人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_随机事件的概率_提高

随机事件的概率要点精析一、要点精析1．随机事件是指一定条件下所出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，故需强调同一事件必须在相同条件下研究．随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次试验的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性，并称之为随机事件的统计规律性．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情形．一个事件应包括条件、过程与结果．2．概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是对大量重复试验来说存在的一种统计规律，但对单次试验来说，随机事件的发生是随机的．3．等可能事件的特点是：⑴对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；⑵对于每次随机试验所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的；⑶求等可能事件的概率可以不通过大量重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率．4．等可能事件概率求法有两种：①P(A) =mn，其中n为试验所产生的基本事件总个数，m为事件A所包含的基本事件个数；②P(A) =()()card Acard I=mn，其中()card A card(A)表示事件A包含的所有结果组成的集合A中元素个数，()card I表示试验所产生的所有结果的集合I的元素个数．5．利用定义求等可能事件概率的步骤：①计算出基本事件的总个数n；②计算出事件A中包含的基本事件的个数m；③由公式P(A) =mn求出事件A的概率．二、特别提示1．要搞清楚什么是随机事件的条件和结果．随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．应注意的是，事件的结果是相应于“一定条件”而言的．因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果．2．正确理解“频率”与“概率”之间的关系．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．把这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．3．要辨证地看待“必然事件”、“不可能事件”、“随机事件”及其“概率”．一个随机事件的发生，既有随机性(对单次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性和必然性的对立统一．就概率统计定义而言，必然事件和不可能事件可看作随机事件的两个极端情况．由此看来，它们虽然是两类不同的事件，但在一定的情况下又可以统一起来，这正说明了二者既对立又统一的辨证关系．4．对于等可能事件概率的求解，首先必须注意基本事件是什么，此事件是否为等可能事件，然后再弄清事件的等可能结果，最后用公式求解．P(A) =mn是等可能事件概率的定义，同时也是计算这种概率的一种方法．利用这个式子计算概率时，关键是求出m、n的值，其中n为一次试验中等可能出现的结果数，m为某个事件A所包含的结果数．求n时，应注意这几种结果必须是等可能的．。

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习随机事件的概率【学习目标】1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；2.正确理解事件A 出现的频率的意义；3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n (A)与事件A 发生的概率P(A)的区别与联系. 【要点梳理】要点一、随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件； (2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件.(3)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件.要点诠释：1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.要点二、随机事件的频率与概率 1．频率与频数在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n为事件A 出现的频率。

2．概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 要点诠释： （1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用An n来表示()P A 越精确。

（2）任一事件A 的概率范围为0()1P A ≤≤，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在[01]，范围内，则运算结果一定是错误的.3．概率与频率的关系（1）频率是概率的近似值。

一、確定事件必然發生的事件：當A是必然發生的事件時，P(A)=1不可能發生的事件：當A是不可能發生的事件時，P(A)=0二、隨機事件：當A是可能發生的事件時，發生的頻率mn會穩定在某個常數p附近，那麼這個常數p就叫做事件A的概率。

概率的表示方法一般地，事件用英文大寫字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可記為P(A)=P概率的求解方法：1.利用頻率估算法：大量重複試驗中，事件A發生的頻率mn會穩定在某個常數p附近，那麼這個常數p就叫做事件A的概率(有些時候用計算出A發生的所有頻率的平均值作為其概率).2.狹義定義法：如果在一次試驗中，有n種可能的結果，並且它們發生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中結果，那麼事件A發生的概率為P(A)=nm3.列表法：當一次試驗要設計兩個因素，可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常採用列表法.其中一個因素作為行標，另一個因素作為列標.特別注意放回去與不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三張卡片，上面分別是數字1、2、3，第一抽出一張後再放回去再抽第二次，兩次抽到數字為數字1和2或者2和1的概率是多少?若不放回去，兩次抽到數字為數字1和2或者2和1的概率是多少?放回去P(1和2)=92不放回去P(1和2)=624.樹狀圖法：當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常採用樹狀圖法求概率.注意：求概率的一個重要技巧：求某一事件的概率較難時，可先求其餘事件的概率或考慮其反面的概率再用1減即正難則反易.概率的實際意義對隨機事件發生的可能性的大小即計算其概率.一方面要評判一些遊戲規則對參與遊戲者是否公平，就是要看各事件發生概率.另一方面通過對概率的學習讓我們更加理智的對待一些買彩票抽獎活動.【同步練習題】1.下列試驗能夠構成事件的是()A.擲一次硬幣B.射擊一次C.標準大氣壓下，水燒至100℃D.摸彩票中頭獎2.在1，2，3，…，10這10個數字中，任取3個數字，那麼“這三個數字的和大於6”這一事件是()A.必然事件B.不可能事件C.隨機事件D.以上選項均不正確3.隨機事件A的頻率滿足()A.=0B.=1C.0<<1D.0≤≤14.下麵事件是必然事件的有()①如果a、b∈R，那麼a·b=b·a②某人買彩票中獎③3+5>10A.①B.②C.③D.①②5.下麵事件是隨機事件的有：①連續兩次擲一枚硬幣，兩次都出現正面朝上;②異性電荷，相互吸引;③在標準大氣壓下，水在1℃時結冰.()A.②B.③C.①D.②③。

