即点E的坐标为．②当OA为对角线时，如图，四边形OEAD为平行四边形，此时OE∥AD，点E的坐标为．综上得，点E的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性3.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AD⊥x轴，交BC于点D．P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m，当以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．A，D为定点，P，Q为动点，AD∥PQ，要使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只需AD=PQ．③借助坐标表达线段长，建等式求解．2．解题过程由题意得，A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴直线BC的表达式为，点D的坐标为（1，2），∴AD=2．由题意得，AD∥PQ．要使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只需AD=PQ．①如图，当时，点Q在点P的上方，由题意得，，∴．由得，m=2或m=1（舍去），∴m的值为2．②如图，当时，点P在点Q的上方，则，由得，，∴m的值为．综上得，m的值为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性4.如图，在矩形OABC中，OA=10，AB=8，点D在AB边上，沿直线CD折叠，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，当以M，N，C，E为顶点的四边形是以CE为边的平行四边形时，点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：1．解题要点在以M，N，C，E为顶点的四边形中，C，E为定点，M，N分别为抛物线和对称轴上的动点，从固定线段CE入手进行分析．由于CE是平行四边形的边，故利用平移来处理问题．2．解题过程由折叠可知，BD=DE，CE=CB=10．∵在Rt△EOC中，OC=AB=8，CE=10，∴OE=6，∴AE=4．设AD=m，则DE=BD=8-m，在Rt△ADE中，由勾股定理可得，解得，即，∴D（3，10）．由O（0，0），C（8，0），D（3，10）可求得抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线x=4．如图，MN∥CE且MN=CE．①当四边形是平行四边形时，∵点的横坐标为4，∴点的横坐标为12，∴．②当四边形是平行四边形时，∵点的横坐标为4，∴点的横坐标为-4，∴．综上，满足题意的点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性5.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A的直线交抛物线于另一点D(2，-3)，且tan∠BAD=1．若点M在抛物线上，点N在x轴上，且以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．A，D为定点，M，N分别为抛物线和x轴上的动点，AD为定线段，把AD当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程∵tan∠BAD=1，∴．又∵点D的坐标为(2，-3)，∴直线AD的表达式为y=-x-1，∴A（-1，0）．代入得，a=1，∴抛物线的表达式为．①如图，当AD为边时，易得点的纵坐标为-3，点的纵坐标均为3，代入抛物线解析式可得．如图，当AD为对角线时，∵∥，∴点的纵坐标为3，∴．综上，点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性。

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。

二次函数压轴题角的存在性Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】一．解答题（共5小题）例1．（2013河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D 两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．例2．（2012惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．例3．（2014湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD 和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．练习1．（2013十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．2．（2012合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求直线BC及二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．参考答案与试题解析一．解答题（共5小题）1．（2013河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．解答：解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得b=，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，∴PF=OC=2，∴将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=x+4，联立，解得x1=1，x2=2，∴m1=1，m2=2；将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=x，联立，解得x3=，x4=（在y轴左侧，不合题意，舍去），∴m3=．∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．（3）存在．理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，∴FM=y F﹣EM=m，∴tan∠CFM=2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FNtan∠PFN=FNtan∠CFM=2FN．∵∠PCF=45°，∴PN=CN，而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．∵PF=y P﹣y F=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，解得m=0（舍去）或m=，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．2．（2012惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C （0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx ﹣3a中，列方程组求a、b的值即可；（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；（3）当∠PCB=∠CBD时，可知CP∥BD，根据三角形的全等关系确定P点坐标．解答：解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx﹣3a 中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵点D（m，﹣m﹣1）在第四象限，∴D（2，﹣3），∵直线BC解析式为y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴点D关于直线BC对称的点D'（0，﹣1）；（3）存在．过D点作DE⊥x轴，垂足为E，交直线BC于F点（如图），∵∠PCB=∠CBD，∴CP∥BD，又∵CD∥x轴，四边形PCDB为平行四边形，∴△OCP≌△EDB，∴OP=BE=1，设CP与BD相交于M点（m，3m﹣9），易求BD解析式为：y=3x﹣9，由BM=CM，得到关于m的方程，解方程后，得m=；于是，M点坐标为：M（，﹣）；于是CM解析式为：y=x﹣3，令CM方程中，y=0，则x=9，所以，P点坐标为：P（9，0），∴P（1，0），或（9，0）．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标．3．（2014湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即=，再根据勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得横坐标为±c，纵坐标为c．解解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．答：∴点C的坐标是（0，4）把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，，解得；②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），过D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°，∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，∴AD∥BO，∴四边形AOBD是平行四边形．（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2，2）或（2，2）要使四边形AOBD是矩形；则需∠AOB=∠BCO=90°，∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC=c，∴A点坐标为（﹣c，c），∴顶点横坐标=c，b=c，∵将A点代入可得c=﹣（﹣c）2+c c+c，∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2，∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．点评：本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．4．（2013十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C 点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，得到△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在y=x2﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．解答：解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：1+2+c=0 ∴c=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3∴B（3，0）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3∴C（0，﹣3）∴OB=OC=3∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=3又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD=，∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．∴∠BCD=∠COA又∵∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD=∠OCA又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB∴∠E=∠OCB=45°，（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点∵∠PMA=45°，∴∠EMH=45°，∴∠MHE=90°，∴∠PHB=90°，∴∠DBG+∠OPN=90°又∴∠ONP+∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP∴∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB∽△PON∴=，即：=∴ON=2，∴N（0，﹣2）设直线PQ的解析式为y=kx+b则解得：∴y=﹣x﹣2设Q（m，n）且n＜0，∴n=﹣m﹣2又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，∴n=m2﹣2m﹣3∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3解得：m=2或m=﹣∴n=﹣3或n=﹣∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣，﹣）．点本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的评：知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．5．（2012合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B （﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求直线BC及二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）根据待定系数法求直线BC的解析式即可；把点B、C的坐标代入二次函数，利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据抛物线解析式求出顶点D的坐标，再根据二次函数的对称性求出点A的坐标，连接AD，然后求出∠ADP=∠ABC=45°，然后证明△ADP和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PD的长度，从而得解；（3）连接BD，利用勾股定理求出BD、BC的长度，再求出∠CBD=90°，然后根据∠BCD与∠ACO的正切值相等可得∠BCD=∠ACO，从而得到∠OCA与∠OCD的和等于∠BCO，是45°．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+m，∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴，解得，所以，直线BC的解析式为y=﹣x﹣3，∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，∴抛物线的顶点D（﹣2，1），对称轴为x=﹣2，∵A、B关于对称轴对称，点B（﹣3，0），∴点A的坐标为（﹣1，0），AB=﹣1﹣（﹣3）=﹣1+3=2，BC==3，连接AD，则AD==，tan∠ADP==1，∴∠ADP=45°，又∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠ADP=∠ABC=45°，又∵∠APD=∠ACB，∴△ADP∽△ABC，∴=，即=，解得DP=3，点P到x轴的距离为3﹣1=2，点P的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）连接BD，∵B（﹣3，0），D（﹣2，1），∴tan∠DBA==1，∴∠DBA=45°，根据勾股定理，BD==，又∵∠ABC=45°，∴∠DBC=45°×2=90°，∴tan∠BCD===，又∵tan∠OCA==，∴∠BCD=∠OCA，∴∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=∠OCB，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，即∠OCA与∠OCD两角和是45°．点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，解直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，利用数据的特殊性求出等腰直角三角形得到45°角，然后找出相等的角是解题的关键．。