数学高考复习必修3事件与概率知识点在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件。

以下是为大家整理的事件与概率知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题。

1.事件的概念：（1）事件：在一次试验中出现的试验结果，叫做事件。

一般用大写字母A，B，C，表示。

（2）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。

（3）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。

（5）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

2.随机事件的概率：（1）频数与频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数An为事件A出现的频数，称事件A出现的比例nnAfAn)(为事件A出现的频率。

（2）概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性。

我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作)(AP。

3.概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1PA，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形4.事件的和的意义: 事件A、B的和记作A+B，表示事件A和事件B至少有一个发生。

5.互斥事件: 在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

当A、B为互斥事件时，事件A+B是由A发生而B不发生以及B发生而A不发生构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)（A、B互斥）. 一般地：如果事件12,,,nAAA中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,nAAA彼此互斥如果事件12,,,nAAA彼此互斥，那么12()nPAAA6．对立事件: 事件Ａ和事件B必有一个发生的互斥事件. A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即P(A+A)=P(A)+P(A)=1 当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（A）7. 事件与集合：从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 事件A的对立事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即AA=U，AA=对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件最后，希望小编整理的事件与概率知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。

高二数学必修3第三章概率知识点归纳聪明出于勤劳，天赋在于积聚。

小编预备了高二数学必修3第三章概率知识点，希望能协助到大家。

一.随机事情的概率及概率的意义1、基本概念：(1)肯定事情：在条件S下，一定会发作的事情，叫相关于条件S的肯定事情; (2)不能够事情：在条件S下，一定不会发作的事情，叫相关于条件S的不能够事情; (3)确定事情：肯定事情和不能够事情统称为相关于条件S确实定事情;(4)随机事情：在条件S下能够发作也能够不发作的事情，叫相关于条件S的随机事情;(5)频数与频率：在相反的条件S下重复n次实验，观察某一事情A能否出现，称n次实验中事情A出现的次数nA为事情A出现的频数;称事情A出现的比例fn(A)=nnA为事情A出现的概率：关于给定的随机事情A，假设随着试验次数的添加，事情A发作的频率fn(A)动摇在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事情A的概率。

(6)频率与概率的区别与联络：随机事情的频率，指此事情发作的次数nA与实验总次数n的比值nnA，它具有一定的动摇性，总在某个常数左近摆动，且随着实验次数的不时增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事情的概率，概率从数量上反映了随机事情发作的能够性的大小。

频率在少量重复实验的前提下可以近似地作为这个事情的概率二.概率的基本性质1、基本概念：Page 8 of 8(1)事情的包括、并事情、交事情、相等事情(2)假定AB为不能够事情，即AB=ф，那么称事情A与事情B互斥;(3)假定AB为不能够事情，AB为肯定事情，那么称事情A与事情B互为统一事情;(4)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B) 2、概率的基本性质：1)肯定事情概率为1，不能够事情概率为0，因此01; 2)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);3)假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=14)互斥事情与统一事情的区别与联络，互斥事情是指事情A 与事情B在一次实验中不会同时发作，其详细包括三种不同的情形：(1)事情A发作且事情B不发作; (2)事情A不发作且事情B发作;(3)事情A与事情B同时不发作，而统一事情是指事情A 与事情B有且仅有一个发作，其包括两种情形;(1)事情A发作B不发作;(2)事情B发作事情A不发作，统一事情互斥事情的特殊情形。

盘点高考数学复习必修3随机事件知识点
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，简称事件。

以下是查字典数学网为大家整理的随机事件知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题。

1.随机事件的定义.
2计算简单事件概率的方法，重点学习了两种随机事件概率的计算方法，第一种，只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算;第二种，通过列表法、列举法、树形图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如配紫色，对游戏是否公平的计算.
3利用频率估计概率，分为如下两种情况：第一种，利用实验的方法进行概率估算;第二种，利用模拟实验的方法进行概率估算.如利用计算器产生随机数来模拟实验的方法. 4.体会大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系，通过设计简单的概率模型.重在对事件发生可能性的刻画，来帮助人们在不确定的情境中做出合理的决策，如通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型.
最后，希望小编整理的随机事件知识点对您有所帮助，祝同
学们学习进步。

2019年高考第一轮复习备考专题已经新鲜出炉了，专题包含高考各科第一轮复习要点、复习方法、复习计划、复习试题，大家来一起看看吧~。

3.1 随机事件的概率一、本节知识结构二、教学重点与难点重点：1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2．正确理解概率的意义．难点：1．理解频率与概率的关系；2．对概率含义的正确理解．三、编写意图与教学建议由于在初中学生已接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，所以教科书以“北京的天气变化情况”“水稻种子发芽后的生长情况”为例，简略叙述了客观世界中偶然与必然的内在联系，给出了随机事件、不可能事件、必然事件的概念．这些概念与初中教科书略有不同．例如，随机事件的概念，初中教科书中叙述为“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件”，本教科书则叙述为“在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件”，这里条件S可以是一个条件，也可以是一组条件(可以理解为一个条件集)，这样可以使表述更加清楚和简洁．概率研究随机事件发生的可能性大小问题，这里既有随机性，又有随机性中表现出的规律性，这是学生理解的难点．突破难点的最好办法是给学生亲自动手操作的机会，使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知．为此，教科书特别强调利用学生熟悉的典型实例(掷硬币的试验)，通过学生亲自动手试验，来引导学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法．通过试验模拟等方法，可以澄清日常生活中对概率的错误认识，这也是加深学生理解概率的意义的机会．另外，加强概率的实际应用，可以使学生体会概率的重要性．因此，教学中一定要特别重视让学生进行操作这个环节．随机事件可以看成集合，所以可以类比集合之间的关系与运算，得到事件之间的关系与运算．教学中，可以引导学生在回顾集合的关系及其运算的有关知识的基础上，学习用图形表示事件之间的关系及其运算的思想和方法．概率的性质可以类比频率的性质，并利用频率与概率的关系得到．教学中，要尽量使用统计图和统计表展示频率的稳定性，这样既直观易懂，又可以与第二章《统计》的内容相呼应．。

随机事件及其概率【知识要点】1、 随机事件：① 一般地，在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件，用字母Ω表示。

P （Ω）=1.② 在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件，用字母φ表示。

P （φ）=0.③ 在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随见事件。

0P A 1≤≤（）④ 必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件。

事件：对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验，而试验的每一种可能的结果，都是一个事件。

2、 频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 的出现频数，称事件A 出现的比例(A)=A n n f n 为事件A 出现的频率。

3、 概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率(A)n f 稳定在某个常数上，把这个常数记作(A)P ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率。

（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。

（2）频率本身是随机的，在试验前是不确定的。

（3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验的次数无关。

4、概率的基本性质：（1）事件的关系与运算①对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作BA ⊇或AB ⊆ ② 一般地，若A B ⊆且B A ⊆，那么称事件A 与事件B 相等，记作A=B③ 若某事件发生当且仅当事件A 发生或者事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A+B ）。

④ 若某事件发生当且仅当A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作A B ⋂（或AB ）⑤ 若A B ⋂为不可能事件，即=A B ⋂∅，那么我们称事件A 与事件B 互斥，其含义就是事件A 与事件B 在任何一次试验中都不会同时发生。

高二数学必修3知识点整理：随机事件的概率一、确定事件必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1不可能发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=0二、随机事件：当A是可能发生的事件时，发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A 的概率p，可记为P(A)=P概率的求解方法：1.利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率).2.狭义定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=nm3.列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.特别注意放回去与不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字1、2、3，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?若不放回去，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?放回去P(1和2)=92不放回去P(1和2)=624.树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用1减即正难则反易.概率的实际意义对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率.一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是要看各事件发生概率.另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动.【同步练习题】1.下列试验能够构成事件的是( )A.掷一次硬币B.射击一次C.标准大气压下，水烧至100℃D.摸彩票中头奖2.在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均不正确3.随机事件A的频率满足( )A.=0B.=1C.04.下面事件是必然事件的有( )①如果a、b∈R，那么a·b=b·a②某人买彩票中奖③3+5>10A.①B.②C.③D.①②5.下面事件是随机事件的有：①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面朝上;②异性电荷，相互吸引;③在标准大气压下，水在1℃时结冰.( )A.②B.③C.①D.②③。

人教版高中数学必修三第三章统计3.1.1《随机事件的概率》要点梳理【学习目标】在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．【要点梳理·夯实知识基础】12.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A 出现的频率．[答案]事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝nAn3．概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．[答案](1)可能性(2)概率P(A) 频率fn(A)【考点探究·突破重点难点】考点一：事件类型的判断1.下列事件:①明天下雨;②3>2;③航天飞机发射成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某艘商船遭遇索马里海盗;⑥任给x0∈R,x0+2=0.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D2.下列说法正确的是()A.某人购买福利彩票一注,中奖500万元,是不可能事件B.三角形的两边之和大于第三边,是随机事件C.没有空气和水,人类可以生存下去,是不可能事件D.科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现,是必然事件答案:C3.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情()A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生答案:D解析:∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花;∴这个事件一定发生,是必然事件.考点而：试验的结果分析4.下列命题中正确的个数是()①先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果为正面,正面;正面,反面;反面,反面,共计3种.②从12个同类产品(其中10个是正品,2个次品)中,任意抽取3个产品的每一个结果中一定含有正品.③某地举行运动会,从来自A学校的a,b志愿者中选一人,从来自B学校的c,d,e志愿者中选一人共2人为体操馆服务,则有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种选法. A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:①中应该有4个结果,即正面,正面;正面,反面;反面,正面;反面,反面.故①不正确.②③正确.5.先后投掷2枚均匀的一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则包含3个试验结果的是()A.至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上答案:A解析:“至少一枚硬币正面向上”包括“一分正面向上,二分正面向上”,“一分正面向上,二分正面向下”,“一分正面向下,二分正面向上”3种试验结果.6.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的所有结果.(2)“x+y=5”包含的结果有哪些?“x<3且y>1”呢? (3)“xy=4”包含的结果有哪些?“x=y ”呢?解:(1)结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)“x+y=5”包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x<3且y>1” 包含的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (3)“xy=4”包含的结果为(1,4),(2,2),(4,1). “x=y ”包含的结果为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 考点三：随机事件的频率与概率7.下列说法:①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小;②做n 次随机试验,事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率nm就是事件A 的概率;③频率是不能脱离具体的n 次的试验值,而概率是确定性的,不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确说法的序号是 . 答案:①③④解析:由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,nm是事件A 发生的频率,虽然概率是与频率接近的一个常数,但是概率不一定等于频率,故②是错误的.由概率的定义知③④是正确的.8.在抛掷骰子的游戏中,将一枚质地均匀的骰子抛掷6次,对于点数4的出现有下列说法:①一定会出现;②出现的频率为61;③出现的概率是61;④出现的频率是32.其中正确的是 . 答案:③9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以下.解:由题意知总人数为40+200+400+100+40+20=800.则选修李老师高等数学的学生考试成绩在90分以上,60~69分,60分以下的频率分别为80040＝201；800100＝81；80060＝403.用以上信息估计王小慧得分的概率情况如下:(1)“得90分以上”的概率为201,(2)“得60~69分”的概率为81,(3)“得60分以下”的概率为403.[3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.32.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .45.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.517.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2%12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确B.错误C.不一定D.无法解释二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .15.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 .18.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .三、解答题19.从含有两个正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A对应的结果.20.对一批U盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测解答一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.3答案:A2.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案:D解析:三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边.3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案:B4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B解析:①为必然事件;④为不可能事件. 5.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边 答案: C6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.51答案:B7.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 答案:B解析:从A ,B ,C ,D ,E 五人中选2人,不同的选法有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种.8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个答案: C9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A解析:①错误;②出现正面的概率为21,故错误;③频率与概率不是一回事,故错误. 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案: C11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2% 答案: D解析:抽取出次品的频率是1002=2%,用频率估计概率,抽出次品的概率大约是2%. 12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确 B.错误 C.不一定D.无法解释答案: B 二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).答案:52解析:数据在155.5~170.5之间有8名学生,则身高在此范围内的频率为208＝52,所以概率约为52.14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .答案: 52 0.5215.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 答案:(-1,2),(1,-2) 解析:由直线与圆相切知,543b a +=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知,只有⎩⎨⎧=-=21b a ，⎩⎨⎧==2-1b a 满足等式.16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 . 答案: 0.51 241 800 0.5解析:a=200102=0.51,b=500×0.482=241;c=505.0404=800. 易知正面向上的频率在0.5附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为0.5.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 . 答案: 0.3518.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 . 答案: 0.03 三、解答题19.从含有两个正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A 为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A 对应的结果. [解析](1)试验所有结果:a 1,a 2;a 1,b 1;a 2,b 1;a 2,a 1;b 1,a 1;b 1,a 2.共6种. (2)事件A 对应的结果为:a 1,b 1;a 2,b 1;b 1,a 1;b 1,a 2. 20.对一批U 盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U 盘,至少需进货多少个U 盘?[解析](1)表中各个次品频率分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘,为保证其中有2 000个正品U 盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x 是正整数,所以x ≥2 041,即至少需进货2 041个U 盘.21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解：(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1513.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为87.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为87.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.[解析] 设水库中鱼的尾数为n,从水库中任捕一尾,每尾鱼被捕的频率(代替概率)为n2000,第二次从水库中捕出500尾,带有记号的鱼有40尾,则带记号的鱼被捕 的频率(代替概率)为50040,由n 2000=50040,得n=25 000.所以水库中约有25 000尾.。

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想. 【要点梳理】要点一、几何概型 1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度.说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积要点二、均匀随机数的产生 1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数. (3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数. 【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率 ？【思路点拨】以两班车出发间隔( 0，10 )区间作为样本空间 S ，乘客随机地到达，即在这个长度是10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题.【答案】0.3【解析】 记“等车时间不超过3分钟”为事件a ，要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中a 包含的样本点，P=的长度的长度S a =103= 0.3 .【总结升华】在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0，60]上的均匀分布，X 为[0，60]上的均匀随机数. 举一反三：【变式1】 某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10 min 的概率． 【答案】13【解析】 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T=5，T 2T=10，如图所示．记“等车时间大于10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，区域T 1T 2的长度为15，区域T 1T 的长度为5． ∴11251()153T T P A T T ===的长度的长度．即乘客等车时间大于10 min 的概率是13． 0← S →10【变式2】在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率为（ ）． A ．14 B ．12 C ．34 D ．23【答案】C【变式3】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率． 【答案】16【解析】 因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率．于是，设A={等待报时的时间不多于10分钟}．事件A 是打开收音机的时刻位于50～60的时间段内，因此由几何概型求概率的公式得60501()606P A -==． 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16．类型二：与面积有关的几何概型问题 【几何概型 例4】例2．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率． 【思路点拨】两人不论谁先到最多只等40分钟，设两人到的时间分别为x 、y ，则当且仅当2||3x y -≤时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型问题。

高中数学必修3概率统计知识点归纳概率统计是高中数学必修3中的一门重要课程，它研究的是随机事件的发生规律和变化趋势。

概率统计知识点在高中数学习中占据着重要的位置，对于培养学生的逻辑思维、数学建模和解决实际问题的能力具有重要意义。

下面将对高中数学必修3概率统计知识点进行全面归纳。

1.基础概念概率统计的基础概念包括样本空间、随机事件、事件的概率等。

样本空间是指所有可能的结果组成的集合，用S表示；随机事件是样本空间的子集，用A、B、C等表示；事件的概率是指一个随机事件发生的可能性大小，用P(A)表示。

2.排列组合排列组合是概率统计中常用的工具，主要用于计算事件的可能性。

在排列中，元素的顺序是重要的，而在组合中，元素的顺序是不重要的。

排列可以表示为n!，组合可以表示为C(n,m)。

3.基本概率公式基本概率公式是指计算事件的概率的公式。

对于一个随机事件A，它的概率可以用公式P(A) = n(A) / n(S)来表示，其中n(A)表示事件A 的样本点数量，n(S)表示样本空间的样本点数量。

4.互斥事件与对立事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件，它们的概率相加等于两个事件发生的总概率。

对立事件是指两个事件互为对方的补集，它们的概率之和等于1。

5.条件概率条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。

条件概率可以用公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来表示，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

6.全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是处理复杂事件概率的重要方法。

全概率公式可以用于计算一个事件在不同条件下发生的概率，贝叶斯公式可以用于根据已知条件计算相应的概率。

7.随机变量与概率分布随机变量是指与随机事件相对应的数值，概率分布是指随机变量各取值的概率情况。

常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型( 常考知识点)巩固练习随机事件的概率【学习目标】1. 了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；2. 正确理解事件A 出现的频率的意义；3. 正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A) 与事件A发生的概率P(A)的区别与联系.【要点梳理】要点一、随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1) 必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；(2) 不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件.(3) 随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件.要点诠释：1. 随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；2. 随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.要点二、随机事件的频率与概率1．频率与频数在相同条件S下重复n 次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A) nA为事件A出现的频率。

n2．概率事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总接近于某个常数，在它附近摆动，n这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).由定义可知0≤P(A) ≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 要点诠释：( 1)概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用nA来表示P(A) 越精确。

n(2)任一事件A的概率范围为0≤ P(A)≤1，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在[0，1] 范围内，则运算结果一定是错误的.3．概率与频率的关系(1)频率是概率的近似值。

⾼中数学必修3第三章概率全章复习概率全章复习⼀、基础知识梳理（⼀）随机事件的概率随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，⼀定会发⽣的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，⼀定不会发⽣的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发⽣也可能不发⽣的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某⼀事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的⽐例nn A f An)(为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发⽣的频率)(A f n 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发⽣的次数A n 与试验总次数n 的⽐值nn A，它具有⼀定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越⼩。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发⽣的可能性的⼤⼩。

频率在⼤量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对⽴事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满⾜加法公式：P(A ∪B)=P(A)+P(B)；若事件A 与B 为对⽴事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质：(1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； (2）当事件A 与B 互斥时，满⾜加法公式：P(A ∪B)=P(A)+P(B)；(3）若事件A 与B 为对⽴事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)=P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； (4）互斥事件与对⽴事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在⼀次试验中不会同时发⽣，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发⽣且事件B 不发⽣；（2）事件A 不发⽣且事件B 发⽣；（3）事件A 与事件B 同时不发⽣，⽽对⽴事件是指事件A 与事件B 有且仅有⼀个发⽣，其包括两种情形；（1）事件A 发⽣B 不发⽣；（2）事件B 发⽣事件A 不发⽣，对⽴事件互斥事件的特殊情形。

一：随机事件的概率（1）必然事件:在条件S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件S 的必然事件（certain event ）,简称必然事件.（2）不可能事件：在条件S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S 的不可能事件（impossible event ）,简称不可能事件.（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件.（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件（random event ）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n a 为事件A 出现的频数（frequency ）；称事件A 出现的比例f n (A)=nn A为事件A 出现的频率（relative frequency ）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P （A ）,称为事件A 的概率（probability ）.（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数A n 与试验总次数n 的比值nn A ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为50040,问题可解. 解：设水库中鱼的尾数为n,A={带有记号的鱼},则有P(A)=n 2000. ① 因P(A)≈50040， ② 由①②得500402000 n ,解得n≈25 000. 所以估计水库中约有鱼25 000尾.二：概率的意义1、 概率是对随机事件发生的可能性的描述，概率越大随机事件发生的可能性越大，概率越小随机事件发生的可能性就越小。